2020高考数学必刷题含解析

2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。

1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。

2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足222)S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵)222a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到12cos sin 2ac B ac B =，B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==，OP =，所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考模拟考试数学（理）试题选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则()U A B U ð= A ．{4} B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}1．【答案】D【解析】由已知得={35}U A ，ð，所以()={345}U A B U ，，ð，故选D ． 2．函数ln(1)()x f x x+=的定义域为 A ．（–1，+∞） B ．（–1，0）C ．（0，+∞）D ．（–1，0）∪（0，+∞）2．【答案】D【解析】由题可知100x x +>⎧⎨≠⎩，10x x >-⎧∴⎨≠⎩，()()1,00,x ∴∈-+∞U ，故选D.3．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．−2 B ．12-C ．12D ．23．【答案】C【解析】∵向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，λ=a b （λ∈R ），∴()12-，＝λ()1m -，，∴12m λλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12，故选C ．4．在等比数列{}n a 中，1352,12a a a =+＝，则7a = A ．8 B ．10 C ．14 D ．164．【答案】D【解析】设等比数列的公比为q ，由3512a a +=，可得241112a q a q +=，又12a =，所以4260q q +-=，化简得22(3)(2)0q q +-=，所以22q =，所以671a a q =32216=⨯=.故选D.5．函数22()1xf x x=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】∵函数f （x ）221xx=-，∴当x (01)∈，时，f （x ）>0，故D 错误； x >1时，f （x ）<0恒成立，故B 和C 错误． 由排除法得正确选项是A ．6．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为 A ．1- B ．4C ．4或16-D ．16-6．【答案】C【解析】两条平行线之间的距离为22662534a a d ----===+，故4a =或16a =-，故选C ．7．若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．0B ．2C ．4D ．67．【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．8．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ= A ．2425 B ．1225 C ．2425± D ．2425-8．【答案】B【解析】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B ． 9．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>分别过点(2,0)A 和(0,1)B -，则该椭圆的焦距为A B ．C D ．9．【答案】B【解析】由题意可得2a =，1b =，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c ==2c =故选B. 10．已知两条不同的直线a ，b 和一个平面α，则使得“a b ∥”成立的一个必要条件是A ．a α∥且b α∥B ．a α∥且b α⊂C ．a α⊥且b α⊥D ．a ，b 与α所成角相同10．【答案】D【解析】若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故A 错误； 若a b ∥，当a α∥时b α∥或b α⊂，故B 错误； 若a b ∥，a α⊥且b α⊥不一定成立，故C 错误； 若a b ∥，则a ，b 与α所成角相同，故D 正确. 故选D ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若π4A =，a =，b =，则ABC △的面积等于A ．12或32B ．12C D ．3211．【答案】D【解析】利用余弦定理得到：22222cos ,522,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去），∴13sin 22ABC S bc A ==△.故选D.12．在正三棱锥P ABC -中，4,PA AB ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为A ．14BC ．18D12．【答案】B【解析】连接P 与底面正△ABC 的中心O ，因为P ABC -是正三棱锥，所以PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为侧棱PA 与底面ABC 所成角，因为4,PA AB ==2132cos 44AO PAO PA ⨯∠===，所以sin 4PAO ∠=，故选B ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30︒的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为(0,)b ，则该双曲线的离心率为ABCD13．【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为()3y x c =+，令0x =，得3y =，所以3c b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，所以e ==.故选A. 14．设函数21()lg ||1f x x x=-+，则使得5(log )0f m ≥成立的m 的取值范围是 A ．1[,5]5B ．1(0,][5,)5+∞U C ．1(,][5,)5-∞+∞U D ．1(,0][,5)5-∞U14．【答案】B【解析】由函数()f x 的解析式可得：函数()f x 的定义域为{|0},x x ≠又()()f x f x =-，则函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()lg 1f x x x =-+，易得函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又(1)0f =，所以5(log )0f m ≥等价于5(|log |)(1)f m f ≥，即5log 1m ≥，即1(0,][5,)5m ∈+∞U ，故选B ．15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是A ．2π(3)4a - B ．2π(6)2a -C ．2π(6)4a -D ．23π(6)4a -15．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为22222π1π334π(6)4()84a S a a a a =+-+⨯=-.故选C.16．等差数列{}n a 中，公差0d ≠，当1()n n *>∈N 时，下列关系式正确的是A ．112n n a a a a +>B ．112n n a a a a +<C ．112n n a a a a +=D ．112n n a a a a +≥16．【答案】B【解析】设()11n a a n d +-=，因为()2111111n a a a a nd a na d +=+=+，()()()()222111111n a a a d a n d a na d n d =++-=++-，所以()21121n n a a a a n d +-=--，又因为1,0n d >≠，所以1120n n a a a a +-<，所以112n n a a a a +<.故选B ． 17．若函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，则实数a 的取值范围是A ．332a -≤< B ．31a -≤< C ．332a a ≥<-或 D ．13a a ≥<-或 17．【答案】A【解析】因为函数()|2||21|f x x x ax =-+--没有零点，所以方程|2||21|x x ax -+-=无实根，即函数()|2 |21g x x x =-+-与()h x ax =的图象无交点，如图所示，则()h x 的斜率a 应满足332a -≤<，故选A.18．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则 A ．32V a =B ．32V a >C ．32V a =D ．32V a <18．【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，如图所示：点1B 到平面1MNC 的距离1112d B D =＝22a ，且MN a =，所以1211122MNC S MN CC a =⋅=△，所以三棱锥11B C MN -的体积11B C NM V -＝12311122332MNC a S d a ⨯⨯=⨯=△，利用等体积法得11113212M B C N B C NM V V a --==.故选C ． 非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知||2=a ，||4=b ，a 与b 的夹角为120︒，则⋅=a b _________，||+=a b ________. 19．【答案】4-；23【解析】由题得24cos1204⋅=⨯⨯=-o a b ；21()416224()32+=+=++⨯⨯⨯-=a b a b 故答案为4-；320．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是________.20．【答案】【解析】22log log 1m n +=Q ，即2log 1mn =，2mn ∴=，由基本不等式可得m n +≥=m n ==时，等号成立， 故m n +的最小值是21．已知0a >且1a ≠，设函数2,3()2log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是________.21．【答案】1[,1)3【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =， 由于函数()2,32log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()2log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且2log 31a +≤，则有012log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 31a a <<⎧⎨≤-⎩，解得113a ≤<，因此，实数a 的取值范围是1[,1)3，故答案为1[,1)3.22．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-*(2,)n n ≥∈N ，记2nn a b n=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =________. 22．【答案】20211011【解析】由22*11(2,)n n n n n a S n a S n n ---=-≥∈N 得()2211n n n n n a S S n a ----=， ∴()2211n n n a n a --=，∴111n n a a n n n n -=⨯-+， 令n n a c n =，则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+，由累乘法得121n c c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=L . 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求5π()12f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调增区间． 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以25π5π5π())2cos ()1121212f =⨯+- 5π5π)cos(2)1212=⨯+⨯（3分） 5π5πcos 66=+0=.（5分）（Ⅱ）2()22cos 12cos π2sin 62(2)f x x x x x x =+++=-=，（7分）所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（8分） 令πππ2π22π+()262k x k k -≤+≤∈Z ，解得ππππ+()36k x k k -≤≤∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，求sin QMN ∠的最小值. 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为2py =-， Q 点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，232p∴+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（3分）（Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+， 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x ky --=，（5分）所以124x x k +=，124x x ⋅=-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，（7分）因为21244AB y y p k =++=+， 所以圆Q 的半径为222r k =+.（8分）在等腰QMN △中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号. 所以sin QMN ∠的最小值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知关于x 的函数2()2f x x kx =--，x ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数k 的值；（Ⅱ）若函数()(21)x g x f =-，当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若函数2()()|1|2h x f x x =+-+，且函数()h x 在(0,2)上有两个不同的零点1x ，2x ，求证：12114x x +<. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）()f x Q 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=， 即2222x kx x kx +-=--对x ∈R 都成立，0k ∴=.（2分）（Ⅱ）当2(]0,x ∈时，()0g x ≤恒成立，即()()2212120x x k ----≤恒成立. 令21x u =-，则(]0,3u ∈，()()2212120x x k ∴----≤在2(]0,x ∈时恒成立等价于2k u u≥-在(]0,3u ∈时恒成立，（4分） 又227333u u -≤-=，73k ∴≥， k ∴的取值范围是7[,)3+∞.（6分）（Ⅲ）不妨设1202x x <<<， 因为()21,01,21,12,kx x h x x kx x -+<<⎧=⎨--≤<⎩所以()f x 在()0,1上至多有一个零点， 若1212x x ≤<<，则120x x ⋅>，而12102x x ⋅=-<，矛盾.因此12012x x <<≤<；（8分） 由()10h x =，得11k x =，由()20h x =，得222210x kx --=， 22211210x x x ∴-⋅-=，即212122x x x x +=⋅， 2121124x x x ∴+=<.（11分）。

2020高考数学（理）必刷试题（解析版）（11）2020高考数学模拟考试（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i2020=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A. （1，4）B. （2，4）C. （1，2）D. （1，+∞）3.若a=ln2，，的大小关系为（）A. b＜c＜aB. b＜a＜cC. a＜b＜cD. c＜b＜a4.当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A. x3＜3x＜log3xB. 3x＜x3＜log3xC. log3x＜x3＜3xD. log3x＜3x＜x35.已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -16.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 98.若数列{a n}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A. 10B. 20C. 30D. 409.设函数f（x）=x2+2cos x，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f （2x）的解集为（）A. （-1，）B. [0，）C. （]D. [0，]10.设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A. B. C. D.11.已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.12.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A. eB.C.D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a1=1，前n项和未s n，且s n=2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n=______．14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA 与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．16.如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求P99，P100的值．19.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1-AE-O的余弦值．20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数f（x）=e x cos x-x sinx，g（x）=sin x-e x，其中e为自然对数的底数．（1）?x1∈[-，0]，?x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1．故选：A．直接利用虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．2.【答案】B【解析】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4，∴A=（1，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】A【解析】解：a=ln2＞ln=，=＜，==∴a＞c＞b，故选：A．利用指数、对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，∴log3x＜x3＜3x，故选：C．利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵已知cos（-α）=2cos（π+α），即sin α=-2cosα，即tan α=-2．又∵tan（α+β）===，则tanβ=7，故选：B．由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：=sin（2x+），∴令：（k∈），解得：（k∈），当k=0时，，故选A．7.【答案】C【解析】解：=（a-1，1），=（-b-1，2），∵A，B，C三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：2a+b=1．又a＞0，b＞0，则+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴-=x n+1-x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型．9.【答案】B【解析】解：函数f（-x）=（-x）2+2cos（-x）=x2+2cos x=f （x），则函数f（x）是偶函数，函数的导数f′（x）=2x-2sin x=2（x-sin x），[f′（x）]′=2-2cos x≥0，即f′（x）在[-1，1]是为增函数，则当0≤x≤1时，f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在[0，1]上为增函数，则不等式f（x-1）＞f（2x）等价为f（|x-1|）＞f（|2x|），得得，得得，得0≤x＜，又即不等式的解集为[0，），根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用进行和单调性进行转化是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选：A．若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．11.【答案】A【解析】解：如图，=．由，，可得∴cos=，则，从而向量与向量的夹角为．故选：A．由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题．12.【答案】A【解析】解：对不等式两边同时取对数得ln x1＜ln x2，即x2ln x1＜x1ln x2，即＜恒成立，设f（x）=，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得1-ln x＞0得ln x＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故选：A．在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：当n≥2时，s n=2a n，……①令n=2，则s2=a1+a2=1+a2=2a2，故a2=1，令n≥3，则s n-1=2a n-1，……②①-②得：a n=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，即从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，故a n=，故答案为：．由已知可得数列{a n}满足a1=1，从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，进而得到答案．本题考查的知识点是数列的递推式，本题要注意数列并非等比，而是从第二项开始才是等比数列．14.【答案】16π【解析】解：边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=，∵OA与平面ABC所成的角为30°，∴球O的半径为=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．求出边长为3的正△AB C的外接圆的半径，利用OA与平面ABC 所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键．15.【答案】【解析】解：∵a=2sin18°，若a2+b=4，∴b=4-a2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，∴===，故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得e==．故答案为：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc=12，又a2=b2+c2-2b cos A，∴9=（b+c）2-3bc，∴，即△ABC的周长为．【解析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求cos A，进而可求A，（2）结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)=()3=．X3456P∴．（2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}(n≥1)，，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.（3）数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值．19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分）∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），，则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分）【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2=a2-c2=1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ=|x1|?|y1|=1，又，解得，||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4=2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22）===-3+8=5，综上可得||2+||2为定值5．【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）=1；，设h（x）=g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）=；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）=；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）=e x-（x+1），则F′（x）=e x-1；∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立；；∴①，x=0时取“=”；∴；==；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）-g（x）＞0．【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围；（2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明e x≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cos x+）-sin x（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0．考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值．本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．。

2020高考数学模拟试题（理科）一、单选题1．已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-<，则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}1A B x x ⋂=<D ．{}0A B x x ⋃=>【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B ，之后根据子集的定义可以判断出B A ⊆，根据交集中元素的特征求得{}|01A B x x ⋂=<<，根据并集中元素的特征，可以求得{}=|1A B x x ⋃<，从而求得结果. 详解：由20x x -<可以求得01x <<，从而求得{}|01B x x =<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，{}=|1A B x x ⋃<，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目. 2．已知a R ∈，i 为虚数单位，若ai i+为实数，则a 的值为 （） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解可得答案. 【详解】 解：()21a aii i a i i i+=+=-Q为实数， 10a ∴-=，即1a =．故选:A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果. 详解：设第一个人分到的橘子个数为1a ， 由题意得515453602S a ⨯=+⨯=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-⨯=+=，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，1,,,,n n a d n a S 这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可. 4．函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e Q -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =Q 在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x x ee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】先写出二项展开式的通项，然后令x 的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出结果． 【详解】5(2x +二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 6．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15，而对于k 的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果. 详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7．已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A ．10 B ．9C ．8D ．5【答案】D【解析】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15,即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-125(舍去),故选D.8．曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为（）A．152B．154C．154ln24-D．158ln22-【答案】D【解析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形如下：由45yxy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得：1x=或4x=，所以曲线4yx=与直线5y x=-围成的平面图形的面积为()421441115S5542084458ln21222x dx x x lnx lnx⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=----=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9．已知函数()lnf x x x=，若直线l过点()0,e-，且与曲线()y f x=相切，则直线l 的斜率为()A．2-B．2 C．e-D．e【答案】B【解析】求得()f x的导数，设出切点(),m n，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，从而可得结果．【详解】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+， 所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.10．巳知将函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个単位长度后.得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数.则3f π⎛⎫⎪⎝⎭=( )A ．12B．2CD ．1【答案】A【解析】先由题意写出()()sin 23g x x ϕ=+，根据()g x 是偶函数求出ϕ，即可得出结果. 【详解】由题意可得：()()sin 23g x x ϕ=+， 因为()g x 是偶函数，所以()32k k Z πϕπ=+∈，即()63k k Z ππϕ=+∈， 又02πϕ<<，所以0632k πππ<+<，解得112k -<<，所以0k =，故6πϕ=； 所以1sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型. 11．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.12．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴时，又以B 为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C 滚动时的曲线方程为()y f x =，则下列说法不正确的是 （）A ．()0f x ≥恒成立B ．()()8f x f x =+C ．()243(23)f x x x x =-+-<≤D ．()20190f =【答案】C【解析】根据正方形的运动关系，分别求出当0x =，1，2，3，4时对应的函数值()f x ，得到()f x 具备周期性，周期为4，结合图象，当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，即可判断所求结论． 【详解】解：Q 正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =，则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于()0,1点，即()01f =， 当1x =时，C 位于(2点，即()12f =当2x =时，C 位于()2,1点，即()21f =，当3x =时，C 位于()3,0点，即()30f =， 当4x =时，C 位于()4,1点，即()41f =，则()()4f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 由图可得()0f x ≥恒成立；()()8f x f x +=； 当23x <≤时，C 的轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的14圆，方程为22(2)1(23,0)x y x y -+=<≤≥；()()()20195044330f f f =⨯+==，综上可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选:C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，且48a =，则数列{}n a 的前7项和7S =______ 【答案】56【解析】由等差数列的性质可得：1742.a a a +=利用求和公式即可得出数列{}n a 的前7项和7S ． 【详解】解：由等差数列的性质可得：174216a a a +==．∴数列{}n a 的前7项和()177778562a a S +==⨯=．故答案为:56． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若x，y满足约束条件202020 x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则22x y+的最小值为______．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：22x y+的几何意义是平面区域内的点到原点的距离，由图象得O到直线20x y++=的距离最小，此时最小值22d==，则22x y+的最小值是2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15．已知向量ABu u u r与ACu u u r的夹角为120︒，且32AB AC==u u u r u u u r，，若AP AB ACλ=+u u u r u u u r u u u r，且AP BC⊥u u u r u u u r则实数λ的值为__________．【答案】712【解析】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16．若过抛物线24y x =上一点()4,4P ，作两条直线PA ，PB 分别与抛物线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,若它们的斜率之和为0，则直线AB 斜率为______．【答案】12-【解析】根据斜率公式可得121244044y y x x --+=--,利用221212,44y y x x ==化简可得128y y +=-,再根据斜率公式可得12AB k =-.【详解】解：依题意有121244044y y x x --+=--, 又221212,44y y x x ==, 所以1222124404444y y y y --+=--, 所以1211044y y +=++, 所以128y y +=-,所以12122212121241244AB y y y y k y y x x y y --====--+-, 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率公式的应用，考查了计算能力．属于基础题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na -=，求证：数列{}nb 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n=+（2）证明见解析【解析】()1直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．()2利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．【详解】解：()1设{}n a 的公差为d ,因为39S =，又12a =． 所以3132392S a d ⨯=+=，解得1d =． 故()211n a n n =+-=+．()2证明：由于1n a n =+，所以11()2n n b +=，所以22111111111424()()()112222122n n n T +⎛⎫-⎪⎝⎭=++⋯+=<=-．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n 项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且14BF BC =.若将,AED CFD ∆∆ 分别沿,ED FD 折起，使,A C 两点重合于点M ,如图2.图1 图2(1)求证:EF ⊥平面MED ；(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5. 【解析】（1）设正方形ABCD 的边长为4，由222DE EF DF +=，可得EF ED ⊥，结合MD EF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EF ⊥平面MED . （2）建立空间直角坐标系，过点M 作MN ED ⊥，垂足为N ，求出向量212sin()cos 22C C π+=∴=和平面MFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即 由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,. 又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为， 在中，, ,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则， 令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为..【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为15， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()02362915036C C P C ξ⋅===()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆2222:x y C a b+= ()10a b >>的焦点坐标分別为()11,0F -,()21,0F ,P 为椭圆C 上一点，满足1235PF PF =且123cos 5F PF ∠= (1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点，点1,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若AQ BQ =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】分析：第一问首先根据题中条件将涉及到的量设出来，之后结合椭圆的定义以及对应的线段的倍数关系，求得对应的边长，利用余弦定理借用余弦值建立边之间的等量关系式，从而求得,a c 的值，借用椭圆中,,a b c 的关系，求得b 的值，从而求得椭圆的方程，第二问将直线的方程与椭圆的方程联立，求得两根和与两根积，从而求得线段的中点，利用条件可得垂直关系，建立等量关系式，借用判别式大于零找到其所满足的不等关系，求得k 的取值范围.详解：（1）由题意设11PF r =，22PF r =则1235r r =，又122r r a +=，154r a ∴=，234r a =在 12PF F ∆中，由余弦定理得，12cos F PF ∠=2221212122r r F F r r +- =2225324453244a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯ 35=，解得2a =，1c =Q ，2223b a c ∴=-=，∴所求椭圆方程为22143x y +=（2）联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234k x ++ 284120kmx m +-=，则12x x += 2834km k -+，212241234m x x k-=+，且()2248340k m ∆=+->…① 设AB 的中心为()00,M x y ，则1202x x x +== 2434km k -+，002334my kx m k=+=+， AQ BQ =Q ,AB QM ∴⊥,即，QMk k ⋅= 22334141344mk k km k +⋅=---+，解得2344k m k+=-…② 把②代入①得22234344k k k ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭，整理得4216830k k +->，即()()2241430kk -+> 解得11,,22k ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及的知识点有椭圆的定义、余弦定理、椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的有关问题，要会将题中条件加以转化，再者要会找对应的不等关系.21．已知函数()xf x xe =，()232g x x x =+-． ()1求证：()()215022f xg x x x-+->对()0,x ∞∈+恒成立；()2若()()()(0)32f x F x x gx x =>-+，若120x x <<，122x x +≤，求证：()()12.F x F x >【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数()h x ，对函数()h x 进行一阶导数和二阶导数的分析，得到()h x 在()0,∞+上单调递增，则当0x >时，()()0010.h x h e >=-=命题得证．（2）先对整理后的()F x 进行一阶导数的分析，画出函数()F x 大致图象，可知()10F x >，()20.F x >然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．【详解】证明：()1由题意，可知()()22221531511222222x x f x g x x e x x x e x x x-+-=--++-=---． 令()2112xh x e x x =---，0.x >则 ()'1x h x e x =--，()0.1x x h x e >"=-，Q 当0x >时，()10x h x e "=->，()'h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()''00h x h >=，()h x ∴在()0,∞+上单调递增．∴当0x >时，()()0010h x h e >=-=．故命题得证．()2由题意，()xe F x x =，0x >．()()21'x x e F x x-=，0x >．①令()'0F x =，解得1x =；②令()'0F x <，解得01x <<； ③令()'0F x >，解得1x >．()F x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值()1F e =．()F x 大致图象如下：根据图，可知()10F x >，()20F x >．()()()()12121122121212.x x e e lnF x lnF x ln ln x lnx x lnx x x lnx lnx x x ∴-=-=---=---120x x <<Q ，122x x +≤， ∴根据对数平均不等式，有12121212x x x xlnx lnx -+<≤-，()()121212121110lnF x lnF x lnx lnx x x x x --∴=-<-=--．120x x -<Q ，()()120lnF x lnF x ∴->． ()()12.F x F x ∴>故得证． 【点睛】本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3cos 33ρθθ+=.（1）求C 的极坐标方程； （2）若射线11π:02OM θθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的取值范围.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <<.【解析】试题分析：（1）圆C 的参数方程消去参数φ，能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C 的极坐标方程． （2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q （ρ2，θ1），则2ρ=，OP OQ =ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出OP OQ 的范围． 试题解析：（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. （2）设()11,P ρθ，则有 11cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=所以12102OP OQ πρρθ⎫=⋅==<<⎪⎭因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <<.。

2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

专题六 数列26 数列的综合应用1．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =， 从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．2．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b = A ．1- B ．1 C ．4-D ．4【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ==-==，所以413413278d a a b q b =-=⎧⎪⎨==-⎪⎩， 解得92d q =⎧⎨=-⎩，因此212166a a d b b q =+=⎧⎨==⎩，所以221a b =. 故选B.3．已知首项为1的等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,且S 2,S 4,S 8成等比数列,则 d = A ．0 B ．1或2 C ．0或2D ．2【答案】C【解析】由a 1=1及S 2,S 4,S 8成等比数列,可得 =S 2·S 8,又S n =a 1n +d ,可得d 2=2d ,解得d =0或d =2.故选C.4．已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a = A ．2 B ．2或32 C ．2或-32D ．1-【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （0q ≠），1324,,2a a a 成等差数列，321224a a a ∴=+， 10a ≠，220q q ∴--=，解得2q =或1q =-， 451=a a q ∴，则5=232a 或.故选B ．5．设 是首项为 ,公差为 的等差数列, 为其前 项和,若 成等比数列,则 A ．8 B ． C ．1D ．【答案】D【解析】由题意可得 ,因为 成等比数列,所以 ,求解可得 故选D.6．已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6=a 2·a 10，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9=2a 7，则S 17=A ．34B ．39C ．51D ．68【答案】D【解析】数列{a n }是公比q =2的等比数列，由a 6=a 2·a 10得a 1q 5=a 1q ·a 1q 9，∴a 1q 5=1，∴a 6=1， ∴b 9=2a 7=2a 6·q =2×1×2=4, 设等差数列{b n }的公差为d ,则S 17=17b 1+d =17(b 1+8d )=17b 9=68.故选D ．7．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=，16117πb b b ++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是A ．1B ．22C ．22-D ．3-【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列，32610633a a a a ∴⋅⋅==，63a ∴=，{}n b 是等差数列，1611637πb b b b ∴++==，67π3b ∴=， 2106239614π27ππ3tan tan tan tan tan 3111333b b b a a a +∴===-=-=--⋅--. 故选D.8．已知数列 是等差数列， 是正项等比数列，且 ， ， ， ，则 A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为 ， ， 是正项等比数列，所以 ， ， ，则 ， ，因为数列是等差数列，，，所以，，，，因为，所以，又，则，，所以.故选D.9．已知等差数列{a n}的首项为1,a1+a3+a5=15,{a n}的前n项和为S n,若S10,a10+1,k(其中k∈R)成等比数列,则实数k的值是A．7 B．6C．5 D．4【答案】D【解析】根据题意可得,a1=1,3a3=15,即a3=5,设等差数列{a n}的公差为d,解得d=2,所以等差数列{a n}的通项公式是a n=2n-1,S10=10×1+×2=100,又S10,a10+1,k(其中k∈R)成等比数列,所以(a10+1)2=k·S10,k== 4.故选D．10．在等差数列中,,且成等比数列,则公差__________．【答案】3【解析】因为成等比数列,所以,即,解得d=3或d=-1.当d=-1时，，舍去.故11．等差数列中，公差，且，数列是等比数列，且，则_______．【答案】16【解析】因为等差数列中，，所以,所以.则，又数列是等比数列，所以.12．已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式为 __________．【答案】【解析】因为 是 ， 的等差中项，所以 ， 所以或 ，因为数列 单调递增，所以 ，所以数列 的通项公式为 ．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，则数列{}n a 的前20项的和20S =__________.【答案】200或330【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =， 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=， 故答案为200或330.14．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中2017201920182a a a +=，所以2220172018201920182018224=0a a a a a -+=-，因为各项不为零，所以2018=4a ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2201720192018==16b b a ⋅所以()2201720192log =log 16=4b b ⋅. 故选C ．15．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=， 则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选B ．16．等比数列{}n a 中， n S 是数列{}n a 的前n 项和， 314S =，且1238,3,6a a a ++依次成等差数列，则13a a ⋅等于 A ．4 B ．9 C ．16 D ．25【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则()231114S a q q =++=①，又1238,3,6a a a ++依次成等差数列，则21112386a q a a q ⨯=+++，即2111614a q a a q --=②，①②两式相加得：14a q =，代入①得()21110a q +=，①②两式相比得22520q q -+=，解得2q =或12q =，则122a q ==⎧⎨⎩ 或1812a q ⎧==⎪⎨⎪⎩，当122a q ==⎧⎨⎩时，22221312216a a a q ==⨯=；当1812a q ⎧==⎪⎨⎪⎩时，221318162a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯=.故选C .17．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列,23a =,且358,,a a a 成等比数列,设11n n n b a a +=,则数列{}n b 的前n 项和n T 为A ．1n n + B ．1n n - C ．221nn +D ．24nn +【答案】D【解析】设首项为1a ,公差为d ,因为23a =,且358,,a a a 成等比数列,所以()()()121113427a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩, 解得12,1a d ==, 所以()()1111,1212n n a n b n n n n =+==-++++, 则12n n T b b b =+++=1111111123341222n n n -+-++-=-+++=24nn +. 故选D ．18．若等差数列{a n }与等比数列{b n }的首项是相等的正数,且它们的第2n+1项也相等,则A ．a n+1<b n+1B ．a n+1≤b n+1C ．a n+1≥b n+1D ．a n+1>b n+1【答案】C【解析】∵等比数列{b n }中,b 1>0,∴b 2n+1>0, 又a 1=b 1,a 2n+1=b 2n+1,当b n+1<0时,显然有a n+1>b n+1;当b n+1>0时,a n+1-b n+1=21211211211211212()222n n n n n a a a a a a a a b b ++++++-⋅-+-⋅==≥ , 即a n+1≥b n+1.综上可知a n+1≥b n+1.19．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，*12...,()n n T c c c n =+++∈N ，则当2019n T >时，n 的最小值是A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+()()()()1211221241221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()11122124222212nn n n n n -+-=+++⋯+-=⨯-=---，2019n T >，1222019n n +∴-->，解得10n ≥．则当2019n T >时，n 的最小值是10． 故选B ．20．若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 则 __________．【答案】【解析】由题意，互不相等的实数 构成等差数列， 设 ，又 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ， 所以三个数 分别为 ，又因为 ，所以 ，所以实数 .21．已知数列 的各项均为整数， ，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则 __________． 【答案】16【解析】设公差为 ，则因为第11项，第12项，第13项成等比数列，所以 ，即 ，即，因为 为整数，所以 ， 则，故 . 故答案为16.22．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为__________.【答案】12n n b -=【解析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，即有36a =，解得2a =，由题意可得5d -，8，15d +成等比数列，即有()()51564d d -+=，解得1d =（11d =-舍去），可得公比为2，则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---=⋅=⋅=. 故答案为12n n b -=.23．已知数列{}n a 满足11a =，且点()()1,2n n a a n +∈N å在直线1102x y -+=上．若对任意的*n ∈N ，1231111nn a n a n a n a λ+++⋯+≥++++恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 【答案】（﹣∞，12] 【解析】数列{}n a 满足a 1＝1，且点()()*12n n a a n +∈，N 在直线x 12-y +1＝0上， 可得a n ﹣a n +1+1＝0，即a n +1﹣a n ＝1，可得a n ＝n ， 对任意的*n ∈N ，1231111nn a n a n a n a λ++++≥++++恒成立， 即为λ111122n n n≤+++++的最小值， 由f （n ）111122n n n=+++++， f （n ）﹣f （n +1）11112122n n n =--+++()()111022212122n n n n =-=-<++++， 即f （n ）＜f （n +1），可得f （n ）递增，即有f （1）为最小值，且为12， 可得λ12≤， 则实数λ的取值范围为（﹣∞，12]． 故答案为（﹣∞，12]．24．（2017新课标全国Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=， 又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选A ．【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.25．（2017北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________． 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么22131 2a b-+==．【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.11。

专题八 立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误； 在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若 与 ， 都不相交，则 与 ， 都平行. 根据公理4，则 ，与 ， 异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知 ， 是异面直线，直线 平行于直线 ，那么 与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线 【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交； 如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线 A ．只有一条，不在平面 内 B ．只有一条，且在平面 内 C ．有无数条，一定在平面 内 D ．有无数条，不一定在平面 内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ， 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾， 故过点 且平行于 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，则平面 和平面 的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂， ，∴ ， 又 ，∴CD α⊂．又 在平面 内，∴ 为平面 与平面 的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选C ．8．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， 交于一点 ，则 A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上C ． 一定在直线 或 上D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 【答案】B【解析】由题意， ， 相交于点 ，则点 ，且 ， 又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，且 平面 ， 则点 必在平面 与平面 的交线上，即点 一定在直线 上． 故选 ．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面 【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23． 故选C ．11．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行； 若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交． 故 与 的位置关系为平行或相交.12．若直线 和平面 平行,且直线 ,则两直线 和 的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线 和 没有公共点,故直线 和 的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面 内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若 ， ，则B ．若 ， ，则C ．若 ， ，则D ．若 ， ，则【答案】D【解析】对于A ，若 ，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错； 对于B ，若 ，则 、 可能相交、平行，B 错； 对于C ，若 ，则 、 可能相交、平行，C 错；对于D ，若 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为 尺， 尺，且侧面为等腰梯形，则 尺， 间的距离为 尺，故 尺，由勾股定理得 尺， 所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确． 根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确． 根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线， 故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确． 故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号） 【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面， 如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -， 则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确； 由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒， 故,m n 所成角的正弦值为32， 选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。

专题突破练(1)　函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答　B解　解法一：由f (x )＝0得Error!或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点． 解法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( ) y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答　C解　由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答　B解　由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y 1e|x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答　C解　因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答　A解　因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(2，3)C ．(－∞，2)D ．(3，＋∞) 答　A解　易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝＝1－为单x1＋x11＋x调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝Error! 则下列函数为奇函数的是( ) A ．f (sin x ) B ．f (cos x ) C ．xf (sin x ) D ．x 2f (cos x ) 答　C解　易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b b B ．a ln b ＞b ln a C ．a ln a ＞b ln b D ．a b ＜b a 答　C解　取a ＝e ，b ＝，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a ，e 则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b ，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足Error!则x ＋y ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答　B解　函数f (t )＝t 3＋2018t (t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝130，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x ＋的图象大致为( )x x ＋1答　A 解　f (x )＝2x ＋＝2x －＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )x x ＋11x ＋1＝2x ，v (x )＝－．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以1x ＋1f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 1x ＋111．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln ，b ＝f ln －，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )121e 1e2A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b 答　C解　依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln －1e ＝ln 1－<ln ＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e 0．1，从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性，有f ln －>f ln >f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．1e 1e 21212．(2018·长沙统考)设平行于x 轴的直线l 分别与函数y ＝2x 和y ＝2x ＋1的图象相交于点A ，B ，若函数y ＝2x 的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l ( )A ．不存在B ．有且只有一条C ．至少有两条D ．有无数条 答　B解　如图，设直线l 的方程为y ＝a (a ＞0)，则点A (log 2a ，a )，B (log 2a －1，a )． 因为直线AB 平行于x 轴，所以|AB |＝1．取AB 中点D ，连接CD ，因为△ABC 是等边三角形，所以CD ⊥AB ，且|AD |＝，|CD |＝，所以点C log 2a －，a －．因为点C 在y ＝2x12321232的图象上，所以a －＝2log2a －＝，解得a ＝，所以直线l 只有一条．故选B ．3212a232－2二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答　(－∞，－2)解　不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b (b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答　[－1，＋∞)解　由题可得2b (a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4b ⇒a ≥4b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4b (12)(12)(12)－b ，因为y ＝4x－x 在R 是单调递减的，所以4b－b 在区间[1，2]上的范围为[－1，(12)(12)1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则＋的最小值为________． 1a 4b答　9解　依题意可知g (x )＝3x ，∴g (a )·g (b )＝3a ·3b ＝3a ＋b ＝3即a ＋b ＝1，∴＋＝1a 4b·(a ＋b )＝5＋＋≥9当且仅当a ＝，b ＝取“＝”． (1a ＋4b )b a 4a b 132316．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log x ，y22＝x ，y ＝x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D1232的坐标是________．答　，12916解　由2＝log x 可得点A ，2，由2＝x 可得点B (4，2)，因为4＝，所以点C22121232916的坐标为4，，所以点D 的坐标为，．91612916三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f ＝f (m )－f (n )；(mn)(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f与的大小．(m ＋n2)f (m )＋f (n )2解　(1)证明：∵f (m )＝f ＝f ＋f (n )，(m n ·n )(mn)∴f＝f (m )－f (n )． (mn)(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ．(x 2x1)∵0<x 1<x 2，∴>1，∴f >0，x 2x1(x 2x 1)∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)f－(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝f ＋f － 12(m ＋n 2)12(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝＋ 12[f (m ＋n 2)－f (m )]12[f (m ＋n2)－f (n )]＝f ＋f12(m ＋n 2m )12(m ＋n 2n )＝f12[(m ＋n )24mn ]∵≥1，∴f≥0，(m ＋n )24mn [(m ＋n)24mn ]故f≥． (m ＋n 2)f (m )＋f (n )218．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解　(1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝Error!①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥，∴≤a ≤2．3232②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <，∴2<a <．5252③当a ≥4时，g (x 2)在2，上单调递增，在，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递a 2a2增．∴g ＝－2＋<1，－2<a <2，不成立．a2a 2a 22综上可知≤a ＜．325219．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝Error!(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解　(1)当x >c 时，P ＝，23∴T ＝x ·2－x ·1＝0；1323当1≤x ≤c 时，P ＝，16－x∴T ＝·x ·2－·x ·1＝．(1－16－x )(16－x )9x －2x 26－x综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝Error! (2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝＝15－2(6－x )＋≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等9x －2x 26－x 96－x 号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时，由T ′＝＝知函数T ＝在[1，3]上2x 2－24x ＋54(6－x )22(x －3)(x －9)(6－x )29x －2x 26－x递增，∴当x ＝c 时，∴T max ＝．9c －2c 26－c综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．20．(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝x 3－x ＋8(0<x <120)．1128000380(1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解　(1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时， 100642516要耗油×643－×64＋8×＝11．95(升)． 11280003802516(2)设22．5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， x 3－x ＋8×＝22．5， 1128000380ax 所以a ＝，22.51128000x 2＋8x －380设h (x )＝x 2＋－， 11280008x 380则当h (x )最小时，a 取最大值， h ′(x )＝x －＝，1640008x 2x 3－80364000x 2令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80，120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0，80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80，120)时，函数h (x )为增函数， 所以当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为＝200．22.51128000×802＋880－380所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．专题突破练(1)　函数的综合问题一、选择题1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 答　B解　解法一：由f (x )＝0得Error! 或Error!解得x ＝－2或x ＝e ． 因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．故选B ．2．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则的最大值为( )y2xA ．B ．1C ．D ． 185472答　C解　由题意，得线段AB ：y －1＝(x －4)⇒y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)，所以＝5－12－4y2x＝－1＋≤，当x ＝2时等号成立，即的最大值为．故选C ． －2x ＋92x 92x 54y 2x 543．若变量x ，y 满足|x |－ln ＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )1y答　B解　由|x |－ln ＝0得y ＝＝Error!画出图象可知选B ．1y1e |x |4．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4 答　C解　因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．而在x ≥0时，f (x )＝log 2(2＋x )－1，所以f (－6)＝－f (6)＝－[log 2(2＋6)－1]＝－(log 28－1)＝－2．故选C ．5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝0，则满足xf (x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，2)B ．(－2，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2) 答　A解　因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，又f (－2)＝0，所以f (2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f (x )＜0；在区间(－2，2)上，f (x )＞0，所以xf (x )＞0等价于Error!和Error!即得x <－2或0<x <2．故选A ．6．(2018·广东潮州模拟)设函数f (x )＝，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x1＋|x |x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(2，3)C ．(－∞，2)D ．(3，＋∞) 答　A解　易得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝＝1－为单x1＋x11＋x调增函数，故函数f (x )在R 上为增函数，依题意得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3．故选A ．7．(2018·佛山质检一)已知函数f (x )＝Error!则下列函数为奇函数的是( ) A ．f (sin x ) B ．f (cos x ) C ．xf (sin x ) D ．x 2f (cos x ) 答　C解　易知f (x )为偶函数，即满足∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立．研究g (x )＝xf (sin x )，g (－x )＝－xf [sin(－x )]＝－xf (－sin x )＝－xf (sin x )＝－g (x )，故g (x )＝xf (sin x )为奇函数．故选C ．8．(2019·青岛质检)已知a ＞b ＞1，则下列结论正确的是( ) A ．a a ＜b b B ．a ln b ＞b ln a C ．a ln a ＞b ln b D ．a b ＜b a 答　C解　取a ＝e ，b ＝，则B 项明显错误；对于D 项，若a b ＜b a 成立，则ln a b ＜ln b a ，e 则b ln a ＜a ln b ，由B 项错误得D 项错误；因为a ＞b ＞1，所以ln a ＞ln b ＞0，由同向不等式相乘得a ln a ＞b ln b ，进一步得ln a a ＞ln b b ，所以a a ＞b b ，所以A 项错误，C 项正确．故选C ．9．若x ，y ∈R ，且满足Error!则x ＋y ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答　B 解　函数f (t )＝t 3＋2018t(t ∈R )是奇函数，且在R 上是增函数，故若f (u )＋f (v )＝130，则必有u ＋v ＝0，本题中，u ＝x ＋4，v ＝y －1，∴x ＋4＋y －1＝0⇒x ＋y ＝－3．故选B ．10．(2018·长沙统考)函数f (x )＝2x ＋的图象大致为( )x x ＋1答　A 解　f (x )＝2x ＋＝2x －＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u (x )x x ＋11x ＋1＝2x ，v (x )＝－．由于u (x )和v (x )都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以1x ＋1f (x )在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C ，D ；又当x 趋向负无穷时，2x 趋近于0，－趋近于0，所以f (x )接近于1，所以选A ． 1x ＋111．(2018·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 答　A解　令x －1＝t ，t ∈[－2，2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，显然函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t 为奇函数，其最大值与最小值之和为0，故函数y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2的最大值与最小值之和为4，即M ＋m ＝4，故选A ．12．(2018·大庆质检一)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )<0．若a ＝f ln ，b ＝f ln －，c ＝f (e 0．1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )121e 1e2A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <a <b D ．a <c <b 答　C解　依题意，有f (x )在[0，＋∞)上单调递减，而且f (x )是定义在R 上的奇函数，则由其图象知f (x )在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f (x )在R 上单调递减．则由ln －1e ＝ln 1－<ln ＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e 0．1，从而结合1e 21e 1e 1e 121e 1e 1e 212f (x )的单调性，有f ln －>f ln >f (e 0．1)，即c <a <b ．故选C ．1e 1e 212二、填空题13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解，则实数a 的取值范围是________．答　(－∞，－2)解　不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1，4]内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈[1，4]，∴g (x )≤g (4)＝－2，∴a <－2．14．若存在b ∈[1，2]，使得2b (b ＋a )≥4，则实数a 的取值范围是________． 答　[－1，＋∞)解　由题可得2b (a ＋b )≥4⇒a ＋b ≥4b ⇒a ≥4b －b ，即存在b ∈[1，2]使得a ≥4b (12)(12)(12)－b ，因为y ＝4x －x 在R 是单调递减的，所以4b －b 在区间[1，2]上的范围为[－1，(12)(12)1]，则a ≥－1，故填[－1，＋∞)．15．已知函数g (x )的图象与函数f (x )＝log 3x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，若g (a )·g (b )＝3(其中a >0且b >0)，则＋的最小值为________．1a 4b答　9解　依题意可知g (x )＝3x ，∴g (a )·g (b )＝3a ·3b ＝3a ＋b ＝3即a ＋b ＝1，∴＋＝1a 4b·(a ＋b )＝5＋＋≥9当且仅当a ＝，b ＝取“＝”． (1a ＋4b )b a 4a b 132316．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log x ，y22＝x ，y ＝x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 1232的坐标是________．答　，12916解　由2＝log x 可得点A ，2，由2＝x 可得点B (4，2)，因为4＝，所以点C22121232916的坐标为4，，所以点D 的坐标为，．91612916三、解答题17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足f (mn )＝f (m )＋f (n )(m ，n >0)，且当x >1时，有f (x )>0．(1)求证：f＝f (m )－f (n )； (mn)(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)比较f与的大小．(m ＋n2)f (m )＋f (n )2解　(1)证明：∵f (m )＝f ＝f ＋f (n )， (m n ·n )(mn)∴f＝f (m )－f (n )． (mn)(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ．(x 2x1)∵0<x 1<x 2，∴>1，∴f >0，∴f (x 2)>f (x 1)，x 2x1(x 2x 1)∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)f－(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝f ＋f － 12(m ＋n 2)12(m ＋n 2)f (m )＋f (n )2＝＋ 12[f(m ＋n 2)－f (m )]12[f (m ＋n2)－f (n )]＝f ＋f 12(m ＋n 2m )12(m ＋n 2n )＝f 12[(m ＋n )24mn ]∵≥1，∴f≥0， (m ＋n )24mn [(m ＋n )24mn ]故f≥．(m ＋n 2)f (m )＋f (n )218．(2018·浙江宁波统考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝x |x －a |． (1)若g (x )为奇函数，求a 的值并判断g (x )的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求正实数a 的取值范围．解　(1)∵g (x )为奇函数，∴g (x )＋g (－x )＝x (|x －a |－|x ＋a |)＝0恒成立． ∴a ＝0．此时g (x )＝x |x |，在R 上单调递增． (2)x 1∈[1，＋∞)，f (x )＝log 2(x ＋1)， ∴f (x 1)∈[1，＋∞)，g (x )＝Error!①当a ≤2时，g (x 2)在[2，＋∞)上单调递增， ∴g (2)＝4－2a ≤1，a ≥，∴≤a ≤2．3232②当2<a <4时，g (x 2)在[2，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． ∴g (2)＝－4＋2a <1，a <，∴2<a <．5252③当a ≥4时，g (x 2)在2，上单调递增，在，a 上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递a 2a2增．∴g ＝－2＋<1，－2<a <2，不成立． a2a 2a 22综上可知≤a ＜．325219．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝Error!(其中c 为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解　(1)当x >c 时，P ＝，23∴T ＝x ·2－x ·1＝0；1323当1≤x ≤c 时，P ＝， 16－x∴T ＝·x ·2－·x ·1＝．(1－16－x )(16－x )9x －2x 26－x综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为T ＝Error! (2)由(1)，当x >c 时，每天的盈利额为0，∴1≤x ≤c ，①当3≤c <6时，T ＝＝15－2(6－x )＋≤15－12＝3(当且仅当x ＝3时取等9x －2x 26－x 96－x 号)，T max ＝3，此时x ＝3；②当1≤c <3时， 由T ′＝＝知函数T ＝在[1，3]上递增，2x 2－24x ＋54(6－x )22(x －3)(x －9)(6－x )29x －2x 26－x∴当x ＝c 时，∴T max ＝．9c －2c 26－c综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润； 若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润． 20．(2019·广州模拟)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2＋a ．1x(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差12不超过1，求a 的取值范围．解　(1)当a ＝5时，f (x )＝log 2＋5，1x由f (x )>0得log 2＋5>0，1x∴＋5>1，即＋4＝>0，1x 1x 4x ＋1x解得x >0或x <－，14∴不等式的解集为xx >0或x <－．14(2)由f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得 log 2＋a －log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，1x即＋a ＝(a －4)x ＋2a －5>0，①1x∴(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0．②当a ＝4时，方程②的唯一解为x ＝－1，满足①式； 当a ＝3时，方程②有两个相等的实数解， 即x ＝－1，满足①式；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝， 1a －4若x ＝－1满足①式，则－1＋a ＝a －1>0，即a >1， 若x ＝满足①式，则a －4＋a ＝2a －4>0，即a >2， 1a －4∴要使满足①式的解有且仅有一个，则1<a ≤2．综上，若方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是{a |1<a ≤2或a ＝3或a ＝4}．(3)∵函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减， ∴f (t )－f (t ＋1)≤1， 即log 2＋a －log 2＋a ≤1，1t 1t ＋1∴log 2＋a ≤log 2＋a ＋1，1t 1t ＋1∴＋a ≤2＋a ， 1t 1t ＋1∴a ≥－＝在区间，1上恒成立，1t 2t ＋11－t t (t ＋1)12∴a ≥max ，t ∈，1．1－tt (t ＋1)12设1－t ＝r ，即t ＝1－r ，则0≤r ≤，12∴＝＝， 1－tt (t ＋1)r(1－r )(2－r )rr 2－3r ＋2当r ＝0时，＝0．rr 2－3r ＋2当0<r ≤时，＝，12rr 2－3r ＋21r ＋2r－3∴y ＝r ＋在(0，)上递减，2r2∴y ＝r ＋在r ＝时最小，2r 12∴r ＋≥＋4＝，2r 1292∴＝≤＝， rr 2－3r ＋21r ＋2r －3192－323∴实数a 的取值范围是aa ≥．23专题突破练(2)　利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1．(2019·佛山质检)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)；②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)；③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)．其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答　B解　依题意，x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g ′(x )＝3x 2－6x ＋2－λ的两个零点，则Δ＝12(λ＋1)>0，即λ>－1，且x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝．研究f (x 1)<f (x 2)成立的充要条2－λ3件：f (x 1)<f (x 2)等价于(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2]<0，因为x 1<x 2，所以有(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2＝－>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B ． 2－λ32．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f (x )＝e x x ＋－3－，若不等式f (x )≤0有正实数3x ax解，则实数a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．e 2D ．e 答　D解　因为f (x )＝e x x ＋－3－≤0有正实数解，所以a ≥(x 2－3x ＋3)e x ，令g (x )＝(x 23x ax－3x ＋3)e x ，则g ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋3)e x ＝x (x －1)e x ，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e．故选D ．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )e 636e 749e 864A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答　C解　构造函数f (x )＝，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，f ′(x )＝，当e xx 2x e x (x －2)x 4x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，故f (8)>f (7)>f (6)，即c >b >a ．故选C ．4．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (x )＋2＞f ′(x )，f (0)＝1，则不等式ln (f (x )＋2)－ln 3＞x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 答　A解　构造函数g (x )＝，则g ′(x )＝f (x )＋2e x＜0，则g (x )在R 上单调递减，且g (0)＝＝3．从而原不等式f ′(x )－(f (x )＋2)e xf (0)＋2e 0ln＞x 可化为＞e x ，即＞3，即g (x )＞g (0)，从而由函数g (x )的单调f (x )＋23f (x )＋23f (x )＋2e x性，知x ＜0．故选A ．5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x ，y 都有2x －ln ≤成立，则实数my e y x xm e 的取值范围为( )A ．，1B ．，1C ．，eD ．0， 1e 1e 21e 21e 答　D解　因为x >0，y >0，2x －ln ≤，所以两边同时乘以，可得2e －ln ≤，令＝y e y x x m e e x y x y x 1m yx t (t >0)，令f (t )＝(2e －t )·ln t (t >0)，则f ′(t )＝－ln t ＋(2e －t )·＝－ln t ＋－1t 2et1．令g (t )＝－ln t ＋－1(t >0)，则g ′(t )＝－－<0，因此g (t )即f ′(t )在(0，＋2et1t 2et 2∞)上单调递减，又f ′(e)＝0，所以函数f (t )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (t )max ＝f (e)＝(2e －e)ln e ＝e ，所以e≤，得0<m ≤．故选D ．1m 1e6．(2018·郑州质检三)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2] 答　A解　f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，令g (x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，则g ′(x )＝a x (ln a )2＋2>0，所以函数g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝a 0×ln a ＋2×0－ln a ＝0，即f ′(x )≥0，则函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0)＝a －ln a ≤a －2，解得a ≥e 2．故选A ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答　(－2，2)解　由f (x )＝x 3－3x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝0时，x ＝±1，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋a ，f (x )的极小值为f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (－1)＝2＋a >0，且f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2)．8．若不等式2x (x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答　(－∞，－1]解　不等式2x (x －a )>1在(0，＋∞)上恒成立，即a <x －2－x 在(0，＋∞)上恒成立．令f (x )＝x －2－x (x >0)，则f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (0)＝－1，所以a ≤－1，即a ∈(－∞，－1]．三、解答题9．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数，a ∈R )．(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求a 的取值范围． 解　(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <时，f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，12在(ln 2a ，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝时，f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；12当a >时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，12在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；综上所述，当a ≤0时，f (x )有1个极值点； 当a >0且a ≠时，f (x )有2个极值点；12当a ＝时，f (x )没有极值点．12(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x ，得x e x －x 3－ax 2－x ≥0， 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤对∀x >0恒成立， e x －x 2－1x 设g (x )＝(x >0)，e x －x 2－1x则g ′(x )＝．(x －1)(e x －x －1)x 2设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1． ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e－2． ∴a 的取值范围是(－∞，e －2]．10．(2018·郑州质检一)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)，a ∈R 在(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求f (x )的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )－＋2x ＋>k (x －1)成立，求k 的取值x 2212范围．∵f ′(x )＝－a ，1x∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，∴f ′(x )＝－1＝，1x 1－xx令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)不等式f (x )－＋2x ＋>k (x －1)可化为ln x －＋x －>k (x －1)，x 2212x 2212令g (x )＝ln x －＋x －－k (x －1)(x >1)，x 2212则g ′(x )＝－x ＋1－k ＝，1x －x 2＋(1－k )x ＋1x令h (x )＝－x 2＋(1－k )x ＋1(x >1)，h (x )的对称轴为直线x ＝， 1－k2①当≤1，即k ≥－1时，易知h (x )在(1，x 0)上单调递减， 1－k2∴h (x )<h (1)＝1－k ，若k ≥1，则h (x )≤0，∴g ′(x )≤0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递减， ∴g (x )<g (1)＝0，不符合题意； 若－1≤k <1，则h (1)>0，∴必存在x 0，使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意． ②当>1，即k <－1时，易知必存在x 0，使得h (x )在(1，x 0)上单调递增， 1－k2∴h (x )>h (1)＝1－k >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(1，x 0)上单调递增， ∴g (x )>g (1)＝0恒成立，符合题意． 综上，k 的取值范围是(－∞，1)．11．(2018·山西考前适应性测试)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ．12(1)当a <1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥＋x a ＋1－e 对于任意x ∈[e －1，e]成立，求正实数ax 22的取值范围．f ′(x )＝x －(a ＋1)＋＝a x x 2－(a ＋1)x ＋ax＝，(x －a )(x －1)x若0<a <1，则当0<x <a 或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当a <x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；若a ≤0，则当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当0<a <1时，函数f (x )在(a ，1)上单调递减，在(0，a )和(1，＋∞)上单调递增．(2)不等式f (x )＋(a ＋1)x ≥＋x a ＋1－e 对任意x ∈[e －1，e]成立等价于对任意x ∈x 221e ，e ，有－a ln x ＋x a ≤e－1成立， 设g (x )＝－a ln x ＋x a ，a >0， 所以g (x )max ≤e－1，g ′(x )＝＋ax a －1＝， －axa (x a －1)x令g ′(x )<0，得0<x <1；令g ′(x )>0，得x >1， 所以函数g (x )在，1上单调递减，1e 在(1，e]上单调递增，g (x )max 为g ＝a ＋e －a 与g (e)＝－a ＋e a 中的较大者．1e设h (a )＝g (e)－g ＝e a －e －a －2a (a >0)，1e 则h ′(a )＝e a ＋e －a －2>2－2＝0，e a ·e －a 所以h (a )在(0，＋∞)上单调递增，故h (a )>h (0)＝0， 所以g (e)>g ，1e从而g (x )max ＝g (e)＝－a ＋e a ，所以－a ＋e a ≤e－1，即e a －a －e ＋1≤0， 设φ(a )＝e a －a －e ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝e a －1>0，所以φ(a )在(0，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以e a －a －e ＋1≤0的解为a ≤1．因为a >0，所以正实数a 的取值范围为(0，1]．12．(2018·石家庄二中模拟)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝x e 1－x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若不等式f (x )>0对于一切x ∈0，恒成立，求a 的最小值；12(2)若对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．解　(1)由题意得(2－a )(x －1)－2ln x >0在0，上恒成立，即a >2－在0，上122ln x x －112恒成立．令h (x )＝2－，x ∈0，，2ln x x －112则h ′(x )＝，x ∈0，，2ln x ＋2x－2(x －1)212设φ(x )＝2ln x ＋－2，x ∈0，，2x 12则φ′(x )＝－＝<0， 2x 2x 22(x －1)x2所以φ(x )>φ＝2ln ＋2>0，1212则h ′(x )>0，因此h (x )<h ＝2－4ln 2，12则a ≥2－4ln 2，即a 的最小值为2－4ln 2． (2)因为g ′(x )＝(1－x )e 1－x ，所以g (x )＝x e 1－x 在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，由g (0)＝0，g (1)＝1，g (e)＝e 2－e ∈(0，1)， 得g (x )＝x e 1－x 在(0，e]上的值域为(0，1]， 因为f ′(x )＝，(2－a )x －2x所以当a ≥2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减； 当2－≤a <2时，易得f (x )在(0，e]上单调递减，2e 不符合题意．当a <2－，此时f (x )在0，上单调递减，2e 22－a 在，e 上单调递增， 22－a令m (a )＝f＝a －2ln a <2－， 22－a 22－a 2e则m ′(a )＝，易得m (a )在(－∞，0)上单调递增， －a2－a在0，2－上单调递减，m (a )≤m (0)＝0，2e注意到，当x →0时，f (x )→＋∞，所以欲使对任意的x 0∈(0，e]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使f (x i )＝g (x 0)成立，则需满足f (e)≥1， 即a ≤2－， 3e －1又因为2－－2－＝>0，2e 3e －1e ＋2e (e －1)所以2－>2－，所以a ≤2－，2e 3e －13e －1综上，a ∈－∞，2－． 3e －113．(2018·湖北八市联考)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝． 1x －a(1)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，试讨论函数F (x )零点的个数；(2)若a ＝－2，x >0，求证：f (x )·g (x )>＋．x ＋1x 2－82x ＋4解　(1)函数F (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)． 当x ∈(a ，＋∞)时，e x >0，>0， 1x －a∴F (x )＝e x ＋>0，即F (x )在(a ，＋∞)上没有零点； 1x －a当x ∈(－∞，a )时，F (x )＝e x ＋＝， 1x －a e x (x －a )＋1x －a令h (x )＝e x (x －a )＋1(x <a )， 只要讨论h (x )的零点即可．h ′(x )＝e x (x －a ＋1)，h ′(a －1)＝0，则当x ∈(－∞，a －1)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(a －1，a )时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， ∴h (x )在(－∞，a )上的最小值为h (a －1)＝1－e a －1．显然，当a ＝1时，h (a －1)＝0，∴x ＝a －1是F (x )的唯一的零点； 当a <1时，h (a －1)＝1－e a －1>0，∴F (x )没有零点；当a >1时，h (a －1)＝1－e a －1<0，且当x →－∞或x →a 时，h (x )→1，∴F (x )有两个零点．(2)证明：若a ＝－2，x >0，要证f (x )·g (x )>＋，x ＋1x 2－82x ＋4即要证e x >(x ＋2)＋x 2－4，x ＋112∵<＝＋1，x ＋1x 24＋x ＋1x2下证e x >(x ＋2)＋1＋x 2－4， x212设M (x )＝e x －(x ＋2)＋1－x 2＋4x 212＝e x －x 2－2x ＋2，则M ′(x )＝e x －2x －2，令φ(x )＝e x －2x －2， 令φ′(x )＝e x －2＝0，解得x ＝ln 2，∴φ(x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， ∵φ(1)φ(2)<0，φ(－1)φ(0)<0，∴M ′(x )在(0，＋∞)上只有一个零点x 0且1<x 0<2， 则e x 0－2x 0－2＝0，∴M (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．∴M (x )≥M (x )min ＝M (x 0)＝e x 0－x －2x 0＋2＝4－x >0，2020∴e x >(x ＋2)＋1＋x 2－4，x 212∴e x >(x ＋2)＋x 2－4，x ＋112∴f (x )·g (x )>＋得证．x ＋1x 2－82x ＋414．(2018·河南六市联考一)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－2kx (k ∈R )．12(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<－．32解　(1)f (x )＝ln x ＋x 2－2kx ，x ∈(0，＋∞)，12所以f ′(x )＝＋x －2k ＝，1x x 2－2kx ＋1x①当k ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当k >0时，令t (x )＝x 2－2kx ＋1，当Δ＝4k 2－4≤0，即0<k ≤1时，t (x )≥0恒成立， 即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当Δ＝4k 2－4>0，即k >1时，x 2－2kx ＋1＝0， 则t (x )的两根为k ±，k 2－1所以当x ∈(0，k －)时，f ′(x )>0， k 2－1当x ∈(k －，k ＋)时，f ′(x )<0， k 2－1k 2－1当x ∈(k ＋，＋∞)时，f ′(x )>0，k 2－1故当k ∈(－∞，1]时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当k ∈(1，＋∞)时，f (x )在(0，k －)和(k ＋，＋∞)上单调递增，在(k －k 2－1k 2－1，k ＋)上单调递减．k 2－1k 2－1(2)证明：f (x )＝ln x ＋x 2－2kx (x >0)，12f ′(x )＝＋x －2k ，1x由(1)知当k ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时f (x )无极值，当k >1时，f ′(x )＝＋x －2k ＝，由f ′(x )＝0得x 2－2kx ＋1＝0，1x x 2－2kx ＋1xΔ＝4(k 2－1)>0，设x 2－2kx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1，其中0<x 1＝k －<1<x 2＝k ＋，k 2－1k 2－1f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．从而f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f (x 2)＝ln x 2＋x －2kx 2122＝ln x 2＋x －(x 1＋x 2)x 2122＝ln x 2＋x －＋x 2x 21221x 2＝ln x 2－x －1，122令g (x )＝ln x －x 2－1(x >1)，12则g ′(x )＝－x <0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递减，1x且g (1)＝－，故f (x 2)<－．3232专题突破练(2)　利用导数研究不等式与方程的根一、选择题1．(2019·佛山质检)设函数f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )＝f (x )－λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若－1＜λ＜0，则f (x 1)＜f (x 2)；②若0＜λ＜2，则f (x 1)＜f (x 2)；③若λ＞2，则f (x 1)＜f (x 2)．其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答　B解　依题意，x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g ′(x )＝3x 2－6x ＋2－λ的两个零点，则Δ＝12(λ＋1)>0，即λ>－1，且x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝．研究f (x 1)<f (x 2)成立的充要条2－λ3件：f (x 1)<f (x 2)等价于(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2]<0，因为x 1<x 2，所以有(x 1＋x 2)2－3(x 1＋x 2)－x 1x 2＋2＝－>0，解得λ>2．从而可知③正确．故选B ． 2－λ32．(2018·乌鲁木齐一诊)设函数f (x )＝e x x ＋－3－，若不等式f (x )≤0有正实数3x ax解，则实数a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．e 2D ．e 答　D 解　因为f (x )＝e x x ＋－3－≤0有正实数解，所以a ≥(x 2－3x ＋3)e x ，令g (x )＝(x 23x ax－3x ＋3)e x ，则g ′(x )＝(2x －3)e x ＋(x 2－3x ＋3)e x ＝x (x －1)e x ，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝e ，所以a ≥e．故选D ．3．设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )e 636e 749e 864A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答　C解　构造函数f (x )＝，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，f ′(x )＝，当e xx 2x e x (x －2)x 4x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增，故f (8)>f (7)>f (6)，即c >b >a ．故选C ．4．(2018·合肥质检二)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (x )＋2＞f ′(x )，f (0)＝1，则不等式ln (f (x )＋2)－ln 3＞x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 答　A解　构造函数g (x )＝，则g ′(x )＝f (x )＋2e x＜0，则g (x )在R 上单调递减，且g (0)＝＝3．从而原不等式f ′(x )－(f (x )＋2)e xf (0)＋2e 0ln＞x 可化为＞e x ，即＞3，即g (x )＞g (0)，从而由函数g (x )的单调f (x )＋23f (x )＋23f (x )＋2e x性，知x ＜0．故选A ．5．(2018·郑州质检一)若对于任意的正实数x ，y 都有2x －ln ≤成立，则实数my e y x xm e 的取值范围为( )A ．，1B ．，1C ．，eD ．0， 1e 1e 21e 21e 答　D解　因为x >0，y >0，2x －ln ≤，所以两边同时乘以，可得2e －ln ≤，令＝y e y x x m e e x y x y x 1m y x t (t >0)，令f (t )＝(2e －t )·ln t (t >0)，则f ′(t )＝－ln t ＋(2e －t )·＝－ln t ＋－1t 2et1．令g (t )＝－ln t ＋－1(t >0)，则g ′(t )＝－－<0，因此g (t )即f ′(t )在(0，＋2et1t 2et2∞)上单调递减，又f ′(e)＝0，所以函数f (t )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (t )max ＝f (e)＝(2e －e)ln e ＝e ，所以e≤，得0<m ≤．故选D ．1m 1e6．(2018·郑州质检三)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0，1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[e 2，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．[2，e]D ．[e ，e 2] 答　A解　f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，令g (x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，则g ′(x )＝a x (ln a )2＋2>0，所以函数g (x )在[0，1]上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝a 0×ln a ＋2×0－ln a ＝0，即f ′(x )≥0，则函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (0)＝a －ln a ≤a －2，解得a ≥e 2．故选A ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答　(－2，2)解　由f (x )＝x 3－3x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝0时，x ＝±1，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋a ，f (x )的极小值为f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三。

2020年高考数学一轮复习 重点突破必刷题——取整函数一、选择题x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D【解析】因为 )(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.故选D2.设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 A. [－x ] ＝－[x ] B.[2x ] ＝ 2[x ] C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D. [x －y ]≤[x ]－[y ] 【答案】D【解析】取x=2.5,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A 错误；[2x]=[5],2[x ]=2[2.5]=4,所以B 错误；再取y=2.8，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 错误；故选D.3.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<的 （ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【解析】若][][y x =m =，则1+<≤m x m ，1+<≤m y m ，∴11≤-≤-y x 即1x y -<， 另外取9.0,1==y x ，则1x y -<，但是][][y x ≠，∴][][y x =是1x y -<的充分而不必要条件. 4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数， []x 就是x ，当x 不是整数时， []x 是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[][][]22, 1.52,2.52-=--=-=.求][][][2222111log log log log 1432⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦][][][2222log 1log 2log 3log 4⎡⎤++++⎣⎦的值为（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．1 【答案】C【解析】22222221112,21,1,10,21,132,42432log log log log log log log =--<<-=-==<<=， 由“取整函数”的定义可得，[][][][]222222211112344322210112 1.log log log log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=---++++=- 故选C. 5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如时，应缴费2元，此时，，排除A 、B ；当时，缴费为2元，此时排除D ，故选C6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数][x y =（][x 表示不．大于．．x 的最大整数）可以表示为（ ） （A ）]10[x y = （B ）]103[+=x y （C ）]104[+=x y （D ）]105[+=x y 【答案】C【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B 中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知5[][6]610x y +===，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C. 7.已知当[],x R x ∈表示不超过x 的最大整数，称[]y x =为取整函数，例如[][]1,21,2,33=-=-，若()[]f x x =，且偶函数()()()2110g x x x =--+≥，则方程()()()f f x g x =的所有解之和为（ ）A ．1B ．-2 C3 D．3 【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，又()g x 为偶函数，所以()()()()221111g x g x x x =-=---+=-++．由()[]f x x =，得()()[]f f x x =．在同一坐标系中画出()()f f x 与()g x 的图象，如图所示．由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3,4--，当0x ≥时，方程()()()ff xg x =的解是0和1；当0x <时，由()()2113g x x =-++=-解得3x =-，由()()2114g x x =-++=-解得1x =-上，得()()()ff xg x =的所有解之和为01313+--=--D ．8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】)12(21221212)(+-=-+=x x x x x f ,且)()21(221)12(212)(x f x f x xx x -=+-=+-=---，即函数)(x f 为奇函数；又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+-=21,2112121)(x x f ；当0)(=x f 时，[][]0)()(=-+x f x f ；当0)(≠x f 时，不妨设0)(>x f ，则[]0)(=x f ，[]1)(-=-x f ，则[][]1)()(-=-+x f x f ；故选B ．9.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】当2≤x ＜3时，[x]＝＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，＝2；[]x []x x [2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-21()122x x f x =-+[()][()]y f x f x =+-{}0{}1,0-{}1,0,1-{}2,0-当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，＝3．符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝的概率为321523-=-． 故选B ．10．定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x=，()1g x x =-，若用d 表示不等式()f x <解集区间长度，则03x ≤≤当时有（ ）A ．1d =B ．2d = C. 3d = D ．4d = 【答案】A【解析】()[]{}[][]()[][]()()[][]22,,1,f x x x x x x x x x f x g x x x x x =⋅=-=-<-<-由得即[]()[]211x x x -<-,当[)[]0,1,0=∈x x 时,不等式的解为1>x ,不符合题意；当[)2,1∈x 时,[]1=x ,不等式无解,不合题意；当[]3,2∈x 时,[]1>x ,不等式可化为[]1+<x x ,此时不等式恒成立,所以不等式解集为32≤≤x .综上可得不等式()()x g x f <解集区间的长度为1=d ,故选A.11．对任意正整数n 与，表示不超过（表示不超过实数x 的最大整数）且与n 互素的正整数的个数.则（）.A ．l1B ．13C ．14D ．19 【答案】C 【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17个奇数，再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14. 12．设表示不超过x 的最大整数，Z 表示整数集，方程的解集为M ，则有（）.A ．B ．C ．D ．M 与Z 互不包含【答案】C 【解析】显然，.设，令.代入方程得.()g x而.当时，. 于是，a=0.当t=0时，，a=0，即，所以，.因此，. 故选C.二、填空题13.函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 .【答案】}{0,1,2,3【解析】①当-0.5＜x ＜0时，y=[x]+1的函数值为0； ②当0≤x ＜1时，y=[x]+1的函数值为1； ③当1≤x ＜2时，y=[x]+1的函数值为2； ④当2≤x ＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x ＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.14.对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知，．15.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是 ．【答案】(1,5)[10,20)⋃【解析】由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域 41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5）．CO 2=10，DO 2=20， 此时x 2+y 2∈[10，20）．所以x 2+y 2∈[1，5）∪[10，20）．16.][x 表示不超过x 的最大整数，则方程]2[][log sin 2xx =的解集为___________.【答案】{π≤≤x x 2|或25π=x }【解析】22211sin 1sin ≤≤∴≤≤-x ， ， }210{]2[sin ，，∈∴x ⑴若]2[][log sin 2xx==0，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 11log 02x x即⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 121x x ，该不等式组的解集为空集；⑵若]2[][log sin 2xx==1，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 12log 12x x即⎩⎨⎧<≤<≤1sin 042x x ， 解得π≤≤x 2；⑶若]2[][log sin 2xx ==2，则⎩⎨⎧=<≤1sin 3log 22x x即⎩⎨⎧=<≤1sin 84x x ，解得25π=x .综上得方程]2[][log sin 2xx=的解集为{π≤≤x x 2|或25π=x }.。

2020年高考文科数学新课标必刷试卷四（含解析）2020年高考必刷卷04 数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷A．B．C．D．B 利用复数的除法运算求出Z，进而求出z的模即可．∵z＝1﹣i，∴zi，故|z|，故选B．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．2．设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,4}，B={4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为A．{5} B．{4}C．{1,2} D．{3,5} A 阴影部分表示B∩CUA；CUA={3,5},∴B∩CUA={5}.故选A 3．已知命题，那么命题为A．B．C．D． A 试题分析：,故选A. 考点：全称命题的否定. 4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A．14 B．16 C．18 D．20 B 利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果. 根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B. 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 5．在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为() A．B．C．D．B 以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间对应线段的长，然后代入几何概型的概率计算公式，即可求解. 因为以线段为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长度介于与之间，满足条件的点对应的线段长，而线段总长为，故正方形的面积介于与之间之间的概率为，故选B. 本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对于几何概型及其概率的计算中，注意几何度量，可以是线段的长度、面积、体积等，而这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 6．某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点M、N分别对应正视图上的点A，B，若在此正三棱柱侧面上，M经过三个侧面到达N的最短距离为6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，它的高为A．B．2 C．3 D．4 C 由三视图还原原几何体正三棱柱，设正三棱柱底面边长为a，高为b，由已知求得．再由基本不等式求最值得答案．解：由三视图还原原几何体正三棱柱如图，设正三棱柱底面边长为a，高为b，则，即．∴，即ab≤6，当且仅当，即b时，三棱柱侧面积有最大值S＝3ab＝18．故选：C．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求法，是中档题．7．已知定义在R上的函数满足：(1) (2)当，则有A．B．C．D．B 利用已知条件分别求出的值即可. 由条件可知，，, 所以.故选B 本题考查函数值大小的比较，解题关键充分利用条件把自变量转化到区间上，属于基础题. 8．已知向量的夹角为，则的值为( ) A．0 B．C．D．C 利用两种方式计算数量积，建立等量关系，从而解得的值. 因为，所以，即为，即，得或.故选C. 本题考查两个向量的数量积的定义和坐标公式，待定系数法求出x的值．9．已知双曲线的两个顶点分别为，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则的方程为A．B．或C．D．或B 根据四边形的面积为，得到，由内切圆的周长求出内切圆的半径，再次利用四边形的面积，求出的值，得到关于、的方程，解得. 解：因为，，的坐标分别为，，，，又因为四边形的面积为，所以，得，记四边形内切圆半径为，则，得，所以，所以，又因为，得或，所以的方程为或. 故选：本题考查双曲线的标准方程，四边形及内切圆的相关性质，属于基础题. 10．正方体中，直线与平面所成角正弦值为A．B．C．D．C 作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案. 如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C. 本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力. 11．如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为A．B．C．D． B 取左焦点，连接，分别在中利用勾股定理列方程组即可求解. 取左焦点，连接，，根据椭圆的对称性可得：是矩形，设，中，即：解得：，则在中即：，所以椭圆离心率为. 故选：B 此题考查根据椭圆的几何性质求解离心率，关键在于熟练掌握椭圆的几何性质，根据已知几何关系，准确进行转化，列出椭圆基本量的等量关系求解. 12．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②的最大值为；③在有个零点；④在区间单调递增. 其中所有正确结论的编号是A．①②B．①③C．②④D．①④D 利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；分和两种情况，去绝对值，利用辅助角公式以及正弦函数的最值可判断命题②的正误；分和两种情况讨论，求出函数的零点，可判断命题③的正误；去绝对值，将函数的解析式化简，结合正弦型函数的单调性可判断出命题④的正误. 对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数的为偶函数，命题①正确；对于命题②，当函数取最大值时，，则. 当时，，此时，，当，函数取得最大值. 当时，，此时，，当，函数取得最大值. 所以，函数的最大值为，命题②错误；对于命题③，当时，令，则，此时；当时，令，则，此时. 所以，函数在区间上有且只有两个零点，命题③错误；对于命题④，当时，，则. 所以，函数在区间上单调递增，命题④错误. 因此，正确的命题序号为①④. 故选：D. 本题考查三角函数基本性质，解题的关键在于对自变量的取值范围进行分类讨论，并去绝对值，结合辅助角公式以及三角函数的基本性质来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 第Ⅱ卷知道两边和一边的对角，求另一边的对角；知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；证明化简过程中边角互化；求三角形外接圆半径. 15．一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________. (x-32)2+y2=254 设圆心为，则半径为4-a，则(4-a)2=a2+22，解得a=32，故圆的方程为(x-32)2+y2=254. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________．由构建新函数，借助其单调性解抽象不等式即可. 由，令，则，所以为奇函数.因为当时，成立，所以当时，成立，所以在上单调递增，所以在R上单调递增.因为，即为，所以，所以，所以. 故答案为：本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数，借助新函数的单调性解抽象不等式，属于难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. 必考题：共60分17．数列的前项和为，且求；证明：数列是等比数列，并求. ；. 令代入题目所给已知条件，求得，令代入求得，令代入求得.利用，化简后证得是等比数列，求得公比，进而求得数列的通项公式. 解：当时，，得；当时，，得，同理可得. 当时，，所以.故数列是等比数列，. 本小题主要考查已知求，考查等比数列的定义和通项公式的计算，属于基础题. 18．如图，多面体中，是菱形，，平面，，且. 求证：平面平面；求多面体的体积. 证明见解析；. 通过证明四边形为平行四边形，可知；根据线面垂直性质和菱形可分别证明出和，根据线面垂直的判定定理可证得平面，从而得到平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论；将所求几何体拆分成三棱锥和四棱锥，分别求解出两个部分的体积，作和可求得结果. 证明：连接交于，设中点为,连接，，分别为，的中点,且且四边形为平行四边形, 即平面，平面四边形是菱形平面，即平面又平面平面平面平面平面到平面的距离为本题考查面面垂直的证明、空间几何体的体积求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质.求解体积问题的关键是能够把不规则几何体拆分成规则几何体，从而分部分来进行求解. 19．某公司的新能源产品上市后在国内外同时销售，已知第一批产品上市销售40天内全部售完，该公司对这批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，如图所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；下表表示的是产品广告费用、产品成本、产品销售价格与上市时间的关系．图①图②第t天产品广告费用每件产品成本每件产品销售价格o260可得t的取值范围. 由图①的折线图可得：ft=2t,00，故Ft在0,20上单调递增，且F15≈251260；当20260，无解；当30<t≤40时，Ft=-310t2+470<-310×302+470=200<260. 答：新能源产品上市后，在第16,17,18,19,20，共5天，这家公司的日销售利润超过260万元. 本题为函数的应用，要求根据实际问题构建分段函数模型并利用模型解决实际问题，数学模型构建时要根据已有的计算公式进行计算，要根据函数的单调性、函数的值域等选择合理方法解不等式. 20．已知直线过圆的圆心且平行于轴，曲线上任一点到点的距离比到的距离小1．求曲线的方程；过点作圆的两条切线，斜率分别为，过点作曲线的切线，斜率为，若成等差数列，求点的坐标．(1) (2)由已知可得点到的距离等于到直线的距离，即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而可得结果；结合可设，则，设过点所作圆的两切线方程为：，，由圆心到直线的距离等于半径可得，也适合，由韦达定理，结合成等差数列，可得，解方程即可得结果. 易知直线，∵曲线上任一动点到点的距离比到的距离小1，∴点到的距离等于到直线的距离，∴曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程，∵∴曲线的方程为. 由知曲线，设，则，曲线上过点的切线方程为，即，设过点所作圆的两切线方程为：，，即：，，又，即，*. 同理也适合*式，故，是方程的两个不相等的根，∴，∵成等差数列，∴∴，解得，∴，∴点的坐标为. 本题主要考查抛物线的轨迹方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 21．已知函数，. 若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；若函数在上有零点，求实数的取值范围. ，；. 由，列方程求解即可；由题意知方程在上有实根，设，求函数导数，讨论函数的单调性列不等式求解即可. (1) 若,则,所以, 因为的图象在处的切线l过原点, 所以直线l的斜率,即, 整理得，因为，所以，，所以直线l的方程为. (2)函数在上有零点,即方程在上有实根，即方程在上有实根. 设,则, ①当，即时,,在上单调递增, 若在上有实根，则，即，所以. ②当,即时,时，,单调递减, 时，,单调递增, 所以,由可得, 所以,在上没有实根. ③当，即时,,在上单调递减, 若在上有实根，则，即，解得. 因为,所以时，在上有实根. 综上可得实数a的取值范围是. 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．当时，写出直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；已知点，设直线与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．，；(1) 当时，利用消参法得到直线l的普通方程，利用及得到曲线C的直角坐标方程；(2) 将代入中并整理得，借助韦达定理表示，利用正弦函数的有界性求出取值范围. 当时，直线的参数方程为. 消去参数t得. 由曲线C的极坐标方程为，得，将，及代入得，即由直线的参数方程为可知直线是过点P且倾斜角为的直线，又由知曲线C为椭圆，所以易知点P在椭圆C内，将代入中并整理得，设A，B两点对应的参数分别为，则所以因为，所以，所以所以的取值范围为. 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23．选修4-5：不等式选讲求不等式的解集；已知两个正数、满足，证明：. 见解析方法一：首先判断的几何意义，运用数形结合思想，在数轴上找到所求不等式的解集。

2020高考模拟考试数学（理）试题、单选题1,设集合A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3，则AI B （）A. {-1,0,1,2} B, 0,1,2C. 0,1D. x 1 x 2,或x 3【答案】B【解析】直接根据交集的概念进行运算即可.【详解】因为A x 1 x 2 , B 1,0,1,2,3 ,所以AI B {0,1,2}.故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若向量a 4,2 , b 6,k ,则a//b的充要条件是（）A. k 12B. k 12C. k 3D. k 3【答案】D【解析】直接根据向量共线的坐标表示即可得到.【详解】因为向量a 4,2 , b 6,k ,所以a//b 4k 2 6 0 k 3.故选:D,【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，充要条件，属于基础题.向量共线的坐标表示应该熟练掌握.3.在30名运动员和6名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会，若抽取的n人中教练员只有1人，则n （）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】先求得抽样比，再用总体中教练员人数乘以抽样比得样本中教练员人数列方程可解得.【详解】依题意可得抽样比为-------- --- ,30 6 36所以有6 — 1,解得n 6.36故选：B【点睛】本题考查了分层抽样，利用抽样比解决是解题关键，属于基础题.4.己知直线a , b , l ,平面，，下列结论中正确的是（）A.若a,b ,l a,l b,则lB.若a ,b//a,则b//C.若，a ，则aD.若// ,l ，则l【答案】D【解析】根据直线与平面垂直，直线与平面平行，平面与平面平行和垂直的的判定，性质逐个分析可得答案.【详解】对于A,根据直线与平面垂直的判定定理，还差直线a与直线b相交这个条件，故A不正确；对于B，直线b也有可能在平面内，故B不正确；对于C ,直线a可能在平面内，可能与平面平行，可能与平面相交但不垂直；故C不正确；对于D在平面内取两条相交直线m,n ,则l m,l n ,过m, n分别作平面与平面相交于m',n',则m'//m,n'//n，且m',n'必相交，所以l m',l n',所以l ，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了直线与平面平行，垂直，平面与平面平行，垂直的判定，性质，熟练掌握线面，面面平行与垂直的判定与性质是解题关键，属于基础题.5.若a 0.30.2, b log 0.1 2 , c 0.3 0.1,则a , b, c的大小关系为（）A. cabB. bacC. acbD. bca【答案】A【解析】根据对数的性质可得b 0,根据指数函数y 0.3x的单调性可得c a 0,由此可得答案.【详解】因为0 0.1 1,2>1,所以b log o.i2 0 ,因为0 0.3 1,所以指数函数y 0.3x为递减函数又-0.1<0.2，所以0.3 0.10.30.20,即c a 0,综上所述，c a b.故选:A【点睛】本题考查了利用对数的性质指数函数的单调性比较大小属于基础题61 ... ......... .6.二项式x 1的展开式中，常数项是( )xA. 20B. 120C. 15D. 30【答案】A【解析】写出二项展开式的通项公式后，令x=0，解得r 3,再根据通项公式可求得常数项. 【详解】6因为二项式X - 的展开式的通项公式为T r1 C6x6 r (1)r C6x6 2r x x(r 0,123,4,5,6)令6 2r 0,解得r 3,1 6......... o 6 5 4所以二项式x - 的展开式中的常数项为C；-------------------- 20.x 3 2 1故选:A【点睛】本题考查了利用二项展开式的通项公式求指定项，利用通项公式是解题关键，属于基础题.7 .已知直线y x 3与圆x2y22x 2y 0相交于A, B两点，则AB ()A . B. 33 C. 6B D . 2【答案】C【解析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离根据勾股定理可求得答案.【详解】由x 2 y 2 2x 2y 0得（x 1）2 （y 1）2 2 ,所以圆心为（1,1）,半径为J2, 由 y x3 得 x y 3 0,由圆心到直线的距离公式得|11 3|二.1 12 '由勾股定理可得 §（2）2（22）2 /，所以| AB | 6 .故选:C. 【点睛】本题考查了根据圆的方程求圆心坐标和半径 ，点到直线的距离公式，圆中的勾股定理 利用圆中的勾股定理是解题关键.8 .斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实 物图，图三是斗拱构件之一的 斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体） 组成.若棱台两底面面积分别是 400cm2, 900cm 2,高为9cm, 长方体形凹槽的体积为 4300cm 3,斗的密度是0.70g/cm 3 .那么这个斗的质量是 （） 注：台体体积公式是 V 1 S SS S h .3S-图二图三A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】根据台体的体积公式求得台体体积，再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积，然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量 【详解】1C-(400400 900 900) 9 5700 cm 33所以这个斗的质量为 5700 4300 10000 cm 3, 所以这个斗的质量为10000 0.70 7000 g . 故选:C.本题考查了棱台的体积公式，属于基础题x 0,9,若实数x, y 满足y 1, ，则2x y 的最大值为（）x 5y 1 0.【解析】作出可行域，根据斜率关系找到最优解，代入最优解的坐标可得答案 【详解】所以 M(4, 1),故选:D根据棱台的体积公式可得棱台的体积为A . 2B. 0C. 7D. 9将目标函数化为斜截式为y 2x z ,由图可知最优解为M ，联立 x 5y 1 y 1，得 x 4, y 1 ,将 x 4, y1代入z 2x y ,得4所2 4 ( 1) 9.作出可行域如图所示1 210 .已知函数f x —ax 2ax In x 在区间0,上为增函数，则实数 a 的取值2范围是（ ）A. 0,1B.0,C.1,D. 1,1【答案】B1【解析】将问题转化为f'（x ） 0,即a ----------- ------ 在区间（0,）上恒成立，再根据x 2 2x二 ---- 0可得答案.x 2 2x【详解】1 2 _ 因为 f x ax 2ax In x , 2“一 1 所以 f '(x) ax 2a —, x1 2因为函数f x -ax 2ax In x 在区间 0, 上为增函数 2所以a 0. 故选:B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性 ，考查了不等式恒成立问题，考查了转化划归思想属于中档题211 .已知A 是双曲线D ： x 2— 1右支上一点，B 、C 分别是双曲线 D 的左、右焦 35 ...... 一 一 sin 2B点。

专题六 数列24 等比数列1．已知等比数列{}n a 满足14a =，123450a a a a a =>，则公比q = A ．2 B ．32 C ．42D ．2【答案】A【解析】由14a =及123450a a a a a =>，可得44,2q q ==.故选A ．2．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则2169a a a 的值为 A ．6-或6 B ．2-C ．2D ．2或2-【答案】D【解析】∵等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，1622a a ∴⋅=，216922a a a ⋅==∴，92a ∴=±.则2169a a a =2或2-.故选D ．3．已知等比数列{n a }中，1a +2a =12，1a ﹣3a =34，则4a = A ．﹣18B ．18C ．﹣4D ．4【答案】A【解析】∵等比数列{n a }中，1a +2a =12，1a ﹣3a =34， ∴112111234a a q a a q +⎧⎪=-⎨=⎪⎪⎪⎩，解得111,2a q ==-，∴a 4=31a q =1×（﹣12）3=﹣18． 故选A ．4．已知{ }是等比数列，数列{ }满足 ，且 ，则 的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．16【答案】C【解析】因为 为等比数列，所以 ，因为 ，所以 ， 可得 ，则 . 故选C ．5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()213214n n S a a a -=+++()n *∈N ，12327a a a =-，则5a =A ．81B ．24C ．81-D ．24-【答案】C【解析】因为等比数列{}n a ，12327a a a =-，所以由等比数列的性质可得3227,a =-则23a =-，又因为()()213214n n S a a a n *-=+++∈N ，所以当1n =时，有21214,S a a a =+=则11a =-， 即公比213a q a ==，所以45181a a q ==-. 故选C.6．已知 为等比数列， ， ，则 A ．7 B ． C ．15D ．【答案】B【解析】 ，又由等比数列的性质可得 ， ， 或 ， ，当 ， 时，， ， ， ；当 ， 时， ，则 ， ， . 综上可得， . 故选B.7．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S = A ．32 B ．31 C ．30D ．29【答案】B【解析】因为174a a =，所以244,a =又0,n a >所以42a =.因为47522a a +=，所以714a =. 所以3111,,16.82q q a ===所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选B.8．设x ，10x +，5x -是等比数列{}n a 的前三项，则n a = A ．134()2n --⨯-B ．34()2n-⨯- C ．183()32n -⨯-D ．134()2n --⨯【答案】A【解析】因为x ，10x +，5x -是等比数列{}n a 的前三项， 所以()()2510x x x -=+，解得4x =-，106x +=，所以公比32q =-，因此1342n n a -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故选A.9．已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比3(5,2)q ∈，则实数m 的取值范围是A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5)【答案】C 【解析】2678492ma a a a a ⋅=-⋅，2112142111112ma q a q a q ∴=-，32m q =-，()35,2q ∈，()35,8q ∴∈，则()3,6m ∈.故选C ．10．在等比数列{}n a 中，41S =，83S =，则13141516a a a a +++的值是A ．8B ．15C ．18D ．20【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为481,3S S ==，即14321=+++a a a a ，28765=+++a a a a ，所以4567812342a a a a q a a a a +++==+++，则12313141516123428a a a a q a a a a +++===+++， 从而131415168a a a a +++=. 故选A ．11．已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意，当 时， ，当 时， . 数列 是等比数列，∴ ，故412λ+=， 解得 . 故选C. 12．如果数列321121,,,,nn a a a a a a a -是首项为1,公比为2-的等比数列,则5a 等于 A ．32 B ．64 C ．32-D ．64-【答案】A 【解析】因为数列1{}n n a a -是首项为1,公比为2-的等比数列，所以111n n n aa q a --==()12n --，所以5a =534214321a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=()()()()43212222⨯⨯-⨯---= .故选A ．13．已知数列 是递增的等比数列，且 ，则 的值等于________．【答案】32【解析】 数列 是递增的等比数列， ，① 又 ，②由①②得，3322422a aq a a ⎧⎨⎩=⇒===， ， 故答案为32.14．在等比数列 中，已知 ，若 ，则 ________.【答案】【解析】由已知得425112536113672a a a q a q a a a q a q +=+⎧=+=+=⎪⎨⎪⎩， 两式相除，可得 ，所以 ，由 ，可得 ， 解得 ．15．已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则9a =________． 【答案】10000【解析】数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+， 可得11lg2n n a a +=，则110n naa +=， 故数列{}n a 是等比数列，则89110000a q =⨯=.故答案为10000．16．已知等比数列 的前 项和为 , ,则 ________.【答案】400【解析】因为数列 是等比数列，所以 成等比数列， 所以 ,则 ，且公比为3， 所以 ,则17．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan π3a a ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3-B ．3C ．3±D ．33-【答案】A【解析】由题意得3234364a a a a ==-，所以34a =-．又2764a =，所以78a =-或78a =（由于7a 与3a 同号，故舍去），所以463732a a a a ==， 因此4632ππtan πtan πtan 11πtan 33333a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为A.18．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】设需要n 天时间才能打通相逢，则2121n --+11122112n ⎛⎫-⎪⎝⎭-≥8，即2n ﹣12n ﹣8≥0，令2n =t ，则2810417t t t --≥⇒≤-（舍去）或417t ≥+， ∴2n >8，∴n >3， 则n 的最小整数为4. 故选C ．19．设 .若 是 与 的等比中项，则11a b+的最小值为 A ． B ．14C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得：， 则()11112224b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立， 综上可得：11a b+的最小值是4. 故选C.20．已知等比数列{}n a 的前n 项的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =， 所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭.故选C ．21．已知 是首项和公比都为 的等比数列,若 = ,且数列 是单调递增数列,则实数的取值范围为 A ．2λ< B ．32λ< C ．2λ>D ．32λ>【答案】B【解析】因为{}n a 是首项和公比都为3等比数列，所以133n n a -=⨯=3n ，所以1n b +=()n n a λ-=()3nn λ-.而数列{}n b 是单调递增数列，所以()12113b b λλ=->-=,解得32λ<. 故实数λ的取值范围为32λ<. 故选B ．22．若 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“ ”是“对任意的正整数 ， ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列 的首项为 ，∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴“ ”是“对任意的正整数 ， ”的必要不充分条件． 故选B ．23．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为 A ．10 B ．11 C ．12D ．13【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 中，512a =，()26753a a a q q +=+=， ∴26q q +=，结合0q >，可得2q =，∴1132a =，∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-， ∴()1221123232n n n n-->⨯，即211552222n n n ---->，即21110(1)(10)222122n n n n n-+--->=，当2,3,4,,10n =时，上式必成立；将11n =代入得115212->，成立；将12n =代入得1211212->，成立；将13n =代入得1318212->，不成立， 故选C ． 24．已知函数22()()1f x x x=∈+R ，若等比数列{}n a 满足120191a a =，则()()()123f a f a f a ++ ()2019...f a ++=A ．2019B ．20192 C ．2D ．12【答案】A 【解析】120191a a =，()()2112019222221201911121222222=21111111a f a f a a a a a a a \+=+=+=+++++++，{}n a 为等比数列，∴21201920181009101021011=1====a a a a a a a ，()()()()()220181001011101092=2=1f a f a f a f a f a \+=+，，，，即()()()()1232019=210091=2019f a f a f a f a +++??.故选A.25．已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且满足a 3=a 1+a 2,{a n a n+1}是等比数列,则a 10的值为____________.【答案】162【解析】由已知得a 3=a 1+a 2=3,又{a n a n+1}是等比数列,且2312a a a a =3， 则121n n n n a a a a +++=3,那么2n na a +=3,所以a 10=a 2×35-1=2×34=162. 26．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为______． 【答案】(0,1)【解析】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<-⎪⎝⎭，所以101a <<. 故答案为(0,1).27．已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，若， ，则使不等式 成立的 的最小值是________. 【答案】11 【解析】由可得 ，则（ ）（ ）=0，又数列 的各项均为正数，∴ ，即 ，可得数列{a n }是首项为 ，公比为q ＝2的等比数列，∴ ，则n >10，又 ，∴n 的最小值是11.故答案为11.28．数列()11n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 的值为___________. 【答案】8【解析】∵()11111n a n n n n ==-++，∴11111122311n n S n n n =-+-++-=++， 又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴21m n S S S =⋅， 即()221211m n n m =⋅++，即()22211m n n m =++， ∴()2221m m <+，即2210m m --<，解得1212m -<<+，结合1m >可得2m =，∴8n =，故答案为8.29．若数列 满足 ，则 ___________.【答案】【解析】因为 ,所以 , . ， ，将 代入得 ，即2112n n n na a a a +++-=-,即数列 为等比数列,所以 ，所以 .30．若以数列{a n }中的各项a n 作为系数,构成一个函数系y =a n x 3,其图象在x =1处的切线的斜率为4a n -1-1(n ≥2),且a 1=43,则a n =____________.【答案】143n n -+1 【解析】由y =a n x 3,得y'=3a n x 2,故当x =1时,切线的斜率k =3a n ,从而3a n =4a n -1-1(n ≥2),于是3a n -3=4a n -1-4(n ≥2),故11413n n a a --=-(n ≥2), 又a 1=43,所以a 1-1=13, 所以数列{a n -1}是以13为首项,43为公比的等比数列, 故a n -1=13×(43)n -1, 从而a n =143n n -+1.31．（2019年高考全国III 卷理数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==. 故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.32．（2017新课标全国Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列， 结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =， 即塔的顶层共有灯3盏.故选B ．【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．33．（2019年高考全国I 卷理数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________． 【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ， 由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q = 又0q ≠，所以3,q = 所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．34．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②， 由②①可得：2q =-，代入①可得11a=，由等比数列的通项公式可得3418a a q==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.。

2020年高考必刷卷（新课标卷）06数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I .【详解】 {}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．设1i 2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i 2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r ，则(k = )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若//a b r r，则有42612k ⨯=⨯=，解可得k 的值，即可得答案．【详解】 解：根据题意，向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r，则有426k ⨯=⨯，解得3k =；故选：D ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60【答案】C【解析】【分析】 利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前n 项和公式求得9S 的值.【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以由28515a a a +=-得52815a a a ++=，即131215a d +=，而()19191289933123154522a a a d S a d ++=⨯=⨯=⨯+=⨯=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.5．在nx⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（ ） A ．15B ．45C ．135D ．405 【答案】C【解析】【分析】令1x =代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为2n ,结合两个系数比即可求得n 的值,进而根据二项展开式的通项求得3x 的系数即可.【详解】 令1x =,代入nx⎛+ ⎝可得各项系数和为4n展开式的各项的二项式系数和为2n由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以4642nn = 解方程可得6n =则二项式nx⎛+ ⎝的展开式的通项公式为 ()()1366622166633r r r r r r r r r r r T C x C x x C x----+==⋅⋅= 令3632r -= 解得2r =所以3x 的系数为2263915135C =⨯=故选:C【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题.6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=u u u u r u u u r ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】设椭圆的焦距为()20c c >，利用向量数量积的坐标运算得出2b ac =，可得出22a c ac -=，等式两边同时除以2a 可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可.【详解】设椭圆的焦距为()20c c >，离心率为e ，则点(),0M a -、()0,N b 、(),0F c ，所以，(),MN a b =u u u u r ，(),NF c b =-u u u r ，则20MN NF ac b ⋅=-=u u u u r u u u r ，即()220ac a c --=，即220c ac a +-=，等式两边同时除以2a 得210e e +-=，01e <<Q ，解得e =.故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题.7．在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ）A ．14B ．34C ．13D ．23【答案】B【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.【详解】如下图，作出不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域（阴影部分ABC ），易知()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，该区域面积为()131242⎡⎤--⨯=⎣⎦. 事件A ＝“002y x <”，表示的区域为阴影部分AOC ，其面积为13232⨯⨯=. 所以事件A 发生的概率是34.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.8．函数21211()tan log tan log 4242f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】 结合选项对1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和[1,2)x ∈函数分类讨论去绝对值，即可求解.【详解】 21211()tan log tan log 4242f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2211tan log tan log 4242x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 212tan ,(,1)4212log ,[1,2)2x x x x π⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--∈ ⎪⎪⎝⎭⎩.故选:B【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题.9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A ．4B ．5C ．7D ．11【答案】A【解析】起始阶段有23m a =-， 1i =，第一次循环后， ()223349m a a =--=-， 2i =；第二次循环后， ()2493821m a a =--=-， 3i =；第三次循环后， ()282131645m a a =--=-， 4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.选A.10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF －BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F －AMCD 内的概率为（ ）A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】C【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F －AMCD 的体积，即可求出概率.【详解】由三视图可知：底面三角形ADF 是腰长为a 的等腰直角三角形，几何体ADF －BCE 是侧棱为a 的直三棱柱，由题图可知V F －AMCD ＝13×S 梯形AMCD ×DF ＝14a 3， V ADF －BCE ＝12a 3， 所以它飞入几何体F －AMCD 内的概率为33114122a P a ==. 故选：C【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积.11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

2020年高考必刷卷（新课标卷）02数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】 因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =U A ．(0,)+∞ B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】 【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <， 因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b aab+<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->， 所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x x e f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】 试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r ，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a 3?=，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．22B ．53C ．52D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解． 【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角， 连接ED ，则CDE ∆为直角三角形， 不妨设2AB a =，则5,3DE a EC a ==，所以5sin 3DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】 设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--， 则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。