浙教版 三角形综合总复习

第一章三角形【夯实基础】一、认识三角形1.三角形的概念及其分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

分类：①按内角大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形②按边分为两类：等腰三角形和等边三角形2.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边3.三角形的内角与外角（1）三角形的内角和为180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角③一个三角形中至少有两个内角是锐角（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和4.三角形的角平分线、中线、高和垂直平分线（1）角平分线定义：三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线性质：①角平分线可以得到两个相等的角②角平分线上的点到角两边的距离相等③三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边距离相等④三角形一个角的平分线，此角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例（2）中线定义:三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有三条中线 性质：①三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心，重心分中线为2:1 ②任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。

中线都把三角形分成面积相等的两个部分③在一个直角三角形中，直角所对应的边上的中线为斜边的一半（3）高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段 性质：①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点也在三角形内部 ②直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。

交点是直角的顶点。

③钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部，交点在三角形的外部（4）垂直平分线（中垂线） 定义：经过某一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线，又称“中垂线” 性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等 ④垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点（2）直线垂直线段判定方法：1、利用定义：经过某一条线段的中点，且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线 2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）作图方法：① 尺规作图法a. 在纸上任意点出A 、B 两个点，连接AB 两点作为要做出垂直平分线的线段b. 分别以A 、B 为圆心，以大于线段AB 的二分之一长度为半径画圆弧，得到两个圆弧的交点C 、D(两交点交于线段的两侧)c. 连接CD ，与AB 相交于E ，则CD 为AB 的垂直平分线，AE=BEd. AB 、CD 相互垂直平分，即CD 是AB 的垂直平分线 ② 度量法③ 折纸法（折叠法）【拓展提升】尺规作图一、知识点梳理：（一）尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

第二章复习知识讲解一、轴对称图形1.对称轴的性质：轴对称图形的对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。

2.成轴对称的两个图形是全等图形。

3.折叠问题二、等腰三角形的性质及判定（一）性质1.等边对等角。

2.三线合一（同一顶点）。

3.两腰上的中线相等。

4.两底角平分线相等。

（二）判定满足以上四条性质即可判定为等腰三角形。

注：等边三角形的性质与等腰三角形的性质相似，但判定不可。

（二）等边三角形的判定1.有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。

2.三条边相等或两角为60°的三角形为等边三角形。

三、逆命题与逆定理1.逆命题：原命题的条件和结论互换位置的命题称为该命题的逆命题。

2.逆定理：一定是真命题。

3.定理一定是真命题，但不是所有的真命题都是定理。

四、直角三角形的性质1. 两锐角互余。

2. 斜边上的中线为斜边的一半。

3. 30°角所对直角边为斜边一半。

且两直角边成3倍关系。

五、勾股定理1. a²+b²=c²，两直角边平方和等于斜边的平方。

2. 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；9,12,13.3. 利用勾股定理会求第三边，会算距离，构建直角三角形，会算方向，会画出一些特殊线段。

六、直角三角形的判定1. 有两个角互余的角为直角三角形。

2. 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（勾股定理的逆定理）3. 一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）七、补充点1. 垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

2. 角平分线逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例1 有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ B ）A.1个B.2个C.3个D.4个例2 下列说法中正确的是（ C ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方典型例题C.在Rt △ABC 中，∠C =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)D.在Rt △ABC 中，∠B =90°，所以222c b a =+ (a ,b ,c 分别为∠A , ∠B, ∠C 的对边)例3 如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（C ）A.2B.2C.3D.23例4 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是11≤a≤12例5 已知等边三角形的高为23，则它的边长为 4例6 如图，已知∠BAC =130°，AB=AC ，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，则∠ADB=50°例7 如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=62一、选择题1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( A )A. AD与BDB. BD与BCC. AD与BCD. AD，BD与BC2. 若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1，则此等腰三角形的周长为( B )A. 5B. 7C. 5或7D. 63.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A.44°B. 60°C. 67°D. 77°4.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（D）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里5.如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（C）A.（1，2）B.（2，2）C.（3，2）D.（4，2）6.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若BC=9，CD=3，则△ADB的面积是（D）同步练习A.27B.18C.183D.937.如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3:4:5；(3)三边之比为5:12:13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为( D )A．50°B．130°C．55°或130°D．50°或130°10.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（C）A.0B.1C.2D.311.如图所示，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm，则△ODE的周长为( A )A. 10cmB. 8cmC. 12cmD. 20cm12.如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ C ）A.AE=EFB.E是AC的中点C.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等二、填空题24 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是52.如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝33.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10 米．4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为115．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠2，则△ABC的边BC的长为AGE=30°，若AE=EG=3三、解答题1. 如图所示，已知AB＝AC，D是AB上的一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连接AP（1）求AB的长度；45（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.16,45（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，能不能使得DE=CD？若能，请求出此时t的值，若不能请说明理由. 53.如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．等边三角形4.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD 的右侧．．作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 °．（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.∠α+∠β=180②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．α=β。

七年级数学知识点总结第一章三角形的初步认识1.1认识三角形①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

“三角形”用符号“△”表示，顶点是ABC的三角形记做“△ABC”读作“三角形ABC”。

由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。

②三角形三个内角的和等于180°。

由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。

三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。

1.2三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

1.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。

而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。

1.4全等三角形能够重合的两个图形称为全等图形。

能够重合的两个三角形称为全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示。

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

1.5三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。

当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。

②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

其中真命题的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（4）【例3】下列判定正确的是（ ） A ．两边和一角对应相等的两个三角形全等 B ．一边及一锐角相等的两个直角三角形全等 C ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等 D ．三个内角对应相等的两个三角形全等【例4】关于命题“若a 2=b 2”，则“a=b”下面四组关于a ，b 的值中，能说明那个命题是假命题的是（ ） A ．a=3，b=3 B ．a=﹣3，b=﹣3C ．a=3，b=﹣3D ．a=﹣3，b=﹣2【例5】如图，在ABC △中，AD 、CH 分别是高线和角平分线，交点为E ，已知4CA =，1DE =，则ACE △的面积等于（ ）．A ．8B ．6C ．4D ．2例5图 例6图【例6】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A ，B 为圆心，大于 1 2 AB 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结CD ，BE ．下列结论错误．．的是（ ） A. AD ＝CDB. BE ＞CDC.∠BEC ＝∠BDCD. BE 平分∠CBD【例7】已知：如图，AP ＝DP ，∠A ＝∠D ． （1）求证：△ABP ≌△DCP ． （2）求证：∠1＝∠2【例8】如图，点C 是∠ABC 一边上一点．(1)按下列要求进行尺规作图：①作线段BC 的中垂线DE ，点E 为垂足；②作∠ABC 的平分线BD ；③连结CD ，并延长交BA 于点F.(2)若∠ABC ＝62°，求∠BFC 的度数．【例9】如图，ABC △和DCE △均是等腰三角形，CA CB =，CD CE =，BCA DCE ∠=∠． （1）求证：BD AE =．（2）若70BAC ∠=︒，求BPE ∠的度数．【例10】如图，ABC △中，E 是AC 边上一点，BE BC =，D 为三角形外一点，且DEA EBC ∠=∠，AC DE =． （1）求证：ABC △≌DBE △． （2）若50ABD ∠=︒，求C ∠的度数．【巩固训练】1. 如图所示，加固钢架BAC ，最多只能焊上9根等长的钢条：12P P ，23P P ，，910P P，且121PP P A =，则A ∠的取值范畴是（ ）．A ．1822.5A ︒∠<︒≤B ．910A ︒∠<︒≤C ．1518A ︒∠<︒≤D ．1011.25A ︒∠<︒≤第1题第2题2. 如图,D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点,若AB=AC,AD=AE,则（）A.当∠B为定值时,∠CDE为定值B.当∠α为定值时,∠CDE为定值C.当∠β为定值时,∠CDE为定值D.当∠γ为定值时,∠CDE为定值3. 在△ABC中，AB=AC，两底角的平分线交于点M，两腰上的中线交于点N，两腰上的高线所在直线交于点H，在线段AB，AC上分别有P，Q两点，且BQ=CP，线段BQ与CP交于点G，下面四条直线：①直线AM，②直线AH，③直线AH，④直线AG，其中必过BC中点的有（）A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是（）A. 1 B．2 C. 3 D．4第4题第5题5. 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）[来源: A．6 B．12 C．16 D．206. 在ABC∠=．边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂线交边BC于点E，连接△中，BACα∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）AD，AE，则DAE7. 当三角形中有一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特点三角形”，期中β称为“特点角”．若一个“特点三角形”是锐角三角形。

浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习概要在八年级的数学学习中，三角形及特殊三角形是一个重要的知识点板块。

这部分内容不仅是后续几何学习的基础，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，我们将对这一重要内容进行一次全面的总复习。

一、三角形的基本概念1、三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的构成要素三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

3、三角形的表示方法通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如△ABC。

二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个内角都小于 90 度的三角形。

（2）直角三角形：有一个内角等于 90 度的三角形。

（3）钝角三角形：有一个内角大于 90 度小于 180 度的三角形。

2、按边分类（1）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。

其中，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

（3）等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

三、三角形的三边关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

2、三角形任意两边之差小于第三边。

这两个关系在判断三条线段能否组成三角形时非常有用。

例如，给定三条线段 a、b、c，如果 a ＋ b ＞ c 且 a ＋ c ＞ b 且 b ＋ c ＞ a，那么这三条线段可以组成三角形；反之，如果存在 a b ＞ c 或 a c ＞ b 或b c ＞ a 中的任何一种情况，那么这三条线段不能组成三角形。

四、三角形的内角和1、三角形的内角和等于 180 度。

2、可以通过多种方法来证明这个定理，比如拼图法、作平行线法等。

五、特殊三角形——直角三角形1、直角三角形的定义有一个角为 90 度的三角形叫做直角三角形。

2、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习概要好嘞，以下是为您创作的浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习概要：在咱们八年级的数学世界里，三角形和特殊三角形那可是相当重要的角色！就好像是一场精彩的冒险之旅，充满了各种有趣的挑战和惊喜。

先来说说三角形吧。

三角形就像是一个稳定的小家庭，三条边紧紧相连，谁也离不开谁。

这三条边的长度可是有讲究的，两边之和得大于第三边，两边之差得小于第三边。

要是不满足这个条件，那可就组不成三角形啦。

就拿我前几天看到的一个事儿来说。

我去公园散步，看到一群小朋友在玩拼图游戏。

他们要用三根小木棒拼出三角形。

有个小朋友拿了两根短木棒和一根特别长的木棒，怎么拼都拼不出来，急得直跺脚。

我走过去告诉他，这三根木棒的长度不符合三角形三边的关系，所以拼不成。

小朋友听了恍然大悟，开心地又去重新挑选木棒了。

三角形的内角和也是个很重要的知识点。

不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，它们的内角和永远都是 180 度。

这就好像是一个不变的魔法定律。

特殊三角形就更有意思啦！等腰三角形就像是一对双胞胎，两条腰长度相等，两个底角也相等。

还有等边三角形，那简直就是三胞胎，三条边都一样长，三个角也都是 60 度，超级公平公正。

直角三角形呢，有个厉害的勾股定理。

两条直角边的平方和等于斜边的平方。

想象一下，一个直角三角形就像是一个直角的小房子，两条直角边是房子的两面墙，斜边就是屋顶，勾股定理就是保证这个房子稳稳当当的秘诀。

在做练习题的时候，要特别注意这些知识点的运用。

比如说，给你一个三角形的两条边的长度和一个角的度数，让你判断是什么三角形，这时候就得灵活运用三角形的各种性质和定理啦。

还有啊，在实际生活中，三角形和特殊三角形的应用也无处不在。

像我们常见的自行车车架，大多都是三角形的结构，这就是利用了三角形的稳定性，让我们骑车的时候更安全。

总之，复习三角形及特殊三角形的时候，要把知识点都理清楚，多做一些练习题，还要善于观察生活中的三角形应用。

一、等腰三角形定义及其性质【知识梳理】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．【例题精讲】例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________ ．例3．探究题：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明．②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．猜想：①∠AEB= °；②（CM、AE、BE的数量关系）．证明：。

【巩固练习】1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为__________ ．2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、直角三角形及全等的判定【知识梳理】1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．【说明】“推论”是从某一个定理直接推出的定理．【例题精讲】例1．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC＝900，且DE＝EC．（1）求证：△ADE≌△BEC；（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，请用图1证明勾股定理：a2＋b2＝c2；（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD＝2，BC＝4，求EF的长.例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P 从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时停止，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D、F两点间的距离等于______；（2）以点D为圆心，DC长为半径作圆交DE于M，能否在弧CM上找一点N，使直线QN切⊙D于N，且四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；（3）作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，当t为何值时，点P恰好落在射线QK上；（4）连接PG，当PG∥AB时，直接写出t的值．【巩固练习】1．将一块三角板的直角顶点放在正方形ABCD的对角线交点位置，两边与对角线重合如图甲，将这块三角板绕直角顶点顺时针方向旋转（旋转角小于90°）如图乙．（1）试判断△ODE和△OCF是否全等，并证明你的结论．（2）若正方形ABCD的对角线长为10，试求三角板和正方形重合部分的面积．2．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．四、探索勾股定理【知识梳理】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为和，斜边长为，那么．【注意】应用勾股定理时，应分清直角边和斜边，避免机械地运用公式．【说明】（1）解决直角三角形中线段的求值问题，要首先联想到勾股定理；（2）勾股定理是求线段长度、证明线段平方关系的重要依据．【例题精讲】例1．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．【巩固练习】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．2．已知：正方形ABCD的边长为2，△EFG为等腰直角三角形，∠EGF=90°．（1）如图1，当点G与点D重合，点E在正方形ABCD的对角线AC上时．求AE+AF的值；（2）如图2，当点G与点D重合，点E在线段CA的延长线上时．通过观察、计算，你能发现AF与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点G在线段DA的延长线上时，设AG=x．则线段AE、AF与x有怎样的数量关系，请说明理由．课后巩固● 请将本次课错题组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯● 学霸笔记复习，培养复习习惯1．（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．2．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．3．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点Q作 QD丄x轴，垂足为点D，交AC于点E．（1）求△APE的面积S与运动时间t（单位：秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点P，使得△APE为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有个．（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C 旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．5．提出问题：如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．证明猜想：（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．结论应用：（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．。