平行四边形的概念和性质

平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线 三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。

平行四边形的关系平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有一些独特的特点和性质。

本文将介绍平行四边形的定义、性质和应用。

一、定义平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

它的特点是相对边相等且对角线互相平分。

二、性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD 平分AC。

3. 边角性质：平行四边形的对边上的内角互补，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°。

4. 相等性质：平行四边形的相对边相等，即AB = CD，AD = BC。

5. 对称性质：平行四边形具有对称性，即以对角线为轴进行折叠，可完全重合。

6. 高度性质：平行四边形的高度等于任意一边在与其平行的另一边上的垂直距离。

三、应用1. 工程建设：平行四边形的特性使其在工程建设中具有广泛的应用。

例如，建筑物的门窗常常采用平行四边形的形状，既美观又稳定。

2. 地理测量：在地图绘制和测量中，平行四边形常被用于表示地物的形状和方位。

通过测量平行四边形的边长和角度，可以计算出地物的面积和位置。

3. 数学推理：平行四边形是数学中的一个重要概念，通过研究平行四边形的性质和定理，可以推导出其他几何图形的性质，进一步拓展数学知识。

4. 艺术设计：平行四边形具有简洁而稳定的形状，广泛应用于艺术设计中。

例如，平行四边形的图案常被运用于服装设计、家居装饰等领域。

5. 机械制造：在机械制造中，平行四边形的性质被广泛应用于零件的设计和加工。

通过保证平行四边形的边和角的精度，可以提高机械零件的装配精度和使用寿命。

平行四边形是一种具有特殊性质和广泛应用的几何图形。

它的定义和性质使其在工程建设、地理测量、数学推理、艺术设计和机械制造等领域发挥着重要作用。

通过深入研究和应用平行四边形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学原理，推动科学技术的发展。

平行四边形知识点整理笔记
平行四边形是初中数学中一个重要的概念，它具有平行、矩形、菱形、正方形等特殊形态。

下面是一份关于平行四边形知识点的整理笔记:
1. 平行四边形的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，它们所组成的四边形叫做平行四边形。

2. 平行四边形的性质：
(1) 对边平行且相等;
(2) 对角线互相平分;
(3) 对角线相等且互相垂直;
(4) 对边平行且相等的梯形是平行四边形。

3. 平行四边形的判定：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2) 对角线相等的平行四边形是平行四边形;
(3) 对边平行且相等的梯形是平行四边形。

4. 平行四边形的应用：
(1) 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行、矩形、菱形、正方形等特殊形态;
(2) 梯形是平行四边形的一种特殊形态，它在某些情况下可以转化为平行四边形;
(3) 在平面几何中，平行四边形的面积可以通过底和高来计算，也可以借助平行四边形的性质和判定来求解。

综上所述，平行四边形是初中数学中一个重要的概念，它具有平行、矩形、菱形、正方形等特殊形态，其在平面几何、代数、概率统计等领域都有广泛的应用。

在解题时，可以利用其性质和判定来求解，也可以将其转化为熟悉的图形来进行计算和分析。

平行四边形的对称轴平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对平行的对边。

在平行四边形中，存在一条特殊的轴，称为对称轴。

本文将会探讨平行四边形的定义、性质以及对称轴的相关概念。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

除了具有普通四边形的性质外，平行四边形还具有一些特殊的性质。

1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即如果两条边平行，则它们的长度相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

具体来说，连接平行四边形的非相邻顶点所得的对角线互相平分，即将平行四边形分成两个对称的三角形。

3. 内角性质：平行四边形的内角和为180度。

相邻内角、对内角和对外角之和均为180度。

二、平行四边形的对称轴平行四边形的对称轴是指能将平行四边形沿某条轴线对称的一条直线。

具体来说，对称轴将平行四边形分成两个对称的部分。

对称轴的性质如下：1. 对称轴是平行四边形的一条线，且与两对平行边的长度无关。

2. 对称轴将平行四边形分割成两个面积相等、形状相似的部分。

3. 对称轴上的任意一点与对称轴上的相应点的距离相等，即对称轴上的两点关于对称轴的距离相等。

4. 对称轴与平行四边形的对边垂直相交。

三、平行四边形的实际应用平行四边形的概念和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用。

1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的对称轴可以用来确定建筑物的对称结构，保证建筑物的平衡和美观。

2. 绘画和艺术：平行四边形的对称轴可以被艺术家用来创作对称美和平衡感的作品。

3. 工程测量：在工程测量中，平行四边形的性质可以用来确定平行线和测量建筑物的角度和边长。

4. 梁和桥梁设计：在结构工程中，平行四边形的概念可以用来设计梁和桥梁的结构，确保它们的稳定性和承载能力。

总结：平行四边形是具有两对平行边的四边形。

它具有对边相等、对角线互相平分以及内角和为180度等性质。

平行四边形的对称轴是将其沿某条直线对称的一条线，它具有将平行四边形分成对称部分、垂直于对边相交以及距离相等等特点。

平行四边形的概念与性质平行四边形是几何学中一种常见的四边形形状，它具有独特的特点和性质。

本文将介绍平行四边形的定义、特征以及一些相关的性质。

一、平行四边形的定义平行四边形是指四条边两两平行的四边形。

根据定义，我们可以得出以下结论：1. 平行四边形的两对对边互相平行。

2. 平行四边形的相邻角相等。

3. 平行四边形的对角线相交于一点，并且这条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形。

二、平行四边形的特征平行四边形有许多独特的特征，掌握这些特性可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。

1. 对边平行性：平行四边形的对边互相平行。

这意味着如果我们已知平行四边形的一个对边，我们可以推断出另一对边也是平行的。

2. 相邻角相等性：平行四边形的相邻角相等。

相邻角是指共享一个顶点并且一个边在内部，另一个边在外部的两个角。

这个性质也可以用来推导平行四边形的其他性质。

3. 对角线的交点：平行四边形的对角线相交于一点。

这个交点将对角线分成两个相等的部分。

这个性质在解决一些平行四边形相关问题时非常有用。

三、平行四边形的性质1. 高度相等性：平行四边形的任意两条高度长度相等。

高度是指从一个顶点到它所对边的垂直距离。

这个性质可以用来计算平行四边形的面积。

2. 周长性：平行四边形的周长等于边长之和的两倍。

这个性质对于计算平行四边形的周长非常有用。

3. 对角线长度关系：平行四边形的对角线互相等长。

通过这个性质，我们可以计算平行四边形的对角线长度。

4. 内角和性质：平行四边形的内角和为360度。

这个性质可以通过将平行四边形划分为两个三角形，并利用三角形内角和性质来证明。

5. 对称性：平行四边形的对边、对角线和中点都具有对称性。

这个性质可以用来解决平行四边形的一些对称性相关问题。

四、平行四边形的应用平行四边形的概念与性质在实际生活和工程中有广泛的应用。

1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的概念和性质经常用于确定建筑物的布局和结构。

平行四边形的概念平行四边形是几何学中的一个基本概念，指的是具有两组平行边的四边形。

在本文中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理。

一、定义平行四边形是指具有两组平行边的四边形。

其中，两对相对的边互相平行，并且两对相对的角相等。

根据这个定义，我们可以得出平行四边形的一些特点。

二、性质1. 对角线平行四边形的对角线互相平分，并且交点将对角线分成两条相等的线段。

这意味着平行四边形的对角线长度相等。

2. 边长平行四边形的相对边是平行的，因此相对边的长度相等。

如果一个平行四边形的两组对边长度分别为a、b和c、d，那么a=c，b=d。

3. 内角相对的内角是相等的，也就是说，平行四边形的内角和为360度。

4. 外角平行四边形的相对外角互补，也就是说，相对外角的和为180度。

5. 高度平行四边形的高度是指从底边到顶边的距离，对于一个平行四边形而言，底边与顶边之间的距离是相等的。

三、定理1. 平行四边形的三条特殊线段（中位线、高度、角平分线）互相平行，且等于底边的长度。

2. 平行四边形的对边平方和等于对角线平方和。

即：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。

3. 平行四边形的对边互补。

即：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

四、例题解析假设ABCD是一个平行四边形，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线AC = 10 cm。

求该平行四边形的周长和面积。

解:根据定理2，我们可以列出方程：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。

代入已知条件：10^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 + CD^2 + DA^2。

化简得：BD^2 = 100 - 100 = 0，CD^2 + DA^2 = 36 + 64 = 100。

由此可知BD = 0，CD^2 + DA^2 = 100，即CD = DA = 10。

平行四边形及其性质平行四边形是几何学中的一个重要概念。

它具有独特的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学都有着重要的意义。

在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及一些相关的定理。

定义平行四边形是由四条平行的边所构成的四边形。

它的定义可以简单地表述为：具有两组平行边的四边形。

性质1. 对角线性质平行四边形的一条性质是它的对角线互相平分。

也就是说，一个平行四边形的两条对角线互相平分，并且对角线的交点恰好是对角线长度的一半。

2. 对边性质平行四边形的另一个性质是它的对边相等。

也就是说，平行四边形的对边长度相等。

3. 同位角性质平行四边形的同位角是指在两组平行边之间相对位置相同的角。

根据同位角的定义，平行四边形的同位角互相相等。

4. 内角性质平行四边形的内角和为360度。

这是因为平行四边形可以被划分为两个相似的三角形，对于这两个三角形的内角和都是180度，因此平行四边形的内角和为360度。

5. 对角线长度性质平行四边形的对角线长度之间具有一定的关系。

设平行四边形的两条对角线分别为d1和d2，则有以下关系成立：d1^2 + d2^2 = 2(a^2 + b^2)，其中a和b分别为平行四边形相邻边的长度。

定理平行四边形还有许多与其相关的重要定理。

下面我们将介绍几个常见的定理。

1. 平行四边形的对角线互相平分定理：平行四边形的两条对角线互相平分。

证明：设平行四边形的两条对角线为AC和BD。

我们需要证明AC平分BD，也就是证明AC与BD的交点O是BD的中点。

由于平行四边形中，相邻角补角为180度，因此∠BOC + ∠AOD = 180度。

又由于平行四边形的同位角相等，可得∠BOC = ∠AOD。

因此，得到∠BOC = ∠AO D = 90度。

根据直角三角形定义，如果AC和BD是平行四边形的对角线并且交于点O，则AO = CO，BO = DO。

因此，我们可以得出结论：AC平分BD，即AC与BD的交点O是BD的中点。

平行四边形的性质与应用平行四边形是一种具有特定性质和广泛应用的几何图形。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及它在现实中的应用。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

它具有以下几个重要性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即相对的两条边长度相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。

这意味着平行四边形的两条对角线长度相等且互相垂直。

3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度。

换句话说，平行四边形的任意两个相邻内角之和为180度。

4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。

即相对的两个内角大小相等。

二、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：平行四边形的性质被广泛应用于建筑设计中，用于绘制平行四边形的模型，计算建筑物的面积和体积，以及确定建筑物内部布局的合理性。

2. 航空航天工程：在航空航天工程中，平行四边形的性质被用于计算飞机的机翼面积，帮助设计师设计出更加稳定和高效的飞行器结构。

3. 地理测量：在地理测量中，平行四边形的性质被应用于测量地表的形状、面积以及地表变动的研究。

同时，平行四边形也是测量工具中常用的标志物，用于校准和校正测量仪器。

4. 平行四边形的证明与运用：在数学课堂上，我们经常需要证明平行四边形的性质，通过证明和推理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

此外，平行四边形的性质也应用于解决三角函数和向量等数学问题。

5. 平行四边形的网格结构：平行四边形的性质使其成为一种理想的结构形式，例如篮球场地板、瓷砖地板、蜂窝状网格等。

这些结构具有稳定性、坚固性和美观性。

结论平行四边形作为一种常见的几何图形，在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用。

通过了解平行四边形的性质和运用，我们能够更好地理解和应用几何学知识，同时也能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

平行四边形不仅仅是数学课堂上的概念，它在各行各业中都发挥着重要的作用，为我们的生活和工作带来了便利和创造力。

小学数学点知识归纳平行四边形的概念与性质平行四边形是小学数学中的一个重要概念，下面对平行四边形的概念与性质进行归纳。

一、平行四边形的概念平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。

即四边形的两对对边分别平行。

二、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点将对角线分成两等分。

2. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即对边AB ≌ CD，AD ≌BC。

3. 内角性质：平行四边形的内角和为180度。

即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180度。

4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。

即∠A ≌∠C，∠B ≌∠D。

5. 邻补角性质：平行四边形的邻补角互为补角。

即∠A与∠D是邻补角，∠B与∠C是邻补角。

三、平行四边形的判定方法1. 对边判定法：如果一个四边形的对边两两相等，则该四边形是平行四边形。

2. 对角线判定法：如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。

四、平行四边形的特殊情况1. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，其所有内角都是直角，即90度。

2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，其所有边长相等，所有内角都是直角。

五、平行四边形的应用平行四边形的概念和性质在数学中有广泛的应用。

例如在解题中，可以利用平行四边形的性质进行推理和计算。

另外，在几何图形的构造和分析中，平行四边形也是一个常见的构造要素。

六、例题解析【例题1】如图所示，ABCD是一个平行四边形，AC为一条对角线，且∠ACB=60度，求∠BAD的度数。

解析：由平行四边形的性质可知，∠C = ∠A。

又∠ACB = 60度，因此∠ABC = ∠A = 60度。

又由平行四边形的内角性质可知，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180度。

将已知条件代入可得，60度 + ∠B + 60度+ ∠D = 180度。

化简得，∠B + ∠D = 60度。

由对顶角性质可知，∠B = ∠D，所以∠B = ∠D = 30度。

平行四边形的概念和性质在几何学中，平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特征。

本文将详细介绍平行四边形的概念和性质，以便更好地理解和应用这一概念。

一、概念平行四边形指具有两对相对平行边的四边形。

简而言之，平行四边形的对边都是平行的。

那么，平行四边形有哪些重要的性质呢？接下来，我们将一一进行介绍。

二、性质1. 对边性质平行四边形的对边是平行的。

这意味着，对边之间的距离始终保持一致。

2. 对角线性质平行四边形的对角线相交于同一点并且等分。

具体而言，平行四边形的对角线互相等分，并且它们的交点是对角线的中点。

3. 内角性质平行四边形的内角之和为360°。

这是因为平行四边形可以被划分为两个相等的三角形，而每个三角形的内角之和为180°，因此整个平行四边形的内角之和为两个三角形的内角之和，即360°。

4. 对边角性质平行四边形的对边角互补且相等。

即对边之间的夹角相等且互为补角。

5. 同底角性质平行四边形的同底角相等。

具体而言，如果两条平行边的一边与第三条边上的某个角相交，那么这两个角就是同底角，它们相等。

6. 同边角性质平行四边形的同边角相等。

如果两条平行边的一边与第三条边上的某个角相交，那么这两个角就是同边角，它们相等。

7. 对边比例性质如果在平行四边形中，通过两个交点引一条平行边，则会将平行四边形分割成两个小四边形。

这两个小四边形的对边比例相等。

三、应用平行四边形的概念和性质在几何学中具有广泛的应用，特别是在计算和证明过程中。

以下是一些常见的应用场景：1. 计算面积平行四边形的面积可以通过底边长度与高的乘积来计算。

这个公式可以很容易地推导出来，并且可以被广泛应用于平行四边形的计算中。

2. 判断平行性平行四边形的性质可以用来判断两条线是否平行。

如果根据已知条件可以推导出平行四边形的性质，那么可以得出这两条线是平行的结论。

3. 解决几何问题平行四边形的性质可以被用来解决各种几何问题，如证明两条线段相等或者找到一个图形的对称轴等等。

平行四边形的概念与性质平行四边形是几何学中常见的四边形。

本文将介绍平行四边形的概念以及其一些重要性质，以帮助读者更好地理解和使用平行四边形。

概念：平行四边形是指具有两对边分别平行的四边形。

即，如果四边形的两对边分别平行，则该四边形可以被称为平行四边形。

性质1：相对边在平行四边形中，两对相对的边是平行的。

这意味着如果我们有一个平行四边形ABCD，那么AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的。

性质2：相对角平行四边形中相对的两个内角是相等的。

也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A = ∠C，∠B = ∠D。

性质3：对角线平行四边形的对角线互相平分。

即，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么对角线AC和BD相交于点O，并且AO = CO，BO = DO。

性质4：邻边补角平行四边形中邻接的内角互为补角。

也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。

性质5：对角线长度关系平行四边形的对角线长度关系为：对角线AC² + 对角线BD² = 2(边AB² + 边AD²)。

这是一个重要的性质，可以在解决平行四边形相关问题时提供便利。

性质6：面积计算平行四边形的面积可以通过底边长和高的乘积来计算，即面积 = 底边长 ×高。

性质7：重心、中点和垂心的共线性平行四边形的重心、中点和垂心三个点共线。

重心是平行四边形对角线交点的中点，中点是边的中点，垂心是通过连接对边中点的线段与对角线的交点。

以上是一些关于平行四边形的基本概念和重要性质。

这些性质可以用于解决平行四边形的证明题、计算题以及相关应用题。

在解决这些题目时，我们可以根据平行四边形的定义和这些性质来进行推理和计算。

总结：平行四边形是具有两对平行边的四边形，具有一些特殊的性质。

A BC DO 平行四边形的性质和判断知识点：一、平行四边形的性质基本概念1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、图形语言:3、符号语言平行四边形：平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆） 性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.二、【例题讲解】小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长8米，其他三条边各长多少？∠A=60°，求其它各角？∠B 的外角为60°，求这个四边形的各内角的度数。

【轻松试一试】1.如图，AB ∥DE,BC ∥EF,CA ∥FD.图中有几个平行四边形?将它们表示出来,并说明理由.AFD2. 已知如图4.2-8,中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G F E D CBA图4.2-8角的计算：1、中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A2中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___ 度,∠D=______度.边及周长的计算1、如图，平行四边形的对角线相交于点O ，BC=7㎝，BD=10㎝，AC=6㎝。

求△AOD 的周长。

2平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4：1,则AB 的长是_______。

3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.平行四边形的判断平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）【例题讲解】已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ． ∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ．∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ．例2、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ，且AB ∥CD ． ∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）． ∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）例3、 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF 。

平行四边形的定义与性质平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的定义和性质。

本文将详细介绍平行四边形的定义以及与其相关的性质，以加深对这一概念的理解。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

换句话说，对于任意一个平行四边形ABCD来说，AB || CD 且 AD || BC。

其中，“||”表示两条线段之间的平行关系。

除了两对对边平行外，平行四边形还有其他重要的性质。

二、平行四边形的性质1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。

具体而言，对角线AC和BD 的交点E将对角线AC和BD分成两等分，即AE = CE，BE = DE。

这是平行四边形的一个重要性质，也是其与其他四边形的区别之一。

2. 对边相等平行四边形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。

这个性质是由平行线的性质决定的，由于AB || CD 且 AD || BC，所以ABCD的两对对边分别相等。

3. 内角和为180°平行四边形的内角和等于180°。

对于平行四边形ABCD来说，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。

这是由于平行四边形的对边是平行的，所以它的内角和必然等于180°。

4. 相对角相等平行四边形的相对角相等，即∠A = ∠C，∠B = ∠D。

这是平行四边形的一个重要性质，也是在推导平行四边形的性质时常用到的关键。

以上是平行四边形的一些基本性质，它们共同构成了这一特殊四边形的定义与特征。

三、应用举例平行四边形的性质在解决几何问题时经常被应用。

以下是一些应用举例：1. 判断线段平行通过观察四边形的对边是否平行，可以判断特定线段是否平行。

如果已知两对对边分别平行，则可以得出这两条线段平行。

2. 证明图形全等当两个四边形都为平行四边形，并且对应的边长相等时，可以推导出这两个四边形全等。

这是因为平行四边形的性质保证了边长相等，而对应角相等的证明则可参考相对角相等的性质。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边相等的四边形。

其特殊性质有以下几点：1. 对边平行：平行四边形的定义中已经提到，其对边两两平行。

这意味着它有两对平行的边，且它的对边相等。

2. 对角线平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

这意味着从顶点到顶点的线段长相等。

且对角线长度之和等于两倍的中线长度。

3. 内角和为360度：平行四边形的内部角度之和为360度。

这是由于它可以看作是一个由两个相反的等腰三角形组成的四边形。

4. 相邻角互补：平行四边形相邻两个角互补。

即相邻的两个内角之和为180度。

5. 对角线重心：平行四边形的对角线的交点是平行四边形的重心。

这意味着，从平行四边形的任意一个顶点出发，连接对角线交点的线段长度均相等。

如何判定是否是平行四边形？为了判定一个四边形是否为平行四边形，我们需要注意以下几点：1. 同位角是否相等：如果四边形的对边相等，且同位角相等，则它是一个平行四边形。

2. 对角线是否互相平分：如果四边形的对角线互相平分，则它是一个平行四边形。

3. 内角是否和为360度：如果四边形的内角和为360度，则它是一个平行四边形。

4. 相邻角是否补角：如果四边形的相邻两个角互补，则它是一个平行四边形。

总之，平行四边形不仅有着独特的特性，而且在日常生活中随处可见。

我们可以通过了解它的性质和判定方法，来更好地理解和应用它在实际问题中的作用。

平行四边形在几何中的重要性不言而喻。

它具有许多基本的性质，在解决几何问题时能够发挥重要的作用。

因此，对于学习者来说，理解和掌握平行四边形及其相关性质是非常重要的。

首先，平行四边形经常用于测量和设计。

例如，平面中的平行线和平行四边形常常被用来构建建筑和道路。

在测量中，以平行四边形为基础可以利用三角函数法求其面积。

当然，求解时需要知道两个相邻的边长和它们之间夹角的大小。

这也是平行四边形的另一个重要性质，它的相邻角互补。

其次，平行四边形经常用于计算图形的重心及其他几何量。

平行四边形的性质及应用一、平行四边形的定义平行四边形是四边形的一种，具有以下性质：1.两组对边分别平行且相等；2.对角相等；3.对边相等；4.对角线互相平分；5.相邻角互补，即和为180度；6.对边角相等，即对边上的角相等。

二、平行四边形的判定1.如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；2.如果一个四边形的对角相等，则这个四边形是平行四边形；3.如果一个四边形的对边相等，则这个四边形是平行四边形；4.如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；5.如果一个四边形的相邻角互补，则这个四边形是平行四边形；6.如果一个四边形的对边角相等，则这个四边形是平行四边形。

7.性质应用：求解平行四边形的边长、角度等；8.性质应用：证明四边形是平行四边形；9.性质应用：计算平行四边形的面积；10.性质应用：证明平行四边形的对角线互相平分；11.性质应用：证明平行四边形的对角相等；12.性质应用：证明平行四边形的对边角相等。

四、平行四边形的实际应用1.建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于计算建筑物的面积、确定建筑物的结构稳定性等；2.交通工程：在交通工程中，平行四边形的性质可以用于设计道路标志、信号灯等；3.几何作图：平行四边形的性质可以用于进行几何作图，如绘制平行线、计算角度等。

平行四边形是中学数学中的重要知识点，掌握其性质和应用对于中学生来说非常重要。

通过学习平行四边形的定义、判定和性质，学生可以更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。

同时，平行四边形的实际应用也使得这个知识点更具实用价值。

习题及方法：1.习题：已知平行四边形ABCD中，AB || CD，AD || BC，AB = CD，AD= BC，求证ABCD是平行四边形。

根据平行四边形的定义，我们需要证明ABCD的两组对边分别平行且相等。

已知AB || CD，AD || BC，且AB = CD，AD = BC，因此两组对边分别平行且相等，所以ABCD是平行四边形。