2015高考数学专题复习：函数图像

【教学目标】研究正切函数的性质，作出正切函数y ＝tan x 的图象，使学生能研究与正切函数相关的函数图象与性质．【重点难点】重点：掌握y ＝tan x 的图象与性质．难点：理解并记忆正切函数的图象与性质，并能研究与正切函数相关的函数图象与性质．【教学内容】预备知识：1．正切函数的定义是什么？ 2．怎样作出正切线？ 一、性质：（y = tan x 的性质） 1．定义域： 2．值域： 3．周期性： 4．奇偶性： 5．单调性：二、图象：（作出y ＝tan x 的图象） 问：函数作图的一般步骤是什么？ 1．示意图：——“七点作图法”2．“精确图”：——“函数线作图法” 三、应用 1．作图例1（1）作出函数y = tan (23x π-)在一个周期内的图象；（2）作出函数y = cot x 在定义域内的图象． 2．定义域例2 求下列函数的定义域： （1）πtan(3)3y x =+； （2）y 3．值域例3 求下列函数的值域：（1）y = tan x（π6≤x≤2π3）；（2）y = tan (2x-π3)（0≤x≤π2）．4．周期性例4 求下列函数的最小正周期：（1）f(x) = 5tan (35x-π3)；（2）f(x) = tan x- cot x．5．奇偶性例5判下列函数的奇偶性：（1）f(x) = cos x · tan x；（2）f(x)= cos ( tan x ) ．6．单调性例6 求下列函数的单调增区间：（1）y = 3tan (π23x-) ；（2）y = tan (-x ) ．【小结作业】1．填空题：（1）函数πtan()26xy=+的定义域为________________，值域为____________，单调增区间为___________________．（2）函数y = tan 2x（－π12≤x≤π3）值域为__________________．（3）函数f(x) = tan x＋cot x的定义域为________________，值域为________________，最小正周期为____________．（4）将tan1，tan2，tan3，tan4由小到大排列：________＜_______＜_______＜_______．2．作出函数y = 2tan (π23x-)在一个周期内的图象．。

2015届高考数学教材知识点函数的图像复习导学案【学习目标】1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的．预习案1．函数图像的三种变换(1)平移变换y ＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位，得到的图像；y＝f(x －b)(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到；y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位，得到的图像；y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于对称；y ＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分，其余部分不变而得到；y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．(3)伸缩变换y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标变为原来的倍，坐标而得到．y＝af(x)的图像，可将y ＝f(x)的图像上所有点的坐标不变，坐标伸长为原来的．2．几个重要结论(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图像关于直线对称．(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图像关于x＝a ＋b2对称．(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图像关于x＝b－a2对称．【预习自测】 1．函数y＝lg|x－1|的图像大致为（）2．函数y＝1－1x－1的图像是3．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是 ()4．要得到函数y＝8•2－x的图像，只需将函数y＝的图像 ()A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位5．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图像关于直线x＝1对称，则a的值为 ()A．3B．2 C．1 D．－1 探究案题型一利用变换作图例1.作出下列函数的图像．(1)f(x)＝x1＋|x|； (2)f(x)＝|lg|x－1||．探究1.作出下列函数的图像．(1)y＝2x＋2；(2)y＝x＋2x－1； (3)y＝(12)|x| ； (4)y＝|log2x－1|．题型二知式选图或知图选式问题例2.函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式是 ()A．f(x)＝x＋sinx B．f(x)＝cosxx C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x•(x－π2)•(x－3π2)探究2.(1)函数y＝x2－2sinx的图像大致是 () (2)(2013•衡水调研卷)函数y＝x＋sin|x|，x∈的大致图像是 () 题型三函数图像的对称性例3.(1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为(2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于 ()A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称探究3.(1)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图像关于下列哪个点成中心对称 () A．(1,0) B．(－1,0) C．(12，0) D．(－12，0) （）(2)求证：函数f(x)满足对任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．题型四函数图像的应用例4.(1)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________． (2)不等式log2(－x)＜x＋1的解集为__________．探究4.若直线y＝x＋m和曲线y＝1－x2有两个不同的交点，则m的取值范围是________．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。

备考基础•查清忆知识明误区I 悟万法I必备知识总动员=＞必记②©知识点忆一忆填一填mm;1.利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线, 具体为:首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式;③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）;其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；最后：描点，连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 （1）平移变换 易、〃>0,上移〃个单位V =/（对处0,下移囚个单枢皿岀«>0,右移°个单位. xO,左移1甸个单枢 y=f(x —a)(2)伸缩变换:0<«<1,伸长为原来的丄倍y =f(x) ----------------------- 型—y=f(cox).(0>t缩短为原来的丄co一、A>1,伸为原来的A倍、v=A f(x}y—/⑴0<4vl,缩为原来的A倍' ------------ •(3)对称变换J =f(x) 关于兀轴对称T _—冷)r邛轴对称沪dy =/3)关于原点对您y = —A_X).(4)翻折变换：去掉甬左边图，保帥轴右边图沪曲y=f(x)将y轴右边的图像翻折到左边去留下兀轴上方图y =/(")将兀轴下方图翻折上去巧=何.自〉必明②◎易误点整誇壬想二想试一试在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的X, J变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错.2.明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系.目｝必会②◎方法茧悟三惜〕练二练1.数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程/3) =g(Q的解的个数、求不等式的解集等.2.分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像.［练一练］若关于兀的方程\x\=a—x只有一个解，则实数。

2015年高考函数的图像专题讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。

在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。

主要以选择题、填空题的形式出现，属于中偏高档题。

主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换（平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。

因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。

笔者以近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请斧正！[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的 y ＝f (ωx )； y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )；y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.[探究] 1.函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？2．一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为y＝f(x＋a)．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3．函数y＝ln(1－x)的图象大致为()4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．5．(2012·镇江模拟)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集为________．考点一：作函数的图象[例1]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 强化训练： 1．分别画出下列函数的图象．(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 考点二：识图与辨图[例2] (1)(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )例3:[2014年福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1 A BC D寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．(2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。

专题十一函数的图象 【高频考点解读】 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【热点题型】 题型一函数的图象的画法 【例1】分别画出下列函数的图象． (1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1； (3)y＝x2－|x|－2. 【提分秘籍】 画函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【举一反三】 已知函数f(x)＝ (1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间． 【热点题型】 题型二函数的图象的识别 【例2】　(1)函数y＝的图象大致是( ) (2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( ) 解法二　利用特殊点确定图象． 当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时， －f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B. 【答案】(1)C　(2)B 【提分秘籍】识图的要点及方法 (1)识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y 轴的交点，最高、最低点等)． (2)识图的方法 ①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决； ②定量计算法：通过定量的计算来分析解决； ③排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证． 【举一反三】 函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( ) 【热点题型】 题型三函数的图象的应用 【例3】　已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【解析】　先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解． 根据绝对值的意义，y＝＝ 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( ) 2．（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B. 3．（2014·山东卷）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. (1，2) D. (2，＋∞) 【答案】B　【解析】画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k＞，且k＜1.故选B. 4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是( ) A B C D 图1-2 5．（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是( ) 6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【随堂巩固】 1．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为( )． 2．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有 ( )． A．2对B．5对C．6对D．无数对 解析　显然f(x)＝－1为偶函数．其图象如图所示． f(x)＝要使值域y∈[0,1]，且a，b∈Z，则a＝－2，b＝0,1,2；a＝－1，b＝2；a＝0，b ＝2，∴共有5对． 答案　B 3．已知函数f(x)＝x－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)的值( )． A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0 4．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是 ( )． 解析　当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C. 答案　C 5．函数＝ln的大致图象为(如图所示) ( )． 6．如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为 ( )． 解析　(1)当0<x<时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI， 7．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________． 8．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________． 解析　函数y＝＝和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由对称性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8. 答案　8 9．使log2(－x)0的解集； (5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}． 13．设函数f(x)＝x＋(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C1，C1关于点A(2,1)的对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)． (1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．。