2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第1章 第2节 充分条件、必要条件

1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1．命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；
③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提．
3．充要条件
(1)集合与充要条件
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p ⇒q”⇔“q⇐p”．
②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()
(2)命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”．()
(3)若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ()
(4)“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件. ()。

第二节充分条件、必要条件[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2. 理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件；②性质定理中结论是前提的必要条件；③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．3．充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q ⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r 的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p⇐r”)．[常用结论]1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q 的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ()(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．已知m，n为两个非零向量，则“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n＜0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.] 2．设x∈R，则“x3>1”是“|x|>1”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由x 3>1可得x >1，由|x |>1可得x >1或x <－1，故“x 3>1”是“|x |>1”的充分而不必要条件．故选A.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4.△ABC 中，“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分 [△ABC 中，sin A ＝45，所以cos A ＝±35，所以“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的必要不充分条件．]考点1 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p是q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB→＋AC →|＞|BC →|”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然BA ，∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC→＞0⇔AB→，AC →的夹角为锐角．故选C.][逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m＞14B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞1C[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞14，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若p是q的必要不充分条件，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，但p⇒/q，其等价于p⇒q，但q⇒/p，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D[非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点2充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3][由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 又S 为非空集合， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解]由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.3或4[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.]。

第二节充分条件、必要条件[最新考纲] 1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系.2. 理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系.3. 理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2．数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件；②性质定理中结论是前提的必要条件；③数学定义中条件是结论的充要条件．即定义可以用于判定也可以作为性质．3．充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”则“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”，则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”，则“p⇐r”)．[常用结论]1．p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要条件. ( )(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n ＜0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2＜θ＜π，则cos θ＜0，则m·n＜0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |＜0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n ＜0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.]2．设x ∈R ，则“x 3>1”是“|x |>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由x 3>1可得x >1，由|x |>1可得x >1或x <－1，故“x 3>1”是“|x |>1”的充分而不必要条件．故选A.]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B.]4.△ABC 中，“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分 [△ABC 中，sin A ＝45，所以cos A ＝±35，所以“sin A ＝45”是“cos A ＝－35”的必要不充分条件．]考点1 充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p 是什么，结论q 是什么； ②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ； ③确定条件p 和结论q 的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如p 是q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件．(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(2019·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然BA ，∴“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.(3)|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AC →－AB →|⇔AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＞AB →2＋AC →2－2AB →·AC →⇔AB →·AC →＞0，由点A ，B ，C 不共线，得〈AB →，AC →〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故AB →·AC →＞0⇔AB →，AC →的夹角为锐角．故选C.][逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1C [若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1.已知x ∈R ，则“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [x 2－5x －6＝0⇔x ＝－1或x ＝6，∵x ＝－1⇒x ＝－1或x ＝6，而x ＝－1或x ＝6推不出x ＝－1， ∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分而不必要条件，故选B.] 2．给定两个命题p ，q ，若p 是q 的必要不充分条件，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，但p ⇒/ q ，其等价于p ⇒q ，但q ⇒/ p ，故选A.]3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．]考点2 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 又S 为非空集合， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围． [解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3， 当n ＝4时，方程有整数根2. 综上可知，n ＝3或4.]。

第2课四种命题和充分、必要条件[最新考纲]要求内容A B C命题的四种形式√充分条件、必要条件、充分必要条件√1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充分必要条件．(3)如果pD q，且qD p，那么p是q的既不充分又不必要条件．3．集合与充分必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，那么有：(1)假设A⊆B，那么p是q的充分条件，假设A B，那么p是q的充分不必要条件．(2)假设B⊆A，那么p是q的必要条件，假设B A，那么p是q的必要不充分条件．(3)假设A＝B，那么p是q的充分必要条件．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“假设p那么q〞的否命题是“假设p，那么非q〞．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“假设p不成立，那么q不成立〞等价于“假设q成立，那么p成立〞．()[解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否认条件，又否认结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是________．假设tan α≠1，那么α≠π4[“假设p那么q〞的逆否命题是“假设非q，那么非p〞，显然非q：tan α≠1，非p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“假设tanα≠1，那么α≠π4〞．]3．(2021·镇江期中)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，那么“ac＜0”是“该方程有实数根〞的________条件．(选填“充分不必要〞“必要不充分〞“充分必要〞或“既不充分又不必要〞)充分不必要[一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，那么判别式Δ＝b2－4ac ≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故“ac ＜0〞是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根的充分不必要条件．]4．命题“假设a＞－3，那么a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．2[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“假设a＞－6，那么a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2021·南京三模)记不等式“x2＋x－6<0”的解集为集合A，函数y＝lg(x －a)的定义域为集合B.假设“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，那么实数a的取值范围为________．(－∞，－3][由x2＋x－6<0得－3<x<2，即A＝{x|－3<x<2}．由x－a>0得x>a，即B＝{x|x>a}．∵“x∈A〞是“x∈B〞的充分条件，∴A⊆B，∴a≤－3.]四种命题的关系及其真假判断(1)命题“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆否命题是________．(2)原命题为“假设z1，z2互为共轭复数，那么|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是________．(填序号)①真，假，真；②假，假，真；③真，真，假；④假，假，假．(1)假设x＋y不是偶数，那么x，y不都是偶数(2)②[(1)“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆否命题为“假设x＋y不是偶数，那么x，y不都是偶数〞．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题．][规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“假设p，那么q〞形式的命题，需先改写；(2)假设命题有大前提，写其他三种命题时需保存大前提．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性一样，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1](1)命题p：正数a的平方不等于0，命题q：假设a不是正数，那么它的平方等于0，那么p是q的________．(填“逆命题〞“否命题〞“逆否命题〞或“否认〞)(2)给出以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞的逆命题；②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设q≤－1，那么x2＋x＋q＝0有实根〞的逆否命题；④假设ab是正整数，那么a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)(1)否命题(2)①③[(1)把命题p可改成“假设a是正数，那么它的平方不等于0”，显然q是p的否命题．(2)①的逆命题为：假设x，y互为相反数，那么x＋y＝0，显然是真命题；②的否命题为：不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；③假设x2＋x＋q＝0有实根，那么Δ＝1－4q≥0，即q≤14.故当q≤－1时，方程x2＋x＋q＝0有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；④是假命题，如a＝2，b＝1，那么ab＝1.]2充分条件与必要条件的判断(1)函数f(x)在x＝x0处导数存在．假设p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，那么p是q的________条件. 【导学号：62172006】(2)(2021·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出以下三个命题：①“a>b〞是“3a>3b〞的充分不必要条件；②“α>β〞是“cos α<cos β〞的必要不充分条件；③“a＝0〞是函数“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数〞的充要条件．其中真命题的序号为________．(1)必要不充分(2)③[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比方，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号一样，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)①∵y＝3x是单调递增函数，∴“a>b〞是“3a>3b〞的充要条件，故①错误；②由于α，β的范围不明确，故当α>β时无法判断“cos α，cos β〞的大小关系．故②错误；③当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数；反之由f(x)为奇函数可知a＝0，故③正确．][规律方法]充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进展判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进展判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进展判断，适用于条件和结论带有否认性词语的命题．[变式训练2] (2021·南昌调研)m ＝－1是直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋9＝0垂直的________条件．充分不必要 [由直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与3x ＋my ＋9＝0垂直可知3m ＋m (2m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．] 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．假设x ∈P是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围. 【导学号：62172007】[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，那么S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上可知，当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．假设x ∈P 是x ∈S 的充要条件，那么P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，即这样的m 不存在．[迁移探究2] 本例条件不变，假设非P 是非S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SD P ， ∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2021·徐州模拟)命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，假设p 是q 的充分不必要条件，那么a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．(1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，∴原方程有一个负实根x＝－12.当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根，∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，那么x1x2＜0，∴1＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.a当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“假设p，那么q〞“假设q，那么p〞的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A；B⇒A与非A⇒非B；A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否认形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，假设A⊆B，那么p是q的充分条件或q是p的必要条件；假设A B，那么p是q的充分不必要条件，假设A＝B，那么p是q的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保存大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的构造，可以先把命题改写成“假设p，那么q〞的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q〞等语言的含义．课时分层训练(二)A组根底达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设m∈R，命题“假设m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是________．假设方程x2＋x－m＝0没有实根，那么m≤0[根据逆否命题的定义，命题“假设m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆否命题是“假设方程x2＋x－m ＝0没有实根，那么m≤0〞．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.那么“m∥β〞是“α∥β〞的________条件．必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β〞是“α∥β〞的必要不充分条件．]3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1〞是“x2－2x＋1＝0〞的充分必要条件．]4．a，b，c都是实数，那么在命题“假设a＞b，那么ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：62172021】2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]5．“m＜14〞是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解〞的________条件.【导学号：62172021】充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14〞是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解〞的充分不必要条件．]6．给出以下命题：①“假设a2<b2，那么a<b〞的否命题；②“全等三角形面积相等〞的逆命题；③“假设a>1，那么ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R〞的逆否命题；④“假设3x(x≠0)为有理数，那么x为无理数〞的逆否命题．其中为真命题的是________．(填序号)③④[对于①，否命题为“假设a2≥b2，那么a≥b〞，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形〞，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．] 7．(2021·金陵中学期中)设a，b∈R，那么“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要〞“充分不必要〞“必要不充分〞“既不充分又不必要〞)必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，故“a＋b>4〞是“a>2且b>2〞的必要不充分条件．]8．“sin α＝cos α〞是cos 2α＝0的________条件．充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，∴假设sin α＝cos α，那么cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]9．命题“假设a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0”的逆否命题是________.【导学号：62172021】假设a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0[“假设a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0〞的逆否命题是“假设a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0〞．]10．假设x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是________．[0,2] [由易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.] 二、解答题11．函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“假设a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )〞．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解] (1)否命题：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，假设a ＋b <0，那么f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，假设f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b <0.该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．假设“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172021】[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2021·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称〞是“y ＝f (x )是奇函数〞的________条件．(填“充分不必要〞，“必要不充分〞，“充分必要〞，“既不充分又不必要〞)必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数〞，那么y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之假设f (x )＝x 2，那么y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，假设p 是q 的必要不充分条件，那么实数a 的取值范围是________．[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＞－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.[证明] 必要性：假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，那么x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：假设a ＋b ＋c ＝0，那么b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.4．(2021·南通第一次学情检测)c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取值范围．[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，所以c ≤－14或c ≥14，因为c >0，所以c ≥14.因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥14，解得14≤c <1，所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。