原创 暑假 九年级 辅导班 第七节 一元二次方程(1-2)单元测验题

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间:90分钟分数:100分]一、选择题1.方程:① x2−13x =1，② 2x2−5xy+y2=0，③ 7x2+1=0，④ y22=0中，一元二次方程是( )．A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和③2.将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b(A ，B 为常数)的形式，则A ，B 的值分别是( )A . -4，21B . -4，11C . 4，21D . -8，693.把一元二次方程(x+3)2＝x(3x﹣1)化成一般形式，正确的是( )A . 2x2﹣7x﹣9＝0B . 2x2﹣5x﹣9＝0C . 4x2+7x+9＝0D . 2x2﹣6x﹣10＝04.m、n是方程x2−2019x+2020=0的两根，(m2−2020m+2020)⋅(n2−2020n+2020)的值是( )A . 2017B . 2018C . 2019D . 20205.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为( )A . -1或2B . -1C . 2D . 06.x=1是关于x的一元二次方程(a−2)x2−(a2+1)x+5=0的一个根，则A =( )A . -1B . 2C . -1或2D . 不存在7.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为()A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 38.已知x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为()A . 1B . 2C . 3D . 49.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为( )A . 74 B . 75C . 76D . 010.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程( )A . 300(1－x)2＝260B . 300(1－x2)＝260C . 300(1－2x)＝260D . 300(1＋x)2＝260二、填空题11.将方程x(x﹣2)＝x+3化成一般形式后，二次项系数为________.12.若m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2m﹣4m2的值为________.13.当x=________时，代数式x2−x与x-1的值相等.14.将一元二次方程ax2+bx+c=0，化为(x−m)2= b2−4ac4a2，则m为________．15.抛物线y=2x2+2(k−1)x−k( k为常数)与x轴交点的个数是________．16.已知x1，x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+A ＝0的两个实数根，x12﹣3x1x2+x22＝4，则A ＝________.17.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1，则另一个根是________．18.已知实数m、n满足x2−7x+2=0，则nm +mn的值________.三、计算题19.解方程:(1)2(x-2)²=18.(2)2x(x+3)-x-3=0四、解答题20.已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋1)x＋k＋3= 0有解，求k的取值范围.21.定理:若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=−m，x1x2=n，请用这一定理解决问题:已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)(x2+1)=8，求k的值.22.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．23.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.•如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.24.根据扬州市某风景区的旅游信息，A 公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元.A 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表答案与解析一、选择题1.解:① x2−13x=1不是一元二次方程;② 2x2−5xy+y2=0不是一元二次方程;③ 7x2+1=0是一元二次方程;④ y22=0是一元二次方程．综上:一元二次方程是③和④故答案为:C ．根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断即可．2.解: x2−8x−5=0移项得x2−8x=5，配方得x2−8x+42=5+16，即(x−4)2=21，∴A =-4，B =21．故答案为:A根据配方法步骤解题即可．3.解:由原方程，得x2+6x+9＝3x2﹣x，即2x2﹣7x﹣9＝0，故答案为:A .方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开，右边按照整式乘法展开，然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.4.解:∵m，n是方程x2−2019x+2020=0的两根，代入得:∴m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0∴m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:∴(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= (m2−2019m−m+2020)(n2−2019n−n+2020)将m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得:(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= mn根据韦达定理: mn=ca =20201=2020故答案为:D将m，n代入方程得到m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0从而得出m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020，再代入即可求解.5.解:把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0得:m－2+4－m2=0，－m2+m+2=0，解得:m1=2，m2=﹣1∵(m−2)x2+4x−m2=0是一元二次方程，∴m－2≠0，∴m≠2，∴m=−1，故答案为:B .首先把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值6.解:把x=1代入方程得:−a2+a+2=0解得a=−1或a=2又由于原方程二次项系数不为0即A -2≠0，所以A ≠2所以A =-1故答案为:A把x=1代入方程，解关于A 的一元二次方程，a=−1或a=2，因为原方程A -2≠0，所以a=−1．7.解:设方程另一个根为x1，∴x1+(﹣1)＝2，解得x1＝3．故答案为:D ．设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+(-1)=2，解此方程即可．8.解:∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，则原式＝﹣1﹣(﹣3)＝﹣1+3＝2.故答案为:B .根据韦一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2＝−ba =﹣1，x1x2＝ca=﹣3，代入计算可得.9. ∵ x 1 +x 2＝4，则x 1 +3x 2＝5，得x 1 +x 2+2 x 2＝5，2 x 2=5-4=1，x 2= 12,代入原方程得: (12)2−4×12+m=0,m=74故答案为A根据二次方程根与系数的关系求出两根之和，再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.10.由题意可得，元月份为300万元，2月份为300(1-x)，3月份为300(1-x)2=260故答案为:A根据平均降低率与月份的关系可列出方程。

人教版九年级数学《一元二次方程》单元测试题(含答案)人教版九年级数学《一元二次方程》单元测试题一、选择题（每题3分，共18分）：1.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的是（）A.x-2=(x+3)B.ax+bx+c=2C.x+2D.x-1=2改写为：下列关于X的方程中，是一元二次方程的是（）A.x-2=(x+3)B.ax+bx+c=2C.x+2D.x-1=22.x=2不是下列哪一个方程的解()A.3(x-2)=2B.2x-3x=2C.(x+2)(x-2)=23D.x-x+2=2改写为：下列哪一个方程的解不是x=2？A.3(x-2)=2B.2x-3x=2C.(x+2)(x-2)=23D.x-x+2=23.一元二次方程x-6x-5=配方可变形为()A.(x-3)=14B.(x-3)=42C.(x+3)=14D.(x+3)=42改写为：将一元二次方程x-6x-5配方可变形得到()A.(x-3)=14B.(x-3)=42C.(x+3)=14D.(x+3)=424.下列对一元二次方程要根的情况的判断,正确的是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.有且只有一个实数根.D.没有实数根.改写为：下列关于一元二次方程根的判断正确的是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.有且只有一个实数根.D.没有实数根.5.已知方程x+7x-1=的两个实数根为a,b,则代数式ab-a-b+1的值为()A.-7B.7C.9D.-9改写为：已知方程x+7x-1的两个实数根为a,b,则代数式ab-a-b+1的值为()A.-7B.7C.9D.-96.定义新运算，规定运算“★”是a★b=ab,如2★5=2´5，若3★x=36，则x为（）A.x=4,x=-4B.x=±4C.x=23,x=-23D.x=3,x=-3改写为：定义新运算，规定运算“★”是a★b=ab，若3★x=36，则x为（）A.x=4,x=-4B.x=±4C.x=23,x=-23D.x=3,x=-3二、填空题(每题3分，共18分）：7.一元二次方程3x(x-3)=2x+1化成一般形式为______。

九年级数学一元二次方程单元综合测试（Word 版 含答案）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB 与BC 的长；（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 长为10时运动时间t 的值；（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) AB ＝3，BC ＝4;(2) t ＝4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形.【解析】试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；（2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解.试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0∴1x ＝3或2x ＝4 .则AB ＝3，BC ＝4(2)由题意得()223t-310?+=（） ∴14t =，22t =(舍去)则t ＝4时，AP 10.(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形.①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4. 2234+＝5，CP 1＝12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51++ ＝9.5(秒)③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯，95PQ == ∴PC＝2PQ ＝185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形. 2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m =，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根， ()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m =>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.3．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216 【解析】【分析】 （1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82 ∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4；（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形，∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，∵BE=BE ，BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE2=AE 2，即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．4．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．5．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题6．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用7．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.8．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•GP，∴GP=16，∵△CPE与△PCQ是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，∴Q（10，﹣12），如图②作MN∥x轴，交EG于点N，EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG=9，EG=12，∴CE=15，∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =； ①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .（1）当BG =时，求AE 的长；（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =；（3）185BG =. 【解析】【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()()222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=.（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+（10-x ）2解得：x=345，∴DF=CH=GH=10-165，即BG=10-165×2=185，②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。

一元二次方程单元测试卷（考试时间：60分钟 满分：100分）班级 座号 姓名 成绩一、填空题：(共22分，第1小题4分，第2-8题每空格2分)1.把一元二次方程4)3(2=-x 化为一般形式是 ，其中二次项为： ，一次项系数为： ，常数项为：2.写出一个有一根为2=x 的一元二次方程．．．．．．_________ _____3.方程0162=-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是4.写出一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式为5.已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= , 另一根为6.若两数和为7，积为12，则这两个数是 。

7.直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是8.若关于x 的方程062=++kx x 的根是整数,则K 的值可以是 (只要求写出一个)二、选择题：(每小题3分，共18分)1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）（A ）()()1212+=+x x （B ）02112=-+x x（C ）02=++c bx ax （D ） 1222-=+x x x 2．使得代数式3x 2－6的值等于21的x 的值是( ) （A ）3 （B ）-3 （C ）±3 （D ）3±3．关于x 的一元二次方程02=-k x 有实数根，则（ ）（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤04．用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为( ) （A ）22()24p p x +=（B ）224()24p p q x -+= （C ）224()24p p q x +-=（D ）224()24p q p x --= 5．使分式242--x x 的值等于零的x 是( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）±2 （D ）±46．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( )（A ）x(x ＋1)＝1035 （B ）x(x －1)＝1035 （C ）21x(x+1)＝1035 （D ）21x(x-1)＝1035三、解答题：（60分）1．解下列方程：（36分）（1）x 2-49=0 （2）3x 2－7x ＝0（3）9)12(2=-x （4）0432=-+x x （公式法）（5）)4(5)4(2+=+x x （6）x 2＋4x ＝2 （配方法）2．（8分）如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.3．（8分）竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式h ＝v 0t －21gt 2，其中重力加速g 以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v 0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？4. （8分）阅读下面的例题：解方程022=--x x解：当x ≥0时，原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去）当x ＜0时，原方程化为x 2 + x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= - 2 请参照例题解方程0112=---x x附加题：（5分，可不计入总分）已知一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

九年级数学一元二次方程单元测试题一、选择题每小题3分，共30分1.下列方程中，关于x的一元二次方程是A.3x+12=2x+1B.1x2+1x-2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-12.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为A.x+12=6B.x-12=6C.x+22=9D.x-22=93.根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c=0a≠0，a，b，c为常数的一个解x的范围是 A.3C.3.244.解方程x+1x+3=5较为合适的方法是A.直接开平方法B.配方法C.公式法或配方法D.分解因式法5.湘西中考下列方程中，没有实数根的是A.x2-4x+4=0B.x2-2x+5=0C.x2-2x=0D.x2-2x-3=06.下列说法不正确的是A.方程x2=x有一根为0B.方程x2-1=0的两根互为相反数C.方程x-12-1=0的两根互为相反数D.方程x2-x+2=0无实数根7.烟台中考关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是A.-1或5B.1C.5D.-18.对二次三项式x2-10x+36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11;小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为A.小聪对，小颖错B.小聪错，小颖对C.他们两人都对D.他们两人都错9.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米，则可列方程为A.100×80-100x-80x=7 644B.100-x80-x+x2=7 644C.100-x80-x=7 644D.100x+80x=35610.泸州中考若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是二、填空题每小题4分，共20分11.柳州中考若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为______.12.若m+nm+n+5=6，则m+n的值是______.13.一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价______元.14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.15.已知关于x的方程x2-a+bx+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2;②x1x2三、解答题共50分16.12分解方程：1x2-4x-1=0; 2x2+3x-2=0;32x2+3x+3=0; 42x-12=x3x+2-7.17.8分小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.1要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪?2小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.18.8分南充中考已知关于x的一元二次方程x-1 x-4=p2，p为实数.1求证：方程有两个不相等的实数根;2p为何值时，方程有整数解.直接写出三个，不需说明理由19.10分观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2+x=0;第2个方程：x2-1=0;第3个方程：x2-x-2=0;第4个方程：x2-2x-3=0;…1第2 016个方程是____________________;2直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解;3说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.20.12分株洲中考已知关于x的一元二次方程a+cx2+2bx+a-c=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.1如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由;2如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由;3如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.参考答案1.A2.B3.C4.C5.B6.C7.D8.D9.C 10.B 11.-3 12.-6或1 13.6 14.3 15.①②16.1x1=5+2，x2=-5+2.2x1=-3+172，x2=-3-172.3∵a=2，b=3，c=3，∴b2-4ac=32-4×2×3=9-24=-15<0，∴原方程无实数根.4原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7，∴x2-6x+8=0.∴x-32=1.∴x-3=±1.∴x1=2，x2=4.17.1设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为10-xcm.由题意，得x2+10-x2=58.解得x1=3，x2=7.4×3=12，4×7=28.答：小林把绳子剪成12 cm和28 cm的两段.2假设能围成.由1得x2+10-x 2=48.化简得x2-10x+26=0.∵b2-4ac=-102-4×1×26=-4<0，∴此方程没有实数根.∴小峰的说法是对的.18.1证明：化简方程，得x2-5x+4-p2=0.Δ=-52-44-p2=9+4p2，∵p为实数，p2≥0，∴9+4p2>0，即Δ>0.∴方程有两个不相等的实数根.2当p为0，2，-2时，方程有整数解.19.1x2-2 014x-2 015=0 2第n个方程是x2-n-2x-n-1=0，解得x1=-1，x2=n-1.3这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是-1.20.1△ABC是等腰三角形.理由：∵x=-1是方程的根，∴a+c×-12-2b+a-c=0.∴a+c-2b+a-c=0.∴a-b=0.∴a=b.∴△ABC是等腰三角形.2∵方程有两个相等的实数根，∴2b2-4a+ca-c=0.∴4b2-4a2+4c2=0.∴a2=b2+c2.∴△ABC是直角三角形.3∵△ABC是等边三角形，∴a+cx2+2bx+a-c=0可整理为2ax2+2ax=0.∴x2+x=0.解得x1=0，x2=-1.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

初三数学一元二次方程单元测试题及答案1（范文）第一篇：初三数学一元二次方程单元测试题及答案1（范文）一元二次方程单元测试题(考试时间：90分钟满分：120分)一、填空题：(每小题3分，共60分)1.把一元二次方程化为一般形式是________________，其中二次项为：______，一次项系数为：______，常数项为：______.2.写出一个有一根为的一元二次方程___________________.3.已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为。

4.关于x一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是______。

5.已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1，则k=______，另一根为______.6.若两数和为-7，积为12，则这两个数是___________.7.直角三角形的两直角边的比是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是______.8.已知关于x的方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是9.已知x1 x是方程x-2x-1=0的两根，则2211xx2+1等于。

10.如果1x2-11—8=0，则的值是。

xx二、选择题：(每小题3分，共60分)11、下列方程中，关于x的一元二次方程是()(A)(C)(B)(D)12、已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x2-8x+7的两根，则此三角形的斜边长为（）A 3B 6C 9D 12有实数根，则()13．关于的一元二次方程(A)＜0(B)＞0(C)≥0(D)≤014．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为()(A)(C)(B)(D)15．使分式的值等于0的x的值是()A 2B-2C ±2D ±416、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）A、-1B、0C、1D、217、王刚同学在解关于x的方程x²-3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x1=1 x2=-4，则原方程的解为（）A x1=-1 x2=-4B x1=1 x2=4C x1=-1 x2=4D x1=2 x2=3 18．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()A x(x+1)=1035B x(x-1)=1035Cx(x+1)=1035Dx(x-1)=103519、某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）A 500（1+x2）=720B 500(1+x)2=720C 500(1+2x)=720D 720(1+x)2=500 20、一个面积为120的矩形苗圃，他的长比宽多2米，苗圃长是（）ABC 13D三、解答题：(60分)21．解下列方程：(20分)(1)(3)(4）x2+4x=2(2)22、（8分）已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.23．(8分)如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.24、(8分)竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t-gt2，其中重力加速度g以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？25、(8分)阅读下面的例题：解方程解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)；当x＜0时，原方程化为x2+ x-2=0，解得：x1=1，(不合题意，舍去)x2=-2；∴原方程的根是x1=2，x2=-2.请参照例题解方程26、（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，.为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调．．．．．．查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？第二篇：初三数学一元二次方程单元测试题及答案1一元二次方程单元测试题(考试时间：90分钟满分：120分)一、填空题：(每小题3分，共60分)1.把一元二次方程化为一般形式是________________，其中二次项为：______，一次项系数为：______，常数项为：______.2.写出一个有一根为的一元二次方程___________________.3.已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为。

九年级数学一元二次方程测试题及参考答案学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。

因此，小编精心为大家整理了这篇九年级数学一元二次方程测试题及参考答案，供大家参考。

一、选择题(每小题3分，共30分)1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A、(x-p)2=5B、(x-p)2=9C、(x-p+2)2=9D、(x-p+2)2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于( )A、-1B、0C、1D、23、若、是方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则2+3+的值为( )A、2019B、2019C、-2019D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )A、k-B、k- 且k0C、k-D、k- 且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )A、x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0C、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=06、已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是( )A、-2B、-1C、0D、17、某城2019年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2019年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是( ) A、300(1+x)=363 B、300(1+x)2=363C、300(1+2x)=363D、363(1-x)2=3008、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+ 和2- ，则原方程是( )A、x2+4x-15=0B、x2-4x+15=0C、x2+4x+15=0D、x2-4x-15=09、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为( )A、2B、0C、-1D、10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+ =0，则第三边长为( )A、2 或B、或2C、或2D、、2 或二、填空题(每小题3分，共30分)11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是.12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是.13、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么a+b的值是.14、等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是.15、2019年某市人均GDP约为2019年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为.16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为cm.(精确到0.1cm) 17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为m，竹竿长为m.18、直角三角形的周长为2+ ，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为.19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是.20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则+ 的值为.三、解答题(共60分)21、解方程(每小题3分，共12分)(1)(x-5)2=16 (2)x2-4x+1=0(3)x3-2x2-3x=0 (4)x2+5x+3=022、(8分)已知：x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根，且(x1+2)(x2+2)=11，求a的值.23、(8分)已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0(1) 当m取何值时，方程有两个实数根?(2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.24、(8分)已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根(1) 求k的取值范围(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.25、(8分)已知a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对的边，且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.26、(8分)某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：(1)该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.27、(分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克(1) 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

九年级上册一元二次方程单元综合测试（Word版含答案）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【解析】【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由题意，得6d=，20n=，2a=，∵(1)2n nS na d-=+⨯，∴20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+；（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x-×400＝25200，整理得：（x ﹣9）（x+14）＝0，∴x ＝9或x ＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，()2517.2x +=，解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.3．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．4．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，则：原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2﹣+t 2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2﹣5a +7）+4（3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2+4x +3）＝3【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用6．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根， ∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6a a -，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．7．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）．（1）求点D 的坐标．（2）求直线BC 的解析式．（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32 ，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．。

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③0322=++x x ；④﹣x 2+5x ＝0；⑤3132++xx ；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）A ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣23．下列语句中正确的是（ ）A ．方程x 2＝x 只有一个解x ＝1B ．方程x 2+1＝0没有解C ．对于任何实数m ,（m ﹣2）x 2+m x +2＝0是一元二次方程D ．x 2+4＝0不是一元二次方程4．若代数式x 2﹣2x ﹣3的值等于0,则x 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．35．用配方法解一元二次方程m 2﹣6m +8＝0,结果是下列配方正确的是（ ）A ．（m ﹣3）2＝1B ．（m +3）2＝1C ．（m ﹣3）2＝﹣8D ．（m +3）2＝96．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k ＝0的一个根是1,则另一个根是（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣77．若关于一元二次方程x 2+2x +k +2＝0的两个根相等,则k 的取值范围是（ ）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．28．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣3）＝2B ．2（x ﹣2）2＝x 2﹣4C ．x 2+3x ﹣1＝0D ．5（2﹣x ）2＝39．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2﹣2x +3＝0C ．2x 2﹣2x ﹣3＝0D ．3x 2﹣6x +1＝010．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x B ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x C ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x D ．()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定二．填空题（共4小题）13．方程()05112=+---mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 ．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ ．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ．第15题16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 ．三．解答题（共8小题）17．用合适的方法解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝0（3）x 2﹣5x +6＝0 （4）2x 2﹣7x +3＝0．18．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由．21．用配方法求：（1）3x2﹣4x+8的最小值；（2）﹣2x2+4x﹣1的最大值．22．设x1,x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x1+5）（x2+5）；（2）x12x2+x1x22．23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m的篱笆和长15m的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E的长为x m；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF围成,当花园面积为150m2时,求x的值；（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F构成,另三边由篱笆A D EF围成,当花园面积是150m2时,求B F的长．答案与解析一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③；④﹣x 2+5x ＝0；⑤；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[分析]本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．[解答]解：①5x 2＝2y ,方程含有两个未知数,故错误；②2x （x +3）＝x 2﹣5,符合一元二次方程的定义,正确；③,符合一元二次方程的定义,正确；④﹣x 2+5x ＝0,符合一元二次方程的定义,正确； ⑤,不是整式方程,故错误； ⑥mx 2+nx ＝0,方程二次项系数可能为0,故错误．故选：C ．2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）0322=++x x 3132++xx 0322=++x x 3132++xxA ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣2[分析]首先将一元二次方程化为一般形式,然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．[解答]解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0,二次项系数、一次项系数、常数项依次是2,﹣3,﹣2,故选：D ．3．下列语句中正确的是（）A ．方程x2＝x只有一个解x＝1B ．方程x2+1＝0没有解C ．对于任何实数m,（m﹣2）x2+m x+2＝0是一元二次方程D ．x2+4＝0不是一元二次方程[分析]对于方程x2＝x和x2+1＝0分别解方程即可判断A 与B 是否正确；一元二次方程中二次项系数不能为0,所以m﹣2≠0,即m≠2；判定一个方程是否为一元二次方程,只要二次项系数不为0即可．[解答]解：A 、方程x2＝x的解还可以是0；B 、x2＝﹣1,∵任何数的平方一定大于或等于0,∴方程x2+1＝0没有解；C 、当m＝2时,（m﹣2）x2+m x+2＝0中m﹣2＝0,原方程不是一元二次方程；D 、x2+4＝0是一元二次方程；故选：B ．4．若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0,则x的值是（）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．3[分析]根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0,利用因式分解法解方程即可．[解答]解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0,整理,得（x﹣3）（x+1）＝0,解得x1＝3,x2＝﹣1．故选：A ．5．用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0,结果是下列配方正确的是（）A ．（m﹣3）2＝1B ．（m+3）2＝1C ．（m﹣3）2＝﹣8D ．（m+3）2＝9[分析]移项,配方,即可得出选项．[解答]解：m2﹣6m+8＝0,m2﹣6m＝﹣8,m2﹣6m+9＝﹣8+9,（m﹣3）2＝1,故选：A ．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1,则另一个根是（）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7[分析]设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,由根与系数的关系可得出α+β＝6,结合α＝1即可求出β值．[解答]解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,则有：α+β＝6,∵α＝1,∴β＝6﹣1＝5．故选：A ．7．若关于一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个根相等,则k的取值范围是（）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．2[分析]根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k+2）＝0,然后解一次方程即可．[解答]解：根据题意得△＝22﹣4（k+2）＝0,解得k＝﹣1．故选：C ．8．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A ．（x+1）（x﹣3）＝2B ．2（x﹣2）2＝x2﹣4C ．x2+3x﹣1＝0D ．5（2﹣x）2＝3[分析]先观察每个方程的特点,根据方程的特点逐个判断即可．[解答]解：A 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；B 、最适合用分解因式解方程,故本选项正确；C 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；D 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；故选：B ．9．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（）A ．x2+2x﹣3＝0B ．x2﹣2x+3＝0C ．2x2﹣2x﹣3＝0D ．3x2﹣6x+1＝0[分析]根据根与系数的关系对A 、C 、D 进行判断；根据判别式的意义对B 进行判断．[解答]解：A 、两实数根之和等于﹣2,所以A 选项错误；B 、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0,方程没有实数根,所以B 选项错误；C 、两实数根之和等于1,所以C 选项错误；D 、两实数根之和等于﹣2,所以D 选项正确．故选：D ．10．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 [分析]设该药品平均每次降价的百分率为x ,根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率）,则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x ）,第二次后的价格是12.5（1﹣x ）2,据此即可列方程求解．[解答]解：根据题意得：12.5（1﹣x ）2＝8．故选：B ．11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ． [分析]如果设调价前每件商品的利润是x 元,那么四月份的销量为,五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,根据题意可列出方程． [解答]解：根据题意,四月份的销量为, 五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,可得出方程为． 故选：A ．12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x 6x6()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xA ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定[分析]运用配方法变形x 2+14+6x ＝（x +3）2+5；得出（x +3）2+5最小时,即（x +3）2＝0,然后得出答案．[解答]解：∵x 2+14+6x ＝x 2+6x +9+5＝（x +3）2+5,∴当x +3＝0时,（x +3）2+5最小,∴x ＝﹣3时,代数式x 2+14+6x 有最小值．故选：B ．二．填空题（共4小题）13．方程是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 m ＝± ．[分析]根据一元二次方程的定义可得m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,再解即可．[解答]解：由题意得：m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,解得：,故答案为：．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ 6 ．[分析]把A 2+B 2视为一个整体,设A 2+B 2＝y ,则（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解出y 的值即可,[解答]解：设A 2+B 2＝y ,则原方程可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解之得：y 1＝6,y 2＝﹣4,∴A 2+B 2＝6,故答案为6．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ． ()05112=+---mx x m m 3±=m 3±=m[分析]把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的种植花草部分是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可．[解答]解：设道路的宽应为x 米,由题意有（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 故答案为：（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 24 ．[分析]利用因式分解法解方程得到x 1＝2,x 2＝5,再根据菱形的性质得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长,然后根据菱形的面积公式计算．[解答]解：x 2﹣7x +10＝0,（x ﹣2）（x ﹣5）＝0,x ﹣2＝0或x ﹣5＝0,∴x 1＝2,x 2＝5,∵菱形一条对角线长为6,∴菱形的边长为5,∵菱形的另一条对角线长＝,∴菱形的面积＝×6×8＝24． 三．解答题（共8小题）17．解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝02121835222=-21（3）x2﹣5x+6＝0 （4）2x2﹣7x+3＝0．[分析]（1）先变形得到（x+2）2＝25,然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．[解答]解：（1）（x+2）2＝25, x+2＝±5,所以x1＝﹣7,x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0, x+5＝0或x﹣1＝0,所以x1＝﹣5,x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0, x﹣2＝0或x﹣3＝0,所以x1＝2,x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0, 2x﹣1＝0或x﹣3＝0,所以x1＝,x2＝3．2118．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？[分析]先计算出△,△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21．当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式得到m 的范围；当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式得到m 的范围．[解答]解：△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21,当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式﹣12m +21＜0得,m ＞； 当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式﹣12m +21≥0得,m ≤． 所以当m ＞时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根； 当m ≤时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0有实数根． 19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．[分析]先将原方程化为一元二次方程的一般形式,然后根据根的判别式△＝B 2﹣4A C ＝0证明．[解答]证明：由原方程,得（B +C ）x 2﹣2A x ﹣B +C ＝0,∵关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,∴△＝4A 2﹣4（B +C ）（﹣B +C ）＝0,即A 2﹣C 2+B 2＝0,∴A 2+B 2＝C 2,∴这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．47474747（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由． [分析]（1）根据方程的系数结合△≥0,即可得出关于k 的一元一次不等式,解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2,结合,即可得出关于k 的方程,解之即可得出k 值,再结合（1）即可得出结论． [解答]解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根,∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0,解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根,∴x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2．∵, ∴, ∴k 2﹣6＝0,解得：k 1＝﹣,k 2＝．又∵k ≤﹣1, ∴k ＝﹣．∴存在这样的k 值,使得等式成立,k 值为﹣． 21121-=+k x x 21121-=+k x x 21121-=+k x x 2221212-=+=+k k x x x x 66621121-=+k x x 621．用配方法求：（1）3x 2﹣4x +8的最小值；（2）﹣2x 2+4x ﹣1的最大值．[分析]（1）先提取二次项系数,再配方,根据任何数的完全平方一定是非负数即可求解；（2）把原式根据配方法化成：﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1即可得出最大值．[解答]解：（1）3x 2﹣4x +8所以3x 2﹣4x +8的最小值是． （2）﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x 2﹣2x +1）+2﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1所以﹣2x 2+4x ﹣1的最大值是1．22．设x 1,x 2是一元二次方程3x 2﹣x ﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x 1+5）（x 2+5）；（2）x 12x 2+x 1x 22．[分析]根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）利用多项式乘法得到原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25,然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到原式＝x 1x 2（x 1+x 2）,然后利用整体代入的方法计算．3203233439434322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x 3203134[解答]解：根据题意得x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25＝﹣+5×+25＝； （2）原式＝x 1x 2（x 1+x 2）＝﹣×＝﹣． 23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？[分析]设每件降价x 元,则平均每天可售出件,根据总利润＝每件童装获得的利润×销售数量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论．[解答]解：设每件降价x 元,则平均每天可售出件, 依题意,得：（40﹣x ）＝1200, 整理,得：x 2﹣30x +200＝0,解得：x 1＝10,x 2＝20．又∵要尽量减少库存,∴x ＝20．答：每件降价20元．24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m 的篱笆和长15m 的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E 的长为xm ；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF 围成,当花园面积为150m 2时,求x 的值；31343431376343194⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F 构成,另三边由篱笆A D EF 围成,当花园面积是150m 2时,求B F 的长．[分析]（1）设平行于墙的一边D E 的长为xm ,则C D 的长为m ,利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程,解之取小于15的值即可得出结论；（2）设B F 的长为y ,利用矩形的面积公式即可得出关于y 的一元二次方程,解之即可求出结论． [解答]解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10,x 2＝30,∵30＞15∴x ＝30舍去,∴x ＝10m ；答：x 的值为10m ；（2）设B F ＝y ；则（25﹣y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝15,y 2＝﹣5（舍去）,答：B F 的长为15m ．240x -2121。