山西省历年专升本数学真题2005

历届考题（2005-2011年）中 属第三章的全部题目(含解答)一. 各类积分计算（不定积分、定积分、广义积分与变限积分求导）1. 基本表，牛-莱公式，简单加法与数乘公式. 05-5. sin xdx ⎰等于A. cos xB. cos x -C. cos x C +D. cos x C -+ [ ] 【05-5. D 】 05-6.12011dx x +⎰等于A. 0B. 4π C. 4π- D. π [ ]【05-6. B 】05-16. 2(1)x dx +⎰=___________.【05-16. 33x x C ++】 06-6.120x dx =⎰A. 1-B. 0C. 13D. 1 [ ] 【06-6. C 】06-17. 12dx x =⎰__________ . 【06-17. 1ln 2x C +(写成1ln 2x C +不扣分) .1111ln 222dx dx x C x x ==+⎰⎰】 07-16.dt =_____________.【07-16. arcsin t C +】 08-6.(cos 1)x dx +⎰A. sin x x C ++B. sin x x C -++C. cos x x C ++D. cos x x C -++ [ ]【08-6. A 】08-16. 21dx x =⎰_____________.【08-16. 1C x-+】09-5.(2)xx e dx +=⎰A. 2xx e C ++ B. 22xx e C ++ C. 2xx xe C ++ D. 22xx xe C ++ 【09-5、A 】09-17.=⎰_____________.【09-17. 3223x C +. 注意12x =,然后用幂函数积分公式 】10-5.41dx x =⎰A. 313C x -+B. 313C x +C. 33C x +D.33C x -+ [ ]10-19.201________1dx x +∞=+⎰.【10-19. 0201(arctan )0122dx x x ππ+∞+∞==-=+⎰】11-6.(sin )x x dx -=⎰A. 2cos x x C ++ B. 2cos 2x x C ++ C. 2sin x x C -+ D. 2sin 2x x C -+ 【11-6、B 】 11-7.sin xdx ππ-=⎰A. 0B. 1C. 2D. π【11-7、A 】11-16. 5x dx =⎰_____________. 【11-16. 46x C +】2. 凑微分.05-18.1ln exdx x ⎰==_________________. 【05-18. 12.2221111l n 1111l n l n l n (l n )[(l n )(l n 1)]222e e e ex d x x d x x d x x e x x =⋅===-=⎰⎰⎰】 05-23. 计算22(1)x x dx +⎰.【05-23. 222222311(1)(1)(1)(1)26x x dx x d x x C +=++=++⎰⎰】 06-5.x e dx -=⎰A. x e C +B. x e C -+C. xe C --+ D. x e C -+ [ ]【06-5. C 】06-19.4sin cos ___________x xdx π=⎰.【06-19.14. 22224440001111sin cos sin sin (sin )[(sin )(sin 0)]()224224x xdx xd x x ππππ===-==⎰⎰】 06-23. 计算2cos x x dx ⎰.【06-23.2221cos 2xcosx dx x dx =⎰⎰21sin 2x C =+】 07-23. 计算cos ln xdx x ⎰. 【07-23. cos ln cos ln ln xdx x d x x=⎰⎰=sin ln x C +】 08-23. 计算sin 5xdx ⎰. 【08-23. 11sin 5sin 5(5)cos555xdx xd x x C ==-+⎰⎰】 09-18.3x e dx =⎰_____________.【09-18. 33x e C +. 3333()33x x xxe dx e d e C ==+⎰⎰】09-19.1ln ________exdx x =⎰. 【09-19. 12.2221111ln 1111ln ln ln (ln )[(ln )(ln1)]222e e e e x dx x dx xd x x e x x =⋅===-=⎰⎰⎰】 09-23. 计算1ln xdx x +⎰. 【09-23. 1ln (1ln )(1ln )x dx x d x x +=++⎰⎰=21(1ln )2x C ++】 10-17. 1x dx e=⎰_____________.【10-17. xe C --+. 1()x x x x dx e dx e d x e C e---==--=-+⎰⎰⎰】10-18.sin 20cos ________x e xdx π=⎰.【10-18. 1e -.sinsin sin sin sin02222cos sin 1xxx exdx ed x eee e ππππ===-=-⎰⎰】10-23.计算2x xe dx ⎰.【10-23. 22212x x xe dx e dx =⎰⎰212x e C =+】11-23. 计算⎰.【11-23. 21(1)2d x =-⎰3221(1)3x C =-+】3. 分部积分. 05-24. 计算10x xe dx ⎰.【05-24.1111101.x x xx xxe dx xde xe e dx e e ==-=-=⎰⎰⎰】06-24. 计算.1ln e x xdx ⎰【06-24.2111ln ln 2ee x xdx xdx =⎰⎰=2111ln 22e ex x xdx -⎰=221124e e x-=2144e +】09-24. 计算arcsin xdx ⎰【09-24.arcsin arcsin xdx x x =-⎰=arcsin x x C 】4. 换元法（三步曲），换元证明法.(1) 简单型.10-24.计算1⎰【10-24. t =,则2dx tdt =, 当0x =时,0t =; 当1x =时,1t =.则1102t te dt =⎰⎰12t tde =⎰101220tt te e dt =-⎰1220te e =-2=】 (2) **三角代换法（这几年未出过此类题目）.(3) 换元证明法.07-27. 设()f x 为连续函数，试证：2211(3)()f x dx f x dx -=⎰⎰.【07-27. 令3x t -=，则dx dt =-，当1x =时,2t =, 当2x =时,1t =,左端2112(3)()f x dx f t dt =-=-⎰⎰21()f t dt =⎰21()f x dx =⎰ = 右端】5. 添辅助项,利用代数三角公式或复合函数记号.05-23. 计算22(1)x x dx +⎰.【05-23. 解1. 222222311(1)(1)(1)(1)26x x dx x d x x C +=++=++⎰⎰. 解2. 222435(1)(12)(2)x x dx x x x dx x x x dx +=++=++⎰⎰⎰246226x x x C =+++】 注：两种解法的答案粗看似乎不一样，其实把笫一解法答案的前一项展开后与笫二答案比较，只相差1/6，可以拼入于任意常数C 中，故两种答案是相同的.07-18.10(1___________x dx =⎰.【07-18.910. 1352111122200002129(1(1)()()252510x x dx x x dx x x dx x =+=+=+=+=⎰⎰⎰】6. 广义积分.10-19.201________1dx x +∞=+⎰.【10-19. 0201(arctan )0122dx x x ππ+∞+∞==-=+⎰】7. 变限积分求导.(1) 变限积分求导计算.05-7. 设函数0()()x t x e t dt Φ=+⎰，则'()x Φ等于A. 0B. 22xx e + C. x e x + D. 1xe + [ ]【05-7. C 】08-17.3()________x d t t dt dx +=⎰. 【08-17. 3x x +】10-7. 已知0()F x =⎰, 则'()F x =A. 2B. 1C.D. 1 [ ]【10-7、C 】11-17. 0(arctan )________xd t t dt dx+=⎰ 【11-17. arctan x x +】(2) **与变限积分求导相关的题型(求极限、隐函数问题、单调与极值). （这几年未出过此类题目）二. 定积分特有的题型.1. 对称区间上奇函数的积分为零. 05-17.121sin x xdx -⎰= ___________.【05-17. 0】 06-18.131cos ________x xdx -=⎰.【06-18. 0】 07-7.131(cos )x x x dx -+=⎰A. 2-B. 0C. 2D. 4 [ ] 【07-7. B 】 08-7.151x dx -=⎰A. 2-B. 1-C. 0D. 1 [ ] 【08-7. C 】08-18.22(cos )___________x x dx ππ-+=⎰.【08-18.. 注意被积函数的笫二项为奇函数,它在对称区间上定积分为0, 从而只需计算22222222(cos )cos (sin )0x x dx xdx xdx x ππππππππ----+=+=+⎰⎰⎰s i n s i n ()1(1)222ππ=--=--=】11-7.sin xdx ππ-=⎰A. 0B. 1C. 2D.π【11-7、A 】 11-18..1321(cos )________x x x dx -+=⎰.【11-18.23. 注意被积函数的笫一项为奇函数,它在对称区间上定积分为0, 从而只需计算121x dx -⎰】2. 分段函数与含绝对值的情形. （这几年未出过此类题目）3. 定积分是常数,其导数为0.07-17.21()________d f x dx dx =⎰. 【07-17. 0】 09-6.1d dx =⎰ A.B.C.4πD. 0 【09-6、D 】三. 定积分的应用.1. 计算面积, 旋转体体积..05-27(1)求曲线2(0),1y x x y =≥=与0x =所围成的平面图形的面积S 。

山西省二○○五年专升本招生考试试题山西省二○○五年专升本招生考试试题实用英语（003）Part Ⅰ. Structure (1 point×20=20 points)Directions: This part is to test your ability to construct grammatically correct sentences. It consists of2 sections.Section ADirections: In this section, there are 10 incomplete sentences .You are required to complete each one by deciding on the most appropriate word or words from the 4choices marked A, B, C and D. Write your answers on the ANSWER SHEET.1. This year the factory turned ____twice as many bicycles as it did last year.A. downB. offC. toD. out2. The taxi is _____in this little town, but most people seem to prefer the bus.A. valuableB. availableC. acceptableD. considerable3.____had professor Smith finished his report when stormy applause broke out.A. scarcelyB. no soonerC. NeverD. Seldom4. We don't agree with his view ____there is no advantage in introducing the new method.A. whichB. thatC. whatD. when5. The noise around was terrible, but they had to ____itA. put up withB. keep up withC. come up withD. catch up with6. He prefers to read books ____watch TV.A. other thanB. better thanC. rather thanD. more than7. I'm pleased with ____ you have told me.A. thatB. all thatC. all whatD. which18. The prices of the products have been ____ steadily in the past few years.A. risenB. raisedC. arisenD. aroused9．There isn’t ____ good news in today's newspaper.A. manyB. muchC. littleD. a few10. When ____ ,the novel will become one of the best-sellers of the year.A．publishing B. being published C. have published D. publishedSection BDirections: There are 10 incomplete statements here. You should fill in each black with the proper form ofthe word given in the brackets. Write the word or words in the corresponding space on the ANSWER SHEET.11. The France have put forward a (propose) ___________ for a joint project.12. Without a protection program, experts feat that lowland forests are likely (vanish) _________ within fiveyears.13. Many a man ____________ (think) life is meaningless without a purpose.14. He is so stupid that he seems to be (capable) ___________ to understand the simple instructions.15. Children from (break) ____________ families seem to be more self-dependant and prefer acting on their own.16. He was found guilty of crime and put into prison that is the place for punishing the (crime) __________.17. The husband has almost been driver mad by his wife's (end) ____________ complaints.18. I'm sure there is a bank somewhere in the (neighbour)____________ of the railway station.19. The little boy finally managed (find) __________ what he was looking for.20. He has decided to devote (him) ____________ to helping blind people.Part Ⅱ .Reading Comprehension (1 point×20=20 points)Directions: There are four reading passages in this part. Each passage followed by some questions or unfinishedstatements. For each of then there are four choices marked A,B,C and D. Write your answers on the ANSWER SHEET.12The sale of gods and services is not restricted, to local regional or national markets; it often takes placeon international basis. Nation import goods that they lack or cannot produce as efficiently as other nations,and they export goods that they can produce more efficiently. This exchange of goods and services in the world,or global market is known as international trade. There are there main benefits to be gained form this type ofexchange.First, international trade marks scarce goods available to nations that need or desire them. When a nation lacks the resources needed to produce goods domestically, it may import them form anther country.Second, international trade allows a nation to specialize in production of those goods for which it isparticularly suited. This ofter results in increased output, decreased costs, and higher national standard ofliving. Natural, human, and technical resources helpdetermine which products a nation will specialize in.There are two economic principles that help explain how and when specialization is advantageous. Accordingto the theory of absolute advantage, a nation ought to specialize in the goods that it can produce more cheaply than its competitors or in the goods that no other nation is able to produce. According to the theory of comparative advantage, a nation ought to concentrate on the products that it can produce most efficiently and profitably.The third benefit of international trade is its political effects. Nations that trade together develop commoninterests which may help them overcome political differences. Economic cooperation has been the foundation formany political alliances.21. Nations import goods they __________.A. produce efficientlyB. specialize inC. lack or can't produce efficientlyD. do not need or desire22. Specialization often results in ___________.A. increased outputB. decreased costsC. higher standard of livingD. all of the above23. What is the best title for this passage?A. Three BenefitsB. Why Nations TradeC. What is International TradeD. Two Economic Principles24. According to the passage, if the U.S is able to specializein the computer industry, it is due to its___________ resources.A. naturalB. technicalC. humanD. international325. Here are some advantages of international trade concerning importing nations except ___________.A. A great variety of goods is availableB. The national standard of living is raisedC. The international market gets floodedD. Foreign competition endangers domestic industries2To be good teacher, you need some of the gifts of a good actor: you must be able to hold the attention andthe interest of your audience; you must be a clever speaker, with a good, strong, pleasing voice which is fully under your control; and you must be able to act what you are teaching, in order to make its meaning chlear.The fact that a good teacher has some of the gifts of a good actor doesn't mean that he will indeedbe able to act well on the stage, for there are very important differences between the teacher's work and theactor's. The actor has to speak words which he has learnt by heart; he has to repeat exactly the same wordseach time he plays a certain part, even his movements and the ways in which he uses his voice are usually fixed beforehand. What he has to do is to make a ll these carefully learnt words and actions seen natural on the stage.A good teacher works in quite a different way. His audience takes an active part in his play : they ask andanswer questions, they obey orders, and if they don't understand something ,they say so. The teacher therefore has to suit his act to the needs of his audience, which is his class. He can not learn his part by heart, butmust invent it as he goes along.26. What is the passage about?A. How to become an ordinary teacher.B. What a good teacher should do.C. What teachers and actors could learn form each other.D. The similarities and differences between a teacher's work and an actor's.27．The world "gifts" in line 2 means____________.A. presentsB. talentsC. something belonging to a good actorD. the way a teacher should act in class28. In what way is a teacher's work different form an actor's?4A. The teacher must learn everything by heart.B. He knows to control his voice bettor than an actor.C. He has to deal with unexpected situations.D. He has to use more facial expressions.29. Which of the following is true?A. A teacher has no learn by heart what exactly he is going to say in class.B. A teacher cannot decide beforehand what exactly he is going to say in class.C. A teacher voice must be nicer than an actor's.D. A teacher must have a better memory than an actor.30. According to this passage, which is the best title?A. Teacher and ActorsB. Educational systemC. A Good TeacherD. How to Become a Good Actor3Albert Einstein had s great effect on science and history, greater than only a few other men have achieved. An American university president once commented that Einstein had created a new outlook, a new view of the universe. It may be some time before the average mind understand fully the identity of time and space and on but even ordinary men understand now that the universe is something larger than ever thought before.By 1914 the young Einstein had gained world fame. He accepted the offer to become a professor at the Prussian Academy o f Science in Berlin. He had few duties. little teaching and unlimited opportunities for study, but soon his peace and quite were broken by the First World War.Einstein hated violence .the misery (悲惨) of war affected him deeply, and he sat unhappily in his office doing little. He lost interest in his research. Only when peace came 1918 was he able to get back to work.In the years following World War Ⅰhonors were increasingly heaped on him . He became the head of the KaiserWhihem Institute of Theoretical Physics. In 1921 he won the Nobel prize, and he was honored in Germany untilthe rise of rise of Nazism when he was driven form Germany because he was a Jew.31. The main idea of the first paragraph is _________________.A. the time when people know Einstein5B. the filling of an American collage presidentC. the change in human thought produced by EinsteinD. the difficulty of Einstein's thought to teacher.32. according to the American university president,____________.A. everyone understands Einstein's theory today.B. Einstein achieved more than any other scientists in historyC. the theory of relativity can be quickly learned by everyone.D. Our ideas about the universe are different today because of Einstein.33. According to paragraph 2, Albert Einstein,__________.A. was a famous chemistB. herded a research instituteC. was famous in the worldD. enjoyed reading about war34. According to the passage Einstein did his greatest work_____________.A. during World War IB. when he was youngC. when Nazism roseD. between 1906~191535. It may be concluded that____________.A. Albert Einstein was forced to serve in the German army.B. Albert Einstein had no other interests besides science.C. Germans usually have a high respect for science.D. his reputation was ruined because of his work during World War I.4About the year 1900.a small, dark-haired boy named Charles Chaplin was often seen waiting outside the backentrances of Loneon theatres. He looked thin and hungry but his blue eyes were determined. He was hoping to get work in show business for he could sing and dance. His parents were music hall artists and he had been born into the life of the stage. And, although his own boyhood was painfully hard ,he know how to mark people laugh.6His own father had died form drinking too much. And his mother wasn't really able to look after Charles andhis elder half-brother. Sid, because she was often sick in mind and had to be sent into hospital. Even when shewas home with them she seemed to live in a different world. Her illness made the boys very sad.As young men, he and his brother traveled to American in a small company of actors and acted in variouscities. One day Charles was invited to join a new company that was making film comedies (喜剧) . He accepted the offer and soon because popular.By the time he was thirty, Chaplin was the greatest, best known, and best loved comedian in the world. He had formed his own film-marking company and was writing and producing his own films. He was welcome by excited crowds who surrounded him wherever he went. But he worked very hard and had few close friends.36. Charles Chaplin lived in _______when he was a boy.A. AmericaB. IrelandC. LondonD. a different world37. Chaplin hoped _________ even in his childhood.A. to sing and danceB. to travel to AmericanC. to produce filmD. to be an actor38. From the passage, we know that Chaplin's mother_____________.A. was a dance artistB. stayed at home everydayC. had some mental illnessD. could look after her family39. After he accepted the offer by ______, Chaplin became successful and popular.A. a comedy film companyB. a small company of actorsC. his elder brother SidD. a famous company40. When he was _______, he said his own film-making company.A. a childB. about thirty years oldC. going to AmericanD. very oldPart Ⅲ .Cloze (1 point×20=20 points)7When Mr. Finch retired, he bought a small cottage in s seaside village. The cottage was built 41 fifteeneighty-eight, but was in very good 42 , Mr. Finch was looking forward 43 a quiet life, but in the summer h olidays he got a 44 ,Hundreds of tourists came to the seaside village. Mr. Finch's cottage was the 45 interestingbuilding in the village and many of the tourists 46 to see it. Form morning till night there were touristsoutside the cottage. They kept 47 through windows and many of them even went into Mr. Finch's garden. This was too 48 for Mr. Finch. He decided to drive the unwelcome victors 49, so he put notice in the window. The notice said: 'if you want to 50 your curiosity, come in and look round. 51: ten pence.' Mr. Finch was sure that thevisitors would stop 52. But he was wrong. The 53 of visitors increased and Mr. Finch 54 every day showing themround his cottage, 'I came here to 55, not to work as a guide,' he 56 .In the end ,he sold the cottage. 57 boughta small, modern 58 .It is an uninteresting little 59 and no one wants to see it. But it is 60 quiet and peaceful!41. A. in B. at C. on D. of42. A. situation B. place C. condition D. area43. A. on B. at C. for D. to44. A. fear B. frighten C. surprising D. shock45. A. more B. less C. most D. much46. A. arrived B. came C. went D. walked47. A. looked B. to look C. looking D. look48. A. many B. much C. great D. more49. A. up B. off C. away D. out50. A. have B. make C. get D. satisfy51. A. Price B. Pay C. Money D. Expense52. A. to come B. come C. came D. coming53. A. statistics B. digit C. number D. numbers54. A. took B. spent C. used D. offered55. A. retire B. spent C. enjoy D. relaxing56. A. said B. talked C. complained D. told57. A. and B. then C. so D. as858. A. room B. house C. garden D. village59. A. place B. space C. point D. scene60. A. completely B. certainly C. clearly D. greatlyPart Ⅳ .Translation from English into Chinese (4 point×5=20 points)1."Please do let me in ! They are searching for me.", he begged. (副词译成动词)2．They are going to build a school for the blind and the deaf. (形容词译成名词)3．But listen, I met a man, who said you could hire. (定语从句的译法)4．They, not surprisingly, did not respond at all. (分句法)5．Robert Finn was dismissed by the boss of the factory.（被动语态的译法）Part Ⅴ. Writing (20 points)Directions : This part is going to test your ability to do practical writing. You are required to write an invitation letter according to the information given in Chinese below.以个人名义给杨先生写一封邀请函，邀请他访问本翻译研究中心：1．时间：邀请杨先生于1991年8月至9月末。

2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求).111(lim 0x ex xx --+-→ （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 12s i n l i m2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a= 21 . 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ]【分析】 关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小. 【详解】 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22c o s 0y x +≤)c o s (22y x +≤≤222)c o s (y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos<+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A). （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ D ]【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】 取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C), 故应选(D).事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(B) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】 先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x x x f s i n c o s)(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [ A ]【分析】 题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】 由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A). （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ D ]【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ C ]【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ， 故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂， 所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y ' （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y x D⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】 设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ， ∑∞=+=121121)(n n x n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x由于∑∞==122)(n n xx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n , 因此 ⎰-++-=-=xx x x dt t t x xS 022111ln 211)(， 又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x x x x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()( 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】 方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'x g x f dt t g t f dt t f t g 010)1()()()()()(， 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'1010)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ， 而 ⎰⎰⎰'-=='10101010)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g =⎰'-10)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0. 因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有⎰⎰≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dx x g x f x f x g dx x f x g 000)()()()()()( =⎰'-a dx x g x f a g a f 0)()()()(， ⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 010)()()()( =⎰⎰'+'-100)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a ⎰'+1.)()()()(a dx x g x f a g a f由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈，⎰⎰-='≥'1010)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ， 从而 ⎰⎰'+'a dx x g x f dx x f x g 010)()()()( ).1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.【分析】 方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】 方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ， 从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321， 故T )1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211， 显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101， 显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1； （II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】 (I) 因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T mT E A C o E P 1，有 DP P T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T m E A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o A T 1. （II ）矩阵C A C B T 1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o A M T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T 1--为对称矩阵. 对T X )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ） .4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且 ),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E（I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()( =∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(211X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112222σσσn n n -=+- （III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+ =)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++ =222)2(2]211[σσσ=-=--+-c n n n n n n n c ， 故 .)2(2-=n n c。

------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是____________________. 2．___________________________)4(1lim2=-+-∞→x x x x .3．（1）x 轴在空间中的直线方程是________________________.（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是._____________________4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy .（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________.姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,00,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰-11)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4．可微函数),(y x f z =在点),(00y x 处有0=∂∂=∂∂yz x z 是函数),(y x f z =在 点),(00y x 取得极值的（ ）.(超纲,去掉) )(A 充分条件， )(B 必要条件，)(C 充分必要条件， )( D 既非充分条件又非必要条件.5．设级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a是（ ）.)(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）1．求函数xx x y )1(2+-=的导数.2. 求函数1223+-=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.3. 求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数nn dxfd .4．计算积分⎰-+-012231dx x x .5．计算积分⎰+dx e x 211.------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------6．计算积分⎰-+12)2(dx e x x x.7．设函数)sin()cos(y x xy z ++=，求偏导数x z ∂∂和yx z ∂∂∂2.(超纲,去掉).姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数，并求出它的收敛区间.9.求二阶微分方程x y dx dydx y d =+-222的通解.10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值，其中a 表示向量a 的模. .四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）1．计算积分⎰++π212sin 212sinxdx m x n ，其中m n ,是整数.2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，（2）当ac b 832<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.------------------------2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

山西省专升本考试大学数学真题2015年(经贸类)(总分：149.99，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(lnx)的定义域为______（分数：3.00）A.(-∞，+∞)B.[1，e] √C.[0，1]D.(0，e]解析：[解析] f(x)的定义域为[0，1]，对于f(lnx)来说应满足0≤lnx≤1，即1≤x≤e，故应选B．2.当x→0时，x 2的______（分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小√C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：[解析] 因为所以是x 2的低阶无穷小，故应选B．3.设z=e x cosy，则（分数：3.00）A.exsinyB.ex+exsinyC.-excosyD.-exsiny √解析：[解析D．4.若f(x)有原函数e x，则（分数：3.00）A.ex(1-x)+CB.-ex(1-x)+C √C.ex(1+x)+CD.-ex(1+x)+C解析：[解析] 因为f(x)=(e x )"=e x．所以，故应选B．5.对于函数f(x，y)=x2+xy，原点(0，0)______（分数：3.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点√C.是极大值点D.是极小值点解析：[解析(0，0)是驻点，但在点(0，0)的去心邻域内显然有使函数大于0的点，也有使函数小于0的点，因此(0，0)是函数的驻点而非极值点，故应选B．三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)（分数：3.00）解析：[解析7.设x=0处连续，则k= 1．（分数：3.00）解析：2 [解析] 因为f(0)=k，因为f(x)在x=0处连续，所以k=2．8.设函数f"(lnx)=2x+1，则f (2015) (x)= 1．（分数：3.00）解析：2e x [解析] 因为f"(lnx)=2x+1=2e lnx +1，所以f"(x)=2e x +1，f (2015) (x)=2e x．9.点(0，1)是曲线f(x)=x 3 +ax 2 +b的拐点，则a= 1．（分数：3.00）解析：0 [解析] 由题设知所以b=1，a=0．10.不定积分为（分数：3.00）解析：ln|x+sinx|+C[解析11.设D是由直线所围成的闭区域，则（分数：3.00）解析：2[解析]12.在空间直角坐标系中，以A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的△ABC的面积为 1．（分数：3.00）解析： [解析]所以△ABC的面积13.微分方程 1．（分数：3.00）解析： [解析] 由两边积分，得即其中C为任意常数．14.向量组α1 =(1，2，-1，1)，α2 =(2，0，3，0)，α3 =(-1，2，-4，1)的秩为 1．（分数：3.00）解析：2 [解析因此，α1，α2，α3的秩为2．15.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为 1．（分数：3.00）解析：0.25[解析] 袋内共10个球，任取3个有种取法，恰取到一红、一白、一黑3个球有种五、解答题(总题数：11，分数：105.00)16.求极限（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()17.设函数y=(x 2 -3x) cos2x，求（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：两边同取自然对数，得lny=cos2x·ln(x 2 -3x)，两边同对x求导，得18.计算，其中（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()19.已知某产品的需求函数为C(Q)=50+2Q，问产量为多少时，利润最大?利润最大时，商品定价多少?（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：总利润函数为因此令L"(Q)=0，得Q=20；由于，所以产量为20时，利润最大．利润最大时，商品价格为20.求曲面e z -z+xy=3在点(2，1，0)处的切平面及法线方程．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令F(x，y，z)=e z -z+xy-3，则曲面在(x，y，z)处的切平面的法向量n={F x，F y，F z )={y，x，e z -1)，n| (2，1，0) ={1，2，0}，曲面在点(2，1，0)处的切平面方程为1·(x-2)+2(y-1)+0·(z-0)=0，即x+2y-4=0．所求法线方程为21.计算，其中D是由y=0所围成的闭区域．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：积分区域如图所示，由解得交点为A(1，1)．则区域D表示为所以22.求微分方程y"+6y"+13y=0的通解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：该方程的特征方程为r 2 +6r+13=0，解得特征根为r 1,2 =-3±2i，故所求方程的通解为y=e -3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，其中C 1，C 2为任意常数．设随机变量X9.99）(1).常数A；（分数：3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由，即所以3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(3).分布函数F(x)．（分数：3.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()10.00）(1).求出A-E，问A 2 -E是否可逆，若可逆说明理由，并求出(A-E) -1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为|A-E|=-1≠0，|A 2 -E|=-9≠0，故A-E与A 2 -E均可逆，又A-E为初等矩阵，易知(2).问是否存在三阶方阵X，使得AX+E=A 2 +X，若存在，求出矩阵X．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由AX+E=A 2 +X，得(A-E)X=(A-E)(A+E)，又A-E可逆，上式两边同时左乘(A-E) -1得23.解线性方程组（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：用初等行变换把该线性方程组所对应的系数矩阵A化为行最简形矩阵：与原线性方程组同解的方程组为取x 3，x 4为自由未知量，得所以，该方程组的通解为24.设z=f(x 2 +y 2 )，其中f具有二阶导数，求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设u=x 2 +y 2，则z=f(u)，。

第一章 函数与极限一. 基础题1. 设映射:,,.f X Y A X B Y →⊂⊂证明 (1) ()()();f A B f A f B ⋃=⋃ (2) ()()().f A B f A f B ⊂证 (1)(),y f A B x A B ∈⇔∃∈ 使得()y f x =x A ⇔∈或x B ∈,且()y f x =()y f A ⇔∈或()y f B ∈()()y f A f B ⇔∈ .(2)(),y f A B x A B ∈⇒∃∈ 使得()y f x =x A ⇒∈且x B ∈, ()y f x =()y f A ⇔∈且()y f B ∈()()y f A f B ⇒∈ .2. 设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内单调增加.证 设120l x x -<<<,则120x x l <-<-<,由()f x 在(0,)l 内单调增加得21()()f x f x -<-.又()f x 为(,)l l -内的奇函数,故21()()f x f x -<-,从而21()()f x f x >,即()f x 在(,0)l -内单调增加.3.设()ln(f x x =,讨论它的奇偶性. 解 显然()f x 的定义域是(,)-∞+∞.又因为()ln[ln(f x x x -=-+=-+ln=ln(()x f x ==-+=-.所以()f x 为奇函数.4. 设1(1),21xf x x +-=-求()f x . 解 设1,u x =-得1x u =-,于是()()()11221112u uf u u u+--==---,从而()212x f x x -=-.5. 设数列{}n x 的一般项为1sin 3n n x n π=.问lim n n x →∞=?求出N 使当n N >时n x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出N .解 lim 0n n x →∞=.我们证明如下:0,ε∀>为使110sin 3n n x n n πε-=≤<,只需1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0n x ε-<.当0.001ε=时, 取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1000==1000,此时只要1000n >,就有00.001n x -<.6. 用极限定义证明:(1)1n →∞=; (2)lim0.99991n n→∞= . (3) 21214lim 2;21x x x →--=+(4)lim 0x =证 (1)0,ε∀>为使1a nn nε=≤=<,只需an ε>.取aN ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,1ε-<,即lim 1n n→∞=.(2) 0ε∀> (不妨设1ε<),为使10.9999110n nε-=<,只需1lg n ε>.取1lg N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0.99991nε-< ,即 lim0.99991n n→∞=. (3) 因为11,22x x →-≠- 0ε∀>,为使214121222()212x x x x ε--=--=--<+,只需1()22x ε--<.取2εδ=,则当10()2x δ<--<时,就有214221x x ε--<+.故21214lim 2;21x x x →--=+ (4) 因为,x →-∞所以0x <.又10x-≤≤=-,为使0ε-<只需1x ε<-.所以0ε∀>,取1X ε=,则当x X <-时, 就有0ε-<.故21214lim 221x x x →--=+. 7. 设2()f x x =.问2lim ()x f x →=?求出δ使当2x δ-<时()f x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出δ.解 22lim 4x x →=.我们给出如下证明.0,ε∀>由于2,x →不妨设13x <<.为使2()44(2)(2)52f x x x x x ε-=-=+-≤-<,只需25x ε-<.取5εδ=,则当2x δ-<时,就有()4f x ε-<.当0.001ε=时, 取0.0002δ=,此时只要20.0002x -<,就有()40.001f x -<. 8.证明函数()f x x =当0x →时极限为零.证明 0,ε∀>为使()000f x x x x ε-=-==-<,只需取5εδ=,则当0x δ-<时,就有0x ε-<,即0lim 0x x →=.9.求(),()x xf x x x xϕ==当0x →时的左、右极限,并说明它们的极限是存在. 解 000l i m ()l i m l i m 11,x x x x f x x +++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 11.x x x xf x x ---→→→=== 由于0lim ()x f x +→=0lim ()x f x -→1=知0lim ()1x f x →=；0000lim ()lim lim lim11,x x x x x x x x x ϕ++++→→→→====0000lim ()lim lim lim 1 1.x x x x x x x x x ϕ----→→→→-==-=-由于lim ()x x ϕ+→≠0lim ()x x ϕ-→1=知0lim ()x x ϕ→不存在． 10．根据定义证明： （１）21(1)sin (1)y x x =--为当0x →时的无穷小； （２）12xy x+=为当0x →时的无穷大．问x 应满足什么条件，能使410y >． 证（１）0,ε∀>为使22110(1)sin 0(1)sin 1(1)(1)y x x x x x ε-=--=-≤-<--,只需取δε=,则当01x δ<-<时,就有21(1)s i n 0(1)x x ε--<-,即21(1)sin(1)y x x =--为当0x →时的无穷小. （２）0M ∀>，为使121122x M x x x +=+≥->，只要12M x->，即12x M <+． 因此，取1,2M δ=+当00x δ<-<时，就有12xM x +>．故12x y x +=为当0x →时的无穷大．当410,M =取4112102M δ==++时，就能使41210xy x +=>．11．求极限21lim x x x →∞+并说明理由．解 21lim x x x →∞+＝1lim(2)2x x→∞+=．理由：令()2f x α=+，其中1xα=．因为x →∞时，x 是无穷大，由无穷大与无穷小的关系知1xα=为无穷小．再由无穷小与极限的关系得1lim(2)2x x →∞+=．12. 计算下列极限:(1) 220()lim h x h x h→+-; (2) 22468lim 54x x x x x →-+-+;(3) 2468lim 31x x x x x →∞++-+; (4) 2lim(21)x x x →∞-+;(5) 32121lim()82x x x →---; (6)12(1)lim [()()()]n a a n ax x x n n n n→∞-++++++ ;解 (1) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h →→→+-++-==+=. (2) 2244468(4)(2)22lim lim lim 54(4)(1)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) 223443416868lim lim031311x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+ (4) 因为22211lim lim 011212x x x x x x x→∞→∞==-+-+,所以2lim(21)x x x →∞-+=∞.(5) 2332222121122(2)(4)lim()lim lim 828(2)(42)x x x x x x x x x x x x x →→→---+-==----++ 2241lim 422x x x x →+==++. (6) 原式=1lim [(1)(12(1)]n an x n n n →∞-++++-=1(1)lim [(1)]2n a n n n x n n →∞--+=2ax +. 13.利用有界变量与无穷小之积仍为无穷小计算下列极限:(1)201lim cosx x x →; (2)arctan lim x xx→∞.解 (1) 因为0,x →所以2x 0→,1cos 1x≤.故201lim cos 0x x x →=.(2) 因为,x →∞所以1x 0→,arctan 2x π<.故arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞==. 14.利用两个重要极限计算下列极限:(1) 0sin lim(0,0)x xxααββ→≠≠; (2) 20tan(1)lim 2x x x x →-+-;(3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-; (4) lim 2sin (2nn n x x →∞为不等于零的常数) (5)120lim(13)x x x →-; (6) 21lim()xx x x→∞+. 解 (1) 00sin sin limlim .x x x x x x x x ααααβαββ→→== (2) 2000tan(1)tan(1)tan(1)11lim lim lim 2(1)(2)122x x x x x x x x x x x x →→→---==∙=+--+-+. (3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-202sin 6sin lim sin 3x x xx→-=2220sin 6sin (3)642lim 6sin 3(3)3x x x x x x x x x x →⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (4) 22sin 2lim 2sin lim 22n n n n x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(5) 120lim(13)x x x →-=1(3)13232lim (13)e x xxx x ---→⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.(6) 21lim()x x x x →∞+=221lim e xx x x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 15.当0x →时,无穷小(1)x π-和(1)31x -,(2)sin x π是否同阶?是否等价?解 (1)因为322111(1)(1)lim lim lim 1(1)(1)13x x x x x x x x x x x ππππ→→→--===--++++,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和31x -同阶,但不等价.(2) 因为111sin sin (1)sin (1)lim lim lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ππππππ→→→---===---,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和sin x π是等价的.16.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)0sin lim (,(sin )nm x x n mx →为正整数); (2)30sin tan lim sin x x x x→-;(3)0x →. 解 (1)000,,sin limlim 1,,(sin ).n n m m x x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨∞<⎪⎩ (2) 因为332000sin tan sin (1sec )1sec lim lim lim sin sin sin x x x x x x x xx xx →→→---==,而2220002sin 1sec 1cos 112lim lim lim 1cos cos ()222x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以 233220000sin tan sin (1sec )1sec 12lim lim lim limsin 2x x x x x x x x x x x x →→→→----====-.(3)0x →=0x →201sin x x →=+ =201cos x x x →- =1114612-+=-. (21cos 12x x - ). 17.讨论下列函数的连续性:(1).()(11)f x x x =+-; (2) {,11,()1,1 1.x x f x x x -≤≤=<->或 解 (1) 222,1,(),1,,1.x x x f x x x x x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩当1x <或1x >时()f x 为初等连续函数,所以连续;当1x =时,有221111lim ()lim 1(1),lim ()lim(2)1(1),x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→====-== 因此()f x 在1x =连续函数,故()f x 在定义域(,)-∞+∞内连续. (2) 显然()f x 在(,1)-∞-与(1,)-+∞内连续.而在1x =-11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==- ,但 11lim ()lim 11,x x f x --→-→-== 即 11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠.故()f x 在1x =-间断. 18.试确定,a b ,使函数1sin ,0,(),0,1sin .0.x x x f x b x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续.解 显然()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞内连续.而在分断点0x =处,由于1lim ()lim sin 0.x x f x x x++→→== , 001lim ()lim (sin )1,x x f x x a a x--→→=+=+ 根据 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==, 得 10,a b +== 即 1,0a b =-=.19.求下列函数的间断点,并确定其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) 1e ,0,()0,0,1arctan .0.x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩(2) ()tan x f x x =; (3)221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解 (1)()f x 为分段函数,当0x ≠时, ()f x 显然连续.当0x =时,因为11lim ()lim e 0,lim ()lim 2xx x x x f x f x arctan x π--++→→→→====. 所以0x =是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点). (2) ()f x 的无定义点为(0,1,2,)2x k x k k πππ=+==±± 和.对0x =, 因为0lim 1,tan x xx→=所以0x =是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:1,,,(0,1,2,)tan 2()1,0,x x k k k x f x x πππ⎧≠+=±±⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩则1()f x 在0x =处连续. 对(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± ,因为2lim0,tan x k xxππ→+=所以2x k ππ=+(0,1,k =±2,)± 是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:2,,,tan 2()(0,1,2,)0,,2xx k k x f x k x k πππππ⎧≠+⎪⎪==±±⎨⎪=+⎪⎩.则2()f x 在(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± 处连续.对(0,1,2,)x k k π==±± ,lim,tan x k xxπ→=∞所以(0,1,2,)x k k π==±± 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点)(3) 221()lim1n nn x f x x x →∞-=+,1,0,1,,1.x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪<⎩为分断函数. 在分断点1x =-处,因为1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠.所以1x =-为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).在分断点1x =处,因为1111lim ()lim 1,lim ()lim()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以1x =为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).20.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限03lim (),lim ()x x f x f x →→-及2lim ()x f x →.解 因为()f x 在123,2x x =-=点无意义,所以123,2x x =-=这两个点为间断点.故函数()f x 的连续区间为(,3),(3,2),(2,)-∞--+∞.32200331lim ()lim 62x x x x x f x x x →→+--==+-.32222333333(1)(3)(1)8lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)5x x x x x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→-+---+-====-+-+--. 32222222233(1)(3)(1)lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)x x x x x x x x x x f x x x x x x →→→→+---+-====∞+-+--. 21.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数{}{}()max (),(),()min (),()x f x g x x f x g x ϕψ==在点0x 处也连续.证 因为 {}1()max (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ϕ==++-, {}1()m i n (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ψ==+--, 而连续函数的绝对值、和、差仍连续，故(),()x x ϕψ在点0x 处也连续.22.利用复合函数的极限与连续定理计算下列极限(1) 1lim1x x →- (2)sin sin limx a x a x a →--;(3)lim x →+∞;(4) x →∞(5); ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++;(6)0x →; 解(1) 12x x →→==.(2)2sin cos sinsin sin 222lim lim lim limcos cos 2x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a →→→→-+--+==⋅=---.(3) lim limx x →+∞=1lim2x==. (4)因为x x →∞=,而lim lim1x x →+∞==lim lim1x x →-∞==-故x →∞不存在.(5) ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++()()()()()()lim lim ()()x a x b x a x b x x x a x b x a b x a b ++++→+∞→+∞++=⋅++++()()()()1111lim lim lim lim (1)(1)(1)(1)b a x x x x x a x b x a x b b ab a b a x a x b x a x b →+∞→+∞→+∞→+∞++++=⋅=⋅⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦()11e .e ea b b a-+==(6) 00x x →→=0s i n l i m n x x x →=00s i n l i m l nx x x x x →→→=⋅=22220011)11112lim lim 1)2sin 2sin 22x x x x x x →→=⋅=. 23.证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一正根,并且它不越过a b +. 证 令()sin f x x a x b =--.显然()f x 在闭区间[0,]a b +上连续,(0)0,f b =-< ()[1sin()]f a b a a b +=-+.当sin()1a b +<时,()0f a b +>.由零点定理知,存在(0,)a b ξ∈+.使()0f ξ=,即ξ为原方程小于a b +的正根;当sin()1a b +=时, ()0f a b +=,a b +为原方程的正根.综合之, 方程sin x a x b =+至少有一正根,并且它不越过a b +.24.设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点,x y ,恒有()()f x f y L x y -≤-,其中L 为正常数,且()()0f a f b ⋅<.证明:至少有一点(,),a b ξ∈使得()0f ξ=.证 任取0(,),0,x a b ε∈∀>取00min ,,x a b x Lεδ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,则当0x x δ-<时,依假设有00()()f x f x L x x L δε-≤-<≤.所以()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, ()f x 在(,)a b 内连续. 当0x a =或0x b =时,取Lεδ=,当0x a δ<-<或0b x δ<-<时,有()()()f x f a L x a L x a L δε-≤-=-<≤.或 ()()()f x f b L x b L b x L δε-≤-=-<≤.故()f x 在x a =右连续, ()f x 在x b =左连续,从而()f x 在闭区间[,]a b 上连续.再借助()()0f a f b ⋅<及零点定理知,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.25. 若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< , 1,2,,n C C C 为任意正数,1(,)n x x 内至少有一点ξ, 使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .证 因()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又1[,][,]n x x a b ⊂,所以()f x 在1[,]n x x 上连续.设{}{}11max (),min ()n n M f x x x x m f x x x x =≤≤=≤≤.则有 112212()()()n n nC f x C f x C f x m M C C C +++≤≤+++ .若上面不等式为严格不等号,则由介值定理知, 存在1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .若上面不等式中出现等号,如112212()()()n n nC f x C f x C f x M C C C +++=+++ ,则有1122[()][()][()]0n n C M f x C M f x C M f x -+-++-= . 于是 12()()()n f x f x f x M ==== .此时任取121,,,n x x x - 中任一点为ξ,即有1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .同理可证112212()()()n n nC f x C f x C f x m C C C +++=+++ 的情形.26.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →∞存在,则()f x 必在(,)-∞+∞内有界.证 设lim (),x f x A →∞=则给定10ε=>,可存在0X >,当x X >时,有()1f x A ε-<=.从而()()1f x f x A A ≤-+<+.由假设,显然()f x 在[,]X X -上连续,故()f x 在[,]X X -上有界,即存在K ,使[,]x X X ∀∈-,有().f x K ≤取 {}max ,1M K A =+,则(,)x ∀∈-∞+∞,有()f x M ≤.二. 提高题1. 设1,1,()0, 1.x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()e xg x =，求[()]f g x .解 因为当0x ≤时，()e 1x g x =≤；当0x >时，()e 1xg x =>．所以1,0,(())0.0.x f g x x ≤⎧=⎨>⎩2. 计算下列极限.(1)n →∞; (2)2352limsin 53x x x x→∞++; (3)1101e lim ex x xx +→-+; (4)2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++;(5) x →+∞;(6))n →∞);(7) 0lim x +→(8) 11lim ln x x x x x →- (9) 120e e e lim()x x nx x x n→+++ ; (10) 2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求a ;(11)(0lim xx π+→;解(1)n→∞=limn→∞n==(2)当x→∞时, 有22sinx x.因此223523526lim sin lim53535x xx xx x x x→∞→∞++=⋅=++.(3)1111001e e1lim lim1e e1x xx xx xx x++-→→---==-++.(4)21 0013sin1 3sin cos cos3 lim lim(1cos)ln(1)2(1cos)ln(1)x xxxx x xx x xx xx x→→++== ++++.(5) 原式= limx→+∞lim0x→+∞==.(6))2) 1.n n nnπ→∞→∞→∞===(7) 由于当0x+→时,12x- ,21cos2xx- ,所以(200001cos1lim lim lim lim2122x x x xxxx++++→→→→-====⋅⋅+.(8) 由于当1x→时,lne1lnx x x x- ,所以xlnx1111e1lnlim lim lim1ln ln lnxx x xx x xx x x x x x→→→--===. (9) 当0x→时, 有ln(1),e1kxx x kx+-,于是22001e e e1e e elim ln lim ln(1)x x nx x x nxx xnx n x n→→++++++-=+22001e e e1(e1)(e1)(e1) lim ln lim lnx x nx x x nxx xnx n x n→→+++--+-++-==2121lim(1).2xx x nx nnnx n→++++++===+故12e e elim()x x nxxx n→+++=1(1)2e n+.(10) 因为333233l i m l i m1l i m1ex a a xx xa x aax x xx a a ax a x a x a-⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以328l i m exaxx ax a→∞+⎛⎫==⎪-⎝⎭,故ln2a=.(11) ()00lim lim11)x xx xππ++→→⎡⎤=+⎣⎦2lim11)e.xπ+-→⎡=+=⎣3.比较下列无穷小:(1).当0→时，xxx++是x的几阶无穷小？(2).已知当x→1时，)(xf是1-x的等价无穷小，则)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的几阶无穷小？解：(1)81limxxxxx++→=1lim2141++→xxxxx=1所以当x→0时，xxx++是x的81阶无穷小.(2)当x→1时，)(xf 1-x,所以)]()(1ln[xxfxf+-=)()1(1ln[xfx-+ )1(-x)(xf 2)1(-x即当1x→时，)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的二阶无穷小.4．根据条件，解答下列各题：(1)当x0→时，1)1(31-+ax与1cos-x是等价无穷小，求a；(2)已知)1(lim2baxxxx--+→=0，（ba,为常数），求ba,;(3)设)(25)(22bkxxxxxf+-+--=，若)(lim xfx∞→=0，求k与b的值；(4)已知1)sin)(1ln(lim0-+→xx axxf=3,(),1,0≠>aa求2)(limxxfx→；(5)若xx xxfx1))(1(lim++→＝e，求xx xxf1))(1(lim+→；解(１)当0→x时，1)1(312-+ax≈23xa，1cos-x≈221x-，则当213-=a即a=23-时，两者是等价无穷小．(２因为1)()1(lim2+-+--∞→xbxbaxax＝０，所以1=a，1-=-=ab．(３)由)(lim xfx∞→＝2)2)(()5(lim2+++---∞→xxbkxxxx＝225)21()1(lim2+--++--∞→xbxbkxkx＝０．得01=-k，3,121-==⇒=++bkbk（４）由已知有,xxxfxx))(1ln(lim++→＝３，所以0sin)(lim=→xxfx．从而=-+→1)sin)(1ln(lim0xx axxfaxxxfx lnsin)(lim→＝axxfx ln)(lim2→＝３，故2)(limxxfx→＝aaaxxfxln3lnln)(lim2=⋅→．（５）由若xx xxfx1))(1(lim++→＝3e，得()ln(1)lim3xf xxxx→++=．所以 0()lim()0x f x x x→+=．从而 00()()ln(1)limlim 3x x f x f x x x x x x x→→+++==．故 0()lim 2x f x x x→=，因此 0()lim0x f x x →=． 由是()1()2()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x x x f x f x x x →→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．5.求下列函数的间断点,并判断其类型:(1)22(4),0,sin ()(1)0,,1x x x x f x x x x x π⎧-⎪<⎪=⎨+>⎪⎪-⎩ (2)11().1e xxf x -=- 解 (1)当0x <时,()f x 在1,2,x =-- 无定义.对于2x =-,28lim ()x f x π→-=,所以2x =-为()f x 的可去间断点.易验证1,3,4,x =--- 是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x >时, ()f x 在1x =无定义,且1lim ()x f x →=∞,所以1x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x =时,由于220000(1)(4)4lim ()lim 0,lim ()lim 1sin x x x x x x x x f x f x x x ππ++--→→→→+-====--,所以0x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.(2)0,1x x ==是()f x 的间断点.因为0011lim ()lim ,1e x x x x f x →→-==∞-所以0x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点; 又11111111lim ()lim 1,lim ()lim 01e 1e x xx x x x x xf x f x ++--→→→→--====--,所以1x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.6.设2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数,求,a b 的值.解 当1x <时,有lim 0n n x →∞=,从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++. 当1x >时,有lim nn x →∞=∞,从而21222212211()lim lim 111n n n n n n na b x ax bx x x x f x x x x---→∞→∞++++===++. 当1x =时,11(1),(1)22a b a bf f ++-+-=-=. 因为()f x 是连续函数,所以11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→→==即112a ba b ++=+=.及11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→-→-==- 即 112a ba b -+--=-=, 解之得0,1a b ==. 7．试确定,a b 的值，使e ()()()x bf x x a x b -=--有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．解 因为x e =是()f x 无穷间断点，所以a e =或b e =．若a e =，e ()()()x bf x x e x b -=--，再由1x =为间断点知1b =．此时11e 1lim ()lim ,()(1)x x x f x x e x →→-==∞--即1x =是()f x 无穷间断点，这与假设矛盾． 若b e =，e ()()()x ef x x a x e -=--，再由1x =为间断点知1a =．此时11e e lim ()lim ,lim ()lim ()(1)1()(1)x x x x x ex e e e ef x f x x e x e x e x →→→→--====∞-----． 因此地当1,a b e ==时， ()f x 有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．三. 考研试题１．（９０，３分）设函数,1,1,0,1)(>≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 则)](([x f f ＝ ．解 由)(x f 的定义知，当1≤x 时，有1)(=x f ．又1)1(=f ，于是当1≤x 时，复合函数1)](([=x f f ．当1>x 时，有0)(=x f ．又1)0(=f ，于是当1>x 时，复合函数1)](([=x f f ． 因此，对任意),(+∞-∞∈x ，有1)](([=x f f ．２．（03，4分）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（Ａ）n n b a <对任意n 成立． (B) n n c b < 对任意n 成立． (C)极限0lim =∞→n n n c a 不存在． (D ）极限0lim =∞→n n n c b 不存在．解 因为由数列极限的不等式只能得出数列“当n 充分大时”有相应的不等式，而不能得出“对于任意n ”成立的不等式，所以(A)、（B ）不对．又因为“无穷小与无穷大之积”是未定型，极限可能存在也可能不存在，故（Ｃ）也不对．因此应选（Ｄ）．３（92，3分）．当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限 （Ａ）等于2． （Ｂ）等于0．（Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞解 因为002e )1(lim e 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x x x x ， ∞=+=---→-→++1111121e )1(lim e 11lim x x x x x x x ．所以当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限不存在，也不为∞．故应选（Ｄ）． ４．（00，5分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x xx x sin e 1e 2lim 410．解 当0→x 时，对x1e 与x ，都必须考虑左、右根限．110sin e 1e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x xx x x x x x ， 110102sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 410410=-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x ． 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2lim 410＝１． 5.（93，5分）求xx xx )1cos 2(sin lim +∞→．解 )11cos 2(sin 1cos sin 1)11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim -+⋅-+∞→∞→-++=+x x x xx x x x xx x x ． 而 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 111cos 12sin lim 111cos 2sin lim)11cos 2(sin lim2021212sinlim 2=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→x x xx x ． 故 2)11cos 2(sin 11cos 2sin 1e )11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim =-++=+-+⋅-+∞→∞→x x x xx x x x xx x x ．６．（０３，４分）21ln(1)lim(cos )x x x +→=解 因为)1ln(1cos 1cos 10)1ln(1)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x x x x x +-⋅-→+→-+=．而212lim )1ln(1cos lim 22020-=-=+-→→x x x x x x ．故 )1ln(1cos 1cos 10)1ln(122)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x xx x x +-⋅-→+→-+==21e-．７．（９７，３分）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→． 解 注意到,1)1ln(lim ,1sin lim00=+=→→xx x x x x 则 23)1ln()cos 1(1cossin 3lim )1ln()cos 1(1cos sin 3lim20=+++=+++→→x x x x x x x x x x x x x x ． 8．（97，3分）设{=)(x f 0,0,)(cos 2=≠-x a x x x 在0=x 处连续，求a 的值．解 1e e lim )(cos lim )(lim 0cos ln 022=====-→-→→xxx x x x x x f a ．9．（95，3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n 22222211lim ． 解 记=n x n n n nn n n +++++++++22222211 ，则)21(11)21(2122n n x n n n n ++++≤≤++++ ． 故由夹逼法则得21)21(11lim )21(21limlim 22=++++=++++=∞→∞→∞→n n n n n x n n n n ．四.测试题１．单项选择题：（１）设22(),(())2,x f x x f x ϕ==则()()x ϕ=（Ａ）．2x （).2x B （Ｃ）2.log x （Ｄ）．22log x ．（２）函数()log ((1)a f x x a =+>为（ ）（Ａ）．有界函数 （).B 偶函数 （Ｃ）．奇函数 （Ｄ）．非奇非偶函数（３）011lim(sin sin )()x x x x x →+=．（Ａ）．０ （B ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）．不存在．（４）0lim (xx x a x a →⎛⎫ ⎪+⎝⎭为常数)等于（ ） （Ａ）．e a - （Ｂ）．e a （Ｃ）．1e a - （Ｄ）． 1e a-（５）0ln(1sin )lim()x x x→-= （Ａ）．e Ｂ．e - Ｃ．1 Ｄ． 1- （６）设()232xxf x =+-，则当0x →时，有（ ）（Ａ）．()f x 与x 是等价无穷小 （Ｂ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （Ｃ）．()f x 是比x 高阶的无穷小 （Ｄ）．()f x 是比x 低阶的无穷小２．填空题（１）设函数()f x 的定义域为[1,1]-，则(ln )f x 的定义域为 ．（２）若214lim3,1x x ax x →-+=--则a = ． （３）设22,11(),1x bx x x f x a x ⎧++≠⎪-⎪=⎨=⎪⎪⎩，在点1x =处连续，则 b = ，a = ．３．计算题 （１）cos sin lim(0)cos sin 2n nn n n θθπθθθ→∞-≤≤+； （２）11021lim21xx x →-+； （３）10lim (0,0,0)3x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭； （４）()tan 2lim sin xx x π→. ３．设()lim e x x xxxn n n f x n n ---→∞-=+，研究()f x 的连续性． ５．证明下列各题：（１）设()f x 在[,]a b 连续，且a c d b <<<a c d b <<<，证明：在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+其中,p q 为任意正常数．（２）设()f x 在[0,1]上连续，又设()f x 只取有理数，且1()22f =，试证()f x 在[0,1]上处处为()2f x =．测试题解答１．（１）（Ｂ）；（２）（C ）；(3) （B ）；(4) (A)；(5) （D ）；(6) （B ）. 2．（１）1[,e]e；（２）5a =；（３）1a =，3b =-；３．（１）当04πθ≤≤时，有sin limlim tan 0cos n nn n n θθθ→∞→∞==，从而 sin 1cos sin os lim lim 1sin cos sin 1os n n n n n n n n n n c c θθθθθθθ→∞→∞--==++； 当4πθ=时，有sin cos 2θθ==，从而cos sin lim 0cos sin n n n n n θθθθ→∞-=+； 当42ππθ<≤时，有cos lim lim cot 0sin n nn n n θθθ→∞→∞==，从而os 1cos sin sin lim lim 1os cos sin 1sin n n n n n n n n n n c c θθθθθθθθ→∞→∞--==-++． (2) 因为11100111212lim lim 1,11212x x x x x x++→→--==++1102101lim 10121x x x -→--==-++,所以11021lim 21x x x →-+不存在. (3) 因为1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxx x x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,而3303lim 1e 3xxx x x xab c x a b c ++-→⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭,000111limln ,lim ln ,lim ln x x x x x x a b c a b c x x x→→→---===. 故1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxxx x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11(ln ln ln )33e()a b c abc ++==.(4) 因为()()1tan (sin 1)tan sin 122lim sin lim 1(sin 1)xx x x x x x x ππ⋅-⋅-→→=+-()(sin 1)tan 1sin 12lim 1(sin 1)x xx x x π-⋅-→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.而 ()1s i n 12l i m 1(s i n 1)ex x x π-→+-=, 222sin (sin sin )2lim(sin 1)tan lim(sin 1)tan limsin()2x x x x x x x x x x πππππ→→→--=-=+2222sincos22limsin 222sin cos 22x x x x x x πππππ→-+=⋅++=2sin()24lim sin 0sin()24x x x x πππ→-=⋅=+. 故()tan 2lim sin 0xx x π→=.５．0x >时，有221()lim e lim e e 1x x x x x xx x xn n n n n f x n n n -------→∞→∞--===++；当0x =时，有11()lim e lim e 011x x x xxx n n n n f x n n ----→∞→∞--===++； 当0x <时，有221()lim e lim e e 1x x x x xx xx x n n n n n f x n n n -----→∞→∞--===-++． 故e ,0()0,0e ,0x xx f x x x --⎧-<⎪==⎨>⎪⎩．而0lim ()lim e 1,lim ()lim e 1x x x x x x f x f x --++--→→→→=-=-==，所以()f x 在(,)-∞+∞内除0x =为第一类间断点外，其余各点都连续．５．证（１）令()()()()()F x p q f x pf c qf d =+--，则()F x 在[,]c d 上连续，且()()()()()[()()]F c p q f c pf c qf d q f c f d =+--=-． ()()()()()[()()]F d p q f d pf c qf d q f d f c =+--=-．则当()()0f c f d -=时，可知,c d 均可取作ξ；而当()()0f c f d -≠时，又0,p >0q <，于是有2()()[()()]0F c F d p q f c f d =--<，由零点定理知，至少存在一点[,][,]c d a b ξ∈⊂，使()0F ξ=，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+．（２）设0x 为[0,1]上异于12的任意一点，因为()f x 在[0,1]上连续，如果01()()22f x f ≠=，则由介值定理知，()f x 必取得介于0()f x 与2之间的任何值，包括有理值和无理值．这与()f x 只取有理值矛盾，故01()()22f x f ==，因此在[0,1]上()2f x ≡.。

2005年普通高等学校选拔 优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为（ ）。

A.x>1B.x<5C.1<x<5D.1<x ≤5 2.下列函数中，图形关于y 轴对称的是（ ）。

A.y=xcosx B.13++=x x y C.222xxy --=D. 222xxy -+=3.当x →0时，12-xe等价的无穷小量是 （ ）。

A.x B.x 2 C.2x D.2x 2 4.∞→n lim 1)21(++n n=( )。

A.eB.e 2C.e 3D.e 45.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--0,0,11x a x xx在x=0处连续，则a=（ ）。

A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-6.设函数f(x)在点x=1出可导，则21)1()21(lim =--∞→hf h f h ,则=)1('f （ ）。

A. 21B. 21-C.41 D. 41-7.由方程y x e xy +=确定的隐函数x(y)的导数dxdy 为（ ）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x8.设函数f(x)具有任意阶导数，且()()[]x f x f n =)('=（ ）。

A.()[]1+n x f n B.()[]1!+n x f n C.()[]1)1(++n x f n D.()[]1)!1(++n x f n9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）。

A.[]1,1,1)(2--=x x f B.[]1,1,)(-=-xxe x fC.[]1,1,11)(2--=xx f D. []1,1,)(-=x x f10.设)12)(1()('+-=x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在(21,1)内,f(x)单调（ ）。

山西省专升本考试试题数据结构试题1(222)一、是非题(下列各题，你认为正确的，请在题干的括号内打“√”，错的打“×”。

每题1分，共15分）1、数据结构概念包括数据之间的逻辑结构，数据在计算机中的存储方式和数据的运算三个方面...............( )2、线性表中的每个结点最多只有一个前驱和一个后继。

......( )3、从本质上看，文件是一种非线性结构。

..................( )4、线性的数据结构可以顺序存储，也可以链接存储。

非线性的数据结构只能链接存储。

.......................( )5、栈和队列逻辑上都是线性表。

..........................( )6、单链表从任何一个结点出发，都能访问到所有结点........( )7、单链表形式的队列，头指针F指向队列的第一个结点，尾指针R指向队列的最后一个结点。

.................................................( )8、对某一确定的可利用空间表，给定一串内存请求，若采用最佳适配和首次适配这两种方法之中的一种能满足该串请求，则也一定能用另一种方法满足该串请求。

( )9、多维数组是向量的推广。

..............................( )10、设串S=a1a2...ai...aj...an,则有ord(ai)>ord(aj)。

....( )11、设串S的长度为n,则S的子串个数为n(n+1)/2。

...........( )12、一般树和二叉树的结点数目都可以为0。

................( )13、在拓朴排序序列中，任意两个相继结点Vi和Vj都存在从Vi到Vj的路径。

( )14、网络的最小代价生成树是唯一的。

.....................( )15、磁带是顺序存取的外存储设备。

.......................( )二、填空题(每空1分，共10分）1、在树结构里，有且仅有一个结点没有前驱，称为根。

山西统考专升本教育学历年考试真题及答案1、6. 下列加双引号字的注音全都正确的一项是（）[单选题] *A．寒“噤”（jīn）蛮“横”（hèng）布“衾”（qīn）挑拨离“间”（jiàn）B．“彷”徨（páng）“皱”褶（zhé）“庇”护（bì）“强”词夺理（qiǎng）C．“襁”褓（qiǎng）“拙”劣（zhuō）“蠕”动（rǔ）怒不可“遏”（è）D．“瞭”望（liào）颠“簸”（bǒ）俯“瞰”（kàn）“拾”级而上（shè）(正确答案) 2、1想托人办事，可以说“请您帮忙”，也可以说“拜托您了”。

[判断题] *对(正确答案)错3、21．下列词语中加点字注音完全正确的一项是（）[单选题] *A．翘首（qiáo）颤抖（chàn）静谧（mì）深恶痛绝（wù）(正确答案)B．纤维（qiān）畸形（jī）蛮横（héng）顿开茅塞（sè）C．莅临（lì）脸颊（xiá）粗糙（zào）至死不懈（xiè）D．摄取（niè）炫耀（xuàn）应和（hè）不省人事（shěng）4、1《清塘荷韵》中，作者季羡林想说明的人生哲理是：天地萌生万物，对包括人在内的动、植物等有生命的东西，总是赋予一种极其惊人的求生存的力量和极其惊人的扩展蔓延的力量，这种力量大到无法抵御。

[判断题] *对错(正确答案)5、25．下列词语中加点字的读音，全都正确的一组是（）[单选题] *A．妯娌（zhóu）酒肆（sì）镌刻（juān）暴风骤雨（zhòu）(正确答案)B．狡黠（xié）挟持（xié）胡髭（zī）惨绝人寰（yuán）C．燥热（cào）翘首（qiào）嶙峋（xún）言不由衷（zhōng）D．私塾（shú）遁形（dùn）糜子（mí）日夜不辍（zhuì）6、下列有关文学常识和鉴赏的表述，错误的一项是( ) [单选题] *A.唐代是我国古典诗歌创作的鼎盛时期。

山西省专升本考试大学数学真题2015年(工程类)(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：10，分数：40.00)1.______（分数：4.00）A.1B.-1C.0D.不存在√解析：[解析] 因为，所以D．（分数：4.00）A.0 √B.1C.∞D.不存在解析：[解析] A．3.若f(u)可导，且y=f(ln 2 x)，则______A．f"(ln 2 x)B．2lnx·f"(ln 2 x)C．D．（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D．4.设函数y=y(x)由参数方程确定，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析]，应选C．5.下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的是______A．y=|x|，[-1，1]B．C．D．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] A，C中函数在x=0处不可导，D中函数在x=±1处无定义，故选B．6.______（分数：4.00）A.a=b √B.a＞bC.a＜bD.a，b无法比较解析：[解析故应选A．7.k满足______（分数：4.00）A.k＞1 √B.k＜1C.k=0D.k=e解析：[解析] 当k≠1时，要使该积分收敛，则存在，故k＞1；当k=1时，，积分发散．故选A．8.设z=ln(x 2 +y 2 )，则______A．dx+dyB．2xdx+2ydyC．2dx+2dyD．（分数：4.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因为，所以A．9.设y 1，y 2是微分方程y"+p(x)y"+q(x)y=0的两个解，则y=C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1，C 2为任意常数)是______（分数：4.00）A.该方程通解B.该方程的解√C.该方程的特解D.不一定是方程的解解析：[解析] 由二阶线性齐次微分方程的解的结构知y=C 1 y 1 +C 2 y 2只能说是方程的解，不能保证为通解，故应选B．10.下列级数中，条件收敛的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 选项A、C、D是绝对收敛的，选项B是条件收敛的，故应选B．三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设f(x)=2x+5，则f -1 [f(x)-1]= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 因为所以12.若函数x=0处连续，则a= 1．（分数：4.00）解析：6 [解析] 因为由题设知，所以a=6．（分数：4.00）解析：[解析14.函数f(x)=x 4 -2x 2 +5在 1．（分数：4.00）解析：5 [解析] f"(x)=4x 3 -4x，令f"(x)=0得x=0，-1，1，从而f(x)在上的最大值为5．15.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2015)，则f"(0)= 1．（分数：4.00）解析：2015![解析16.曲线y=xe -x的拐点是 1．（分数：4.00）解析：(2，2e -2 ) [解析] 因为y"=(1-x)e -x，y"=(x-2)e -x，令y"=0得x=2，当x＜2时，y"＜0，当x＞2时，y"＞0，故拐点坐标为(2，2e -2 )．（分数：4.00）解析：[解析18.当x＞1时，有g(x)是连续函数，则g(3)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 两边求导得g(x 2 -1)·2x=-1，即取x=2，得19.已知a={-1，1，2}，b={3，0，4)，则a在b上的投影为Prj b a= 1．（分数：4.00）解析：1 [解析] a在b上的投影为而a·b=(-1)·3+1×0+2·4=5，因此Prj b a=1．20.设I可以化为 1．（分数：4.00）解析： [解析] 画出积分区域如图．交换积分次序得五、解答题(总题数：7，分数：70.00)21.已知（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为所以故22.过曲线y=x 2(x≥0)上某点A作切线，若切线、曲线、z轴围成的面积为x轴旋转一周所得旋转体的体积．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设A点坐标为由y"=2x得切线方程为即由得x 0 =1，切点A(1，1)．切线方程为2x-y-1=0，切线与x轴交点为所求旋转体的体积23.求过点(2，-1，3)与直线4x+3y=0平行的直线方程．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为s 1 ={1，0，-1)，n={4，3，0}，由题设知所求直线的方向向量又因直线过点(2，-1，3)，所以所求直线方程为24.设z=f(e x siny，ln(x+y))，其中，f(u，v)为可微函数，求（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设u=e x siny，v=ln(x+y)，则z=f(u，v)，D为y=x，y=x+a，y=a和y=3a(a＞0)为边的平行四边形．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先画出积分区域D．把它看作Y型．则26.求微分方程y"+ycosx=e -sinx满足初始条件y(0)=-1的特解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：微分方程的通解为又y(0)=-1，即-1=e -sin0 (0+C)，得C=-1，所以所求特解为y=e -sinx (x-1)．27.将函数(x-1)的幂级数．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。