FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间干扰

９４收稿日期:2010-12-25作者简介:郭桂香(1963-),讲师,主要研究方向为机械工程及其自动化。

改进的FFT 在电能质量监测系统中的应用郭桂香(江西理工大学应用科学学院机电工程系 江西赣州，341000)摘　要：随着社会的发展，电能质量问题越来越受到关注。

可以及时、详细、精确地掌握电力系统电网的电能质量状况，正确、合理地评估电网的电能质量水平显得尤为重要。

本文采用改进的ＦＦＴ　对电力系统谐波进行分析，同时采取加窗、插值修正算法等配套措施，可以防止频谱泄漏，实时精确地计算谐波频率相位和幅值。

仿真结果验证此方法的可行性。

关键词：快速傅里叶变换；电能质量；谐波分析；频谱Abstract: With the development of the society , the problem of power quality has been become more and more concerned. Can be timely and correctly grasp the grid power quality power system status, and correctly and reasonably assess the level of the grid power quality is particularly important. In this paper, the improved FFT was applied in the analysis of power system,while taking additional windows interpolated and other supporting measures to prevent spectral leakage, and it canaccurately calculate the phase and amplitude of harmonic frequencies in real-time. Simulation results show the feasibility of the method.Key words: FFT ; Power quality ; Analysis of harmonic ; Spectrum中图分类号：ＴＭ９３１ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１００１－９２２７（２０１１）０２－００９４－０２０ 引　言电能质量的稳定性和安全性问题，需要通过其各项指标的显示来进行判断。

数字信号处理实验报告实验二应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析2011年12月7日一、实验目的1、通过本实验，进一步加深对DFT 算法原理合基本性质的理解，熟悉FFT 算法 原理和FFT 子程序的应用。

2、掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。

3、通过本实验进一步掌握频域采样定理。

4、了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。

二、实验原理与方法1、一个连续时间信号)(t x a 的频谱可以用它的傅立叶变换表示()()j t a a X j x t e dt +∞-Ω-∞Ω=⎰2、对信号进行理想采样，得到采样序列()()a x n x nT =3、以T 为采样周期，对)(n x 进行Z 变换()()n X z x n z +∞--∞=∑4、当ωj ez =时，得到序列傅立叶变换SFT()()j j n X e x n e ωω+∞--∞=∑5、ω为数字角频率sT F ωΩ=Ω=6、已经知道：12()[()]j a m X e X j T T Tωωπ+∞-∞=-∑ ( 2-6 )7、序列的频谱是原模拟信号的周期延拓，即可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。

（信号为有限带宽，采样满足Nyquist 定理）8、无线长序列可以用有限长序列来逼近，对于有限长序列可以使用离散傅立叶变换（DFT ）。

可以很好的反映序列的频域特性，且易于快速算法在计算机上实现。

当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅里叶变换为：1()[()]()N knN n X k DFT x n x n W-===∑ 其中2jNN W eπ-=，它的反变换定义为：101()[()]()N knN k x n IDFT X k X k W N --===∑比较Z 变换式 ( 2-3 ) 和DFT 式 ( 2-7 )，令kN z W -=则1()()[()]|kNN nkN N Z W X z x n W DFT x n ---====∑ 因此有()()|kNz W X k X z -==k N W -是Z 平面单位圆上幅角为2kNπω=的点，也即是将单位圆N 等分后的第k 点。

FFT（Fast Fourier Transform）是一种常用的频谱分析方法，它可以将时域信号转换为频域信号，并且在工程实践中具有广泛的应用。

然而，在进行频谱分析时，人们常常会遇到一些问题，比如频谱泄漏、频谱分辨率不足等。

其中，栅栏效应是频谱分析中的一种常见问题，它会对频谱分析结果造成一定的影响。

为了解决栅栏效应带来的问题，人们提出了一些修正方法，本文将对FFT频谱、栅栏效应以及其修正方法进行探讨。

一、FFT频谱分析1. 时域信号与频域信号时域信号是指随着时间变化而变化的信号，比如声音信号、振动信号等。

频域信号是指信号在频域上的表现，它可以展现出信号的频率成分、幅度大小等信息。

FFT可以将时域信号转换为频域信号，从而方便对信号的频率成分进行分析。

2. FFT算法原理FFT算法是一种快速计算离散傅里叶变换的算法，它可以高效地计算出时域信号的频率成分。

在工程实践中，FFT算法被广泛应用于信号分析、滤波器设计、通信系统等方面。

3. 频谱分辨率频谱分辨率是指能够区分两个不同频率成分的最小频率间隔，它决定了频谱分析的精度。

频谱分辨率越高，表示能够更准确地区分各个频率成分，对于频域信号的分析非常重要。

二、栅栏效应1. 栅栏效应的定义在进行频谱分析时，人们通常会使用FFT算法对时域信号进行频谱分析。

然而，当信号的周期与FFT窗口的周期不一致时，就会出现栅栏效应。

栅栏效应表现为频谱中出现虚假的频率成分，从而影响了频谱分析的准确性。

2. 栅栏效应的产生原因栅栏效应的产生主要是由于时域信号的周期与FFT窗口的周期不一致所导致的。

当时域信号的周期无法被FFT窗口整除时，就会出现栅栏效应。

这是因为FFT算法是将时域信号周期性延拓后再进行频谱分析的，如果时域信号的周期与FFT窗口的周期不一致，就会导致频谱分析结果出现偏差。

3. 栅栏效应的影响栅栏效应会使频谱分析结果出现虚假的频率成分，从而影响对信号频率成分的准确分析。

对信号作FFT的一般分析栅栏效应和频谱泄露栅栏效应：离散采样，数字处理造成对频谱的观察只能在有限点上，好像透过栅栏观察景物一样；频谱泄露：对信号的截断加窗，有限时间的信号在频谱上造成一定宽度频谱，从而造成在频谱的其它频率点上出现不应有的谱峰。

采样加窗后实正弦信号的频谱：FFT得到的结果：注意信号的相位z FFT的结果是矢量，有相位信息，但是我们使用更多的是幅度信息，对相位信息容易忽略；z各个信号频率分量的相位决定着信号在时域的具体波形；z FFT频谱中相同频率点上的值是矢量叠加的整数频点采样问题FFT的物理分辨率是采样率 / 采样点数，如果所分析的信号频率为该值的整数倍，那么通过“栅栏”对频谱观察时可以正好看到信号频谱的实在位置，并且观察到sinc函数的过零点（如果补零，要求信号频率为名义分辨率倍数）。

看一下演示：左边各图：1000MHz采样，1000点数据，不同点FFT（末尾补零），10MHz 正弦信号分析右边各图：1000MHz采样，1000点数据，不同点FFT（末尾补零），10.5MHz正弦信号分析1000点FFT8000点FFT8192点FFT一个实例----我的本科毕业设计@2004.Spring功能：测量两路同频率正弦信号的相位差，频率。

原理：对信号采样，在FPGA中进行浮点FFT运算，分别求得两路信号在本次采样过程中的起始相位，再求两相位之差，即为两信号相位差，结果送PIC单片机整理，再显示在LCD上。

图示说明：系统带有幅度，相位差，频率可控的双路DDFS信号发生电路，可用于自闭环测试，评估对系统的性能。

图示为系统对两路486Hz，相位差90度的正弦模拟信号采样分析的结果（包括时域采样波形，频率，相位差），可见FFT对信号的相位分析具有相当高的精度。

分析sinc函数z连续Sinc函数的过零点位置是N/t, N=1,2,3…,或-1，-2，-3，t是矩形脉冲宽度；z离散sinc函数的过零点在k * N/n, k=1,2,3…, 其中N是数据总点数，n是数据不为0的点数，即过零点周期是占空比的倒数，但是极限是占空比50%的情况（占空比20%和80%的数据过零点周期相同，只是直流分量不同，对应频率分量的相位为相反数）。

傅里叶变换频率泄漏
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域（时域）的连续信号转换为频域的信号，这样可以从信号的频率分布来分析信号的特性。

然而，傅里叶变换在实际应用中存在频率泄漏问题。

频率泄漏是指当信号的频率不是严格符合傅里叶变换的离散频率点时，傅里叶变换结果中会出现额外的频率分量，这些分量来源于原信号与离散频率点之间的插值效应。

频率泄漏会导致对信号频率的分析产生误差，特别是对于窄带信号或含有多个频率成分的信号。

常见的频率泄漏情况包括：
1. 窗函数导致的泄漏：在傅里叶变换时，信号通常会乘以一个窗函数以限制信号的时间范围。

然而，窗函数会导致信号在频率域上的光谱形状变化，从而引入频率泄漏。

2. 频谱分辨率限制引起的泄漏：傅里叶变换是基于有限时间窗口的信号的，因此无法精确地解析频率。

当信号频率与离散频率点之间的差距很小时，傅里叶变换结果会产生泄漏。

为减少频率泄漏，并提高傅里叶变换的精度，可以采取以下措施：
1. 使用合适的窗函数：选择合适的窗函数可以减少频率泄漏，常见的窗函数包括汉宁窗、布莱克曼窗等。

2. 增加信号采样点数：增加采样点数可以提高频域分辨率，减少泄漏效应。

3. 使用高分辨率的傅里叶变换方法：如快速傅里叶变换（FFT）、最小二乘傅里叶拟合（LSFT），这些方法可以提
高变换的精度。

总之，频率泄漏是傅里叶变换中的一个常见问题，需要采取适当的措施和方法来减少泄漏效应，保证信号频率分析的准确性。

实验报告一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。

本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。

通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(ejω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。

二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。

2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。

对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。

2-3-1 观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。

2-3-2 分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3 思考X(k)与X(e jω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。

三、主要仪器设备MATLAB编程。

四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理clc;clf;clear;%清除缓存%第一组数据的MATLAB程序（之后几组只需要将参数改变即可） T=0.000625;length=32;n=0:length-1;t=0:0.0001:31;%原序列和采样序列xn=sin(2*pi*50*n*T);xt=sin(2*pi*50*t);%画第一幅图（原序列和采样序列）figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('xt');axis([0,0.2,-1.1,1.1]);title('原序列时域');subplot(2,1,2);stem(n,xn ,'filled');xlabel('n');ylabel('xn');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样后序列时域');%画第二幅图（采样序列实部、虚部、模和相角）figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,real(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('real(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的实部');subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('imag(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的虚部');subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('abs(xn)');axis([0,length,-1.1,1.1]);title('采样序列的模');subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn) ,'filled');xlabel('n');ylabel('angle(xn)');axis([0,length,-(pi+0.5),pi+0.5]);title('采样序列的相角');%计算DFTDFT=fft(xn,length);%画第三幅图（DFT的幅度、实部和虚部）figure(3);subplot(3,1,1);stem(n,abs(DFT) ,'filled');xlabel('k');%DFT后的频域变量为kylabel('abs(DFT)');title('DFT 幅度谱');subplot(3,1,2);stem(n,real(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('real(DFT)');title('DFT的实部');subplot(3,1,3);stem(n,imag(DFT) ,'filled');xlabel('k');ylabel('imag(DFT)');title('DFT的虚部');六、实验结果与分析实验结果：第一组数据：实验名称：DFT/FFT的应用之一 确定性信号谱分析姓名：张清学号：3110103952 P.4第二组数据：第三组数据：第四组数据：第五组数据：第六组数据：6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。

学生实验报告2020 —— 2021 学年第 1学期实验课程数字信号处理实验地点主教414学院电子信息工程学院专业通信工程学号姓名实验项目基于FFT谱分析中的误差分析及处理实验时间10.20 实验台号预习成绩报告成绩一、实验目的1.在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

3.了解应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法。

二、实验原理对非周期序列进行频谱分析应注意的问题1、混叠三、预习内容1.混叠，泄漏，栅栏效应的概念2.应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法3.应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法4．傅里叶变换的相关性质四、实验内容（一）完成如下实验内容的学习和调试1. 对有限长序列进行谱分析（2）将上述有限长序列x(n)[1,2,3,2,1]末尾补零到N=1000点，使用FFT计算其频谱。

2. 对无限长序列进行谱分析用FFT进行无限长序列的频谱分析，首先要将无限长序列截断成一个有限长序列。

序列长度的取值对频谱有较大的影响，带来的问题是引起频谱的泄漏和波动。

已知一个无限长序列为, x(n)=0(n＜0),采样频率Fs=20Hz，要求用FFT求其频谱。

3. 对模拟信号进行谱分析（一）用FFT计算下列连续时间信号的频谱，并观察选择不同的Ts和N值对频谱特性的影响。

（二）记录实验图形结果并结合基本原理，理解每一条语句的含义；（三）讨论有限长序列谱分析时增加分辨率的措施和方法；（四）谈论连续信号谱分析时不同时域采样频率及点数N不同时对频谱分析的影响；（五）对模拟信号进行谱分析，选择采样频率Fs=64Hz，变换区间长度N分别取8、32和64，用FFT分析其频谱。

记录结果并对比、分析和讨论。

五、实验步骤Fs=10;xn=[1,2,3,2,1];N=length(xn);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X),'o:');title('幅度频谱');xlabel('rad/s');subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X),'o:');title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=10;N=1000;xn=[1,2,3,2,1];Nx=length(xn);xn=[1,2,3,2,1,zeros(1,N-Nx-1)];D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X)); title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X)); title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=20;C=[8,16,128];for r=0:2;N=C(r+1);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(3,2,2*r+1); plot(k*D,abs(X));axis([-80,80,0,3]);subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X));axis([-80,80,-1,1]);endT0=[0.5,0.25,0.125,0.125];N0=[256,256,2048,2048];for r=1:4;Ts=T0(r);N=N0(r);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi/(N*Ts);xa=exp(-0.01*n*Ts).*(sin(2*n*Ts)+sin(2.1*n*Ts)+sin(2.2*n*Ts)); k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);Xa=Ts*fftshift(fft(xa,N));[r,Xa(1)]subplot(2,2,r);plot(k*D,abs(Xa));axis([1,3,1.1*min(abs(Xa)),1.1*max(abs(Xa))]);end六、总结分析1.离散时间信号的FFT变换，其频谱是以抽样点数N为周期的周期延拓2.当N2为N1的整数倍时，以为抽样点数的抽样的图形就是在以为抽样点数的抽样图形的每两个点之间插入N2/N1个点的谱图形。

实验二 应用FFT 对信号进行频谱分析一、 实验目的1、加深对离散信号的DTFT 和DFT 的及其相互关系的理解。

2、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT 算法及其程序的编写。

3、熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。

4、了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。

二、 实验原理与方法一个连续信号x a (t)的频谱可以用它的傅里叶变换表示为 Xa^(j Ω)=∫+∞-∞ x a(t)e -j Ωt dt 如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列：x(n)=X a (nT)同样可以对该序列进行Z 变换，其中T 为采样周期X(z)= ∑+∞-∞=n x(n)z -n当Z=ejw 的时候，我们就得到了序列的傅里叶变换X （e jw）=∑+∞-∞=n x(n)e -jwn其中ω称为数字频率，它和模拟域频率的关系为ω=ΩT=Ω/f s式中的是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率的归一化。

同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频谱。

离散傅里叶变化为：X （k ）=DFT[x(n)]=∑-=1n N W N kn其中W N kn =e -j2π/N它的反变换定义为：x(n)=IDFT[X(k)]=1/N ∑-=1k )(N k X W N-kn可以得到X(z) │z=e -i2π/N k=DFT[x （n ）]DFT 是对傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。

在运用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差，混淆现象，泄露现象，栅栏效应。

三、实验内容及步骤1、观察高斯序列的时域和频域特性>> n=0:15;>> p=8;q=2;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>> close all>> subplot(3,1,1);stem(abs(fft(x)))p=8;q=4;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>> subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x)))>> n=0:15;p=8;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/p);close allsubplot(3,1,1);stem(abs(fft(x)));p=13;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);subplot(3,1,2);stem(abs(fft(x)));p=14;q=8;x=exp(-1*(n-p).^2/q);>> subplot(3,1,3);stem(abs(fft(x)));2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性产生衰减正弦序列及其幅度谱和相位谱（f=0.0625）>> n=0:15;>> a=0.1;f=0.0625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);>> subplot(3,1,1);stem(n,x);title('衰减正弦序列');>> X=fft(x);>> magX=abs(X);>> subplot(3,1,2);stem(magX);title('衰减正弦序列的幅度谱'); >> angX=angle(X);>> subplot(3,1,3);stem(angX);title('衰减正弦序列的相位谱');产生衰减正弦序列及其幅度谱和相位谱（f=0.4375）>> a=0.1;f=0.4375;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);>> subplot(3,1,1);stem(n,x);title('衰减正弦序列');>> X=fft(x);>> magX=abs(X);>> subplot(3,1,2);stem(magX);title('衰减正弦序列的幅度谱'); >> angX=angle(X);>> subplot(3,1,3);stem(angX);title('衰减正弦序列的相位谱');产生衰减正弦序列及其幅度谱和相位谱（f=0.5625）>> a=0.1;f=0.5625;x=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);>> subplot(3,1,1);stem(n,x);title('衰减正弦序列');>> X=fft(x);>> magX=abs(X);>> subplot(3,1,2);stem(magX);title('衰减正弦序列的幅度谱'); >> angX=angle(X);>> subplot(3,1,3);stem(angX);title('衰减正弦序列的相位谱');3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性>> for i=1:4x(i)=i;end>> for i=5:8x(i)=9-i;end>> close all;subplot(2,1,1);stem(x);>> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)));>> for i=1:4x(i)=5-i;end>> for i=5:8x(i)=i-4;end>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,16)))>> for i=1:8x(i)=i;end>> for i=9:16;x(i)=17-i;end>> for i=17:22;end>> close all;subplot(2,1,1);stem(x); >> subplot(2,1,2);stem(abs(fft(x,22)))四、思考题1、实验中的信号序列x c(n)和x d(n)，在单位圆上的Z变换频谱X c(e jw)和X d(e jw)会相同吗？如果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？为什么？答：不相同。

连续信号频谱分析及误差研究黎小琴 乔闹生 曹斌芳（湖南文理学院物理与电子科学学院，湖南 常德 415000）【摘 要】实际中持续时间无限长信号或非带限信号，需要对信号进行预处理。

由预处理和离散傅里叶变换DFT 近似拟合得到连续信号频谱，会产生频谱混叠、栅栏效应和截断效应。

本文分析了DFT 进行连续信号频谱分析的原理和步骤，分析了上述过程产生误差的原理和相应的解决对策，用理论和实例论证了如何合理选择分析参数，平衡频率分辨率和误差效应。

【关键词】离散傅里叶变换 频谱分析 频谱混叠 栅栏效应 截断效应1前言离散傅里叶变换(DFT)是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，便于计算机处理。

另外，DFT 有多重快速算法FFT ，能够简化设备，实时处理信号。

工程实际中，经常遇到频谱函数也是连续函数的连续时间信号。

显然，直接使用傅里叶变换对这类信号进行谱分析不能直接用计算机进行计算。

而利用DFT 对连续信号和序列进行谱分析，为解决数字滤波和系统分析等问题打下基础。

事实是用DFT 进行谱分析必然是近似的，会出现频谱混叠、栅栏效应、泄露和谱间干扰等误差。

本文重点阐述利用DFT 进行连续信号频谱分析的原理、步骤，以及产生误差的原因和相应的解决办法。

2谱分析原理用DFT 对连续信号进行谱分析，就是要找到DFT 与信号傅里叶变换之间的关系。

设连续信号x a (t)持续时间为T P ，最高频率为fc 。

对信号进行DFT 谱分析的原理如下：（1）对x a (t)进行采样得x(n)=x a (nT),观察时间T p ，共采得M 个点。

采样间隔，CF T 21≤采样频率。

CS F T F 21≥=（2）对x a (t )的傅里叶变换做零阶近似((t=nT ，dt=T)，得：式(1)（3）对X(jf)一个周期[0,fs]等间隔采样N 点，采样间隔为,F 又称为频域分辨率。

将f=kF 带入式(1)得：式(2)令)()(jkF X k X a =,有:式(3)式(3)说明，得到连续信号的频谱特征可以通过采集连续信号，并进行DFT 再乘以T 的近似方法。

频谱泄露和栅栏效应
频谱泄露是指信号在频域上的能量泄漏到邻近频率的现象。

当对一个信号进行傅里叶变换时，由于信号是有限长度的，不可避免地会导致频谱的泄露。

泄露的程度取决于信号的时域特性和采样参数等因素。

频谱泄露会导致在频谱中生成额外的干扰分量，降低了信号的准确度和分辨率。

这在许多领域中都是不可忽视的问题，例如音频信号处理和无线通信等。

栅栏效应是在数字信号处理中，频谱泄露导致频谱图中出现的虚假频率峰。

这种现象被称为栅栏效应，是由于频谱泄露造成的。

栅栏效应会使得原本不存在的频率成分出现在频谱中，给信号分析和处理带来困扰。

为了减轻频谱泄露和栅栏效应的影响，可以采取一些措施，例如增加采样频率、加窗、零填充等。

这些方法可以较好地抑制频谱泄露，提高信号的准确度和分辨率。

通过MATLAB处理实验数据分析频谱混叠、泄露以及栅栏效应产生的原理一：试验目的了解标准源与电力参数分析仪的组成与连接，完成电压信号数据采集及其参数分析。

二：实验原理（1）标准源：一种能提供各种频率、波形和输出电平电信号的设备。

在测量各种电信系统或电信设备的振幅特性、频率特性、传输特性及其它电参数时，以及测量元器件的特性与参数时，用作测试的信号源或激励源。

（2）NI采集卡以一定的采样频率将来自于标准源的信号进行数字处理的捕获设备，并输入电力参数分析仪中，还可以将采集到的数据保存到excel中供后续分析处理。

（3）傅里叶变化计算频率，幅值，相角的原理A:假设有一个丰富频率的信号，在FFT后不考虑栅栏因素和分辨率以及频谱泄露的问题时，频谱图上理想情况应该是对应频率点上有对应的频谱线，这条频谱线来源：做fft时得到一系列的复数（X(k),k=0,1,2,,N-1），这条谱线若是第n个频率（n指0-Fs以分辨率得到的序号），则谱线的高度就是X(n)的模。

该复数的角就是这个频率的相角，这个频率也即是对应频率的信号。

B：若已知采样点N，采样率Fs,则(频谱图上)分辨率是Fs/N.三：MATLAB程序代码N=1024;%采样点数n=0:N-1;fs=6400;%采样频率b=fft(a);%进行fft变换subplot(2,1,1);plot(n/fs,a);%画出时域信号图hold on;stem(n/fs,a);subplot(2,1,2);plot(n/N*fs,abs(b)*2/N);%画频域信号图stem(n/N*fs,abs(b)*2/N);[m1, I]=max(b(1:512));%求出频谱最高的下标p1=angle(b(I))*180/pi;%求出相应的相位I=(I-1)/N*fs;%换算出频率值[m2, i]=max(b(513:1024));%由于fft的周期延拓性，求出分界处对称的下标p2=angle(b(512+i))*180/pi;%求出相应的相位pj=(p1+p2)/2;%求出总相位m=(abs(m1)+abs(m2))/N;%求幅值i=513-i;%换算成真实下标i=i/N*fs;%求出频率值f=(I+i)/2;%两次取平均四：程序运行后生成的图像由这两幅图形可以看出，在频域中信号的最大幅值=4.23，对应的频率f=50HZ,相位为0.五：实验心得通过这次实验对fft的理解更加深刻，对fft计算时产生的频谱混叠、泄露以及栅栏效应的原因也了解的更加清晰，还有对MATLAB 的运用也更加熟练，收获挺多的。

频谱泄露和栅栏效应
频谱泄露（Spectral Leakage）是指在进行离散傅立叶变换（DFT）或快速傅立叶变换（FFT）等频谱分析时，由于信号
不是完全周期的或者信号窗口不起作用等原因，导致信号的频谱泄露到相邻频率上的现象。

频谱泄露会导致原始信号的频谱图与实际频谱有所偏差，使得某些频率成分的能量被分散到相邻的频率上，影响频率分析的准确性。

特别是对于低频信号或者窄带信号，频谱泄露问题更加显著。

栅栏效应（Scalloping Effect）是频谱泄露的一种特殊形式，它在频谱图上表现为频率分量之间出现隔离的栅栏状结构。

栅栏效应是由于在信号窗口边界上进行截断造成的，可以看做是频谱泄露的一种形式。

栅栏效应会导致频谱分析的主瓣宽度变宽，频率分辨率下降，从而使得相邻频率成分之间难以区分。

栅栏效应也会干扰谱图的峰值测量和频率估计。

为了减少频谱泄露和栅栏效应的影响，可以使用窗函数来对信号进行加窗处理。

常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等，选择合适的窗函数可以使信号频谱的泄露和栅栏效应得到一定程度上的缓解，提高频谱分析的准确性。

20090401310074 海南大学实验二 应用FFT 对信号进行频谱分析一、实验目的1、进一步加深DFT 算法原理和基本性质的理解(因为FFT 只是DFT 的一种快速算法， 所以FFT 的运算结果必然满足DFT 的基本性质)。

2、学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。

二、实验原理i.模拟信号频率Ω和采样得到的数字信号频率ω的关系：/s T f ω=Ω=Ωii.DTFT 与对应的理想采样信号的频谱之间的对应关系为：|^()()jw a T X j X e ω=ΩΩ=即DTFT 与FT 的关系为：12()[()]j a r X e X j r T T Tωωπ∞=-∞=-∑就是说，只要知道了采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。

(满足耐奎斯特采样定理)iii.DFT 是对离散时间序列的频域采样，是对ZT 上单位圆上的均匀采样，或者是DTFT 上[0,2]π的等间距采样。

当满足频域的采样定理时，便可以由频域的采样值恢复ZT 或者是DTFT 。

所以能用DFT 对信号进行频谱分析。

当采样的点数足够时，便能用它的包络作为模拟信号的近似谱。

近似的过程中，可能会有混叠现象，泄露现象和栅栏效应这三种误差。

iv.离散傅立叶变换DFT ：10()(),0,1,2...,1N nkN n X k x n W k N -===-∑[]101()()(),0,1,2...,1N nkN n x n IDFT X k X k W n N N --====-∑反变换与正变换的区别在于N W 变为1-N W ，并多了一个N 1的运算。

因为N W 和1-N W 对于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此借助FFT 来实现IFFT.三、实验内容和结果：1. 高斯序列的时域和频域特性：高斯序列的时域表达式：2(),015()0,n p q a e n x n -⎧⎪≤≤=⎨⎪⎩其它i. 固定参数p=8,改变参数q 的值，记录时域和频域的特性如下图。

实验三：离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质。

2．熟悉离散时间序列的3种表示方法：离散时间傅立叶变换（DTFT）,离散傅立叶变换（DFT）和Z变换。

二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：< > .* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数：angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x[n]的离散傅立叶变换。

此函数有两种形式：y=fft(x)y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。

当n取2的整数幂时变换的速度最快。

通常取大于又最靠近x的幂次。

（即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length(x))得到最合适的n)。

当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。

当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。

一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。

注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1：fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。

考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号，受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。

通过fft函数来分析其信号频率成分。

t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hzx=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+1.5*rand(1,length(t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2,1,1);plot(x(1:50));%画出时域内的信号y=fft(x,512);%对x进行512点的fftf=1000*(0:256)/512;%设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率subplot(2,1,2);plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t)=cos(200πt)+sin(100πt)+cos(50πt)用DFT分析x(t)的频谱结构。

数字信号处理课程中利用DFT分析模拟信号频谱的几个问题作者：刘会衡王正强宋立新来源：《计算机时代》2021年第06期摘要： DFT是数字信号处理课程中一种最重要的、应用最广泛的变换。

利用DFT可以分析模拟信号的频谱，但谱分析过程中存在频谱混叠、栅栏效应和截断效应等问题。

在改善这些问题的同时，需要注意高密度频谱和高分辨率频谱的区别。

通过Matlab仿真可以直观明了地观察到这些问题，能有效提高教学效果。

关键词： DFT; 谱分析; 数字信号处理; 模拟信号中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1006-8228（2020）06-13-04Abstract： The DFT （Discrete Fourier Transform） is one of the most important and widely used transformations in the course of digital signal processing. DFT can be used to analyze the spectrum of analog signal， but there are some problems in the process of spectrum analysis， such as spectrum aliasing， fence effect and truncation effect. When improving these problems， it is necessary to pay attention to the difference between high-density spectrum and high-resolution spectrum. Matlab simulation can directly and clearly observe these problems， which can effectively improve the teaching effect.Key words： DFT; spectrum analysis; digital signal processing; analog signal0 引言数字信号处理课程是电子信息类、自动化、机械工程等专业的一门重要专业基础课程[1]。

数字信号处理试卷答案完整版一、填空题：（每空1分，共18分）1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。

2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。

3、 某序列的DFT 表达式为∑-==10)()(N n knMW n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是Mπ2 。

4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。

系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。

5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。

6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Tω=Ω。

用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为)2tan(2ωT =Ω或)2arctan(2TΩ=ω。

7、当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ωϕωωj j e H eH =，则其对应的相位函数为ωωϕ21)(--=N 。

8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。

二、判断题（每题2分，共10分）1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。

燕山大学课程设计说明书题目:DFT栅栏效应分析目录一、摘要 (4)二、设计目的及分析 (5)三、理论原理知识 (6)3.1 DFT频谱分析原理 (6)3.2 栅栏效应 (8)3.3 分辨率 (10)四、MATLAB编程 (12)4.1 MATLAB软件简介 (12)4.2 标点符号与语句 (13)4.3 仿真程序 (13)4.4 仿真结果与分析 (14)五、心得体会 (17)六、参考文献 (18)一、摘要DFT是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换，适用于数值计算且有快速算法，是利用计算机实现信号频谱分析的常用工具。

本文介绍了利用DFT分析信号频谱的基本流程，重点阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施。

实例例举了MATLAB环境下频谱分析的实现程序。

通过与理论分析的对比，解释了利用DFT分析信号频谱时存在的频谱混叠，频谱泄露及栅栏效应，并提出相应的改进方法。

在满足时频采样的的条件下，可以通过对连续信号进行采样并进行DFT，来近似的反映连续信号的频谱特性。

由于DFT变换时需要进行时频采样和频域采样，因此这种近似必然带来频谱分析的一定误差。

本文主要对栅栏效应进行分析和减小。

二、设计目的及分析技术参数：信号中包含三种频率成分，分别是20HZ，20.5HZ，40HZ，采样频率为100HZ。

为了把三种频率分辨出来，对其进行栅栏效应分析。

首先，求出最小记录点数，易知是fs/（20.5-20）=200，因此当频域采样点数N>=200时，不出现栅栏效应，而当N<200时，会有栅栏效应误差出现。

为了更好的分析DFT栅栏效应，DFT分三种情况：在128点有效数据不补零情况下的分辨率，在128点有效数据且补零至512点情况下分辨率，在512点有效数据下分辨率。

然后比较三次仿真结果的异同，进而对其进行比较分析。

三、理论原理知识3.1 DFT 频谱分析原理所谓的信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。