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αβa O A B 二面角题型归纳及解题方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B -PC -A 的大小。
二面角大小的求法〔例题〕二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点〔特殊点〕，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.O OA PA OB PAOB OAAOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠︒∠︒做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
提示：PAB PCD ≅，而且是直角三角形jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。
A AH BC BC H PH ABCDPA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2tag PHA 2PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠︒∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中，例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。
求〔1〕二面角P—BC—A的大小；〔2〕二面角C—PB—A的大小提示：角PAB是二面角，找到每个面的直角！！！射影，那么PM为面ＡＢＣ的垂线！例、如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.提示：ＡＡ１与ＢＢ１互相垂直ＡＦ是辅助线且垂直ＡＢ，ＦＥ平行ＢＢ１图4 B1AαβA1B LE F四、射影法：〔面积法〕利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA ＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.·例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.&解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.《例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.@—A图3αβP￥BlB 1 A *A 1l%EF@PCＳ| FGP AＳBＳ;C DＳF E,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .·例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.】解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,—又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.—(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.，所以cos∠DFG==.、3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
立体几何二面角5种常见解法立体几何二面角大小的求法一、定义法:二面角的类型和求法可用框图展现如下:直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面ABCD ,PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小二、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a，/ ABC=30，求二面角P-BC-A 的大小。
例、（2003北京春）如图,ABCD-ABCD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD》面CD所成二面角的正切值.AB例、△ ABC中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M二面角P—AC—B的大小为45°。
求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C-PB-A的大小例、（2006年陕西试题）如图4,平面丄平面，A =l, A €, B € ，点A在直线I上的射影为A i，点B在I的射影为B i，已知AB=2 , AA i = 1, BB i二V2，求：二面角A i —AB —B i 的大小.例、空间的点P到二面角l 的面、及棱I的距离分别为4、3、◎，求二面角3 的大小.三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直;四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射=S原cos ,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，PU平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ，ABM 600∴△ ABM 是等边三角形，BF 3 。
在△ GAB 中，AG 626，AB 2，GAB 900，cos BFG GF 2FB2BG 22GF FB132222112面角S AM6B的大小为arccos( 36)二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S—AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B）向棱AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F）作棱AM 的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例 1 如图，四棱锥S ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD ，AD 2DC SD 2，点M在侧棱SC上，ABM =60（I）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B 的大小。
证（I）略AM 的中点，过F点在平面ASM 内作GF AM ，GF交AS 于G，连结AC，∵△ ADC≌△ ADS，∴ AS-AC，且M是SC的中点，∴ AM⊥SC，GF⊥ AM，∴ GF∥AS，又∵ F为AM 的中点，∴GF是△ AMS的中位线，点G是AS的中点。
则GFB 即为所求二面角. ∵ SM 2 ，则GF解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形A BM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
立体几何二面角5种常见解法立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下:直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作 棱的 垂线‘得出平面角，用定义法时‘要认真观察图形的特T 生；例、如图，已知二面角a-a-p 等于120° ,PA 丄a ,A ea,PB 丄例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA 丄平面ABCD ， 一、定义法: - —面角I可见楼型—不见棱型解法 垂线法 *垂面法积法十P ，Bep.求 z APB 的大"、.PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a，z ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、（2003北京春）如图,ABCD-AiBiCiDi是长方体，侧棱AA】长为1, 底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面GDE与面CDE所成二面角的正切值・DAB例、△ ABC 中，Z A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°。
求（1 ）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小例、（2006年陕西试题）如图4，平面丄平面，n =h AG ，BG ，点A在直线I上的射影为Al，点B在I的射影为Bl，已知AB=2 ? AA 1=1，BBi=2，求：二面角Ai —AB — Bi 的大小.A三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的 平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角 I 的面、及棱I 的距离分别为四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=$原85 ,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA 丄平面ABCD ，PA=AB= a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
二面角的求法一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ， 又∵6==AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 。
在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-FGFG练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。
求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。
高中数学必修二立体几何常考内容，二面角的有关知识你掌握了吗？高中数学必修二立体几何中，有一类题型是求二面角的大小。
今天就说说二面角的有关知识及如何求二面角的问题。
一看见“二面角”这几个字，你“捡珍珠”，“穿珍珠”，“知识串”里应该有这些知识点（一）二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。
这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
（二）二面角的表示如果棱为l,面为α,β,则二面角表示为α-l-β.（三）二面角的大小（1）二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内，过该点做垂直于棱的垂线，两条垂线所形成的角叫二面角的平面角。
简单记忆，“点在棱上，线在面内，与棱垂直”。
（2）二面角大小的度量二面角的大小，用它的平面角去度量，平面角是多少度，二面角就是多少度。
（3）二面角的范围，0～180（4）二面角与它平面角的画法（四）二面角的求法常用的方法有“定义法”及“垂线法”（1）定义法求二面角的大小例：若P是ΔABC所在平面外一点，而ΔPBC和ΔABC都是边长为2的正三角形，PA=√6，那么二面角P-BC-A的大小为（）求二面角的步骤：①做：做出平面角②证：证明所做的角满足定义，是二面角的平面角③求：将做出的角放到三角形中，计算出平面角的大小④答：所求二面角的大小是多少。
（2）垂线法，过一个半平面内的一点A（不在棱上），向另一个半平面做垂线，垂足为B，再由B向二面角的棱做垂线，垂足为O，连AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
例：如图，在空间四边形ABCD中，ΔBCD是正三角形，ΔAB D 是等腰直角三角形，H是斜边BD的中点，且AH⊥平面BCD，二面角A-BD-C为直二面角，求二面角A-CD-B的正切值的大小.求二面角的大小，还可以用到“垂面法”，“公式法”这里公式法可以有两个公式，一个是cosθ=S射影/S原图，一个是空间向量学习后，转换成两平面的法向量的夹角去求。
希望本文对需要的家长和孩子有所帮助，也希望孩子们抓紧时间复习，期末考出好成绩！。
