配套K122018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：第五章 平面向量 Word版含解析-

课时达标检测（二十五） 平面向量基本定理及坐标表示[小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量基本定理1．(2018·珠海一模)如图，设O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD ―→与AB ―→；②DA ―→与BC ―→； ③CA ―→与DC ―→；④OD ―→与OB ―→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B ①中AD ―→，AB ―→不共线；③中CA ―→，DC ―→不共线．②④中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2．(2018·山西太原质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设BM ―→＝t BC ―→，则AN ―→＝12AM ―→＝12(AB ―→＋BM ―→)＝12AB ―→＋12BM ―→＝12AB ―→＋t 2BC―→＝12AB ―→＋t 2(AC ―→－AB ―→)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB ―→＋t 2AC ―→，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A. 3．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析：选C 如图，根据题意，得AB ―→＝12AC ―→＋12DB ―→＝12(a －b )，AD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12(a ＋b )．令AF ―→＝t AE ―→，则AF ―→＝t (AB ―→＋BE ―→)＝t ⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34 BE ―→ ＝t 2a ＋t 4b .由AF ―→＝AD ―→＋DF ―→，令DF ―→＝s DC ―→，又AD ―→＝12(a ＋b )，DF ―→＝s 2a －s 2b ，所以AF ―→＝s ＋12a ＋1－s 2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s 2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF ―→＝23a ＋13b ，故选C.4．(2018·山东潍坊一模)若M 是△ABC 内一点，且满足BA ―→＋BC ―→＝4BM ―→，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A.12B.13C.14D ．2 解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA ―→＋BC ―→＝2BD ―→，于是2BD ―→＝4BM ―→，从而BD ―→＝2BM ―→，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12.5．(2018·湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为( )A.12B.13 C ．2D ．3解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13·(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x ，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y＝13. 对点练(二) 平面向量的坐标表示1．(2018·福州一模)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选D 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．(2018·河北联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4)C ．(－3，－6)D ．(－4，－8)解析：选D 由a ∥b ，得m ＋4＝0，即m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．(2018·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋nb ＝(2m －n ,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋nb 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C.4．(2018·河南六市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB ―→同方向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A 因为AB ―→＝(3，－4)，所以与AB ―→同方向的单位向量为AB ―→|AB ―→|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．6．(2017·南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ) OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.7．(2018·河南中原名校联考)已知a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3,3)解析：选C 根据平面向量基本定理，得向量a ，b 不共线，∵a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，∴2m －3－3m ≠0，∴m ≠－3.故选C.[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2―→与B 1B 2―→表示向量MN ―→； (2)求向量MN ―→的模．解：(1)MN ―→＝MA 1―→＋A 1A 2―→＋A 2N ―→，MN ―→＝MB 1―→＋B 1B 2―→＋B 2N ―→，两式相加，并注意到点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)．(2)由已知可得向量A 1A 2―→与B 1B 2―→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2―→·B 1B 2―→＝1，由MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)得|MN ―→|＝ 14( A 1A 2―→＋B 1B 2―→)2 ＝12A 1A 2―→2＋B 1B 2―→2＋2A 1A 2―→·B 1B 2―→＝72.2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，有CM ―→＝3c ， CN ―→＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝m b ＋nc 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)， (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M 的坐标为(0,20)．又CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N 的坐标为(9,2)．故MN ―→＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．3．已知三点A (a ,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a ，0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0.因为a>0，b>0，所以a＋b≥8，即当且仅当a＝b＝4时，a＋b取最小值为8.。

第三章⎪⎪⎪导数及其应用第一节 导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一) 导数的运算[基本知识]1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]1．判断题(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)若(ln x )′＝1x，则⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．填空题(1)已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ，∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：3(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x(3)已知f (x )＝2sin x ＋x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：∵f (x )＝2sin x ＋x ，∴f ′(x )＝2cos x ＋1，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2cos π4＋1＝2＋1. 答案：2＋1[全析考法][典例] (1)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －3)，则其导函数f ′(x )＝( ) A ．3x 2－2x B ．3x 2－2x －5 C ．3x 2－x D ．3x 2－x －5(2)(2018·钦州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( ) A ．1－8ln 2 B ．1＋8ln 2 C ．8ln 2－1D ．－8ln 2－1(3)已知函数f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1(0<φ<π2)，若f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，则φ的值为( ) A.π3B.π6C.π4D.5π12[解析] (1)法一：因为f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝(x ＋1)(x ＋1)(x －3)，所以f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋1)]′(x －3)＋(x ＋1)(x ＋1)(x －3)′＝2(x ＋1)(x －3)＋(x ＋1)2＝3x 2－2x －5.法二：f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝x 3－x 2－5x －3，则f ′(x )＝3x 2－2x －5.(2)因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选B.(3)因为f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以f ′(x )＝cos x cos φ＋sin x sin φ＝cos(x －φ)，因为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故选A. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧] 导数运算的常见形式及其求解方法[全练题点]1．下列函数中满足f (x )＝f ′(x )的是( ) A ．f (x )＝3＋x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝0解析：选D 若f (x )＝0，则f ′(x )＝0，从而有f (x )＝f ′(x )．故选D.2．(2018·延安模拟)设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选C 由题意得，f ′(x )＝a ，因为f ′(1)＝3，所以a ＝3，故选C. 3．(2018·南宁模拟)设f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3 D.13解析：选D 因为lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝1，所以lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝1，即3f ′(x 0)＝1，所以f ′(x 0)＝13.故选D.4．(2018·桂林模拟)已知函数y ＝x cos x －sin x ，则其导函数y ′＝( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B 函数y ＝x cos x －sin x 的导函数y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.5．(2018·九江一模)已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 3－32x 2＋2ln xB ．f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x C ．f (x )＝x 3－3x 2＋2ln x D ．f (x )＝x 3＋3x 2＋2ln x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(2)＋2x ，令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4f ′(2)＋1，∴f ′(2)＝－133，∴f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x ，故选B.突破点(二) 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]1．判断题(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝0(2)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 2(3)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________．解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝0[全析考法]“过点A A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．求切点坐标[例2] (2018·32P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1，∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.[答案] D求参数值或范围[例3] (1)(2018·长沙一模)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a ＝( )A ．－2 B.12 C ．1D ．2(2)(2018·南京调研)若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在点P (s ，t )处的切线斜率为s e ，y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在点P (s ，t )处的切线斜率为a s ，由题意知，s e ＝a s ，且12e s 2＝a ln s ，解得ln s ＝12，s 2＝e ，故a ＝1.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，故1x ＋a ＝2，即a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] (1)C (2)(－∞，2)[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．[全练题点]1.[考点一]曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sinx ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.2.[考点一]曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.3.[考点二]已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.4.[考点三](2018·东城期末)若直线y ＝－x ＋2与曲线y ＝－e x ＋a相切，则a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4解析：选A 由于y ′＝(－e x ＋a )′＝－e x ＋a ，令－e x ＋a ＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a ，所以切点为(－a ，－1)，进而有－(－a )＋2＝－1，故a ＝－3.5.[考点三](2018·西安一模)若曲线y ＝e x －ae x (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，则a ＝( )A.112 B.13 C.34D ．3解析：选C y ′＝e x ＋a e x ，∵y ＝e x －aex 在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，∴e x ＋a e x ≥3，由a >0知，e x ＋a ex ≥2a ⎝⎛⎭⎫当且仅当e x ＝a e x 时等号成立，故2a ＝3，故a ＝34，故选C.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋ 1)－x2x 2＋1.根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ， 所以当x >0时，f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 答案：y ＝－2x －1[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 导数的运算1．(2018·泉州质检)设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，则f ′(x )＝( ) A ．3x 2＋3kx ＋k 2 B ．x 2＋2kx ＋2k 2 C ．3x 2＋6kx ＋2k 2D ．3x 2＋6kx ＋k 2解析：选C 法一：f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )＋x [(x ＋k )(x ＋2k )]′＝(x ＋k )·(x ＋2k )＋x (x ＋2k )＋x (x ＋k )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.法二：因为f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )＝x 3＋3kx 2＋2k 2x ，所以f ′(x )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.2．(2018·泰安一模)给出下列结论： ①若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2；②若y ＝－1x ，则y ′＝12x x；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a ．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 根据求导公式可知①正确；若y ＝－1x ＝－x -12，则y ′＝12x -32＝12x x，所以②正确；若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x －3，所以f ′(3)＝－227，所以③正确；若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a ，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.3．若函数y ＝x m 的导函数为y ′＝6x 5，则m ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 因为y ＝x m ，所以y ′＝mx m －1，与y ′＝6x 5相比较，可得m ＝6. 4．已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋x e xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x ，故选B.5．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )<0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(0,2)∪(－∞，－1) D ．(2，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ，由f ′(x )＝2x 2－2x －4x<0，得0<x <2，∴f ′(x )<0的解集为(0,2)，故选B. 6．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝a e x ＋x ，若1<f ′(0)<2，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选B 根据题意，f (x )＝a e x ＋x ，则f ′(x )＝(a e x )′＋x ′＝a e x ＋1，则f ′(0)＝a ＋1，若1<f ′(0)<2，则1<a ＋1<2，解得0<a <1，所以实数a 的取值范围为(0,1)．故选B.对点练(二) 导数的几何意义1．(2018·安徽八校联考)函数f (x )＝tan x 2在⎣⎡⎦⎤π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线的倾斜角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选Bf ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2cos x 2′＝12cos 2x 2，得切线斜率k ＝tan α＝f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，故α＝π4，选B.2．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．3．(2018·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条解析：选C 设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)，所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．4．(2018·重庆一模)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1的图象相切，则实数a的值为( )A ．－26或83B ．－1或3C ．8或－83D ．－8或83解析：选D 令f ′(x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1或x ＝3，∵f (－1)＝83，f (3)＝－8，∴a ＝83或－8. 5．(2018·临川一模)函数f (x )＝x ＋ln xx的图象在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12B.14C.32D.54解析：选B 因为f (x )＝x ＋ln xx ，f ′(x )＝1＋1－ln x x 2，所以f (1)＝1，f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)．令x ＝0，可得y ＝－1；令y ＝0，可得x ＝12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选B.6．(2018·成都诊断)若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D 由题意知，函数y ＝ln x ＋ax 2的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x≥0恒成立，即2ax 2＋1≥0，a ≥－12x 2恒成立，又在定义域内，－12x 2∈(－∞，0)，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)．7．(2017·柳州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′(x )e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －be x，又F (x )的图象在x＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(0)＝－2，F (0)＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min＝0.8．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝ln x ，则下列说法中正确的为( ) A ．f (x )，g (x )的图象在点(1,0)处有公切线B ．存在f (x )的图象的某条切线与g (x )的图象的某条切线平行C ．f (x )，g (x )的图象有且只有一个交点D ．f (x )，g (x )的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A ，f (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝2x －2，函数g (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，故A 错误；对于B ，函数g (x )的图象在(1,0)处的切线为y ＝x －1，设函数f (x )的图象在点(a ，b )处的切线与y ＝x －1平行，则f ′(a )＝2a＝1，a ＝12，故b ＝⎝⎛⎭⎫122－1＝－34，即g (x )的图象在(1,0)处的切线与f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫12，－34处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C ，D 错误．故选B.9．(2018·包头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(1)＝3＋a ，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －a －2＝(3＋a )(x －1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a －2＝(3＋a )(2－1)，解得a ＝1.答案：1[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴f (1)＝2. ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4≤x ≤－1时，h ′(x )≥0； 当－1＜x ≤3时，h ′(x )≤0； 当3＜x ≤4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，∴h (x )的最大值为m ＋53，∴m ＋53≤0，即m ≤－53.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－53. 2．(2018·青岛期末)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋bx2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0 |2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．(3)证明：不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．(3)证明：设存在直线与曲线C 同时切于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 31＋2x 21，而点B (x 2，y 2)处的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 32＋2x 22. 由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，即x 1＋x 2＝4；又有－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，即－23(x 1－x 2)·(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，则－13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，则x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)×4＋x 22－12＝0，即x 22－4x 2＋4＝0，解得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2，这与x 1≠x 2矛盾． 所以不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线．第二节 导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间；2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[基本知识]1．函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件．[基本能力]1．判断题(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()答案：(1)×(2)√(3)×2．填空题(1)函数f(x)＝e x－x的减区间为________．答案：(－∞，0)(2)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．答案：单调递增(3)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案：3[全析考法][例1] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， 2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法研究函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] (2018·山东德州期中)已知函数f (x )＝13x 3－(2m ＋1)x 2＋3m (m ＋2)x ＋1，其中m为实数．(1)当m ＝－1时，求函数f (x )在[－4,4]上的最大值和最小值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当m ＝－1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)．当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－3<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴当x ＝－3时，f (x )极大值＝10； 当x ＝1时，f (x )极小值＝－23.又∵f (－4)＝233，f (4)＝793，∴函数f (x )在[－4,4]上的最大值为793，最小值为－23.(2)f ′(x )＝x 2－2(2m ＋1)x ＋3m (m ＋2) ＝(x －3m )(x －m －2)．当3m ＝m ＋2，即m ＝1时，f ′(x )＝(x －3)2≥0， ∴f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当3m >m ＋2，即m >1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <m ＋2或x >3m ， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)．当3m <m ＋2，即m <1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <3m 或x >m ＋2， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)． 综上所述：当m ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当m >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)； 当m <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法[全练题点]1.[考点二](2018·江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )ex 的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.2.[考点二](2018·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D. 3.[考点一]已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．4.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．[全析考法]已知函数的单调性求参数的取值范围[例1](1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.[方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0.(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．比较大小或解不等式[例2] (1)(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1) 的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定(2)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)设g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)A (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′.[全练题点]1.[考点一]若函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，则( ) A ．a ≥3 B ．a ＝3 C ．a ≤3D ．0<a <3解析：选A 因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在[0,2]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥32x 在(0,2]上恒成立．因为32x ≤3，所以a ≥3.综上，a ≥3. 2.[考点一]已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－1，13 解析：选C 因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x ．令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x ∈[－1,1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．3.[考点二]对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4.[考点二](2018·江西赣州联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x .由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．5.[考点一](2018·四川成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)6.[考点一](2018·辽宁大连双基测试)已知函数f (x )＝ln x ＋axx ＋1(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2x 相切，求a 的值．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝(x ＋1)2＋axx (x ＋1)2.∵函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，∴f ′(x )≥0在(0,4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax ≥0， 即a ≥－x 2＋2x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x －2在(0,4)上恒成立． ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ∈[－4，＋∞)． (2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋a (x 0＋1)2＝2，①且2x 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1.②由①得a ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 0(x 0＋1)2，③ 代入②，得2x 0＝ln x 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即ln x 0＋2x 20－x 0－1＝0.令F (x )＝ln x ＋2x 2－x －1，x >0，则 F ′(x )＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x >0， ∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵F (1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0， 即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1.(2018·福建龙岩期中)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－2) B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题图可以看出－2,3是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3可化为y ＝log 2(x 2－x －6)．解x 2－x －6>0得x <－2或x >3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图象开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A.2．(2017·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，故选B. 3．(2018·湖北荆州质检)函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 对点练(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题1．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：选B f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意知，f ′(x )≤0在R 上恒成立，则Δ＝(2a )2－4×(－1)×(－3)≤0恒成立，解得－3≤a ≤ 3.2．(2018·河北正定中学月考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选B 由f (x )＝f (2－x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称．根据题意知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以f (3)＝f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .故选B.3．(2018·河北唐山期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选D 因为f (－x )＝ln(e －x ＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．通过导函数可知函数y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|，解得x <。

第2节 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论与微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(2018·三明月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析 2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D. 答案 D3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A4.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －35.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →(2)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13bD.13a ＋23b解析 (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →) ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12BD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC → ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b . 答案 (1)A (2)C规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.解析 (1)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .(2)由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案 (1)14a ＋34b (2)34 考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A.(－3，4) B.(3，4) C.(3，－4)D.(－3，－4)(2)(2017·北京西城模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案 (1)A (2)D规律方法 1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. 【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.(2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案 (1)D (2)－3考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)(2018·安徽江南十校联考)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________. 解析 (1)a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)， ∴a ＋c ＝(m ＋1，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)， 又(a ＋c )∥(a －b )，∴(m ＋1)(m －5)＋m ＋3＝0，即m 2－3m －2＝0， 解之得m ＝3±172.(2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 答案 (1)3±172 (2)(8，－15)规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)(2018·福州质检)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.4B.6C.8D.9解析 (1)AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)∵OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)， ∴AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →，即(a －1，1)＝λ(－b －1，2)， ∴⎩⎨⎧a －1＝λ（－b －1），1＝2λ，可得2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号，故1a ＋2b 的最小值为8，故选C. 答案 (1)A (2)C基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B2.已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)D.(－7，0)解析 3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A.答案 A3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A. 答案 A4.(2018·淮南质检)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)， ∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.答案 D5.(2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23B.43C.－3D.0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 答案 D6.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( ) A.(－2，7) B.(－6，21) C.(2，－7)D.(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2，7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21). 答案 B7.如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析 以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)＝(x －y ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案 B8.(2018·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( ) A.12AC →＋13AB → B.12AC →＋16AB → C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析 如图， ∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 C 二、填空题9.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则向量BD →的坐标为________.解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5). 答案 (－3，－5)10.设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0<θ<π2，∴cos θ>0，∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12. 答案 1211.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底， 则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 答案 4312.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________.解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4).答案 (－2，－4)能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2017·成都诊断)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP→＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，且BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案 A14.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A.2B.52C.3D.4解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3.答案 C15.(2018·河南名校联盟质检)已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________.解析 设|OC →|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC →＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1. 答案 116.(2018·长沙一模)矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析 设点P 在AB 上的射影为Q ，∠P AQ ＝θ，则AP →＝AQ →＋QP →，且|AQ →|＝cos θ，|QP →|＝sin θ.又AQ →与AB →共线，QP →与AD →共线，故AQ →＝cos θ3 AB →，QP →＝sin θ2AD →，从而AP →＝cos θ3 AB →＋sin θ2AD →，故x ＝cos θ3，y ＝sin θ2，因此3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故3x ＋2y 的取值范围是(1，2]. 答案 (1，2]。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·北京)复数i(2-i)＝( ) A ．1＋2i B ．1-2i C ．-1＋2iD ．-1-2i解：i(2-i)＝2i-i 2＝1＋2i.故选A .2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3-i 1＋i 2，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3-i 1＋i 2＝（3-i ）2（1＋i ）2＝8-6i 2i ，所以z ＝8-6i 2i 2＝8-6i-2＝-4＋3i ，所以＝-4-3i.故选C . 3．对于复数z 1，z 2，若(z 1-i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭复数”，则复数32-12i 的“错位共轭复数”为( )A ．-36-12iB ．-32＋32i C.36＋12iD.32＋32i 解：由(z -i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32-12i ＝1可得z -i ＝132-12i＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D . 4．(2015·皖南八校联考)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，-12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则与向量AB →方向相同的单位向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，-45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，-35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-45，35 解：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，2，则|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫-322＋22＝52，所以AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫-35，45.故选C .5．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z -|＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z -|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解：因为z -＝2y i ，所以|z -|＝2|y |，选项A ，C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2-y 2＋2xy i ，选项B 错误；|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2；(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2＝|z |2，因此|z |≤|x |＋|y |.故选D .6．已知平面向量a ＝(1，-2)，b ＝(2，1)，c ＝(-4，-2)，则下列结论中错误．．的是( ) A ．向量c 与向量b 共线B ．若c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则λ1＝0，λ2＝-2C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数k 1，k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2cD ．向量a 在向量b 方向上的投影为0解：因为c ＝-2b ，所以向量c 与向量b 共线，所以选项A 正确；由c ＝λ1a ＋λ2b 可知⎩⎪⎨⎪⎧-4＝λ1＋2λ2，-2＝-2λ1＋λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝0，λ2＝-2， 所以选项B 正确；向量c 与向量b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项C 错误；因为a ·b ＝0，所以a ⊥b ，所以夹角是90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos90°＝0，所以D 正确．故选C .7．若i 是虚数单位，则满足(p ＋q i)2＝q ＋p i 的实数p ，q 一共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解：由(p ＋q i)2＝q ＋p i 得p 2-q 2＋2pq i ＝q ＋p i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2-q 2＝q ，2pq ＝p ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝-1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝32，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝-32，q ＝12.因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．故选D .8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．-4C ．94D ．-94解：由4|m |＝3|n |，可设|m |＝3k ，|n |＝4k (k ＞0)，又n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝n ·t m ＋n ·n ＝t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝t ×3k ×4k ×13＋(4k )2＝4tk 2＋16k 2＝0，所以t ＝-4.故选B .9．对于复数z ＝（1＋i ）21-i ，若命题p ：“复数z在复平面内对应的点位于第一象限”，命题q ：“设复数z 的共轭复数为，则＝-1-i ”，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨(q )B ．p ∧qC ．(p )∧qD ．p ∧(q )解：因为z ＝（1＋i ）21-i ＝2i （1＋i ）（1-i ）（1＋i ）＝i(1＋i)＝-1＋i ，所以在复平面内对应的点在第二象限，命题p 假；因为＝-1-i ，所以命题q 为真，所以C 正确．故选C .10．(2015·河南调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4-m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916，7D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7解：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4-m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得4-4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝4sin 2θ-3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ-382-916，因为sin θ∈，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916，7.故选C .11．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ-b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，-e 1)的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.56π 解：设e 1，e 2的夹角为α，则e 2与-e 1的夹角为π-α，由题意得|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos α＝cos α＝32，故α＝π6，π-α＝56π， 所以f (e 1，e 2)＝e 1cos π6-e 2sin π6＝32e 1-12e 2，f (e 2，-e 1)＝e 2cos 56π-⎝⎛⎭⎪⎫-e 1sin 56π＝12e 1-32e 2，f (e 1，e 2)·f (e 2，-e 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫32e 1-12e 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1-32e 2 ＝34-e 1·e 2＋34＝32-32＝0. 所以f (e 1，e 2)与f (e 2，-e 1)的夹角为π2.故选B .12．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝-12，〈a -c ，b -c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2B. 3C. 2D ．1解：因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝-12，所以向量a ，b的夹角为120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a -c ，CB →＝b -c ，则∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°，所以A ，O ，B ，C 四点共圆，不妨设为圆M . 因为AB →＝b -a ，所以AB →2＝a 2-2a ·b ＋b 2＝3， 所以|AB →|＝3，由正弦定理，可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝2，所以当|OC →|为圆M的直径时，|c |取得最大值2.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3-i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解：z ＝(1＋2i)(3-i)＝5＋5i.故填5. 14．已知向量a ，b 的夹角为3π4，且|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a -2b )＝________．解：a ·(a -2b )＝a 2-2a ·b ＝2-2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-22＝6.故填6.15．在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.解：由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝-1，因为AP ⊥BC ，所以AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →-AB →)＝0，所以(λ-μ)AB →·AC →-λAB →2＋μAC →2＝0， 即μ-λ-4λ＋μ＝0，所以μ＝52λ，①因为P ，B ，C 三点共线，所以λ＋μ＝1，②由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝27，μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.故填1049.16．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________．解：因为|(a ＋b )·e |＝|a ·e ＋b ·e |≤|a ·e |＋|b ·e |≤6，且当a ＋b 与e 同向时，(a ＋b )·e 取得最大值为|a ＋b |，要使上式对任意单位向量e 成立，即|a ＋b |≤6，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6，则a ·b ≤12，即最大值为12.故填12.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a -b )时，求x 的值．解：(1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a ，b 不同向．则a ·b ＝x ＋2>0，所以x >-2.当x ＝12时，a ，b 同向．所以x >-2且x ≠12.(2)因为a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，(2a -b )＝(2-x ，3)， 则(2x ＋1)(2-x )＋3×4＝0，即-2x 2＋3x ＋14＝0， 解得x ＝72或x ＝-2.18．(12分)已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c ∈R )．(1)求b ，c 的值；(2)试证明1-i 也是方程的根．解：(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， 所以(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即b ＋c ＋(2＋b )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝-2，c ＝2.(2)证明：由(1)知方程为x 2-2x ＋2＝0， 把1-i 代入方程，左边＝(1-i)2-2(1-i)＋2＝0＝右边，即方程成立． 所以1-i 也是方程的根．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3A2，sin 3A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A2＋sin 3A 2sin A 2＝3，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|， 所以sin B ＋sin C ＝3sin A ，所以sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.因为0<B <2π3，所以π6<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．20．(12分)已知向量OA →＝(λcos α，→坐标原点．(1)若β＝α-π6，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)设向量OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB→|OA →||OB →|＝λsin （α-β）|λ|＝λ2|λ|，当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π3；当λ＜0时，cos θ＝-12，θ＝2π3.故当λ＞0时，向量OA →与OB →的夹角为π3；当λ＜0时，向量OA →与OB →的夹角为2π3.(2)解法一：|AB →|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立，即(-sin β-λcos α)2＋(cos β-λsin α)2≥4对任意的α，β恒成立，即λ2＋1＋2λsin(β-α)≥4对任意的α，β恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＞0，λ2-2λ＋1≥4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4， 解得λ≥3或λ≥-3. 故所求实数λ的取值范围是(-∞，-3]∪2-4×36(1＋k 2)＝32(-4k 2-3k )>0，解得-34<k <0，即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-34，0.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①，得x 1＋x 2＝-4（k -3）1＋k 2，② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③而P (0，2)，Q (6，0)，PQ →＝(6，-2)． 所以OA →＋OB →与PQ →共线⇔x 1＋x 2＝-3(y 1＋y 2)， 将②③代入上式，解得k ＝-34.由(1)知，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-34，0，故不存在符合题意的常数k .22．(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a＝32，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件． 故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x -2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2-8k (2k -1)x ＋16k 2-16k -8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k -1）3＋4k2，x 1x 2＝16k 2-16k -83＋4k 2，Δ＝96(2k ＋1)＞0，所以k ＞-12. 因为OP →2＝4PA →·PB →，即5＝4，所以4(x 1-2)(x 2-2)(1＋k 2)＝5，即4(1＋k 2)＝5，所以4[16k 2-16k -83＋4k 2-2×8k （2k -1）3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝-12不符合题意，舍去． 所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .。

五 平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第153页)[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·石家庄质检)如图1，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.【导学号：79140313】图1(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . [解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接F 1Q ，如图，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，又|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2| ＝(2a －|PF 1|)＋(2a －|QF 1|)， 可得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.①又因为PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |，所以|QF 1|＝2|PF 1|.② 由①②可得|PF 1|＝(4－22)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝(22－2)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2， 可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62， 因此e ＝ca＝9－62＝6－ 3.轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．[解] (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3，∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为y －x 234＝x 32(x －x 3)， 令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 3－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0， 将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，③证明：l过定点． [审题指导]3434 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上. 2分因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a ＋34b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 4分(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设.6分从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. 8分而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 10分即(2k ＋1)·4m 2－44k ＋1＋(m －1)·－8km 4k ＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). 12分[阅卷者说]根据题意选择参数，建立一个含参数的直线系或曲线系方程，经过分析、整理，对方程进行等价变形，以找出适合方程且与参数无关的坐标该坐标对应的点即为所求定点从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.[跟踪训练] (2016·北京高考)已知椭圆C ：a 2＋b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． [解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．(2018·石家庄质检(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围.【导学号：79140314】[解] (1)设T (x ，y )，则直线TA 的斜率为k 1＝yx ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝yx －4.于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx－32＝0，所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)] ＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. －20＜OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 斜率不存在时，易得P ，Q 两点的坐标为(0,23)，(0，－23)， 所以OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上所述，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523. 最值问题的主要求解方法几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解[跟踪训练作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，y ，∵点P 是圆：x 2＋y 2＝1上的点， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋y 2＝1. 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1， ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0， 其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48＞0， 则y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.②∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(t 2＋1)(y 1＋y 2)2－4y 1y 2， 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立，∴(S △AOB )max ＝1.圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2018·郑州第二次质量预测)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m ＞0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将椭圆化成标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m ＞0)，e ＝1－m2m ＝22.(2)由题意，直线AB 的斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 设AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，联立x 2＋2y 2＝m (m ＞0)， 得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m ＞0)．x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k2＝4，k ＝－1， 此时由Δ＞0，得m ＞6. 则AB 的方程为x ＋y －3＝0， 则CD 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m ，得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·12(m －6)3， |CD |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2|y 3－y 4|＝2·12m －83＞|AB |， 若存在符合题意的圆，则圆心在CD 上，CD 的中点N 到直线AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－312＋12＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫4232＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49. 又⎝⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －832＝6m －49， 所以存在m ＞6，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上． 探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下：假设满足条件的元素点、直线、曲线或参数存在，组，若方程组有实数解，则元素存在，否则，元素不存在反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.[跟踪训练] (2017·湖北武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Г：y 2＝2x 相交于A ，B两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Г于点N .(1)证明：抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k，则y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k， 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，则x N ＝2y 2N ＝18k 2，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫18k 2，14k ，设抛物线在点N 处的切线方程为y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k ，将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m 8k 2＝0，∵直线与抛物线相切，∴Δ＝12－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行． (2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ， ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |，由(1)得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k 2， ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k2， ∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12，故存在k ＝±12，使NA →·NB →＝0.。

第十章⎪⎪⎪统计与统计案例第一节 统 计本节主要包括2个知识点： 1.随机抽样；2.用样本估计总体.突破点(一) 随机抽样[基本知识]1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．3．分层抽样在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．4．三种抽样方法的比较[基本能力]1．判断题(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( )(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( ) (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( )(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．填空题(1)利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．解析：总体个数为N ＝8，样本容量为M ＝4，则每一个个体被抽到的概率为P ＝M N ＝48＝12. 答案：12(2)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样． 答案：系统抽样(3)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．解析：1 00080＝x4，x ＝50. 答案：50(4)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：设应从高二年级抽取x 名学生，则x 50＝310.解得x ＝15. 答案：15[全析考法]1．抽签法的步骤第一步，将总体中的N个个体编号；第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．2．随机数法的步骤第一步，将个体编号；第二步，在随机数表中任选一个数开始；第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．[例1](1)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()C．02 D．01(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________．①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．[解析](1)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.(2)①不是简单随机抽样．因为不满足总体的有限性．②不是简单随机抽样．因为它是放回抽样．③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．[答案](1)D(2)①②③④系统抽样系统抽样的步骤[例2](1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50 B．40C．25 D．20(2)将高一(九)班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．[解析](1)由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.故选C.(2)根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17.[答案](1)C(2)17[易错提醒]用系统抽样法抽取样本，当Nn不为整数时，取k＝⎣⎡⎦⎤Nn，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．分层抽样进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．[例3] (1)(2018·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200 人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040(2)(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二151020个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．[解析] (1)根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n ×81＝30，解得n ＝1 040.故选D.(2)本题考查分层抽样方法及用样本估计总体．从丙种型号的产品中抽取的件数为60×300200＋400＋300＋100＝18.(3)由题意知1245＋15＝3045＋15＋30＋10＋a ＋20，解得a ＝30.[答案] (1)D (2)18 (3)30 [方法技巧]分层抽样的解题策略(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样． (4)抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量.[全练题点]1.[考点一]某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100； ②001,002，…，100； ③00,01,02，…，99； ④01,02,03，…，100. 其中正确的序号是( ) A ．②③④ B ．③④ C ．②③D ．①②解析：选C 根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．2.[考点一、二、三]对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3.3.[考点二]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )A ．10B ．11C ．12D ．16解析：选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.4.[考点三]某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．解析：设从高二年级学生中抽取x 人，由题意得x 360＝20400，解得x ＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17人．答案：175.[考点二]为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.答案：57突破点(二)用样本估计总体[基本知识]1．频率分布直方图和茎叶图(1)作频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)频率分布折线图和总体密度曲线茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．2．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ ②方差：标准差的平方s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x －是样本平均数．③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．(3)平均数、方差公式的推广若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则数据mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.[基本能力]1．判断题(1)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) (2)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )(5)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (6)一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．填空题(1)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：48(2)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：①[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；②据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．解析：设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.答案：①0.04②440(3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是____________．解析：由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.答案：46,45,56(4)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23，则这组数据的中位数是________． 解析：这组数据从小到大排列为：12,15,16,20,20,23,23,28，∴这组数据的中位数是20＋202＝20.答案：20(5)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．解析：5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.1[全析考法][例1] (2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解] (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.[方法技巧]1．绘制频率分布直方图时需注意的两点(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； (2)频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率．2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式 (1)频率组距×组距＝频率； (2)频数样本容量＝频率，此关系式的变形为频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．茎叶图1.(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一； (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据． 2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．[例2] 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[解] (1)设A 药观测数据的平均数为x －，B 药观测数据的平均数为y －.由观测结果可得x －＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y －＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x －>y －，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．[方法技巧]茎叶图问题的求解策略(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况．样本的数字特征(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况．(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性比较方差(标准差)的大小．考法(一)与频率分布直方图交汇命题[例3]某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数．[解](1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.0075，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.[方法技巧]频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．考法(二) 与茎叶图交汇命题[例4] (1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为( )A.7,8 B ．5,7 C ．8,5D ．7,7(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为________．[解析](1)甲组数据的中位数为17, 故y＝7，乙组数据的平均数为3×10＋20＋(9＋6＋6＋x＋9)5＝17.4，解得x＝7.(2)由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.[答案](1)D(2)367[易错提醒]在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．考法(三)与优化决策问题交汇命题[例5]甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4() A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.[答案] C[方法技巧]利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．[全练题点]1.[考点二]在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16解析：选D 设中间一组的频数为x ，依题意有x 80＝14⎝⎛⎭⎫1－x 80，解得x ＝16. 2．[考点二](2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A.3,5 B ．5,5 C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．[考点一]为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是( )A ．36B ．40C ．48D ．50解析：选C 由题知，题图中从左到右的前3个小组的频率之和为1－(0.037＋0.013)×5＝0.75.又图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为0.75×11＋2＋3＝0.125，所以报考飞行员的学生人数是60.125＝48.4.[考点三·考法(二)]如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是80＋15×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.5．[考点三·考法(三)]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：．解析：x －甲＝x －乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定． 答案：甲6．[考点三·考法(一)](2017·安徽黄山二模)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年1月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．解：(1)∵0.004×50＝20n ，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.由此完成频率分布直方图，如图：(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4，∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.2．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．3．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；故D错误．4．(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：选C由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.5．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 随机抽样1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法．2．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在[481,720]的人数为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C 系统抽样，是抽多少人就把总体分成多少组，于是抽样间隔就是用总体数量除以样本容量：90045＝20.于是落在[481,720]内的人数为720－48020＝12，故选C. 3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则。

1．向量在平面几何中的应用（1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝（x1，y1），b＝(x2，y2),且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!（θ为向量a，b的夹角），其中a,b为非零向量（2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题错误!向量问题错误!解决向量问题错误!解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2）物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W＝F·s ＝｜F｜|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心,则错误!＋错误!＋错误!＝0.2．若直线l的方程为:Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量（－B，A）与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）若错误!∥错误!，则A,B,C三点共线．（√)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．（×)(3）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角;若a·b＜0,则a和b的夹角为钝角．( ×)(4）在△ABC中，若错误!·错误!〈0，则△ABC为钝角三角形．( ×) (5）已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1),B(0，10)，C（8，0），若动点P满足：错误!＝错误!＋t(错误!＋错误!)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0。

第三章⎪⎪⎪导数及其应用第一节 导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一) 导数的运算[基本知识]1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]1．判断题(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)若(ln x )′＝1x，则⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) (7)y ＝cos 3x 由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．填空题(1)已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ，∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：3(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x(3)已知f (x )＝2sin x ＋x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：∵f (x )＝2sin x ＋x ，∴f ′(x )＝2cos x ＋1，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2cos π4＋1＝2＋1. 答案：2＋1[全析考法][典例] (1)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －3)，则其导函数f ′(x )＝( ) A ．3x 2－2x B ．3x 2－2x －5 C ．3x 2－xD ．3x 2－x －5(2)(2018·钦州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( ) A ．1－8ln 2 B ．1＋8ln 2 C ．8ln 2－1D ．－8ln 2－1(3)已知函数f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1(0<φ<π2)，若f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，则φ的值为( ) A.π3B.π6C.π4D.5π12[解析] (1)法一：因为f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝(x ＋1)(x ＋1)(x －3)，所以f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋1)]′(x －3)＋(x ＋1)(x ＋1)(x －3)′＝2(x ＋1)(x －3)＋(x ＋1)2＝3x 2－2x －5.法二：f (x )＝(x ＋1)2(x －3)＝x 3－x 2－5x －3，则f ′(x )＝3x 2－2x －5.(2)因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选B.(3)因为f (x )＝sin x cos φ－cos x sin φ－1⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以f ′(x )＝cos x cos φ＋sin x sin φ＝cos(x －φ)，因为f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故选A. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧] 导数运算的常见形式及其求解方法[全练题点]1．下列函数中满足f (x )＝f ′(x )的是( ) A ．f (x )＝3＋x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝0解析：选D 若f (x )＝0，则f ′(x )＝0，从而有f (x )＝f ′(x )．故选D.2．(2018·延安模拟)设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选C 由题意得，f ′(x )＝a ，因为f ′(1)＝3，所以a ＝3，故选C. 3．(2018·南宁模拟)设f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3 D.13解析：选D 因为lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝1，所以lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝1，即3f ′(x 0)＝1，所以f ′(x 0)＝13.故选D.4．(2018·桂林模拟)已知函数y ＝x cos x －sin x ，则其导函数y ′＝( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B 函数y ＝x cos x －sin x 的导函数y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.5．(2018·九江一模)已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 3－32x 2＋2ln xB ．f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x C ．f (x )＝x 3－3x 2＋2ln x D ．f (x )＝x 3＋3x 2＋2ln x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋x 2f ′(2)＋2ln x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(2)＋2x ，令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4f ′(2)＋1，∴f ′(2)＝－133，∴f (x )＝x 3－133x 2＋2ln x ，故选B.突破点(二) 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]1．判断题(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝0(2)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 2(3)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________．解析：由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝0[全析考法]“过点A A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．求切点坐标[例2] (2018·32P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1，∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.[答案] D求参数值或范围[例3] (1)(2018·长沙一模)若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a ＝( )A ．－2 B.12 C ．1D ．2(2)(2018·南京调研)若函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e ，在点P (s ，t )处的切线斜率为s e ，y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x ，在点P (s ，t )处的切线斜率为a s ，由题意知，s e ＝a s ，且12e s 2＝a ln s ，解得ln s ＝12，s 2＝e ，故a ＝1.(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行或重合的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，故1x ＋a ＝2，即a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] (1)C (2)(－∞，2)[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．[全练题点]1.[考点一]曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sinx ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.2.[考点一]曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.3.[考点二]已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.4.[考点三](2018·东城期末)若直线y ＝－x ＋2与曲线y ＝－e x ＋a相切，则a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4解析：选A 由于y ′＝(－e x ＋a )′＝－e x ＋a ，令－e x ＋a ＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a ，所以切点为(－a ，－1)，进而有－(－a )＋2＝－1，故a ＝－3.5.[考点三](2018·西安一模)若曲线y ＝e x －ae x (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，则a ＝( )A.112 B.13 C.34D ．3解析：选C y ′＝e x ＋a e x ，∵y ＝e x －aex 在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2，∴e x ＋a e x ≥3，由a >0知，e x ＋a ex ≥2a ⎝⎛⎭⎫当且仅当e x ＝a e x 时等号成立，故2a ＝3，故a ＝34，故选C.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：易得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点横坐标为x 1，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点横坐标为x 2，则y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1，y＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋ 1)－x2x 2＋1.根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 23．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ， 所以当x >0时，f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 答案：y ＝－2x －1[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 导数的运算1．(2018·泉州质检)设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，则f ′(x )＝( ) A ．3x 2＋3kx ＋k 2 B ．x 2＋2kx ＋2k 2 C ．3x 2＋6kx ＋2k 2D ．3x 2＋6kx ＋k 2解析：选C 法一：f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )，f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )＋x [(x ＋k )(x ＋2k )]′＝(x ＋k )·(x ＋2k )＋x (x ＋2k )＋x (x ＋k )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.法二：因为f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )＝x 3＋3kx 2＋2k 2x ，所以f ′(x )＝3x 2＋6kx ＋2k 2，故选C.2．(2018·泰安一模)给出下列结论： ①若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2；②若y ＝－1x ，则y ′＝12x x；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；④若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a ．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 根据求导公式可知①正确；若y ＝－1x ＝－x -12，则y ′＝12x -32＝12x x，所以②正确；若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x －3，所以f ′(3)＝－227，所以③正确；若y ＝a x (a >0)，则y ′＝a x ln a ，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.3．若函数y ＝x m 的导函数为y ′＝6x 5，则m ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 因为y ＝x m ，所以y ′＝mx m －1，与y ′＝6x 5相比较，可得m ＝6. 4．已知函数f (x )＝xe x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋x e xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x ，故选B.5．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )<0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(0,2)∪(－∞，－1) D ．(2，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝x 2－2x －4ln x 的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ，由f ′(x )＝2x 2－2x －4x<0，得0<x <2，∴f ′(x )<0的解集为(0,2)，故选B. 6．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝a e x ＋x ，若1<f ′(0)<2，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选B 根据题意，f (x )＝a e x ＋x ，则f ′(x )＝(a e x )′＋x ′＝a e x ＋1，则f ′(0)＝a ＋1，若1<f ′(0)<2，则1<a ＋1<2，解得0<a <1，所以实数a 的取值范围为(0,1)．故选B.对点练(二) 导数的几何意义1．(2018·安徽八校联考)函数f (x )＝tan x 2在⎣⎡⎦⎤π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线的倾斜角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选Bf ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2cos x 2′＝12cos 2x 2，得切线斜率k ＝tan α＝f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，故α＝π4，选B.2．若函数f (x )＝x 3－x ＋3的图象在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，即3x 2－1＝2⇒x ＝1或－1，又f (1)＝3，f (－1)＝3，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故点P 的坐标为(1,3)或(－1,3)．3．(2018·福州质检)过点(－1,1)与曲线f (x )＝x 3－x 2－2x ＋1相切的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条解析：选C 设切点P (a ，a 3－a 2－2a ＋1)，由f ′(x )＝3x 2－2x －2，当a ≠－1时，可得切线的斜率k ＝3a 2－2a －2＝(a 3－a 2－2a ＋1)－1a －(－1)，所以(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a 3－a 2－2a ，即(3a 2－2a －2)(a ＋1)＝a (a －2)(a ＋1)，所以a ＝1，此时k ＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f ′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．4．(2018·重庆一模)已知直线y ＝a 与函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1的图象相切，则实数a的值为( )A ．－26或83B ．－1或3C ．8或－83D ．－8或83解析：选D 令f ′(x )＝x 2－2x －3＝0，得x ＝－1或x ＝3，∵f (－1)＝83，f (3)＝－8，∴a ＝83或－8. 5．(2018·临川一模)函数f (x )＝x ＋ln xx的图象在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12B.14C.32D.54解析：选B 因为f (x )＝x ＋ln xx ，f ′(x )＝1＋1－ln x x 2，所以f (1)＝1，f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)．令x ＝0，可得y ＝－1；令y ＝0，可得x ＝12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选B.6．(2018·成都诊断)若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D 由题意知，函数y ＝ln x ＋ax 2的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x≥0恒成立，即2ax 2＋1≥0，a ≥－12x 2恒成立，又在定义域内，－12x 2∈(－∞，0)，所以实数a 的取值范围是[0，＋∞)．7．(2017·柳州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′(x )e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －be x，又F (x )的图象在x＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ F ′(0)＝－2，F (0)＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min＝0.8．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝ln x ，则下列说法中正确的为( ) A ．f (x )，g (x )的图象在点(1,0)处有公切线B ．存在f (x )的图象的某条切线与g (x )的图象的某条切线平行C ．f (x )，g (x )的图象有且只有一个交点D ．f (x )，g (x )的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A ，f (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝2x －2，函数g (x )的图象在点(1,0)处的切线为y ＝x －1，故A 错误；对于B ，函数g (x )的图象在(1,0)处的切线为y ＝x －1，设函数f (x )的图象在点(a ，b )处的切线与y ＝x －1平行，则f ′(a )＝2a＝1，a ＝12，故b ＝⎝⎛⎭⎫122－1＝－34，即g (x )的图象在(1,0)处的切线与f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫12，－34处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C ，D 错误．故选B.9．(2018·包头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：函数f (x )＝x 3＋ax ＋1的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(1)＝3＋a ，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －a －2＝(3＋a )(x －1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a －2＝(3＋a )(2－1)，解得a ＝1.答案：1[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴f (1)＝2. ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4≤x ≤－1时，h ′(x )≥0； 当－1＜x ≤3时，h ′(x )≤0； 当3＜x ≤4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，∴h (x )的最大值为m ＋53，∴m ＋53≤0，即m ≤－53.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－53. 2．(2018·青岛期末)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又因为f ′(x )＝a ＋bx2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0 |2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．(3)证明：不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．(3)证明：设存在直线与曲线C 同时切于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则点A (x 1，y 1)处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 31－2x 21＋3x 1＝(x 21－4x 1＋3)(x －x 1)，化简得y ＝(x 21－4x 1＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 31＋2x 21，而点B (x 2，y 2)处的切线方程是y ＝(x 22－4x 2＋3)x ＋⎝⎛⎭⎫－23x 32＋2x 22. 由于两切线是同一直线，则有x 21－4x 1＋3＝x 22－4x 2＋3，即x 1＋x 2＝4；又有－23x 31＋2x 21＝－23x 32＋2x 22，即－23(x 1－x 2)·(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，则－13(x 21＋x 1x 2＋x 22)＋4＝0，则x 1(x 1＋x 2)＋x 22－12＝0，即(4－x 2)×4＋x 22－12＝0，即x 22－4x 2＋4＝0，解得x 2＝2.但当x 2＝2时，由x 1＋x 2＝4得x 1＝2，这与x 1≠x 2矛盾． 所以不存在与曲线C 同时切于两个不同点的直线．第二节 导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间；2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[基本知识]1．函数的单调性与导数的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f (x )在(a ，b )内可导，且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递增； f ′(x )≤0⇔函数f (x )在(a ，b )上单调递减．(2)f ′(x )>0(<0)在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的充分条件．[基本能力]1．判断题(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()答案：(1)×(2)√(3)×2．填空题(1)函数f(x)＝e x－x的减区间为________．答案：(－∞，0)(2)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．答案：单调递增(3)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案：3[全析考法][例1] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， 2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法研究函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2] (2018·山东德州期中)已知函数f (x )＝13x 3－(2m ＋1)x 2＋3m (m ＋2)x ＋1，其中m为实数．(1)当m ＝－1时，求函数f (x )在[－4,4]上的最大值和最小值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当m ＝－1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1，f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)．当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－3<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴当x ＝－3时，f (x )极大值＝10； 当x ＝1时，f (x )极小值＝－23.又∵f (－4)＝233，f (4)＝793，∴函数f (x )在[－4,4]上的最大值为793，最小值为－23.(2)f ′(x )＝x 2－2(2m ＋1)x ＋3m (m ＋2) ＝(x －3m )(x －m －2)．当3m ＝m ＋2，即m ＝1时，f ′(x )＝(x －3)2≥0， ∴f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当3m >m ＋2，即m >1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <m ＋2或x >3m ， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)．当3m <m ＋2，即m <1时，由f ′(x )＝(x －3m )(x －m －2)>0可得x <3m 或x >m ＋2， 此时f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)． 综上所述：当m ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当m >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，m ＋2)，(3m ，＋∞)； 当m <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，3m )，(m ＋2，＋∞)．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法[全练题点]1.[考点二](2018·江西金溪一中等校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )ex 的单调递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫43，4 C.⎝⎛⎭⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g (x )的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.2.[考点二](2018·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D. 3.[考点一]已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．4.[考点二]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．[全析考法]已知函数的单调性求参数的取值范围[例1](1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.[方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0.(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．比较大小或解不等式[例2] (1)(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1) 的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定(2)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)设g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增， 当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．(2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)A (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )>g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎡⎦⎤f (x )e x ′.[全练题点]1.[考点一]若函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，则( ) A ．a ≥3 B ．a ＝3 C ．a ≤3D ．0<a <3解析：选A 因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋4在区间[0,2]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在[0,2]上恒成立．当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥32x 在(0,2]上恒成立．因为32x ≤3，所以a ≥3.综上，a ≥3. 2.[考点一]已知函数f (x )＝12x 2－t cos x ，若其导函数f ′(x )在R 上单调递增，则实数t 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－1，13 解析：选C 因为f (x )＝12x 2－t cos x ，所以f ′(x )＝x ＋t sin x ．令g (x )＝f ′(x )，因为f ′(x )在R 上单调递增，所以g ′(x )＝1＋t cos x ≥0恒成立，所以t cos x ≥－1恒成立，因为cos x ∈[－1,1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ≥－1，t ≥－1，所以－1≤t ≤1，即实数t 的取值范围为[－1,1]．3.[考点二]对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4.[考点二](2018·江西赣州联考)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x .由已知f (x )>1－f ′(x )，可得g ′(x )>0在R 上恒成立，即g (x )是R 上的增函数．因为f (0)＝0，所以g (0)＝－1，则不等式e x f (x )>e x －1可化为g (x )>g (0)，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．5.[考点一](2018·四川成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)6.[考点一](2018·辽宁大连双基测试)已知函数f (x )＝ln x ＋axx ＋1(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2x 相切，求a 的值．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝(x ＋1)2＋axx (x ＋1)2.∵函数f (x )在区间(0,4)上单调递增，∴f ′(x )≥0在(0,4)上恒成立，∴(x ＋1)2＋ax ≥0， 即a ≥－x 2＋2x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x －2在(0,4)上恒成立． ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴a ∈[－4，＋∞)． (2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，f ′(x 0)＝2，y 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1，∴1x 0＋a (x 0＋1)2＝2，①且2x 0＝ln x 0＋ax 0x 0＋1.②由①得a ＝⎝⎛⎭⎫2－1x 0(x 0＋1)2，③ 代入②，得2x 0＝ln x 0＋(2x 0－1)(x 0＋1)， 即ln x 0＋2x 20－x 0－1＝0.令F (x )＝ln x ＋2x 2－x －1，x >0，则 F ′(x )＝1x ＋4x －1＝4x 2－x ＋1x >0， ∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵F (1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得a ＝4.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立． 因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.2．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.4．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0， 即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间1.(2018·福建龙岩期中)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－2) B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题图可以看出－2,3是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－2b 3＝1，c3＝－6，即2b ＝－3，c ＝－18，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3可化为y ＝log 2(x 2－x －6)．解x 2－x －6>0得x <－2或x >3.因为二次函数y ＝x 2－x －6的图象开口向上，对称轴为直线x ＝12，所以函数y ＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选A.2．(2017·焦作二模)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x －2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )<0可得(4x －2)ln x <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －2>0，ln x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2<0，ln x >0，解得12<x <1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，故选B. 3．(2018·湖北荆州质检)函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 对点练(二) 利用导数解决函数单调性的应用问题1．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：选B f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意知，f ′(x )≤0在R 上恒成立，则Δ＝(2a )2－4×(－1)×(－3)≤0恒成立，解得－3≤a ≤ 3.2．(2018·河北正定中学月考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选B 由f (x )＝f (2－x )可知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称．根据题意知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以f (3)＝f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .故选B.3．(2018·河北唐山期末)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选D 因为f (－x )＝ln(e －x ＋e x )＋(－x )2＝ln(e x ＋e －x )＋x 2＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．通过导函数可知函数y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|，解得x <。

第五章⎪⎪⎪平面向量. .第一节 平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.突破点(一) 平面向量的有关概念 .[基本知识][基本能力]1．判断题(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2) 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．填空题 (1)给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②(2)若a 、b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是________．答案：a 与b 反向共线[全析考法][典例] (1)(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A ．长度相等的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线 (2)(2018·枣庄期末)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0[解析] (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．(2)对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，故a ＝b 不一定成立；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.[答案] (1)C (2)C [易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．[全练题点]1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D.2．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：选C 对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.3.如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH ―→相等的向量有________；(2)与向量GH ―→共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA ―→共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB ′―→， HC ―→ (2) EC ′―→， LE ―→，LB ′―→， GB ―→，HC ―→ (3) EF ―→， FB ―→， HA ′―→，HK ―→，KB ′―→突破点(二) 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .[基本能力]1．判断题(1)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 2．填空题(1)化简：①AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝________. ②NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝________. 答案：①AB ―→②0(2)若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：2(3)在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ， AN ―→＝3NC ―→，则AN ―→＝________(用a ，b 表示)． 答案：34a ＋34b[全析考法]尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．[例1] (1)(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→(2)(2018·深圳模拟)如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2[解析] (1)BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝BA ―→＋12AE ―→＝－AB ―→＋12(AD ―→＋12AB ―→＋CE ―→)＝－AB ―→＋12⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＋13 CB ―→ ＝－AB ―→＋12AD ―→＋14AB ―→＋16(CD ―→＋DA ―→＋AB ―→)＝－23AB ―→＋13AD ―→.(2)因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→＝λ(AB ―→＋BM ―→)＋μ(BA ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12 AD ―→ ＋μ(－AB ―→＋AD ―→)＝(λ－μ)AB ―→＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD ―→，且AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．平面向量共线定理的应用(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R )．[例2] (1)(2017·芜湖二模)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－14C.14D ．4(2)(2018·怀化一模)已知向量a ，b 不共线，向量AB ―→＝a ＋3b ，BC ―→＝5a ＋3b ，CD ―→＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线[解析] (1)因为向量a ，b 是两个不共线的向量，所以若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－14，故选B.(2)因为BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ―→，所以BD ―→，AB ―→共线，又有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B.[答案] (1)B (2)B[方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用[全练题点]1. [考点一](2018·长春一模)在梯形ABCD 中，AB ―→＝3DC ―→，则BC ―→＝( ) A ．－23AB ―→＋AD ―→B ．－23AB ―→＋43AD ―→C ．－13AB ―→＋23AD ―→D ．－23AB ―→－AD ―→解析：选A 因为在梯形ABCD 中，AB ―→＝3DC ―→，所以BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－AB ―→＋AD ―→＋13AB ―→＝－23AB ―→＋AD ―→，故选A.2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，设AB ―→＝m AC ―→(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ， ∴λμ＝1，故选D.3.[考点二](2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且m n ≠0，若a ∥b ，则mn ＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.4.[考点一]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→ D.16AC ―→＋32AB ―→解析：选C 如图，∵EC ―→＝2AE ―→，∴EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→. 5.[考点一]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→，故选A.2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( )A ．AD ―→ B.12AD ―→ C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：选A EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→，故选A. 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：12[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量的有关概念1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ．∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二) 平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b , 则BE ―→＝( )A.12b －a B.12a －b C ．－12a ＋bD.12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A. 4．(2017·郑州二模)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN ―→＝n AC ―→可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM ―→＝m AB ―→，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3. 法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)·AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)·n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.5．(2018·银川一模)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，则PC ―→＋PA ―→＝________.解析：因为BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC ―→＋PA ―→＝0.答案：06．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x－y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．(2018·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R )，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→， AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， OC ―→＝c ， OD ―→＝d ， OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图， 所以AG ―→＝AB ―→＋AC ―→＝a ＋b ，AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线.第二节 平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示.突破点(一) 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]1．判断题(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．填空题(1)设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：0(2)设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3e 1＋3e 2(3)(2018·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AM ―→＝________.答案：－b ＋12a[全析考法][典例] (1)(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④(2)(2018·岳阳质检)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ的值为( )A.14B.15C.45D.54[解析] (1)①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.(2)法一：连接AC (图略)，由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎣⎡⎭⎫λ2＋μ2⎣⎡⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0.又AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：根据题意作出图形如图所示，连接MN 并延长，交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，因为T ，M ，N 三点共线，所以λ＋μ＝45.[答案] (1)C (2)C[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[全练题点]1．(2018·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )A ．a －2b 与－a ＋2bB ．3a －5b 与6a －10bC ．a －2b 与5a ＋7bD ．2a －3b 与12a －34b解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a －2b 与5a ＋7b 不共线，故a －2b 与5a ＋7b 可以作为一组基底．2.向量e1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( ) A ．－4e 1－2e 2 B.－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C 结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2.3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A 由题意得AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝BC ―→＋AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－12AB ―→，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A.4.(2018·湖南邵阳一模)如图， 在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ―→＝m a ＋nb ，则m ＋n ＝________.解析：根据已知条件得，BQ ―→＝AQ ―→－AB ―→＝12AP ―→－AB ―→＝12(m a ＋nb )－a ＝⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b ， CR ―→＝BR ―→－BC ―→＝12BQ ―→－AC ―→＋AB ―→＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝⎛⎭⎫m 4＋12a ＋⎝⎛⎭⎫n 4－1b ，∴QP ―→＝m 2a ＋n 2b ， RQ ―→＝⎝⎛⎭⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP ―→＝－⎝⎛⎭⎫m 8＋14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b .∵RQ ―→＋QP ―→＝RP ―→，∴⎝⎛⎭⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝⎛⎭⎫－m 8－14a ＋⎝⎛⎭⎫12－n 8b ，∴⎩⎨⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎨⎧m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67.答案：67突破点(二) 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力](1)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)(2)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3(3)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则AD ―→＝________.答案：(－1，－1)(4)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 解析：AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)，据题意知AB ―→∥AC ―→，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－54[全析考法]平面向量的坐标运算[例1] (1)(2018·绍兴模拟)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若 PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则BC ―→＝________.[解析] (1)MN ―→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ―→＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(2)AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，∴AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)．PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)， ∴BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)． [答案] (1)A (2)(－6,21) [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．平面向量共线的坐标表示[例2] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[全练题点]1.[考点一]若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2.[考点一]已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.3.[考点二](2018·丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝0解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y ＋4x ＝0，故选C.4.[考点二](2018·江西四校联考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析：由题意得，a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，得3×3－3k ＝0，解得k ＝1.答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.答案：－6[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量基本定理1．(2018·珠海一模)如图，设O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD ―→与AB ―→；②DA ―→与BC ―→； ③CA ―→与DC ―→；④OD ―→与OB ―→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B ①中AD ―→，AB ―→不共线；③中CA ―→，DC ―→不共线．②④中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2．(2018·山西太原质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A 设BM ―→＝t BC ―→，则AN ―→＝12AM ―→＝12(AB ―→＋BM ―→)＝12AB ―→＋12BM ―→＝12AB ―→＋t 2BC―→＝12AB ―→＋t 2(AC ―→－AB ―→)＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB ―→＋t 2AC ―→，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12，故选A. 3．(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.12a ＋23b 解析：选C 如图，根据题意，得AB ―→＝12AC ―→＋12DB ―→＝12(a －b )，AD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12(a ＋b )．令AF ―→＝t AE ―→，则AF ―→＝t (AB ―→＋BE ―→)＝t ⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34 BE ―→ ＝t 2a ＋t 4b .由AF ―→＝AD ―→＋DF ―→，令DF ―→＝s DC ―→，又AD ―→＝12(a ＋b )，DF ―→＝s 2a －s 2b ，所以AF ―→＝s ＋12a ＋1－s 2b ，所以⎩⎨⎧t 2＝s ＋12，t 4＝1－s 2，解方程组得⎩⎨⎧s ＝13，t ＝43，把s 代入即可得到AF ―→＝23a ＋13b ，故选C.4．(2018·山东潍坊一模)若M 是△ABC 内一点，且满足BA ―→＋BC ―→＝4BM ―→，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A.12B.13C.14D ．2 解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA ―→＋BC ―→＝2BD ―→，于是2BD ―→＝4BM ―→，从而BD ―→＝2BM ―→，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12.5．(2018·湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为( )A.12B.13 C ．2D ．3解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，∴AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13·(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x ，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y＝13. 对点练(二) 平面向量的坐标表示1．(2018·福州一模)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选D 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．(2018·河北联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－2，－4) C ．(－3，－6)D ．(－4，－8)解析：选D 由a ∥b ，得m ＋4＝0，即m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．(2018·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋nb ＝(2m －n ,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋nb 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，故选C.4．(2018·河南六市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB ―→同方向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A 因为AB ―→＝(3，－4)，所以与AB ―→同方向的单位向量为AB ―→|AB ―→|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．6．(2017·南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ) OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.7．(2018·河南中原名校联考)已知a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3,3)解析：选C 根据平面向量基本定理，得向量a ，b 不共线，∵a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，∴2m －3－3m ≠0，∴m ≠－3.故选C.[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·皖南八校模拟)如图，∠AOB ＝π3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．(1)用向量A 1A 2―→与B 1B 2―→表示向量MN ―→； (2)求向量MN ―→的模．解：(1)MN ―→＝MA 1―→＋A 1A 2―→＋A 2N ―→，MN ―→＝MB 1―→＋B 1B 2―→＋B 2N ―→，两式相加，并注意到点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点，得MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)．(2)由已知可得向量A 1A 2―→与B 1B 2―→的模分别为1与2，夹角为π3，所以A 1A 2―→·B 1B 2―→＝1，由MN ―→＝12(A 1A 2―→＋B 1B 2―→)得|MN ―→|＝ 14( A 1A 2―→＋B 1B 2―→)2 ＝12A 1A 2―→2＋B 1B 2―→2＋2A 1A 2―→·B 1B 2―→＝72.2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，有CM ―→＝3c ， CN ―→＝－2b ，求：(1)3a ＋b －3c ；(2)满足a ＝m b ＋nc 的实数m ，n ； (3)M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)， (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M 的坐标为(0,20)．又CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N 的坐标为(9,2)．故MN ―→＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．3．已知三点A (a ,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a ，0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即当且仅当a ＝b ＝4时，a ＋b 取最小值为8.第三节 平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点：1.平面向量的数量积；2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点(一) 平面向量的数量积[基本知识]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |c os θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |c os θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |c os θ的乘积． (3)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[基本能力]1．判断题(1)在△ABC 中，向量AB ―→与BC ―→的夹角为∠B .( ) (2)0·AB ―→＝0.( )(3)若a 与b 共线，则a ·b ＝|a ||b |.( ) (4)(a －b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．填空题(1)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则a ·b ＝________. 答案：－10(2)已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：32(3)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2且a ·b ＝－2，则向量a 与b 的夹角为________． 答案：2π3[全析考法]平面向量数量积的运算1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 思路一若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算 思路二根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解[典例] (1)(2018·商丘模拟)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3(2)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ―→·DB ―→＝________.[解析] (1)依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32. (2)因为DM ―→＝DA ―→＋AM ―→＝DA ―→＋13AB ―→，DB ―→＝DA ―→＋AB ―→，所以DM ―→·DB ―→＝⎝⎛⎭⎫DA ―→＋13 AB ―→ ·(DA ―→＋AB ―→)＝|DA ―→|2＋13|AB ―→|2＋43DA ―→·AB ―→＝1＋43－43AD ―→·AB ―→＝73－43|AD ―→|·|AB ―→|·c os 60°＝73－43×1×2×12＝1.[答案] (1)A (2)1 [易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．[全练题点]1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( )A ．12B ．8C ．－8D ．2解析：选A ∵|a |c os 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·c os 〈a ，b 〉＝3×4＝12. 2．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B.10 C. 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ，∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D. 3．(2018·重庆适应性测试)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3D.332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×c os 2π3＝－12，|a |＝(e 1＋2e 2)2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝－923＝－332，故选A.4．(2018·成都模拟)已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ―→＝λAB ―→，λ∈R ，若BD ―→·CP ―→＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12C.13D ．－13解析：选A 法一：由题意可得BA ―→·BC ―→＝2×2c os π3＝2，BD ―→·CP ―→＝(BA ―→＋BC ―→) ·(BP ―→－BC ―→) ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(AP ―→－AB ―→)－BC ―→] ＝(BA ―→＋BC ―→)·[(λ－1)·AB ―→－BC ―→]＝(1－λ)BA ―→2－BA ―→·BC ―→＋(1－λ)BA ―→·BC ―→－BC ―→2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ―→·CP ―→＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1.∵AP ―→＝λAB ―→，∴λ＝12.故选A.突破点(二) 平面向量数量积的应用[基本知识]平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.[基本能力](1)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a ＋b ，则|c |＝________. 答案：13(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则c os θ＝232×2＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.答案：π6(3)已知向量a ＝(1，t)，b ＝(6，－4)．若a ⊥b ，则实数t 的值为________． 答案：－32[全析考法][例1] (1)(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，它们的夹角θ＝60°.若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2(2)平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形[解析] (1)由题意得c os θ＝12. ∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝tm ·n ＋n 2＝t |m ||n |×12＋|n |2＝t3|n |2＋|n |2＝0，解得t ＝－3.故选B. (2)因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．[答案] (1)B (2)C [方法技巧]平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[提醒] 注意x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题[例2] 2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB ―→·AC ―→＝－1，则|BC ―→|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6[解析] (1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又|a －b |＝2，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B.(2)因为AB ―→·AC ―→＝－1，所以|AB ―→|·|AC ―→|·c os 120°＝－1，即|AB ―→|·|AC ―→|＝2，所以|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→|2＝AC ―→2－2AB ―→·AC ―→＋AB ―→2≥2|AB ―→|·|AC ―→|－2AB ―→·AC ―→＝6，当且仅当|AB ―→|＝。