推荐-高中数学人教A版选修1-1课件3.2 导数的计算(2)

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2学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)

＝( )

A．4 B．－4

C．－2 D．2

【解析】　由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.

【答案】　D

2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等

于( )

A．2B．－1

C．1D．－2

【解析】　依导数定义可求得y′＝3x2＋a，则Error!由此解得Error!所以

2a＋b＝1，选C.

【答案】　C

3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )

【导学号：60030007】

A．(1,1)B．(－1,1)

C．(1,1)或(－1，－1)D．(2,8)或(－2，－8)

【解析】　因为y＝x3，所以y′＝ lim

Δx→0

＝[3x

2＋3x·Δx＋(Δx)

2]＝3x2.x＋Δx3－x3

Δ

xlim

Δx→0

由题意，知切线斜率k＝3，令3x

2＝3，得x＝1或x＝－1.

当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.1

2故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．

【答案】　C

4．(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0

垂直，则l的方程为( )

A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0

【解析】　设切点为(x

0，y

0)，

∵f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.lim

Δx→0x＋Δx2－x2

Δ

xlim

Δx→0

由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x

0)＝2x

0＝4，

∴x

0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即

4x－y－4＝0，故选A.

【答案】　A

5．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )1

x(1

2，2)

A．2B．－4

C．3 D.1

4

【解】　因为y′＝ ＝ ＝ ＝－，lim

Δx→0Δy

Δ

xlim

Δx→01

x＋Δ

教学准备

1. 教学目标

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

2. 教学重点/难点

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

3. 教学用具

4. 标签

教学过程

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

3.2 导数的计算

[教材研读]

预习课本P81～85，思考以下问题

1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12 的导数是什么？

2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？

[要点梳理]

1．基本初等函数的导数公式

2.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．y＝1x，y＝x，y＝x2等求导函数，都可以看成y＝xα(α∈Q*)，并用其导数公式求导．( )

2．y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为12.( )

3．f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的方程为x－y＋1＝0.( )

[答案] 1.√ 2.√ 3.√

题型一 利用导数公式求函数的导数

思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？

提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．

求下列函数的导数：

(1)y＝10x；

(2)y＝lgx；

(4)y＝4x3；

(5)y＝sinx2＋cosx22－1.

[思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．

[解] (1)y′＝(10x)′＝10xln10.

(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.

(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1

＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx. (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

1．函数极值的概念

若函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其他点的函数值都小，()0fa；而且在点xa附近的左侧________，右侧________，就把点a叫做函数()yfx的极小值点，()fa叫做函数()yfx的极小值．

若函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其他点的函数值都大，()0fb；而且在点xb附近的左侧________，右侧________，就把点b叫做函数()yfx的极大值点，()fb叫做函数()yfx的极大值．

极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件

必要条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的必要条件是________．

充分条件：可导函数()yfx在0xx处取得极值的充分条件是()fx在0xx两侧异号．

3．函数极值的求法

一般地，求函数()yfx的极值的方法是：

解方程()0fx．当0()0fx时：

（1）如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是________；

（2）如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是_________．

K知识参考答案：

1．()0fx ()0fx ()0fx ()0fx

2．0()0fx

3．极大值 极小值

K—重点 利用导数求函数极值的方法

K—难点 函数极值的应用

K—易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位

求函数的极值

（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0fx的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．

（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．

已知函数323()31fxaxxa（aR且0a），求函数()fx的极大值与极小值．