2018届高考数学一轮复习精选试题：函数概念与基本处等函数(选择与填空)

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1〈x2时，都有f（x1)〈f（x2)，那么就说函数f（x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2)单调区间的定义如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f（x)在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．2．函数的最值【知识拓展】函数单调性的常用结论（1)对∀x1，x2∈D（x1≠x2)，错误!>0⇔f（x)在D上是增函数,错误!<0⇔f(x)在D上是减函数．(2）对勾函数y＝x＋错误!(a>0)的增区间为(－∞,－错误!］和[错误!，＋∞)，减区间为［－a，0）和(0，错误!]．（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4）函数f(g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x)的单调性的关系是“同增异减”．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）若定义在R上的函数f（x），有f（－1)〈f(3)，则函数f(x）在R上为增函数．( ×)(2)函数y＝f（x)在［1，＋∞）上是增函数,则函数的单调递增区间是［1,＋∞）．（×)(3)函数y＝错误!的单调递减区间是(－∞，0）∪(0，＋∞)．( ×）(4）所有的单调函数都有最值．( ×）(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．（×）（6）闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到．( √) 1．（2016·北京）下列函数中，在区间(－1,1）上为减函数的是( ）A．y＝11－x B．y＝cos xC．y＝ln（x＋1) D．y＝2－x答案D解析y＝错误!与y＝ln（x＋1）在区间（－1，1)上为增函数；y＝cos x在区间（－1,1)上不是单调函数；y＝2－x＝错误!x在（－1，1)上单调递减．2．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞），则a的值为（）A．－2 B．2 C．－6 D．6答案C解析由图象易知函数f（x）＝|2x＋a|的单调增区间是［－错误!，＋∞），令－a2＝3,得a＝－6。

板块命题点专练（二）命题点一 函数的概念及其表示命题指数：☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.3．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]命题点二 函数的基本性质命题指数：☆☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．2．(2014·湖南高考)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选C 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.3．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． f ′(x )＝11＋x ＋11－x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上为增函数．4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.6．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2. 答案：－2命题点三 函数的图象命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题1.(2014·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．2．(2013·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1 B ．e x －1C ．e－x ＋1 D. e －x －1解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( ) 解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.4．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2. 答案：－2。

1．函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y＝f(x）(x∈D），把使f(x）＝0的实数x叫做函数y＝f （x)(x∈D）的零点．(2)几个等价关系方程f（x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x）有零点．（3）函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）〈0，那么,函数y＝f（x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈（a，b)，使得f（c)＝0,这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b］上连续不断且f(a)·f(b)〈0的函数y＝f（x)，通过不断地把函数f（x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y ＝ax2＋bx＋c（a〉0)的图象与零点的关系Δ〉0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0）的图象与x轴的交点（x1，0），(x2，0）(x1,0)无交点零点个数210【知识拓展】1．有关函数零点的结论（1）若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f（x)至多有一个零点．(2）连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号,也可能不变号．2．三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×）（2)函数y＝f(x）在区间（a，b)内有零点（函数图象连续不断)，则f（a)·f(b)<0.（×）(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．（×）（4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac〈0时没有零点．( √) (5）若函数f(x)在(a，b)上单调且f（a)·f（b)〈0,则函数f(x）在[a，b］上有且只有一个零点．（√)1．(教材改编)函数121()()2xf x x=-的零点个数为( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析f（x）是增函数，又f（0）＝－1,f（1)＝错误!，∴f（0)f(1)〈0，∴f（x)有且只有一个零点．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1答案A解析由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点．3．（2016·吉林长春检测）函数f(x）＝错误!ln x＋x－错误!－2的零点所在的区间是( )A．（错误!，1) B．(1，2）C．（2,e）D．（e，3)答案C解析因为f（错误!)＝－错误!＋错误!－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝错误!ln2－12〈0,f（e）＝错误!＋e－错误!－2>0，所以f(2）f（e)<0，所以函数f(x）＝错误!ln x＋x－错误!－2的零点所在区间是(2,e)．4．函数f(x）＝2x|log0。

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理第二章函数与基本初等函数I 2.1 函数及其表示理1．函数与映射函数映射两集合A、B 设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)映射是特殊的函数．( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( )A ．[32，＋∞) B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析 由题意知⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )答案 B解析A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B. 3．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1 x答案 D解析函数y＝10lg x的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 22－x，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1， 所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，()22log 12-1log 12121log 122221262f ⨯⨯－＝＝＝＝，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.5．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ∈－∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋∞.若f (2)＝4，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2].题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1x ≥0－1x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1x ≥0，－1x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列所给图象是函数图象的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝x2x和g(x)＝xr(x2)答案(1)B (2)D解析(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同．故选D. 题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域例 2 (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是________．答案 (1)A (2)[0,1)解析 (1)由题意得⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.所以函数f (x )的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为________________． 答案 [12，1)∪(1，32]解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3]，令⎩⎨⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32]．命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数()f x =R ，则a的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以22210x ax a＋－－≥对x ∈R 恒成立，即22022x ax a ＋－≥，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.(2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．(1)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数12log (2)y x =-的定义域为( )A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)答案 (1)B (2)D 解析 (1)要使函数y =需满足12326,log (2)0x x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤＞⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m2－4×m ×3<0，即⎩⎨⎧m >0，m 4m －3<0或⎩⎨⎧m <0，Δ<0，即⎩⎨⎧m <0，m 4m －3<0.解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34，故选D.题型三 求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x＋1(t >1)，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )·x －1中，用1x代替x ，得f (1x)＝2f (x ) ·1x－1，将f (1x)＝2fx x－1代入f (x )＝2f (1x )·x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )． 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ，∴⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1， ∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________________． (2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析(1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32，不合题意．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34，符合题意．(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，故选C.答案(1)－34(2)C1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z答案 C解析A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同，故选C.2．函数f(x)＝10＋9x－x2lg x－1的定义域为( )A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10] C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]答案 D解析 要使函数f (x )有意义， 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1＞0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，x >1，x ≠2，解得1<x <2或2<x ≤10，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]． 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，故选B.4．(2017·武汉调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为( ) A ．1或－22B ．－22C ．1D ．1或22答案 A解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.5．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2， 故选B.*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎨⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎨⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是[－1，12)．7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 8．设函数113e ,1(),1x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜，≥，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8] 解析 当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由132x ≤得x ≤8， ∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8. 9．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.*10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________． 答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋1，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值． 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a＝－5(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。

基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。

(2017·肇庆三模）在函数y＝x cos x，y＝e x＋x2，y＝lg x2－2，y＝x sin x中，偶函数的个数是( )A。

3 B。

2 C.1 D。

0解析y＝x cos x为奇函数，y＝e x＋x2为非奇非偶函数，y＝lg x2－2与y＝x sin x为偶函数。

答案B2.（2015·湖南卷）设函数f（x)＝ln(1＋x)－ln(1－x），则f（x）是（）A。

奇函数,且在（0,1）内是增函数B。

奇函数，且在（0，1）内是减函数C。

偶函数,且在（0,1）内是增函数D。

偶函数，且在(0，1)内是减函数解析易知f(x）的定义域为（－1，1),且f（－x)＝ln（1－x）－ln(1＋x)＝－f（x），则y＝f(x）为奇函数，又y＝ln（1＋x）与y＝－ln(1－x）在(0，1)上是增函数，所以f（x)＝ln(1＋x)－ln（1－x)在（0，1）上是增函数。

答案A3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数,当x〈0时，f（x)＝x2＋ax,且f（3)＝6,则a的值为（)A.5 B。

1 C.－1 D。

－3解析∵y＝f（x）是奇函数，且f（3)＝6。

∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6,解得a＝5.答案A4.已知函数f（x)＝x错误!，若f(x1）〈f(x2),则( ）A.x1>x2B。

x1＋x2＝0C.x1<x2D。

x错误!<x错误!解析∵f(－x)＝－x错误!＝f（x)。

∴f（x）在R上为偶函数，f′(x)＝e x－错误!＋x错误!，∴x>0时,f′(x)>0，∴f（x）在上的解析式为f(x）＝错误!则f错误!＋f错误!＝________。

解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f错误!＋f错误!＝f错误!＋f错误!＝－f错误!－f错误!＝－错误!＋sin 错误!＝错误!.答案错误!学必求其心得，业必贵于专精8.定义在R上的奇函数y＝f(x）在(0，＋∞）上递增，且f（⎭⎪⎫12＝0，则满足f（x）>0的x的集合为________.解析由奇函数y＝f(x)在（0,＋∞)上递增，且f错误!＝0，得函数y ＝f(x）在（－∞，0）上递增，且f错误!＝0,∴f(x）>0时，x〉错误!或－错误!〈x<0。

第7讲 函数图象一、选择题1．函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系上的图像为( )解析 因为|x |≤x 2＋1，所以函数y ＝|x |的图像在函数y ＝x 2＋1图像的下方，排除C 、D ，当x →＋∞时，x 2＋1→|x |，排除B ，故选A. 答案 A2．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )．A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析 分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，得到0<x 0<π2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B. 答案 B4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )．解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C5．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①. 答案 D6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )．解析 (1)当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋12FI ×EF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12FI 2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D. (2)当12≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝22(1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A. 答案 A 二、填空题7．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 88．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．答案 (－1,0)9．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．解析 在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f (x )取得最大值6.答案 6 10.已知函数f(x)=(12)x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0； ④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析 g(x)= 12log x,∴h(x)= 12log (1-|x|),∴h(x)= ()()1212log 1x 1x 0,log 1x 0x 1+-<≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩，， 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③.答案 ②③ 三、解答题11．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根； 当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根．12．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )， 代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．13．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围． 解 设f1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2) 时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2.∴a 的取值范围是(1,2]14．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥4，－x x －，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．。

第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用1.函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象． (4)体会指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况．5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．1 函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是_______两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_______f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做_______，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______．2．函数的表示方法(1)解析法：就是用_______表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用_______表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是来_______表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：，， .(2)两个函数相等：如果两个函数的_______相同，并且_______完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．5．映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_______元素x，在集合B中都有_______元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．6．映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的__________________________．(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．．7．复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．自查自纠1．唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2．(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3．(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5．任意一个唯一确定的6．(1)映射(2015·湖北)函数f(x)＝4－|x|＋lgx2－5x＋6x－3的定义域为( )A．(2，3)B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4]D．(－1，3)∪(3，6]解：依题意有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4，①由x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3，②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C .下列各图表示两个变量x ，y 的对应关系，则下列判断正确的是()A ．都表示映射，都表示y 是x 的函数B ．仅③表示y 是x 的函数C ．仅④表示y 是x 的函数D ．都不能表示y 是x 的函数解：根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C .(2015·全国新课标Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1， x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：由条件得f (－2)＝1＋log 24＝3，因为log 212>1，所以f (log 212)＝2(log 12)21-＝2log 62＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C .(2015·甘肃模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ＞0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝________.解：由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43.故填43.(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2 (a ＞0，且a ≠1)的值域是．类型一 函数和映射的定义下列对应是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解：由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，而③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．故填②.点拨：函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值y 与之对应；③集合P ，Q 是否为非空数集．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1； ②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为________．(填序号) 解：对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 两个集合分别用列举法表述为A＝{2，4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射． 故填②④.类型二 判断两个函数是否相等已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数中与f (x )相等的函数是( )A ．g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C ．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，1－x ，x ≤0D ．g (x )＝x －1解：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1 与f (x )的定义域和对应关系完全一致，故选B .点拨：两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 解：A 中，g (x )＝|x |，所以f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)， 所以两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1， 所以两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．所以两函数的定义域不同．故选A .类型三 求函数的定义域(1)(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x2的定义域是________．解：要使函数有意义，必须3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.故填．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为∪[2，2)． 故填(－2，－2]∪[2，2)． 点拨：求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y ＝f (x )用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y ＝f (x )的定义域为，则函数y ＝f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出．(1)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0，1]．故填(0，1]．(2)已知f (2x)的定义域是，则f (log 2x )的定义域为________．解：由已知x ∈，所以2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，即log 22≤log 2x ≤log 24，所以2≤x ≤4，故f (log 2x )的定义域为[2，4]．故填[2，4]．类型四 求函数的值域求下列函数的值域：(1)y ＝1－x21＋x2； (2)y ＝2x ＋1－x ； (3)y ＝2x ＋1－x 2； (4)y ＝x 2－2x ＋5x －1；(5)若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求函数z ＝x 2＋y 2的值域；(6)f (x )＝||2x ＋1－||x －4. 解：(1)解法一：(反解) 由y ＝1－x 21＋x 2，解得x 2＝1－y 1＋y， 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y ≥0，解得－1＜y ≤1，所以函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法) 因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0＜21＋x2≤2，所以－1＜－1＋2x 2＋1≤1， 所以函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)令t ＝1－x (t ≥0)，所以x ＝1－t 2， 所以y ＝2(1－t 2)＋t ＝－2t 2＋t ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋178.因为t ≥0，所以y ≤178，故函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178.(3)(三角换元法) 令x ＝cos t (0≤t ≤π)，所以y ＝2cos t ＋sin t ＝5sin(t ＋φ)(其中cos φ＝15，sin φ＝25)．因为0≤t ≤π，所以φ≤t ＋φ≤π＋φ， 所以sin(π＋φ)≤sin(t ＋φ)≤1. 故函数的值域为． (4)解法一：(不等式法)因为y ＝x 2－2x ＋5x －1＝（x －1）2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1， 又因为x ＞1时，x －1＞0，x ＜1时，x －1＜0， 所以当x >1时，y ＝(x －1)＋4x －1≥24＝4，且当x ＝3，等号成立；当x <1时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋4－（x －1）≤－4，且当x ＝－1，等号成立．所以函数的值域为(－∞，－4]∪∪上单调递增．所以当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值4，故所求函数的值域为． (6)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 点拨：求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．(1)(2015·江西模拟)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．解：y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－4x ＋1≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y |y ∈R 且y ≠1}．故填{y |y ∈R 且y ≠1}．(2)函数f (x )＝x ＋1－2x 的值域为________．解：(代数换元法)函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t22.所以y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1(t ≥0)，故当t ＝1(即x ＝0)时，y 有最大值1，故函数f (x )的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]．(3)函数y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1的值域是________．解：因为x 2＋x ＋1>0恒成立，所以函数的定义域为R .由y ＝2x 2－x ＋2x 2＋x ＋1，得(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0.当y －2＝0，即y ＝2时，上式化为3x ＋0＝0，所以x ＝0∈R .当y －2≠0，即y ≠2时，因为当x ∈R 时，方程(y －2)x 2＋(y ＋1)x ＋y －2＝0恒有实根，所以Δ＝(y ＋1)2－4×(y －2)2≥0，所以1≤y ≤5且y ≠2.故函数的值域为．故填．(4)(2015·江西模拟)设O 为坐标原点，给定一个定点A (4，3)，点B (x ，0)在x 轴的正半轴上移动．l (x )表示AB →的长，则函数y ＝xl （x ）的值域为________．解：依题意有x ＞0，l (x )＝（x －4）2＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝xl （x ）＝x x 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2.由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l （x ）的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 类型五 求函数的解析式 根据要求求函数的解析式： (1)(2015·福建模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，并且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )．(3)(2015·武昌模拟)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )．(4)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2－3，求f (x )．解：(1)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1， 故f (x ＋1)＝(x ＋1)＝－x (x ＋1)，又f (x ＋1)＝2f (x )，故f (x )＝12f (x ＋1)＝－x （x ＋1）2.所以当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x （x ＋1）2.故填－x （x ＋1）2. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3. 故所求的函数为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(3)设t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，则f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t 2， 故f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．(4)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－5，而x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，所以f (x )＝x 2－5(x ≥2或x ≤－2)． 点拨：由y ＝f (g (x ))的解析式求函数y ＝f (x )的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g (x )的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，将f (x )作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f (x )的解析式，含f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的类型常用此法．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(3)(2015·湖南模拟)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．(4)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )的解析式．解：(1)令2x＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由题意得3－2＝2x ＋17， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. 所以f (x )＝2x ＋7.(3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①－x ∈(－1，1)，以－x 代替x 得， 2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．(4)设2x ＋1＝t ，则x ＝12(t －1)，所以f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2＋8⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）＋3＝t 2＋2t ，所以f (x )＝x 2＋2x . 类型六 分段函数(1)(2016·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0， 则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3(2)(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.解：(1)f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.故选D .(2)因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0；当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，须2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是．故选D .(3)当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．故填2.点拨：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f (f (x 0))的求值问题时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．(1)(2015·浙江)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1， 则f (f (－2))＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），x ≤2，3－x ，x >2， 则f (log 32)的值为________．(3)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1， 则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ． C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．，D 项值域不是，C 项对定义域中除2以外的任一x 均有两个y 与之对应，故A ，C ，D 均不符合条件．故选B .2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，①错误；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有1个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有1个交点，②正确；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以是同一函数，③正确；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，④错误． 综上可知，正确的判断是②③.故选B. 3．设f (x )＝lg 2＋x2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )A ．(－4，0)∪(0，4)B ．(－4，－1)∪(1，4)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－4，－2)∪(2，4)解：因为2＋x2－x＞0，所以f (x )的定义域为(－2，2)，所以－2＜x 2＜2且－2＜2x＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4.故选B.4．(2014·南充模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则“f (x )≤0”是“x ≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 解：若f (x )≤0，则当x ≤0时，f (x )＝x 2－x ＝x (x －1)≤0，解得x ＝0；当x >0时，f (x )＝log 2x ≤0，解得0<x ≤1，所以0≤x ≤1，所以“f (x )≤0”是“x ≥0”的充分不必要条件．故选A.5．某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝(表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解法一：特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，故B 正确．解法二：设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )， 当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1.故选B .6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0， 则f (2 018)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解：因为f (2 018)＝f (2 017)－f (2 016)＝f (2 016)－f (2 015)－f (2 016)＝－f (2 015)，同理有f (2 015)＝－f (2 012)，所以f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)，f (2)＝－f (－1)＝－1.故选A.7．函数f (x )＝1－x ＋x ＋3的值域是________．解：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x ≤1.因为y ≥0，所以y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3）， 即y 2＝4＋2－（x ＋1）2＋4(－3≤x ≤1)． 从而y 2∈，即y ∈，所以函数f (x )的值域是．故填．8．(2015·山东模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x ＜1，－x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解：当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1.此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去．当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1.此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.故填－34.9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x＋1)＝f (x )＋x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，所以c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .因为f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 所以(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18.所以函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.10．已知函数f (x )＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为＝sg n x B ．sg n ＝－sg n x C ．sg n ＝sg n D ．sg n ＝－sg n解：因为f (x )是R 上的增函数，又a ＞1，所以当x ＞0时，f (x )＜f (ax )，即g (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝f (ax )，即g (x )＝0；当x ＜0时，f (x )＞f (ax )，即g (x )＞0.由符号函数sg n x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ＞0，0， x ＝0，－1，x ＜0可得，sg n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0， x ＝0，1， x ＜0＝－sg n x ．故选B.1．已知集合A ＝{x |0≤x ≤8}，集合B ＝{x |0≤x ≤4}，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x解：按照对应关系f ：x →y ＝x ，对集合A 中某些元素(如x ＝8)，集合B 中不存在元素与之对应，故不能看作从A 到B 的映射．选项A ，B ，C 都符合题意．故选D .2．(2016·厦门模拟)函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >－12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12且x ≠1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >－12且x ≠1 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.故选D .3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧si n （πx 2），－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0， 若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22 C ．－22 D ．1，22解：f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，所以1＋ea －1＝2，所以a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)，所以1＋sin(πa 2)＝2，所以πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，因为－1<a <0，所以a ＝－22.故选B. 4．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin2x )＝sin xB ．f (sin2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 解：选项A 中：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0且f (0)＝1，这与函数定义矛盾，错误；选项B 中：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0且f (0)＝π24＋π2，这与函数定义矛盾，错误；选项C 中：取x ＝1，－1，可得f (2)＝2且f (2)＝0，这与函数定义矛盾，错误；选项D 中，取f (x )＝x ＋1，那么有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|对任意x ∈R 成立．故选D.5．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足定义；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1x＋x ＝f (x )，不满足定义；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足定义．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ． D ．{－3}解：当0≤x ≤4时，f (x )∈；当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1⊆，－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.故选B.7．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.解：设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．故填x 2－1(x ≥1)． 8．(2016·陕西联考)设集合A ＝{x |0≤x <1}，B ＝{x |1≤x ≤2}，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ∈A ，4－2x ，x ∈B ， 若x 0∈A且f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是________．解：因为0≤x 0<1，所以f (x 0)＝∈． 整理可得这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝3 600x＋2x ，x ∈．(2)y ＝3 600x＋2x ≥1202，当且仅当3 600x＝2x ，即x ＝302时取等号．故当x ＝302时，这次行车的总费用最低，为1202元．10．规定为不超过t 的最大整数，例如＝12，＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝，g (x )＝4x －，进一步令f 2(x )＝f 1(g (x ))．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时成立，求x 的取值范围．解：(1)因为x ＝716时，4x ＝74，所以f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1.因为g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.所以f 2(x )＝f 1(g (x ))＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝＝3.(2)因为f 1(x )＝＝1，g (x )＝4x －1， 所以f 2(x )＝f 1(4x －1)＝＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x ＜2，3≤16x －4＜4，所以716≤x ＜12.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12.(2016·广州模拟)已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1，3)，B (2，2)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为( )A .π12 B .π6 C.π4 D.π3解： 因为点A (1，3)，B (2，2)，所以线段AB 的方程为x ＋y ＝4(1≤x ≤2)．设M ′(x ，y )，则M (x 2，y 2)，又因为点M 是线段AB 上一动点，所以x 2＋y 2＝4(1≤x ≤2)，所以点M 的对应点M ′的轨迹是一段圆弧，且该圆弧所对圆心角为π3－π4＝π12，所以点M 的对应点M ′所经过的路线长度为π12×2＝π6.故选B.2．2 函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥N②f(x0)＝N(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )A．y＝11－xB．y＝cos xC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x解：选项A中函数y＝11－x＝－1x－1在区间(－1，1)上是增函数；选项B中函数y＝cos x在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C中函数y＝ln(x＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D中函数y＝2－x＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在区间(－1，1)上是减函数．故选D.(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解：f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．显然，f(x)在(0，1)上单调递增．故选A.已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解：因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．故选B.(2014·天津)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为________．解：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故填(－∞，－2)．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间上具有单调性，则实数a的取值范围为________．解：函数的对称轴为直线x＝a，因此要使函数f(x)在区间上具有单调性，只需a≤1或a≥2.故填(－∞，1]∪，上是增函数，在，和；单调减区间为和时，u为减函数，当x∈，单调减区间为上是减函数；当a＜x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数．解法二：求导可得f′(x)＝1－ax2 .令f′(x)＞0，则1－ax2＞0，解得x＞a或x ＜－a(舍)．令f′(x)≤0，则1－ax2≤0，解得－a≤x≤a.因为x＞0，所以0＜x≤a.所以f(x)在(0，a]上是减函数；在(a，＋∞)上是增函数．点拨：求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致，通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫122x2－3x＋1的递减区间为__________________________．解：作出t＝2x2－3x＋1的图象如图，因为0<12<1，所以y＝⎝⎛⎭⎪⎫12t单调递减．要使y＝⎝⎛⎭⎪⎫122x2－3x＋1递减，只要x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2)求证：函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．证法一：(定义法)任取x1<x2，则x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)＝(x31＋x1)－(x32＋x2)＝(x31－x32)＋(x1－x2)＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22＋1)＝(x1－x2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x1＋12x22＋34x22＋1＜0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二 函数单调性的应用(2015·汕头月考)已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ＋12)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上恒正，则实数a 的取值范围是________．解：设g (x )＝ax 2－x ＋12，需满足g (x )＝ax 2－x ＋12>0，即a >1x －12x 2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12x 2ma x＝12，从而a >12.函数g (x )＝ax 2－x ＋12的对称轴为x ＝12a <1，所以函数g (x )＝ax 2－x ＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增．当a >1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递增，所以f (1)＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋12>0，解得a >32； 当12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫94a －32＋12>0，解得12<a <89.综上得实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，89∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.点拨：利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义，如本题中不能忽视g (x )＝ax 2－x ＋12＞0；(2)弄清常见函数单调区间与题中给出的区间的关系，如本题中g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1.若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以函数在x ＝12处取得最大值14，所以有14≤m2－3m 4，解得m ≤－14或m ≥1.故填⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪上的最大值与最小值．解：(1)证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)＝f (0)，从而f (0)＝0.令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (2)证明：对任意x 1，x 2∈R ，不妨设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，于是f (x 1－x 2)<0，从而f (x 1)－f (x 2)＝f －f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0，所以f (x )在R 上是减函数．(3)由(2)知，所求函数在上的最大值为f (－3)，最小值为f (6)．因为f (－3)＝－f (3)＝－＝－＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－＝－4，所以f (x )在上的最大值为2，最小值为－4. 点拨：对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x .f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，因为x 2x 1＞1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0.所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1，所以f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36，解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )m ax ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数y ＝x －1的单调递增区间是( ) A ． D ．(－∞，0]解：y ＝x －1的图象由y ＝x 的图象向右平移1个单位得到，故y ＝x －1的单调递增区间是B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．上是减函数，则实数a的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．上有意义，即集合{x |0≤x ≤1}是关于x 的不等式2－ax >0的解集的子集．因为函数在上是减函数，显然0<a <1不符合题意，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－ax >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x <2a，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2a>1，所以1<a <2.故选B .7．(2016·福建厦门质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间上的最大值为________．解：由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在上单调递增，所以f (x )在上单调递减，故f (x )在上的最大值为f (－1)＝3.故填3.8．已知f (x )是定义在上的奇函数且f (1)＝1，当x 1，x 2∈，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0，若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈，a ∈恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：用－x 2替换x 2，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）>0，由于f (x )是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以函数f (x )是定义域上的增函数，所以f (x )ma x ＝f (1)＝1.不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈，a∈恒成立，即m 2－2am ＋1≥1对任意a ∈恒成立，即2ma －m 2≤0对任意a ∈恒成立．令g (a )＝2ma －m 2，则只要⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝－2m －m 2≤0，g （1）＝2m －m 2≤0 即可，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0.故填(－∞，－2]∪{0}∪上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)令x <0，－x >0，f (x )＝－f (－x )，即ax 2＋bx ＝－(－x 2－2x )．所以a ＝1，b ＝2，所以a －b ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，易知f (x )的单调递增区间为， 所以⊆，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>－1，m －2≤1， 解得1<m ≤3.故实数m 的取值范围为(1，3]．10．(2015·江淮名校模拟)已知函数g (x )＝ax2－2ax ＋1＋b (a ＞0)在区间上有最大值4和最小值。

函数概念与基本处等函数01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设b>0,二次函数221y ax bx a =++-的图像为下列之一，则a 的值为( )A ． 1B ．152- C ． 1- D ．152- 【答案】C2．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D3．若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为( )A ．（3，310）B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310] 【答案】D4．若2)2()1()(22--+-++=a a x a x a x f 是偶函数，则=a ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B5．设函数2log (1),0(),0a x x f x x axb x +>⎧=⎨++≤⎩，若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．2 【答案】A6．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=( )A ． 12B ．1 4-C ．14D ． -12【答案】D7．函数(01)x y a a =<<的反函数的图象大致是( )【答案】D8．对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a 作x =h(t)的代换，则不改变函数)(x f 值域的代换是( )A ．h(t)=10tB ．h(t)=t 2C ．h(t)=sintD ．h(t)=log 2t【答案】D9．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是( )A ．),31(+∞- B ．)1,31(-C ．)31,31(-D ．)31,(--∞【答案】B10．要得到函数1()2xf x -=的图象，可以将( )A ．函数2xy =的图象向左平移1个单位长度B ．函数2xy =的图象向右平移1个单位长度C ．函数2x y -=的图象向左平移1个单位长度D ．函数2x y -=的图象向右平移1个单位长度【答案】D11．已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c<b<aB ．c<a<b C)b<a<cD ．b<c<a【答案】A12．函数()x f 2的定义域为[]11,-，则()2log y f x =的定义域为( ) A ． []11,-B ． ]4,2[C ．1[,2]2D ． []41,【答案】B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设定义在R 上的奇函数)(x f 满足)1()3(x f x f --=+,若2)3(=f ,则=)2013(f .【答案】2-14．已知函数4a )x (f 1x +=-（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，则点P 的坐标为____________。

1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中s ，t ∈Q ，a >0，b >0.2.指数函数的图象与性质1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a ).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘.( × )(3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数.( × )(5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________. 答案 (2，3)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42________. 答案 2解析 原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式： (1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简1213321()4(0.1)()a b ---⋅⋅＝________.答案 85解析 原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝|2x －1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(0≤x <1)，2x －12(x ≥1)，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析 函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a －7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3， 所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1).命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2x x f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究 函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x ≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]， 当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52， 则a ，b 的值分别为________.错解展示解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2，2 现场纠错解析 令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数， ∴a t∈[1a ，1]，22x xb a ++∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数， ∴a t ∈[1，1a ]，则22x xb a++∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27. 2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④. 又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1， 所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________.答案 [1，9]解析 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________. 答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1； 当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解. ∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b ，则a ，b 的大小关系为________. 答案 a ≤b解析 依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ， 又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.答案 (－∞，8]解析 当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (0，12)解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14] 解析 设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14. ∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]. 故函数的值域为[－14，14]. 10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解 函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解 由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值. 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ， 不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的， 因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3x x --+， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1， 即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2). 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2). 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)， ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去； ②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去. 综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x＋1＋m ，m 是实常数. (1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ， 3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)， 所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)， 即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下 ：当m ＝0时，f (x )＝23x＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32， 因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立， 化简整理得－2m ＝2×3x 1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞， 所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。

1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1）对数的运算法则如果a〉0，且a≠1，M〉0，N〉0，那么①log a（MN）＝log a M＋log a N；②log a错误!a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R）．（2)对数的性质①log a Na＝N；②log a a N＝N（a>0且a≠1）．(3）对数的换底公式log a b＝错误!(a>0,且a≠1；c>0，且c≠1;b>0）．3．对数函数的图象与性质y=log a xa〉10<a<1图象定义域（1)(0，＋∞）值域(2)R性质（3)过定点（1,0）(4)当x〉1时,y〉0;当0〈x〈1时，y<0(5）当x>1时，y〈0;当0<x〈1时，y>0(6）在（0，＋∞)上是增函数（7）在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论 （1）log a b ＝错误!；(2)log log .m n a a nb b m=其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R 。

2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c 〈d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) （1)若MN 〉0，则log a （MN ）＝log a M ＋log a N 。

( × ） （2）log a x ·log a y ＝log a （x ＋y ）．( × ） （3)函数y ＝log 2x 及13log3y x =都是对数函数．（ × )(4)对数函数y ＝log a x (a 〉0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．（ × ） （5)函数y ＝ln 错误!与y ＝ln （1＋x )－ln （1－x ）的定义域相同．( √ ） （6)对数函数y ＝log a x （a >0且a ≠1）的图象过定点(1，0）且过点(a ，1),错误!，函数图象只在第一、四象限．（ √ )1．（教材改编）（log 29）·（log 34）等于( ） A.错误! B.错误! C ．2 D ．4 答案 D解析 （log 29）·（log 34)＝2log 23·2log 32＝4. 2．函数f (x ）＝lg(｜x |－1)的大致图象是（ ）答案 B解析 由函数f （x )＝lg(｜x |－1)的定义域为（－∞，－1)∪(1，＋∞）,值域为R 。