《大学物理》7.5_气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
dQ k dT dSdt dz z0
B
夹层流体的速度梯度 R

A LR
黏性力对扭丝作用的合力矩：
R+δ G 2RL R R 2R3L
ω


所以，气体的黏度为：


G 2R3L
5、 非
1、其速度梯度与互相垂直的黏性力间不呈线性 函数关系，如血液、泥浆、橡胶等。
牛
顿
2、其黏性系数会随着时间而变的，如：油漆等
二. 平均碰撞频率
Z n ut un
t u 2v
Z 2n v 2d 2 vn
平均碰撞频率(mean collision frequency)
z：
单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的
平均次数。
三.平均自由程（mean free path） ：
分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的平均值。
差为 T ,假定此时已达稳态传热，试问待测气
体的热导率为多少？
例4 试估计标准状况下空气的黏性系数、热导率及扩散系数。
解：已知空气平均自由程λ =6.9*10-8 m,平均速率v=446 m/s,
摩尔质量Mm=0.029 Kg. 则：
0.029 103 1.29Kg m3
22.4




π d2
u

d

2d

பைடு நூலகம்

平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。 通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。 通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和 热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系 数等物理量时，需要用到平均自由程 。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞 频率，进而影响平均自由程的大 小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由 程，因为它们受到的空气阻力较 小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧 烈，碰撞频率越高，平均自由程 越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞 频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、 压力等实验条件的关系，得出气体 分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平 均自由程在气体分子扩散、传递过 程中的作用，以及在实际应用中的 意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气 体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动 的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次 碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分 子运动和相互作用的规律。

A• •B
在相同的t时间内, 分子由 A 到B 的位移比它的路程小得多
扩散速率 (位移/时间)
平均速率 (路程/时间)
自由程：分子在相邻两次碰撞之间自由通过的路程 .
分子的平均自由程( )：每两次连续碰撞之间， 一个分子自由运动的平均路程 .
分子的平均碰撞频率( )：单位时间内一个分子 和其它分子碰撞的平均次数.
碰撞截面: △t 时间内，A 通过的折线长： 以折线为轴的曲折圆柱体积： △t 时间内, 能够与 A 球碰撞的分子数：
△t 时间内与 A 球碰撞的分子数： 分子的平均碰撞频率： 考虑其他分子的运动 ： 分子的平均碰撞频率：
(证明见后)
分子平均碰撞频率
Z 2 πd 2 vn
p nkT
平均自由程： λ v 1 kT Z 2π d 2n 2π d 2 p
在能量均分定理中，我们将理想气体分子视为 有结构的质点组，可以发生转动和振动；
在推导分子平均碰撞自由程时，我们将理想气 体视为有一定大小(体积)的刚性小球。
由此可见，对不同的问题，我们采用不同的理 想模型来进行研究，只要抓住问题的本质即可。
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自由
程 : (1) 273 K、
能级 处于Ei状态 的粒子数
对于任意两个能级，有
在正常状态下，能级越低，粒子数越多。 粒子总是优先占据低能级状态——能量最低原理
例：氢原子基态能级 E1= -13.6 eV，第一激发态能 级 E2= -3.4eV，求出在室温 T = 27 0C 时原子处于 第一激发态与基态的数目比。 解：
在室温下，氢原子几乎全部处于基态。

时;
(2) 273 K 、
时.
（空气分子有效直径 ：

p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm 2 d2
瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
( The end )
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 13 / 12 .
作业：
12-25，12-28
答疑时间：周二下午1：30－3：30
1.5cm 1.5102m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm
2 d2
1.5cm
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 12 / 12 .
1. 平均碰撞频率： z 2 n d2v
2. 平均自由程： kT 2 d2 p
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
常用 z 表示。
则，在 △t 时间内，有：
vt zt
v z
☻ z、与哪些因素相关
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 5 / 12 .
二、平均碰撞频率与平均自由程
设分子的有效直径为d，某分子以 u 相对于其他分子
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，则
p (Pa)
(m)
1.01105 1.33 102
6.9 108 5.2 105
kT 2 d2 p
常温常压下： 约108 ~ 107 (m)
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均
1
2 d2 n
而： p nkT
z

区间粒子的能量成正比。 （2）在同样大小的各区间（坐标区间和速度区间）中，能量
较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。 （3）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，
分子总是处于低能态的概率大些。 （4）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标
区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。 （Ａ）只有(1),(2)是正确的； （B）只有(2),(3)是正确的； （Ｃ）只有(1),(2),(3)是正确的；（D）全部是正确的；
(`1) 10-10m (2) 102~103m/s (3) 108~109s-1
v 1.6 RT M mol
T=300K
v kT z 2d 2 P
把 P 1.01105 Pa
z 2d 2vP
kT T 273K 代入即可得到。
8
例6－12 气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当
温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 z
分子的平均碰撞次数及平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什
么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？ 原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
1
一、分子的有效直径d
分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积 的弹性小球。
则分子的有效直径d定义为：两个分子质心之间所能允许的 最小距离。
距离小于或等于分子有效直径d的分子都会与A分子发生碰撞。
为此我们以A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d
为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的
分子，都会与A分子发生碰撞，
z n d 2 u
4
理论证明：气体分子的平均相对速率 u与平均速率 v间有

一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向

d （分子间距平均值）， 分子间距平均值）， 3 . 其它分子皆静止 某一分子以平均速率 u 相 其它分子皆静止,
2 . 分子有效直径为 对其他分子运动 .
7– 7
分子平均碰撞次数和平均自由程
第七章气体动理论
单位时间内平均碰撞次数 考虑其他分子的运动
Z = π d un u = 2v
2
Hale Waihona Puke 7– 7分子平均碰撞次数和平均自由程
第七章气体动理论
分子平均碰撞频率
Z = 2 π d vn
2
平均自由程
v 1 λ= = 2 z 2π d n
p = nkT
λ =
kT 2 2π d p
1 T 一定时 λ ∝ p
p 一定时 λ ∝ T
7– 7
分子平均碰撞次数和平均自由程
第七章气体动理论
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的 路程 .
7– 7
分子平均碰撞次数和平均自由程
第七章气体动理论
分子平均自由程：每两次连续碰撞之间， 分子平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个 平均自由程 分子自由运动的平均路程 . 分子平均碰撞频率： 分子平均碰撞频率：单位时间内一个分子和其 平均碰撞频率 它分子碰撞的平均次数 . 简化模型 1 . 分子为刚性小球 ,

1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT

9
本章重点和难点：
1. 理解分子运动满足统计规律的概念 2. 压强、温度、内能的微观本质 3. 掌握麦克斯韦速率分布函数及其应用！！ 4. 理解玻尔兹曼分布律 5. 掌握平均自由程和平均碰撞次数的概念和公式
10
本章要掌握的内容和公式：
1. 与压强、温度、内能公式有关的计算 理想气体状态方程 p=nkT 分子自由度 i 2. 麦克斯韦速率分布函数 函数形式、物理意义 几种速率公式及其物理意义 与速率公式有关的概念，如其它分布函数（Ex18）
பைடு நூலகம்
按公式 p=nkT 可知单位体积中分子数为
p 1 . 013 10 5 3 25 3 n ＝ m 2 . 69 10 m kT 1 . 38 10 23 273
6
因此


1 2 2 d n
7
1
10 2
1.414 3.14 2 10

2.69 1025 273
碰撞、自由程 5
例题6-6 求氢在标准状态下，在1s 内分子的平均碰 撞次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。 解:按气体分子算术平均速率公式 算得
v
v
8 RT M mol
8 RT 8 8 . 31 273 3 ＝ m / s 1 . 70 10 m/s 3 M mol 3 . 14 2 10
11
本章要掌握的内容和公式：
3. 与玻尔兹曼分布有关的概念 函数形式、物理意义 判断分子密度、压强随势能（高度）的变化 4. 平均自由程 公式的计算、物理意义 平均碰撞次数公式的计算、物理意义
12
Z
t
碰撞、自由程
n u
4

空气摩尔质量为2910-3kg/mol 空气分子在标准状态下 8 RT v 448m / s 的平均速率 M
448 9 1 Z 5.1 10 s 8 8.71 10
上页 下页
v
=
v
Z
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页
下页
2
一切分子都在运动
v
A d
v
动态 演示
z 2d v n
2

上页
下页
二、平均自由程
一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路 程叫平均自由程 单位时间内分子经历的 平均距离 v ， 平均碰撞 Z 次
=
v Z v Z
因为
P=nkT
=
=
1
2 d2 n
=
kT
2 d2 P
上页 下页
10-10m。已知空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273 K , P 1.0atm 1.013 105 Pa ,
d 3.10 10 10 m
上页 下页

kT 2d 2 P
23
1.38 10 273 8 8.71 10 m 10 5 1.41 3.14 ( 3.5 10 ) 1.01 10
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
7
氮
氧
7
空气
7
(m ) 1.123 10
0.599 10
0.647 10
7.00 10
8
d ( m ) 2.30 10 10 3.10 10 10 2.98 1010 3.10 1010