《基本不等式》同步测试

3.4 基本不等式:2b a ab +≤5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列四个命题，正确的是( ) A.y=x+x 1(x≠0)≥2,故y=x+x1的最小值为2 B.y=sinx+x sin 2〔x ∈(0,2π)〕≥22,故y=sinx+x sin 2的最小值为22 C.y=12+x +112+x ≥2,故y=12+x +112+x 的最小值为2 D.y=lgx+x lg 1(x ＞0)≥2,故y=lgx+xlg 1的最小值为2 解析：对于A ，x 、x1不一定大于零，不满足基本不等式的条件，故选项A 不正确；对于B ，由于x ∈(0,2π)，sinx ＞0,故可用基本不等式，且sinx+x sin 2≥22,当且仅当sinx=x sin 2,即sinx=2时成立，显然“等号”取不到，故选项B 不正确；对于C ，由于21x +＞0,则21x ++112+x ≥2,当且仅当x 2+1=1,即x=0时成立，显然“等号”能取到，故y=12+x +112+x 的最小值为2,∴C 选项正确；对于D ，lgx 不一定为正数，不满足基本不等式的条件，故选项D 不正确.答案：C2.(1)已知0＜x ＜31,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+x1的值域. 答案：(1)解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31, ∴31-x ＞0.∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3(231x x -+)2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. (2)解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥xx 12∙=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］, ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2, 当且仅当-x=x -1即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 3.根据定理中的基本公式，易得到一些常用的变形公式和递推公式，你能写出来吗？ 答案：根据定理中的基本公式得到的常用变形公式有： (1)a+b≥ab 2,ab≤(2b a +)2 (当且仅当a=b 时取等号); (2)a+a1≥2(a ∈R +) (当且仅当a=1时取等号); a+a1≤-2(a ∈R -)(当且仅当a=-1时取等号); (3)a b +b a ≥2(a 、b 同号)(当且仅当a=b 时取等号). 常见的推广公式有：(1)如果a 、b 、c ∈R +，那么a 3+b 3+c 3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取等号).(2)如果a 、b 、c ∈R +，那么3c b a ++≥3abc (当且仅当a=b=c 时取等号). (3)一般地，对于n 个正数a 1,a 2,a 3,…,a n (n≥2)都有na a a n +++ 21≥n n a a a ∙∙∙ 21(当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取等号).(4)a 2+b 2+c 2≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c 时取等号).10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设x 、y 满足x+4y=40且x 、y 都是正数，则lgx+lgy 的最大值是( )A.40B.10C.4D.2解析：lgx+lgy=lgxy=lg(41x·4y)≤lg ［41×(24y x +)2］=lg100=2. 答案：D2.已知正数x 、y 满足x 4+y9=1，则xy 有( ) A.最小值12 B.最大值12 C.最小值144 D.最大值144 解析：1=x 4+y 9≥xy362,即xy ≥12, ∴xy≥144.答案：C3.若a ＞b ＞1,P=b a lg lg ∙，Q=21(lga+lgb),R=lg 2b a +，则P 、Q 、R 的大小关系为______. 解析：∵a ＞b ＞1,∴lga≠lgb. ∴b a lg lg ＜21(lga+lgb),即P ＜Q. 又∵2b a +＞ab ,∴lg 2b a +＞lg ab =21(lga+lgb)，即R ＞Q. ∴P ＜Q ＜R.答案：P ＜Q ＜R4.当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥)1(1)1(2+∙-x x -1=1, 当且仅当x+1=11+x ，即x=0时取得等号. ∴f(x)min =1.5.求函数y=133224+++x x x 的最小值. 解：令t=x 2+1，则t≥1,且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =t t t 3)1(3)1(2+-+- =tt t 12++=t+t 1+1. ∵t≥1,∴t+t 1≥tt 12∙=2，当且仅当t=t 1即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数y=1222+++x x x (x ＞-1)的图象的最低点的坐标是( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x 、y 的值.答案：D2.某工厂第一年产量为A ，第二年产量的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A.x=2b a + B.x≤2b a + C.x ＞2b a + D.x≥2b a + 解析：两年后的产量为A(1+a)(1+b).若平均增长率为x ，则两年后的产量为A(1+x)2.则A(1+x)2=A(1+a)(1+b)，即(1+x)2=(1+a)(1+b).又(1+a)(1+b)≤(211b a +++)2， ∴1+x≤22b a ++，即x≤2b a +. 答案：B3.若x+2y=1，则2x +4y 的最小值是____________.解析：2x +4y =2x +22y≥222222222==+y x y x .当且仅当x=2y 时等号成立. 答案：224.在满足面积和周长数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是________________. 解析：设直角三角形的两直角边为a 、b ，则斜边为22b a +.由题意知，a+b+22b a +=21ab. ∵a+b+22b a +≥ab 2+ab 2,∴ab≥(4+22)2=24+216.∴(21ab)min =12+28. 答案：12+285.已知正数a 、b 、x 、y 满足a+b=10,x a +yb =1,x+y 的最小值为18，求a 、b 的值. 解：x+y=(x+y)(x a +y b )=a+y bx +x ay +b=10+ybx +x ay .∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y≥10+ab 2=18,即ab =4.又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8b 2,a 或⎩⎨⎧==2.b 8,a 6.已知函数f(x)=lgx(x ＞0)，若x 1、x 2∈R +，判断21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小，并加以证明. 解：21［f(x 1)+f(x 2)］≤f(221x x +). 证明如下：f(x 1)+f(x 2)=lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2, f(221x x +)=lg(221x x +). ∵x 1＞0,x 2＞0,∴221x x +≥21x x ∙ ∴lg 21x x ≤lg(221x x +)，即21lgx 1x 2≤lg(221x x +). 故21［f(x 1)+f(x 2)］≤f(221x x +). 7.设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8 cm 的空白，左、右各留5 cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？解：设画面的高为x cm ，宽为y cm ，则λx 2=4 840.设纸张的面积为S ，则S=(x+16)(λx+10)=λx 2+(16λ+10)x+160.由λx 2=4 840,得λ=24840x ，代入上式得 S=24840x ·x 2+(24840x×16+10)·x+160 =4 840+x164840⨯+10x+160≥1016840 42⨯⨯+5 000, 当且仅当x 164840⨯=10x,即x=88时，等号成立. 此时，由λx 2=4 840得λx=55.所以画面高88 cm ，宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.答：画面高88 cm ，宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.8.某单位用木料制作如图3-4-1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x,y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)图3-4-1解：由题意得x·y+21x·2x =8(x ＞0,y ＞0)， ∴y=x x 482-=x 8-4x . ∵y ＞0,∴0＜x ＜24.设框架用料长度为l ，则l=2x+2y+2×(22x)=(23+2)x+x 16≥)223(162+=2464+. 当且仅当(23+2)x=x16，即x=8-24时，取等号.此时，y=22=2.828,x=2.344. 故当x 为2.344 m,y 为2.828 m 时，用料最省.9.某工厂拟建一座平面为长方形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长和宽都不超过16 m ，处理池的高度为2 m ，如果四周池壁造价为400元/m 2，中间两道隔墙造价为248元/m 2，池底造价为80元/m 2,那么如何设计污水处理池的长与宽，才能使总造价最低？解：设污水处理池的长为x 米，宽为y 米，总造价为z 元,由题意知xy=200(0＜x≤16,0＜y≤16). z=2(x+y)×400+248×2y+80×200=800(x+y)+496y+16 000=1 296y+800x+16 000 =1 296×x20+800x+16 000 =800(x+x 324)+16 000. ∵0＜x≤16,∴f(x)=x+x324单调递减. ∴当x=16时，总造价z 最小，此时y=16200=12.5 (m). 答：当水池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低.10.求f(x)=3+lgx+xlg 4的最值(0＜x ＜1).解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,xlg 4＜0. ∴-xlg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥)lg 4)(lg (2x x --=4. ∴lgx+xlg 4≤-4. ∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1, 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+xlg 4(0＜x ＜1)的最大值为-1. 11.如图3-4-2，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成.(1)现有可围36米长的钢筋材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？图3-4-2解：(1)设每间虎笼长为x 米，宽为 y 米，则由条件知4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥xy y x 62322=⨯, ∴xy 62≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=18.3y 2x 3y,2x 解得⎩⎨⎧==3.y 4.5,x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y.∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23(6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x =4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥xy y x 62322=∙=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧==24,xy 3y,2x 解得⎩⎨⎧==4.y 6,x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m ，可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24，得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×y y⨯162=48, 当且仅当y16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.。

人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。

3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）1.若2.3.1a ⎛ ⎝4.设5.是.6.()f t 前7．（bc a +的最大)，52元，. )x .3.4()002a ba b+≤≥≥，（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3． 4． 5. 6.二、解答题7.8.9.10.3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）参考答案1.4 解析：222111()()120f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令12t x x=+≤-，则2()2(2)g t t t t =--≤-，当2t =-时，()g t 有最小值4. 2.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：π),()π<2π).x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当0,πx ∈［］时，令cos [11]t x =∈-，，构造函数2154t g t t-=+（），整理，得1591()544644g t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=-++⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦5388+≤-5184+=，所以1()02f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，. 同理，当(π,2π]x ∈时，1()02f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，()f x =02πx ≤≤）的值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.≥解析：∵,,a b c +∈R 且1a b c ++=，∴11(1)(1)(1)()1(1())11a b c b c a a b c c a b abc abc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝---+++=⎭⎝⎭≥8=，当且仅当13a b c ===时取等号.4.4 解析：22111111()224()()()a a ab ab a a b ab ab a a b ab a a b a a b ab++=-+++=-+++≥+=---，当且仅当()1a a b -=且1ab =，即a，b 时取等号. 5.26-∞-+∞U （，，）］［解析：∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，∴2()4()12a b a b +-+-0≥，即[()6][()2]0a b a b +-++≥，∴6a b +≥或2a b +≤-，∴a b +的取值范围是26-∞-+∞U （，，）］［.6.18解析：平均销售量2()1011066118y f t t t t t t t==+++≥+=.当且仅当16t t=，即4130t =∈，［］时等号成立，即平均销售量最少为18盒.7.证明：∵,,a b c 都是正数，∴,,bc ca aba b c都是正数. ∴2bc caa bc +≥，当且仅当a b =时等号成立， 2ca ab b c a +≥，当且仅当b c =时等号成立， 2ab bcc ab +≥，当且仅当ac =时等号成立. 三式相加，得22bc ca ab c ba a cb ⎛⎫++⎪⎝⎭≥++（），即bc ac ab a b c ++a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 8．解：∵ 503x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴530x ->.∴222235325()2(53)3326x x f x x x +-⎛⎫=-=≤•= ⎪⎝⎭.当且仅当353x x =-，即56x =时，等号成立.故()f x 的最大值为256. 9.解：因为00x y >>，，且21x y +=，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=212y x++x y +≥33++当且仅当2y x =xy且21x y +=，即1x =，1y =时，取得等号.所以1x +1y的最小值为3+. 10.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x 元. 由题意得36()420x f x k x •=+•.由4x =，()52f x =，得161805k ==. ∴*1444(03)()6,N <<x x f x x x=∈+.(2)由(1)知*1444(3))(06,x x x x x f =+∈<N <，∴()48f x ≥. 当且仅当1444xx =，即6x =时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

2.2基本不等式同步测试卷一、单选题1．已知1x >，则421y x x =+-的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．22．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．3+D ．3．0ab >是2b aa b +>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，R b ∈，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．2a bb a+≥C ．2a b +≥D ．222a b ab +>5．已知0a >，则41a a -+的最小值为（ ）A ．1-B ．3C ．4D ．56．已知x >0，y >0，且xy =10，则85x y+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67．若a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．29B ．18C ．14D ．128．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+- D ．y =二、多选题9．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．473a a +≥- B ．22111a a +≥+ C 2≥ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10．已知x ，y 为正数，且1xy =，m x y =+，19n x y=+，下列选项中正确的有（ ）A ．m 的最小值为2B ．n 的最小值为6C ．mn 的最小值为16D ．m n +的最小值为511．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项不正确的是（ ） A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是2C ．22x y +的最小值是4D ．()1x y +的最大值是9412．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b aa b +≥B ．若4ab =，则4a b +≥C ．若0,0a b >>，则11(2)a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭最小值为D ．若0,0a b m n >>>>，则b b n b m a a n a m++<<++ 三、填空题13．对于43(0)y x x x=+>，y 取最小值时x 的值为________．14．已知正实数a ，b 满足24a b +=，则ab 的最大值是___________.15．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是___________.16．不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 四、解答题17．（1）已知102x <<，求()12y x x =-的最大值；（2）已知3x >，求43y x x =+-的最小值． 18．（1）若实数1x >，求11x x +-的最小值，并求此时x 的值；（2）若0x <，求4x x+的最大值，并求此时x 的值.19．（1）已知0x >，0y >，且231x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0x >，求212x x y x++=的最小值.20．（1）已知a 、b R ∈且0a >，0b >且41a b +=，求ab 的最大值；（2）已知x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，求x y +的最小值．21．（1）已知2x >，求42x x +-的最小值； （2）若0x >时，求161x x--的最大值.22．（1）若0,0,31,x y x y >>+=求113x y+的最小值．（2）已知01,x <<求(43)x x -的最大值及取得最大值时x 的值；2.2基本不等式同步测试卷答案1．B 【详解】因为1x >，所以10x ->，所以4422(1)22211y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当42(1)1x x -=-，即1x =时取等号，所以421y x x =+-的最小值为2， 故选：B 2．C 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，则()(111)333122y x x y y y y x x x +=+=++≥+++当且仅当2y xx y =时，即x y ==时，等号成立，所以11x y+的最小值为3+故选：C. 3．B 【详解】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a a b +=，2b a a b +>不成立，故0ab >是2b aa b +>的不充分条件；当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b aa b +>不成立，故0ab >是2b aa b+>的必要条件；综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a a b >>，2b a a b +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以0ab >是2b aa b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab ++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.故选：B. 4．B 【详解】对于A ，取1a =-，2b =-，则a b +≥,故选项A 错误;对于B ，因为b a 与a b 同号，所以a b a b b a b a +=+2≥=，当且仅当a b =时取等号，故选项B 正确；对于C ：取1a =-，2b =-，则2a b +C 不正确； 对于D ：取1a =，1b =，则222a b ab +=，故222a b ab +>不成立，故选项D 不正确； 故选：B. 5．B 【详解】由题意，0a >，根据均值不等式44111413a a a a -+=+-≥=-= 当且仅当4a a=，即2a =时等号成立 故选：B 6．C 【详解】因为x >0，y >0，且xy =10，所以85x y +≥， 当且仅当85=x y 即54,2x y ==时取等号，所以85x y+的最小值为4，故选：C 7．B 【详解】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b 时，ab 取最大值18. 故选：B 8．B 【详解】 对于A ，14y x x=+，如果0x <时，0y <，故A 不符合题意；对于B ，因为()()221425414111x x x y x x x x ++++===++≥=+++， 当且仅当()411x x +=+，即1x =时取等号，故B 正确； 对于C ，因为()()11212322202323y x x x x ⎡⎤=-+=---++≤-+=⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()()12323x x --=--，即1x =时取等号，所以其最小值为0，故C 错误；对于D ，4y ≥=无解，这表明最小值4取不到，故D 错误． 故选：B ． 9．BCD 【详解】对于A ：因为0a >，所以3a -的符号不定， 显然，当2a =时，44227323a a +=+=-≥--不成立， 即选项A 错误；对于B ：因为0a >，所以211a +>，所以222211111111a a a a +=++-≥=++成立， （因为211a +>，所以22111a a +≠+，即不能取到等号）， 即选项B 正确；对于C ：因为0a >，0b >，所以0a b +≥，2≥（当且仅当0a b =>时取等号）， 即选项C 正确；对于D ：因为0a >，0b >，所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（当且仅当1a a =且1b b=，即1a b ==时取等号）， 即选项D 正确. 故选：BCD. 10．ABC 【详解】由题意，实数x ，y 为正数，且1xy =，可得1y x=，可得2m x y =+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，所以m 的最小值为2， 所以A 正确，由19196n x x y x =+=+≥，当且仅当19x x =，即1,33x y ==时，等号成立，所以n 的最小值为6，所以B 正确；由199()()101016y x y x mn x y x y =+=++≥+=+，当且仅当9y xx y =时，即x y 时，等号成立， 即mn 的最小值为16，所以C 正确； 由1xy =，可得1y x=，则19129110m n x x x y x x y x x x +=++=++=+≥++当且仅当x y ==m n +的最小值为D 不正确. 故选：ABC. 11．BC 【详解】因为正数,x y 满足2x y +=，由()1111111222222y x x y x y x y x y ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⋅++≥+= ⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝，当且仅当y xx y=时，即1x y ==时，等号成立，所以A 正确；由x y +≥2≤，即1xy ≤，当且仅当1x y ==时成立，所以B 错误； 由222()242422x y xy xy x y =+-=-≥-=+，当且仅当1x y ==时成立，所以C 错误； 由正数,x y 满足2x y +=，可得(1)3x y ++=，则()221391224x y x y ++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y =+时，即31,22x y ==时，等号成立，即(1)x y +的最大值是94，所以D 正确.故选：BC. 12．AD 【详解】A.因为,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b +=，当且仅当 b a a b =，即 a b =时，等号成立，故正确；B.若2,2a b =-=-，则4a b +=-，故错误；C. 因为0,0a b >>，则112(2)333b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即 a =时，等号成立，故错误； D.因为0,0a b m n >>>>，则()()()()()()0,0b a n b a n m b b n b m b n a a n a a n a m a n a m a n ---+++-=<-=>++++++，故正确. 故选：AD13 【详解】因为0x >，所以由均值不等式可得，44343y x x x x=+≥=，当且仅当43x x =时，即x =时，43y x x =+取得最小值14．2 【详解】由正实数a ，b 满足24a b +=，可得2211212222222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭.当且仅当22a b ==时，ab 取得最大值2. 故答案为：2 15．16 【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，也即1≥ab ， 当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++. 故()()19a b ++的最小值是16. 故答案为：16 16．6m >- 【详解】解：不等式2201x m x ++>-化为：22(1)21x m x -+>---， 1x >，222(1)22(1)411x x x x ∴-+⨯=--，当且仅当2x =时取等号． 不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立， 24m ∴--<，解得6m >-， 故答案为：6m >-.17．（1）最大值为18；（2）最小值为7．【详解】 （1）因为102x <<，所以120x ->， 所以()()()()2212111122122228x x y x x x x +-⎡⎤=-=⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦≤．当且仅当212x x =-即14x =时等号成立， 所以()12y x x =-的最大值为18．（2）因为3x >，所以30x ->，403x >-， 所以()443333y x x x x =+=+-+--37=≥． 当且仅当4333x x x ⎧=-⎪-⎨⎪>⎩即5x =时等号成立，所以43y x x =+-的最小值为7． 18．(1)11x x +-的最小值是3，此时2x =；(2)4x x +的最大值是-4，此时2x =-.【详解】(1)因实数1x >，则11(1)11311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-时取“=”， 由1x >且111x x -=-解得：2x =， 所以11x x +-的最小值是3，此时2x =； (2)因0x <，则()444x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当4x x -=-时取“=”，由0x <且4x x-=-解得：2x =-， 所以4x x+的最大值是-4，此时2x =-. 19．（1）124；（2）32. 【详解】（1）21123111236626424x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⨯=⎪⎝⎭， 当且仅当1232x y ==时等号成立.（2）211113112222x x y x x x ⎛⎫++⎛⎫==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,1x x x==时等号成立. 20．（1）116；（2）16. 【详解】（1）因为a 、b R ∈且0a >，0b >，由基本不等式可得14a b =+≥= 所以，116ab ≤，当且仅当4b a =时，等号成立， 因此，ab 的最大值为116； （2）因为x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，则9191y x xy x y +=+=，所以，()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3y x =时，等号成立，故x y +的最小值为16. 21．（1）42x x +-的最小值为6；（2）161x x --的最大值为7-. 【详解】（1）由2x >，得20x ->，所以44222622x x x x +=-++≥=--， 当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6；（2）由0x >，得16161117x x x x ⎛⎫--=-+≤-- ⎪⎝⎭，当且仅当16x x =，即4x =时等号成立，所以161x x--的最大值为7-. 22．（1）4；（2）最大值为43，此时23x =. 【详解】解：（1）因为0,0,31,x y x y >>+=所以()111134332+33x y x x y x y x y y +=⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当33y x x y =，即1126x y ==，时，取等号，所以113x y+的最小值为4； （2）因为01,x <<所以213+(43)4(43)323x x x x -⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号，所以(43)x x -的最大值为43，此时23x =.。

人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.若x>0,y>0，且，则xy有（）A. 最小值64B. 最大值64C. 最小值D. 最大值2.设a>0,b>0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 4D.3.若，且则的最小值为（）A. 2B.C.D.4.函数f(x)=2x+ (x>0)有（）A. 最大值8B. 最小值8C. 最大值4D. 最小值45.不等式的解集是( )A. B. C. {x|x＞2或x≤} D. {x|x＜2}6.设x＞0，y＞0，，则的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.若，则对说法正确的是( )A. 有最大值B. 有最小值C. 无最大值和最小值D. 无法确定9.若正实数a,b满足a+b=1，则+的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 910.设x ，y为正数，则（x+y）（+ ）的最小值为（）A. 6B. 9C. 12D. 1511.下列各式中，最小值等于２的是（）A. B. C. D.12.设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）A. 9B. 25C. 162D. 5013.若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 514.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.15.设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A. a3+b3＞a2b+ab2B.C. D.二、填空题（共5题；共5分）16.已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是________．17.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为________18.若2a=5b=10，则=________19.（2015重庆）设,则的最大值为________ .20.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则+ 的最小值是________．三、解答题（共5题；共25分）21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？22.建造一个容积为240m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2，池底的造价为350元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？23.若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值．24.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．25.设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】基本不等式【解析】【分析】和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=1≥2=8，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

2.2基本不等式一、基础巩固1.[探究点三]已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.42.[探究点三]已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13B.12C.14D.233.[探究点一](多选题)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.0<1ab≤14B.ab<2C.1a+1b≥1D.1a2+b2≤184.[探究点三·2023江西丰城期末]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是()A.1B.2C.-1D.-25.[探究点一·2023安徽芜湖期末]《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动.过点C作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由FC≥CD可以直接证明的不等式为()A.a+b2≥ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)C.2ab a+b≤D.ab≤6.[探究点三]已知t>0,则t2-3t+1t的最小值为.7.[探究点四]已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为,2x(y+1)的最大值为.8.[探究点三]设a>0,b>0,且不等式1a+1b+k a+b≥0恒成立,求实数k的最小值.9.[探究点二]已知a,b,c为正数,求证:b+c-a a+c+a-b b+a+b-c c≥3.10.[探究点四·2023北京石景山期末]下列是一道利用基本不等式求最值的习题:已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:由于a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2=2,b+2b≥=22.那么y≥2+22-1=1+22,则最小值为1+22.小华的解法:由于a+b=1,所以y=1a+2b=+(a+b)=3+b a+2a b,而3+b a+2a b≥3+2=3+22,则最小值为3+22.(1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误?(2)请说明你判断的理由.二、能力提升11.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是()A.∀x∈R,且x≠0,x+1x≥2B.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为912.[2023重庆永川期末]已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥m a+4b恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.16D.1013.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是()1a1b B.ab≤a2+b22≤a2+b2214.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.815.[2023山东滕州校级期末]十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数x+3y=3>1,>,则-1+33-1的最小值为()A.6B.4C.3D.216.已知a>b>c,则(-)(-)与-2的大小关系是.17.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1的图象上,则12+1B2+16B r的最小值是.18对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.参考答案1.D解析∵ab=a+b≥2B,(B)2≥2B,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.2.B解析∵0<x<1,∴1-x>0.=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立. 3.CD解析A项:B≤r2=2,∴ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵ab>0,∴1B≥14,A错误;B项:B≤r2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B项错误;C项:1+1≥2=≥2×12=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C项正确;D项:a2+b2≥(r)22=8,∴12+2≤18,当且仅当a=b=2时,等号成立,∴D项正确.故选CD.4.A解析因为x>0,y>0,且xy=4,所以1>0,1>0,1+1≥2=2×12=1,当且仅当1=1,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.D解析连接AD,BD.因为AC=a,BC=b,所以OF=r,OC==|-|2.所以=由圆的性质知∠ADB=90°,由射影定理得CD2=CA·CB=ab,所以CD=B,由FC≥CD≥B(a>0,b>0).故选D.6.-1解析2-3r1=t+1-3≥2t=1时,等号成立.7.23解析正实数x,y满足x+2y=4,则xy=12x·2y≤12×=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.∵2(+1)=)≤2×12rr12=3,当且仅当12x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=12时,等号成立.8.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为+所以+因为+≥2,当且仅当a=b+的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.9.证明左边=+-1++-1++-1=++++∵a,b,c为正数,∴+≥2(当且仅当a=b时,等号成立);+≥2(当且仅当a=c时,等号成立);+≥2(当且仅当b=c时,等号成立).a=b=c时,等号成立).++++-3≥3,即r-+r-+r-≥3.10.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1≥2a=1;b+2≥2=22,当等号成立时b=2,那么y取得最小值1+22时,a+b=1+2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,+2≥22,等号成立的条件为b2=2a2,即b=2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b的值,所以小华的解法正确.11.BCD解析对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2≥2B r,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2B,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴B≤9,D正确.故选BCD.12.C解析由已知a>0,b>0,不等式4+1≥r4恒成立,所以令y的最小值,(a+4b)=8+16+≥8+2当且仅当16=a,即a=4b时,等号成立.所以m≤16.故选C. 13.BCD解析当a>0,b>0时,因为21+1≤B,所以≤1+1,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.14.C解析令y=x-4+9r1=x+1+9r1-5,由x>-1,得x+1>0,9r1>0,所以由基本不等式得y=x+1+9r1-5≥2当且仅当x+1=9r1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.15.A解析因为-133-1=-1+1-1+3-1+13-1=2+1-1+13-1,又x+3y=3>1,>x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>0.所以1-1+13-1=(x-1+3y-1)=1+-13-1+3-1-1+1≥2+2当且仅当-13-1=3-1-1,即x=32,y=12时,等号成立,故-1+33-1的最小值为6.故选A.16.(-)(-)≤-2解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴-2=(-)+(-)2≥(-)(-).当且仅当b=r2时,等号成立.17.8解析∵点(a,b)在反比例函数y=1的图象上,∴b=1,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴12+1B2+16B r=1+1+16r=r B+16r=a+b+16r≥8,当且仅当a+b=16r,即a+b=4时,等号成立,所以12+1B216B r的最小值是8.18.解+=1+a+a,又x>0,y>0,a>0,∴+B≥2=2,∴1+a++B≥1+a+2,当且仅当y=x时,等号成立.对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,故a的最小值为4.。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

同步检测训练一、选择题1．设a、b∈R，已知命题p：a＝b，命题q：（错误!）2≤错误!，则p是q成立的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝b⇒（错误!)2≤错误!,反之，则不然,故选B。

答案：B2．下列函数中，最小值是4的是（）A．y＝x＋错误!B．y＝sin x＋错误!C．y＝2x＋2－x D．y＝x2＋错误!＋3解析：只有D中，y＝x2＋错误!＋3＝(x2＋1）＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当x2＋1＝1,即x＝0时，等号成立，故选D。

答案：D3．设x、y为正实数且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值为( ）A．40 B．10C．4 D．2解析:∵40＝x＋4y≥4错误!，∴错误!≤10,即xy≤100，当且仅当x＝4y＝20，即x＝20，y＝5时,等号成立，∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg100＝2.答案:D4．给出下面四个推导过程:①∵a，b∈R＋，∴错误!＋错误!≥2 错误!＝2；②∵x，y∈R＋，∴lg x＋lg y≥2错误!；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 错误!＝4；④∵x,y∈R，xy<0，∴错误!＋错误!＝－[(－错误!）＋(－错误!）]≤－2错误!＝－2.其中正确的推导为（）A．①② B．②③C．③④ D．①④解析:①由于a，b∈R＋，∴错误!，错误!∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确;②虽然x，y∈R＋，但当x∈（0,1)或y∈（0,1)时，lg x或lg y是负数，故②的推导过程是错误的；③由a∈R,不符合基本不等式的条件，故错误!＋a≥2 错误!＝4是错误的．④由xy〈0，得错误!、错误!均为负数，但在推导过程中将整体错误!＋错误!提出负号后，（－错误!）、（－错误!)均变为正数,符合均值不等式的条件，故④正确,故选D.答案：D5．已知m＝a＋错误!（a〉2)，n＝(错误!）x2－2(x〈0)，则m，n之间的关系是（)A．m>n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：m＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2 错误!＋2＝4，n＝（错误!)x2－2〈（错误!)－2＝4，故选A.答案:A6．若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )A．18 B．6C．2 3 D．24，3解析：∵3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝6，故选B.答案：B7．若直线2ax－by＋2＝0(a,b>0)过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则ab的最大值是（)A。

必修五同步测试（十三）基本不等式一、选择题（每小题7分，共6小题，共42分）1. 当(0,)x ∈+∞时, 下列各函数中, 最小值为2的是( )A. 224y x x =-+B. 164y x x =+C.y = D. 1y x x =+2. 若0a b >>，则下列不等式成立的是 ( )A. 22aba ba b +<<+ B. 22ab a ba b +≤≤+C. 22ab a ba b +<<+ D. 22ab a ba b +<<+3. 设x ,y 是满足220x y +=的正数, 则lg lg x y +的最大值是() A. 50 B. 2 C. 1lg5+ D. 14. 扇形的周长为10, 则扇形面积的最大值是( )A. 52B. 254C. 252D.5. 若0x >, 则22+=x xy 的最大值是( )A. 13 B. C. D. 36. 若,0x y >, 且21x y +=, 则11x y +的最小值是( )A. 3B. 6C. 4D. 3-二、填空题（每小题7分，共4小题，共28分）7. 已知0t >, 则函数241t t y t -+=的最小值是 .8. 已知232(0,0)x y x y +=>>, 则xy 的最小值是 .9. 若正数b a ,满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是 .10. 已知在ABC ∆中, 090ACB ∠=, 3,4BC AC ==, P 是AB 上的点, 则点P 到AC ,BC 的距离乘积的最大值是 .三、解答题（11题12分,12小题18分）11. 已知1x <, 求函数11y x x =+-的最大值.12. 已知函数2(),[1,)x ax a f x x x-+=∈+∞ （1）当4a =时, 求函数()f x 的最小值及相应的x 的值;（2）[1,),()0x f x ∀∈+∞>, 求实数a 的取值范围.必修五同步测试（十三）基本不等式参考答案一、选择题（每小题7分，共6小题，共42分）1. 答案: D2. 答案: C3. 解析: 20250x y xy =+≥∴≤, 当且仅当5,10x y ==时取等号. lg lg lg()lg501lg5x y xy ∴+=≤=+. 答案: C4. 解析: 设扇形的弧长为l , 半径为r , 则210l r +=. 扇形面积为21525(5)224r r S lr r r -+⎛⎫==-≤= ⎪⎝⎭. 当且仅当5r r -=, 即52r =时取等号. 故选B.5. 解析: 21224x y x x x ==≤=++当且仅当2x x =, 即时等号成立. 答案: 4 6. 解析: 11112()(2)333y x x y x y x y x y +=++=++≥=, 当且仅当221y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,即112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 时等号成立. 答案: A二、填空题（每小题7分，共4小题，共28分）7. 解析: 0t >Q, 2411442t t y t t t -+∴==+-≥=-, 当且仅当1t t=, 即1t =时等号成立. 答案: 2-8. 解析: 2326xy x y =+≥∴≥, 当且仅当2,3x y ==时取等号. 答案: 6 9. 解析: 323+≥++=ab b a ab ,∴1)0≥, 3≥, 当且仅当3a b ==时等号成立. 答案: 9≥ab10. 解析: 如图建立直角坐标系, 则直线AB 的方程为34120x y +-=.设(,)P m n , 则3412m n +=,由1234m n =+≥得3mn ≤. 当且仅当34m n =, 即32,2m n ==时取等号, 故点P 到AC , BC 的距离乘积的最大值是3.三、解答题（11题12分,12小题18分）11. 解：由1x <知10x -<, 11(1)211y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥--⎣⎦. 当且仅当111x x-=-, 即0x =时取等号, 即0x =时函数取得最大值2-.12. 解：（1）当4a =时, 2444()440x x f x x x x -+==+-≥=, 当且仅当4,[1,)x x x=∈+∞, 即2x =时, ()f x 取得最小值0. （2）由题意, [1,),()0x f x ∀∈+∞>, 即20x ax a -+>, 即21x a x <-恒成立 2min ()1x a x ∴<-.而22(1)1111(1)1111x x x x x x x x -+==++=-+----2+24≥= 2x =当且仅当时取等号, 2min ()41x x ∴=-, 4a ∴<.。