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⾼中数学竞赛指导（第四讲）第四讲三⾓函数性质及其应⽤赛点直击⼀、三⾓函数线及其应⽤在单位圆中（如图所⽰），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α⾓与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在⼆三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则sinα＝→MP 的数量，cosα＝→OM 的数量tanα＝→AT 的数量，cotα＝→BS的数量y由单位圆中函数线不难看出：（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π2) (实质为S ΔOPM ＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT )⼆、三⾓函数值1.三⾓函数的诱导公式(不列出，参照课本)2.⼋个基本关系平⽅关系：sin 2α＋cos 2α＝1, tan 2α＋1＝sec 2α, cot 2α＋1＝csc 2α .商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos αsin α. 倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1cos α, cot α＝1tan α. 三、三⾓函数的性质1.正、余弦函数的有界性2.三⾓函数的单调性3.三⾓函数的奇偶性4.三⾓函数的周期性赛题解析【例⼀】设x ∈[0,π]，试⽐较cos(sinx)与sin(cosx)的⼤⼩.解：令x ＝0,π2,π，分别代⼊cos(sinx)和sin(cosx)，易得: cos(sinx)＞sin(cosx);⼜当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π2＜－1＜cosx ＜0,则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).下⾯证明当0＜x ＜π2时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证明sin(π2－sinx)＞sin(cosx) 因为0＜x ＜π2，则0＜π2－sinx ＜π2,0＜cosx ＜1＜π2.故只需证明：π2－sinx ＞cosx ，即证明：sinx ＋cosx ＜π2,⽽sinx ＋cosx ≤2＜π2成⽴. (注：最后⼀步是因为sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)≤2).【例⼆】已知x 是第⼆象限⾓，且sinx ＋cosx ＝a(|a|≠1)，求下列各式的值：(1)tanx －cotx;(2)1－sinx 1＋sinx ＋1－cosx 1＋cosx. 解：（1）tanx －cotx ＝(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)sinxcosx. 根据sinx ＋cosx ＝a ，两边平⽅得：1＋2sinxcosx ＝a 2 , 即有sinxcosx ＝a 2－12 . 于是(sinx －cosx)2＝2－a 2 ⼜x 是第⼆象限⾓，则sinx －cosx ＝2－a 2，因此，tanx －cotx ＝2a 2－a 2a 2－1.(2) 1－sinx 1＋sinx ＋1－cosx 1＋cosx ＝1－sinx －cosx ＋1－cosx sinx＝(sinx －cosx)( sinx ＋cosx ＋1)sinxcosx ＝22－a 2a ＋1. 【说明】由sinx ±cosx ＝a 可以推出sinxcosx ＝±a 2－12，并可求出关于sinx,cosx 的任意⼀个对称式，如sin 3x ＋cos 3x ,sin 2x cosx ＋cos 2x sinx等的值.【例三】求证：ab ≤(asin 2x ＋bcos 2x)(bsin 2x ＋acos 2x)≤(a ＋b)24 (a ,b ＞0).【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin2α＋cos2α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x 结构.证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)≤[(asin2x＋bcos2x)＋(bsin2x＋acos2x)2]2＝(a＋b)24⼜ (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)＝ab(sin2x＋cos2x)2＝ab.故原不等式成⽴.【例四】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋B,|f(x)|在0≤x≤3π2上的最⼤值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时M最⼩？并证明之. 【分析】解决⼀个问题⾸先应考虑简化，题中函数f(x)可看作函数2sin(2x＋π4)和函数Ax＋B相加⽽成，2sin(2x＋π4)为静态的，Ax＋B为动态的（相对于f(x)的最值⽽⾔），本题主要考虑Ax ＋B 对f(x)的最⼤值和最⼩值的影响，借助图像可以使问题分析更直观.解：由函数解析式化简得：f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋Ax ＋B. 令g(x)＝2sin(2x ＋π4),x ∈[0,3π2];h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2]. 作出函数h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2]和g(x)＝2sin(2x ＋π4), x ∈[0,3π2]的图像，如图所⽰当x ＝π8,9π8时，g(x)取得最⼤值 2. 当x ＝5π8时，g(x)取得最⼩值－ 2.当h(π8)＞0或h(9π8)＞0时，f max ＞2,∴ M ＞ 2. 当h(π8)＜0且h(9π8)＜0时，h(5π8)＜0, ∴f min ＜－2, ∴ M ＞ 2当h(π8)＝h(9π8)＝0时，f max ＝2, f min ＝－2,∴ M ＝ 2. 此时A ＝B ＝0，即A ＝B ＝0时，M 有最⼩值 2.【例五】求证：在区间(0,π2)内存在唯⼀的实数对(c,d)，c,d ∈(0,π2),且c ＜d ，sin(cosc)＝c, cos(sind)＝d 使得成⽴.【分析】本题实质上是⽅程sin(cosx)＝x 和cos(sinx)＝x 的解的问题.解：设函数f(x)＝sin(cosx)－x, x ∈[0,π2]，则f(x)在其定义域上是连续函数，任取x 1,x 2∈[0,π2]，使得x 1＜x 2 f(x 1)＝sin(cosx 1)－x 1 , f(x 2)＝sin(cosx 2)－x 2 .由于y ＝cosx 在[0,π2]单调递减，则cosx 1＞cosx 2，且cosx 1、cosx 2∈[0,π2]，⽽y ＝sinx 在[0,π2]上是单调递增的，所以， sin(cosx 1)＞sin(cosx 2).⼜因x 1＜x 2，则sin(cos x 1)－x 1＞sin(cos x 2)－x 2 ，即f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在[0,π2]上是减函数. ⼜f(0)＝sin1＞0,f(π2)＝－π2＜0,故f(x)的图像在区间(0,π2)上与x 轴有唯⼀交点，即存在唯⼀实数c ∈(0,π2)使得等式sin(cosc)＝c 成⽴.同理可证明存在唯⼀实数d ∈(0,π2),使得等式cos(sind)＝d 成⽴.因为cos(sind)＝d ，所以sin(cos(sind))＝sind.⼜sind ∈(0,π2),⽽在(0,π2)内只有唯⼀解c 使sin(cosc)＝c 成⽴，故c ＝sind.当x ＞0时，sinx ＜x 成⽴，则sind ＜d,于是c ＜d,命题成⽴.【例六】设0≤a ≤1,且0≤x ≤π,试证明：(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0【分析】可以从等式的符号分析⼊⼿，考虑到当0≤a ≤1且0≤x ≤π时，sinx ＞0, sin(1－a)x ＞0, 1－a ＞0,所以当12＜a ≤1时，(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0成⽴；当0≤a ≤12时，(2a －1)sinx ≤0.故可将所证不等式变形为(1－a)sin(1－a)x ≥(1－2a)sinx ，能否将其转化为某⼀函数的两函数值关系问题？这⼀函数是什么？是xsinx ，还是sinx x证明：显然，当0≤x ≤π时，有sinx ≥0, sin(1－a)x ≥0.当a ∈[0,12]且x ＝0时, (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ＝0.下⾯证明a ∈[0,12]，0＜x ≤π时的情形. 定义函数f(x)＝sinx x ,0＜x ≤π,对于任何0＜x ＜x ＋δ≤π2有tanx ≥x 及sin(x ＋δ)＝sinxcos δ＋sin δcosx ≤sinx ＋cosx.则：sinx x －sin(x ＋δ)x ＋δ＝(x ＋δ)sinx －xsin(x ＋δ)x(x ＋δ)≥(x ＋δ)sinx －x(sinx ＋δcosx)x(x ＋δ)＝δcosx(tanx －x)x(x ＋δ)≥0. 所以f(x)＝sinx x 在(0,π2)上递减，⽽sinx 在[π2,π]上递减，故f(x)＝sinx x 在[π2,π]上递减，由此推知对任何x, 0＜x ≤π,0≤a ≤12,有 sinx x ≤sin(1－a)x (1－a)x, 得： sinx ≤sin(1－a)x 1－a. ⼜(1－a)2＝1－2a ＋a 2＞1－2a ＞0,则sin(1－a)x 1－a ≤1－a 1－2a·sin(1－a)x. 于是 sinx ≤1－a 1－2a·sin(1－a)x , 即 (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0.(本题证明函数f(x)＝sinx x的单调性⽤求导数的⽅法更简单)巩固练习1. 设a ＝xcos θ＋ysin θ,b ＝xsin θ＋ycos θ，当|x|≠|y|≠0时，对任意实数x,y,θ，则有( )A. a ＝b ＝0B. a, b 不同时为零C ．a ≠0且b ≠0 D.a 2＋b 2＝12. 对任意实数x,y ，设a ＝cosx 2＋cosy 2－cosxy ，则a 的取值范围是( )A. [－3,3]B. (－3,3)C. [－1,3)D. (－1,3]3. 平⾯上有两个定点A,B ，任意放置4个点C 1,C 2,C 3,C 4，且与A,B 两点不重合，若存在点C i ,C j (i ≠j)，使不等式|sin ∠AC i B －sin ∠AC j B|≤13成⽴，则称(C i ,C j )为⼀个点对，那么这样的点对( )A. 不存在B.⾄少有⼀个C.⾄多有⼀个D.恰有⼀个4. 若θ∈(π2,3π4)，sin2θ＝a,则sin θ＋cos θ等于( ) A. a ＋1＋a 2－a B. －a －1C. a ＋1－a 2－aD. a ＋15. 对0≤θ≤π2，使cos 2θ＋2msin θ－2m －2＜0成⽴的实数m 的取值范围是( )A. 1－2＜m ＜1＋ 2B. －12＜m ＜1 C. m ＞－12D. 0＜m ＜16. 已知锐⾓α满⾜cos α＝35, cos(α＋β)＝－513，则β⼀定位于( )A. 第⼀象限⾓B.第⼀或第三象限⾓C.第三象限⾓D.第⼀或第四象限⾓7. 函数y ＝3－sinx 1＋cosx的最⼩值是( ) A. 1 B. 4 C. 43 D. －438. 若α, β∈(0,π2)，则必定有( ) A. cos(α＋β)＞cos α＋cos βB. cos(α＋β)＜cos α＋cos βC. cos(α＋β)＞sin α＋sin βD. cos(α＋β)＜sin α＋sin β9. ⽅程sin 2x ＋3a 2cosx －2a 2(3a －2)－1＝0有解，则a 的取值范围是( )A. －12≤a ＜1B. a ＞1或－13＜a ＜12C. －13＜a ＜23D. 12≤a ≤1 10. A 为ΔABC 的⼀个内⾓,且sinA ＋cosA ＝712,则ΔABC 是( )A. 钝⾓三⾓形B.锐⾓三⾓形C.直⾓三⾓形D.正三⾓形11. 对于任何x ∈(0,π2),则下列结论成⽴的是( ) A. sin(sinx)＜cosx ＜cos(cosx)B. sin(sinx)＞cosx ＞cos(cosx)C. sin(cosx)＞cosx ＞cos(sinx)D. sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx)12. 当x 在任意两个整数间(包括整数本⾝)变动时,函数y＝3tan (2k －1)πx 5(k ∈Ζ)⾄少有两次失去意义,则k 的最⼩正整数值为( )A. 6B.5C.4D.313. 函数y ＝(sinx ＋1)(cosx ＋1),(－π6≤x ≤π2)的最⼩值为 .14. y ＝(13)lgcosx 的单调递减区间是 15. y ＝－tanx －1＋16－x 21－㏒sinx32的定义域是 16. 函数f(x)＝acosx ＋bsinx,其中a,b 为实常数,若存在x 1,x 2,且x 1≠x 2＋k π(k ∈Ζ),使得|f(x 1)|＋|f(x 2)|＝0成⽴,则函数f(x)的值域为17. ⽅程sinx ＋cosx ＝－k 在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实常数k 的取值范围是18. 如果tan α,tan β是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋px ＋q＝0的两根,则 sin(α＋β)cos(α－β)＝ 19. 若α,β,γ是锐⾓,且cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1,则tan αtan βtan γ的最⼩值等于20. 设A ＝sin(sin 3π8),B ＝sin(cos 3π8), C ＝cos(sin 3π8),D ＝cos(cos 3π8),试⽐较A,B,C,D 的⼤⼩ 21. 若整数n ⽤7除余1、3或4，证明：cos(n 7π－1314π)＋cos(37n π－314π)＋cos(57n π－314π)＝0 22. a,b,A,B 都是实数，若对于⼀切实数x ，都有f(x)＝1－acosx －bsinx －Acos2x －Bsin2x ≥0.求证： a 2＋b 2≤2 , A 2＋B 2≤1.参考答案：1~5:B B B D C 6~10:B C B A A 11 ~12:D A 13.2＋34 14.[2k π,2k π＋π2 ),k ∈Ζ15.[－4,－5π4)∪(π2,2π3)∪(2π3,3π4) 16.﹛0﹜17.[1,2] 18. －pq＋119.22(构造长⽅体解) 20.B＜C＜A＜D 21.略 22.提⽰：取特殊点x, x＋π和x, x＋π2代⼊。
【2013黑龙江】化简2sin 44sin ()tan()44αππαα=+-（ ）(A) cos2α(B) sin 2α (C) cos α (D) sin α 答案：B【2013安徽】化简sin12sin 48sin54⋅⋅=（用数字作答） 答案：18【2013浙江】若tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= 答案：()11cos cos ,cos 62x y x y =-=，23x y k ππ-=± 【2013江苏】设[],0,2x y π∈，且12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则()max x y += 答案：()()2sin 12cos 10x y ++=，[]711,,0,266x y πππ=∈，[]24,,0,233y x πππ=∈()max 1126x y ππ+=+. 【2013全国】在ABC ∆中，sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A =答案：()cos sin 10cos 10cos A A B C A -=+=-，tan 11A =. 【2012山西】sin 7.5cos7.5+=答案：()262sin 7.5cos7.51sin1514-+=+=+，462sin 7.5cos 7.52+-+=【2013天津】22cos 75cos 15cos75cos15++⋅=答案：2215cos 75sin 75sin15cos151sin 3024++⋅=+=【2013吉林】()2sin()cos()(0)36f x x x ππωωω=++->的最小正周期为π，则ω=答案：()2sin()sin()3sin()333f x x x x πππωωω=+++=+，2ω=.【2013吉林】()cos()(0)6f x A x A πωω=+>在(0,)8π上是减函数，则max ω=答案：28T ππω=≥，8 【2013山东】4cos cos 2()y x x x R =+∈的值域是答案：[-3,5]【2013湖北】设02x y π<<<，cos 2cos 24cos 4cos P x y x y =--+的取值范围是答案：（-2,0）【2013天津】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2 【2013甘肃】在ABC ∆中，2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba等于答案：22sin sin (1sin )a a A B b A b =+-=，2【2013甘肃】在ABC ∆中，222ac c b a +=-，最大边的边长为7，sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为答案：余弦定理得23B π=，正弦定理得2c a =，故最小边为a ， 2221(7)422()2a a a a =+-⋅⋅-，解得1a =.【2012河北】在ABC ∆中，22()ABC S a b c ∆=--，则tan 2A =答案：222(2)ABC S a b bc c ∆=--+2222()22cos bc b c a bc bc A =-+-=-1sin 2bc A =4(1cos )sin A A -=，242sin 2sin cos 222A A A ⨯=，1tan 24A = 【2013湖北】若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，则tan x = 答案：sin cos 20cos sin 202cos cos10x x x +=，同除以cos x 得t a nc o s 20s i n 202c o s (30x +=-，tan 3x = 【2012河北】在ABC ∆中，2sin tan tan ,cos AB C B C+==则 答案：s i n c o s c o s s i n 2s i n B C B C A B +=，2sin cos sin()sin A B B C A =+=，60B =【2012全国】在ABC ∆中，3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= 答案：3cos cos 5a B b A c -=，cos cos a B b A c +=得：41cos ,cos 55a B cb Ac ==所以tan sin cos cos 4tan sin cos cos A A B a B B B A b A===.【2012福建】函数2()3sin 22cos ,f x x x a =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值1-，则a = 答案：()2sin(2)16f x x a π=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当7266x ππ+=，min ()111,1f x a a =-++=-=- 【2012江西】锐角,αβ满足()()sin cos sin cos 2ααββ++=，则α= ，β= 答案：sin sin sin cos cos sin cos cos 2αβαβαβαβ+++=()()sin cos 2αβαβ++-=，()sin 1αβ+=，()cos 1αβ-=，2παβ+=，4παβ==.。
题型一：与三角恒等变换的综合题【例1】函数2π()sin 24f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是．【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，．⑴求()f x 的值域；⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，假设()1f B =，1b =，c =a 的值．【例3】 函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值X 围；⑵当tan 2α=时，()35f x =，求m 的值．【例4】函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；⑵假设06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos2x 的值．【例5】 函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如下图．⑴求,ωϕ的值；⑵设()()4πg x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【例6】 函数()22sin 2sin cos cos f x x a x x x b =+⋅++02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[,2]，求a 、b 的值．【例7】函数21cos cos 12y x x x =+⋅+，R x ∈．〔1〕当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；〔2〕该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例8】 函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈〔其中0A >，0ω>，22ππϕ-<<〕，其部分图象如下图．⑴求()f x 的解析式； ⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【例9】 函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫⎪⎝⎭．⑴某某数a 、b 的值；⑵假设0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．【例10】 设函数1()cos cos sin 22πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例11】 函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【例12】 函数22()2sin cos sin cos ()2222R x x x xf x a a =+-∈⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式；⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos 21sin 2xx+的值．题型二：与二次函数的综合题【例13】 4πx ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=rx,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se cα=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为（x ,y ）,到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变,符号看象限）。
高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。
2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。
本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。
5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
2019-2020年高考数学竞赛三角函数教案讲义（6）一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tan α=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα, co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y 取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
