2021高考一轮数学(理)第4章 第3节 第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝；cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .2.辅助角公式a sin α＋b cos α＝，其中sin φ＝，cos φ＝两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( )(3)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )√×××√∵α是第三象限角，2.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . tan β＝tan[(α＋β)－α]T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一两角和与差的三角函数公式√教师备选√√两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.√题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形√√由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴sin γ＝sin β－sin α>0，即选项D 正确，C 错误.√∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C.延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于√A.45°B.135°C.150°D.30°在△ABC中，因为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，所以tan C＝1，所以C＝45°.教师备选2 1.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.跟踪训练2　(1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ (sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>c√C.c>a>bD.a>c>b由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，＝sin(56°－45°)＝sin 11°，所以a>c>b.4(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三角的变换问题√(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .－1∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)教师备选因为sin2α＋cos2α＝1，(2)求tan(α－β)的值.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因此tan(α＋β)＝－2.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]因为α，β均为锐角，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)cos β＝ .则0<β－α<π，。

考点测试22 两角和与差的正弦、余弦和正切公式高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中等难度考纲 研读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系一、基础小题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D ．13答案 A解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3，故选A.2．已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1答案 A解析 由题意，得tan α＝m3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，所以m ＝－6或1，故选A.3．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72答案 C 解析 依题意得cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，所以cos α＋sin α＝12.故选C.4.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12 B ．32C ． 3D ． 2答案 C解析 原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝( ) A ．－235B ．235C ．－45D ．45答案 C解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，所以32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.故选C.6．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525B ．255C.2525或255D ．±2525答案 A解析 ∵α，β都是锐角，且cos α＝55＜12，∴0<β<π2，π3<α<π2，∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝35<32，∴2π3<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.故选A. 7．sin10°sin50°sin70°＝________. 答案 18解析 sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20° ＝sin10°cos10°cos20°cos40°cos10°＝18sin80°cos10°＝18.8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.答案 －1解析 解法一：由题意，得cos θ＝12，sin θ＝32，则sin2θ＝2sin θcos θ＝32，cos2θ＝2cos 2θ－1＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos2θcos π3－sin2θsin π3＝－12×12－32×32＝－1.解法二：由题意，得tan θ＝3，θ为第一象限角，所以θ＝2k π＋π3(k ∈Z )，所以2θ＝4k π＋2π3(k ∈Z )，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos(4k π＋π)＝－1. 二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A.89 B ．79 C ．－79D ．－89答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79，故选B.10．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，∴sin2α＝－79.故选A.11．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是________． 答案210解析 解法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α1－tan αtan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210. 解法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.12．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·ta n5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.13．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝sin αcos α＝2，所以sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(sin α＋cos α)＝31010.三、模拟小题14．(2019·陕西榆林模拟)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin α＝( )A.3－4310 B ．3＋4310C.33＋410D ．33－410答案 D解析 由题意知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝33－410，故选D.15．(2019·北京丰台二中期中)若sin2α＝a ，cos2α＝b ，且tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α有意义，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.1＋a ＋b1－a ＋bB ．a ＋1－ba －1＋bC.1＋abD ．b1－a答案 C解析 因为sin2α＝a ，cos2α＝b ，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos2α＝1＋ab.故选C. 16．(2019·黄冈质检)已知α＋β＝π6，且3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝( )A ．－33B ． 3C ．－ 3D ．3 3答案 D解析 由3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，得 3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－23，① 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，得3(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β，② 由①②得tan α＝33，故选D.17．(2019·辽宁省鞍山市第一中学高三一模)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2β＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 ∵α，β均为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－149＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12，可得sin β＝1－cos 2β＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋2β＝－cos2β＝sin 2β－cos 2β＝34－14＝12.故选B.18．(2019·郑州二模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝________.答案 45解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝435，可得cos αcos π3＋sin αsin π3＋cos α＝435，即32cos α＋32sin α＝435，3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝45.一、高考大题1．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－tan α＋β1＋tan2αtan α＋β＝－211.二、模拟大题2．(2019·厦门模拟)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解 (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以－π2<α－β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1，且sin α－βcos α－β＝－13， 解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 3．(2019·贵阳质量监测(二))已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π(k ∈Z )，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.4．(2020·陕西安康高三阶段考试)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×32＝12.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，所以cos2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.5．(2019·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2·cos(x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝0，求cos α－sin α的值．解 (1)因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)是奇函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2cos(x ＋θ)＝－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2·cos(－x ＋θ)，化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2·2cos x cos θ＝0，则有cos θ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2x 2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－12sin2x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＋25cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α＝0⇒ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α， 因为cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝85cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0或cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0⇒α＝3π4， 所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－2； 由cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58，3π4<α＋π4<5π4， 得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－104⇒22(cos α－sin α) ＝－104⇒cos α－sin α＝－52. 综上，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.。

[基础题组练]1．(2020·新余一模)若sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝35，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.45 B ．35C ．－45D ．－35解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝35，所以cos 2α＝35，因此sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝1－2cos 2α＝－cos 2α＝－35，选D.2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝34，cos β＝13，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )A.37－2212B ．3－21412C.37＋2212D ．3＋21412解析：选D.因为cos β＝13，0<β<π2，所以sin β＝223，cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79<0，所以π2<2β<π.因为sin(α＋2β)＝34，α为锐角，所以π2<α＋2β<π，所以cos(α＋2β)＝－74， 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β] ＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223＝3＋21412.故选D. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，所以tan α＝－13，因为tan α＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1010. 所以2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝4sin α（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）＝22sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－1010＝－255.故选A.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A.34B ．－34 C.14D ．±34解析：选A.因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14， 所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×14＝34. 故选A. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32C. 3D ． 2解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝18sin 80°cos 10°＝18.答案：187．(2020·洛阳模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－458．已知tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ，则m ＝________． 解析：由题意，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m，则m3＋11－m 3＝2m ，所以m ＝－6或1.答案：－6或19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin ()α＋π的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以cos 2 α＝925，因此cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.[综合题组练]1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，则tan α＝( )A.34 B ．35C.43D ．53解析：选A.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＋cos α>0. 因为cos 2α＝25sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝15(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝15.将cos α－sin α＝15两边平方可得1－2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝1225.所以sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝1225. 分子、分母同除以cos 2 α可得tan αtan 2 α＋1＝1225，解得tan α＝34或43(舍)，即tan α＝34.2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.3．已知0<α<π2，且sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝________；sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝________．解析：因为0<α<π2，且sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝7. sin 2 α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝916＋642－916＝3323.答案：733234．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1， 得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1]5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， 所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210. 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第四章 三角函数、解三角形 第三节 简单的三角恒等变换第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( ) A ．5665 B ．－3365 C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sin A ＝513，所以B >A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( ) A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ．4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( ) A ．15 B ．－15 C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ． 解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35 B ．5－35 C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55 C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2 α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ．9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________． 解析：易知tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]． 因为tan(α－β)＝12， 所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan(2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan[(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32， 所以cos θ＝64.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C ，两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2. 又∵tan B tan C ＝1－2， ∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1.又∵B ＋C ∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π， ∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos(α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2， 可得cos α－sin α＝23， ① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x ∈[0，2π]，∴2x ∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，∴x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f (x )的所有零点之和等于7π，故选C ．16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018B ．π1 009C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max ＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第3讲 简单的三角恒等变形一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .常用结论记准四个必备结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a ±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2)． 二、教材衍化1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________． 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 答案：－72102． sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________． 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 答案：223． tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，所以原式＝3－3tan 20°tan40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.( )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，且对任意角α，β都成立． ( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式．1．化简：sin 50°sin 65°·1－cos 50°＝________．解析：原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2.答案： 22．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________． 解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：173．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________． 解析：法一：sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 得sin θ－cos θ＝15，①θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425， 可求得sin θ＋cos θ＝75，所以sin θ＝45，cos θ＝35，所以tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 法二：因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210， 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ， 所以tan θ＝43.故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.答案：－247第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式和差公式的直接应用(自主练透)1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B ．211C.112D ．－112解析：选A.因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B ．55C.33D ．255解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2 α，所以2sin α1－sin 2 α＝1－sin 2 α，解得sin α＝55，故选B.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．三角函数公式的逆用与变形用(多维探究) 角度一 公式的逆用(1)化简sin 10°1－3tan 10°＝________．(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________． 【解析】 (1)sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.(2)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.【答案】 (1)14 (2)22角度二 公式的变形用(1)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________．(2)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 【解析】 (1)sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.(2)原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.【答案】 (1)－1 (2)12(1)和差角公式的常见变形①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)．(2)二倍角正、余弦公式的常见变形方式①配方变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；②因式分解变形：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；③降幂扩角变形：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；④升幂缩角变形：1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2；⑤公式变形：cos α＝sin 2α2sin α，sin α＝sin 2α2cos α.1．(一题多解)3cos 15°－4sin215°cos 15°＝()A.12B．22C．1 D． 2解析：选D.法一：3cos 15°－4sin215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.法二：因为cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24，所以3cos 15°－4sin215°·cos 15°＝3×6＋24－4×⎝⎛⎭⎪⎫6－242×6＋24＝6＋24×(3－2＋3)＝6＋24×(23－2)＝ 2.故选D.2．计算sin 110°sin 20°cos2 155°－sin 2155°的值为________．解析：sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：12和差公式的灵活运用(多维探究)角度一 变角问题(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________． (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－29＝79.【答案】 (1)2525 (2)79角度二 变名问题求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.【解】 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒] 转化思想是实施三角变形的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________． 解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 答案：232.cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________．(用数字作答)解析：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin （10°＋30°）2·sin 40°＝ 2.答案： 2[基础题组练]1．(2020·新余一模)若sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝35，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.45 B ．35C ．－45D ．－35解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝35，所以cos 2α＝35，因此sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝1－2cos 2α＝－cos 2α＝－35，选D.2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝34，cos β＝13，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )A.37－2212B ．3－21412C.37＋2212D ．3＋21412解析：选D.因为cos β＝13，0<β<π2，所以sin β＝223，cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79<0，所以π2<2β<π.因为sin(α＋2β)＝34，α为锐角，所以π2<α＋2β<π，所以cos(α＋2β)＝－74， 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β] ＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223＝3＋21412.故选D. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：选A.因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，所以tan α＝－13，因为tan α＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1010. 所以2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝4sin α（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）＝22sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－1010＝－255.故选A.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A.34B ．－34C.14D ．±34解析：选A.因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝14， 所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×14＝34. 故选A. 5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12 B ．32C. 3D ． 2解析：选C.原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝18sin 80°cos 10°＝18.答案：187．(2020·洛阳模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－458．已知tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ，则m ＝________． 解析：由题意，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m，则m3＋11－m 3＝2m ，所以m ＝－6或1.答案：－6或19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin ()α＋π的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以cos 2 α＝925，因此cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.[综合题组练]1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，则tan α＝( )A.34 B ．35C.43D ．53解析：选A.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＋cos α>0. 因为cos 2α＝25sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝15(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝15.将cos α－sin α＝15两边平方可得1－2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝1225.所以sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝1225.分子、分母同除以cos 2 α可得tan αtan 2 α＋1＝1225，解得tan α＝34或43(舍)，即tan α＝34.2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.3．已知0<α<π2，且sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝________；sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝________．解析：因为0<α<π2，且sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2α＝45，所以tan α＝sin αcos α＝34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝7. sin 2 α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝916＋642－916＝3323.答案：733234．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1， 得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 即取值范围为[－1，1]． 答案：[－1，1]5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， 所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55，α为锐角， 所以sin α＝255，cos α＝55.又点B 的纵坐标是210. 所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.。