初一数学竞赛辅导资料 用交集解题

数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

初一数学竞赛系列讲座相交线、平行线一、知识要点：1． 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2． 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3． 垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4． 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。

5． 利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。

解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。

解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质）∵∠B -∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知）∴∠GEF=21∠BEF=30°（角平分线定义）例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

初中数学竞赛精品标准教程及练习12用交集解题交集是集合中共有的元素组成的一个新的集合。

在数学竞赛中，使用交集可以解决一些集合相关的问题。

本文将通过几个例题来详细介绍交集在数学竞赛中的应用。

例题1：班有60名同学，其中有40名学生喜欢数学，30名学生喜欢英语。

问：至少同时喜欢数学和英语的学生人数是多少？解析：设喜欢数学的学生集合为A，喜欢英语的学生集合为B。

根据题意，我们可以得到A的元素个数为40，B的元素个数为30。

问题要求的是同时喜欢数学和英语的学生人数，也就是说要求的是A与B的交集C的元素个数。

由于我们已知A和B的元素个数，如果能求出A与B的交集C的元素个数，就可以解答问题了。

根据交集的性质，我们可以得到C的元素个数为A和B的元素个数之和减去A和B的并集的元素个数。

根据集合的运算规则，A和B的并集的元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数减去A和B的交集的元素个数。

用公式表示就是：，A∪B，=，A，+，B，-，A∩B。

将已知的数值代入公式中，我们可以得到：，A∩B，=，A，+，B，-，A∪B，=40+30-60=10。

所以，至少同时喜欢数学和英语的学生人数是10。

通过这个例题，我们可以看出使用交集来解决问题时，重要的是先明确要求的是哪个集合的交集，并根据集合的运算规则进行计算。

例题2：班学生共120名，其中70名学生擅长音乐，80名学生擅长美术。

已知同时擅长音乐和美术的学生人数是50人，问：不擅长音乐和美术的学生人数是多少？解析：同样地，我们设擅长音乐的学生集合为A，擅长美术的学生集合为B。

题目要求的是不擅长音乐和美术的学生人数，也就是求A和B的交集的补集。

根据集合的运算规则，集合的补集等于全集减去这个集合。

所以，我们需要求得的是全集减去A和B的交集的元素个数。

已知A和B的元素个数分别为70和80，交集A∩B的元素个数为50。

全集的元素个数为120。

所以，不擅长音乐和美术的学生人数等于全集的元素个数减去A和B的交集的元素个数，即120-50=70。

初中数学竞赛精品标准教程及练习12用交集解题用交集解题是数学竞赛中常见的解题方法之一，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

下面以一个简单的例题为例，说明如何用交集解题。

【例题】小明参加了一次数学竞赛，该竞赛共有100名参赛选手，其中40人参加了语文比赛，60人参加了英语比赛，35人既参加了语文比赛又参加了英语比赛。

那么参加了至少一项比赛的选手有多少人？【解答】首先，我们将已知条件用集合表示出来：语文参赛选手的集合为A，其元素个数为n(A)=40；英语参赛选手的集合为B，其元素个数为n(B)=60；既参加了语文比赛又参加了英语比赛的选手的集合为C，其元素个数为n(C)=35要求参加了至少一项比赛的选手，即要求A、B、C三个集合的并集的元素个数。

根据集合的基本运算关系，我们可以利用交集求和公式来求解：n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)将已知数据代入公式中，即可得到参加了至少一项比赛的选手人数：n(A∪B∪C)=40+60+35−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)我们已知n(A∩B∩C)为35，其余交集的人数没有给出。

因此，我们需要先研究这些交集。

根据题意可知，整个竞赛的参赛人数为100，即选手总数为100。

所以我们可以设n(U)=100，其中U表示全集。

根据已知条件，我们可以列出如下的等式：n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A∪C)=n(A)+n(C)−n(A∩C)n(B∪C)=n(B)+n(C)−n(B∩C)将已知数据代入上述等式，可得：n(A∪B)=40+60−n(A∩B)n(A∪C)=40+35−n(A∩C)n(B∪C)=60+35−n(B∩C)将公式整理，并代入已知数据，可以得到：n(A∩B)=40+60−n(A∪B)=100−n(A∪B)n(A∩C)=40+35−n(A∪C)=75−n(A∪C)n(B∩C)=60+35−n(B∪C)=95−n(B∪C)最后我们可以代入公式，得到参加了至少一项比赛的选手人数：n(A∪B∪C)=40+60+35−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=40+60+35−(100−n(A∪B))−(75−n(A∪B))−(95−n(B∪C))+35=170−100+75+95+x=240+x其中x代表未知数量，表示既参加了语文比赛又参加了英语比赛的选手数量。

初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。

解得a=10, c ≠14。

③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。

初一数学比赛系列讲座 (12)订交线、平行线一、知识重点：1． 平面上两条不重合的直线，地点关系只有两种：订交和平行。

2． 两条不一样的直线，若它们只有一个公共点，就说它们订交。

即，两条直线订交有且只有一个交点。

3． 垂直是订交的特别状况。

相关两直线垂直，有两个重要的结论：（ 1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 2） 直线外一点与直线上全部点的连线中，垂线段最短。

4． 在同一平面内，不订交的两条直线称为平行线。

平行线中要理解平行公义，能娴熟地找出“三线八角”图形中 的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”相关的平行线的判断定理和性质定理。

5． 利用平行公义及其推论证明或求解。

二、例题精讲例 1．如图 (1)，直线 a 与 b 平行，∠ 1＝ (3x+70) ° , ∠2=(5x+22) ° ,求∠ 3 的度数。

解：∵a ∥b ，l∴ ∠3＝∠ 4（两直线平行，内错角相等）3 a∵∠1+∠ 3＝∠ 2+ ∠ 4＝ 180° ( 平角的定义 ) 4∴∠1＝∠ 2 (等式性质 )b2则 3x+70 ＝ 5x+22 解得 x=24 即∠ 1＝ 142° ∴∠3＝ 180°- ∠ 1＝ 38°图(1)评注：成立角度之间的关系，即成立方程（组），是几何计算常用的方法。

例 2．已知：如图 (2) ， AB ∥ EF ∥ CD ，EG 均分∠ BEF ，∠ B+∠ B- ∠ D=24 °，求∠ GEF 的度数。

解：∵ AB ∥ EF ∥ CD∴∠ B=∠ BEF ，∠ DEF= ∠ D （两直线平行，内错角相等） ∵∠ B+∠ BED+ ∠ D =192 °（已知） 即∠ B+∠ BEF+∠ DEF+ ∠ D=192 °∴ 2（∠ B+ ∠D ） =192°（等量代换）则∠ B+∠ D=96 °（等式性质）∵∠ B- ∠ D=24 °（已知） ∴∠ B=60 °（等式性质）即∠ BEF=60 °（等量代换） ∵ EG 均分∠ BEF （已知）∴∠ GEF= 1∠ BEF=30 °（角均分线定义）∠ BED+ ∠D =192 °，ABGEFCD图 (2)2例 3．如图（ 3），已知 AB ∥ CD ，且∠ B=40 °，∠ D=70 °，求∠ DEB 的度数。

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初一上目录
1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数
6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则
初一下目录
9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类
初二上目录
17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质
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初二下目录
29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）
初三上目录
45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形
初三下目录
61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习。

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0）所得的商A/B 是整数，那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除。

能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56(能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x ，y解:x ，y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3)＝4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数:（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

最新初中数学竞赛知识点归纳初中数学竞赛知识点归纳⼀、数的整除（⼀）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有⾮零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。

如1001100－2＝98（能被7整除）⼜如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）⼜如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）⼆、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2 因为0除以⾮0的任何数都得0，所以0被⾮0整数整除。

0是任何⾮0整数的倍数，⾮0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3 整数A（A≠0）的倍数有⽆数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5 通常我们在正整数集合⾥研究公倍数和公约数，⼏正整数有最⼩的公倍数和最⽝的公约数。

6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若⽤字母表⽰可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。

三、质数.合数1正整数的⼀种分类：质数的定义：如果⼀个⼤于1的正整数，只能被1和它本⾝整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：⼀个正整数除了能被1和本⾝整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。

相交与平行姓名： 日期：【知识要点】1． 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2． 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3． 垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

【典型例题】例1、【知识回顾】○1线段上3个点时有 条线段；4个点时有 条线段；5个点时有 条线段；n 个点时有 条线段. ○2如图所示，在有4条射线OA,OB, OC ，OD ，图中有 个角；4条射线有 个角；n 条射线有 个角. 【同类问题】○3平面上5条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？n 条直线呢？○46个不同的点，其中没有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？n 个不同的点呢？ACD B O○55条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？n 条直线呢？○6平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？n 个圆呢？例2、已知锐角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，而h a ，h b ，h c 分别为对应边上的高线长，求证：h a +h b +h c ＜a+b+c例3、如图（4），直线AB 与CD 相交于O ，EF ⊥AB 于F ，GH ⊥CD 于H ， 求证：EF 与GH 必相交。

ba c h a例4、平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°例5、（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。

（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

【练习与拓展】一：选择题1、平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A ．6B ．7C ．8D ．9 2、平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 3、平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条4、已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ）A. 9B. 10C. 11D. 125、已知线段AB 的长为10㎝，点A 、B 到直线l 的距离为6㎝和4㎝，符合条件l 的条数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4二：填空题1、平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点2、平面上9条直线最多可分平面为 个部分。