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话题12：物体平衡条件的问题一、共点力的平衡n 个力1F 、2F 、⋅⋅⋅⋅⋅⋅n F 同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图所示。
作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。
当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。
10ni i F ==∑ (1)用分量式表示：10nixi F==∑10niyi F==∑ 10niz i F ==∑ (2)例1、半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2a π,2Ra =，绳圈的弹性系数为k 。
将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。
考虑重力，不计摩擦。
①设平衡时绳圈长2b π，b =,求k 值。
②若22mgk Rπ=，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。
在绳圈上任取一小元段，长为b ϕ∆，质量为2MM b bϕπ∆=∆，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示()a 和()b 表示。
元段M ∆受到三个力作用：重力Mg ∆方向竖直向下；球面的支力N 方向沿半径R 指向球外；两端张力2()T k ba π=-，张力的合力为2s i n 2()2T T k b a ϕϕπϕ∆≈∆=-∆位于绳圈平面内，指向绳圈中心。
这三个力都在经线所在平面内，如图示()c 所示。
将它们沿经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。
解：(1)由力图()c 知：合张力T ϕ∆沿经线切向分力为：3F ()b M∆10 cos2()cos2(sin sin)F T b a k R Rϕθπϕθπθθ=∆=-∆=-∆重力沿径线切向分力为：2sin2MgFϕθπ=∆当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。
12F F-=由以上三式得tan(sin sin)Cθθθ=-式中24kRCMgπ=,sinbRθ=,sinaRθ=由题设：2Ra=,2b R==。
共点力平衡归纳总结与提高练习(含答案)共点力平衡是物理学中的一个重要概念，它涉及到物体在力的作用下保持平衡的问题。
在质点力学中，力的合成、分解及平衡是基本理论，在我们日常生活中也经常遇到与之相关的情况。
下面我们来归纳总结共点力平衡的基本原理和提高练习，并提供相应的答案。
一、共点力平衡的原理1. 引力与支撑力平衡当一个物体受到向下的重力作用时，如果受到一个大小相等、方向相反的支撑力，物体将保持平衡。
这是因为重力和支撑力在作用点上是共点的，且具有相等大小、反向的特点。
例如，一个放在桌面上的书本，受到向下的重力作用，但同时受到桌面向上的支撑力，力的合成为零。
2. 两个力平衡当一个物体受到两个大小相等、方向相反的力作用于同一直线上时，物体也将保持平衡。
例如，一个物体受到向左和向右大小相等的力作用，力的合成为零。
3. 多个力平衡当一个物体受到多个力作用时，如果这些力在同一直线上，且合向左的力和合向右的力相等，合向上的力和合向下的力相等，物体将保持平衡。
这是因为力的合成为零。
二、提高练习为了提高对共点力平衡的理解和应用能力，我们可以进行以下练习。
1. 实例分析练习(1) 一本书放在桌子上，重力为10N，求桌面对书的支撑力。
答案：桌面对书的支撑力大小与重力相等，即为10N。
(2) 一个物体受到向左的力为6N和向右的力为4N，求物体的合力。
答案：物体的合力等于两个力的差，即6N - 4N = 2N，方向为向左。
(3) 一个物体受到向上的力为5N和向下的力为7N，求物体的合力。
答案：物体的合力等于两个力的差，即7N - 5N = 2N，方向为向下。
2. 分析力的平衡练习根据提供的问题和图纸，分析力的平衡情况。
（答案仅供参考）(1) 一个物体悬挂在绳子上，绳子受到向上的拉力15N，物体的重力为25N，求物体的加速度。
答案：物体的加速度可以根据力的平衡来确定。
重力和拉力在作用点上是共点的，且大小相等、方向相反。
根据 Newton 第二定律，物体的净力等于质量乘以加速度。
共点力的平衡一、静态平衡问题常用方法：1.合成法：若物体受三个力平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力的大小相等，方向相反。
一般采用力的合成法，或采用力的分解法。
如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则期中一个力与其余的力的合力必定等大反向。
1．如图所示，起重机将重为G的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力大小为（B）A．B．C．D．2．如图所示，起重机将重为G的正六边形厚度均匀的钢板匀速吊起，六条对称的钢索与竖直方向的夹角为30°，则每根钢索中弹力大小为（D）A．B．C．D．3．如图所示，在卸货场，挂钩连接四根长度均为L的轻绳，四根轻绳的另一端与一质量为m、直径为1.2L的水平圆环相连，连接点将圆环四等分。
圆环正缓慢地匀速上升，已知重力加速度为g，则每根轻绳上的拉力大小为（C）A．mg B．mg C．mg D．mg4．图甲为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d…为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe，bOg均成120°向上的张角（图乙所示），此时O点受到的向下的冲击力大小为2mg，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为（B）A．B．mg C．D．3mg5．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为（D）A．mg B．C．D．6．跳伞运动员在空中打开降落伞一段时间后，保持匀速下降．已知运动员的重量为G1，圆顶形伞面的重量为G2，在伞面边缘有24条均匀分布的相同轻细拉线与运动员相连，每根拉线和竖直方向都成30°角．设运动员所受空气阻力不计，则每根拉线上的张力大小为（A）A．B．C．D．7．如图所示，有2n个大小都为F的共点力，沿着顶角为120°的圆锥体的母线方向，相邻两个力的夹角都是相等的．则这2n个力的合力大小为（B）A．2nF B．nF C．2（n﹣1）F D．2（n+1）F2.正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法，以少分解力为原则，尽量不分解未知力。
三力共点平衡问题的一题多解共点力作用下物体的平衡的条件是：物体所受的合外力为零。
在解决共点力作用下物体的平衡问题时通常可以用以下几种方法：正交分解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理） 法。
下面通过例题来说明三种方法的使用：例1、如图：一重力为G 的球用长为R 的不可伸长的细线挂在光滑的墙壁上，求墙的支持力和绳的拉力。
方法1：正交分解法： G T y = N T x = θGtg N ==G R R3=G 33 T=θcos G =G 332 方法2：相似三角形法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形。
∵ABO ∆∽DCO ∆∴COBO DO AO DC AB == G N AO T BO N AB G 33=⇒== G T 332= 方法3：拉密定理（正弦定理）：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形，由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==可知 213sin sin sin θθθG N T == 由三角形关系可知1θ=1500，2θ=1200，3θ=900所以G T 332= G N 33= 例2、如图所示，物体重力为30N ，∠ACB=300，求细绳AB 和杆BC 的作用力A T 、C T 。
解法一、正交分解法：G T cy = A cx T T =即：G T c =⨯030sin A c T T =⨯030cos ∴N T c 60= N T A 330=解法二、相似三角形法：ABC ∆∽BC T AB T AC G DBE C A ==⇒∆∴ N T c 60= N T A 330=解法三、正弦定理法： 00090sin 120sin 150sin C A T T G == ∴ N T c 60= N T A 330=从上面两个例题看，解决三个共点力作用下物体处于平衡状态时，可以用的方法是多种的，我们可以根据实际情况选择最简单的一种方法。
第一讲: 常见的三种力、物体的平衡一、力学中常见的三种力（一)相关概念1.重力、重心ﻫ①重心的定义:++++=gmgmgxmgxmx212211，当坐标原点移到重心上,则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆,重心和质心不重合。
2.弹力、弹簧的弹力(Ｆ＝kx）ﻫ（1）两弹簧串联,k1=11k＋21k(2)并联时k=k1 +k23.摩擦力（1)摩擦力的方向：ﻫ（2）摩擦角:f和Ｎ的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角(f 达到最大）叫摩擦角,摩擦角ϕ=tａn-１ｆ/N=tａn-1μ。
摩擦角与摩擦力无关,对一定的接触面，ϕ是一定的。
由于静摩擦力ｆ0属于范围０<ｆ≤f m,故接触面作用于物体的全反力F'同接触面法线的夹角⎪⎭⎫⎝⎛=-Nftg01α≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。
换句话说,只要全反力F'的作用线落在（0，φ0)范围时，无穷大的力也不能推动木块,这种现象称为自锁。
（二）巩固练习1.(90国际奥赛题）(哥伦比亚)一个弹簧垫，如图所示,由成对的弹簧组成。
所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/ｍ,一个重为100N的重物置于垫上致使该垫的表面位置下降了10ｃm,此弹簧垫共有多少根弹簧？(假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度)。
４002.如图所示,两个劲度系数分别为k１和k2的轻质弹簧竖直悬挂,弹簧下端用光滑细绳连接,并有一光滑的轻滑轮放在细绳上.把滑轮和两个轻弹簧等效成一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。
３.水平地面上有一质量为m的物体,受斜向上的拉力F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ，则为使拉力Ｆ最小，F与水平地面间的夹角多大？F的最小值为多少？（答案：ｔａn－1μ;21μμ+mg) θFNFFff0αφ解:先把f 和N 合成一个力T ,因f 和N 成正比,所以当Ｆ发生变化时T的大小也要发生变化,但方向不变，且β=ta ｎ-1N f =ｔa ｎ－1μ. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F 和T 垂直时F 最小,如右图所示.得Ｆ与水平地面间的夹角α=β=tan -１μ， si ｎα=21μμ+，F 的最小值F mi ｎ=m ｇｓi ｎα＝21μμ+mg．另解：设F 与水平面成α角时Ｆ最小,ﻫ有F ｃos α-μ（mg －F sin α)＝0,得αμαμsin cos +=mg F , 令μ=cot ϕ，，代入上式得)sin(sin αϕϕμ+=mg F =21μμ+mg 。
共点力平衡的七大题型-Word版含解析引言在物理学中，共点力平衡是指当多个力作用在一个物体上时，这些力的合力为零，物体处于平衡状态。
共点力平衡是力学中的基础概念，也是解决各种物理问题的基础。
在本文中，我们将介绍共点力平衡的七大题型，并提供相应题型的解析。
题型一：两个力的平衡题目描述有一个物体，上面有两个力：F1和F2，分别作用在物体上的不同点，使物体处于平衡状态。
已知F1和F2的大小和方向，请问这两个力分别是多少？解析根据共点力平衡的定义，对于两个力的平衡题型，我们可以设立以下方程：F1+F2=0其中，F1和F2表示两个力的大小和方向，这里假设物体在水平方向上运动。
根据方程求解即可得到F1和F2的数值。
题型二：三个力的平衡题目描述有一个物体，上面有三个力：F1、F2和F3，分别作用在物体上的不同点，使物体处于平衡状态。
已知F1、F2和F3的大小和方向，请问这三个力分别是多少？解析对于三个力的平衡题型，我们可以设立以下方程组：$$ \\begin{cases} F1 + F2 + F3 = 0 \\\\ \\sum M = 0\\end{cases} $$其中，F1、F2和F3表示三个力的大小和方向，$\\sumM$表示物体上力矩的和，根据方程组求解即可得到F1、F2和F3的数值。
题型三：四个力的平衡题目描述有一个物体，上面有四个力：F1、F2、F3和F4，分别作用在物体上的不同点，使物体处于平衡状态。
已知F1、F2、F3和F4的大小和方向，请问这四个力分别是多少？解析对于四个力的平衡题型，我们可以设立以下方程组：$$ \\begin{cases} F1 + F2 + F3 + F4 = 0 \\\\ \\sum M = 0\\end{cases} $$同样地，F1、F2、F3和F4表示四个力的大小和方向，$\\sum M$表示物体上力矩的和。
根据方程组求解即可得到F1、F2、F3和F4的数值。
题型四：平衡条件的推导题目描述有一个物体，上面有多个力：F1、F2、…、Fn，分别作用在物体上的不同点，使物体处于平衡状态。
专题共点力平衡的七大题型目录一、三类常考的“三力静态平衡”问题 (1)热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
(1)热点题型二三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。
(3)热点题型三三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
(5)二、三类常考的“动态平衡”模型 (7)热点题型四矢量三角形法类 (7)热点题型五相似三角形法类 (9)热点题型六单位圆或正弦定理发类型 (11)热点题型七衣钩、滑环模型 (13)【题型归纳】一、三类常考的“三力静态平衡”问题热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
解决平衡问题常用的方法有以下五种①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法【例1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P 点。
设滑块所受支持力为F N。
OF与水平方向的夹角为。
下列关系正确的是（）A．FmgB．F mg tanmgD．F N mg tan tanC．F Ntan【答案】 A 解法一力的合成法滑块受力如图甲，由平衡条件知：mg＝tan θ?F＝mg， F N mg 。
F tan θ＝sin θ解法二力的分解法将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝ F N sin θ， F＝ F N cos θ，联立解得： F＝mg， F N＝mg。
tan θsin θ解法三力的三角形法（正弦定理）如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝mg，F mg 。
tan θN＝sin θ【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。
【变式 1】（ 2019·新课标全国Ⅱ卷）物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。
已知物块与斜面之间的动摩擦因数为3，重力加速度取 10m/s 2。
专题一力物体的平衡第一讲力的处理矢量的运算1、加法表达：a + b = c o名词：c为“和矢量”。
法则：平行四边形法则。
如图1所示和矢量大小：c = a2b22abco^ ，其中a为a和b的夹角。
和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角B = arcs in ------2 2.a b 2abcos:-2、减法表:达：a = c — b o名词：c为“被减数矢量”，b为“减数矢量”，a为“差矢量”法则：三角形法则。
如图2所示。
将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。
差矢量大小：a = ；b2• c2- 2bccosr，其中B为c和b的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。
例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R，周期为T，求它在-T内和4 1在-T内的平均加速度大小。
21解说：如图3所示，A到B点对应-T的过程，A4到C点对应1T的过程。
这三点的速度矢量分别设为2v A、v B和 v C。
图3_v t —V 。
/曰 __V B —V A . _v c —V A a =得：a AB = , a Ac =-tt ABt AC由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量.：V 1= V B — V A ，厶v 2= v c — V A ,根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（：V2的“三角形”已被拉 伸成一条直线）。
本题只关心各矢量的大小，显然：V A = V B = V c = 2JI R且.T■：v 1 = . 2 v A =2 2二 RTL V2 = :2 V A =4 二 R 'T2 2 二R4二 R所以： a AB =v 1 _ T =8 2 二Ra■ A V 2T - 8二 Rt ABT T 2ACt ACT T 242观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答：否；不是。
专题 共点力平衡的七大题型目录一、三类常考的“三力静态平衡”问题 ....................................... 错误!未定义书签。
热点题型一 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
...... 错误!未定义书签。
热点题型二 三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知 。
..................... 错误!未定义书签。
热点题型三 三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
错误!未定义书签。
二、三类常考的“动态平衡”模型 ........................................... 错误!未定义书签。
热点题型四 矢量三角形法类 ............................................. 错误!未定义书签。
热点题型五 相似三角形法类 ............................................. 错误!未定义书签。
热点题型六 单位圆或正弦定理发类型..................................... 错误!未定义书签。
热点题型七 衣钩、滑环模型 ............................................. 错误!未定义书签。
【题型归纳】 一、三类常考的“三力静态平衡”问题 热点题型一 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
解决平衡问题常用的方法有以下五种①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法【例1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止P 点。
设滑块所受支持力为N F 。
OF 与水平方向的夹角为θ。
下列关系正确的是（ ）A ．θtan mg F =B ．θtan mg F =C ． θtan mg F N =D ．θtan mg F N =【答案】 A 解法一 力的合成法滑块受力如图甲，由平衡条件知：mg F ＝tan θ⇒F ＝mg tan θ，F N ＝mgsin θ。
专题2：共点力平衡1．共点力的平衡2.平衡条件的推论(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反，为一对平衡力．(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反．(3)多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反．3．求解平衡问题的方法(1)力的合成与分解运用了等效的思想观点，满足平行四边形定则．利用力的合成与分解可解决三力平衡的问题．①分解：将其中一个力沿另外两个力的反方向分解，将三力变四力构成两对平衡力；②合成：将某两个力进行合成，三力变二力，组成一对平衡力．(2)物体受多个(三个以上)作用力平衡时，常用正交分解法．4．共点力作用下物体平衡的一般解题思路1.正确选取研究对象2.隔离物体，分析物体的受力，画出受力图3.根据作用效果，准确进行力的分解（或力的合成）4.根据平衡条件，列方程求解——当物体处于平衡状态时，它所受的某一个力与它受的其余的力的合力等值反向。
正交分解法:⑴共点力作用下物体的平衡条件是：F合= 0；⑵在建立直角坐标系时，要考虑尽量减少力的分解。
正交分解法把矢量运算转化成标量运算，极大的降低了数学应用的难度。
正交分解法解平衡问题的一般思维程序为①选择研究对象：处于平衡状态下的物体；②对研究对象进行受力分析，画好受力图；③建立直角坐标系（原则是尽量减少力的分解）；④根据平衡条件布列方程:⑤解方程(组)，必要时验证结论。
【例题解析】例1：如图所示，一个重为G 的圆球，被一段细绳挂在竖直光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为α，则绳子的拉力和墙壁对球的弹力各是多少？例2：质量为m 的木块在与水平方向成θ角的推力F 的作用下，在水平地面上作匀速运动，已知木块与地面间的摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为：A. μmgB. μ(mg+Fsin θ)C. μ(mg-Fsin θ)D. Fcos θ例3.如图所示，斜面倾角θ，木块M 和斜面间滑动摩擦因数为μ，问物体m 质量多大时，才能使木块匀速运动？4.如图所示，斜面倾角为θ，物体A 质量为m ,沿斜面匀速下滑，板B静止，B 和A 的质量相等，若A 与B 间，A 与斜面间的滑动摩擦因数相同，求绳上的拉力。
： 常见的三种力、物体的平衡一、力学中常见的三种力(一)相关概念1.重力、重心 重心的定义： ++++=g mg m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ）（1）两弹簧串联，k 1=11k +21k （2）并联时k=k 1 +k 2 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角=tan -1f /N =tan -1。
摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，是一定的。
由于静摩擦力f 0属于范围0＜f ≤f m ，故接触面作用于物体的全反力F '同接触面法线的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N f tg 01α≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。
换句话说，只要全反力F '的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。
（二）巩固练习1.（90国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示，由成对的弹簧组成。
所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m ，一个重为100N 的重物置于垫上致使该垫的表面位置下降了10cm ，此弹簧垫共有多少根弹簧（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。
4002.如图所示，两个劲度系数分别为k 1和k 2的轻质弹簧竖直悬挂，弹簧下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻滑轮放在细绳上.把滑轮和两个轻弹簧等效成一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。
3.水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大F 的最小值为多少 （答案：tan -1；21μμ+mg ） 解:先把f 和N 合成一个力T ,因f 和N 成正比,所以当F 发生变化时T 的大小也要发生变化,但方向不变,且=tan -1N f =tan -1. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F 和T 垂直时F 最小,如右图所示.得F 与水平地面间的夹角==tan -1,θ F N F F f m f 0α φ另解：设F与水平面成角时F最小,有F cos-(mg-F sin)=0,得αμαμsincos+=mgF,令=cot,,代入上式得)sin(sinαϕϕμ+=mgF=21μμ+mg。
二、共点力作用下物体的平衡（一）相关概念1.三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
例1.如图所示,质量为M的杆AB静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为.则容器面对杆A 点的作用力F为多大解：F的作用线通过圆心B点对杆的作用力N与相垂直角度关系如图所示根据正弦定理ααsin)90sin(0FMg=-得αtanMgF=（二）巩固练习1.如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力16μm g , n2μmg2.在一个与平面成a角的粗糙斜面上放着一个物体，它系于一个不伸长的细绳上，绳的另端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面，如图所示，然后慢慢地拉动绳子，开始时，绳子处于水平位置，在这个物体到达小孔的时候，物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆，求动摩擦因数μ。
tan a3.三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等，绳穿过半径为r0的第2个圆环，另一端同样地系在半径为2r0的环3上，如图所示，环1固定在水平面上，整个系统处于平衡状态.试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离.(三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计) 解:过中心作一截面图，如图所示，由于对称，每根绳上张力相同，设为F.设环2的质量为m，则环3的质量为2m.对环2和3整体有:3F = mg + 2mg对环3有:3F sinθ= 2mg由以上两式得:32sin=θ即3222=+drd，所以52rd=124. 有三个光滑的圆柱体，重量相等，且半径均为r ，同置于一块光滑圆形曲面上如图所示。
试求下面两个圆柱体不致被压而分开时，曲面半径R 需满足的条件。
r )721(R +≤5. 如图所示，原长L O 为100公分的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到铅直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述(a)、(b)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到铅直位置时小球离开原水平面的高度h o 。
(a)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现40cm 的极大值。
(b)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。
答案(a)37.5cm (b)100cm ＞ho ＞50cm6..一个小物体与竖直墙面之间的动摩擦因数μ=，当作用力F 与竖直方向成α=530度时，F 至少为10N才能维持物体的静止（1）在α不变的情况下，需要多大的力F 才能使物体沿墙面向上做匀速运动。
20N(2)在动摩擦因数μ确定的情况下，要使物体向上做匀速运动,α角有有什么限制。
7.一条轻绳跨过同一高度的两轻滑轮,两端分别拴上质量为4Kg 和2Kg 的物体,两滑轮间的一段绳子上挂第三个物体,如图所示.试问：为使这三个物体能保持平衡，第三个物体的质量取值范围多大。
解(1)因所挂的质量m 越小,所以O 点靠近A 点,OB 趋向水平,OA 与水平面有夹角。
对O 点受力平衡：32,)4()2()(222==+m g g mg 得kg 。
即当32<m kg 时,三个物体平衡将破坏.(2)m 越大,OB 和OA 都趋向于竖直,所以当m >6Kg 时三个物体平衡将破坏.[解]:此题只需求两个极值.m 最大值:设线足够长,则m 接近m 1+m 2,此时两细线间的夹角接近0.如图解2-4-1因此126m m m kg <+<.m 的最小值:当m 最小时,因为21m m > ,此时m 在靠近右侧的滑轮处,连接m 和m 1的两线的夹角近90°此时满足:2221()()m g mg m g >+ 由此解得:23m kg > 综合以上:236kg m kg <<8. 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为α，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。
忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。
2αcot π2mg =T解2-4-1 解2-4-19.如图所示，每侧梯长为L 的折梯置于铅垂平面内，已知A 、B 两处与地面间的动摩擦因数分别为A =，B =，C 点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。
解：若B 端开始滑动，AC 为二力杆，地面对A 端的作用力方向与竖直方向夹角为30，而A 点对应的摩擦角A =tan -1A =<30。
AC 杆不能衡。
若A 端开始滑动，AB 为二力杆，地面对B 端的作用力方向与竖直方向夹角为30，而B 点对应的摩擦角B =tan -1B =>30。
AB 杆能衡。
所以人必须从A 点沿梯上爬，此时B 端受到地面的作用力沿着BC 方向。
对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过F A 和F B 的交点。
设人的水平距离为s ，有几何关系（两边高相等）：s cot A =(L -s )cot30， 得s =,最大高度H =3s =。
10.(2013年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg 的物体。
一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= 3 ≈。
试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值析;设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有F N +F sin φ-Mg cos θ=0 ①式中F N 是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。
沿斜面的方向上有F cos φ-μF N - Mg sin θ=Ma ②根据题意，重物刚能被拉动，加速度a 近似为零，由牛顿运动定律F cos φ-μF N - Mg sin θ=0 ③联立①③式得θθμϕμϕsin cos sin cos ++⋅=g F M ④ 令Ω=tan μ⑤联立④⑤式得)sin()cos(Ω+-Ω⋅=θϕg F M ⑥ 要使质量最大，分子须取最大值，即1)cos(=-Ωϕ，ϕ=Ω⑦此时能拉动的重物的质量的最大值为)sin(1Ω+⋅=θg F M max ⑧ 由题给数据，知33tan =Ω，︒=Ω30⑨ 于是该同学能拉动的重物质量不超过M max ，有kg 7.702)1530sin(1≈=︒+︒⋅=<m g mg M M max ⑩(备用)1.将质量为M 的小车沿倾角为,动摩擦因数为的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角为多大时,拉力最小最小的拉力为多大？（答案：tan -1；21cos sin μαμα++=Mg Mg ） 解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f 和支持力N 合成一个力R ,因f 和N 成正比,所以R 和N 的夹角=tan -1,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg 的大小和方向都保持不变,当拉力F 和R 垂直时,F 最小，==tan -1,最小值为：F min =Mg sin(+)=Mg sin(+tan -1)21cos sin μαμα++=Mg Mg .2.半径为R 的钢性光滑球固定在桌面上,有一个质量为m 的均匀弹性绳圈,自然长度为2a (a =2R ).现将绳圈从球面的正上方轻放到球面上,并使它保持水平,静止套在球面上,这时绳圈的半径增为b (b =2a ),求绳圈的倔强系数. [答案：.2)12(2Rmg x T K π∆+==] 解:F 为水平方向(如图A ),对一小段绳研究：,tan ,45,2/220mg mg F R a b ∆∆αα===∴==则竖直投影(如图B ),F =2T sin2θ∆, 因0,所以mg T F ∆θ∆=⨯=22,θ∆∆mg T =, 又因为πθ∆∆2m m =,所以π2mg T =, 弹簧伸长,22222R R x ππ∆-= 所以绳圈的倔强系数：.2)12(2R mg x T K π∆+==。
