2014-2015学年北京市燕山区2015届中考一模数学试题(含答案)

内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题☞对角互补旋转模型图（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角α）此类题目有角含半角的旋转图形转化而来。

去掉EFC∆，五边形ABEFD就是对角互补模型，此题关键是出现对角互补和连有公共顶点的想等线段，这是解题的关键。

【例1】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC=，90A C∠=∠=︒，135B∠=︒，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN∆的周长为AB的2倍，求KDN∠的度数．【例2】如图所示，在五边形ABCDE中，90B E∠=∠=︒，AB CD AE===1BC DE+=，求此五边形的面积．【巩固】如图，已知五边形ABCDE中，90ABC AED∠=∠=︒，2AB CD AE BC DE===+=．求该五边形的面积．【例3】五边形ABCDE中，已知AB AE=，BC DE CD+=，180ABC AED∠+∠=︒，连接AD．求证：AD平分CDE∠．【例4】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A∠和C∠都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．【例5】如图，已知90AOB∠=︒，在AOB∠的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图⑴，易证：2OD OE OC+=．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图⑵、图⑶这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（和第二问讲义的某题一样）【例6】已知MAN∠，AC平分MAN∠．（1）在图1中，若MAN∠120=，90ABC ADC∠=∠=，求证：AB AD AC+=；（2）在图2中，若MAN∠120=，180ABC ADC∠+∠=，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;（3）在图3中：①若60MAN∠=，180ABC ADC∠+∠=，则AB AD+= ____AC中考满分必做题旋转3中考说明旋转3—对角互补及最值问题2015年中考解决方案学生姓名：上课时间：②若MAN α∠=(0180)α<<，180ABC ADC ∠+∠=，则AB AD += ____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明．【例7】 已知， 点P 是MON ∠的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使180APB MON ∠+∠=．（1）利用图1，求证：PA =PB ；（2）如图1，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图3补全图形，并求OP 的长．图1 图2 图3最值问题OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．【例8】 如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？【例9】 已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．⑴如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．（09西城一模）【例10】 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应ADB ∠的大小．（13年通州一模）【例11】 已知：AOB ∆中，2AB OB ==，COD ∆中，3CD OC ==,ABO DCO ∠=∠． 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1 图2(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PM N ∆的形状是________________，此时AD BC________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO ∆∆∽，并计算AD BC 的值（用含α的式子表示）；(3) 在图2中，固定AOB ∆，将COD ∆绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值．【例12】 如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________________；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．（2014年燕山一模）【例13】 在ABC 中，4AB =，6BC =，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到11A BC ．（1）如图1，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A ∠的度数；（2）如图2，连接1AA ，1CC ．若1CBC 的面积为3，求1ABA 的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点1P ，直接写出线段1EP 长度的最大值与最小值．(2013年昌平一模)费马点与旋转☞考点说明：到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题皮耶·德·费马（Pierre de Fermat ）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E ． T ． Bell ）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题．这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．结论： （1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小．特殊三角形中：(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．(4)当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC 因此，当ABC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例14】阅读下列材料对于任意的ABC∆，若三角形内或三角形上有一点P，若PA PB PC++有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120∠=∠=∠=︒时，点P既为费马点APB BPC APC解决问题：(1)如图，ABC∆，连接CD、∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB、AC为边向外作等边ABD∆、ACE BE交于点P，证明：点P为ABC++=∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD∆的费马点．(即证明120APB BPC APC(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC++>++(3)若30BC=，直接写出PA PB PC++的最小值∠=︒，3ABCAB=，4【巩固】若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为_________；（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．图8【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC∠=︒，APD=,60ABC∠=︒，P为四边形ABCD内部一点，120证明：PA PD PC BD++≥．【例15】小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．【例16】 (1)如图1，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证：BE AD =． （2）如图2，在BCD ∆中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD为边在BCD ∆外部作等边ABC ∆、等边CDE ∆和等边BDF ∆，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=． （13年房山一模）【巩固】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 【巩固】A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P 、Q 两个交通枢纽，并建设公路连接AP 、BP 、PQ 、QC 、QD ，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？【巩固】已知：ABC ∆中，120A ∠︒≥，P 是不与A 重合的定点，求证PA PB PC AB AC ++>+．E N MDC B A P P FD C A DE C AB B图1 图2P F D E C A D B D E A C B P 图2 D A C B 图3 A C B P 图1。

2
计
c θ
2011 2012 2013 2014 2015 年
（第 24 题图）
C D E A （第 7 题图） （第 8 题图）
· O （第 9 题图）
B
10. 在面积为 60 的□ABCD 中，过点 A 作 AE⊥直线 BC 于点 E，作 AF⊥直线 CD 于点 F，若 AB＝10，BC ＝12，则 CE＋CF 的值为…………………………………………（ ▲ ） A. 22＋11 3 C. 22＋11 3或 22－11 3 B. 22－11 3 D. 22＋11 3或 2＋ 3
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共计 16 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置 上．） ．．．．．．．
1
11．已知|x|＝3，则 x 的值是
▲
. ▲ .
12．函数 y＝ 3－x中自变量 x 的取值范围是 ▲ .
13．据报载，2014 年我国发展固定宽带接入新用户 25000000 户，将 25000000 用科学记数法可表示为 14．已知扇形的圆心角为 120º，半径为 6cm，则扇形的弧长为 为矩形，只需再加上的一个条件是 ▲ ． ▲
22．（本题满分 8 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个完全相同的标有数字 1、2、3、4 的小球. 小明从 布袋里随机取出一个小球， 记下数字为 x， 小红从布袋里剩下的小球中随机取出一个， 记下数字为 y. 算由 x、y 确定的点（x，y）在函数 y＝－x＋5 的图象上的概率. 23．（本题满分 8 分）如图所示，A、B 两个旅游点从 2011 年至 2015 年“清明小长假”期间的旅游人数 变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题： （1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求 A、B 两个旅游点从 2011 年到 2015 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一 句话对这两个旅游点的情况进行评价； （3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数 为 4 万人. A 旅游点决定提高门票价格来控制游客数量. 已知游客数量 y（万人）与门票价格 x（元） x 之间满足函数关系 y＝5－ . 若要使 A 旅游点的游客人数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多 100 少元？

2015年北京市燕山区中考数学一模试卷一、（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102 3．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝（）A．25°B．45°C．50°D．65°5．（3分）下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）以下是期中考试后，班里两位同学的对话：小晖：我们小组成绩是85分的人最多；小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分以上两位同学的对话反映出的统计量是（）A．众数和方差B．平均数和中位数C．众数和平均数D．众数和中位数7．（3分）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x8．（3分）如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．cm C．cm D．cm 9．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：ab2﹣a＝．13．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为cm．14．（3分）已知某函数图象经过点（﹣1，1），且当x＞0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝．15．（3分）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费元．16．（3分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为＝．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝；a2015＝．三、简答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点E，F在线段AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：BE＝DF．18．（5分）计算：．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）的值．21．（5分）列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．22．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）在BC截取CF＝CO，连接OF，若AC＝8，BD＝6，求四边形OFCD的面积．24．（5分）根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到亿件．（直接写出结果，精确到0.1）25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠CED＝90°；（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．26．（5分）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：P A•CD＝PC•BD．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x 轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．28．（7分）△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．29．（8分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．（1）分别判断函数y＝﹣2x+1和y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线l：y＝kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN ＜3，请直接写出n的取值范围．2015年北京市燕山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．（3分）据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为（）A．73×102B．7.3×103C．0.73×104D．7.3×102【解答】解：将7300用科学记数法表示为：7.3×103．故选：B．3．（3分）下面的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、长方体的俯视图是长方形，故本选项错误；B、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；C、圆柱的俯视图是圆，故本选项错误；D、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确；故选：D．4．（3分）如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝（）A．25°B．45°C．50°D．65°【解答】解：∵∠1＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠2＝25°．故选：A．5．（3分）下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵共有居民家庭：5+40+30+20+5＝100（户），且家庭月用水量为6吨的有30户，∴从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为：＝．故选：C．6．（3分）以下是期中考试后，班里两位同学的对话：小晖：我们小组成绩是85分的人最多；小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分以上两位同学的对话反映出的统计量是（）A．众数和方差B．平均数和中位数C．众数和平均数D．众数和中位数【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：D．7．（3分）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x【解答】解：①x2若为平方项，则加上的项是：±2x×3＝±6x；②若x2为乘积二倍项，则加上的项是：（）2＝，③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：﹣x2或﹣9．故为：6x或﹣6x或或﹣x2或﹣9．故选：C．8．（3分）如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵⊙O的半径长6cm，弦AB垂直平分OC，∴OD＝3，由勾股定理得，AD＝＝3，∴AB＝6，故选：B．9．（3分）在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝35°，∵CD＝BC，∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝70°，∴∠C＝40°，故选：A．10．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．【解答】解：由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故D符合题意；故选：D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：由代数式有意义，得x﹣2≠0，解得x≠2，故答案为：x≠2．12．（3分）因式分解：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：ab2﹣a，＝a（b2﹣1），＝a（b+1）（b﹣1）．13．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为90cm．【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC＝2OD＝2×45＝90（cm）．故答案是：90．14．（3分）已知某函数图象经过点（﹣1，1），且当x＞0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝x+2（答案不唯一）．【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴设解析式为：y＝x+b，∵图象经过点（﹣1，1），∴1＝﹣1+b，解得：b＝2；∴解析式为：y＝x+2（答案不唯一）．故答案为x+2（答案不唯一）．15．（3分）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费48元．【解答】解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]＝48（元），则共付车费48元．故答案为：4816．（3分）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，﹣1的差倒数为＝．记，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2＝2；a2015＝2．【解答】解：因为a1＝，所以a2＝，a3＝，，…，所以这列数是、2、﹣1、、2、﹣1，…，每3个数是一个循环，因为2015÷3＝671…2，所以a2015＝2．故答案为：2、2．三、简答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）如图，点E，F在线段AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C．在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF．18．（5分）计算：．【解答】解：原式＝3+﹣3×+1＝3+﹣+1＝4．19．（5分）解不等式组：．【解答】解：∵解不等式①，得x＜3解不等式②x≥﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜3．20．（5分）已知x2﹣x﹣2＝0，求代数式x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）的值．【解答】解：x（2x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣x﹣（x2﹣1）＝2x2﹣x﹣x2+1＝x2﹣x+1，∵x2﹣x﹣2＝0，即x2﹣x＝2．∴原式＝（x2﹣x）+1＝2+1＝3．21．（5分）列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．【解答】解：设赵老师骑自行车的速度为x千米/小时，依题意得，解方程得x＝10．经检验，x＝10是原方程的解且符合实际意义．答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时．22．（5分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．【解答】解：（1）△＝（2k﹣3）2﹣4×1×（k2﹣3k）＝4k2﹣12k+9﹣4k2+12k＝9＞0，即原方程总有两个不相等的实数根．（2）解法一：把x＝0代入方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣3k＝0中，得k2﹣3k＝0，解得k＝0，或k＝3当k＝0时，原方程化为x2+3x＝0，＝﹣3，x2＝0；解得x当k＝3时，原方程化为x2﹣3x＝0，解得x1＝3，x2＝0．综上，原方程的另一个根x＝﹣3，或x＝3．解法二：∵△＝9，由求根公式，得，即原方程的根为x1＝k，x2＝k﹣3．当x1＝k＝0时，x2＝k﹣3＝﹣3；当x2＝k﹣3＝0时，x1＝k＝3．综上，原方程的另一个根x＝﹣3，或x＝3．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）在BC截取CF＝CO，连接OF，若AC＝8，BD＝6，求四边形OFCD的面积．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∴∠DOC ＝90°．∴四边形OCED 为矩形．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝BD ＝3，OA ＝OC ＝AC ＝4，∴S △DOC ＝＝＝6．在Rt △OBC 中，BC ＝＝5，sin ∠OCB ＝＝．作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝＝， ∴FH ＝CF ＝． ∴S △OCF ＝＝＝．∴S 四边形OFCD ＝S △DOC +S △OCF ＝6+＝． 24．（5分）根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到8.5亿件．（直接写出结果，精确到0.1）【解答】解：（1）140÷（1+52%）＝92；补全条形统计图如图：；（2）140×60%×1.2＝100.8亿元；答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．（3）全国快递业务量年增长率的平均值为﹣1≈0.416×（1+0.41）＝8.5（亿件），2015年北京市快递业务量将达到8.5亿件，故答案为：8.5．25．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠CED＝90°；（2）若AB＝13，sin∠C＝，求CE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DE切⊙O于D，OD是⊙O的半径，∴∠EDO＝90°．∵OD＝OB，∴∠ABC＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴DO∥AC，∴∠CED＝∠EDO＝90°．（2）解：如图，连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．在Rt△CED和Rt△BDA中，∠C＝∠ABC，∠DEC＝∠ADB＝90°，∴△CED∽△BDA，∴＝，∴．∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴sin∠ABC＝＝sin∠C＝，∴AD＝AB＝5，∴CD＝BD＝＝12．∴＝．26．（5分）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是1＜AD＜5．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：P A•CD＝PC•BD．【解答】解：（1）1＜AD＜5，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，在△BEF与△AEP中，，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝P A，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即P A•CD＝PC•BD．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）抛物线C1：y＝+bx+c与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x 轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D（0，k）．已知点B（2，2），若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴c＝3．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴，解得b＝﹣2，∴抛物线C1的解析式为．（2）由题意，抛物线C2的解析式为．当抛物线经过点A（2，0）时，，解得k＝﹣2．∵O（0，0），B（2，2），∴直线OB的解析式为y＝x．由，得x2﹣2x+2k＝0，①当△＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即时，抛物线C2与直线OB只有一个公共点，此时方程①化为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴k的取值范围是．28．（7分）△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．（1）如图1，当∠BAC为锐角时，①求证：BE⊥AC；②求∠BEH的度数；（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．【解答】（1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH＝BH，∠BAH＝45°，∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，由旋转性质得，△BHD≌△AHC，∴∠1＝∠2．∵∠1+∠C＝90°，∴∠2+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC．②如图1，∵∠AHB＝∠AEB＝90°，∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，∴∠BEH＝∠BAH＝45°，（2）解：补全图2，如图2；EC﹣ED＝EH，过H作HF⊥EH交CE于F，由旋转的性质得：∠D＝∠C，HD＝CH，∠CHD＝90°，∴∠EHD＝∠CHF，在△DEH与△CFH中，，∴△DEH≌△CFH，∴CF＝DE，HF＝EH，∴EF＝EH，∴CE﹣EF＝CE﹣EH＝CF＝DE，∴EC﹣ED＝EH．29．（8分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．（1）分别判断函数y＝﹣2x+1和y＝x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线l：y＝kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数G：y＝的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且DM+DN ＜3，请直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）存在，令﹣2x+1＝x，解得，∴函数y＝﹣2x+1的图象上有一个和谐点（，）；令x2+1＝x，即x2﹣x+1＝0，∵根的判别式△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1＝0无实数根，∴函数y＝x2+1的图象上不存在和谐点．（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为，解得a＝﹣1，．故函数，即y＝﹣x2+4x﹣3，如图1，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4．（3），或0＜n＜1．∵y＝kx+2经过和谐点P，∴y＝x，∴x＝kx+2，∴点P的横坐标为1，∴k＝﹣1，∴直线l为：y＝﹣x+2，分两种情况：①如图2，当n＞0时，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴DF＝2，∴DM+DN＜3，∴只要y＝﹣x+2与y＝有交点坐标即可，∴﹣x+2＝，整理得：x2﹣2x+n＝0，∴b2﹣4ac＞0，∴4﹣4n＞0，解得：n＜1，则0＜n＜1；②如图3，当n＜0时，当DM+DN＝3，则DN＝FM＝，∵y＝﹣x+2，与x轴交于点D（2，0），与y轴交于点F（0，2），∴可求出M（﹣，），则xy＝n＝﹣，则﹣＜n＜0．综上，当﹣＜n＜0或0＜n＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且DM+DN＜3．。

燕山地区2014—2015学年度第一学期九年级期末考试 数 学 试 卷 2015年1月考 生 须 知1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。

3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答题纸的相应位置上．1．观察下列图形，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是A ．41B ．31C ．21 D ．1 3．右图是某几何体的三视图，该几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．棱柱D ．正方体4．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长为A ．2B ．4C ．8D ．16 5．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数为A ．20°B ．40°C ．60°D ．70° 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos B 的值是A ．55 B ．552 C ．21 D ．2 O CBAAB俯视图左视图正视图7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线)0(≠=k xky 的一部分，则当x ＝16时，大棚内的温度约为A ．18℃B ．15.5℃C ．13.5℃D ．12℃ 8．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝4，OB ＝． ⊙O 的半径为2，点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作 ⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x ，PQ 2＝y ， 则y 与x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若y x 54=，则yx＝ ． 10．已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象在其每一分支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数的解析式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可） 11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 米．(已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米)12．在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1，P 2，P 3，…，18122y (℃)x (时)CBO APOB AQh 米0.8米3米4米5512Oxy5512OxyyxO 12555512OxyS 1S 2P 3P 1P 2y 初四数学期末试卷第1页（共8页）P n ，P n +1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n ，n +1．过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则点P 1的坐标为 ；2S ＝ ；n S ＝ ．（用含n 的代数式表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．14．如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB 2＝AC ·AD ．求证：△ADB ∽△ABC ．15．如图，正比例函数y=2x 与反比例函数)0(≠=k xky 的图象的一个交点为A (2，m )． 求m 和k 的值．16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)．yxO11A初四数学期末试卷第3页（共8页）DCAy（1）直接写出点B 关于原点的对称点D 的坐标；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90º得到△A 1B 1C ．请在网格中画出△A 1B 1C ，并直接写出点A 1和B 1的坐标．17．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OE 为3cm ．（1）求弦AB 的长；（2）求劣弧AB ⌒的长．18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB 的高度是3米，从路侧点D 处测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC＝∠DAE ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BC ＝2，AD ＝6，DE ＝3，求AC 的长．20．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥l于点D ，交⊙O 于点E ． （1）求证：∠CAD ＝∠BAC ；（2）若sin ∠BAC ＝53，BC ＝6，求DE 的长．22．阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．反腐20%消费30%环保10%教育25%其他15%网民关注的热点问题情况统计图 140280210420人数（万人）420350280210140700关注各类热点问题的网民人数统计图lE D AOBC初四数学期末试卷第5页（共8页）ABDEF FD小辉发现，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到△ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△FAE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE (即DE )的长．请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ． 如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，F D 之间的数量关系并说明理由．五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程012=-+-k kx x .（1）求证：当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若二次函数)2(12>-+-=k k kx x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝4，求该二次函数的解析式；（3）已知点P （m ，0）是x 轴上的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M ，交一次函数q px y +=的图象于点N ．若只有当51<<m 时，点M 位于点N 的下方，求一次函数q px y +=的解析式．11Oxy（1）如图1，求证：EF＝FG，且EF⊥FG；（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：y D1D2D3CC2C1若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A (－2，0)，B (4，3)，C (0，t )．①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ； （2）如图2，已知点M (6，0)，N (0，8)．P (x ，y )是抛物线542++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图3，已知点D (1，1)．E (m ，n )是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月一、选择题（本题共32分，每小题4分）yxO11BA 图1图3OxyH G DE F图211O xyNMB ．A ．B ．C ．D ．B ．C ．A ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．45 10．x y 1-= )0(<=k xky （答案不唯一）11．1.4 12．(1，8)；34；)1(8+n n ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝233222⨯-⨯……………………………………3分 ＝123-＝21-． ……………………………………5分14．证明：∵AB 2＝AC ·AD ，∴AC AB ＝ABAD． ……………………………………2分 又∵∠A ＝∠A ， ……………………………………4分 ∴△ADB ∽△ABC ． ……………………………………5分 15．解：将点A (2，m )的坐标代入y=2x 中，得m ＝2×2，即m ＝4． ……………………………………2分 ∴A (2，4)． ……………………………………3分将点A (2，4)的坐标代入xky =，得 k ＝2×4，即k ＝8． ………………5分 16．解：（1）D (－1，1)； ………………2分（2）画出△A 1B 1C ，如图； ………………3分A 1(5，6)，B 1(3，5)． ………………5分 17．解：（1）∵AB 为⊙O 的弦，OE ⊥AB 于E ，∴AE ＝BE ＝21AB ． ……………………………………1分 在Rt △AOE 中，OA ＝6，OE ＝3，∴AE ＝22OE OA -＝2236-＝27＝33， ………………2分 ∴AB ＝2AE ＝36． ……………………………………3分（2）由（1）知，在Rt △AOE 中，∠AEO ＝90°，OA ＝6，OE ＝3， ∴cos ∠AOE ＝OA OE ＝21， ∴∠AOE ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOE ＝120°， ……………………………………4分O 5342x y 1BA B1CA 1-1-1∴AB ⌒的长l＝1806120⨯π＝π4． ……………………………………5分18．解：由题意，在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°，AB ＝3米，∴AD ＝AB ＝3米， ……………………………………2分 又∵Rt △ACD 中，∠DAC ＝90°，∠ADC ＝60°，∴AC ＝AD ·tan ∠ADC ＝3·tan60°＝33米， ………………4分 ∴BC ＝AC －AB ＝33－3≈2.2米． ………………5分 即路况警示牌宽BC 的值约为2.2米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 (2)∵△ABE ∽△ACD ，∴AC AB＝ADAE ． 又∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ， ……………………………………4分 ∴DE BC ＝ADAC， ∴AC ＝AD DE BC ⋅＝632⨯＝4． ……………………………………5分 20．（1）补全条形统计图如图； ………………2分（2）2100×10%＝210万人； ………………4分（3）61． ………………5分 21．（1）证明：连接OC ，350140280210420 人数（万人）42035028021014070∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ， ……………………………………1分 ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， ∴∠CAD ＝∠ACO ． 又∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠OAC ，∴∠CAD ＝∠OAC ，即∠CAD ＝∠BAC ． ……………………………………2分 （2）解法一：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又AD ⊥l 于点D ，∴∠AEB ＝∠ADF ＝∠BFD ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形，∴DE ＝BF ． ……………………………………3分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCF ＝90°．∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCF ＝∠CAD ． ∵∠CAD ＝∠BAC ，∴∠BCF ＝∠BAC ． ……………………………………4分 在Rt △BCF 中，BC ＝6，sin ∠BCF ＝BC BF ＝sin ∠BAC ＝53， ∴BF ＝BC 53＝518，∴DE ＝BF ＝518． ……………………………………5分解法二：连接CE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵A ，B ，C ，E 四点共圆， ∴∠AEC ＋∠ABC ＝180°． 又∵∠AEC ＋∠DEC ＝180°，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴Rt △CDE ∽Rt △ACB ， ……………………………………3分 ∴BC DE ＝ACCD． 在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝AB BC ＝53，BC ＝6， ∴AB ＝BC 35＝10，∴AC ＝22BC AB ＝8． lEDA O BClF E D AOBClEDA O BC在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝∠BAC ，∴sin ∠DAC ＝AC CD ＝sin ∠BAC ＝53， ∴CD ＝AC 53＝524． ……………………………………4分∴DE ＝AC BC CD ⋅＝86524⨯＝518． ……………………………………5分22．90°；10． ……………………………………2分猜想：EF =BE ＋FD ； ……………………………………3分 理由如下：如图，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ， ∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠B ＝∠ADG ，∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°，即点F ，D ，G 在同一条直线上． ∵∠EAF ＝21∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ， 即∠GAF ＝∠EAF ． ……………………………………4分在△AEF 和△AGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠AF AF GAF EAF AG AE ＝，＝，＝∴△AEF ≌△AGF ， ∴EF ＝FG ．∵FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD ． ……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分）23．（1）证明：∵)1(14)(2-⨯⨯--=∆k k ＝2)2(-k ， ………………1分又∵2>k ，∴02>-k ， ∴0)2(2>-k ，即0>∆，∴当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分 （2）解：∵)2(12>-+-=k k kx x y 与x 轴交于A 、B 两点，∴令0y =，有210x kx k -+-=，解得 1=x ，或1-=k x ． ………………3分EFD GABC C1yN∵2>k ，点A 在点B 的左侧， ∴A (1，0)，B (1-k ，0)． ∵抛物线与y 轴交于点C ，∴C (0，1-k )． ……………………………………4分 在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝OA OC ＝11-k ＝4， 解得5=k ．∴抛物线的解析式为452+-=x x y ． ……………………………………5分 （3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分 将交点坐标分别代入一次函数解析式q px y +=中，得⎩⎨⎧+=+q p q p 54,0＝， 解得⎩⎨⎧-1,1＝＝q p ， ∴一次函数的解析式为1-=x y ． ……………………………………7分 24．（1）证明：∵正方形ABCD ，E ，F ，G 分别是边AD ，AB ，BC 的中点，∴AE ＝AF ＝FB ＝BG ，∠A ＝∠B ＝90°，∴△AEF ≌△BGF ， ……………………………………1分 ∴EF ＝FG ，∠AFE ＝∠BFG ＝45°，∴∠EFG ＝180°－∠AFE －∠BFG ＝90°，即EF ⊥FG ． ………………2分 （2）BH ＝22EF ＋EK ； ……………………………………3分 证明：将线段FH 绕点F 逆时针旋转90º，得到线段FK ， ∴FH ＝FK ，∠HFK ＝90°， ∴∠KFE ＋∠EFH ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠HFG ＋∠EFH ＝90°， ∴∠KFE ＝∠HFG ， 在△EFK 和△GFH 中，FK ＝FH ，∠KFE ＝∠HFG ，EF ＝FG ，∴△EFK ≌△GFH ， ……………………………………4分 ∴EK ＝GH ．∵△BFG 是等腰直角三角形，∴BG ＝22FG ，∴BH ＝BG ＋GH ＝22FG ＋EK ＝22EF ＋EK ， 即BH ＝22EF ＋EK ． ……………………………………5分（3）补全图形如图； ……………………………………6分BH ＝EK －22EF ． ……………………………………7分25．（1）①18； ……………………………………1分②4=t 或1-=t ； ……………………………………3分 （2）如图，过M 点作x 轴的垂线与过N 点垂直于y 轴的直线交于点Q ，则当点P 位于矩形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小．∵S 矩形OMQN ＝OM ·ON ＝6×8＝48，∴点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分抛物线542++-x x y ＝与y 轴交于点T (0，5)． 令0y =，有0542＝++-x x ， 解得 1-=x （舍），或5=x ． 令8=y ，有8542＝++-x x ， 解得 1=x ，或3=x ．∴10≤≤x ，或53≤≤x ． ……………………………………6分 （3）2172≤≤r ． ……………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．第一课件网系列资料 yxO 11J RS N MTQK PK G E F C D BA H。