2013年华约自主招生数学试题及解析

【题目】
已知sinx+siny=1/3，cosx-cosy=1/5，求cos(x+y)，sin(x-y)，cos(x-y). 【温馨提醒：题目和解答过程都在第二页图中！可不看我的分析和感想】
【分析和感想】
1、用到了三角函数的很多结论，比如sin²t+cos²t=1，诱导公式，恒等变换，和差化积，tan(t/2)和sint,cost的转化公式。

2、看到这种形式的方程组，绝大多数同学心中的第一想法是两个方程的两边同时平方，求和，虽然不知道会算出什么，但肯定能求出
sin(x+y),cos(x+y),sin(x-y),cos(x-y)中的一个，试一试呗。

果不其然，算出了cos(x+y)，具体过程见图中(1).
3、再接下来，碰到两个不同角度（此处是x,y）的三角函数的和（差），就会想到“和差化积”。

两个方程运用之后，最终得到tan[(x-y)/2]的值，但题目要求sin(x-y)和cos(x-y)，有经验的人们立刻就会想到一个常用公式，即
tan(t/2)=sint/(1+cost)=(1-cost)/sint，进而得到关于sin(x-y)和cos(x-y)的方程组，具体见图中(2)方法二.
4、图中(2)方法一，绝对是我“歪打正着”得出来的。

结果将x换成x-y+y，将-y换成x-y-x，把x-y看做整体，展开①②后，正好就得到了方法二中的方程组。

当时我真的震惊了！我又一次感到了数学的乐趣！。

一、解答题1.集合{|10,}A x x x N *=≥∈，B 为A 的子集，若集合B 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数字之和不为9（1）B 中两位数有多少？三位数有多少？（2）B 中是否有五位数？六位数？（3）若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？ 2.1sin sin 3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin()x y -与cos()x y +的值 3.直线y kx =与y kx =-上两点(,)A A A x y 、(,)B B B x y ，其中k>0,2||||1OA OB k ⋅=+ 且A,B 在y 轴同侧 （1）求AB 中点M 的轨迹C ；（2）若曲线C 与22x py =相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程。

4. 7个红球，8个黑球，从中任取4个球（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率（2）求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X（3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率5. 21n n n a ca a +=+，10a >，0c >，求证（1）对0M ∀>，总存在正整数N ，使n N >满足n a M >；（2）11n n b ca =+，12n n S b b b =+++ ，对任意0d >总存在k 使得n k >时，110||n S d ca <-< 6. ,,x y z 是两两不相等且大于1的正整数，若|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---，求,,x y z 的所有值。

7.已知()(1)1x f x x e =--求证：（1）对0x ∀>，()0f x <（2）若11n n x x n x e e +=-，1x =1，求证：{}n x 单调递减且12n n x > ##Answer##1.【简解】将0,1,2，…，9数字按和为9进行配对，有(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)五组，B 中的元素每个数位上的数字，从这五组中每组至多取一个数⑴B 中的两位数有25C ×22×22A -14C ×2=72个；三位数有333532C A ⨯-222422C A ⨯=432个 ⑵五位数存在，六位数不存在⑶二位数、三位数共有72+432=504个数，四位数共有444542C A ⨯-333432C A ⨯=1728个，故第1081个数为四位数中第577个数；四位数中，千位为1,2,3的共有3×333432C A ⨯=576个数，故此数为千位是4的最小的数，为40122.【简解】两式平方相加，易得cos(x+y)=208225两已知式子和差化积得到：2sin 2x y +cos 2x y -=13,-2sin 2x y +sin 2x y -=15⇒tan 2x y -=-35sin(x-y)=22tan 21tan 2x y x y --+=-1517 3.【简解】由已知A B x x =1⑴设M(x,y)，则22A B A Bx x x x x y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去A x ,B x 有222y x k -=1，故M 的轨迹C 为以(,0)为焦点，实轴长为2的双曲线⑵将抛物线方程与双曲线方程联立，得到2222y pk y k -+=0，△=0得到pk=1,切点的纵坐标为k=1p ，横又y '=x p ，故在点1p )处的切线方程为y-1p=p。

2013自主招生“华约”数学试卷解析今年的自主招生刚刚考完，“华约”数学试题的整体结构做了较大的改变，从去年的“10道选择+5道解答”题直接变成了“7道解答”的形式。

今年“华约”考试题中没有选择题只有解答题等题型，因此今年的部分解答题难度比去年稍简单，整体难度与去年相比持平。

“华约”自主招生考试命题权和阅卷权都已经移交给考试院，从今年命题情况看，今年“华约”自主招生数学试题仅有第六题不属于高中知识点（数论）背景之内，其余试题均以高考知识点为背景，只需从高考知识点基础上进行知识拓展延伸，因此也能看出今年自主招生“华约”试题命题超出高考考试说明要求但是以高考知识背景为依托。

同时今年数学试题综合性不强，应用性也有所减弱，着重于数学知识的分析能力，而且试卷也没有出现跨学科综合、现实问题分析（唯一接近的是第三题，即概率统计中的取球问题，不过这也属于经典较简单的数学模型）等题型。

就像去年学而思自主招生研究中心邓杨老师说的，自主招生的自主性已经遭到了极大削弱。

但是这不得不说，对于当前的优秀学生而言，自主招生选拔已然成为当前高考的必备补充。

从今年“华约”数学试题看，前三道题难度略简单，分别是排列组合、三角函数、概率统计题型。

第一题是以集合为背景的排列组合问题，第一问与第二问尤其简单，对于考生而言只要懂得排列组合基本原理就可以秒杀。

第二题分别用两式平方和与三角函数中的和差化积公式就可以秒杀，此题近乎是学而思自主招生S 类课程的原题。

第三题考到概率统计中的超几何分布模型，即使不懂超几何分布通过对取球过程分析依然能很快得出答案，但是第三问需要用到概率统计学中的贝叶斯公式（也称逆概率公式）。

几乎没有运算量：（2013“华约”自主招生数学试题 3 抢先版）一个袋子中有15个球，其中8个黑球，7个红球，从中取出4个球。

（1） 取出的4个球中有1个球是红球的概率。

（2） 求取出的4个球中黑球个数X 的分布列与期望。

（3） 如果取出的4个球是同色的，求该颜色为黑色的概率。

21．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9． （1）求B 中的两位数和三位数的个数； （2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个， 所以B 中的两位数有90―9―9＝72个；所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，其中含有数字0和9的有4×8＝32个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个， 所以B 中的三位数有648―32―46×4＝432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以B 中的两位数有72个； 对于三位数，若最高位为9，则共有24A ×2×2＝48个， 若最高位不为9，则共有14A ×2×24A ×2×2＝384个， 所以B 中的三位数有48＋384＝432个；（2）对于五位数，若最高位为9，则共有44A ×2×2×2×2＝384个， 若最高位不为9，则共有14A ×2×44A ×2×2×2×2＝3072个， 所以B 中的五位数有3072＋384＝3456个； 显然B 中不存在六位数．（3）B 中的两位数和三位数共有72＋432＝504个， 在B 中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，而504＋192×3＝1080个，所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．2．已知31sin sin =+y x ，51cos cos =-y x ，求)cos(y x +，)sin(y x -． 解析 由31sin sin =+y x ，得91=sin sin 2+sin +sin 22y x y x ……①由51cos cos =-y x ，得251=2cosxcosy cos +cos 22－y x ……②两式相加，得22534=251+91=)+cos(22y x －， 所以 225208=225171=)+cos(－y x ． 又由31sin sin =+y x ，得31=2cos 2+sin 2y x y x － ……③ 由51cos cos =-y x ，得51=2sin 2+sin 2y x y x －－……④ 两式相除，得53=2tan －－y x ， 所以 1715=259+153×2=2tan +12tan2=)sin(2－－－－－y x yx y x ．3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．解析 （1）设),(11kx x A ，),(22kx x B －，021＞x x ， 由 12+=k OB OA ，得222222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ，所以1=21x x ．设点M 的坐标为),(y x M ，则2+=21x x x ，2=2=2121x x k kx kx y －－所以 1==)y (2122x x k x －，即点M 的轨迹C 的方程为 1=222ky x －． （2）因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，得 222=2k y y pk －， 由 0=4)2(=222k pk －－∆，得pk 1=，此时p y 1=，两切点坐标为)1,2(p ，)1,2(p－ ，即切点分别在两定直线2±=x 上．切线方程分别为0=12－－py x 和0=1++2py x ．4．7个红球，8个黑球，任取4个． （1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望； （3）取出4球同色，求全为黑球的概率． 解析 （1）恰有1个红球的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；（2）黑球个数为4,3,2,1,0=x ，黑球数为0的概率为4150847C C C 13×15×735=1955=；黑球数为1的概率为4151837C C C 13×15×78×35=19540=；黑球数为2的概率为4152827C C C 13×15×728×21=19584=；黑球数为3的概率为4153817C C C 13×15×756×7=19556=；黑球数为4的概率为4154807C C C 13×15×710×7=19510=；其分布列为x 的数学期望为0×1955＋1×19540＋2×19584＋3×19556＋4×19510＝1532．（3）由（2）知4球同色的概率为 195519510+19515=， 所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 32=1951519510．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n > （2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，kn >时d ca s n <1<01－． 解析 （1）由0>1a ，0>c ，知0=21+＞－n n n ca a a ，于是11121121+++1=+=－－－－－－））＞（）（－（－－－n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a122111+a a a a a a a a n n n n n n －＞＞－＞－＞－－－－所以2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n －－－＞－－－－－－对任意的0>M ，要使M a n >，只需M ca n >)1(21－，1+>21ca Mn ， 取]2+[=21ca MN ，于是N n >，M a n >．（2）1+1=n n ca b n n na ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a －n ca 1=1+1n ca －， 所以 n s 11=ca 1+1n ca －，1+11=1n n ca ca s －＞0， 由（1）知211+nca a n ＞，所以2121+1<1a nc ca n ，即1+11=1n n ca ca s －2121<a nc ， 所以n s 有界； 令d 2121=a nc ，得 n 2121=a dc ， 取k ]1+1[=212a dc ，则k n >时d ca s n<1<01－．6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．解析 因为)1)(1z (1)(－－－zx y xy ＝z)+y +z(x z)(2xy xy －＋zx y xy +z +－1， 而z)+y +z(x z)(2xy xy －能被xyz 整除， 于是只需zx y xy +z +－1能被xyz 整除即可．又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，不妨设z >>y x∴ ≤xyz zx y xy +z +－1xy 3<，即3<z ，∴2=z ． 于是只需x y xy 2+2+－1能被xy 2整除，当然 12+2+≤2－x y xy xy ，即12+2－x y xy ≤，∴x x y xy 4<2+2<． 于是4<y ，∴ 3=y ，进而5≤x ，∴ 5=x ，4． 检验知2、3、5能使zx y xy +z +－1能被xyz 整除，∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=．7．设1e )1(=)(－－xx x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n ex ，1=1x ，证明n x 递减且nn x 21>． 解析 （1）因为0=1e )01(=)0(0－－f ，又当0>x 时，x x e x e x f )1(+=)('－－x xe －=0<， 所以当0>x 时，0<)(x f ；（2）由1e =1+－n n x x n ex ，得nx x x e n n 1e =1+－，又x e x+1>，可得0>n x ． 由（1）知0>x 时，0<)(x f ，0<1e )1(=)(－－n xn n x x f ，1+e =1>e n n n x n x x n x e x －，∴1+e >e n n x x ，即n n x x ＜1+，n x 递减．下面用数学归纳法证明 n n x 21>．1=n 时显然成立，假设k n =（*∈N k ）时，k k x 21>， 构造函数x1=)(－x e x g ，当0>x 时，)(x g 为增函数，∴)21(>)(k k g x g ．又当0>x 时，2+1>2xe x，再设函数))((=)(2xe x g x x h －，则0))2+1(=2+1=)(222'＞－（）－（x e e e x e x h xx x x ，)(x h 在)÷∞,0(上是增函数， 0>)21(k h ，∴1+21>)21(k e g k ， ∴121+>k e e x, 1121++>k k x , 由数学归纳法知，对于正整数n ，有n n x 21>．唤醒了夕阳 惆怅又向东流 月下琴音畅饮醉英雄 看战火重现 结义乱世流年 望落叶飘零 荒凉染遍诸侯裂B ：W.K. 英雄 叹千古恨 巨澜 触动天河泪 看不凡少年 天涯结豪杰 铮铮铁骨 气宇千年传C ：W.K. 痴狂一生一世任逍遥 智取江东少年出英豪 若饮醇醪忠诚万人仰 群英会唱剑舞荡气浩D ：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场 羽扇纶巾笑谈赤壁烧 三足鼎立一战千古扬 伊人相望把琴吟沧桑 间奏诗(Rap)：苍狼 群雄逐鹿天下争江山 战场狼烟四起春秋乱 三国饥荒饮遍冷月光 红颜秋风断箫愁断肠英雄久经沙场定江山天下谁怜伊人多情泪美人挥泪提笔千古伤岁月只剩传奇来绝唱A1：W.K.吹断了秋风思念憔悴红颜月下风霜画满诗两行燃烽火岁月相约乱世流年叹饥饿兵荒血染君王风云变B1：W.K.对酒当歌论英雄沙场兵如千机变看不凡少年战场称豪杰铮铮铁骨气宇千年传C：W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑C：W.K.痴狂一生一世任逍遥智取江东少年出英豪若饮醇醪忠诚万人仰群英会唱剑舞荡气浩D：W.K.笑叹鸿儒吴蜀战一场羽扇纶巾笑谈赤壁烧三足鼎立一战千古扬伊人相望把琴吟沧桑。

2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。

2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合{|10,}A x x x N *=≥∈,B 为A 的子集,若集合B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9(1)B 中两位数有多少？三位数有多少？ (2)B 中是否有五位数？六位数？(3)若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列,第1081个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有22215242272C A C ⨯⨯-⨯=个; 三位数有333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3334332576C A ⨯⨯⨯=个,因此第1081个元素是4012.2.(15分)1sin sin 3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin()x y -与cos()x y +的值 【解】由1sin sin 3x y +=……①,1cos cos 5x y -=……②,平方相加得208cos()225x y +=;另一方面由①可得12sincos 223x y x y +-=……③ 由②式可得12sin sin 225x y x y +--=……④,由③/④式得3tan 25x y -=-,也所以22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+即求.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧. (1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为137841556195C C C =; (2)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,474155(0)195C P X C ===,137841540(1)195C C P X C ===,227841584(2)195C C P X C ===,137841556(3)195C C P X C ===, 4841510(4)195C P X C ===,即X 的分布列为:所以其数学期望为 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为83241515EX =⨯=,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为48447823C C C =+即求. 5. (15分)数列{}n a 均为正数,且对任意*n N ∈满足21(0n nn a ca a c +=+>为常数).(1) 求证:对任意正数M ,存在N *N ∈,当n N >时有n a M >; (2)设11n n b ca =+,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*N N ∈,当n N >时,110||n S d ca <-<. 【证明】:(1)因为对任意的*n N ∈满足0n a >,所以21n n n n a ca a a +=+>,又因为0c >, 所以22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-,所以2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-故对任意的正整数M ,存在*21{1,[]2}MN N a =+∈,当n N >时有n a M >; (注:21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过21Ma 的最大正整数.)(2)由21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+可得,111n n n a ca a +=+,所以211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+; 也所以11111nn i i n S b ca ca =+==-∑,即11110n n S ca ca +-=> 且由(1)知211n a na +>,所以21111n ca nca +<, 即对任意0d >,存在211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有110||n S d ca <-<. 6. (15分)已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =,当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-,也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n nx >. 【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-,由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.和1( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【解】由1x =可知22x =,同理由1x 可知3(1)2x -=; 所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 14400 【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D.3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是 2,1x y x y +=-=-,也所以 3223222()[()3]2()(2)7216x x y y x y x y x y x y -+=++--=-⨯-=-.故选D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )A. 201230192⨯B. 201330192⨯C. 201230182⨯D. 无法确定 【解】由11a =,142n n S a +=+(1n ≥)……①可知,当1n =时,2142S a =+,所以25a =;当2n ≥时,有142(2)n n S a n -=+≥……②,由①-②式得,1144(2)n n n a a a n +-=-≥,即1122()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,且2123a a -=所以11232n n n a a -+-=⨯(*n N ∈),同除以2n 得,113222n n n n a a +--=,且1012a =;所以13122n n a n +=+,故令2012n =时,得2012201323019a =⨯,故选A. 5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,则BM CN +与MN 的关系为( ) A.BM CN MN +> B.MN CN MN +< C.BM CN MN +=D.无法确定【解】如图,在DA 取DE DB =,连接,,ME NE MN则显然可证,ME MB EN NC ==,且有ME NE MN +≥,即BM CN MN +≥, 上述不等式当且仅当180MED DEN ∠+∠=, 也即180B C ∠+∠=,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC AC ABA B C++++的模长为( )A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C ++++++=⨯++++++,也即2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++313BA C A AB CB AC BCAB AC BA BC C A CB++++++==++++++,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知12320130a a a a ++++=,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-证明:12320130a a a a =====.【证明】:观察可知12320130a a a a ++++=,即21322013201212013(2)(2)(2)(2)0a a a a a a a a -+-++-+-=……① 又122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-,不妨设12|2|a a t -=,M ACDBE则①可写为(2013)0(02013,)kt k t k k N --=≤≤∈,即(22013)0k t -=, 又显然220130k -≠,则有0t =,于是有122320122013201312,2,,2,2a a a a a a a a ====,所以2013112a a =,即10a =.也所以12320130a a a a =====,即证.9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值. 【解】632cos cos66cos415cos2θθθθ--- 31c o s 232()c o s 66c o s 415c o s 22θθθθ+=--- 3234(1c o s 23c o s 23c o s 2)(3c o s 24c o s 2)6c o s 415c o s2θθθθθθθ=+++---- 2412c o s 26c o s 446(1c o s 4)6c o s 410θθθθ=+-=++-=即求. 10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有m n ⋅个实数,排列成m n ⨯阶数阵,记作{}ij m n a ⨯,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,i m =,当12j j <时,都有12ij ij a a <.现将{}ij m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m n ⨯阶数阵,记作{}ijm n a ⨯',即对任意的1,2,3,,i n =,当12i i <时,都有12i ji j a a ''<.试判断{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数的大小关系,并说明理由. 【解】:数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,理由如下: 显然,我们要证明数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明, 对于任意1,2,3,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,其中1,2,3,,(1)j n =-. 若存在一组(1)pq p q a a +''>,令(1)(1)k k q i q a a ++'=,其中121,2,3,,,{,,,}{1,2,,}k k m i i i m ==,则当t p ≤时,都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(1,2,,)iq a i m =中,至少有p 个数小于pq a ',也即pq a '在数阵{}ij m n a ⨯'中的第q 列中,至少排在第1p +行,与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意的1,2,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,即数阵{}ij m n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2013年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试物理探究注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。