人教版九年级下册数学第2课时 相似三角形的判定(2)(导学案)

附件4：
泸县“一师一优课、一课一名师”活动
教学设计
用数学符号表示
练习：△ABC 中， D是
点，且∠ACD＝∠B，试说明
总结本节的收获与存在的问题，
要求：
1.请将您做好的教学设计以word 形式上传至平台，命名为姓名+教学设计名称；
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备注：
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1.简易多媒体教学环境（由多媒体计算机、投影机、电视机等构成，以呈现数字教育资源为主）；
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3.网络教学环境；
4.移动教学环境（例如使用手机、IPAD等）。

课题：相似三角形的判定（二）自研课（时段：晚自习时间： 10分钟）旧知连接：相似三角形的判定一：两个三角形因“平行”而“相似”.新知自研：课本第42-43页的内容相似三角形判定二.展示课（时段：正课）【学习主题】1、利用相似三角形判定一学习“探究2”，掌握相似三角形判定二：“三组对应边的比相等，两个三角形相似”；2、能运用上述判定方法解决简单的计算与证明问题. 【定向导学·互动展示·当堂反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·学法·时间）展示方案（内容·学法·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·同步演练）问题探究与方法生成（40分钟）【作图与猜想】作图：在右侧作图区作出两个三角形：△ABC的三边长为1㎝,1.5㎝,2㎝；△DEF的三边长为2㎝,3㎝,4㎝.测量：测量你所作的两个三角形的对应角，你的发现：计算：根据作图数据，计算对应边的比，观察结果，你的发现：猜想：根据你的测量结果和计算情况，猜想这两个三角形的关系是：【探究与证明】认真阅读课本第42页“探究2”内容阅读探究题干·明确内容结合猜想，表明探究的已知条件和探究问题梳理过程·理清证明步骤①探究的证明中，先将小三角形转移到大三角形中，再进行证明.这一环节辅助线起到了关键的作用.两人帮扶对建议解决以下问题：作图与猜想·比对两人的猜想结果，关注测量和计算过程；·完善猜想的题设和结论五人互助组在小组长的带领下，利用探究与证明中的指导，关注：·辅助线价值·中介三角形意义·全等的证明·全等、相似的传递十人共同体·获得任务后，3名同学进行展示板单元一·主题型展示素材：文中第42页探究2方式：全班大展示方案预设：·作图与猜想图形再现，呈现展示主题；展示作图测量计算和猜想；·探究与证明猜想经过证明成定理；明确探究的已知和问题；板书呈现证明全过程，利用过程理清证明步骤，关注到“辅助线”“用比例式证线段相等”“用全等传递相似”·总结相似判定定理二作图区：同类演练:下图是边长为1的网格，通过计算，证明下列两个三角形相似，并求出相似比.②整个证明过程涉及到三个三角形：△ABC ，△DE A '和△C B A ''',它们之间有怎样的关系？谁起到了“中介”的作用？ ③怎样证明△ABC ≌△DE A '的？从而根据相似与全等之间的传递性，最终证明△ABC ∽△CB A '''（12min ）面规划 ·有问题的同学继续寻求帮助 ·剩余同学展示预展 （13min ）（15min ）同类演练（`20分钟）请大家抽起小黑板，独立自主完成同类演练. 请关注：·应用今天所学到的判定（二）证明·怎样计算三角形的边长另：每组派一名代表上主黑板演练展示，最大限度暴露最有价值价值问题. （10min ） 单元二·反馈型展示展示流程：①目光聚焦主黑板，全班搜索问题，并争抢纠错；②对子间相互纠错，补充完善； ③规范完成同类演练，并整理、完善学道. （10min ）训练课（时段：晚自习 ， 时间：30分钟）“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评： 基础题：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，满足下列条件能判定它们相似的是 . ①AB=AC=BC=6cm ， A ′B ′=A ′C ′=B ′C ′=6cm②AB=AC=6cm ，BC=8cm ，A ′B ′=A ′C ′=3cm ，B ′C ′=4cm③AB=10cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ′B ′=8cm ，B ′C ′=6cm ，A ′C ′=4cm ④AB=3，BC=4，AC=5，A ′B ′=3，B ′C ′=2，A ′C ′=5发展题：提高题：培辅课（时段：大自习附培辅单）1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）2、效果描述：反思课（时段：大自习）1、病题诊所：2、精题入库：【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。

4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。

27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。

年级：九年级 班级： 学生姓名： 制作人： 不知名 编号：2023-1227.2.1 相似三角形的判定（2）【学习目标】1. 探究平行相似.2. 会证明定理并灵活应用.【重点】三角形相似的判定方法----平行相似 .【难点】证明定理并灵活应用.预学案（回顾）1、相似三角形的定义：如果两个三角形的_________，__________________，那么这两个三角形相似．2、平行线分线段成比例定理：两条直线被 所截，所得的 线段成比例3、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_______.探究案探究1：三角形相似的判定定理------平行相似：如图，在△ABC 中，D 为AB 上任意一点，过点D 作BC 的平行线DE ，交AC 于点E ．问题1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？∠A ∠A , ∠ADE ∠B , ∠AED ∠C ，问题2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？______=_______=BCDE 问题3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？ △ADE △ABC猜想： ∵DE ∥BC∴______ = _______.而BCDE 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，不能直接利用前面的结论，但从要证的AC AE ＝BC DE 可以看出，除DE 外，AE ，AC ，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将DE _______到BC边上去，使得_____=DE，再证明ACAE＝________就可以了.只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是_____DE所得的线段.请你写出证明过程：结论：判定三角形相似的定理：，所构成的三角形与原三角形相似.三角形相似的两种常见类型：“A”型“X”型检测案1．已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，ED:AC等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．2:52. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE= 2 cm，BE = 6 cm，BC＝4 cm，则EF的长为（）A．1 cm B．cmC．3 cm D．2 cm3．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比为＝．4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2 ：3，EF＝4，求CD的长．34ABAD。

27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定(2)——相似三角形的判定1和判定2一、新课导入1.课题导入问题1：请叙述三角形全等的SSS和SAS定理.问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”，那么这两个三角形是什么关系呢？问题3：把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”，那么这两个三角形又是什么关系呢？由此导入新课.（板书课题）2.学习目标（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.3.学习重、难点重点：三角形相似的判定1和判定2.难点：两判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究1:任意画△ABC和△A′B′C′，使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍，△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例.b.猜想：在△ABC 和△A′B′C′中，如果AB BC CAA B B C C A ==''''''，那么△ABC ∽△A′B′C′.c.证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于点E,则△A′DE ∽△A′B′C′.∴A D AB '''=A E AC '''=DEB C ''， 又∵AB BC CAA B B C C A ==''''''，A′D=AB ， ∴A E CAA C C A '=''''， ∴A′E=AC.同理，DE BCB C B C =''''， ∴DE=BC. ∴△A′DE ≌△ABC. ∴△ABC ∽△A′B′C′. d.归纳：三边成比例的两个三角形相似. e.推理格式：∵AB BC CAA B B C C A ==''''''，∴△ABC ∽△A′B′C′. ②探究2:利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A′B′C′，使∠A=∠A′，AB ACk A B A C ==''''.△ABC ∽△A′B′C′吗？ a.操作：量出BC 和B′C′，它们的比值等于k 吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？ b.改变∠A 的大小，结果怎样？改变k 的值呢？ c.猜想：在△ABC 和△A′B′C′中，如果AB ACk A B A C ==''''，∠A=∠A′，那么△ABC ∽△A′B′C′.d.证明：在A′B′上截取A′D=AB,作DE ∥B′C′交A′C′于点E. ∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.∴A D A EA B A C ''=''''. 又∵AB ACA B A C ='''',A′D=AB, ∴A′E=AC.∴△ABC ≌△A′DE. ∴△ABC ∽△A′B′C′.e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.f.推理格式：∵AB ACA B A C='''',∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.③在△ABC与△A′B′C′中，如果AB ACkA B A C==''''，∠B=∠B′，那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图).2.自学：参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化1.自学指导（1）自学内容：课本P33思考~P34.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.（4）探究提纲：①教材P33例1的第（1）题中，三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？②例1的第（2）题中，∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗？符合哪个判定定理的条件？③小结运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.④练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.a.AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.（相似，三边对应成比例）b.∠A=40°, AB＝8 cm，AC＝15 cm，∠A′=40°, A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm.（相似，两边成比例且夹角相等）c.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似，两边成比例且夹角相等；图2不相似，三边不成比例）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.一、基础巩固（70分）1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B ）2.(10分)下列条件能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是（C ）3.(20分)根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由. （1）AB ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，AC ＝15 cm ，A′B′＝150 cm ，B′C′＝180 cm ，A′C′＝225 cm ；(2)∠A ＝87°，AB ＝8 cm ，AC ＝7 cm ，∠A′＝87°，A′B′＝16 cm ，A′C′＝12 cm. 解：（1）△ABC ∽△A′B′C′.理由：∵AB BC ACA B B C A C =='''''',∴△ABC ∽△A′B′C′. （2）△ABC 与△A′B′C′不相似.理由：AB ACA B A C ≠''''. 4.(20分)(1)判断图1中两个三角形是否相似；(2)求图2中x 和y 的值.解：（1）相似.理由：设小方格边长为1，则AB=2，EF=2. 通过勾股定理易求得252,DF=10. ∴22DE EF DF AB BC AC ===,∴△DEF ∽△ABC. (2)∵1.5AC BCEC DC==，∠ACB=∠ECD, ∴△ACB ∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,1.527x=,∴x=40.5,y=98. 5.(10分)如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=5，DE=4，AE=92，DB=7，BC=485，EC=6310,那么△ADE∽△ABC吗？为什么？解：△ADE∽△ABC.理由：∵512 AD AE DEAB AC BC===,∴△ADE∽△ABC.二、综合应用（20分）6.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边应当是多少？解：两个形状相同的三角形框架，它们是相似的.如果边长2与边长4是对应边，则另外两边为2.5和3.如果边长2与边长5是对应边，则另外两边为1.6和2.4.如果边长2与边长6是对应边，则另外两边为43和53.7.(10分)如图，已知△ABD∽△ACE．求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE,AB AD AC AE=.∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.又∵AB AC AD AE=,∴△ABC∽△ADE.三、拓展延伸（10分）8.(10分)在△ABC中,∠B=30°，AB=5 cm，AC=4 cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10 cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.解：不一定.理由：虽然12AB ACA B A C=='''',∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角，∴这两个三角形不一定相似.。

27.2.1 相似三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】1．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．运用三角形相似的条件解决简单的问题．知识概览图定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等新课导引【生活链接】小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形状的花束，三边长分别是35 cm，40 cm，50 cm，小丽也想制作一个这样形状的花束，但她手中只有一根长100 cm的木条，她应该怎么制作呢?【问题探究】如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗? 教材精华知识点1 相似三角形相似三角形是形状相同的三角形，它们的对应角都相等，对应边的比都相等．如图27—10所示，△ABC与△DEF的形状相同，大小不同，这两个三角形相似，所以∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB BC ACDE EF DF==·拓展相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最重要的性质．知识点2 相似三角形的表示方法△ABC与△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作“△ABC 相似于△DEF”或“△DEF相似于△ABC”．拓展用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上，如图27－10所示，表示△ABC与△DEF相似，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，∠C 的对应角是∠F，即△ABC∽△DEF，而不要写成△ABC∽△EFD，如果把△ABC写成△BAC，那么就应该记作△BAC∽△EDF，这样做的目的是为了指明对应角、对应边．相似三角形相似三角形的判定知识点3 三角形的相似比两个三角形相似，对应边的比叫做相似比． 例如:若△ABC ∽△DEF ，则AB BC CA DE EF FD ==．设比值为k ，于是AB BC CA DE EF FD===k ，即△ABC 与△DEF 的相似比为k ．拓展 这时△DEF 与△ABC 的相似比为1k ．若BC ＝6，EF ＝8，则△ABC 与△DEF 的相似比为6384=，△DEF 与△ABC 的相似比为43. 探究交流 如果两个三角形的相似比k ＝1，那么这两个三角形有怎样的关系?点拨 当两个三角形相似，且相似比为1时，这两个三角形全等，也就是说，这两个三角形的对应角都相等，对应边都相等，这两个三角形能够重合．三角形全等是三角形相似的特例．知识点4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．把这个定理应用到三角形中，可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等． 知识点5 相似三角形的判定定理判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图27—11所示，在△ABC 中，过AB 上一点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，求证△ADE ∽△ABC ．证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ．连接DC ，BE ，∵S △EBC ＝S △DBC ，∴S △ABE ＝S △ACD ．∵同高的两个三角形面积的比等于底边的比，∴,ADE ADE ABE ACD S S AD AE S AB S AC ==△△△△. ∵,ADE ADE ABE ACD S S AD AE S S AB AC=∴=△△△△. 如图27－12所示，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．易证.BD BF AB BC= 又∵BD ＝AB －AD ，BF ＝BC －F C ＝BC －DE ，∴AB AD BC DE AB BC --=，即AD DE AB BC=． ∴AD AE DE AB AC BC==. 又∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．如图27－13所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB BC AC A B B C A C ==''''''，求证△ABC ∽△A ′B ′C ′．证明：在线段A ′B ′(或它的延长线)上截取A ′D ＝AB ，过点D 作DE ∥B ′C ′交A ′C ′于点E ，∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∴A D DE A E A B B C A C ''==''''''. 又∵AB BC AC A B B C A C ==''''''，A ′D =AB ， ∴A E AC A C A C '=''''.∴A ′E =AC ，同理DE =BC ， ∴△A ′DE ≌△ABC (SSS)，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．例如：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm ，此时41123AB A B ==''，61183BC B C ==''，81243AC A C ==''，∴AB BC AC A B B C A C ==''''''，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵AB BC AC A B B C A C==''''''，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．如图27－14所示．书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵AB AC A B A C =''''，∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．判定定理4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图27—15所示，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，求证△ABC ～△A ′B ′C ′．证明：在△ABC 的边AB 上截取AD ＝A ′B ′，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′，且△ADE ～△ABC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴△ABC ～△A ′B ′C ′．规律方法小结 判定三角形相似的方法主要有以下几种：(1)定义；(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(3)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(4)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(5)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似(此知识常用，但有时需要证明)；(7)若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．知识点6 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边的比相等．拓展 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段的计算以及三角形的周长和面积的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等．规律方法小结 运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系，即由未知向已知转化．当两个三角形相似，但又没有指明对应的情况时，应进行分类讨论．课堂检测基本概念题1、所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰直角三角形呢?为什么?2、根据下列条件判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm；(2)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．基础知识应用题3、如图27－17所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠B.4、如图27－18所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是 ( )A．AD BCDF CE= B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE= D．CD ADEF AF=5、如图27－19所示，△ABD∽△ACE，求证△ABC∽△ADE．6、如图27－20所示，在不等边三角形ABC中，P是AB边上一点，过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，则满足条件的直线一共有多少条?请画出图形．7、如图27—22所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC中有一个内接正方形DEF C，连接AF交DE于G，AC＝15，BC＝10，求GE的长．综合应用题8、如图27－23所示，从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和C F，垂足分别为E，F，求证AB·AE+AD·AF＝AC2．9、如图27－24所示，小明为了测量一楼房MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点，若AC＝1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1．6 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度．(结果保留小数点后一位)探索与创新题10、如图27—25所示，在直角梯形ABCD中，∠D＝90°，AD＝7，AB＝2，DC＝3，P为AD上一点，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P 一共有多少个?为什么?体验中考1、如图27－28所示，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题．(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；(2)设△BPQ的面积为S cm2，求S与t的函数关系式；(3)作QR∥BA交AC于点P，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?2、如图27－29所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC＝1:2，则BF:BE= . 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由相似三角形的定义可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似．解：所有的直角三角形不都相似．如图27—16所示的两个直角三角形中的两个锐角显然不相等，因此这两个直角三角形不相似．所有的等腰直角三角形都相似．因为任意一个等腰直角三角形的三个内角分别为45°，45°，90°，三条边的比为1：1：2，因此所有的等腰直角三角形都相似．【解题策略】 所有的直角三角形中不满足对应角都相等，因此所有的直角三角形不都相似．2、分析 根据判断两个三角形相似的判定定理3与判定定理2来判定．解：(1)∵73AB A B ='',14763AC A C ==''，∴AB AC A B A C =''''． 又∵∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．(2) 41123AB A B =='', 61183BC B C =='',821AC A C ='',∴AB BC AC A B B C A C =≠''''''. 即△ABC 与△A ′B ′C ′的三组对应边的比不相等，所以它们不相似．【解题策略】 此类题主要考查相似三角形的判定定理．3、分析 要写出比例式，关键应明确哪些边是对应边，而要找到对应边，比较好的方法是找到对应角(或对应的顶点)．以(2)为例，由于A ′B ′∥AB ，∴∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠A ′OB ′＝∠AOB ，因此点A 与点A ′是对应点，点B 与点B ′是对应点，另一个公共点O 是两个三角形的对应点．解：(1) .AD AE DE AB AC BC== (2)AO BO AB A O B O A B ==''''. (3) .AD AE DE AB AC BC == 【解题策略】 两个三角形相似，在找对应角和对应边时应按照对应字母来找．4、分析 如图27－18所示，把直线AD 向右平移，且使点A 与点B 重合．容易证明：AD ＝BD ′，DF ＝D ′F ′，由比例线段的特点知BC BD AD CE D F DF'==''．故选A ．5、分析 由于△ABD ∽△ACE ，所以∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAC＝∠DAE．又AB ACAD AE=，所以问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．又∵△ABD∽△ACE，∴AB AD AC AE=，即AB ACAD AE=，∴△ABC∽△ADE．【解题策略】解决此类问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6、分析可利用“如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”来画直线，故过点P分别作BC，AC的平行线，或过点P作与∠C相等的角，从而得到相似三角形．解：满足条件的直线一共有四条，如图27－21所示．【解题策略】本题考查相似三角形的识别方法，通过构造“两角对应相等”使两个三角形相似．7、分析根据相似三角形的判定方法和性质列出比例式，从而求得GE的长．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEF C为其内接正方形，∴△ADE∽△ACB，△AGE∽△AF B，∴AD DE AE AC CB AB==.设正方形DEF C的边长为x，则151510x x-=，∴x=6．∵△AGE∽△AFB，∴AE GEAB FB=.又∵1569315155AE ADAB AC-====,∴35GEFB=，即31065GE=-，∴GE=125.【解题策略】利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法，主要是根据相似的关系列出比例式，再由比例式列出方程，从而通过解方程求得线段的长．8、分析等式左边的两项均为两条线段之积，而右边为AC2，故应设法将AC2拆成两条线段乘积的形式，由图中可知AC2＝AC(AG+GC)＝AC·AG+AC·GC，从而只需证AC·AG和AC·GC 与所证等式的左端两项分别相等即可．证明：过B作BG⊥AC于G，∵∠BGA＝∠CE A＝90°，∠3＝∠3，∴△ABG ∽△ACE ，∴AG AB AE AC=， ∴AC ·AG ＝AB ·AE ．①又∵BC ∥AD ，C F ⊥AF ，∴∠1＝∠2，∠CG B ＝∠AF C ＝90°，∴△CBG ∽△ACF ，∴CB CG AC AF=， ∴AC ·CG ＝CB ·AF ．②由①+②得AC (AG +CG )＝AB ·AE +CB ·AF ．又∵CB ＝AD ，∴AB ·AE +AD ·AF ＝AC 2．【解题策略】 一般地，要证形如ab ＝cd +ef 的线段关系，常常在a (或b )上取一点P ，使ab 转化为两项．9、分析 根据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角，即∠BAP ＝∠MAP ，从而∠BAC ＝∠M A N ，这样就可以得到△MNA ∽△BCA ，再利用相似三角形的性质即可求出MN ． 解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∴∠BCA ＝∠MNA ＝90°，又∵∠BAP ＝∠MAP ，∴∠BAC ＝∠M A N ，∴△BCA ∽△MN A ，∴MN :BC ＝A N :AC ，即MN ：1.6=20:1.5，∴MN =1.6201.5⨯≈21．3(m)， ∴楼房的高度约为21．3 m ．【解题策略】 利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求线段的长是常用的方法．10、分析 △PAB 与△PDC 中各有一个直角，两边对应成比例，所以应分两种情况进行讨论，即∠APB ＝∠DPC 和∠APB ＝∠PCD ，分别求解即可．解：设AP ＝x ，则PD ＝7－x ．①当△PAB ∽△PDC ，即∠A ＝∠D ＝90°，∠APB ＝∠DPC 时， 273x x =-,∴x ＝145. ②当△PAB ∽△CDP ，即∠A ＝∠D =90°，∠APB ＝∠DCP 时， 237x x=-，∴x 1=1，x 2=6． 因此AP 的值有三个，也就是这样的点P 一共有三个．【解题策略】 本题中△PAB 与△PDC 相似，由于没有指明两个三角形的对应点(除点A 和点D 外)，所以要分类讨论．体验中考1、分析 (1)∠B ＝60°，只要判断出BQ 与BP 的关系即可．(2)用含t 的代数式分别表示BP 和BP 边上的高，因此需过点Q 作BP 边上的高；(3)找出使△APR ∽△PRQ 成立的条件即可．解：(1)△BPQ 是等边三角形，理由如下：当t ＝2时，AP ＝2×1＝2，BQ ＝2×2＝4，∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4 ．∴BQ ＝BP ．又∵∠B ＝60°，∴△BPQ 是等边三角形．(2)过点Q 作QE ⊥AB ，垂足为点E ．由QB ＝2t ，得QE ＝2t ·sin 60．由AP ＝t ，得PB ＝6－t ．∴S △BPQ ＝12BP ·QE ＝12(6－t )t 2． (3)∵QR ∥BA ，∴∠QR C ＝∠A ＝60°，∠RQC ＝∠B ＝60°．又∵∠C ＝60°，∴△QRC 是等边三角形，∴QR ＝RC ＝QC ＝6－2t .∵BE ＝BQ ·cos 60°＝2t ×12＝t ， ∴EP ＝AB －AP －BE ＝6－t －t ＝6－2t .∴EP ＝QR ，又∵EP ∥QR ，∴四边形EPRQ 是平行四边形，∴PR ＝EQ ．又∵∠PEQ ＝90°，∴∠APR ＝∠PRQ ＝90°．∵△APR ∽△PRQ ，∴∠QPR ＝∠A ＝60°．∴tan 60°=QRPR t =65． ∴当t ＝65s 时，△APR ∽△PRQ . 【解题策略】 分析动点问题时，要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、距离等要素．2、分析 ∵DE :EC ＝1:2，∴设DE ＝x ，则EC ＝2x ，∴AB ＝3x ．由△ABF ∽△CEF ，得3,2BF AB FE CE ==∴BF :BE ＝3:5．故填3:5．。