近世代数图形对称变换群共32页

Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
A1, A2 ,, An 的交. A1, A2 ,, An 的并和交分别记为：
A1 A2 An 和A1 A2 An . 我们有
(x A1 A2
A) (x至少属于某一Ai ,i 1, 2, , n)
(x A1 A2
A) (x属于每一Ai ,i 1, 2, , n)
差运算：
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。

对称元素的组合
• 二次轴(L2)+对称面(P) • Step 1: reflect • Step 2: rotate
对称元素的组合
•二次轴(L2)+对称面(P) •Step 1: reflect •Step 2: rotate
•存在第二个对称面 L2 + P = L2 2P
对称元素的组合
• 四次轴(L4)+对称面(P)
可以推到出4个新组合。
晶体对称元素可能组合
(4) 对称轴Ln 与包含它的对称面以及垂直它的对称
面的组合。
Ln ·P(||) ·P() Ln ·P(||) ·P() ·L2
Ln n L2 (n+1) P
Ln n L2 (n+1) P （n为奇数）
Ln n L2 (n+1) PC （n为偶数） 可以推到出3个新组合。
晶体对称元素可能组合
•A类组合（高次轴（n > 2）不多于1个），共27个； 含10个“单独存在”的对称元素。
(1) 对称轴+对称轴：
• 高次轴不多于1个，所以只考虑 Ln 和L2组合 •Ln 和L2平行，按对称轴选取原则，只选 取的是高次轴，没有组合。 •Ln 和L2斜交时，出现多个Ln ，非A类组合。 只考虑垂直组合
• B类组合（高次轴多于1个），共5个。
• 3L2 4 L3 视为B类组合的原始形式，与L2 、与对称 心、与包含的对称面、与包含的对称面且有垂直L2
的组合时，可得到4个新的组合：
3L44L36L2 、 3L44L33PC 、 3L4i 4L36L2 、 3L44L36L29PC
晶体32种点群组合汇总
例如：具有Li42L2 2P对 称组合的黄铜矿晶体

其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
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5
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
1 pSpApS An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 其中一个是 Z1 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 (1 2 3)
1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 (1 2 3)
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却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如

例如，设有两个字母x1和x2，考虑作用在它们 上面的置换.
第一个可能的置换是恒等置换，记为e， 第二个可能的置换是对换（x1和x2交换位置）， 记为f. 利用置换记号，可简记为：
置换e和f是两个字母所能构成的全部置换，它 们组成一个群，叫做2阶对称群，记为S2,
类似地，三个字母所能 构成的全部置换组成一 个群，叫做3阶对称群，记为S3，
于是得到结论：
正四面体的对称群，其实就是4个字母的 全部置换组成的群，即4阶对称群S4.
3.代数式的对称
几何图形的对称，是形状的对称。 代数式的对称，则是形式的对称。
举例
考虑一元二次方程x2+ax+b=0.
设它的两个根是x1和x2，那么由根与系数的关
系得到
x1+x2=-a, ①
x1x2=b
②
在①中，将字母x1和x2交换位置，式的形式 保持不变，这就表明，①式关于x1和x2是对称的。
代数中的对称和群
不但几何图形具有对称性，代数式也可具 有对称性！
图形的对称性，表现为容许某些全等变 换，而代数式的对称性，则表现容许这个代 数式中所含字母的某些置换。
1.置换及其乘法
由n个元素组成的集合S到它自己的一个一一映 射，称为S上的一个置换，又称为n元置换。
考虑一个关于体育竞赛的例子。 有四位运动员参加体操全能比赛，他们的服装 颜色分别是红、黄、蓝、绿。 第一轮自由体操比赛结束后，按积分排名，名 次是：1红，2蓝，3黄，4绿。 第二轮跳马比赛结束后，累计积分排名是：1蓝， 2红，3绿，4黄。 第三轮单杠比赛结束后，累计积分排名变成：1 红，2绿，3蓝，4黄。
可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反映很不错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个