2010年河南专升本高数真题+答案解析

2010 年河南省普通专升本考试《公共英语》真题Part ⅠVocabulary and Structure (1 x40)Directions: There are 40 incomplete sentences in this part. For each sentence there are four choices marked A, B, C and D. Choose the ONE that best completes the sentence, and then mark the corresponding letter on the Answer Sheet.1.The fire must have after the shop was closed.A. broken outB. broken downC. broken inD. broken through2.He is join the army.A. too young toB. enough young toC. very young toD. young enough to3.Finally he got time for a glance this report.A. offB. roundC. onD. at4.Your idea seems to be good but it isn’t.A. practicalB. possibleC. plentifulD. precious5.He enjoys pop music while I prefer classical music.A. to listen toB. to listenC. listeningD. listening to6.When the little girl awoke, she found herself by a group of soldiers.A. surroundB. be surroundedC. being surroundedD. being surrounding7.The manager lost his just because his secretary was ten minutes late.A. moodB. temperC. mindD. passion8.There are several characteristics of the textbook attention.A. worthwhileB. worth ofC. worthyD. worthy of9.The new building all the other buildings in the town.A. dwarfsB. distortsC. desertsD. depresses10.I passed the test. I it without your help.A. would not passB. wouldn’t have passedC. didn’t passD. had not passed11.The Internet has brought big changes in the way we work.A. aboutB. outC. backD. up12.The father writes in his will that every son and daughter a share of his property.A. hasB. to haveC. havingD. have13.He hurried to the hospital, only his father had just died.A. to tellB. to be toldC. tellingD. told14.tomorrow, he would be able to see the opening ceremony.A. Would he comeB. If he comesC. Was he comingD. Were he to come15.The speaker could hardly find safe ground his arguments.A. on which to baseB. to base onC. on the baseD. which to base on16.He is a man who is always fault with other people.A. puttingB. seekingC. findingD. looking for17.The factory had to a number of employees because of the economic crisis in the country.A. lay outB. lay offC. lay asideD. lay down18.Would you spare some time to have a chat with me a cup of coffee?A. forB. withC. duringD. over19.Ten days ago the young man his boss his intention to resign.A. informed … ofB. informed … onC. informed … inD. informed … to20.It is necessary that he the task by the end of next week.A. fulfillB. will fulfillC. will have fulfilledD. fulfills21.It is impossible for so workers to do so work in a single day.A. few… muchB. few… manyC. little… muchD. little… many22.No further discussions , the meeting was brought to an end.A. aroseB. arisingC. to ariseD. be arisen23.The other day, Mum and I went to St. James’s Hospital, and they did lots and lots of tests on me, are horrible and frightening.A. most of themB. most of whichC. most of thatD. most of what24.He is a pleasant fellow to .A. workB. work withC. be workingD. be worked25.On his way to the airport, it to him that he had forgotten to take his passport.A. happenedB. occurredC. reflectedD. took place26.Orlando, a city in Florida, for its main attraction, Magic Kingdom.A. which is well knownB. being well knownC. well knownD. is well known27., he couldn’t earn enough to support the family.A. Hard as he workedB. As he worked hardC. As hard he workedD. Hard as did he work28.I used on the left in England, but I soon got used on the right in China.A. to driving… to driveB. to drive… to drivingC. to drive… to driveD. to driving… to driving29.Can machines perform the same tasks ?A. that man doesB. what man doesC. how man doesD. as man does30.that the trade between the two countries reached its highest point.A. During the 1960’sB. It was in the 1960’sC. That it was in the 1960’sD. It was the1960’s31.It’s no use with him since he has made up his mind.A. to argueB. arguingC. to be arguedD. argued32.The more he tried to please her, she seemed to appreciate it.A. lessB. lesserC. the lessD. the lesser33.The information technology has greatly people’s life.A. affectedB. effectC. impactD. infected34.Having a good command of English is an easy thing.A. by all meansB. by any meansC. by every meansD. by no means35.My mobile phone isn’t working. It .A. needs being repairedB. needs repairingC. needs to repairD. needs repaired36.That was so serious a matter that I had no choice but the police.A. called inB. calling inC. call inD. to call in37.He never to his customers in his business except occasionally for some special reasons. This time he cut the price by half, which really shocked me.A. leakedB. drewC. quotedD. yielded38.It is useful to be able to predict the extent which a price change will influence supply and demand.A. fromB. withC. toD. for39.Undergraduate students the rare books in the school library.A. have access forB. keep access inC. keep access onD. have access to40.sat down the phone rang.A. No sooner had he … thanB. No sooner he had … thanC. No sooner had he … whenD. No sooner he had … whenPart Ⅱ(1×20)Directions: There are 20 blanks in the following passage. For each blank there are four choices marked A, B, C and D. You should choose the ONE that best fits into the passage and mark the corresponding letter on the Answer Sheet.What do we mean by a perfect English pronunciation? In one sense there are as many different kinds of (41) as there are speakers of it. No two speakers (42) in exactly the same (43) . We can always hear differences (44) them, and the pronunciation of English (45) a great deal in different geographical (46) . How do we decide what sort of English to use as a (47) ? This is not a question that can be (48) in the same way for all foreign learners of English. (49) you live in a part of the world as (50) , where there is a long (51) of speaking English for general communication purpose, you should select to (52) a good variety of the pronunciation of this area. It would be mistaken in these (53) to use as a model BBC English or (54) of the sort. On the other hand, if you live in a country (55) there is no traditional (56) of English, you must take as your model some forms of (57) English pronunciation. It does not (58) very much which form you choose. The most (59) way is to take as your model the sort of English you can (60) most often.41.A. language42.A. spoke B. linguisticB. spokenC. EnglishC. speaksD. linguistD. speak43. A. way B. form C. sort D. type44. A. of B. among C. between D. from45. A. varies B. changes C. shifts D. alters46. A. spaces B. parts C. countries D. areas47. A. guide B. model C. symbol D. direction48. A. given B. answered C. satisfied D. responded49. A. Because B. When C. Whether D. If50. A. Russia B. Mongolia C. India D. Japan51. A. tradition B. use C. custom D. habit52. A. seize B. acquire C. have D. hold53. A. actions B. decisions C. combinations D. circumstances54. A. everything B. nothing C. things D. anything55. A. which B. that C. where D. wherever56. A. use B. used C. useful D. usefulness57. A. domestic B. practical C. national D. new58. A. matter B. affect C. trouble D. care59. A. ordinary B. sensitive C. effective D. careful60. A. listen B. find C. notice D. hearPart Ⅲ Reading Comprehension (2x20)Directions: There are 4 passages in this part. Each passage is followed by some questions or incomplete sentences. For each of them there are 4 choices marked A, B, C and D. You should decide on the best choice and mark the corresponding letter on the Answer Sheet.Passage1Thousands of years ago, in the middle of an ocean, miles from the nearest island, an undersea volcano broke out. The hot liquid got higher and higher and spread wider and wider. In this way, an island rose up in the sea.As time went on, hot sun and cool rains made the rock split and break to pieces. Sea waves hit against the rock. Inthis way, soil and sand came into being.Nothing lived on the naked soil. And then the wind and birds brought plant seeds, spiders and other little living things there. Only plants could grow first. Only they, in sunlight, could produce food from the soil, water and air. While many animals landed on the island, they could find no food. A spider made its web uselessly, because there were no insects( 昆虫) for its web to catch. Insects couldn’t stay until there were plants for them to eat. So plants had to be the first life on this new island.61.The passage centers on .A. how an undersea volcano broke outB. how an island rose up in the seaC. how soil was formed on a new islandD. how life began on a volcano produced island62.According to the passage, the island got its first soil from .A. sea wavesB. the sand brought by the windC. its own rockD. cool rains63.The word "naked" (in Para. 3) could be replaced by which of the following?A. redB. newC. oldD. bare64.The order of coming into being on the island is .A. soil, plants and animalsB. soil, little creatures and plantsC. soil, birds and plantsD. soil, human beings and animals65.According to the passage, which of the following is TRUE?A.Spiders were the first life that could live on the island.B.The island is far away from any piece of land.C.Insects could not live on the island without plantsD.Plants were brought to the island by human beingsPassage2Ernest Miller Hemingway was born on July 21, 1899 in Oak Park, Illinois. In the nearly sixty two years of his life that followed, he built a literary fame unsurpassed（无法超越）in the twentieth century.As a boy he was taught by his father to hunt and fish along the shores and in the forests around Lake Michigan. The Hemingways had a summer house in northern Michigan, and the family would spend the summer months there trying to stay cool. Hemingway would either fish the different streams that ran into the lake, or would take the small boat out to do some fishing there. He would also go squirrel hunting in the woods, discovering early in life the peace to be found while alone in the forest or going through a stream. It was something he could always go back to throughout his life, and though he often found himself living in major cities like Chicago, Toronto and Paris early in his life, once he became successful he chose somewhat isolated places to live in.When he wasn’t hunting or fishing his mother taught him the good points of music. She was a skilled singer who once had wished a life on stage, but at last settled down with her husband and spent her time by giving voice and music lessons to local children, including her own. Hemingway was never talented for music and suffered through singing practices and music lessons, however, the musical knowledge he got from his mother helped him share in his first wife Hadley’s interest in the piano.66.Ernest Hemingway died in .A. 1969B. 1979C. 1981D. 196167.Which of the following statements is NOT true according to the passage?A.His father taught him to fish and hunt when he was a boy.B.His family had a summer house in northern Michigan.C.He taught himself music when he was a boy.D.He also went squirrel hunting in the woods.68.After he became successful, Ernest Hemingway .A. preferred to stay in big citiesB. chose to live in somewhat isolated placesC. moved his family to ParisD. killed himself69.Being talented in music, Hemingway’s mother once wanted to .A. be a music teacherB. help Hemingway learn musicC. perform on the stage as a singerD. marry a rich husband70.The passage is most probably from .A. a literary biographyB. a science textbookC. a term paperD. a personal diaryPassage3What will man be like in the future -- in 5000 or even 50000 years from now? We can only make a guess, of course, but we can be sure that he will be different from what he is today. For man is slowly changing all the time.Let us take an obvious example. Man, even five hundred years ago, was shorter than he is today. Now, on average, men are about three inches taller. Five hundred years is a relatively short period of time, so we may assume that man will continue to grow taller.Again, in the modern world we use our brains a great deal. Even so, we still make use of only about 20% of the brains capacity. As time goes on, however, we shall have to use our brains more and more, and eventually we shall need larger ones. This is likely to bring about a physical change --- the head, in particular the forehead, will grow larger.Nowadays our eyes are in constant use. In fact, we use them so much that very often they become weaker and we have to wear glasses. But over very long period of time it is likely that man’s eyes will grow stronger.On the other hand, we tend to make less use of our arms and legs. These, as a result, are likely to grow weaker. At the same time, however, our fingers will grow more sensitive because they are used a great deal in modern life.But what about hair? It will probably disappear from the body altogether in course of time because it does not serve a useful purpose any longer. In the future, then, both sexes are likely to be bald.Perhaps all this gives the impression that future man will not be a very attractive creature to look at. This may well be true. All the same, in spite of all these changes, future man will still have a lot in common with us. He will still be a human being, with thoughts and emotions similar to our own.71.The passage tells us about .A.how man’s life will be in the futureB.how future man will look likeC.the fact that man’s organs will function differently in the futureD.the fact that man is growing uglier as time passes72.There is evidence that man is changing, .A.he has been growing taller over the past 500 yearsB.he has got stronger eyes than he ever hadC.his hair is getting thinner and thinnerD.his limbs are getting weaker because he tends to make less use of them73.Man’s forehead will grow larger because .A.he will make use of only about 20% of the brain’s capacityB.the other 80% of his brain will grow in due timeC.he had rather narrow forehead a few hundred years agoD.he will have to use his brain more and more as time goes on74.Future man will probably .A. have smaller eyesB. have larger eyesC. see betterD. have to wear better glasses75 .The reason for believing that future man will be different is that he .A. will grow strongerB. never stops changingC. hopes for a changeD. will live a different lifePassage4Auctions （拍卖）are public sales of goods, made by an officially approved auctioneer. He asked the crowd assembled in the auction room to make offers, or bids, for the various items on sale. He encouraged buyers to bid higher figures, and finally named the highest bidder as the buyer of the goods. This is called “knocking down the goods, for the bidding ends when the auctione er bangs a small hammer on a table at which he stands”. This is often set on a raised platform called a rostrum.The ancient Romans probably invented sales by auction, and the English word comes from the Latin auction, meaning “increase”. The Romans usually sold in this way the spoils taken in war, these sales were called “sub hash”, meaning “under the spear”, a spear being stuck in the ground as a signal for a crowd to gather. In England in the eighteenth century, goods were often sold “by the candle”: a s hort candle was lit by the auctioneer, and bids could be made while it stayed alight.Practically all goods whose qualities varied are sold by auction. Among these are coffee, hides, skins, wool, tea, cocoa, furs, spices, fruit, vegetables and wines. Auction sales are also usual for land and property, antique furniture, pictures, rare books, old china and similar works of art. The auction rooms at Christie’s and Sotheby’s in London and New York are world famous.An auction is usually advertised beforehand with full particulars of the articles to be sold and where and when they can be viewed by prospective buyers. If the advertisement cannot give full details, catalogues are printed, and each group of goods to be sold together, called a “lot”, is usually giv en a number. The auctioneer need not begin with Lot 1 and continue in numerical order he may wait until he registers the fact that certain dealers are in the room and then produce the lots they are likely to be interested in. The auctioneer’s services are paid for in the form of a percentage of the price the goods are sold for. The auctioneer therefore has a direct interest in pushing up the bidding as high as possible.76.A “bidder” (in Para.1) is a person .A. who sells somethingB. who buys somethingC. who offers a priceD. who borrows something77.Auctioned goods are sold price offered.A. for the highestB. for the fixedC. for the lowestD. for the unexpected78.The end of the bidding is called “knocking down” because .A. the auctioneer knocks the buyer downB. the auctioneer knocks the rostrum downC. the goods are knocked down onto the tableD. the auctioneer bangs the table with a hammer79.The “candle” used in paragraph 2 is .A. because they took place at nightB. as a signal for the crowd to gatherC. to give light to the auctioneerD. to limit the time when offers could be made80.An auction catalogue gives prospective buyers .A. the current market values of the goodsB. details of the goods to be soldC. the order in which goods must be soldD. free admission to the auction salePart ⅣTranslation (30 points)Directions: There are 10 sentences in this part. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81.长城是中国的历史文化符号之一。

《高等数学》试卷一、单项选择题（每题2分，共计60分，在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分）1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.)1lg()(2x x x f -+=在),(+∞-∞是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解：01lg )1lg()1lg()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x s i n 2-是x的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： 1sin lim20-=-→x x x x ， C ⇒. 4.=+∞→nn n n sin 32lim （ ）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B n n n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim . 5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax 在0=x 处连续，则 =a （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a ae x e x f ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在1=x 可导 ，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （ ） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→ C f x f x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则M 的坐标（ ）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2） 解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,5422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dx dy （ ） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.已知x x x f n ln )()2(=-，则=)()(x f n （ ）A.211x+ B. x 1C. x lnD. x x ln 解：B x x f x x f x x x f n n n ⇒=⇒+=⇒=--1)(ln 1)(ln )()()1()2(.10.233222++--=x x x x y 有 （ ）A. 一条垂直渐近线，一条水平渐近线B. 两条垂直渐近线，一条水平渐近线C. 一条垂直渐近线，两条水平渐近线D. 两条垂直渐近线，两条水平渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→∞→2122lim ,4lim ,2lim )2)(1()3)(1(2332 . 11.在下列给定的区间满足罗尔中值定理的是 （ ）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解： 由罗尔中值定理 条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞为 （ ）A. 单增且凹B. 单增且凸C. 单减且凹D. 单减且凸解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.⎰+=C x F dx x f )()(曲线 ，则⎰=--dx e f e xx )( （ ） A.C e F e x x ++--)( B. C e F e x x +---)(C. C e F x +-)(D. C e F x +--)(解：D C e F e d e f dx e f e xx x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设函数x e x f =-')12( ，则 =)(x f （ ）A. C e x +-1221 B. C e x +-)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x ++)1(212解：D C e x f e x f e x f x x x ⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. =⎰b axdx dx darctan （ ）A.x arctanB. 0C. a b arctan arctan -D. a b arctan arctan + 解：⎰b a xdx arctan 是常数，所以 B xdx dx d ba ⇒=⎰0arctan .16.下列广义积分收敛的为 （ ） A. ⎰+∞1dx e x B. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（） A. ⎰-b a dx x g x f )]()([ B. ⎰-b a dx x g x f )]()([ C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设y xy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 方程02=-xyz e z 确定函数),(y x f z = ，则x z ∂∂ = （ ）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解： 令⇒-='-='⇒-=xy e F yz F xyz e z y x F z z x z 222,),,( A z x zxy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222 21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （ ）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上 （ ）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x z y x y x y z x y x z⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z 是极大值A ⇒. 23由012222=+--+y x y x 围成的闭区域D ，则=⎰⎰Ddxdy （ ）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24累次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 0)0(),(交换后为（ ）A. ⎰⎰a x dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.二重积分⎰⎰20sin 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 在直角坐标系下积分区域可表示为（ ）A. ,222y y x ≤+B. ,222≤+y xC. ,222x y x ≤+D. 220y y x -≤≤ 解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 坐标从点)0,1(A 到)1,0(B 的有向线段，则⎰-+L dy dx y x )( （ ） A. 2 B.1 C. -1 D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0 ，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L . 27.下列级数绝对收敛的是 （ ）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin )1(n n n π C ． ∑∞=-12sin )1(n n n π D ． ∑∞=0cos n n π解： ⇒<22sin n n ππC n n ⇒∑∞=12sin π. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在 2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na （ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A.C y x =sin cos B. C y x =cos sin C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x x dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ C C x y x x d y y d ⇒=+⇒-=⇒ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分方程x xe y y y -=-'+''2，特解用特定系数法可设为 （ ） A.x e b ax x y -+=*)( B. x e b ax x y -+=*)(2 C. x e b ax y -+=*)( D. x axe y -=* 解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每题2分，共30分） 31.设 ,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f ，则=)(sin x f _________ 解：1)(sin 1}sin |=⇒≤x f x .32.若=--+→x x x x 231lim 22=_____________ 解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.已知x y 2arctan =，则=dy __________ 解：dx xdy 2412+= . 34.函数 bx x a x x f ++=23)(，在1-=x 处取得极值-2，则_______,==b a . 解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(2.5,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设)(),(x g x f 是可微函数，且为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππ)sin (32x x _________解：3202sin )sin (023232ππππππππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰---x xdx dx x x x . 38.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________解：⎰⎰⎰⎰--=--=+==-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 已知 }1,1,2{},2,1,1{-==b a，则向量a 与b 的夹角为=__________解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a.40.空间曲线⎩⎨⎧==022z xy 绕x 轴旋转所得到的曲面方程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +即得所求曲面方程x y z 222=+.41. 函数y x x z sin 22+=，则 =∂∂∂yx z2_________解： ⇒+=∂∂y x x x z sin 22y x yx z cos 22==∂∂∂ . 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则___)(2⎰⎰=-Ddxdy xy . 解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. 函数2)(x e x f -=在0=x 处的展开成幂级数为________________解： ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________ 解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n n n n n nx n x n x n x .45.通解为x x e C e C y 321+=-的二阶线性齐次常系数微分方程为_________解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46． x x e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222x e x xe x x ex xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.设x x x y 2sin 2)3(+=， 求dxdy解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：xx x x x x x y y 3322sin )3ln(2cos 2122++++='所以]3322sin )3ln(2cos 2[)3(222sin 2xx x x x x x x x y x +++++=' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求 ⎰-dx x x 224解：⎰⎰⎰⎰-===-=dt t tdt tdt t tdx x x tx )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.求⎰--+102)2()1ln(dx x x解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x ..50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 是可微函数，求 yzx z ∂∂∂∂,解：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂y vv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'. 51．计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2 ，其中:D 由直线1,2,===x x y x y 所围成的闭区域.解：积分区域如图所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xx Dydy x dx ydxdy x I10310323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx52．求幂级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11的收敛区间（不考虑端点）. 解： 令t x =-1，级数化为 n n nt ∑∞=-+0)3(11，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim )3(1)3(1lim lim 11=--+-=-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n n n n n n a a ρ，故级数nn nt ∑∞=-+0)3(11的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xxy x y -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2xCy =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xCx y +-=.四、应用题（每题7分，共计14分）54.某公司甲乙两厂生产一种产品，甲乙两厂月产量分别为y x ,千件；甲厂月产量成本为5221+-=x x C ，乙厂月产量成本为3222++=y y C ；要使月产量为8千件，且总成本最小，求甲乙两厂最优产量和最低成本？解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 . 由8=+y x 得x y -=8，代入得目标函数为0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故5=x 使C 得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以 甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位. 55.求曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得的体积. 解：平面图形如下图所示：此立体可看作x 区域绕y利用体积公式⎰=ba y dx x f x V |)(|2π.显然，抛物线与x 两交点分别为（1，0）；（2平面图形在x 轴的下方.故⎰⎰---==21)2)(1(2|)(|2x x x dx x f x V ba y ππ2)4(2)23(2212342123πππ=+--=+--=⎰x x x dx x x x .xx五、证明题（6分）56设)(x f 在],[a a -上连续，且>a ，求证⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .证明：因为⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，而⎰⎰⎰⎰-=-=--=-=-0)()()()()(aaa tx a dx x f dt t f t d t f dx x f ，故⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aaa aa adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()()( 即有⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.利用上述公式有dx e e e x dx e x e x dx e x x x x x x x ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-++=+---404044111cos ]1)cos(1cos [1cos ππππ 22sin cos 4040===⎰ππx dx x .说明：由于时间紧，个别题目语言叙述与试卷有点不近相同，没有进行认真检查，考生仅作参考.河南省“专升本”考试《高等数学》辅导专家葛云飞提供.。

统计分析软件应用学期报告具体要求：1、课程学期报告要求：1）报告：请各位同学选择感兴趣的主题，并收集相应数据，尝试利用常用统计分析方法、工具（如：1、描述性统计分析；2、相关分析；3、回归分析等）对所选主题进行分析，并依照附件论文的格式完成课程报告，主要结果以及程序代码以附件形式给出；2）格式要求：论文包含学期报告封面、标题、作者、摘要、正文、参考资料、附件等部分，具体可以参考附件样稿，正文使用五号字体，小节标题小四字体，行距设为1.5倍，每幅图控制在1/6~1/3篇幅，正文部分不得少于6页。

论文中引用他人工作请采用上标序号标出，同时在参考文献中给出相应文献。

（如：关于非线性随机效应模型[4]我们可知，……相应参考文献：[4] 赵为华，冯予. 非线性随机效应模型基于统计曲率的统计诊断[J]. 南京理工大学学报，2005，243-247.）2、关于主题选择及参考资料的说明1）主题可以任选，但要注意数据的可获得性，但不可以直接抄袭相关数据结论。

2）统计年鉴数据可登陆中国统计局年鉴和各个省份统计局网页查询：历年中国年鉴：/tjsj/；地方年鉴：/tjlj/。

3）软件与数据及相关资料网络资源推荐：3、特别提示：学期论文重在参与，主要目的是让每个同学通过亲自实践操作分析，掌握基本的统计分析方法，因此要求每个人务必自己做，可以互相帮忙参考，但绝不可以抄袭，雷同者一律为零分（抄袭与被抄袭的均如此）！4、请各位同学认真按要求完成报告，不要急于提交，5月29日上机时间安排答辩，答辩完后由学委统一收取报告电子稿、打印稿各一份。

（电子稿发送到：Email：ahualian@ ，文档以“学号+姓名+报告题目.doc”命名，如“2010030005 张珊珊农林牧渔总产值及其指数情况的分析.doc）课程学期报告2012-2013 学年第1学期课程名称统计分析软件应用报告题目学生姓名学号院系专业任课教师朱连华二Ｏ一二年五月二十八日农林牧渔总产值及其指数情况的分析张珊珊2010030005 2010统计（1）班摘要：本文采用了……的数据，研究了………的问题，得出……的结论。

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

1．设函数)(x f 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)e f x -的定义域为A ．[2,2]-B ．(1, 1]-C ．(2, 0]-D ．(0, 2]2．若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是A ．()y x =，[1, 1]x ∈-B ．3()tan y xf x x =+，(π, π)x ∈-C ．3sin ()y x x f x =-，[1, 1]x ∈-D ．25()e sin x y f x x =，[π, π]x ∈- 3．当0→x 时，2e1x-是sin 3x 的A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小4．设函数2511sin , 0()e , 0xx x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是)(x f 的 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．连续点D ．第二类间断点5．下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为 A ．220x +=B ．sin 1πx =-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=6．函数)(x f 在点0x x =处可导，且1)(0-='x f ，则000()(3)lim2h f x f x h h→-+=A ．23B ．23-C ．32-D ．327．曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．)1(+-=x y C ．1y x =-+D ．)1)(1(ln -+=x x y8．设函数π2sin 5y =，则='y A．π2cos 5-B．CD．2πcos 55-9．若函数()f x 满足2d ()2sin d f x x x x =-，则()f x = A ．2cos xB ．2cos x C +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+10．d e sin(12)d d b xax x x --=⎰ A ．e sin(12)x x -- B ．e sin(12)d x x x -- C ．e sin(12)x x C --+D ．011．若()()f x f x -=，在区间(0, )+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(, 0)-∞内A ．()0f x '<，()0f x ''<B ．()0f x '>，()0f x ''>C ．()0f x '>，()0f x ''<D ．()0f x '<，()0f x ''>12．若函数()f x 在区间(, )a b 内连续，在点0x 处不可导，0(, )x a b ∈，则 A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点 C ．0x 不是()f x 的极值点 D ．0x 可能是()f x 的极值点13．曲线e xy x -=的拐点为 A ．1x =B ．2x =C ．222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．曲线2arctan 35xy x=+ A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线 15．若x cos 是)(x f 的一个原函数，则=⎰)(d x fA ．sin x C -+B ．sin xC + C ．cos x C -+D ．cos x C +16．设曲线()y f x =过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(, )x y 处切线的斜率为e x x +，则=)(x fA ．2e 2x x -B ．2e 2x x +C ．2e x x +D ．2e x x -17．2 π4πsin d 1x xx x -=+⎰A ．2B ．0C ．1D ．1-18．设)(x f 是连续函数，则2()d x af t t ⎰是A ．)(x f 的一个原函数B ．)(x f 的全体原函数C ．)(22x xf 的一个原函数D ．)(22x xf 的全体原函数19．下列广义积分收敛的是 A．1x +∞⎰ B ．2 e ln d xx x +∞⎰C ．2e1d ln x x x+∞⎰D ．21d 1xx x+∞+⎰20．微分方程0)(224=-'+''y x y y x 的阶数是 A ．1B ．2C ．3D ．421．已知向量{5, , 2}a x =-和{, 6, 4}b y = 平行，则x 和y 的值分别为A ．4-，5B ．3-，10-C ．4-，10-D ．10-，3-22．平面1x y z ++=与平面2=-+z y x 的位置关系是 A ．重合 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是 A ．221y z += B ．22z x y =+ C ．222z x y =+D ．22z x y =-24．关于函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩下列表述错误的是A ．(, )f x y 在点(0, 0)处连续B ．(0, 0)0x f =C ．(0, 0)0y f =D ．(, )f x y 在点(0, 0)处不可微25．设函数)ln(y x y x z -=，则=∂∂yzA ．)(y x y x -B ．2ln()x x y y --C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 26．累次积分2d (, )d x f x y y ⎰⎰写成另一种次序的积分是A ．1d (, )d yyy f x y x -⎰⎰B．2d (, )d y f x y x ⎰⎰C．11d (,)d y f x y x -⎰⎰D．11 11d (, )d y f x y x -⎰⎰27．设{(, )|D x y x =≤2, y ≤2}，则⎰⎰=Dy x d dA ．2B ．16C ．12D ．428．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则幂级数∑∞=-02)2(n n n x a 的收敛区间为A．( B ．(2, 2)R R -+ C ．(, )R R -D．(2 229．下列级数绝对收敛的是 A ．∑∞=-11)1(n nnB ．∑∞=-1223)1(n n nnC ．∑∞=-+-1121)1(n n n nD ．∑∞=--1212)1(n nn n30．若幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =处收敛，则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（每空2分，共20分）31．设(32)f x -的定义域为(3, 4]-，则)(x f 的定义域为________． 32．极限limx =________．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．34．设参数方程22 1 31x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d d yx =________． 35．(ln 1)d x x +=⎰________．36．点(3, 2, 1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 37．函数(1)x z y =+在点(1, 1)处的全微分d z =________．38．设L 为三个顶点分别为(0, 0)，(1, 0)和(0, 1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()d (3)d Lxyy x x y xy y -+-=⎰ ________．39．已知微分方程x ay y e =+'的一个特解为x x y e =，则a =________．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．三、计算题（每小题5分，共45分）41．求极限2040sin d (e 1)sin lim 1cos x x x t t x x x →⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰． 42．设由方程22e e y xy -=确定的函数为)(x y y =，求d d x yx =． 43．求不定积分2xx ．44．求定积分( 2d x x ⎰．45．求过点(1, 2, 5)-且与直线213 3 x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．46．求函数x xy y x y x f 823),(22+-+=的极值． 47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数． 48．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．49．求微分方程069=+'-''y y y 的通解．四、应用题（每小题8分，共16分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 51．平面图形D 由曲线2x y =，直线x y -=2及x 轴所围成．求： （1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．五、证明题（9分）52．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立．2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共60分）二、填空题（每小题2分，共20分）31．[5, 9)- 32．5233．24 34．3235．ln x x C + 3637．2ln 2d d x y + 38．0 39．1- 40．3e三、计算题（每小题5分，共45分）41．3242．222002d d 24e d d e 0x x y y y xx-======- 43．322(e 1)3x C +-44．π22+ 45．125315x y z --+==- 46．函数在(6, 2)--处有极小值(6, 2)24f --=- 47．00111()(1)2[(1)2], , 22nnnnn n nn n n f x x x x x ∞∞∞===⎛⎫=--=--∈- ⎪⎝⎭∑∑∑48．49．1312()e x y C C x =+（1C ，2C 是任意常数） 四、应用题（每小题8分，共16分）50．3232ππ2πππV h V V V r r r r V===⋅=⋅= 51．（1） 1201d 112A x x =+⋅⋅⎰ 13015326x =+= （2） 14201πd π113x V x x =+⋅⋅⎰ 150π8ππ5315x =+=第51题图五、证明题（9分）52．证明：构造函数2()()F x f x x =-，因)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，所以函数)(x F 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且()()2F x f x x ''=-．于是)(x F 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得(1)(0)()10F F F ξ-'=-，将(0)0f =，(1)2f =代入上式，得(1)(0)()[(1)1][(0)0]110F F F f f ξ-'==---=-，即()21f ξξ'-=，于是()21f ξξ'=+．。

2010成人高考专升本高数一真题及答案解析2010成人高考专升本高数一真题及答案解析——2010年成人高等学校招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

A、3B、2C、1D、0正确答案：C【安通名师解析】根据函数的连续性立即得出结果【安通名师点评】这是计算极限最常见的重要题型。

在教学中一直被高度重视。

在上课时多次强调的重点，必须记住。

正确答案：B【安通名师解析】根据基本初等函数求导公式复合函数求导法则或直接用微分计算【安通名师点评】这样的题目已经在安通学校保过班讲义中练习过多次，属于特别重要内容。

【安通名师解析】基本积分公式,直接积分法。

【安通名师点评】这是每年都有的题目。

考的就是公式是否记住了。

课堂上讲过练过多次，要求学生对基本积分公式背熟。

正确答案：C【安通名师解析】使用基本初等函数求导公式【安通名师点评】这是本试卷中第二个直接使用基本初等函数求导公式的计算题。

考的就是公式是否掌握了。

我们在平时教学中一再要求学生对基本公式背熟。

否则寸步难行。

正确答案：D【安通名师解析】用洛必达法则求解【安通名师点评】这类问题在以往的考试中经常出现，重要但并不难。

是一种典型的题目。

也始终是讲课的重点。

正确答案：A【安通名师解析】把y看作常数，对x求导。

【安通名师点评】本题仍然属于基本题目，是年年考试都有的内容正确答案：A【安通名师解析】因为是选择题，只要验证点的坐标满足方程就可以了。

【安通名师点评】本题如果是填空或解答题，难度将大为增加。

现在是选择题，理解概念就行。

正确答案：B【安通名师解析】直接使用公式【安通名师点评】这是计算收敛半径最常见的题型。

比较简单比较重要。

在教学中一直被高度重视。

二、11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题 （每小题2 分，共60 分）1．设函数()f x 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)f x e -的定义域为（ ）A ．[]2,2-B ．(1,1]-C ．(2,0]-D ．(0,2]【答案】D【解析】由题意得，()f x 的定义域为(1,1]-，则在(1)f x e -中，1(1,1]x -∈-，即02x <≤，故选D ．2．若()()f x x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是（ ） A ．[]331(),1,1y x x x -∈- B ．3()tan ,(,)y xf x x x ππ=+∈-C ．[]3sin (),1,1y x x f x x =-∈-D ．[]25()sin ,,x y f x e x x ππ=∈-【答案】D【解析】()f x 为奇函数，对于选项D ，22()55()sin ()()sin x x f x e x f x e x ---=，故选D ．3．当0x →时，21x e -是sin3x 的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小【答案】D【解析】200122lim lim sin333x x x e x x x →→-==，从而21x e -是sin3x 的同阶非等价无穷小，故选D ．4．设函数2511sin ,0(),0xx x x f x e x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．连续点D ．第二类间断点【解析】2501lim sin 0x x x+→=，10lim 0x x e -→=，00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=，从而0x =是()f x 的可去间断点，故选A ．5．下列方程在区间(0,1)内至少有一个实根的为（ ） A ．20x += B ．sin 1x π=-C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=【答案】C【解析】对于选项C ，构造函数32()52f x x x =+-，(0)20f =-<，(1)40f =>，由零点定理得，()0f x =在(0,1)上至少存在一个实根，故选C ．6．函数()f x 在点0x x =处可导，且0()1f x '=-，则000()(3)lim2x f x f x h h→-+=（ ）A ．23 B ．23-C ．32-D ．32【答案】D 【解析】0000000()(3)(3)()333limlim ()23222x x f x f x h f x h f x f x h h →→-++-⎛⎫'=⋅-=-= ⎪⎝⎭，故选D ．7．曲线ln y x x =平行于直线10x y -+=的切线方程是（ ） A ．1y x =- B ．(1)y x =-+C ．1y x =-+D ．(ln 1)(1)y x x =+-【答案】A【解析】ln 1y x '=+，又直线10x y -+=的斜率1k =，令1y '=得1x =，0y =，从而与直线平行的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，故选A ．8．设函数212sin 5y x π=-，则y '=（ ）A ．22cos51x π-- B ．21x-C 21x-D ．22cos 551x π-【解析】(2212sin 51y x xπ''⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭-B ．9．若函数()f x 满足2()2sin df x x x dx =-，则()f x =（ ）A ．2cos xB ．2cos xC +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+【答案】B【解析】2()2sin df x x x dx =-，则2222()(2sin )sin cos f x x x dx x dx x C =-=-=+⎰⎰，故选B ． 10．sin(12)b xa d e x dx dx--=⎰（ ）A ．sin(12)x e x --B ．sin(12)x e x dx --C ．sin(12)x e x C --+D ．0【答案】D【解析】sin(12)bx a e x dx --⎰为一常数，从而sin(12)0b xa d e x dx dx--=⎰，故选D ．11．若()()f x f x -=，在区间(0,)+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(,0)-∞内（ ） A ．()0,()0f x f x '''<< B ．()0,()0f x f x '''>>C ．()0,()0f x f x '''><D ．()0,()0f x f x '''<>【答案】D【解析】()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，又在(0,)+∞上，()0f x '>，()0f x ''>，所以在(,0)-∞上()0f x '<，()0f x ''>，故选D ．12．若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，在点0x x =处不可导，0(,)x a b ∈，则（ ） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．0x 可能是()f x 的极值点【答案】D【解析】由判断极值的方法知，0x 可能是()f x 的极值点，故选D ．13．曲线x y xe -=的拐点为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】(1)x y x e -'=-，(2)x y x e -''=-，令0y ''=，得2x =，22y e=．当2x >时，0y ''>，2x <，0y ''<，所以曲线的拐点为222,e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ．14．曲线2arctan 5xy x=（ ） A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A 【解析】002arctan 22limlim 555x x x x x x →→==，所以曲线没有垂直渐近线；2arctan lim 05x xx→∞=，所以0y =为曲线的水平渐近线，故选A ．15．若cos x 是()f x 的一个原函数，则()df x =⎰（ ）A ．sin x C -+B ．sin xC +C ．cos x C -+D ．cos x C +【答案】A【解析】令()cos F x x =，则()()sin f x F x x '==-，所以()(sin )sin df x d x x C =-=-+⎰⎰，故选A ．16．设曲线()y f x =过点(0,1)，且在该曲线上任意一点(,)x y 处切线的斜率为x x e +，则()f x =（ ）A ．22x x e -B ．22x x e +C ．2x x e +D ．2x x e -【答案】B【解析】由题意得xy x e '=+，则2()2xx x y x e dx e C =+=++⎰，又因为曲线过点(0,1)，有0C =，从而2()2x x y f x e ==+，故选B ．17． 24sin 1x xdx x ππ-=+⎰（ ）A ．2B ．0C ．1D ．1-【答案】B【解析】24sin 1x xx +为奇函数，积分区间关于原点对称，从而24sin 01x x dx xππ-=+⎰．18．设()f x 是连续函数，则20()x f t dt ⎰是（ ）A ．()f x 的一个原函数B ．()f x 的全体原函数C ．22()xf x 的一个原函数D ．22()xf x 的全体原函数【答案】C【解析】220()2()x f t dt xf x '⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，由原函数的定义可知，它是22()xf x 的一个原函数，故选C ．19．下列广义积分收敛的是（ ）A ．1x+∞⎰B ．2ln exdx x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．21exdx x +∞+⎰【答案】C 【解析】22111ln 011ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=+=⎰⎰，故选C ．20．微分方程422()0x y y x y '''+-=的阶数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由微分方程的概念知，阶数为方程中的最高阶导数的阶数，故选B ．21．已知向量{}5,,2x =-a 和{},6,4y =b 平行，则x 和y 的值分别为（ ）A ．4,5-B ．3,10--C ．4,10--D ．10,3--【答案】B【解析】向量a 与b 平行，所以5264x y -==，得3x =-，10y =-，故选B ．22．平面1x y z ++=与平面2x y z +-=的位置关系是（ ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】D【解析】两平面的法向量分别为1(1,1,1)=n ，2(1,1,1)=-n ，而111111=≠-，从而两平面不平行，又121⋅=n n ，从而两平面不垂直但相交，故选D ．23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是（ ）A ．221y z +=B ．22z x y =+C ．222z x y =+D ．22z x y =-【答案】A【解析】由柱面方程的特点可知，221y z +=表示圆柱面，故选A ．24．关于函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，下列表述错误的是（ ）A ．(,)f x y 在点(0,0)处连续B ．(0,0)0f =C ．(0,0)0y f '=D ．(,)f x y 在点(0,0)处不可微【答案】A【解析】令y kx =，则222222000lim lim (1)1x x y kx xy kx kx y k x k →→=→==+++．当k 取不同值时，极限值不同，因此2200limx y xyx y →→+不存在，所以在点(0,0)处不连续，故选A ．25．设函数ln()x z x y y =-，则zy∂=∂（ ） A ．()x y x y -B ．2ln()x x y y --C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 【答案】D 【解析】221ln()ln()(1)()z x x x x y xx y y y y x y y y x y ∂-=--+⋅⋅-=--∂--．26．累次积分222202(,)x x x x dx f x y dy --⎰写成另一种次序的积分是（ ）A ．10(,)yydy f x y dx -⎰⎰B ．222202(,)y y y y dy f x y dx ---⎰C ．221111(,)y y dy f x y dx ----⎰D ．22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰【答案】D【解析】由题意知，02x ≤≤，2222x x y x x -≤≤-11y -≤≤，221111y x y -≤-，所以交换积分次序后为22111111(,)y y dy f x y dx +----⎰⎰．27．设{}(,)2,2D x y x y =≤≤，则Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．2B ．16C ．12D ．4【答案】B【解析】222216Ddxdy dx dy --==⎰⎰⎰⎰，故选B ．28．若幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则幂级数20(2)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为（ ）A ．(,)R RB ．(2,2)R R -+C ．(,)R R -D ．(2,2)R R【答案】D【解析】令2(2)t x =-，则0n n n a t ∞=∑的收敛半径为R ，即R t R -<<，则2(2)x R -<，即22R x R <<D ．29．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1(1)nn n∞=-∑B ．213(1)2nnn n ∞=-∑C ．11(1)21nn n n ∞=+--∑D ．21(1)21nn n ∞=--∑【答案】B【解析】对选项B ，21133(1)24nn nn n n ∞∞==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑，级数收敛，从而原级数绝对收敛，故选B ．30．若幂级数0(3)n n n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =收敛，则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有（ ）A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】由幂级数发散、收敛性质及收敛区间的讨论可得，在这4个点中发散点的个数有两个，即0x =，6x =，故选C ．二、填空题 （每空 2分，共 20分）31．设(32)f x -的定义域为(3,4]-，则()f x 的定义域为________． 【答案】[5,9)-【解析】(32)f x -的定义域为(3,4]-，即34x -<≤，所以5329x -≤-<，即()f x 的定义域为[5,9)-．32．极限lim (23)x x x x +-=________．【答案】52【解析】55lim (23)limlim2232311x x x x x x x x x x x+-===++-++-．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________． 【答案】24【解析】(4)()4!24f x ==．34．设参数方程22131x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d ydx =________． 【答案】32【解析】632dydy t dt t dx dx dt===，22(3)322d dy d y t dt dx dx dx dt ⎛⎫ ⎪'⎝⎭===．35．(ln 1)x dx +=⎰________． 【答案】ln x x C +【解析】1(ln 1)ln ln ln x dx xdx dx x x x dx x x x C x+=+=-⋅+=+⎰⎰⎰⎰．36．点(3,2,1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 3【解析】321131113d +--===++．37．函数(1)x z y =+在点(1,1)处的全微分dz =________． 【答案】2ln 2dx dy + 【解析】(1)ln(1)x zy y x∂=++∂，1(1)x z x y y -∂=+∂，(1,1)(1,1)2ln 2z z dz dx dy dx dy xy ⎛⎫∂∂=+=+ ⎪∂∂⎝⎭．‘38．设L 为三个顶点分别为(0,0)，(1,0)和(0,1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()(3)Lxy y dx x y xy dy -+-=⎰________．【答案】0 【解析】223P xy y y ∂=-∂，223Qxy y x∂=-∂，P Q y x ∂∂=∂∂，由格林公式得，该曲线积分为0．39．已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________． 【答案】1-【解析】将x y xe =代入微分方程得x x x x e xe axe e ++=，即1a =-．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．【答案】3e【解析】23012!3!!!n n xn x x x x e x n n ∞==++++++=∑，故303!nn e n ∞==∑．三、计算题 （每小题5 分，共45 分）41．求极限2040sin (1)sin lim 1cos x x x tdt e x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰． 【答案】32【解析】220044000sin sin (1)sin (1)sin lim lim lim 1cos 1cos x x x x x x x tdt tdt e x e x x x x x →→→⎡⎤--⎢⎥-=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230022sin 13lim lim 214222x x x x x x x x→→⋅=-=-=．42．设由方程22y e xy e -=确定的函数为()y y x =，求0x dy dx=．【答案】24e -【解析】方程两边同时关于x 求导，得220y e y y xy y ''⋅--⋅=，当0x =时，2y =，代入得 204x dy e dx-==．43．求不定积分21x xe +．32(1)213x x e e C ++ 【解析】令1x t e =+21x e t =-，2ln(1)x t =-，则221tdx dt t =-，于是 2222332(1)222(22)2(1)211331xx x x t t dt t dt t t C e e C t t e -=⋅=-=-+=++-+⎰⎰．44．求定积分220(2)x x x dx +-⎰．【答案】22π+【解析】22222000(2)221(1)(1)x x x dx xdx x x dx x d x -=+-=----⎰⎰⎰⎰令1t x =-，则122220111(1)(1)11122x d x t dt t dt ππ-----=-=--=-⋅⋅=-⎰⎰⎰，故220(2)22x x x dx π-=+⎰．45．求过点(1,2,5)-且与直线2133x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．【答案】125315x y z --+==- 【解析】由题意得，两平面的法向量分别为1(2,1,1)=-n ，2(1,3,0)=-n ，所以该直线的方向向量为12211(3,1,5)130=⨯=-=--i j ks n n ，又直线过点(1,2,5)-，故该直线的方程为125315x y z --+==-．46．求函数22(,)328f x y x y xy x =+-+的极值． 【答案】24-【解析】228x f x y =-+，62y f y x =-，令00x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，得驻点为62x y =-⎧⎨=-⎩，又2xx f =，2xy f =-，6yy f =，对于驻点(6,2)--，280B AC -=-<，20A =>， 故函数在点(6,2)--处取得极小值(6,2)24f --=-．47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数．【答案】011()(1)222n n n n f x x x ∞=⎛⎫⎡⎤=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 【解析】2311()21112x f x x x x x ==-+-+-， 其中01(1)(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑，00111(2)21222n n nn n x x x x ∞∞==⎛⎫==-<< ⎪-⎝⎭∑∑，故00011()(1)2(1)222nnnnn n n n n n f x x x x x ∞∞∞===⎛⎫⎡⎤=-+=-+-<< ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑∑．48．计算二重积分22Dx y d σ+，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．【答案】3π【解析】用极坐标计算，{}(,)03,02D r r θθπ=≤≤≤≤，于是232220323Dx y d d rdr d ππσθθπ+=⋅==⎰．49．求微分方程960y y y '''-+=的通解． 【答案】1312()x y C C x e =+（12,C C 是任意常数）【解析】对应的特征方程为29610r r -+=，特征根为1213r r ==，因此所给方程的通解为1312()x y C C x e =+（12,C C 是任意常数）．四、应用题 （每小题8 分，共 16 分）50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 【答案】当2hr=时，用料最省 【解析】设该容器的高为h ，底面半径为r ，则该容器的容积2V r h π=，即2Vh r π=， 该带盖容器的用料222222V S r rh r r πππ=+=+，则224V S r rπ'=-， 令0S '=，解得唯一驻点32V r π=，故当32Vr πS 取值最小，此时 323322V h V V V r r r r ππππ===⋅=．51．平面图形D 由曲线2y x =直线2y x =-及x 轴所围成．求： （1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积． 【答案】（1）56 （2）815π 【解析】（1）由题意可得，此平面区域D 如图所示，则1312200125(2)2236S y y dy y y y ⎡⎤⎡=-=--=⎢⎥⎣⎣⎦⎰． （2）平面D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积为124251322101118(2)245315x V x dx x dx x x x x πππππ⎛⎫=+-=+-+=⎪⎝⎭⎰⎰．五、证明题 （9 分）52．设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)2f =． 证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+．【解析】构造函数2()()F x f x x =-，由题意可知()F x 在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，故在(0,1)内至少存在一点ξ，使得(1)(0)()10F F F ξ-'=-，代入得，()()21F f ξξξ''=-=，即()21f ξξ'=+．。

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 值602045169150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

1．设函数)(x f 的定义域为区间(1,1]-，则函数(1)e f x -的定义域为A ．[2,2]-B ．(1, 1]-C ．(2, 0]-D ．(0, 2]2．若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是A ．331()y x f x =-，[1, 1]x ∈-B ．3()tan y xf x x =+，(π, π)x ∈- C ．3sin ()y x x f x =-，[1, 1]x ∈- D ．25()e sin x y f x x =，[π, π]x ∈- 3．当0→x 时，2e1x-是sin 3x 的A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶非等价无穷小4．设函数2511sin , 0()e , 0xx x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，则0x =是)(x f 的 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．连续点D ．第二类间断点5．下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为 A ．220x += B ．sin 1πx =- C ．32520x x +-=D ．21arctan 0x x ++=6．函数)(x f 在点0x x =处可导，且1)(0-='x f ，则000()(3)lim2h f x f x h h →-+=A ．23B ．23-C ．32-D ．327．曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．)1(+-=x y C ．1y x =-+D ．)1)(1(ln -+=x x y8．设函数2π12sin 5y x =--，则='y A ．2π2cos 51x x ---B ．21x x--C ．221x x -D ．222πcos 551xx ---9．若函数()f x 满足2d ()2sin d f x x x x =-，则()f x = A ．2cos x B ．2cos x C +C ．2sin x C +D ．2cos x C -+10．d e sin(12)d d b xa x x x--=⎰ A ．e sin(12)x x -- B ．e sin(12)d x x x -- C ．e sin(12)xx C --+D ．011．若()()f x f x -=，在区间(0, )+∞内，()0f x '>，()0f x ''>，则()f x 在区间(, 0)-∞内A ．()0f x '<，()0f x ''<B ．()0f x '>，()0f x ''>C ．()0f x '>，()0f x ''<D ．()0f x '<，()0f x ''>12．若函数()f x 在区间(, )a b 内连续，在点0x 处不可导，0(, )x a b ∈，则 A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点 C ．0x 不是()f x 的极值点 D ．0x 可能是()f x 的极值点13．曲线e xy x -=的拐点为 A ．1x =B ．2x =C ．222,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11, e ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．曲线2arctan 35xy x=+ A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线 15．若x cos 是)(x f 的一个原函数，则=⎰)(d x f A ．sin x C -+ B ．sin x C +C ．cos x C -+D ．cos x C +16．设曲线()y f x =过点(0, 1)，且在该曲线上任意一点(, )x y 处切线的斜率为e x x +，则=)(x fA ．2e 2x x - B ．2e 2x x + C ．2e xx +D ．2e xx -17．2 π4πsin d 1x xx x -=+⎰ A ．2B ．0C ．1D ．1-18．设)(x f 是连续函数，则2()d x af t t ⎰是A ．)(x f 的一个原函数B ．)(x f 的全体原函数C ．)(22x xf 的一个原函数D ．)(22x xf 的全体原函数19．下列广义积分收敛的是 A ．11d x x+∞⎰ B ．2e ln d x x x +∞⎰ C ．2e1d ln x x x+∞⎰D ．21d 1xx x+∞+⎰20．微分方程0)(224=-'+''y x y y x 的阶数是 A ．1B ．2C ．3D ．421．已知向量{5, , 2}a x =-和{, 6, 4}b y =平行，则x 和y 的值分别为 A ．4-，5B ．3-，10-C ．4-，10-D ．10-，3-22．平面1x y z ++=与平面2=-+z y x 的位置关系是 A ．重合 B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是 A ．221y z += B ．22z x y =+ C ．222z x y =+ D ．22z x y =-24．关于函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩下列表述错误的是A ．(, )f x y 在点(0, 0)处连续B ．(0, 0)0x f =C ．(0, 0)0y f =D ．(, )f x y 在点(0, 0)处不可微 25．设函数)ln(y x y x z -=，则=∂∂yzA ．)(y x y x -B ．2ln()x x y y --C ．ln()()x y xy y x y -+- D ．2ln()()x x y xy y x y ---- 26．累次积分2222 02d (, )d x x x x x f x y y ---⎰⎰写成另一种次序的积分是A ．1d (, )d yyy f x y x -⎰⎰B ．2222 02d (, )d y y y y y f x y x ---⎰⎰C ．2211 11d (,)d y y y f x y x ----⎰⎰D ．22111 111d (, )d y y y f x y x +----⎰⎰27．设{(, )|D x y x =≤2, y ≤2}，则⎰⎰=Dy x d dA ．2B ．16C ．12D ．428．若幂级数∑∞=0n nn x a的收敛半径为R ，则幂级数∑∞=-02)2(n nnx a 的收敛区间为 A ．(, )R R - B ．(2, 2)R R -+ C ．(, )R R -D ．(2, 2)R R -+29．下列级数绝对收敛的是 A ．∑∞=-11)1(n nn B ．∑∞=-1223)1(n n nnC ．∑∞=-+-1121)1(n n n nD ．∑∞=--1212)1(n nn n30．若幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在点1x =处发散，在点5x =处收敛，则在点0x =，2x =，4x =，6x =中使该级数发散的点的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个31．设(32)f x -的定义域为(3, 4]-，则)(x f 的定义域为________． 32．极限lim(23)x x x x →+∞+--=________．33．设函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =++--，则(4)()f x =________．34．设参数方程22 1 31x t y t =+⎧⎨=-⎩所确定的函数为()y y x =，则22d d yx =________． 35．(ln 1)d x x +=⎰________．36．点(3, 2, 1)-到平面10x y z ++-=的距离是________． 37．函数(1)x z y =+在点(1, 1)处的全微分d z =________．38．设L 为三个顶点分别为(0, 0)，(1, 0)和(0, 1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则2322()d (3)d Lxy y x x y xy y -+-=⎰________．39．已知微分方程x ay y e =+'的一个特解为x x y e =，则a =________．40．级数03!nn n ∞=∑的和为________．三、计算题（每小题5分，共45分）41．求极限2040sin d (e 1)sin lim 1cos x x x t t x x x →⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰． 42．设由方程22e e y xy -=确定的函数为)(x y y =，求d d x yx=．43．求不定积分2e d e 1xxx +⎰． 44．求定积分()22 02d x x x x +-⎰．45．求过点(1, 2, 5)-且与直线213 3x y z x y -+=⎧⎨-=⎩平行的直线方程．46．求函数x xy y x y x f 823),(22+-+=的极值． 47．将23()21xf x x x =+-展开成x 的幂级数．48．计算二重积分22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．49．求微分方程069=+'-''y y y 的通解．50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？ 51．平面图形D 由曲线2x y =，直线x y -=2及x 轴所围成．求： （1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积．五、证明题（9分）52．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且(0)0f =，(1)2f =．证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立．。

专升本高数试题及详解答案一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 下列函数中，不是偶函数的是（）。

A. y = x^2B. y = |x|C. y = cos(x)D. y = sin(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 5在区间（-∞，+∞）内的最大值是（）。

A. 5B. 9C. 12D. 无法确定3. 设曲线y = x^2上点P(-1, 1)，则过点P的切线方程为（）。

A. y = -2x - 1B. y = -x - 2C. y = x - 2D. y = 2x + 14. 以下哪个级数是收敛的？（）A. ∑((-1)^n)/nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑((-1)^(n+1))/n^25. 若函数f(x)在点x=a处连续，则必有（）。

A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a-) f(x) = f(a)D. lim(x->a+) f(x) = f(a)二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2) = _______。

2. 曲线y = x^3在点（1,1）处的切线斜率为 _______。

3. 设数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，则该数列的公差d= _______。

4. 若级数∑an收敛，则级数∑(an/2^n) _______（填“收敛”或“发散”）。

5. 利用定积分的几何意义，计算曲边梯形的面积，若y = 2x + 1在[0, 2]上的面积为 _______。

三、解答题（本题共4小题，共75分）1. （15分）求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的单调区间，并证明。

2. （15分）设函数f(x) = ln(x + 2)，求f(x)的n阶导数f^(n)(x)。

3. （20分）计算定积分∫[0, 4] (2x^2 - 3x + 1) dx，并说明其几何意义。

绝密★启用前2010年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

1.A、 B.0 C. D.—2.设函数，则′=A、2B、1C、D、−3.设函数，则′=A.2B.-2C.D.-4.下列在区间（0，+）内单调减少的是A.y=xB.y=C.y=D.y=5.dx=A.-+CB.+CC.+CD.+C6.曲线y=1-与x轴所围成的平面图形的面积S=A.2B.C.1D.7.已知=dt，则′=A. B.+1 C. D.8.设函数z=，则￨A.0B.C.1D.29.设函数z=，则=A.-B.C.D.10.袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出2个球均为白色球的概率为A. B. C. D.二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

11、12、当0时，与是等价无穷小量，则13、设函数在点处的极限存在，则a=14、曲线y=+3+1的拐点坐标为15、设函数y=，则=16、设曲线y=ax在x=0处的切线斜率为2，则a=17、=18、=19、=20、函数z=2的驻点坐标为三、解答题：21－28题，共70分。

解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。

21、（本题满分8分）计算 .22、（本题满分8分）设y=，求 .23、（本题满分8分）计算。

24、（本题满分8分）计算。

25、（本题满分8分）（1）求常数a .（2）求X的数学期望EX和方差DX.26、（本题满分10分）在半径为R的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示）.当矩形的长和宽各位多少时，矩形面积最大？最大值是多少？27、（本题满分10分）证明：当x1时，x1.28、（本题满分10分）求二元函数，=++xy，在条件x+2y=4下的极值.绝密★启用前2010年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：每小题4分，共40分.1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. C8.D9.A 10.B二、填空题：每小题4分，共40分.11. 0 12. 113.1 14.15.16. 217.+ C 18. e 119.20.三、解答题：共70分.21.解：=6分= . 8分22.解：y′=′2分= . 6分所以 = y′=8分23.解：=6分=+ C 8分24.解：设 = t，则 =2t . 2分当x=0时，t=0；当x=1时，t=1 . 3分则 =2=2=2t25.解：（1）因为0.2 + 0.1 + 0.3 + a = 1，所以a=0.4 . 3分（2）EX=00.2=1.9 5分 DX=0.2+++0.4=1.29 8分26.解：如图，设x轴通过半圆的直径，y轴垂直且平分直径 .设OA=x，则AB= .矩形面积S=2x . 2分S′=2 -=2 . 6分令S′=0，得x=R （舍去负值）. 8分由于只有一个驻点，根据实际问题，x=R必为所求.则AB=R.所以，当矩形的长为R，宽为R时，矩形面积最大，且最大值S= . 8分27.解：设= x-1-，2分则′=1- .当 x1时，′0，则单调上升 .所以当x1时，= 0. 6分即 x-1-0 ，得 x6分28.解：设F，， =，= . 4分令，①，②，③8分由①与②消去得x=0，代入③得y = 2 .所以函数，的极值为4 . 10分。

2010专升本数学答案1楼发表于 2010-6-17 08:22 | 只看该作者 | 倒序看帖 | 打印高等数学试卷第 1 页（共 6 页）一、选择题（每小题2 分，共60 分）1．设函数 f (x ) 的定义域为区间(-1 ,1] ，则函数 e f ( x-1 ) 的定义域为A．[- 2, 2] B．(- 1, 1] C．(- 2, 0] D．(0, 2]【答案】D.解： -1< x -1&pound; 1&THORN; 0 < x &pound; 2 ，应选 D.2．若 f (x ) (x&Icirc; R ) 为奇函数，则下列函数为偶函数的是A． y = 3 x3 - 1f (x ) ， x&Icirc;[-1, 1]高等数学试卷第 2 页（共 6 页）B． y = xf (x) + tan 3 x ， x&Icirc;( - π, π)C． y = x3 sin x - f (x ) ， x&Icirc;[- 1, 1]D． y = f (x)ex 2 sin 5 x ， x&Icirc;[ - π, π]【答案】D.解：根据偶函数的定义及结论得： y = f (x)ex 2 sin 5 x ， x&Icirc;[ - π, π] 为偶函数，应选 D.3．当 x &reg; 0 时， e2 x - 1 是sin 3x的A．低阶无穷小 B．高阶无穷小C．等价无穷小 D．同阶非等价无穷小【答案】D.解：20 0lim e 1 lim 2 2sin 3 3 3xx xx&reg; x &reg; x-= = ，从而是同阶非等价无穷小，应选 D.4．设函数251sin 1 , 0( )ex , 0f x xxë > &iuml;= ì&iuml;&icirc; <，则 x = 0 是 f (x ) 的A．可去间断点 B．跳跃间断点C．连续点 D．第二类间断点【答案】A.解：120 0 5 0 0lim ( ) lim sin 1 0; lim ( ) lim ex 0x x x xf x x f x&reg; + &reg; + x &reg; - &reg; -= = = = ，从而 x = 0 是可去间断点，应选 A.5．下列方程在区间(0, 1) 内至少有一个实根的为A． x 2 + 2 = 0 B．sin x = 1 - πC． x3 + 5x 2 - 2 = 0 D． x2 +1+ arctan x = 0【答案】C.解：构造函数，验证端点函数值异号，应选 C.6．函数 f (x ) 在点 0 x = x 处可导，且 ( ) 1 0 f &cent; x = - ，则 0 0 0lim ( ) ( 3 )h 2f x f x h&reg; h- +=A．23B．23- C．32- D．2高等数学试卷第 3 页（共 6 页）【答案】D.解： 0 00 0lim ( ) ( 3 ) 3 ( ) 3h 2 2 2f x f x h f x&reg; h- + &cent; = - = ，应选 D.7．曲线 y = x ln x 的平行于直线 x - y + 1 = 0 的切线方程是A． y = x - 1 B． y = - ( x + 1)C． y = -x + 1 D． y = (ln x + 1) ( x - 1)【答案】A.解： y = x ln x&THORN; y&cent; =1+ ln x =1&THORN; x =1, y = 0 ，可得切线为 y = x - 1 ，应选A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件，直接得到。

数学试题卷 第 1 页（共 7 页）河南省2010年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题卷考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效一、选择题（每小题2分，共20分。

每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）1．设集合2{|22,A y y x x x ==++∈R }，集合{|(2)(3)0}B y y y =-+≤，则集合A B 等于A ．[1,2]B ．[3,1]-C ．[3,)-+∞D ．[2,)+∞2．设A 、B 是集合，“A B ⊆”是“A B B = ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2lg(56)y x x =-++的定义域是A ．(,6)(1+-∞-∞ ，）B ．(,1)(6+-∞-∞ ，）C ．(6,1)-D ．(1,6)-4．等差数列{}n a 的通项公式是32n a n =-+，则公差d 是A ．4-B ．3-C ． 3D ．45．已知1sin 3α=且tan 0α<，则cot α的值是 A．-B．-CD．6．垂直于平面α的两条不重合直线一定A ．平行B ．垂直C ．相交D ．异面数学试题卷 第 2 页（共 7 页）7．向量(1,2)a -与向量(,2)b m 垂直，则m 的值是A ．4-B ．1-C ．1D ．48．方程为324kx y k -=+的曲线经过点(2,1)P -，则k 的值是A ．2-B ．1-C ．1D ．29．将6人分成甲、乙、丙三组，一组1人，一组2人，一组3人，共有分法A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种10．同时掷两枚均匀骰子，出现数字和大于10的概率是A ．16B ．112C ．118D ．124二、判断题（每小题1分，共10分。

在答题卡的括号内正确的打“√”，错误的打“×”）11．集合2{10}x -=有4个子集.12．若A 是B 的必要条件，则B 是A 的充分条件. 13．函数1lg1xy x-=+是奇函数. 14．函数cos y x x =-的最小正周期是2π. 15．若sin 0tan αα>，则α是第一象限角. 16．若等差数列{}n a 的公差是0，则{}n a 一定也是等比数列. 17．若双曲线的两条渐近线确定，则双曲线唯一确定. 18．过直线外一点有无数条直线与该直线平行. 19．若||1a = ，则a是单位向量.20．椭圆的焦点越接近对称中心，椭圆就越接近于圆. 三、填空题（每小题2分，共20分)21．若集合2{|(2)10,x x m x m +++=∈R }{|0}x x >=∅ ，则m 的取值范围是_____.22．设2(sin )tan f x x =，则()f x =_____.数学试题卷 第 3 页（共 7 页）23．设sin α=则44sin cos αα-的值是_____. 24．函数()lg(lg 2)f x x =-的定义域是_____. 25．函数35,[0,1]y x x =+∈的反函数是_____. 26．函数2341y x x =--+的单调递减区间是_____. 27．数列11111,,,,,23456--- 的一个通项公式是_____. 28．抛物线230x y -=的焦点坐标是_____.29．向量|||3,a b a == 与b的夹角是4π，则a b ⋅= ____.30．n的二项式系数的和是256，则展开式中的常数项是_____（用数字作答）.四、计算题（每小题6分，共18分）31．设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且对任何,x y 有()()()f x y f x f y x y ⋅=⋅--，求()f x .32．求点(4,5)A 关于直线3y x =+的对称点的坐标.33．甲袋中有大小相同的3个白球和4个红球，乙袋中有大小相同的4个白球和4个红球，现从两个袋中各取出2个球，求4个球都是红球的概率. 五、证明题（每小题6分，共12分）34．菱形ABCD 在平面α上，PA α⊥，求证：PC BD ⊥. 35．求证：函数sin tan cos cot x xy x x+=+在定义域内恒大于零.六、综合题（每小题10分，共20分）36．已知1a ≥，n a 是()na x +展开式中x 的系数(n ∈N *).数学试题卷 第 4 页（共 7 页）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123=++++ n n S a a a a ，求n S .37．在ABC ∆中， 用,,a b c 表示,,A B C ∠∠∠所对的边，已知222b c a bc +=+. （1）求A ∠；（2）求证：若3sin sin 4B C =，则ABC ∆是等边三角形. 河南省2010年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共20分）1．A 2．C 3．D 4．B 5． A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．B 二、判断题（每小题1分，共10分）11．× 12．√ 13．√ 14．√ 15．× 16．× 17．× 18．×19．√20．√三、填空题（每小题2分, 共20分)21．(4,)-+∞22．221x x -23．35-24.(100,)+∞25．5,[5,8]3x y x -=∈26．2[,)3-+∞27．(1)1nn a n -=+28．3(,0)429．1230．70说明：区间可以用集合表述. 四、计算题（每小题6分，共18分）31．解：由已知，令0y =，得:(0)(0)()f f f x x =-.……（1分）令0x y ==得2(0)(0)(0)0f f f =⇒=或(0)1f =,若(0)0f =则得0x -=与题意不合，所以(0)1f =. ……（4分）于是()1f x x =+,检验有()()()f xy f x f y x y =--.数学试题卷 第 5 页（共 7 页）所以()1f x x =+即为所求.………………（6分）32．解:设点B 是点(4,5)A 关于直线3y x =+的对称点,则3y x =+是线段AB 的垂直平分线, …………………………（1分） 易得直线AB 的方程9y x =-+.…………………………（2分） 9y x =-+与3y x =+的交点是(3,6),……………………（5分）由中点公式453,622x y ++==，得B 点的坐标(2,7).……（6分）33．解：用,A B 表示“从甲袋中取出的两个球都是红球”和“从乙袋中取出的两个球都是红球”两个事件.……………………………………（2分）24272()7C P A C ==，24283()14C P B C ==.……………………（4分）,A B 是相互独立事件，所以所求概率是3()()()49P A B P A P B ⋅=⋅=. ………………………………（6分）五、证明题（每小题6分，共12分）34．证明：如图，连接AC . ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.…（2分）PA α⊥，所以BD PA ⊥, BD ∴⊥平面PAC .…………………………………………（5分）又因为PC 在平面PAC 上， 所以PC BD ⊥.……………………………………………………（6分）35．证明：要使函数有意义，则,2k x k π≠∈Z . 所以22sin 0,cos 0,1sin 0,1cos 0x x x x >>+>+>.……（3分）34题图数学试题卷 第 6 页（共 7 页）y =sin sin cos cos cos sin xx x x x x++22sin (cos 1)0cos (sin 1)x x x x +=>+.………………（6分）说明：34题可以不画图. 六、综合题（每小题10分, 共20分）36．解：（1）由二项式定理得1r n r rr n T C a x -+=,……………………（2分）令1r =得1,n n a na n -=∈N *. ………………………………（3分） （2）若1a =，则(1),2n n n n a n S +==.…………………………（5分）若1a >，则21123n n S a a na -=++++ ,………………（6分）2323n n aS a a a na =++++ .两式相减得1(1)1nn n a a S na a--=--.……………………（9分）21(1)1n nn a na S a a-∴=---. ……………………………………（10分）37．解：（1）由余弦定理得：222221cos 222b c a a bc a A bc bc +-+-===，……………………（2分）所以3A π∠=. ………………………………………………（4分）（2）由（1）得23B C π∠+∠=, …………………………（5分）2sin sin sin sin()3B C B B π=-212sin 42B B =+ …………………………（7分）2112(12sin )44B B =--+数学试题卷 第 7 页（共 7 页）112cos244B B =-+ 113sin(2)2644B π=-+=.……………………（9分）sin(2)126623B B B ππππ∴-=⇒-=⇒=.于是3A B C π∠=∠=∠=，所以ABC ∆是等边三角形. ……（10分）。

2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602045169150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.设函数()f x 的定义域为区间(-1,1]，则函数()1-x f e 的定义域为（）A.[2,2]- B.(1,1]- C.(2,0]- D.(0,2]2.若()()R x x f ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是（）A.()[]1,1,133-∈-=x x f x y B.()()ππ,,tan 3-∈+=x x x xf y C.()[]1,1,sin 3-∈-=x x f x x y D.()[]ππ,,sin 52-∈=x x e x f y x 3.当0→x 时，21xe -是x 3sin 的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小4.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>=.0,,0,1sin 152x e x x x x f x 则0=x 是()x f 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点 5.下列方程在区间（0,1）内至少有一个实根的是（）A.022=+x B.π-=1sin x C.02523=-+x x D.0arctan 12=++x x 6.函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000（）A.32 B.32-C.23-D.237.曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）A.1-=x yB.()1+-=x yC.1+-=x y D.()()11ln -+=x x y 8.设函数5sin 212π--=x y ，则='y （）A.5cos212π---x x B.21x x --C.212x x - D.5cos52122π---x x9.若函数()x f 满足()dx x x x df 2sin 2-=，则()=x f （）A.2cos xB.C x +2cos C.C x +2sin D.C x +-2cos 10.()=-⎰-dx x e dxd b a x21sin （）A.()x e x 21sin --B.()dx x e x 21sin --C.()Cx e x +--21sin D.011.若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在区间()0,∞-内（）A.()()0,0<''<'x f x fB.()()0,0>''>'x f x fC.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''<'x f x f 12.若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x 处不可导，()b a x ,0∈，则（）A.0x 是()x f 的极大值点B.0x 是()x f 的极小值点C.0x 不是()x f 的极值点D.0x 可能是()x f 的极值点13.曲线x xe y -=的拐点为（）A.1=x B.2=x C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22,2e D.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,114.曲线35arctan 2+=xxy （）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线15.若x cos 是()x f 的一个原函数，则()=⎰x df （）A.C x +-sinB.C x +sinC.C x +-cosD.Cx +cos 16.设曲线()x f y =过点(0,1)，且在该曲线上任意一点()y x ,处切线的斜率为xe x +，则()=xf （）A.22xx e - B.xe x +22C.xe x +2D.xex -217.dx x xx ⎰-+ππ421sin =（）A.2B.0C.1D.1-18.设()x f 是连续函数，则()dt t f x ⎰2是（）A.()x f 的一个原函数B.()x f 的全体原函数C.()22x xf 的一个原函数D.()22x xf 的全体原函数19.下列广义积分收敛的是（）A.dxx⎰+∞11 B.dx x xe ⎰∞+2ln C.dx xx e⎰+∞2ln 1D.dx x x e⎰+∞+2120.微分方程422('')'0x y y x y +-=的阶数是（）A.1B.2C.3D.421.已知向量}{5,,2a x =- 和}{,6,4b y =平行，则x 和y 的值分别为（）A.5,4- B.10,3-- C.10,4-- D.3,10--22.平面1=++z y x 与平面2=-+z y x 的位置关系是（）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是（）A.122=+z yB.22y x z +=C.222y x z += D.22y x z -=24.关于函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0,0,0,,222222y x y x y x xy y x f 下列表述错误的是（）A.()y x f ,在点(0,0)处连续B.()00,0=f C.()00,0='y f D.()y x f ,在点(0,0)处不可微25.设函数()y x y x z -=ln ，则=∂∂yz（）A.()y x y x- B.()2ln y y x x --C.()()y x y xy y x -+-ln D.()()y x y xy y x x ----2ln 26.累次积分()dy y x f dx x x x x ⎰⎰---22222,写成另一种次序的积分是（）A.()dx y x f dy yy⎰⎰-1, B.()dx y x f dy y y y y ⎰⎰---202222,C.()dxy x f dy y y ⎰⎰----111122, D.()dxy x f dy y y ⎰⎰--+--11111122,27.设(){}2,2|,≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy （）A.2B.16C.12D.428.若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则幂级数()∑∞=-022n nn x a 的收敛区间为（）A.()RR - B.()R R +-2,2C.()R R ,- D.()RR +-2229.下列级数绝对收敛的是（）A.()∑∞=-111n nn B.()∑∞=-12231n nnnC.()∑∞=-+-11211n nn n D.()∑∞=--12121n nn n 30.若幂级数()∑∞=-03n nn x a 在点1=x 处发散，在点5=x 收敛，则在点0=x ，2=x ，4=x ，6=x 中使该级数发散的点的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每小题2分，共20分）31.设()x f 23-的定义域为(3,4]-，则()x f 的定义域为________32.极限()=--++∞→32limx x xx ________33.设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________34.设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______35.()⎰=+dx x 1ln ________.36.点(3,2,1)-到平面01=-++z y x 的距离是________37.函数()xy z +=1在点(1,1)处的全微分=dz ________38.设L 为三个顶点分别为(0,0)，(1,0)和(0,1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则()()=-+-⎰dy xy y x dx y xyL22323________39.已知微分方程x e ay y =+'的一个特解为x xe y =，则=a ________40.级数∑∞=0!3n nn 的和为________三、计算题（每小题5分，共45分）41.求极限()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎰→4002sin cos 1sin 1lim xtdt x x e x x x42.设由方程22e xy e y =-确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy 43.求不定积分dxe e xx ⎰+1244.求定积分().222dx x x x ⎰-+45.求过点(1,2,-5)且与直线⎩⎨⎧=-=+-,33,12y x z y x 平行的直线方程.46.求函数()x xy y x y x f 823,22+-+=的极值47.将()1232-+=x x xx f 展开成x 的幂级数.48.计算二重积分σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆322=+y x 所围成的闭区域.49.求微分方程069=+'-''y y y 的通解.四、应用题（每小题8分，共16分）50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？51.平面图形D 由曲线2x y =直线x y -=2及x 轴所围成.求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积.五、证明题（9分）52.设函数()x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且()().21,00==f f 证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立.2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数()()22ln ++-=x x x x f 的定义域是（）A.()2,∞- B.()+∞-,2 C.()2,2- D.(0,2)2.设()2212++=+x x x f ，则()=x f （）A.2xB.12+x C.652+-x x D.232+-x x 3.设函数()()+∞∞-∈,,x x f 为奇函数，()()+∞∞-∈,,x x g 为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（）A.()()f x g x ⋅B.()[]x g fC.()[]x f gD.()()x g x f +4.=→xx x 1sinlim 0（）A.1- B.1C.0D.不存在5.设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim（）A.4B.5C.2D.16.当0→x 时，下列无穷小量与x 不等价的是（）A.22x x -B.123--x e xC.xx )1ln(2+ D.)sin sin(x x +7.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=000111x x e x f x，则0x =是()x f 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点8.x y sin =的三阶导数是（）A.xsin B.xsin - C.xcos D.xcos -9.设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （）A.2π B.4π C.0D.110.若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（）A.0x 是()x f 的极大值点B.0x 是()x f 的极小值点C.0x 不是()x f 的极值点D.无法确定0x 是否为()x f 的极值点11.方程xy 1arcsin =所表示的曲线（）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线12.dx x ⎰-1121=（）A.0B.2C.2- D.以上都不对13.方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（）A.0B.1C.2D.314.设()x f 是x cos 的一个原函数，则()=⎰x df （）A.C x +sinB.C x +-sinC.C x +-cosD.Cx +cos 15.设()tdt e x F x xt sin 2cos ⎰+=π，则()x F （）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数16.设=⎰dt te dxd b x t（）A.xxe- B.xxeC.xbee - D.xb xebe -17.由曲线()π≤≤=x x y 0sin 与x 轴所围成的区域的面积为（）A.0B.2C.2D.π18.关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（）A.一定含有两个任意常数B.通解包含所有解C.一个方程只有一个通解D.以上说法都不对19.微分方程x y y =+'3的通解是（）A.122++=x Ce x yB.1-+=Cx xe y xC.913++=xCe x y D.91313-+=-xCe x y 20.已知向量a i j k =++ ，则垂直于a且垂直于y 轴的向量是（）A.i j k-+ B.i j k -- C.i k+D.i k- 21.对任意两个向量a ，b，下列等式不恒成立的是（）A.a b b a+=+ B.a b b a⋅=⋅ C.a b b a⨯=⨯ D.()()2222a b a ba b⋅+⨯=⋅ 22.直线011z y x =-=与平面2=-+z y x 的位置关系是（）A.平行B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直23.xy yy x sin lim2→→的值为（）A.0B.1C.21D.不存在24.函数()y x f ,在点()00,y x 处的两个偏导数()00,y x f x '，()00,y x f y '都存在是()y x f ,在该点连续的（）A.充要条件B.必要非充分条件C.充分非必要条件D.既非充分亦非必要条件25.函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x z 1ln 在点()1,1处的全微分()=|1,1dz （）A.0B.()dy dx -21C.dy dx -D.dy ydx y x 11-+26.设1220I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后（）A.dyy x dx I x⎰⎰-=1010223 B.dyy x dx I y⎰⎰-=1010223C.dyy x dx I x ⎰⎰-=21022103 D.dyy x dx I x ⎰⎰+=210221327.设L 为三个顶点分别为(1,0),O(0,0)A -和(0,1)B 的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则()=-+-⎰dy y x dx y x L )2(3（）A.0B.1C.2D.1-28.设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤=11,40|,y x y x D π，则=⎰⎰dxdy y x y D)2cos(（）A.21-B.0C.41 D.2129.若级数∑∞=1n na与∑∞=1n nb都发散，则下列表述必正确的是（）A.()∑∞=+1n n nb a发散 B.∑∞=1n nn ba 发散C.()∑∞=+1n n nb a发散D.()∑∞=+122n n nb a发散30.若级数()nn n x a 21-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在4=x 处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定二、填空题（每小题2分，共20分）31.()=-→xx x 11lim ________.32.设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________.33.曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________.34.()=-⎰dx x x 11_______.35.以x x xe C e C 2221--+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为________.36.点(1,2,3)关于y 轴的对称点是________.37.函数yx ez +=在点(0,0)处的全微分=|)0,0(dz________.38.由1=++xy y x 所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________.39.函数22y x z +=在点（1，2）处沿从点1(1,2)P到2(2,2P +的方向的方向导数等于________.40.幂级数1nn x n ∞=∑的收敛区间为________.三、计算题（每小题5分，共50分）41.用夹逼准则求极限.21lim 222⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn 42.讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性.43.求不定积分dxe e x x⎰+1244.求定积分.1dx xex⎰45.求微分方程x e y y y =+'+''23的通解.46.设()2,x y x z +=ϕ，且ϕ具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.47.求曲面：:3z e z xy ∑-+=在点0(2,1,0)M 处的切平面方程.48.计算二重积分σd e Dy x ⎰⎰+，其中D 是由直线1=+y x 和两条坐标轴所围成的闭区域.49.计算()dz y x ydy xdx L⎰-+++1．L 是从点()1,1,1A )到点)4,1,1(B 的直线段.50.将21()f x x =展开为(1)x +的幂级数.四、应用题（每小题6分，共12分）51.求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.52.求几何体44422≤++z y x 的体积.五、证明题（8分）53.设函数()()x g x f ,均在区间[]b a ,上连续，()()()()a g b f b g a f ==,，且()().b f a f ≠证明：存在一点()b a ,∈ξ，使()().ξξg f =2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数xx y 1arctan4++=的定义域是（）A.[4,)-+∞B.(4,)-+∞C.[4,0)- (0,)+∞D.(4,0)- (0,)+∞2.下列函数为偶函数的是（）A.()x x y -+=1log 32B.x x y sin =C.()xx ++1ln D.xey =3.当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（）A.xB.x 21 C.2xD.x24.设函数()xx f 1sin 2=，则0=x 是()x f 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.函数3x y =在0=x 处（）A.极限不存在B.间断C.连续但不可导D.连续且可导6.设函数()()x x x f ϕ=其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ则()0f '（）A.不存在B.等于()0ϕ'C.存在且等于0D.存在且等于()0ϕ7.若函数()u f y =可导，xe u =，则=dy （）A.()dxe f x' B.()()xxed e f 'C.()xf x e dx¢× D.()[]()xxe d ef '8.曲线()x f y 1=有水平渐近线的充分条件是（）A.()0lim =∞→x f x B.()∞=∞→x f x lim C.()0lim 0=→x f x D.()∞=→x f x 0lim 9.设函数x x y sin 21-=，则=dydx （）A.y cos 211-B.x cos 211-C.ycos 22- D.xcos 22-10.曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()0,1处的切线斜率是（）A.0B.1C.2D.311.方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()0,1内实根最多有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.若()x f '连续，则下列等式正确的是（）A.()[]()x f dx x f ='⎰ B.()()x f dx x f ='⎰C.()()x f x df =⎰ D.()[]()x f dx x f d=⎰13.如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f （）A.C x +++2111 B.Cx +--2111C.Cx x +-arcsin D.Cx +-+211114.设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （）A.Cx + B.C x x ++221C.Cx x ++2D.C x +22115.=-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（）A.2cos x - B.()xx cos sin cos 2C.2cos x x D.()2sin cos x16.=-⎰dx e x x 2132（）A.1B.0C.121--eD.11--e17.下列广义积分收敛的是（）A.⎰10ln 1xdxxB.⎰1031dxxx C.⎰+∞1ln 1xdx xD.dxe x ⎰+∞--3518.微分方程122=+dx dyy dxy d 是（）A.二阶非线性微分方程B.二阶线性微分方程C.一阶非线性微分方程D.一阶线性微分方程19.微分方程yxx dx dy cos sin =的通解为（）A.C x y +=22cos B.C x y +=22sin C.Cx y +=2sin D.Cx y +=2cos 20.在空间直角坐标系中，若向量a 与ox 轴和oz 轴正向的夹角分别为045和060，则向量a 与oy 轴正向的夹角为（）A.030B.060C.045D.060或012021.直线32211:+=-=-z y x L 与平面02:=+y x π的位置关系是（）A.直线L 在平面π内B.平行C.垂直D.相交但不垂直22.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（）A.12322=+z x B.22yx z -=C.22z x y -= D.2222yx z =-23.()()=--→11lim1,1,xy xy y x （）A.0B.21 C.31 D.224.函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微是()y x f ,在该点处两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件25.已知()xy y x z sin ++=，则=∂∂∂yx z2（）A.()xy sinB.()()xy xy +1sinC.()()xy xy xy sin cos - D.()xy xy cos -26.幂级数02(1)!n nnn x n ∞=-∑的和函数()x s 为（）A.xe- B.xe2- C.2xe- D.xe22-27.下列级数发散的是（）A.)2)(1(43)1(21++--∑∞=n n nn nB.11)1(1+-∑∞=n n nC.n n n 31)1(11∑∞=-- D.()∑∞=+123121n n 28.若级数∑∞=-0)2(n n n x a 在点0=x 处条件收敛，则在1-=x ，2=x ，3=x ，4=x ，5=x 中使该级数收敛的点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个29.若L 是曲线3x y =上从点()1,1A 到点()1,1--B 的一条连续曲线段，则曲线积分()()dy y x xe dx y ey Ly32-++-+⎰的值为（）A.41-+-e eB.41----e e C.41+---e e D.030.设()dy y x f dx I x ⎰⎰=1002,221(,)xdx f x y dy -+⎰⎰，则交换积分次序后，I 可化为（）A.()dxy x f dy yy⎰⎰-102, B.()dxy x f dy x x ⎰⎰-2022,C.()dxy x f dy ⎰⎰12, D.()dxy x f dy x x ⎰⎰-122,二、填空题（每小题2分，共20分）31.已知()x x x f -=-21，则()=x f32.设函数2()lim 1(0)tt x f x x t →+∞⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，则(ln 2)f =33.如果函数()x f 在点a 处可导，且()a f 为()x f 的极大值，则()='a f 34.曲线xxe y -=的拐点是35.不定积分()=-⎰dx xx 11236.微分方程22x e xy dxdy-=+满足()00=y 的特解为37.向量{}2,1,1-=a 在{}4,3,0=b 上的投影为38.设方程0=++yz xz xy 所确定的隐函数是()y x z z ,=，则=∂∂==|10y x x z39.设积分区域D 为y y x 422≤+，则⎰⎰=Ddxdy 40.若)0(lim >=∞→k k nu n n ，则正项级数∑∞=1n nu的敛散性为三、计算题（每小题5分，共50分）41.1sin tan lim3--→x x ex x 42.已知参数方程()()⎩⎨⎧-=-=,cos 1,sin 1t a y t a x （t 为参数），求22dx yd .43.求不定积分dxex ⎰+144.求⎰-→xt xx dte e x 0221lim45.求微分方程222dxy d 430dyy dx ++=的通解.46.求函数()10126,23+-+-=y x x y y x z 的极值.47.求过点()1,3,2--A 且与直线⎩⎨⎧=+=-+,12,532:z x z y x L 平行的直线方程.48.求函数22ln arctany x yxz ++=的全微分.49.计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中D 为圆环：22224ππ≤+≤y x .50.求幂级数()∑∞=+-012n nn x 的收敛域.四、应用题（每小题6分，共12分）51.求函数()xx x f 1=在0>x 时的最大值，并从数列1，2，33， ，nn).52.求过点()0,3M 作曲线)3ln(-=x y 的切线，该切线与此曲线及x 轴围成一平面图形D .试求平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53.证明不等式：nnm n m m n m -<<-ln ，其中m n <为正整数.2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数1)1arcsin(--=x x y 的定义域是（）A.]20[，B.),1(+∞ C.]2,1( D.]2,1[2.设xx f -=11)(，那么=)]}([{x f f f （）A.x1 B.11-x C.211x - D.x3.函数()()01ln 12≠-+=x xx y 是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数4.设xxx f 2sin )(=，则0=x 是)(x f 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点5.当0→x 时，下列无穷小量中与x x --+11等价的是（）A.xB.x2 C.2xD.22x6.已知=--=='='→xx g x f g f b g a f x )()(lim ),0()0(,)0(,)0(0则且（）A.b a -B.ba +2 C.ba + D.ab -7.曲线),0,0(sin cos >>⎩⎨⎧==b a tb y ta x 则4π=t 对应点处的法线斜率为（）A.a b B.ba C.ab - D.ba -8.设)()(x g x f ='，则=)(sin d 2x f （）A.xdx x g sin )(2B.xdx x g 2sin )(C.dxx g )2(sin D.xdxx g 2sin )(sin 29.设函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （）A.)1()]([!+n x f n B.)1()]([+n x f n C.)1()]()[1(++n x f n D.)1()]([)!1(++n x f n 10.由方程yx exy +=确定的隐函数)(y x 的导数=dy dx （）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 11.若）（a x x f <<>''00)(，且0)0(=f ，则下面成立的是（）A.0)(>'x fB.)(x f '在],0[a 上单调增加C.0)(>x f D.)(x f 在],0[a 上单调增加12.点)1,0(是曲线c bx x y ++=23的拐点，则（）A.1,0==c bB.0,1=-=c bC.1,1==c bD.1,1=-=c b 13.曲线6212--++=x x x y 的垂直渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条14.函数xxe e xf --=)(的一个原函数是（）A.xxe e x F --=)( B.xxee x F -+=)(C.x x e ex F -=-)( D.xx ee x F ---=)(15.若)(xf '连续，则下列等式正确的是（）A.)()(x f x df =⎰ B.)()(x f dx x f d =⎰C.)()(x f dx x f ='⎰ D.dxx f dx xf d)()(22=⎰16.2sin =x xdx ππ-⎰（）A.π B.π- C.1 D.017.设x xxe dt t f ++=⎰221)(，则=')(x f （）A.xxeB.xex )1(- C.xex )2(+ D.2+x xe18.下列广义积分收敛的是（）A.⎰+∞1xdxB.⎰+∞1xdx C.⎰+∞12x dx D.⎰∞+13ln xxdx 19.微分方程0)()(22=+''+'y y y y 的阶数是（）A.1B.2C.3D.420.微分方程022=-dx xy dy 满足条件1)1(-=y 的特解是（）A.21x y =B.21x y -=C.2x y = D.2xy -=21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）A.344πππ，， B.346πππ，，C.433πππ，， D.234πππ，，22.直线143221:-=-+=-z y x L 与平面0432:=-+-z y x π的位置关系是（）A.L 在π上B.L 与π垂直相交C.L 与π平行D.L 与π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（）A.22237y z x =+ B.44122y x z -=-C.91614222z y x --= D.0222=-+x y x24.00x y →→=（）A.0B.1C.41-D.不存在25.设)32,(22y x y x f z +-=，则=∂∂yz（）A.2132f f y '+'B.2132f f y '+'-C.2122f f x '+'D.2122f f x '-'26.设dy y x f dx dy y x f dx I xx ⎰⎰⎰⎰-+=22802222020),(),(，则交换积分次序后，I 可以化为（）A.dx y x f dy y y⎰⎰-2822),( B.dxy x f dy y x ⎰⎰-22822),(C.dxy x f dy y x ⎰⎰-2282220),( D.dxy x f dy ⎰⎰2222),(27.积分=⎰⎰1212ydy x dx （）A.2B.31 C.21 D.028.设L 是抛物线2y x =上从)0,0(到)1,1(A 的一段弧，则曲线积分=+⎰dy x xydx L22（）A.0B.2C.4D.129.幂级数nn xn ∑∞=+1)1(的收敛区间为（）A.)1,0( B.),(+∞-∞ C.)1,1(- D.)0,1(-30.下列级数收敛的是（）A.()∑∞=+-1111n n n B.∑∞=+111ln(n n C.∑∞=11sinn n D.∑∞=1!n nn n 二、填空题（每小题2分，共20分）31.函数)(x f 在点0x 有定义是极限)(lim 0x f x x →存在的条件.32.已知231lim -∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-e x pxx ，则=p .33.函数⎩⎨⎧>+≤-=0,2cos 0,)(x x x a x a e x f ax 是连续函数，则=a .34.设函数421x x f =⎪⎭⎫⎝⎛，则=')(x f .35.不定积分=++⎰dx x x x sin 2cos 2.36.向量}{1,0,1a = 与向量}{1,1,0b =-的夹角是.37.微分方程0=-+'x y y 的通解是.38.设方程022=-++xyz z y x 所确定的隐函数为),(y x z z =，则=∂∂==10y x xz .39.曲面22y x z +=在点)5,2,1(处的切平面方程是.40.将xx f 1)(=展开成)4(-x 的幂级数是.三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢+⎣⎦42.已知函数)(y x x =由方程22ln arctany x x y +=所确定，求.dydx43.求不定积分.arctandx x ⎰44.设,0,0,1)(2⎩⎨⎧>≤+=x e x x x f x求.)2(31dx x f ⎰-45.求微分方程xe y y y 32=-'+''的通解.46.设xye y x u ++=2sin 2，求全微分du .47.一平面过点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2-=a 和{}2,1,1-=b ，求此平面的方程.48.计算dxdy eDyx ⎰⎰，其中D 是由0,2,,1====x y x y y 所围成的闭区域.49.计算积分dy y xy x dx y xy x L)152()102(2222+--++-+⎰，其中L 为曲线x y cos =上从⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πA 到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的一段弧.50.求幂级数∑∞=+-0)1(2)1(n n nn x 的收敛域.四、应用题（每小题6分，共12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线)0(3≥=x x y ，直线2=+y x 以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53.设)(x f 在区间]1,0[上连续，且1)(<x f ，证明：方程1)(20=-⎰dt t f x x在区间)1,0(内有且仅有一个实根.2014年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3]B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =--（）A.是偶函数B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当0x →时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x + C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =，则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -B.ln x xC.-21x D.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数），在2t π=对应点处切线的方程为（）A.1x = B.1y = C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数，则dy dx=（）A.11x y x+-- B.21y xy x-- C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a ()0a >上连续，()00f>且在()0,a 上恒有()0>'x f ,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.12S S < B.12S S = C.12S S > D.不确定12.曲线31y x =+（）A.无拐点 B.有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y =12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B.1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()xx ef e dx --⎰=（）A.()xF e c-+ B.()xF e c--+ C.()xF e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成平面图形的面积为（）A.()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰ C.()baf x dx⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连续函数，满足()f x =21sin 1x x++()11f x dx --⎰则lim ()x f x →∞=（）A.0B.6π-C.3π D.6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =（）A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln x dx x+∞⎰B.1+∞⎰C.21⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dyy x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20.解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.*2=)xy Ax Bx e +（ B.*=xy AxeC.*=xy AeD.*2=()xy x e Ax B +21.已知,,a b c 为非零向量，且0a b ⋅= ，0b c ⨯=则（）A.a b b c ⊥ 且B.a b b c ⊥ 且C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22.直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A.L 在π上B.L 与π平行但无公共点C.L 与π相交但不垂直D.L 与π垂直23.在空间直角坐标系内，方程2221x y -=表示的二次曲面是（）A.球面B.双曲抛物面C.圆锥面D.双曲柱面24.极限0y 0x →→=（）A.0B.4C.14D.14-25.点（0,0）是函数z xy =的（）A.驻点B.极值点C.最大值点D.间断点26.设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy⎰⎰=（）A.0B.1- C.2D.127.设(),f x y 为连续函数,()()122-01,+,xxdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A.()212,yy dy f x y dx⎰⎰ B.()2,ydy f x y dx⎰⎰C.()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D.()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28.L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A.1B.2C.0D.1-29.下列级数条件中收敛的是（）A.2n=12n-1n +1∞∑ B.nnn=11-3∞∑（1）C.22n=1n +n+1n -n+1∞∑D.nn=1-∞∑（30.级数2n=114n -1∞∑的和是（）A.1B.2C.12D.14二、填空题（每小题2分，共20分）31.设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（0,1），则()f x =__________.32.设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=__________.33.已知,1()ln ,1x a x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，若函数()f x 在1x =连续，a =______.34.设33'(1)12f x x +=+且()01f =-，则()f x =__________.35.不定积分cos 2xdx ⎰=__________.36.若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===，则()a b c ⨯= __________.37.微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =__________.38.设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =__________.39.函数()222,,f x y z x y z =++在点()1,1,1处方向导数的最大值为__________.40.函数()112f x x=-的幂级数展开式是__________.三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限2x x →42.设n a 为曲线n y x =与1(1,2,3,4...)n y x n +==所围的面积，判定级数1n n ∞=的敛散性43.求不定积分.44.计算定积分42x dx -⎰.45.解微分方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分ln D⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分()()2211Ly x dx x y dy ++-⎰ 其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四、应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五、证明题（6分）53.设2e a b e <<<，证明2224ln ln ()b a b a e ->-.。

gm2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及【解析】析一、选择题（每小题2分，共60分） 1．答案：D【解析】：由题意可知：1(1,1]x -∈-，所以(0, 2]x ∈.选D. 2．答案：D【解析】：A 选项为非奇非偶；B 选项中()xf x 为奇函数，3tan x 也为奇函数，因此整体为奇函数；C 选项中3sin x x 为偶函数，()f x 为奇函数，因此整体为非奇非偶；D 选项中()f x 为奇函数，2e x 为偶函数，5sin x 为奇函数，奇⨯偶⨯奇为偶函数。

选D. 3．答案：D【解析】：22e 1~200sin3~3e 122lim lim sin 333xx x x x x xx x x -→→-==，因此为同阶非等价无穷小量。

选D. 4．答案：A【解析】：2501lim sin 0x x x+→=（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；10lim e 0x x -→=，即左极限=右极限=0，但该函数在0x =处没有定义，因此为可去间断点。

选A. 5．答案：C【解析】：对C 选项来说，令32()52f x x x =+-，显然在区间[]0,1上连续，有(0)20f =-<，(1)40f =>，根据零点定理可知，区间(0, 1)内至少有一个实根。

其他选项均不满足零点定理，取法判断。

选C. 6．答案：D【解析】：根据某点处导数的定义可知：00000()(3)33limlim ()222h h f x f x h f x h →→-+'=-=.选D.7．答案：A【解析】：ln 1y x '=+，切线斜率为1，对应的切点0ln 11x +=，可【解析】得为(1,0).故切线方程为1-=x y .选A. 8．答案：B【解析】：根据求导法则可得：y '=.选B.gm9．答案：B【解析】：22d ()2sin d d cos f x x x x x =-=，2()cos f x x C ∴=+两边同时求积分可有.选B. 10．答案：D【解析】：定积分表示的是常数，常数求导就是0.选D. 11．答案：D 【解析】：()()f x f x -=，()(),()()f x f x f x f x ''''''∴--=-=.当(, 0)x ∈-∞时，(0, )x -∈+∞，有()0f x '->，()0f x ''->，所以()()0,()()0f x f x f x f x ''''''∴=--<=->.选D.12．答案：D【解析】：极值点是驻点或者不可导点，根据题意无法判断是否是极值点。

2010年耶鲁外语学校高等数学串讲资料耶鲁外语学校专升本高等数学考试研究中心耶鲁专升本高等数学串讲资料一、 单项选择题为了正确而迅速地解答选择题,首先对题意和备选项进行整体的对比考查,弄清题目的考查目标,从题干和备选项中获得解题的充分信息,其次选择适当的解题方法,下面归纳几种解题方法,供读者参考.直接法:直接从题目的已知条件出发,经过严密的推导、合理的运算,从而得到结果和判断的方法.其选择过程是先计算,然后将计算的结果与备选项对照,找到正确选项.当题目中给出已知条件,备选答案列出所需求的结果时,一般首选考虑直接法.验证法: 把可供选择的各备选项代人题目中的已知条件或将题目中的条件代人备选项进行验算,从而得到正确选择的方法.排除法: 又叫筛选法,通过找出已知条件和结论的矛盾,用特例或特殊值验证或举出反例等方法,排除错误选项,从而得到正确选项的方法.图像法: 通过画出直观的几何图形,帮助分析,便于作出正确的选择的方法. 每种方法都不是孤立的,有时同一试题可用多种方法求解,有时需用几种方法综合求解.二、计算题与证明题1. 极限求极限的方法1) 利用极限的四则运算法则 2) 利用极限存在准则3) 利用关于无穷小量的定理（如有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量等） （这个知识点每年必考）4) 利用极限存在的充要条件()()0000f x f x -=+（这个知识点适用于三种情形：“分段函数、绝对值函数和指数函数） 5) 利用等价无穷小代换定理（要熟记八对等价无穷小） 6) 利用函数的连续性 7) 利用恒等变形8) 利用两个重要极限及一些常用的极限① 00sin tan lim 1,lim 1x x x xx x→→==② 1l i m 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或 ()10l i m 1x x x e →+=③ 110110,lim 0,,n mn n n n m m x m m a m n b a x a x a m n b x b x b m n---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当 当 ④ ()0l n 1l i m1x x x →+= ⑤ 201c o s 1l i m 2x x x →-= 9) 利用洛比达法则求极限 ① 在极限式子中，如果出现非零的极限因子，则用极限的乘法把它分离出去，然后使用洛比达法则，可使计算变得简单.② 在0""0未定型中,如果能用简单的等价无穷小替换,则先替换,然后应用洛比达法则,可使求导计算简单. 10) 利用导数定义凡已知函数可导或在某一点可导求此式极限时,一般考虑用导数的定义,如已知()f x 在0x 处可导,则此式的极限()()()()()000000'l i ml i m.x x xfx xf x f x f xf x xx x ∆→→+∆--==∆- 问题的关键是将所求比式的极限转化为上述其中的一种形式,注意自变量的改变量x ∆的表达式多样性即可. （有时为,x ∆有时为,2x ∆或h 等）例1.求 2211sin sin 10lim lim 11101x x x x x x x x x x→∞→∞---===+++例2.求=→xx x x sin ln 1lim2020sin lnlim x x x x →（洛必达）x x x x x x x x 2sin .cos .sin lim 20⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→ （注意到1sin lim0=→x x x ，故非零因子xxsin 的极限可以提前拿到极限号外面去，这是个重要的简化技巧）30sin .cos lim 21x x x x x -=→（洛必达()203cos sin cos lim 21x x x x x x --=→ .61sin lim 610-=-=→x x x类似的题再举一个：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-+→→→x x x x x x x x e x x x x x x x 11ln 11lim 1lim 1lim 210101.232lim20ex x x e x -=+-=→例3．求 ()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+++ 解:原式=()20013sin cos1limlim1cos ln 1x x x x x x x →→+⋅++（注意到,1cos 11lim0=+→xx 及()0~1ln →+x x x ，但要注意上式中的x sin 不可用x 来代替，为什么？）2013sin cos 1lim2x x x x x→+=0013sin 13lim lim cos 22x x x x x x →→⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦ （注意倒数第二步用到).01cos lim 0=→x x x例4. 求().1ln cos sin 1lim2xxx x x +-+→ 解:原式xx x x x x x x cos sin 11.cos sin 1lim20++-+=→（注意上式用到21cos sin 11lim=++→x x x x 及()().0~1ln 22→+x x x ）.4321121cos 1sin lim 2120=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=→x x x x x 例5. 求()2122lim 2sin cos x x x x→+解：原式=()222sin 12sin 0lim[1sin ]x x xx xe →+=（关于三角函数，三个“1”和两个倍角公式必须记住，最好还要记住加法公式及和差化积，积化和差公式）. 例6．求22lim sin1x xx x→∞+ 解：由于()∞→++x x xx x 2212~12sin，故原式=222lim 21x x x →∞=+例7．求21cos 0limln(1)t xx x e dtt dt-→+⎰⎰解：原式()()x x exx +'-=-→1ln cos lim2cos 0=22(cos )(cos )100sin sin lim limln(1)x x x x ex e xe x x---→→==+例8．若1lim ()x f x →存在，且31()24lim ()x f x x x f x →=++，求()f x解：两边求极限可得31111lim ()lim lim24lim ()x x x x f x x x f x →→→→=++，则可得1lim ()1x f x →=-，故()32 4.f x x x =+-例9．若213lim 1x x ax b x →-+=-，求,a b解：（这里用到一个重要结论： 若()()lim(x x f x C C g x →=为常数，也可以为0），且()0lim 0,x x g x →=则 ()0lim 0.x x f x →=考试必考）由题意知，21lim(3)0x x ax →-+=，则4a =；故211143(3)(1)lim lim lim(3)211x x x x x x x x b x x →→→-+--==-=-=-- 例10．21lim2x x x →+-解：21lim2x x x →-+- ()()()()xx x x x x ++--+-=→131.1212lim1()().62131.22lim1-=++-+-=→xx x x例11．求22212lim()12n n n n n n n n n→∞+++++++++解：（此题考察数列极限存在的夹逼准则）由于22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++， 而 221(1)1212lim lim 2n n n n nn n n n n n →∞→∞++++==++++，221(1)1212lim lim 112n n n n nn n n n →∞→∞++++==++++， 由夹逼定理知，原式=12. 例12．已知()2,'()3f a f a ==，求220(2)()lim h f a h f a h h→+--解：原式00(2)()lim[(2)()](2)()()()2()lim[2]26()'()36h h f a h f a h f a h f a h hf a h f a f a h f a f a h hf a f a →→+--=++-+---=+-==例13．设2301sin ,0(),0x t dt x f x x ax ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，求a 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，则()320sin limlim x dt t x f a xx x ⎰→→==（洛必达）.313sin lim220==→x x x 例14．若11),0()1,0(2),0xa x x f x xb e x -⎧-<⎪⎪=⎨=⎪⎪+>⎩在0x =处连续，求,a b 的值.解：（此题考察可导必连续的知识点，考试必考）由于()f x 在0x =处连续，则0001)1lim ()lim lim 2x x x a af x x ---→→→-==== 11lim ()lim (2)2xx x f x b e b ++-→→==+=故12,2a b ==2. 导数(微分)及其应用（1） 讨论分段函数在分界点处的可导性，必须用导数定义情形一 设0(),()(),x x x f x x x x ϕψ≥⎧=⎨<⎩，讨论0x x =点的可导性由于分界点0x x =处左、右两侧所对应的函数表达式不同，按导数的定义，需分别求0'()f x -，0'()f x +.当0'()f x -=0'()f x +时，()f x 在0x x =可导，且0'()f x =0'()f x -=0'()f x +；当0'()f x -0'()f x +≠时，()f x 在0x x =不可导.情形二 设00(),(),g x x x f x A x x ≠⎧=⎨=⎩，讨论0x x =点的可导性.由于分界点在0x x =处左、右两侧所对应的函数表达式相同，按导数的定义，000000()()()()'()limlimx x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--==∆-. （2）若讨论分段函数在定义域内的可导性，由于非分界点处的可导性显然，只需用定义讨论其分界点处的可导性即可.（3）因为可导的必要条件是连续，所以在做这类题目时，可首先观察分界点处的连续性，若不连续则必不可导，若在该点连续，则按（1）中的方法讨论其可导性.（4）计算复合函数的导数，关键是弄清复合函数的构造，即该函数是由哪些基本初等函数或简单函数经过怎样的过程复合而成的，求导时要按复合次序由外向内一层一层求导，直至对自变量求导数为止.（5）对于抽象函数的求导，关键是记号的意义，如对[()]y f x ϕ=而言，([()])'f x ϕ表示y 对自变量x 的导数，而'[()]f x ϕ表示y 对中间变量()x ϕ的导数，故()[]()()[]()x x f x f y ϕϕϕ''='='.（6）对数求导法常用于对下面两类函数求导：①形如()[()]g x f x 的幂指函数；②由乘除、乘方、开方混合运算所构成的函数.（7）欲求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数()y f x =的一阶导数，有下面三种方法：①要把方程中的x 看作自变量，而将y 视为x 的函数，方程中关于y 的函数便是x 的复合函数.用复合函数的求导法则，便可得到关于'y 的一次方程，从中解出'y 即为所求.②利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性求解.③用公式''xydy F dx F =-求解. （8）由参数方程所确定的函数的一阶导数一般都是参变量t 的函数，而所求函数的二阶导数22d y dx 是dydx再对x 求导，事实上是一种复合函数求导问题.复合关系图为dy t x dx→→.故dtdx dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx y d ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.22. （9）变限函数的导数. ①()()x a d f t dt f x dx =⎰，②()()(())'()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ=⎰， ③()()()(())'()(())'()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx=-⎰. （注意：()()a f dadt t f d xa -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰） 例1．设1()sin ,0()0,0g x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中(0)'(0)0g g ==，求'(0)f . 解：'(0)f ()()=--=→00lim 0x f x f x ()().01sin .00lim 0=--→xx g x g x （因为()()()0000lim0='=--→g x g x g x ，而且11sin ≤x ）例2．设,0()sin 2,0ax e x f x x b x ⎧≤=⎨+>⎩，在0x =可导，求,a b 的值.解：因为()f x 在0=x 处可导，从而()f x 在0=x 处也连续.又因为()1lim 0=-→x f x ；();lim 0b x f x =+→故.1=b再由于()f x 在0=x 处可导，则()().00+-'='f f又();lim 1lim 000a a ax x e f x ax x ==-='→→--()();22sin lim 112sin lim 000==-+='++→→+xx x x f x x所以，.2=a .例3．设221(),'()ln(1)1x y f f x x x -==++，求'(0)y .解：='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='112.112x x x x f y ().13.1122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'x x x f所以，()().2ln 33.10=-'='f y例4．设arctan y x x =-，求''y .解：[]()[]'+-'='21ln 21arctan x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2212211arctan x x x x x ;arctan x = .112x y +='' 例5．y =，求''(0)y . 解： 解：()()[]()();1ln 211ln 211ln 1ln 2122x x x x y +--=+--=();111.2112.21111.2122xx x x x x y +--=+---='所以， ().231210-=--=''y例6．设2()ln ()y f x f x =+，其中()0f x >且''()f x 存在，求''y .解：()()();2.2x f x f x x f y '+'=' ()()[]()()()[]()..24.22222x f x f x f x f xf x x f y '-''+'+''=''()().1111212222x x x y +--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=''例7．设()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+所确定，求x dy dx=.解：方程两边对x 求导得：2321(2)3cos dy dy x x y x x x y dx dx+=+++ 不必整理出dx dy的表达式，直接让0,1x y ==代入上式，得01x dy dx==.例8．设()y y x =由方程012=-⎰+-dt e x x y t 所确定，求'(0)y .解：方程两边对x 求导得：()().0112='+-+-y e x y 让0,1x y ==代入上式，得'(0)y =1e -.例9．设()f x 为连续函数，且ln 1()()xx F x f t dt =⎰，求'()F x .解： ()()()'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='x x f x x f x F 1.1ln .ln ().1.1ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f x例10．求202(cos )xd x t dt dx ⎰.解：注意到，由于积分变量为t ，故在积分中x 为常数，可以提到积分号的外面去.由于⎰⎰=020222cos cos xxdt t x dt t x ，所以202(cos )xd x t dt dx ⎰=220024224cos (2cos )cos 2cos x x t dt x x x t dt x x +⋅-⋅=-⋅⎰⎰例11．设()f x 为连续函数，求0()().xd x t f t dt dx -⎰解：由于()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x xx x ⎰⎰⎰-=-0，所以，()()()()()().000dt t f x xf x xf dt t f dt t f t x dx d x x x ⎰⎰⎰=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=- 例12．求20sin().xd x t dt dx -⎰解：由于02220sin()sin ()sin xxxx t dtx t uu du u du --=-=⎰⎰⎰，所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx-==⎰⎰. （被积函数中含有参数x ，要么能提到积分号面去，要么能通过变量替换，使之化为变限函数）.例13．设()y y x =由方程组2tt yx tee e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩所确定，求0.t dy dx =解：方程2=+y t e e 两边关于t 求导，得：,0.=+dt dy e e yt故 ;y t e e dt dy -=又.t t te e dtdx+= 所以，().11t e dt dx dt dydx dy y +-== 当0=t 时，由方程2=+y t e e ，得：,0=y 故.1|0-==t dx dy例14．设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定，求曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程.解：方程两边对x 求导得：()()(),0sin 22='++'++y x y xy y e y x 将0,1x y ==代入得01'2x y y ===-，故()y f x =在点(0,1)处的法线方程为：11(0)2y x -=-.即：220.x y -+=例15．求曲线sin 2cos t tx e ty e t ⎧=⎨=⎩在点(0,1)处的切线方程. 解：cos sin cos sin sin 22cos2sin 22cos2t t t tdydy e t e t t t dt dx dx e t e t t t dt --===++ 当0x =时，0t =，1.2t dy dx == 故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0).2y x -=-即：220x y -+= 例16．1(1)xy x =+，求dy . 解：()xx ey +=1ln ，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='+x x ey xx 1ln 1ln ()()21ln 1ln .11x x x x e xx +-+=+()()()().11ln .1121x x x x x x x +++-+=所以，()()()()..11ln .1121dx x x x x x x dx y dy x+++-+='=例17．设ln(tan )cos (0)22sin t x t t y tπ⎧=+⎪<<⎨⎪=⎩，求22d y dx 例18．设()()3232.1-+-=x x x y ，求'.y解：()()().3ln 312ln 321ln ln --++-=x x x y上式两边关于x 求导得：.31.3121.32111--++-='x x x y y 所以 ，()().31.3121.3211.32.132⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-='x x x x x x y例19．求23()23(1)f x x x =--+的单调区间及极值. 解：（一）()+∞∞-=,D ;（二）()()3331121112---=+--='-x x x x f ; （三）令()901=⇒='x x f .在12=x 处不可导. （四）列表判断：x （)1,∞- 1 ()9,1 9 ()+∞,9()f x ' + 0 — 0 + ()x f ↑ 极大 3 ↓ 极小-1 ↑ 例20. 求曲线()2211xy x =+-的凹凸区间及拐点.解：（一）()()+∞⋃∞-=,11,D ；（二）()()()()342122112.212---=----='x x x x x x y ，()().1244-+=''x x y（三）令()201-=⇒=''x x f .无二阶不可导点. （四）列表判断：x （)2,-∞- -2 ()1,2- 1 ()+∞,1 ()f x '' — 0 + 不存在 + ()x f 拐点（-2，95） 不存在 例21. 已知曲线32y ax bx cx =++上点()1,2处有水平切线,且原点为该曲线的拐点,求,,.a b c解：c bx ax y ++='232；.26b ax y +=''由题意知：()()().01,01,21=''='=y y y 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++.026,023,2b a c b a c b a 解之，得：.6,6,2=-==c b a例22. 设在[]0,1上,()''0f x >,试给出()()()().01,1,0f f f f -''的大小顺序. 解：因为在[]0,1上()''0f x >，所以()x f '在[]0,1上单调增加，故 ()()10f f '<'；由微分中值定理知：存在()1,0∈ξ，使得 ()()()()()ξξf f f f '=-'=-0101，又()()()10f f f '<'<'ξ， 所以，有： ()()()().1010f f f f '<-<' 例23．求()2412x y x+=-的水平与垂直渐近线. 解：因为()2214limlim 2-=-+=∞→∞→x x y x x ，故2-=y 是水平渐近线； 又因为 ()∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→→214lim lim 200x x y x x ，故0=x 是垂直渐近线. 3. 不等式证明的方法(1) 利用拉格朗日中值定理可证明联合不等式,步骤为: ① 从中间表达式确定出()f x 及区间[],a b , ② 验证()f x 在[],a b 上满足拉氏定理的条件,得:()()()()()'f b f a f b a a b ξξ-=-<<③ 分别令,a b ξξ==破坏这个等式得不等式. (2) 利用函数的单调性证明不等式一般步骤为:① 移项(有时需作其它简单变形),使不等式一端为零,另一端为()f x② 求()'f x 并验证()f x 在指定区间的增减性,若()'f x 的符号判定不了,再求()''f x ,③ 求区间端点的函数值(或极限值)，作比较既得所证. (3) 利用最大值与最小值证明不等式. ① 求()'f x ,② 令()'0f x =可得驻点0x x =,若0x x =是区间内唯一的驻点且是极值点,则0x x =一定是最值点.(4) 利用凹凸性证明不等式. (5) 利用定积分证明不等式.例1.证明:|arctan arctan |||b a b a -≤-.证明：令 ().a r c t a n x x f =由拉格朗日中值定理，得：存在()b a ,∈ξ，使得()()()()a b f a f b f -'=-ξ，即()a b a b -+=-.11a r c t a n a r c t an 2ξ故 ..11a r c t a n a r c t an 2a b a b a b -≤-+=-ξ 例2． 证明:当02παβ<<<时,22tan tan cos cos βαβαβααβ--<-<. 证明：令 ().t a nx x f =由拉格朗日中值定理，得：存在()βαξ,∈，使得 ()()()()αβξαβ-'=-f f f ，即()()αβξαβξαβ-=-=-.c o s 1.s e c t a n t a n22又由于 βξαπβξα222c o s c o s c o s 20>>⇒<<<<，所以有：22tan tan cos cos βαβαβααβ--<-< 例3．证明:当0x >时,11cos .xe x x -->-证明：令 ()()()2c o s c o s11-+-=----=x x e x x e x f x x ，()+∞∈,0x 则 ();s i n1x e x f x --='().c o s x e x f x +='' 注意到，当()+∞∈,0x 时，,1cos ,1-≥>x e x 故(),0>''x f 因此()x e x f x sin 1--='在[)+∞,0上单增.所以当()+∞∈,0x 时，有：()(),00='>'f x f 即(),0>'x f 因此()()()x x e x f x cos 11----=在[)+∞,0上单增.所以当()+∞∈,0x 时，有：()(),00=>f x f 即有：11cos .xe x x -->-例4．证明:当()+∞∞-∈,x 时, .11≤-x xe证明： 令 ().1x xe x f -=则()().11x e x x f --=' 令()0='x f ，得()x f 在()+∞∞-,内的唯一驻点.1=x又当()1,∞-∈x 时，()0>'x f ；而当()+∞∈,1x 时，(),0<'x f 所以()11=f 为()x f 在()+∞∞-,内的最大值，故对于任何的()+∞∞-∈,x , 有：()(),1f x f ≤即当()+∞∞-∈,x 时, .11≤-x xe例5．证明:当02x π<<时,cos 1sin xe x x >-.证明：令，().1sin cos -+=x x e x f x故原不等式等价于 x x e x t a n s e c ->. 则 ()();s i n c o s x x e x f x -=' ()().12.s i n+-='x x e e x x f因为(),0<'x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，故()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是凸函数.又因为 (),020=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f 故由凸函数的几何意义知：当02x π<<时, (),0>x f 即当02x π<<时,cos 1sin xe x x >-例6．设()f x 在[]0,1上连续单减,证明:当01λ<<时,()()1.f x dx f x dx λλ>⎰⎰证法一：原不等式等价于证明： ()().011>-⎰⎰dx x f dx x f λλ().1,0∈λ令 ()()().110dx x f dx x f F ⎰⎰-=λλλ则 ()()()()()200211λλλλλλλλλ⎰⎰-=+-='dxx f f f dx x f F由积分中值定理知，()()()().0.0ξλλξλf f dx x f =-=⎰ ().,0λξ∈ 故 ()()()[]2λξλλλf f F -='又由题设，()f x 在[]0,1上单减知，()(),ξλf f <故有(),0<'λF 故()λF 单减，()().01=>⇒F F λ ().1,0∈λ 即有()().011>-⎰⎰dx x f dx x f λλ ().1,0∈λ证法二：设 ,t x λ=则.d dx λ=当0=x 时，;0=t 当λ=x 时，.1=t 则()().1dt t f dx x f ⎰⎰=λλλ又因为,010t t <<⇒<<λλ且在[]0,1上单减，故有()()t f t f >λ， 所以有：()()().110dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰>=λλλλ证法三：原不等式等价于证明：()().01>-⎰⎰dx x f dx x f λλ事实上，()dx x f ⎰10()dx x f ⎰=λ0()dx x f ⎰+1λ（1）由积分中值定理知()dx x f ⎰1λ()()λξ-=1.1f （其中(),1,1λξ∈） （2） 将（2）代入（1）式，有()dx x f ⎰10()dx x f ⎰=λ()()λξ-+1.1f （3） 故()()dx x f dx x f ⎰⎰-1λλ（由（3）式）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰100.1ξλλλλf dx x f dx x f()()()().1.110ξλλλλf dx x f ---=⎰ （4）又由积分中值定理知()dx x f ⎰λ()()().0.22ξλλξf f =-= （其中 ().,02λξ∈） （5） 将（5）代入（4）式，有()()dx x f dx x f ⎰⎰-1λλ()()()[]12.1ξξλλf f --= （6）（注意到01λ<<；()f x 在[]0,1上单减，且 12ξξ< ()()[],012>-⇒ξξf f ） 所以， ()()()[].0.112>--ξξλλf f 因此由（6）式得到()().01>-⎰⎰dx x f dx x f λλ例7．当()f x 在[],a b 上连续单增时,()()2bbaaa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰.证明：令 ()()().2dt t f x a dt t tf x F xa xa ⎰⎰+-= []b a x ,∈ 则 ()()()()x f xa dt t f x xf x F x a 221+--='⎰()()dt t f x f a x x a⎰--=212由积分中值定理知，()()()..a x f dt t f xa -=⎰ξ ().,x a ∈ξ 故 ()()()[]ξf x f ax x F --='2又由题设，()f x 在[]b a ,上单增，()(),ξf x f >⇒故有 (),0>'x F 故()x F 单增，()().0=>⇒a F b F 即有()()02>+-⎰⎰dt t f b a dt t tf ba ba，亦即：()()2b b a a a b xf x dx f x dx +≥⎰⎰ . 4. 不定积分求不定积分有三大法则:分项积分法,换元积分法和分部积分法.而udv uv =⎰vdu -⎰,选择u 的次序按“反﹑对﹑幂﹑三﹑指”进行.例1． 求()()2211x dx x x-+⎰.解：()()2211x dx x x -+⎰()()dx x x x x ⎰+-+=22121dx x ⎰=1.arctan 2ln 1122c x x dx x +-=+-⎰ 例2． 求21sin .1cos 2xdx x++⎰解：dx xx⎰++2cos 1sin 12()dx x x ⎰-++=1cos 21sin 122dx x x ⎰-=22cos cos 221 dx x ⎰=2sec .2t a n 21c xx +-=- 例3． 求.cos sin 12cos dx x x x⎰+解：=+⎰dx x x x cos sin 12cos dx x x x ⎰+cos sin 222cos 2dx xx⎰+=2sin 22cos 2().2s i n 2ln 2sin 22sin 21c x xd x++=++=⎰例4． 求.12dx e e xx⎰+ 解： dx e e xx ⎰+12()dx e e x x ⎰++-=1112()+-=⎰dx e x1dx e x ⎰+11 ⎰⎰-=dx dx e xdx ee x x ⎰--++1x e x -=()xxe d e --++-⎰111 x e x -=().1ln c e x ++--另解：令 ,t e x =则dt tdx t x 1,ln ==dt t t t dx e e xx ⎰⎰+=+1.1122()dt t t ⎰+-+=111dt t dt ⎰⎰+-=111c t t +++=1ln ().1ln c e e x x ++-=例5． 求2sin sin 21cos x xdx x ++⎰解：2sin sin 21cos x x dx x++⎰dx x x ⎰+=2cos 1sin dx x x⎰++2cos 12sin()x d x c o s c o s 112⎰+-=()x d x22c o s 1c o s 11++-⎰ ()x c o s a r c t a n -=().c o s 1ln 2c x ++- 例6． 设()22'sin cos2tan ,f x x x =+求()f x . 解：由题设：()22'sin cos2tan ,f x x x =+即().s i n 1s i n s i n 21s i n 2222xxx x f -+-=' 故得： ().211121x xx x x x f --=-+-='所以 ().1ln 2112c x x dx x x x f +---=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰ 例7． 求dx xx⎰+2211.解法一（三角代换）：令,tan t x =则.sec 2tdt dx =dx x x⎰+2211dt t tt ⎰=22sec .sec .tan 1dt t t ⎰=2sin cos ()t d t sin sin 12⎰= .1s i n 12c xx c t ++-=+-= 解法二（倒代换）：令,1t x =则.12dt t dx -=dt t t dt t t t dx x x⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+22222211.11.1111()c xc t td t ++-=++-=++-=⎰22221112.2111121.12c xx ++-=解法三（直接凑微分）：dx xx⎰+2211dx x x ⎰+=23111⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎰221111121x d x=++-=c x 2112.21.12c x x ++-例8．求.解：令,2t x =+则,22-=t x .2tdt dx =()dt t t t ⎰+-=2.212()dt t t t ⎰-+-+=21122dt t t t ⎰-++=2122()()dt t t ⎰+--211()22122-+-+=⎰t t d t t dt t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211131 ()2ln 2-+=t t c t t +++--2ln 311ln 31()222ln -+++=x x .2212ln31c x x +++-+-例9． 求解：令,sin t x =则,cos tdt dx =t d t ttc o s .c o s 3⎰=dt t t ⎰=2sec .()t d t t a n ⎰=（分部） a n t d t t t t ⎰-=t a n . c t t t ++=cos ln tan . .1ln 1.arcsin 22c x x x x +-+-=例10．若()f x 的原函数为ln xx,求()xf x dx ⎰. 解：因为ln xx是()f x 的一个原函数，所以 ().ln 1ln .1ln 22x x x xx x x x x f -=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故()x f x d x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x xd dx x x x ln ln .（分部）⎰+=dx x xx x x ln ln .()⎰+=x xd x ln ln ln .ln 21ln 2c x x ++=例11．求.tan 2⎰xdx x解：⎰xdx x 2tan ()⎰-=dx x x 1sec 2⎰⎰-=xdx xdx x 2sec()2t a n2x x xd -=⎰2t a n t a n .2x x xd x x --=⎰.2c o s ln tan .2c x x x x +-+= 例12．求.arctan 122xdx x x ⎰+ 解：xdx x x arctan 122⎰+()xdx xx arctan 11122⎰+-+= dx x ⎰=arctan x d xx a r c t a n 112⎰+- 其中xdx arctan ⎰（分部）()x d x x x arctan arctan .⎰-= dx x x x x ⎰+-=21arctan .()2211121arctan .x d x x x ++-=⎰ ().1ln 21arctan .2c x x x ++-=其中=+⎰x d x x a r c t a n 112 ().arctan 21arctan arctan 2c x xd x +=⎰ 所以x d x x x a r c t a n 122⎰+()21ln 21arctan .x x x +-=.a r c t a n 212c x +- 例13．求()()2232ln 11ln 12x dx x d x x +⎛⎫=+-=⎪⎝⎭⎰⎰解：()dx x x ⎰+321ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰2211ln 21x d x （分部）()()()22221ln 1211ln .1.21x d xx x +++-=⎰()()dx x x xx x ⎰+++-=222211ln .1.21 其中()dx x x x ⎰+221dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111dx x ⎰=1dx x x ⎰+-21()2211121ln x d x x ++-=⎰().1ln 21ln 2c x x ++-= 所以()dx x x ⎰+321ln ()221ln .1.21x x +-=().1ln 21ln 2c x x ++-+ 例14．求.cos dx x ⎰解：令,t x =则,2,2tdt dx t x ==⎰⎰=t d t t dx x 2.cos cos ()⎰=t td sin 2（分部）⎰-=t d t t t s i n 2s i n .2 c t t t ++=cos 2sin .2 .c o s 2s i n 2c x x x ++= 例15．已知x e -是()f x 的一个原函数,求()dx x xf ⎰. 解：因为x e -是()f x 的一个原函数，所以()().x x e e x f ---='=故()x f x d x ⎰()()⎰⎰--='=x x e xd dx e x .（分部） ()⎰-+=--x d e e x x x ...c e e x x x ++=--例16．求.112dx x x x ⎰+++ 解：dx x x x ⎰+++112()dx x x x ⎰++++=12112212dx x x x ⎰+++=112212dx x x ⎰+++11212()1112122++++=⎰x x d x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰2143211212x d x ()1ln 212++=x x c x +++2321a r c t a n .231.21()1ln 212++=x x .312arctan .31c x +++例17．已知x e -是()f x 的一个原函数,求().2dx x x f x ⎰'⎪⎭⎫⎝⎛解：因为x e -是()f x 的一个原函数，所以()().x x e e x f ---='=故()dx x x f x ⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛2()⎰⎪⎭⎫⎝⎛=x x f d x 2（分部） ()()()⎰-=22.x d xx f x x f x ⎰--+-=dx e x e x x x2.2.2c e xe x x +--=-- 例18．求()dx x x ⎰2cos sin ln .解：()dx xx ⎰2cos sin ln ()dx x x ⎰=2sec .sin ln ()()x d x tan sin ln ⎰=（分部） ()()()x d x x x s i n ln tan sin ln .tan ⎰-=()dx x xx x x sin cos .tan sin ln .tan ⎰-= ()dx x x ⎰-=1sin ln .tan ().s i nln .tan c x x x +-= 例19．求()dx e x x 2122-⎰-.解：()dx e x x 2122-⎰-dx e x x 222-⎰=dx e x ⎰--2其中()⎰⎰---=2222x x e xd dx e x （分部）.22dx e xe xx ⎰--+-=所以()dx exx 2122-⎰-()d x exex x ⎰--+-=22dx ex ⎰--2.2c xe x +-=-例20．求()dx x x ⎰-211. 解：()dx x x ⎰-211()()dx x x x x ⎰-+-=211()dx x x ⎰--=11()dx x ⎰-+211 dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111()dx x ⎰-+211dx x x d x ⎰⎰+---=1)1(11())1(112--+⎰x d x .11ln 1ln c x x x +--+--= 5. 定积分瓦里斯公式： ()()22001!!,!!2sin cos 1!!.!!n nn n n xdx xdx n n n πππ-⎧⋅⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数，，为奇数例1． 求.2212dx x x ⎰--解：()()d x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-+-=---22012212222|01233-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x .3834343|2032=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x例2． 设()f x 是连续函数，且()()13201,1f x x f x dx x=++⎰求()f x . 解：设 ()dx x f a ⎰=10，则()32.11x a xx f ++= （1） （1）两边积分，得：()dx x a dx xdx x f ⎰⎰⎰++=10310210.11，即 .344ππ=⇒+=a a a故 ()32.311x x x f π++= 例3． 设()24x dt t f x=⎰，40f ⎰.解：()24x dt t f x=⎰两边关于x 求导，得：().23x x f =所以4f⎰()==⎰dx xx f 4().1622|44243===⎰⎰xxdx dx xx例4． 设()21,0,0x x x f x e x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求()312f x dx -⎰.解：令 ,2-=x t 则,dt dx =当1=x 时，;1-=t 当3=x 时，.1=t()312f x dx -⎰()==⎰-dt t f 11()+⎰-dt t f 01()dt t f ⎰1()+=⎰-dx x f 01()dx x f ⎰1()++=⎰-dx x 0121dx e x⎰10.313||10013e e x x x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- 例5． 求()dx x xx ⎰-++2222cos 1sin ππ 解：()dx x x x ⎰-++2222cos 1sin ππ ()++=⎰-dx x x 222cos 1ππ()dx x x ⎰-+2222cos 1sin ππ其中();0cos 1222=+⎰-dx x xππ()=+⎰-dx x x 2222cos 1sin ππ()dx x x ⎰+2022cos 1sin 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x d x cos 11sin 220π（分部） ()x d x x x sin cos 112cos 1sin 22020|⎰+-+=ππdx x x ⎰+-=20cos 1cos 22πdx x x⎰--=2222cos212cos 222πdx ⎰-=20122πdx x ⎰+2022sec ππ-=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰22sec 2202x d x ππ-=2.42tan 2|20ππ-=+x所以 ()dx x xx ⎰-++2222cos 1sin ππ.4π-= 例6． 求dx ex⎰-11.解：令 x t -=1，则,2,12tdt dx t x -=-=当0=x 时，;1=t 当1=x 时，.0=tdx ex⎰-11dt te t⎰-=012dt te t⎰=102()t e d t ⎰=12（分部）dt e e t t t ⎰-=110|.2-=e 2().112|1+=--=e e e e t例7． 求().ln .ln 1143dx xx x e e⎰-解：令 x t ln =，则,,dt e dx e x tt==当e x =时，;21=t 当43e x =时，.43=t()dx x x x e e⎰-43ln .ln 11()dt e t t et t..114321⎰-=dt t t ⎰+-=432121⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰212141143212t d t .62121a r c s i n |4321π=-=t例8．求2222=⎰⎰（令1sin x t -=）()2221sin t dt ππ-=+=⎰解一：dx xx x ⎰-2222()dx x x ⎰--=22211令 t x s i n 1=-，则,c o s ,s i n 1t d dx t x =+=当0=x 时，;2π-=t 当2=x 时，.2π=t =-⎰dx x x x 2222()=-+⎰-tdt tt cos .sin 1sin 12222ππ()dt t ⎰-+222sin 1ππ +=⎰-dt 221ππdt t ⎰-22sin 2ππ.234.20s i n 222ππππ=++=+⎰dt t 解二：=-⎰dx xx x 2222()=-+-⎰dx xx x x x222222+--⎰dx x x 222dx xx x ⎰-2222其中()()()()()|202222221111a r c s i n 211112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+--=----=--⎰⎰x x x x d x d x x x ;2π-=dx xx x ⎰-2222()dx xx x ⎰--+--=222222dx xx x ⎰-+--=22222dx xx ⎰-+22212()222221x x d xx ---=⎰()()11112202---+⎰x d x|2222x x --=().2201arcsin 2|20ππ=+=-+x所以=-⎰d x x x x 2222 .2322πππ=+-例9．求1xdx ⎰.解：令 t x s i n =，则,cos tdt dx =当0=x 时，0=t 当1=x 时，.2π=t1xdx ⎰=-=⎰tdt t tt cos ..sin 1sin 22πtdt t sin .2⎰π()t d t c o s 20⎰-=π（分部）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2020cos cos .|ππtdt t t.1s i n 0|20=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πt例10． 证明方程221021sin 0sin xxt dt dt t ππ+=⎰⎰在,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一实根. 证明：令 ()⎰=xdt t x f 102sin π.s i n 122⎰+xdt t π则()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,10ππ上连续，在,102ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导.（一） ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛10102sin 10πππdt t f ⎰+1022sin 1ππdt t ⎰+=1022sin 10ππdt t ;0s i n 12102<-=⎰ππdt t ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛2102sin 2πππdt t f ⎰+222s i n 1ππdt t ⎰>+=2102.00sin ππdt t 所以()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭至少有一个实根；（二）又因为()2sin x x f =',0sin 12>+x 故()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,10ππ上单调增加，所以()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭至多有一个实根.综合（一）、（二）知，()x f 在区间,102ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一实根.例11． 证明:()dx dt t f x⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡100()().110dx x f x ⎰-=证法一：由分部积分公式()()()111000000.|x x x f t dt dx x f t dt xd f t dt ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()1111f t d tx f x dx fx d x x f x d x=-=-⎰⎰⎰⎰ ()()11.x f x dx =-⎰证法二：左端()dx dt t f I x⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100可看作二重积分()dxdt t f I D⎰⎰=化成的两次定积分，其中积分区域 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.10,0:x x t D 为三角形区域.改变积分次序后()⎰⎰=101tdx dt t f I ()()11.x f x dx =-⎰例12． 证明:()()()2002a a f x dx f x f a x dx =+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,并求20sin 2sin x x dx x π-⎰. 证明：（一）()dx x f a⎰20()+=⎰dx x f a().2dx x f aa⎰其中 为计算 ()dx x f aa⎰2，令 t a x -=2，则,dt dx -=当a x =时，a t =当ax 2=时，0=t()dx x f aa⎰2()dt t a f a⎰--=02()dt t a f a⎰-=02().20dx x a f a⎰-=所以()dx x f a ⎰20()+=⎰dx x f a 0()dx x f aa⎰2()+=⎰dx x f a 0()dx x a f a⎰-02()()[].20dx x a f x f a ⎰-+= （1） （二）由已证过的（一） 令 (),sin 2sin 2x x x x f -=.2π=a则()()()()x x x xx x x f x f ----+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ππππ22s i n 2s i n s i n 2s i n 2.2 ()xx x x xx 22sin 2sin sin 2sin --+-=π.sin 2sin 2x x -=π 由（1）式，得：=-⎰dx xxx π2sin 2sin =-⎰dx xx202sin 2sin ππdx xx⎰+22cos 1sin ππ()().440c o s a r c t a n c o s c o s 11220202|πππππππ=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=+-=⎰x x d x例13． 证明:2200sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x ππ=++⎰⎰,并计算)00a a >⎰ 解：（一）令 t x -=2π，则,dt dx -=当0=x 时，2π=t 当2π=x 时，0=t则=+⎰dx x x x 20cos sin sin πdt t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--022cos 2sin 2sin ππππ dt t t t ⎰+=20sin cos cos π.c o s s i n c o s 20dx xx x⎰+=π（二）为计算⎰-+axa x dx 022，令 t a x s i n =，则,cos tdt a dx =当0=x 时，0=t 当a x =时，.2π=t所以⎰-+=ax a x dx I 022=+=⎰dt ta t a ta 20cos sin cos πdx xx x⎰+20cos sin cos π；由已证的（一），知：dx xx xI ⎰+=20cos sin cos πdx x x x ⎰+=20cos sin sin π故dx x x x I ⎰+=20cos sin sin 2πdx xx x ⎰++20cos sin cos π。