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人教版高中数学1-1选修3.2导数的计算教案

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导数的计算

【知识要点】

一．导数概念：

(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，定义1212)()(xxxfxf为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．换言之，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数f(x)相应地有增量f(x0＋x)－f(x0)，则比值xxfxxf)()(00就叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋x之间的平均变化率．

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是xxfxxfx)()(lim000，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000.

(3)函数y＝f(x)的导函数(导数)：当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0.

二 ．导数的几何意义：

函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f(x0)．

三．导数的运算：

(1)几种常见函数的导数：

①(C)′＝0(C为常数)；

②(xn)′＝nxn－1(x＞0，n∈Q*)；

③(sinx)′＝cosx；

④(cosx)′＝－sinx；

⑤(ex)′＝ex；

⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；

⑦xx1)(ln；

⑧exxaalog1)(log(a＞0，且a≠1)．

(2)导数的运算法则：

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；

②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③)0)(()()()()()(])()([2xvxvxvxuxvxuxvxu. (3)简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数：

设函数y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(u)＝f[g(x)]称为复合函数．其求导步骤是：xy＝uf·xg，其中uf表示f对u求导，xg表示g对x求导．f对u求导后应把u换成g(x)．

【典型例题】

例1 求曲线122xxy在点)1,1(处的切线方程.

回顾导数的几何意义:

函数)(xfy在0x处的导数就是曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线的斜率.

解: 略

例2 曲线运动方程为2221ttts,求3t时的速度.

回顾导数的物理意义:

瞬时速度是位移函数)(ts对时间t的导数:)(')(tstv.

解: 略

例3已知抛物线cbxaxy2通过点)1,1(,且在点)1,2(处与直线3xy相切,求cba,,的值.

【随堂练习】

1 求下列函数的导数：

(1)y＝(x＋1)(x2－1)； (2)11xxy；

(3)y＝sin2x； (4)y＝ex·lnx．

2．求下列函数的导数：

(1)y＝x－ex； (2)y＝x3＋cosx；

(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)xxyln

3．(tanx)′等于( )

(A)x2sin1 (B)x2sin1 (C)x2cos1 (D)x2cos1

4．设f(x)＝xlnx，若f '(x0)＝2，则x0等于( )

(A)e2 (B)e (C)22ln (D)ln2

5．f '(x)是1231)(3xxxf的导函数，则f '(－1)＝______．

6．若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f '(1)＝______．

7．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．

8．设函数f(x)＝xekx(k≠0)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______．

9设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f '(x)的最小值为－12．求a，b，c的值．

10．曲线xy21e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

(A)2e29 (B)4e2 (C)2e2 (D)e2

6 (1)求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程.

(2)过点(1，－3)作曲线y＝x2的切线，求切线的方程．

10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，1)，B(2，－1)，且该曲线在点B处的切线方程为y＝x－3，求a、b、c的值

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人教课标版(B版)高中数学选修1-1导学案：导数公式表、导数的四则运算法则

人教课标版(B版)高中数学选修1-1导学案：导数公式表、导数的四则运算法则

1 / 3 3.2.2导数公式表

3.2.3导数的四则运算法则

学习目标

1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；

2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：常见函数的导数公式：

0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos； ()ln(0)xxaaaa；()xxee；

1()(0,lnlogaxaxa且1)a；1(ln)xx.

复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数

（1）6yx

（2）yx

（3）21yx（4）431yx

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数

新知：[()()]()()fxgxfxgx

[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx

2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx

试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323yxx的导数.

2 / 3 ※ 典型例题

例1．

1. 求多项式函数f（x）=2x5+3x4-4x3+5x2-6x+7的导数；

2. 求y=xsinx的导数；

3. 求y=sin2x的导数；

4. 求y=tanx的导数.

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）323yxx

（2）y ＝xx1111；

（3）y ＝x · sin x · ln x；

（4）y ＝xx4；

（5）y ＝xxln1ln1．

（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex

（7） y ＝xxxxxxsincoscossin

小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.

※ 动手试试

练1. 求下列函数的导数：

人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》教案

人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》教案

导数及其应用复习

【知能目标】

1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]

1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.

[教学重点和难点]

教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用

【综合脉络】

1.知识网络

2.考点综述

有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]

一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数

高中数学人教版函数与导数教案

高中数学人教版函数与导数教案

高中数学人教版函数与导数教案

【高中数学人教版函数与导数教案】

导数是高中数学中的重要概念，它在函数研究、求极限、优化问题等方面具有广泛的应用。为了帮助学生更好地理解函数与导数的概念与性质，下面将提供一份教案，以便教师在课堂上进行教学。

一、教学目标

通过本节课的学习，学生应能够：

1. 理解函数的定义和性质；

2. 掌握导数的定义和计算方法；

3. 理解函数的导数与函数在某点的变化率的关系；

4. 运用导数求函数的极值和判断函数的单调性。

二、教学内容

1. 函数的定义和性质

- 函数的定义：函数是一个将自变量与因变量对应的规律。

- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 导数的定义和计算方法

- 导数的定义：函数 f(x) 在点 x 处的导数表示函数在该点的瞬时变化率。 - 导数的计算方法：函数的导数公式、初等函数的导数、基本初等函数的导数。

3. 函数的导数与函数在某点的变化率

- 导数与函数的变化率：导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。

4. 导数的应用

- 导数在求函数的极值时的应用；

- 导数在判断函数的单调性时的应用。

三、教学步骤

本节课的教学将分为以下步骤进行：

1. 引入函数与导数的概念，并与学生一起讨论函数的定义和性质；

2. 介绍导数的定义和计算方法，并通过示例进行讲解；

3. 探讨函数的导数与函数在某点的变化率之间的关系，并进行实例分析；

4. 演示导数在求函数的极值和判断函数的单调性时的应用；

5. 练习训练，让学生通过练习巩固所学知识；

6. 总结本节课的重点内容，梳理学生的疑问并解答。

四、教学工具及资源

1. 教学PPT：以图文并茂的方式呈现知识点和实例； 2. 教材：高中数学人教版教材，其中有相关的教学案例；

3. 教具：白板、彩色笔。

五、教学评估

1. 课堂讨论：通过与学生的互动讨论，评估学生对函数与导数的理解程度；

2. 练习题：布置一些练习题，检验学生对导数的计算和应用能力。

高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算

高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算

3.2 导数的计算

[教材研读]

预习课本P81～85，思考以下问题

1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12 的导数是什么？

2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？

[要点梳理]

1．基本初等函数的导数公式

2.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．y＝1x，y＝x，y＝x2等求导函数，都可以看成y＝xα(α∈Q*)，并用其导数公式求导．( )

2．y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为12.( )

3．f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的方程为x－y＋1＝0.( )

[答案] 1.√ 2.√ 3.√

题型一 利用导数公式求函数的导数

思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？

提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．

求下列函数的导数：

(1)y＝10x；

(2)y＝lgx；

(4)y＝4x3；

(5)y＝sinx2＋cosx22－1.

[思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．

[解] (1)y′＝(10x)′＝10xln10.

(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.

(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1

＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx. (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．