2019-2020济南市市中区初二上册期末数学试卷(解析版)

八年级期末学业质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．B ．C ．D ．02．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．满足下列条件中的，不是直角三角形的是（ ）A ． ，，B ．C ．D ． 4．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知二元一次方程组，则的值为（ ）A ．2B ．6C ．D ． 7．若点和关于轴对称，则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ． 8．如图，在中，和的平分线交于点，连接，若cm ，cm ，的面积为，则的面积为（）3.142πABC △21a =22b =23c =A B C ∠-∠=∠::3:4:5A B C ∠∠∠=::7:24:25a b c===2=32÷=y kx b =+0,0k b >>0,0k b ><0,0k b <>0,0k b <<3531x y x y +=⎧⎨+=⎩x y -2-6-()11,2P a -()23,1P b -x ()2024a b +20243-2024320245ABC △BAC ∠ABC ∠O OC 6AB =10BC =ABO △218cm BOC △A ．B ．C ．D ． 9．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．10．一次函数，，点是与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（）A ．B ．1C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．填空题请直接填写答案．）11．9的算式平方根是______．12．甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为米，方差分别为，，则成绩笔记哦啊稳定的是______（填“甲”或“乙”）．13．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为______．218cm 220cm 227cm 230cm ()3,9A -B ()10,6-()10,7-()9,6-()9,5-1:24l y x =-+()2:0l y kx k k =->(),M a b 12,l l x S a b =+S 52k 12329.520.2S =甲20.03S =乙3y x =-+y mx n =+x y 、3y x y mx n=-+⎧⎨=+⎩14．如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的长为______．第14题15．如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其中m ，m ，该木块较长的边和场地宽平行，横截面是边长为2m 的正方形，若点处有一只蚂蚁，它从点出发，爬过木块到达点处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是______m ．第15题16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分8分）计算：（1．（2．18．（本小题满分6分）解二元一次方程组19．（本小题满分6分）已知：如图，，．求证：．Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒AB ,AC AB ,D E BD 4CD =AD 6AB =5AD =AD A A C Rt ABC △90B ∠=︒6AB =D AB 2BD =E AC DE DE D 90︒DF ,AF BF AF BF ++236x y x y -=⎧⎨+=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =OB OC =20．（本小题满分6分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．（1）将向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．画出平移后得到的；（2）将绕着点顺时针旋转，旋转后得到的，则点的坐标为______；点的坐标为______．21．（本小题满分8分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次后动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：图1图2（1）本次共抽取了______名学生的捐款；（2）补全条形统计图；（3）本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元；（4）求本次抽取样本学生捐款的平均金额．22．（本小题满分8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）3ABC △ABC △111A B C △111A B C △ABC △A 90 22AB C △2B 2C ,A B 2.4售价（万元/套）（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该公司计划购进两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套，当把购进的两种多媒体全部售出，求为何值时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？23．（本小题满分10分）现有两种品牌的共享电动车，收费（元）与骑行时间（min ）之间的函数关系如图所示，品牌收费为，品牌收费为．（1）直接写出品牌收费方式对应的函数关系式为______；（2）求品牌在当时间段内，与之间的函数关系式；（3）当时，求出两种收费相差元时的值．24．（本小题满分10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究．图1（1）【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形．图23.3 2.8,A B ,A B ,A B A m ()1020m ≤≤m ,A B y x A 1y B 2y A B 10x >y x 10x >0.5x ABCD AB AD =CB CD =ABCD（2）【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由．（3）【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值．图325．（本小题满分12分）如图，一次函数分别与坐标轴交于两点，分别与坐标轴交于两点，，两直线交于点；（1）求的值及点坐标；（2）点在直线上，连接，若，求出点坐标；（3）点在坐标轴上，点在直线上，若线段被直线垂直平分，请直接写出点坐标．（备用图）26．（本小题满分12分）数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角，，等腰直角，，连接，是中点，连接，，请探究线段，之间的关系．小明通过思考，将此探究题分解出如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成：（1）如图1，延长至，使得，连接，线段与线段的数量关系为______，位置关系为______；ABCD AC BD 、O AC BD ⊥ABCD 2222AB CD AD BC +=+Rt ABC △AC AB ACE ABD 90BAD CAE ∠=∠=︒AB AD =AC AE =,,CD BE DE 3BC =4AC =DE 4y x =-+,A B ,C D ()2,0C -E k E P CD OE POE BOE S S =△△P M N CD MN AB N ABC △AB AC =CDE △DC DE =BE F BE AF DF AF DF AF A 'AF A F '=A E 'AB A E '（2）如图2，延长交延长线于点，连接，．小明的思路是先证明，进而得出与的关系，再继续探究．请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程．（3）方法运用：如图3，等边与等边，点在外部．，，连接，点为中点，连接，，若，请直接写出的值．图1图2图3八年级数学期末阶段性测试答案一、选择题1—5CBCBD6—10ACDBD二、填空题11．312．乙13．14．815．16．三、解答题17．（8分）（1．解：原式．（2．18．（6分）解二元一次方程组．解：，①＋②，得，解得，把代入②，得，故原方程组的解为．19．证明：∵，，，∴ED BA GAD A D 'ACD A ED '≌△△AD A D 'AF DF ABC △DEC △,D E ABC △4AB =DE =BD F BD AF BE 3AF =BE 12x y =⎧⎨=⎩+44=-=+3241=+=+-=236x y x y -=⎧⎨+=⎩236x y x y -=⎧⎨+=⎩①②39x =3x =3x =3y =33x y =⎧⎨=⎩90A D ∠=∠=︒AC BD =BC BC =()Rt Rt HL BAC CDB ≌△△∴．∴（等角对等边）．20．解：（1）如图所示，即为所求．（2）点的坐标为；点的坐标为．21．解：（1）50（2）（人）或（人）补全图形如下：图1（3）众数是10元；中位数是15元；（4）元，答：本次抽取样本学生捐款的平均金额16元．22．解：（1）设购进种多媒体套，种多媒体套，由题意可得：，解得，答：购进种多媒体20套，种多媒体30套；（2）设利润为元，由题意可得：，∴随的增大而减小，ACB DBC ∠=∠OB OC =111A B C △2B ()4,2-2C ()1,3-5041610812----=5024%12⨯=()145161012151008301650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A a B b 503 2.4132a b a b +=⎧⎨+=⎩2030a b =⎧⎨=⎩A B W ()()()3.33 2.8 2.4500.120W m m m =-+-⨯-=-+W m∵，∴当时，取得最大值，此时，答：购进种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元．23．解：（1）；（2）品牌在当时间段内，设与之间的函数关系式为，∵点，在该函数图象上，∴，解得，即品牌在当时间段内，与之间的函数关系式是；（3）当时，，解得：；当时，，解得：；由上可得，在15分钟或25分钟时，两种收费相差元．24．（1）是（2）正确∵，∴，由勾股定理得：，，∴；（3）25．（1）将代入，，，，（2）方法一：过点作交于，∴．点即为所求；∵，∴．∵，∴，代入，1020m ≤≤10m =W 19W =A 10.2y x =B 10x >y x 2y ax b =+()10,3()20,4103204a b a b +=⎧⎨+=⎩0.12a b =⎧⎨=⎩B 10x >y x 20.12y x =+210.5y y -=0.120.20.5x x +-=15x =120.5y y -=()0.20.120.5x x -+=25x =0.5AC BD ⊥90AOB BOC COD AOD ∠=∠=∠=∠=︒222222AB CD AO BO CO DO +=+++222222AD BC AO DO BO CO +=+++2222AB CD AD BC +=+DE =()2,0C -1y kx =+021k =-+12k =4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩()2,2E B BP OE ∥CD P POE BOE S S =△△P ()2,2E :OE y x =BM OE ∥:BP y x b =+()0,4B∴．联立，∴同理∵为中点，∴．作交于，∴，．方法二：∵，∴若点在左侧，，令，∴，，，∴∴，∴．同理，若点在右侧，，（3）25．（1），（2），证明：∵，∴由四边形内角和为，∴由（1），∴，∴由（1），，∴．∴，∵是中点，∴∵，，∴．:4BP y x =+4112y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩()6,2P --E AB AOE BOE S S =△△AP OE '∥CD P ':4BP y x '=-()10,6P '112y x =+()0,1D P OE POE POD DOE BOE S S S S =+=△△△△1,12P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1EOD S =△12DOPS m=-△4BOE S =△1142m -=6m =-()6,2P --P OE P OE P OD DOE BOE S S S S ''=-=△△△△()10,6P '()16,4N ()24,3N AB A E '=AB A E '∥AF DF =AF DF⊥90BAC CDE ∠=∠=︒90GAC CDG ∠=∠=︒ABCD 360︒180ACD AGD ∠+∠=︒AB A E '∥180A ED AGD '∠+∠=︒A ED ACD '∠=∠A E AB AC '==CD DE =ACD A ED '≌△△AD A D '=ADC A DE '∠=∠F AA 'DF AF⊥90CDE ∠=︒90ADA CDE A DE ADC ''∠=∠-∠+∠=︒DF AF =11（3）思路：如图构造（1）中的基本图形：以为底边构造顶角为的等腰．则与是共底角顶点的两个等腰三角形，且底角互余．依据（1）（2）可得结论，且．CD 120︒GCD △ABC △GCD △C AF GF⊥AF =。

山东省济南市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼2．（4分）下列说法正确的是（）A．﹣3是﹣9的平方根B．1的立方根是±1C．a是a2的算术平方根D．4的负的平方根是﹣23．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a2﹣6a+9＝a（a﹣6）+9C．a2+3a+2＝（a+1）（a+2）D．a2﹣1＝a（a﹣）4．（4分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）5．（4分）分式，，﹣的最简公分母为（）A．2xy2B．5xy C．10xy2D．10x2y26．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．7．（4分）某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．人数25131073成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．70，70C．80，80D．75，808．（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．3249．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°10．（4分）如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②④11．（4分）将一组数，2，，2，，…，2，按下列方式进行排列：①，2，，2，②2，，4，3，2…若的位置记为（1，3），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（）A．（5，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（3，5）12．（4分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．（4分）计算：（）3＝．14．（4分）将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．15．（4分）如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝°．16．（4分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．17．（4分）已知a，b是两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则a b＝．18．（4分）把两块同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB＝3，则CD＝．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19．（6分）计算：（1）+（2﹣）0；（2）﹣3﹣20．（6分）解分式方程：＝2﹣．21．（6分）分解因式：（a2+1）2﹣4a2．22．（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？23．（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．24．（10分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．校本课程频数频率A360.45B0.25C16bD8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）“D”对应扇形的圆心角为度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．25．（10分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（Ⅰ）求∠ODC的度数；（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．26．（12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．27．（12分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC 绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且P A＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B．2．【解答】解：A．﹣9没有平方根，此选项错误；B．1的立方根是1，此选项错误；C．|a|是a2的算术平方根，此选项错误；D．4的负的平方根是﹣2，此选项正确；故选：D．3．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．4．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．5．【解答】解：分式，，﹣的最简公分母为10xy2，故选：C．6．【解答】解：A、原式＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；故选：D．7．【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A．8．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1＝42+92，S2＝12+42，则S3＝S1+S2，∴S3＝16+81+1+16＝114．故选：B．9．【解答】解：∵AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形∴AE∥BC∵△BED是等边三角形∴∠DEB＝60°故①②正确∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED+∠BED，∠BDC＝∠BAC+∠ABD∴∠AED＝∠ABD故④正确∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故选：D．11．【解答】解：这组数据可表示为：①，，，，，②，，，，；…∵19×2＝38，∴19÷5＝3…4，∴为第4行，第4个数字．故选：B．12．【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．【解答】解：（）3＝﹣．故答案为：﹣．14．【解答】解：x2﹣2＝，故答案为：，15．【解答】解：由题意可得：m∥n，则∠CAD+∠1＝180°，可得：∠3＝∠4，故∠4+∠CAD＝∠2，则∠2﹣∠3＝∠CAD+∠3﹣∠3＝∠CAD＝180°﹣∠1＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105．16．【解答】解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．17．【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∴a＝2，b＝3，∴a b＝23＝8，故答案为：8．18．【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝6，BF＝AF＝FC＝AB＝3，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝3，∴CD＝DF﹣FC＝3﹣3，故答案为：3﹣3．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19．【解答】解：（1）+（2﹣）0＝3+1＝4；（2）﹣3﹣＝4﹣3×﹣＝．20．【解答】解：去分母得：y﹣2＝2y﹣6+1，移项合并得：y＝3，经检验y＝3是增根，分式方程无解．21．【解答】解：原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．22．【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据题意得：+＝1，解得：x＝5，经检验，x＝5是所列分式方程的解且符合题意．∴3x＝15，2x＝10．答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要10天．（2）∵甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，∴甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，∴甲队应得的报酬为4000×＝1600（元），乙队应得的报酬为4000﹣1600＝2400（元）．答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．23．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．24．【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，b＝16÷80＝0.20，故答案为：80，0.20；（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：8÷80×360°＝36°，故答案为：36；（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；（4）列表格如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．25．【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∵∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（Ⅱ）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．26．【解答】（1）解：9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn＝（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）＝（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2＝（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）（2）解：由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0可分解得2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0利用拆项得（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是a﹣b＝0，a﹣c＝0所以可以得到a＝b＝c即：△ABC的形状是等边三角形．27．【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；。

山东省济南市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在﹣2，6，，上中，无理数是（）A．﹣2B．6C．D．2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．1，2，3B．C．6，8，10D．3．下列各点中，位于第二象限的是（）A．（4，3）B．（﹣3，5）C．（3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）4．下列各点中，在正比例函数y＝3x的图象上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，1）D．（3，﹣1）5．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是S甲2＝0.43，S乙2＝0.51，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定性的描述正确的是（）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定D．甲、乙稳定性没法比较6．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（）A．2x＝y+3B．x＝C．y＝2x﹣3D．y＝3﹣2x7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°8．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（）A．11B．8C．12D．39．下列有关一次函数y＝﹣3x+2的说法中，错误的是（）A．当x值增大时，y的值随着x增大而减小B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，2）C．函数图象经过第一、二、四象限D．图象经过点（1，5）10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）11．对于平面直角坐标系中任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为M，N两点的直角距离，记作：d（M，N）．如：M（2，﹣3），N（1，4），则d（M，N）＝|2﹣1|+|﹣3﹣4|＝8．若P（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，称d（P，Q）的最小值为P到直线y＝kx+b的直角距离．则P（﹣1，﹣3）到y轴的直角距离d为（）A．4B．3C．2D．112．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13．9的算术平方根是．14．在电影票上如果将“8排4号”记作（8，4），那么“3排5号”记作．15．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是．16．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．17．如图，四边形OABC为长方形，OA＝1，则点P表示的数为．18．如图，连接在一起的两个等边三角形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按A→B→C →D→E→C→A→B→C…的顺序沿等边三角形的边循环移动．当微型机器人移动了2019cm后，它停在了点上．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）．20．（6分）解方程组：．21．（6分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，BE平分∠CBD，若∠ACB＝60°，∠CAB＝80°．求∠DBE的度数．22．（8分）已知：如图，AE＝CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF．求证：AB ∥CD．23．（8分）七年级某班为准备科技节表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件，在获知某网店有“五一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费90元．品名商店笔记本（元/件）水笔（元/件）友谊超市 2.42网店2 1.8（1）请求出需购买笔记本和水笔的数量；（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元．24．（10分）某校八年级全体同学参加了“爱心一日捐ˆ捐款活动，该校随杋抽査了部分同学捐款的情况统计如图所示：（1）求出本次抽查的学生人数；（2）求出捐款10元的学生人数，并将条形图补充完整；（3）捐款金额的众数是元，中位数是．（4）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？25．（10分）如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解决下列问题：（1）在刚出发时，我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安艇的速度分别是多少？（3）求出l1，l2的解析式．（4）问6分钟时，走私船与我公安快艇相距多少海里？26．（12分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；（3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在﹣2，6，，上中，无理数是（）A．﹣2B．6C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B.6是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C.是无理数，故本选项符合题意；D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．1，2，3B．C．6，8，10D．【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴此组数据能不作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；B、∵（）2+（）2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；C、∵62+82＝102，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；D、∵（）2+（）2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3．下列各点中，位于第二象限的是（）A．（4，3）B．（﹣3，5）C．（3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）【分析】依据位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即可得到结论．【解答】解：∵位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，∴位于第二象限的是（﹣3，5）故选：B．【点评】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正．4．下列各点中，在正比例函数y＝3x的图象上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，1）D．（3，﹣1）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征验证四个选项中的点是否在正比例函数图象上，此题得解．【解答】解：A、当x＝1时，y＝3x＝3，∴点（1，3）在正比例函数y＝3x的图象上；B、当x＝﹣1时，y＝3x＝﹣3，∴点（﹣1，3）不在正比例函数y＝3x的图象上；C、D、当x＝3时，y＝3x＝9，∴点（3，1）和（3，﹣1）不在正比例函数y＝3x的图象上．故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．5．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是S甲2＝0.43，S乙2＝0.51，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定性的描述正确的是（）A．甲比乙稳定B．乙比甲稳定C．甲和乙一样稳定D．甲、乙稳定性没法比较【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：因为S甲2＝0.43＜S乙2＝0.51，方差小的为甲，所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是甲，故选：A．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（）A．2x＝y+3B．x＝C．y＝2x﹣3D．y＝3﹣2x【分析】将x看做常数移项求出y即可得．【解答】解：由2x﹣y＝3知2x﹣3＝y，即y＝2x﹣3，故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】由ED是AC的垂直平分线，可得AE＝CE，继而求得∠BAE＝∠C＝35°，然后由在Rt △ABC中，∠B＝90°，即可求得∠BAC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故选：A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（）A．11B．8C．12D．3【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，∴EF＝DE＝3，∴△BCE的面积S＝＝，故选：C．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，能求出BC边上的高是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．9．下列有关一次函数y＝﹣3x+2的说法中，错误的是（）A．当x值增大时，y的值随着x增大而减小B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，2）C．函数图象经过第一、二、四象限D．图象经过点（1，5）【分析】A、由k＝﹣3＜0，可得出：当x值增大时，y的值随着x增大而减小，选项A不符合题意；B、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），选项B不符合题意；C、由k＝﹣3＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出：一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；D、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：一次函数y＝﹣3x+2的图象不经过点（1，5），选项D符合题意．此题得解．【解答】解：A、∵k＝﹣3＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，选项A不符合题意；B、当x＝0时，y＝﹣3x+2＝2，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），选项B不符合题意；C、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0，∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；D、当x＝1时，y＝﹣3x+2＝﹣1，∴一次函数y＝﹣3x+2的图象不经过点（1，5），选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣3，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【分析】根据题意得出C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，∴C，B关于直线m对称，即关于直线x＝1对称，∵点C的坐标为（4，1），∴＝1，解得：x＝﹣2，则点B的坐标为：（﹣2，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，得出C，B关于直线m对称是解题关键．11．对于平面直角坐标系中任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为M，N两点的直角距离，记作：d（M，N）．如：M（2，﹣3），N（1，4），则d（M，N）＝|2﹣1|+|﹣3﹣4|＝8．若P（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝kx+b上的一动点，称d（P，Q）的最小值为P到直线y＝kx+b的直角距离．则P（﹣1，﹣3）到y轴的直角距离d为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先找出P（﹣1，﹣3）到y轴最近的点的坐标，再根据直角距离公式即可得出结论．【解答】解：∵垂线段最短，∴P（﹣1，﹣3）到y轴最近的点的坐标为（0，﹣3），∴|﹣1﹣0|+|﹣3+3|＝1．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数图象上上点的坐标特点，正确理解直角距离的定义是解答此题的关键．12．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13．9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是|±3|＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．14．在电影票上如果将“8排4号”记作（8，4），那么“3排5号”记作（3，5）．【分析】由于将“8排4号”记作（8，4），根据这个规定即可确定3排5表示的点坐标．【解答】解：∵“8排4号”记作（8，4），∴3排5号记作（3，5）．故答案为：（3，5）．【点评】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．15．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝32°，则∠BED的度数是64°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠C＝32°，再根据角平分线的定义得到∠ABC＝∠EBC ＝32°，然后利用三角形外角性质计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠C＝32°，又∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠EBC＝32°，∴∠BED＝∠C+∠EBC＝32°+32°＝64°．故答案为：64°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．16．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．【分析】根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．【解答】解：∵由图象可知：一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3），∴方程组的解是，故答案为：．【点评】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．17．如图，四边形OABC为长方形，OA＝1，则点P表示的数为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵OA＝1，OC＝3，∴OB＝＝，故点P表示的数为，故答案为：．【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．如图，连接在一起的两个等边三角形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按A→B→C →D→E→C→A→B→C…的顺序沿等边三角形的边循环移动．当微型机器人移动了2019cm后，它停在了点D上．【分析】根据等边三角形和全等三角形的性质，可以推出，每行走一圈一共走了6个1cm，2019＝6×336+3，行走了336圈又多3cm，即落到D点．【解答】解：∵两个全等的等边三角形的边长为1cm，∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6cm，∵2019＝6×336+3，即行走了336圈又3cm，∴行走2016cm后，则这个微型机器人停在A点，再走3cm，则停在D点，故答案为：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于求出2019为6的倍数余数是几．三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）．【分析】首先利用二次根式的乘法运算得出＝×，进而化简约分得出即可．【解答】解：＝×＝3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确把握运算公式是解题关键．20．（6分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，②+①得：2x＝12，解得：x＝6，把x＝6代入①得：y+6＝10，解得：y＝4，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．（6分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，BE平分∠CBD，若∠ACB＝60°，∠CAB＝80°．求∠DBE的度数．【分析】利用三角形外角的性质求出∠DBC即可解决问题；【解答】解：∵∠CBD＝∠ACB+∠CAB，∠ACB＝60°，∠CAB＝80°，∴∠CBD＝60°+80°＝140°，∵BE平分∠CBD∴．【点评】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（8分）已知：如图，AE＝CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF．求证：AB ∥CD．【分析】要证AB∥CD，可通过证∠A＝∠C，那么就需证明这两个角所在的三角形全等即可．【解答】解：如图，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．又∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△AFB与△CED中，，∴△AFB≌△CED（SAS）．∴∠A＝∠C．∴AB∥CD．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；题目采用从结论开始推理容易突破．有平行推出需要找到有关角相等，进而分析需证三角形全等．23．（8分）七年级某班为准备科技节表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件，在获知某网店有“五一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费90元．品名商店笔记本（元/件）水笔（元/件）友谊超市 2.42网店2 1.8（1）请求出需购买笔记本和水笔的数量；（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元．【分析】（1）设需购买笔记本x件，水笔y件，根据从友谊超市购买笔记本和水笔共40件需花费90元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量求出在网店购买这些奖品所需费用，用90减去该值即可得出结论．【解答】解：（1）设需购买笔记本x件，水笔y件，根据题意得：，解得：．答：需购买笔记本25件，水笔15件．（2）在网店购买这些奖品所需费用为25×2+15×1.8＝77（元），节省的钱数为90﹣77＝13（元）．答：从网店购买这些奖品可节省13元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价＝单价×数量求出在网店购买这些奖品所需费用．24．（10分）某校八年级全体同学参加了“爱心一日捐ˆ捐款活动，该校随杋抽査了部分同学捐款的情况统计如图所示：（1）求出本次抽查的学生人数；（2）求出捐款10元的学生人数，并将条形图补充完整；（3）捐款金额的众数是10元，中位数是12.5．（4）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？【分析】（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数；（2）将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；（3）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数，求出第25、26个数据的平均数可得数据的中位数；（4）由捐款20元的人数占总数的百分数，依据全校八年级1000名学生，即可得到结论．【解答】解：（1）14÷28%＝50（人）∴本次测试共调查了50名学生，（2）50﹣（9+14+7+4）＝16（人）∴捐款10元的学生人数为16人，补全条形统计图图形如下：（3）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10元；中位数是＝12.5（元），故答案为：10、12.5；（4）1000×＝140（人）∴全校八年级1000名学生，捐款20元的有140人．【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．25．（10分）如图，l1和l2分别是走私船和我公安快艇航行路程与时间的函数图象，请结合图象解决下列问题：（1）在刚出发时，我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安艇的速度分别是多少？（3）求出l1，l2的解析式．（4）问6分钟时，走私船与我公安快艇相距多少海里？【分析】（1）由当t＝0时，y1＝5，y2＝0，二者做差后即可得出结论；（2）利用速度＝路程÷时间，可分别求出走私船与公安艇的速度；（3）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出l1，l2的解析式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出x＝6时，y1，y2的值，做差后即可得出结论．【解答】解：（1）当t＝0时，y1＝5，y2＝0，∴5﹣0＝5，∴在刚出发时，我公安快艇距走私船5海里．（2）（9﹣5）÷4＝1（海里/分钟），6÷4＝1.5（海里/分钟）．∴走私船的速度是1海里/分钟，公安艇的速度为1.5海里/分钟．（3）设图象l1的解析式为y1＝kt+b（k≠0），将（0，5），（4，9）代入y1＝kt+b，得：，解得：，∴图象l1的解析式为y1＝t+5；设图象l2的解析式为y2＝mt（m≠0），将（4，6）代入y2＝mt，得：4m＝6，解得：m＝1.5，∴图象l2的解析式为y2＝1.5t．（4）当t＝6时，y1＝6+5＝11，y2＝1.5×6＝9，∵11﹣9＝2（海里），∴6分钟时，走私船与我公安快艇相距2海里．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当t＝0时y的值；（2）利用速度＝路程÷时间求出两船的速度；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出当t＝6时y1，y2的值．26．（12分）（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠ADC，再判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF＝NG，OF＝MG，进而得出MF＝1，OF＝3，即可求出FG＝MF+MG＝1+3＝4，即可得出结论；（3）先求出OP＝3，由y＝0得x＝1，进而得出Q（1，0），OQ＝1，再判断出PQ＝SQ，即可判断出OH＝4，SH＝OQ＝1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则，解得∴直线PR为y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，请求出点M的坐标；（3）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入即可求解；（2）点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（﹣6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB 最小，即可求解；（3）分AO＝AN、AO＝ON、AN＝ON三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入得：，解得：，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；（2）作点B（6，0）关于y轴的对称点B'，∴B'（﹣6，0），连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，设直线AB'的解析式为y＝mx+n，将A（4，2），B'（﹣6，0）代入得：，解得：，∴直线AB'的解析式为：y＝x+，当x＝0时，y＝，∴M（0，）；（3）存在，理由：设：点N（m，0），点A（4，2），点O（0，0），则AO2＝20，AN2＝（m﹣4）2+4，ON2＝m2，①当AO＝AN时，20＝（m﹣4）2+4，解得：m＝8或0（舍去0）；②当AO＝ON时，同理可得：m＝；③当AN＝ON时，同理可得：m＝；故符合条件的点N坐标为：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

济南市2019-2020年度八年级上学期期末数学试题D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 下列图案中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2 . 已知M=x2+2xy，N=5x2﹣4xy，若M+N=4x2+P，则整式P为（）A．2x2﹣2xy B．6x2﹣2xy C．3x2+xy D．2x2+xy3 . 下列各式，，，，，中，分式的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个4 . 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于（）A．90°B．100°C．130°D．180°5 . 如果，的周长为13，，那么的长是（）A．3B．4C．5D．66 . 下列判断正确的是（）A．两边和一角对应相等的两个三角形全等B．一边及一锐角相等的两个直角三角形全等C．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等D．三个内角对应相等的两个三角形全等7 . 四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8 . 如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形9 . 下列不是利用三角形的稳定性的是（）A．伸缩晾衣架B．三角形房架C．自行车的三角形车架D．矩形门框的斜拉条10 . 甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价，乙超市一次性降价，在哪家超市购买同样的商品最合算（）A．甲B．乙C．相同D．和商品的价格有关11 . 若的乘积中不含项，则的值为（）A．5D．-5B．C．12 . 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高D．垂直平分线二、填空题13 . 当x＝__时，分式的值为0．14 . 如图，点G为△ABC的重心，连接AG、BG并延长，分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么AF：AG=__．15 . 如果一个多边形的每一外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是_________，它的内角和是_________，它的外角和是_________．16 . 现定义某种运算“*”，对任意两个有理数a ，b，有a*b=ab，则（﹣2）*3=___．三、解答题17 . 若关于的二次函数（为常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，其图象的顶点为点是坐标原点．（1）若、、，求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；（2）如图1，若，，为直角三角形，是以的等边三角形，试确定的值；（3）设为正整数，且，，为任意常数，令，，如果对于一切实数，始终成立，求的值．18 . 如图，三个顶点的坐标分别为，，。

济南市2019年数学八上期末试卷一、选择题1．下列各分式中，最简分式是（ ）A.23x x x- B.2222x y x y xy ++ C.22y x x y -+D.222()x y x y -+ 2．一次学习小组交换出题检测的活动中，小刚的作答如下： ①()363a a a ÷-=-； ②23325a a a +=； ③()()32255a b b a b ⋅-=； ④22144aa -=， 请问小刚做对了（ ） A ．1道B ．2道C ．3道D ．4道3．观察下列等式：1a n =，2111a a =-，3211a a =-，…；根据其蕴含的规律可得（ ） A ．2013a n =B ．20131n a n -=C ．201311a n =- D ．201311a n=- 4．已知x ＝3y+5，且x 2﹣7xy+9y 2＝24，则x 2y ﹣3xy 2的值为( ) A ．0 B ．1 C ．5 D ．12 5．下列计算中，正确的是( ) A ．336x x x += B ．623a a a ÷=C ．3a 5b 8ab +=D ．333(ab)a b -=-6．将202198⨯变形正确的是（ ）A ．22004-B ．22002-C ．220022004+⨯+D ．220022004-⨯+7．已知点A （4，3）和点B 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x ＝﹣3对称，则平面内点B 的坐标为（ ） A ．（0，﹣3）B ．（4，﹣9）C ．（4，0）D ．（﹣10，3）8．已知等腰三角形有一个角为100°，那么它的底角为（ ） A ．100° B．40° C．50° D．80°9．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( ) A ．30°B ．40°C ．75°D ．120°10．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，若添加一个条件不能得到“△ABD ≌△ACE”是（ ）A ．∠ABD=∠ACEB ．BD=CEC ．∠BAD=∠CAED ．∠BAC=∠DAE11．如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍然不能．．判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A ．CB=CDB ．∠B=∠D=90〫C ．∠BAC=∠DACD ．∠BCA=∠DCA 12．如图，中，，，平分，于，则下列结论：①平分，②，③平分，④，其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 13．下列哪一种正多边形不能．．铺满地面（ ） A ．正三边形B ．正四边形C ．正六边形D ．正八边形14．如图，将一副直角三角板摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ，已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（ ）A.20B.25C.30D.3515．如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠A ＝30°，CD 平分∠ACB ，CE ⊥AB 于点E ，则∠DCE 的度数是（ ）A ．5°B ．8°C ．10°D ．15°二、填空题16．将0.000 002 06用科学记数法表示为_____．17．若二次三项式2x x m -+是一个完全平方式，则m=_____.18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为()1,4，C 的坐标为()2,6-，如果存在点D ，使得ABD 与ABC 全等，那么点D 的坐标______.(写出所有可能的情况)19．如图，中，，，图中等于的角是：______．20．用一条长为20cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，则底边长为____cm 三、解答题21．先化简，再求值：222212()b a ab b a b ab a a ab++-÷---，其中a ＝2018﹣b 22．分解因式：（1）21222x x ++（2）222(4)16a a +- 23．如图， ÐBAD = ÐCAE = 90° ， AB = AD ， AE = AC ， ÐABD = ÐADB = ÐACE = ÐAEC = 45° ，AF ^ CF ，垂足为 F .（1）若 AC = 10 ，求四边形 ABCD 的面积； （2）求证： CE = 2 AF .24．在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足S 矩形ABCD ＝3S △PAB ，则PA+PB 的最小值为_____．25．问题发现：()1如图1，已知线段6=AB ，C 是AB 延长线上一点，D ，E 分别是AC ，BC 的中点；①若4=BC ，则=DE ______； ②若8BC =，则=DE ______；③通过以上计算，你能发现AB 与DE 之间的数量关系吗？直接写出结果：______．应用：()2如图2，88∠=AOB ，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，求∠DOE 的大小，并写出推导过程．【参考答案】*** 一、选择题16．06×10-6． 17．1418．；；． 19．， 20．4 三、解答题 21．12018. 22．（1） 212()2x +; （2）22(2)(2)a a +-23．（1）50；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD ，根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ，推出四边形ABCD 的面积=三角形ACE 的面积，即可得出答案；（2）过点A 作AG ⊥CG ，垂足为点G ，求出AF=AG ，求出CG=AG=GE ，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAC=∠EAD ， 在△ABC 和△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）， ∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ， ∴S 四边形ABCD =S △ADE +S △ACD =S △ACE =12×102=50； （2）证明：∵△ACE 是等腰直角三角形， ∴∠ACE=∠AEC=45°， 由△ABC ≌△ADE 得： ∠ACB=∠AEC=45°， ∴∠ACB=∠ACE ， ∴AC 平分∠ECF ；过点A 作AG ⊥CG ，垂足为点G ，∵AC 平分∠ECF ，AF ⊥CB ， ∴AF=AG ， 又∵AC=AE ，∴∠CAG=∠EA G=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°， ∴CG=AG=GE ， ∴CE=2AG ， ∴CE=2AF ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质，直角三角形的性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 24．【解析】 【分析】首先由S 矩形ABCD =3S △PAB ，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值． 【详解】设△ABP 中AB 边上的高是h ． ∵S 矩形ABCD =3S △PAB ， ∴12AB•h=13AB•AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴即PA+PB的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．25．（1）①3②3③1DE AB2=（2）44°。

2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列坐标点在第四象限内的是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）2．某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的众数是（）最高气温（℃）18 19 20 21 22 天数 1 2 2 3 2 A．20 B．20.5 C．21 D．223．满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/35．如图，AE∥BD，△ABC为等边三角形，若∠CBD＝15°，则∠EAC的度数是（）A．60°B．45°C．55°D．75°6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5 B．7 C．14 D．287．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．49．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点B'处，∠B′AD比∠BAE 大48°．设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x°和y°，那么所适合的一个方程组是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为（﹣1，1），左上角格点B的坐标为（﹣4，4），若分布在过定点（﹣1，0）的直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，则k的取值可以是（）A．B．C．2 D．12．如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．﹣1 B．3﹣C．3 D．二．填空题（共6小题）13．不等式﹣的解集为．14．为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）15．如图，△ABC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC 的周长为cm．16．如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN ⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为．17．已知x，y满足方程的值为．18．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．三．解答题（共9小题）19．解方程组：．20．解不等式组：，并求出它的最小整数解．21．如图所示，∠B＝∠C，AB∥CD，证明：CE∥BF．22．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg．（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？23．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）试猜想△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．24．我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为，图2中m的值为；（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣1/2x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．点P是y轴上一点．（1）写出下列各点的坐标：点A、点B、点C；（2）若S△COP＝S△COA，请求出点P的坐标；（3）当PA+PC最短时，求出直线PC的解析式．26．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．27．建立模型：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列坐标点在第四象限内的是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【解答】解：由第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得在第四象限内的是（1，﹣2），故选：D．2．某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的众数是（）最高气温（℃）18 19 20 21 22 天数 1 2 2 3 2 A．20 B．20.5 C．21 D．22【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：在这10个数据中，出现次数最多的是21℃，所以该地区这10天最高气温的众数是21℃，故选：C．3．满足﹣2＜x≤1的数在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】﹣2＜x≤1表示不等式x＞﹣2与不等式x≤1的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由于x＞﹣2，所以表示﹣2的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于x≤1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：B．4．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3【分析】首先根据图象是经过原点的直线可得此函数是正比例函数，故设解析式为y＝kx（k≠0），把图象所经过的点（3，﹣3）代入设出的函数解析式，计算出k的值，进而得到函数解析式．【解答】解：设函数解析式为y＝kx（k≠0），∵图象经过（3，﹣3），∴﹣3＝k×3，解得k＝﹣1，∴这个函数的关系式为y＝﹣x，故选：B．5．如图，AE∥BD，△ABC为等边三角形，若∠CBD＝15°，则∠EAC的度数是（）A．60°B．45°C．55°D．75°【分析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．【解答】解：如图，延长AC交BD于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CBD+∠CHB，∠CBD＝15°，∴∠CHB＝45°，∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠CHB＝45°，故选：B．6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5 B．7 C．14 D．28【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝2，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD＝2，∴DE＝CD＝2，∵AB＝7，∴△ABD的面积是：＝＝7，故选：B．7．如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【分析】观察函数图象得到即可．【解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx+b≥0，所以关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2，故选：D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解．【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故选：B．9．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y ＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选：A．10．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点B'处，∠B′AD比∠BAE 大48°．设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x°和y°，那么所适合的一个方程组是（）A．B．C．D．【分析】设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x，y，根据将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠B′AD比∠BAE大48°可列出方程组．【解答】解：设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x°和y°，根据题意可得：．故选：D．11．如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为（﹣1，1），左上角格点B的坐标为（﹣4，4），若分布在过定点（﹣1，0）的直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，则k的取值可以是（）A．B．C．2 D．【分析】由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线CD和直线CE之间运动，从而确定E（﹣3，3），D（﹣3，4）进而求解．【解答】解：∵直线y＝﹣k（x+1）过定点（﹣1，0），分布在直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，由正方形的对称性可知，直线y＝﹣k（x+1）两侧的格点数相同，∴在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，（如图）∵E（﹣3，3），D（﹣3，4），∴﹣2＜﹣k＜﹣，则＜k＜2．故选：B．12．如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．﹣1 B．3﹣C．3 D．【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，∴△ABC是等边三角形，∴CE过点O，E为AB中点，则此时EO＝AB＝，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝BC sin60°﹣×AB＝3﹣故选：B．二．填空题（共6小题）13．不等式﹣的解集为x≤﹣3 ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：系数化为1可得．【解答】解：两边都乘以﹣3，得：x≤﹣3，故答案为：x≤﹣3．14．为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2＜S乙2（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】根据统计图中的数据的离散程度，发现甲的离散程度显然要小于乙，因此S甲2＜S乙2【解答】解：从整体上看，甲的10株麦苗比较集中，整齐，而乙的则显得分散，乙的离散程度较大，因此乙的方差也大，故答案为：＜15．如图，△ABC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC 的周长为16 cm．【分析】由线段的垂直平分线的性质知BD＝AD，结合三角形的周长可得答案．【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线，BC＝10cm，AC＝6cm，∴AD＝BD，∴△ADC的周长＝AD+DC+AC＝BD+DC+AC＝BC+AC＝16cm；故答案为：16．16．如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN ⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为4cm．【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形，∴PN＝PM＝MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm故答案为：4cm．17．已知x，y满足方程的值为．【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：①×5﹣②×4，可得7x＝9，解得x＝，把x＝代入①，解得y＝，∴原方程组的解是．故答案为：．18．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为（）．【分析】先用待定系数法求出直线AB的解析式，由对称的性质得出AP⊥AB，求出直线AP的解析式，然后求出直线AP与x轴的交点即可．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．三．解答题（共9小题）19．解方程组：．【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：①+②×2，可得5x＝5，解得x＝1，把x＝1代入①，解得y＝1，∴原方程组的解是．20．解不等式组：，并求出它的最小整数解．【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可．【解答】解：解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是1≤x＜4，∴最小整数解是1．21．如图所示，∠B＝∠C，AB∥CD，证明：CE∥BF．【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEC＝∠C，结合∠B＝∠C可得出∠AEC＝∠B，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CE∥BF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠B，∴CE∥BF．22．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg．（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？【分析】（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克，根据采摘的两种蔬菜共40千克且这些蔬菜的种植成本共42元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝每千克的利润×采摘数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克，依题意，得：，解得：．答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．（2）（1.5﹣1）×30+（2﹣1.2）×10＝23（元）．答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元．23．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）试猜想△BDE的形状，并说明理由；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据BE平分∠ABC，DE∥BC，可知∠ABE＝∠DEB，所以BD＝DE，从而可知△BDE是等腰三角形．（2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣35°﹣70°＝75°，∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC＝180°，∴∠BDE＝105°24．我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为50 ，图2中m的值为28 ；（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？【分析】（Ⅰ）根据得8分的学生人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后根据扇形统计图中的数据可以求得m的值；（Ⅱ）根据统计图中的数据可以求得本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计图中的数据可以计算出我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人．【解答】解：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为：4÷8%＝50，m%＝1﹣8%﹣10%﹣22%﹣32%＝28%，故答案为：50，28；（Ⅱ）本次调查获取的样本数据的平均数是：＝10.66（分），众数是12分，中位数是11分；（Ⅲ）800×32%＝256（人），答：我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有256人．25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣1/2x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．点P是y轴上一点．（1）写出下列各点的坐标：点A（6，0）、点B（0，3）、点C（2，2）；（2）若S△COP＝S△COA，请求出点P的坐标；（3）当PA+PC最短时，求出直线PC的解析式．【分析】（1）根据直线是点的坐标特征，求得点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3求得得点C（2，2）；（2）设点P（0，m），根据题意得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P的坐标；（3）根据两点之间线段最短，先求得A关于y轴的对称点A′（﹣6，0），连接A′C与y轴的交点，就是P点，此时PA+PC＝A′C，PA+PC最短，然后利用待定系数法即可求得直线PC的解析式．【解答】解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），解得：，故点C（2，2），故答案为（6，0），（0，3），（2，2）；（2）设点P（0，m），S△COP＝S△COA，则|m|•2＝，解得：m＝6或﹣6，故点P（0，6）或（0，﹣6）；（3）如图，∵A（6，0），∴A关于y轴的对称点A′（﹣6，0），当PA+PC最短时，P、A′、C在一条直线上，此时PA+PB＝A′C，设直线PC的解析式为y＝kx+b，把A′（﹣6，0），C（2，2）代入得，解得，∴直线PC的解析式为y＝x+．26．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1＝S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC＝CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD＝60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC＝AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE＝DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2＝60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1＝DF2，再求出∠CDF1＝∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；故答案为：DE∥AC；S1＝S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1＝S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF1＝，BF2＝BF1+F1F2＝+＝，故BF的长为或．27．建立模型：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．【分析】（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，则△AOB≌△BDC，DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，即可求解；（2）分三种情况考虑：如图2所示，当∠MDP＝90°时，MD＝PD，设D点坐标为（x，2x ﹣6），利用三角形全等得到x+6﹣（2x﹣6）＝8，得x＝4，易得D点坐标；如图3所示，当∠MPD＝90°时，MP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14﹣m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠MDP＝90°时，MD＝PD时，同理求出D的坐标．【解答】解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，则△AOB≌△BDC，DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当∠MDP＝90°时，MD＝PD，过点P作PE⊥OM于E，过点D作DH⊥PE于H，∴点E与点M重合，∴DF＝AB＝4设D点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得D点坐标（4，2）；如图3，当∠MPD＝90°时，MP＝PD，过点P作PE⊥OM于E，过点D作DH⊥PE于H，设点P的坐标为（8，m），易证，△MPE≌△PDH，∴PH＝ME＝6﹣m，DH＝PE＝8，∴D点坐标为（14﹣m，m+8），∴m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝，∴D点坐标（，）；如图4，当∠MDP＝90°时，MD＝PD时，同理得D点坐标（，），综上可知，满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．。

山东省济南市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）点M（﹣2019，2019）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知m＞n，则下列不等式中不正确的是（）A．5m＞5n B．m+7＞n+7C．﹣4m＜﹣4n D．m﹣6＜n﹣6 3．（4分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（）A．45°B．55°C．35°D．65°4．（4分）不等式6﹣3x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．（4分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠C＝∠A+∠B B．∠C＝∠A﹣∠BC．a：b：c＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：56．（4分）下列算式中，正确的是（）A．3﹣＝3B．＝C．D．＝47．（4分）某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间/小时5678人数10102010则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时B．6.5小时C．6.6小时D．7小时8．（4分）函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b ＞0的解集是（）A．x＞4B．x＜0C．x＜3D．x＞39．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD ＝4，则点D到AB的距离是（）A．2B．3C．4D．510．（4分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，则下列结论一定正确的是（）A．AD＝CD B．AD＝BD C．∠DBC＝∠BAC D．∠DBC＝∠ABD 11．（4分）已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是（）A．B．C．D．12．（4分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2018B2019的长为（）A．2017B．2018C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝．14．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣7，2m+1）在第三象限，则m的取值范围是．15．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，连接CE，若∠A＝34°，∠ACB＝76°，则∠BCE＝．16．（4分）省运会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适合的人选是．甲乙丙丁平均数9.29.09.09.2方差 2.0 1.8 1.5 1.317．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC＝6，则△AMN的周长为．18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是（只填序号）____________．三、解答题（共78分）19．（6分）解二元一次方程组．20．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．21．（6分）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE ＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．22．（8分）为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）被抽查学生阅读时间的中位数为小时，众数为小时，平均数为小时（2）已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？23．（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD＝BE；（2）已知CD＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AC+CD．25．（10分）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．26．（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）．如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，F是∠BAC角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点（D、E、A互不重合），在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．27．（12分）如图1，点A、B、C在坐标轴上，且A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣3）过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC上方，当△BCE的面积为6时，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，如图3，动点M在直线AD上，动点N在x轴上，连接ME、NE、MN，当△MNE周长最小时，求△MNE周长的最小值．28．（5分）如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连结QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝4，则EP＝．29．（5分）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）点M（﹣2019，2019）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据M点的坐标符号，即可得出答案．【解答】解：∵点M（﹣2019，2019），∴M点所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（4分）已知m＞n，则下列不等式中不正确的是（）A．5m＞5n B．m+7＞n+7C．﹣4m＜﹣4n D．m﹣6＜n﹣6【分析】根据不等式的性质解答．【解答】解：A、在不等式m＞n的两边同时乘以5，不等式仍成立，即5m＞5n，故本选项不符合题意；B、在不等式m＞n的两边同时加7，不等式仍成立，即m+7＞n+7，故本选项不符合题意；C、在不等式m＞n的两边同时乘以﹣4，不等号方向改变，即﹣4m＜﹣4n，故本选项不符合题意；D、在不等式m＞n的两边同时减去6，不等式仍成立，即m﹣6＞n﹣6，故本选项符合题意；故选：D．【点评】考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．（4分）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（）A．45°B．55°C．35°D．65°【分析】根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3．【解答】解：如图，∵∠1＝35°，∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝55°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．（4分）不等式6﹣3x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】依次移项，系数化为1，即可求得一元一次不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得：﹣3x＞﹣6，系数化为1得：x＜2，即不等式的解集为：x＜2，不等式的解集在数轴上表示如下：故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解一元一次不等式和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．5．（4分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠C＝∠A+∠B B．∠C＝∠A﹣∠BC．a：b：c＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可．【解答】解：A、∵∠C＝∠A+∠B＝＝90°，是直角三角形，故此选项不合题意；B、∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°×＝75°，不是直角三角形，故此选项符合题意，故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．（4分）下列算式中，正确的是（）A．3﹣＝3B．＝C．D．＝4【分析】根据二次根式的混合运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．3﹣＝2，此选项错误；B．+＝2+3＝5，此选项错误；C．，此选项正确；D．＝＝2，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．7．（4分）某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间/小时5678人数10102010则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时B．6.5小时C．6.6小时D．7小时【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可．【解答】解：（5×10+6×10+7×20+8×10）÷50＝（50+60+140+80）÷50＝330÷50＝6.6（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.6小时．故选：C．【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．8．（4分）函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b ＞0的解集是（）A．x＞4B．x＜0C．x＜3D．x＞3【分析】利用函数图象，写出直线y＝ax+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：关于x的不等式ax+b＞0的解集为x＜3．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD ＝4，则点D到AB的距离是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD．【解答】解：∵BC＝7，BD＝4，∴CD＝7﹣4＝3，由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，故选：B．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．10．（4分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，则下列结论一定正确的是（）A．AD＝CD B．AD＝BD C．∠DBC＝∠BAC D．∠DBC＝∠ABD 【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，∴BD＝BC，∴∠ACB＝∠BDC，∴∠BDC＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠DBC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．11．（4分）已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的周长公式即可写出y与x的函数关系式，结合x和y的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的周长为40，其中腰长为y，底边长为x，∴x+2y＝40，∴y＝20﹣x，∵20＜2y＜40，∴自变量x的取值范围是0＜x＜20，y的取值范围是10＜y＜20．故选：D．【点评】此题主要考查动点问题的函数图象、一次函数关系式，掌握等腰三角形的周长公式是解题的关键．12．（4分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2018B2019的长为（）A．2017B．2018C．D．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出B1B2＝，B2B3＝2，B3B4＝4，以此类推，B n B n+1的长为2n﹣1，进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2＝2，∴B1B2＝，∵B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，∴B2B3＝2，∵A4B4＝8B1A2＝8，∴B3B4＝4，以此类推，B n B n+1的长为2n﹣1，∴B2018B2019的长为22017，故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）已知点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，则a＝﹣5．【分析】把点P的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程可以求得a的值．【解答】解：∵点P（﹣2，a）在一次函数y＝3x+1的图象上，∴a＝3×（﹣2）+1＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．此题利用代入法求得未知数a的值．14．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣7，2m+1）在第三象限，则m的取值范围是m ＜．【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得2m+1＜0，求不等式的解即可．【解答】解：∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即2m+1＜0，解得m＜，故答案为：m＜，【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．15．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，连接CE，若∠A＝34°，∠ACB＝76°，则∠BCE＝42°．【分析】根据线段垂直平分线性质求出∠ACE＝∠A，即可得出∠BCE的度数．【解答】解：∵AC的垂直平分线DE，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠A＝34°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝76°﹣34°＝42°，故答案为：42°．【点评】此题考查线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．（4分）省运会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适合的人选是丁．甲乙丙丁平均数9.29.09.09.2方差 2.0 1.8 1.5 1.3【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，得到丁是最佳人选．【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，∴丁是最佳人选．故答案为：丁．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC＝6，则△AMN的周长为9．【分析】先根据角平分线的性质和平行线判断出OM＝BM、ON＝CN，也就得到三角形的周长就等于AB与AC的长度之和．【解答】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，又∵MN∥BC，∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，∴BM＝MO，NO＝CN，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝MA+AN+MO+ON＝AB+AC，又∵AB+AC+BC＝15，BC＝6，∴AB+AC＝9，∴△AMN的周长＝9，故答案为9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换．18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持∠EDF＝90°，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE＝DF；②四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上结论正确的是①③④（只填序号）．【分析】连接CD ．证明△ADE ≌△CDF ，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接CD ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠DCB ＝∠A ＝45°，CD ＝AD ＝DB ；在△ADE 和△CDF 中，，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴ED ＝DF ，故①正确；∴S △ADE ＝S △CDF ，∴S 四边形CEDF ＝S △ADC ＝S △ABC ＝定值，故②错误，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴CE +CF ＝CE +AE ＝AC ＝AB ，故③正确，∵AE ＝CF ，AC ＝BC ，∴EC ＝BF ，∴AE 2+BF 2＝CF 2+CE 2＝EF 2，∵EF 2＝2DE 2，∴AE 2+BF 2＝2ED 2，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形想的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共78分）19．（6分）解二元一次方程组．【分析】利用加减消元法求解可得．【解答】解：，①+②，得4x＝12，∴x＝3，把x＝3代入②，得3+2y＝3，解得y＝0，所以原方程组的解为．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种消元方法是解题的关键．20．（6分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤3，∴不等式组的解集是2＜x≤3，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．21．（6分）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE ＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】根据中点的定义可得到BD＝DC，再根据HL即可判定△BDE≌△CDF，从而可得到∠B＝∠C，根据等角对等边可得到AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵BD＝DC，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．22．（8分）为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）被抽查学生阅读时间的中位数为2小时，众数为2小时，平均数为 2.34小时（2）已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？【分析】（1）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数、中位数和平均数即可；（2）根据总人数×阅读时间不少于三小时的百分比可得结果．【解答】解：（1）12+20+10+5+3＝50，被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数＝2，众数为2，平均数＝＝2.34，故答案为：2，2，2.34；（2）1500×＝540，答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人．【点评】此题考查了众数，条形统计图，平均数、中位数及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．23．（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？【分析】（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y＝1000，20x+30y ＝26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论；（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得：，解得：．答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件；（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：20（1000﹣a）+30a≤28000，解得：a≤800，答：最多购买B型学习用品800件．【点评】本题考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程组的关键．24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD＝BE；（2）已知CD＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AC+CD．【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B＝45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE＝BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，再根据勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论；（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE＝AC，再由CD＝BE可得出结论．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BE．∵AD是△ABC的角平分线，∴CD＝DE，∴CD＝BE；（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，∴DE＝BE＝CD＝2，∴BD＝＝＝2，∴AC＝BC＝CD+BD＝2+2；（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE＝AC．∵由（1）知CD＝BE，∴AB＝AE+BE＝AC+CD．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．25．（10分）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A 的坐标；（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．【解答】解：（1）解方程组，得，所以点A坐标为（1，﹣3）；（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；当y2＝时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴△ABC的面积＝×6×3＝9；（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．26．（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出DE＝BD+CE；（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）．如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，F是∠BAC角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点（D、E、A互不重合），在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出∠ABD＝∠CAE，进而判断出△ADB≌△CEA，得出BD＝AE，AD＝CE，即可得出结论；（2）先利用等式的性质，判断出∠ABD＝∠CAE，进而判断出△ADB≌△CEA，得出BD ＝AE，AD＝CE，即可得出结论；（3）由（2）得，△BAD≌△ACE，得出BD＝AE，再判断出△FBD≌△FAE（SAS），得出∠BFD＝∠AFE，进而得出∠DFE＝60°，即可得出结论．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠BDA ＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∵∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出∠ABD＝∠CAE是解本题的关键．27．（12分）如图1，点A、B、C在坐标轴上，且A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣3）过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC上方，当△BCE的面积为6时，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，如图3，动点M在直线AD上，动点N在x轴上，连接ME、NE、MN，当△MNE周长最小时，求△MNE周长的最小值．【分析】（1）∠DAB＝45°，OA＝OD＝1，即点D的坐标为（0，1），将点A、D的坐标代入一次函数表达式，即可求解；＝×EF×OB＝×4×（m+）＝6，即可求解；（2）由S△BCE（3）作点E关于直线AD对称点E′；找到点E关于x轴的对称点E″，连接E′E″交AD于M点、交x轴于点N，则△MNE周长最小，即可求解．【解答】解：（1）∵∠DAB＝45°，∴OA＝OD＝1，即点D的坐标为（0，1），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，则直线AD的表达式为：y＝x+1，同理可得直线BC的表达式为：y＝x﹣3；（2）设直线x＝2与BC交于点F，点E坐标为（2，m），则点F坐标为（2，﹣），则S＝×EF×OB＝×4×（m+）＝6，解得：m＝，△BCE即点E的坐标为（2，）；（3）过点E点作EE′⊥AD，点E和E′关于直线AD对称，设直线x＝2与直线AD交于点H（2，3），连接E′H，找到点E关于x轴的对称点E″（2，﹣），连接E′E″交AD于M点、交x轴于点N，此时，△MNE周长最小，∵∠DAB＝45°，∴E′H＝EH＝3﹣＝，则点E′的坐标为（，3），则：△MNE周长的最小值＝E′E″＝＝．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，主要考查对称点的性质与用途，此类题目正确确定对称点的位置解题的关键．28．（5分）如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连结QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝4，则EP＝．【分析】连接EP，过点E作EM⊥BC，由题意可得△AQE≌△ABP，可得QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，可求∠EBF＝∠BEF＝30°，根据勾股定理可求BE＝2EM＝4，BM＝EM，EF＝BF＝2FM，EM＝FM，可求BF＝EF＝4，EM＝2，FM＝2，由QF＝11，EF＝4，可得BP＝EQ＝7，可求MP的长，根据勾股定理可求EP的长．【解答】解：如图：连接EP，过点E作EM⊥BC∵△AEB，△APQ是等边三角形∴AB＝AE＝BE＝4，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE∴△ABP≌△QAE∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°∴∠BEF＝∠EBF＝30°∴BF＝EF，∠EFM＝60°∵EM⊥BC∴∠FEM＝30°∴EF＝2FM＝BF，EM＝FM∵∠EBM＝30°，EM⊥BC∴BE＝2EM，BM＝EM∵EB＝4∴EM＝2，BM＝6∵BF+FM＝BM∴FM＝2，BF＝EF＝4∵QF＝EQ+EF∴EQ＝11﹣4＝7∴BP＝7∴MP＝BP﹣BM＝1在Rt△EMP中，EP＝＝故答案为【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．29．（5分）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为（，）．。

2019-2020学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.9的平方根是()A. ±3B. 3C. ±4.5D. 4.52.下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是()A. 7，24，25B. √3，√4，√5C. 1.5，2，2.5D. 15，8，173.在直角坐标系中，点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为()A. (−1,2)B. (2,−1)C. (−1,−2)D. (1,−2)4.若一次函数y=kx+2经过点(1,1)，则下列说法正确的是()A. y随x的增大而增大B. y随x的增大而减小C. 图象经过原点D. 图象不经过第二象限5.下列计算，正确的是()A. √8−√2=√6B. √8+√2=√10C. √8√2=4 D. √2⋅√18=126.如图，AB//CD，∠C=38°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是()A. 19°B. 38°C. 76°D. 105°7.下列命题是真命题的是()A. 内错角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 一个角的余角不等于它本身D. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直8.一组数据1，5，4，3，5，2，5的中位数和众数分别是()A. 4，3B. 3，5C. 5，5D. 4，59.若方程组{2x+y=1−3k ①x+2y=2 ②的解满足x+y=0，则k的值为()A. −1B. 1C. 0D. 不能确定10.如图，火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是()A. B.C. D.11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米12. 6.如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为()A. 9+25√34B. 9+25√32C. 18+25√3D. 18+25√32二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.在电影票上如果将“8排4号”记作(8,4)，那么“3排5号”记作______．14.为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩为8.9环，方差分别是s甲2=0.8，s乙2=13，从稳定性的角度来看，的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)15. 如图，已知直线y =ax +b 和直线y =kx 交于点P ，则关于x ，y的二元一次方程组{y =kx y =ax +b的解是______．16. 一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm ，10cm ，20cm ，点B 离点C 的距离是5cm ，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到点B ，蚂蚁爬行的最短路程是________cm ．17. 如图，直角三角形ABC 中∠ABC =90°，AB =8，BC =6，CE 平分∠ACB ，则△ADE 的周长是____．18. 如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y =−√33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y =−√33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0,1)，则点O 12的横坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）19. 计算： (1)(√3+1)(√3−1)+√2×√8(2)(√48+14√6)÷√2720. 解二元一次方程组：{2x +y =2,8x +3y =9.21. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，DE =DF ，求证：∠B =∠C ．22.某校为举办“大手拉小手，义卖献爱心”活动购买了黑、白两种颜色的文化衫共140件，将手绘设计后的文化衫出售，所获利润全部捐给山区困难的孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利1860元，求该校购买黑、白两种文化衫各多少件．23.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,−3)关于x轴对称的点为B，关于y轴对称的点为C，求△ABC的面积．24.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．(1)当x=_____分钟时甲、乙两人相遇，乙的速度为______米/分钟，点C的坐标为_______；(2)求出甲、乙两人相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当乙到达距学校800米处时，求甲、乙两人之间的距离．25.4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人漱养浩然正气．”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．(1)这次一共调查的学生人数是______人(2)所调查学生读书本数的众数是______本，中位数是______本．(3)若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？26.(一)发现探究在△ABC中，AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点(不与端点B，C重合)，则线段BQ和线段PC的数量关系是______；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明)；(二)拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE=8，∠EDF=60°，∠DEF=75°，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ.请直接写出线段EQ长度的最小值．27.模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．(1)求证：△BEC≌△CDA；(2)模型应用：x−4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，①已知直线l1：y=−43求l2的函数解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8,−6)，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第四象限，且是直线y=−2x+6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰Rt△，请求出点D的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：9的平方根是：±√9=±3．故选：A．根据平方根的性质和求法，求出9的平方根是多少即可．此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.答案：B解析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．解：A、∵72+242=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B、∵(√3)2+(√4)2≠(√5)2，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；C、∵1.52+22=2.52，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D、∵82+152=172，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；故选B．3.答案：D解析：解：点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为：(1,−2)．故选：D．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，进而求出即可．此题主要考查了关于x轴对称的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．4.答案：B解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．根据一次函数图象上点的坐标特征，将点(1,1)代入已知一次函数解析式即可求得k的值，根据k的符号确定该函数的单调性．解：∵一次函数y=kx+2经过点(1,1)，∴1=k+2，解得，k=−1；∴一次函数的解析式为y=−x+2，其图象如图所示：则该函数y随x的增大而减小，且该函数图象不经过原点和第三象限．故选：B．5.答案：D解析：解：A、原式=2√2−√2=√2，所以A选项错误；B、原式=2√2+√2=3√2，所以B选项错误；C、原式=√82=2，所以C选项错误；D、原式=√2×18=12，所以D选项正确．故选：D．利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．本题考查了二次根式的加减和二次根式的乘除．6.答案：C解析：此题主要考查平行线的性质和角平分线的定义.先根据两直线平行，内错角相等，求出∠CBA，然后根据角平分线性质求解即可．解：∵AB//CD，∠C=38°，∴∠ABC=∠C=38°，又∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=76°，故选C．7.答案：B解析：解：A、两直线平行，内错角相等，是假命题；B、同位角相等，两直线平行，是真命题；C、一个角的余角可以等于它本身，如90°角，是假命题；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；故选：B．根据平行线的性质、互余及垂直相关知识判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.答案：D解析：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，5，5，中位数为：4，众数为：5．故选：D．本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的概念求解．9.答案：B解析：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y=0求出k的值即可．解：方程组两方程相加得：3(x+y)=3−3k，即x+y=1−k，由x+y=0，得到1−k=0，解得：k=1.故选B.10.答案：A解析：本题考查了动点问题的函数图象有关知识，先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，因此反映到图象上应选A．故选A．11.答案：C解析：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．12.答案：A解析：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE= 60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F.AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE= 90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F.如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=√32AP=32√3．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=(4+32√3)2+(32)2=25+12√3．则△ABC的面积是√34⋅AB2=√34⋅(25+12)=9+25√34．故选：A.点睛：13.答案：(3,5)解析：解：∵“8排4号”记作(8,4)，∴3排5号记作(3,5)．故答案为：(3,5)．由于将“8排4号”记作(8,4)，根据这个规定即可确定3排5表示的点坐标．此题主要考查了根据坐标确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．14.答案：甲解析：本题考查方差的意义，方差越小，越稳定；方差越大，波动越大。

2019-2020学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）9的平方根是( )A ．3B ．3±C ．3-D ．3± 2．（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )A ．2、3、4B ．3、4、5C ．6、8、10D ．5、12、133．（4分）点(3,1)P -关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(3,1)-B ．(3,1)--C ．(1,3)-D ．(3,1)4．（4分）已知直线2y x =经过点(1,)a ，则a 的值为( )A ．2a =B ．1a =-C ．2a =-D ．1a =5．（4分）下列计算中正确的是( )A ．1823÷=B ．325+=C ．2(3)3-=±D ．2222-=6．（4分）如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=︒，则CBE ∠的度数为( )A ．20︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒7．（4分）下列命题是假命题的是( )A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．直角三角形的两个锐角互余C ．同旁内角互补D ．一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形8．（4分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是( )A ．9.7m ，9.8mB ．9.7m ，9.7mC ．9.8m ，9.9mD ．9.8m ，9.8m9．（4分）若方程组34526x y k x y k -=-⎧⎨+=⎩的解中2019x y +=，则k 等于( ) A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．202110．（4分）如图，3081D 次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米12．（4分）如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，5DA =，4DB =，3DC =，将线段AD 以点A 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段AD '，下列结论：①点D 与点D '的距离为5；②150ADC∠=︒；③ACD'∆可以由ABD∆绕点A逆时针旋转60︒得到；④点D到CD'的距离为3；⑤25362ADCDS'=+四边形，其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）某会场座位号将“7排4号”记作(7,4)，那么“3排5号”记作．14．（4分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加若干次测试成绩中随机抽取8次，计算得两人的平均成绩都是85分，方差分别是235.5S=甲，241S=乙，从操作技能稳定的角度考虑，选派参加比赛．15．（4分）如图，已知函数y ax b=+和y kx=的图象交于点P，则二元一次方程组y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的解是．16．（4分）如图，正四棱柱的底面边长为8cm，侧棱长为12cm，一只蚂蚁欲从点A出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，那么它所爬行的最短路径是cm．17．（4分）如图，ABC∆中，90C∠=︒，CA CB=，AD平分CAB∠．交BC于D，DE AB⊥于E，且6AB=，DEB∆的周长为．18．（4分）如图，AB y ⊥轴，垂足为B ，30BAO ∠=︒，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到△11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线33y x =-上，再将△11AB O 绕点1B 逆时针旋转到△112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线33y x =-上，依次进行下去⋯若点B 的坐标是(0,1)，则点2020O 的纵坐标为 ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）计算：（1）6332⨯+（2）2126348-+20．（6分）解方程组：3549x y x y +=⎧⎨-=⎩ 21．（6分）如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．22．（8分）列方程组解应用题某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花2400元购买了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元)零售价（元)黑色文化衫2545白色文化衫2035（1）学校购进黑、白文化衫各几件？（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知(0,1)B、(4,3)C．A、(2,0)（1）在平面直角坐标系中画出ABC∆的面积是；∆，则ABC（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若ABP∆的面积为4，求点P的坐标．24．（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米)与小张出发后的时间x（分)之间的函数图象如图所示．（1）求小张骑自行车的速度；（2）求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；（3）求小张与小李相遇时x的值．25．（10分）期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．（1）这次一共调查的学生人数是人；（2）所调查学生读书本数的众数是本，中位数是本．（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？26．（12分）小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一)猜测探究在ABC∆中，AB AC=，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠相等的角度，得到线段AN，连接NB．BAC（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NAB∠的数量关系是，∠与MACNB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是CBE∠内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二)拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11190A B C ∠=︒，130C ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旅转60︒，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．27．（12分）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点D ，过点B 作BE ED ⊥于点E ，求证：BEC CDA ∆≅∆；【模型应用】（2）如图2，已知直线1:23l y x =+与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45︒至直线2l ；求直线2l 的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点(3,4)B -，过点B 作BA x ⊥轴于点A 、BC y ⊥轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线21y x =-+上的动点且在第四象限内．试探究CPD ∆能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．2019-2020学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）9的平方根是( )A ．3B ．3±C ．3-D ．【解答】解：9的平方根是：3=±．故选：B ．2．（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )A ．2、3、4B ．3、4、5C ．6、8、10D ．5、12、13【解答】解：A 、222234+≠，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；C 、2226810+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；D 、22251213+=，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选：A ．3．（4分）点(3,1)P -关于x 轴对称的点的坐标是( )A ．(3,1)-B ．(3,1)--C ．(1,3)-D ．(3,1)【解答】解：点(3,1)P -关于x 轴对称的点的坐标是：(3,1)．故选：D ．4．（4分）已知直线2y x =经过点(1,)a ，则a 的值为( )A ．2a =B ．1a =-C ．2a =-D ．1a =【解答】解：Q 直线2y x =经过点(1,)a ，212a ∴=⨯=，故选：A ．5．（4分）下列计算中正确的是( )A 3B =C 3=±D ．2【解答】解：A 、原式3==，所以A 选项正确；B 不能合并，所以B 选项错误；C 、原式|3|3=-=，所以C 选项错误；D 、原式2=，所以D 选项错误．故选：A ．6．（4分）如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=︒，则CBE ∠的度数为( )A ．20︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒【解答】解：//DE BC Q ，170ABC ∴∠=∠=︒，BE Q 平分ABC ∠，1352CBE ABC ∴∠=∠=︒， 故选：B ．7．（4分）下列命题是假命题的是( )A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．直角三角形的两个锐角互余C ．同旁内角互补D ．一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形【解答】解：A 、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；B 、直角三角形的两个锐角互余，正确故不符合题意；C 、两直线平行，同旁内角互补，错误，故符合题意；D 、一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；故选：C ．8．（4分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是( )A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m 【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，9.7m出现了2次，最多，所以众数为9.7m，故选：B．9．（4分）若方程组34526x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩的解中2019x y+=，则k等于()A．2018B．2019C．2020D．2021【解答】解：34526x y kx y k-=-⎧⎨+=⎩①②，①+②得，5555x y k+=-，即：1x y k+=-，2019x y+=Q，12019k∴-=2020k∴=，故选：C．10．（4分）如图，3081D次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是()A．B．C ．D ．【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y 逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y 不变，当火车开始出来时y 逐渐变小，故反映到图象上应选A ． 故选：A ．11．（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米【解答】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒Q ，0.7BC =米， 2.4AC =米， 2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒Q ，2A D '=米，222BD A D A B +'='， 222 6.25BD ∴+=， 2 2.25BD ∴=， 0BD >Q ， 1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米．故选：C ．12．（4分）如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，5DA =，4DB =，3DC =，将线段AD 以点A 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段AD '，下列结论：①点D 与点D '的距离为5；②150ADC∠=︒；③ACD'∆可以由ABD∆绕点A逆时针旋转60︒得到；④点D到CD'的距离为3；⑤2536ADCDS'=+四边形，其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：连结DD'，如图，Q线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段AD'，AD AD∴='，60DAD∠'=︒，ADD∴∆'为等边三角形，5DD∴'=，所以①正确；ABC∆Q为等边三角形，AB AC∴=，60BAC∠=︒，∴把ABD∆逆时针旋转60︒后，AB与AC重合，AD与AD'重合，ACD∴∆'可以由ABD∆绕点A逆时针旋转60︒得到，所以③正确；4D C DB∴'==，3DC=Q，在△DD C'中，222345+=Q，222DC D C DD∴+'='，∴△DD C'为直角三角形，90DCD∴∠'=︒，ADD∆'Q为等边三角形，60ADD∴∠'=︒，150ADC∴∠≠︒，所以②错误；90DCD∠'=︒Q，DC CD∴⊥'，∴点D到CD'的距离为3，所以④正确；ADD D DC S S ∆''+V Q23153442=⨯+⨯⨯ 25364=+，所以⑤错误． 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）某会场座位号将“7排4号”记作(7,4)，那么“3排5号”记作 (3,5) ． 【解答】解：Q “7排4号”记作(7,4)， 3∴排5号记作(3,5)．故答案为：(3,5)．14．（4分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加若干次测试成绩中随机抽取8次，计算得两人的平均成绩都是85分，方差分别是235.5S =甲，241S =乙，从操作技能稳定的角度考虑，选派 甲 参加比赛．【解答】解：235.5S =Q 甲，241S =乙，乙的方差为大于甲的方差， ∴选甲参加合适．故答案为：甲．15．（4分）如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是 42x y =-⎧⎨=-⎩．【解答】解：Q 函数y ax b =+和y kx =的图象交于点(4,2)P --，∴二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是42x y =-⎧⎨=-⎩，故答案为：42x y =-⎧⎨=-⎩．16．（4分）如图，正四棱柱的底面边长为8cm ，侧棱长为12cm ，一只蚂蚁欲从点A 出发，沿棱柱表面到点B 处吃食物，那么它所爬行的最短路径是 20 cm ．【解答】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：如图1中，2222820429AB AC BC =+=+， 如图2中，2222161220AB AD BD =++=， 20429<Q∴爬行的最短路径是20cm ．故答案为20．17．（4分）如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，AD 平分CAB ∠．交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6AB =，DEB ∆的周长为 6 ．【解答】解：ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，6AB = 根据勾股定理得222CB AB =，32CB ∴=，AD Q 平分CAB ∠CAD EAD ∴∠=∠DE AB ⊥Q90DEA C ∴∠=︒=∠()CAD EAD AAS ∴∆≅∆ 32AC AE ∴==，DE CD = 632EB AB AE ∴=-=-故DEB ∆的周长为：632326BE DE DB BE CD DB BE CB ++=++=+=-+=． 18．（4分）如图，AB y ⊥轴，垂足为B ，30BAO ∠=︒，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到△11AB O 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线3y x =-上，再将△11AB O 绕点1B 逆时针旋转到△112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线3y x =-上，依次进行下去⋯若点B 的坐标是(0,1)，则点2020O 的纵坐标为 15155053+ ．【解答】解：在Rt AOB ∆中，1OB =，30BAO ∠=︒， 3AB ∴2OA =，由旋转得：11221OB O B O B ===⋯⋯=，1212OA O A O A ===⋯⋯=，1122AB A B A B ===⋯⋯=，2123OO ∴=++=+，2020220201010(32OO OO ∴==⨯，2020O ∴纵坐标为2020111010(3151522OO =⨯⨯=+，故答案为：1515+三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算：（1（2）【解答】解：（1）原式==（2）原式==20．（6分）解方程组：3549x y x y +=⎧⎨-=⎩【解答】解：3549x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：714x =， 解得：2x =，把2x =代入①得：1y =-， 则方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩．21．（6分）如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．【解答】证明：D Q 为BC 的中点， BD CD ∴=，DE AB ⊥Q ，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，在Rt BED ∆和Rt CFD ∆中， BD CDBE CF =⎧⎨=⎩， Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， B C ∴∠=∠， AB AC ∴=，ABC ∴∆是等腰三角形．22．（8分）列方程组解应用题某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花2400元购买了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元) 零售价（元)黑色文化衫 25 45 白色文化衫2035（1）学校购进黑、白文化衫各几件？（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润． 【解答】解：（1）设学校购进黑色文化衫x 件，白色文化衫y 件， 依题意，得：10025202400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：8020x y =⎧⎨=⎩．答：学校购进黑色文化衫80件，白色文化衫20件． （2）(4525)80(3520)201900-⨯+-⨯=（元)． 答：该校这次义卖活动所获利润为1900元．23．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知(0,1)A 、(2,0)B 、(4,3)C ． （1）在平面直角坐标系中画出ABC ∆，则ABC ∆的面积是 4 ； （2）若点D 与点C 关于y 轴对称，则点D 的坐标为 ； （3）已知P 为x 轴上一点，若ABP ∆的面积为4，求点P 的坐标．【解答】解：（1）如图所示：ABC ∆的面积是：111341224234222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；故答案为：4；（2）点D 与点C 关于y 轴对称，则点D 的坐标为：(4,3)-； 故答案为：(4,3)-；（3）P Q 为x 轴上一点，ABP ∆的面积为4， 8BP ∴=，∴点P 的横坐标为：2810+=或286-=-，故P 点坐标为：(10,0)或(6,0)-．24．（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y （米)与小张出发后的时间x （分)之间的函数图象如图所示． （1）求小张骑自行车的速度；（2）求小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式； （3）求小张与小李相遇时x 的值．【解答】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分）， 答：小张骑自行车的速度是300米/分； （2）由小张的速度可知：(10,0)B ， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把(6,1200)A 和(10,0)B 代入得：10061200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3003000k b =-⎧⎨=⎩，∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间：24003800=，(6,0)C Q ，(9,2400)D ，同理得：CD 的解析式为：8004800y x =-， 则80048003003000x x -=-+， 7811x =， 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．25．（10分）期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图． （1）这次一共调查的学生人数是 20 人；（2）所调查学生读书本数的众数是 本，中位数是 本．（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？【解答】解：（1）1134622120+++++++=， 故答案为：20； （2）众数是4 中位数是4，； 故答案为：4；4；（3）每个人读书本数的平均数是：(12133465462728)x =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+4.5=∴总数是：800 4.53600⨯=答：估计该校学生这学期读书总数约3600本．26．（12分）小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一)猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 NAB MAC ∠=∠ ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二)拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11190A B C ∠=︒，130C ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旅转60︒，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．【解答】解：（1）由旋转知，AM AN =，BAC NAM ∠=∠，BAC BAM NAM BAM ∴∠-∠=∠-∠，即：MAC NAB ∠=∠AB AC =Q ，()CAM BAN SAS ∴∆≅∆，MC NB ∴=，故答案为NAB MAC ∠=∠，MC NB =；（2）（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，AM AN =，BAC NAM ∠=∠， BAC BAM NAM BAM ∴∠-∠=∠-∠，即：MAC NAB ∠=∠，AB AC =Q ，()CAM BAN SAS ∴∆≅∆，MC NB ∴=；（3）如图3，取11A C 的中点O ，则111112C O AO AC ==， 在Rt △111A B C 中，130C ∠=︒，111112A B AC ∴=，11119060B AC C ∠=︒-∠=︒， 11114C O AO A B ∴===， 由旋转知，11A P AQ =，160QA P ∠=︒， 1111B AC QA P ∴∠=∠，1111PAC B AQ ∴∠=∠， ∴△1PAO ≅△11()QA B SAS ， 1OP B Q ∴=，要线段1B Q 长度的最小，则线段OP 长度最小，而点O 是定点，则11OP B C ⊥时，OP 最小，在1Rt OPC ∆中，130C ∠=︒，14OC =，1122OP OC ∴==， 即：线段1B Q 长度的最小值为2．27．（12分）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点D ，过点B 作BE ED ⊥于点E ，求证：BEC CDA ∆≅∆；【模型应用】（2）如图2，已知直线1:23l y x =+与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45︒至直线2l ；求直线2l 的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点(3,4)B -，过点B 作BA x ⊥轴于点A 、BC y ⊥轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线21y x =-+上的动点且在第四象限内．试探究CPD ∆能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1所示：AD ED ⊥Q ，BE ED ⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，又180ACD ACB BEC ∠+∠+∠=︒Q ，90ACB ∠=︒， 90ACD BEC ∴∠+∠=︒，又90ACD DAC ∠+∠=︒Q ，DAC ECB ∴∠=∠，在CDA ∆和BEC ∆中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDA BEC AAS ∴∆≅∆；（2）过点B 作BC AB ⊥交AC 于点C ，CD y ⊥轴交y 轴 于点D ，如图2所示：CD y ⊥Q 轴，x 轴y ⊥轴，90CDB BOA ∴∠=∠=︒，又BC AB ⊥Q ，90ABC ∴∠=︒，又180ABO ABC CBD ∠+∠+∠=︒Q ， 90ABO CBD ∴∠+∠=︒，又90BAO ABO ∠+∠=︒Q ，BAO CBD ∴∠=∠，又45BAC ∠=︒Q ，45ACB ∴∠=︒，AB CB ∴=，在ABO ∆和BCD ∠中，AOB BDC BAC CBD AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABO BCD AAS ∴∆≅∠，AO BD ∴=，BO CD =，又Q 直线1:23l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A 、B 两点的坐标分别为3(2-，0)，(0,3)， 32AO ∴=，3BO =， 32BD ∴=，3CD =， ∴点C 的坐标为9(3,)2-， 设2l 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，点A 、C 两点在直线2l 上，依题意得：302932k b k b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得：392k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线2l 的函数表达式为932y x =--； （3）能成为等腰直角三角形，依题意得， ①若点P 为直角时，如图3甲所示：设点P 的坐标为(3,)m ，则PB 的长为4m +， 90CPD ∠=︒Q ，CP PD =，180CPM CDP PDH ∠+∠+∠=︒， 90CPM PDH ∴∠+∠=︒，又90CPM DPM ∠+∠=︒Q ，PCM PDH ∴∠=∠，在MCP ∆和HPD ∆中，PCM PDH CMP PHM PC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MCP HPD AAS ∴∆≅∆，CM PH ∴=，PM PD =，∴点D 的坐标为(7,3)m m +-+， 又Q 点D 在直线21y x =-+上，2(7)13m m ∴-++=-+， 解得：103m =-， 即点D 的坐标为11(3，19)3-； ②若点C 为直角时，如图3乙所示：设点P 的坐标为(3,)n ，则PB 的长为4n +， CA CD =，同理可证明()PCM CDH AAS ∆≅∆， PM CH ∴=，MC HD =， ∴点D 的坐标为(4,7)n +-， 又Q 点D 在直线21y x =-+上， 2(4)17n ∴-++=-， 解得：0n =， ∴点P 与点A 重合，点M 与点O 重合， 即点D 的坐标为(4,7)-； ③若点D 为直角时，如图3丙所示：设点P 的坐标为(3,)k ，则PB 的长为4k +， CD PD =，同理可证明()CDM PDQ AAS ∆≅∆， MD PQ ∴=，MC DQ =， ∴点D 的坐标为7(2k +，7)2k -， 又Q 点D 在直线21y x =-+上， 77222k k +-∴-⨯=-， 解得：53k =-， ∴点P 与点A 重合，点M 与点O 重合，即点D 的坐标为8(3，13)3-； 综合所述，点D 的坐标为11(3，19)3-或(4,7)-或8(3，13)3-．。

山东省济南市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）下列实数中的无理数是（）A．B．C．D．2．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．1，1，C．8，12，13D．3．（4分）289的平方根是±17的数学表达式是（）A．＝17B．＝±17C．±＝±17D．±＝174．（4分）下列命题中的假命题是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．平行于同一直线的两条直线平行C．直线y＝2x﹣1与直线y＝2x+3一定互相平行D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等5．（4分）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（）A．2或﹣2B．﹣2C．2D．非上述答案6．（4分）对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0），下列说法不正确的是（）A．该函数是正比例函数B．该函数图象过点（，k）C．该函数图象经过二、四象限D．y随着x的增大而增大7．（4分）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n（）A．∠2＝20°B．∠2＝30°C．∠2＝45°D．∠2＝50°8．（4分）小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（）A．4和6B．6和4C．2和8D．8和﹣29．（4分）某超市的某种商品一周内每天的进价与售价信息和实际每天的销售量情况如图表所示，则下列推断不合理的是（）进价与售价折线图（单位：元/斤）实际销售量表（单位：斤）日期周一周二周三周四周五周六周日销售量30403530506050 A．该商品周一的利润最小B．该商品周日的利润最大C．由一周中的该商品每天售价组成的这组数据的众数是4（元/斤）D．由一周中的该商品每天进价组成的这组数据的中位数是3（元/斤）10．（4分）如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（）A．B．C．D．11．（4分）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离s（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．①③④12．（4分）如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，共24分）13．（4分）计算＝．14．（4分）如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝153°，则∠B的度数为．15．（4分）一组数2、a、4、6、8的平均数是5，这组数的中位数是．16．（4分）定义：如图，点P、Q把线段AB分割成线段AP、PQ和BQ，若以AP、PQ、BQ为边的三角形是一个直角三角形，则称点P、Q是线段AB的勾股分割点．已知点P、Q是线段AB的勾股分割点，如果AP＝8，PQ＝12（PQ＞BQ），那么BQ＝．17．（4分）现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是．18．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4），D（5，0），点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P 的运动时间为t秒．则当t＝秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？三．解答题（共78分）19．（6分）（1）计算：﹣5（2）计算：620．（6分）已知点A（m+2，3）和点B（m﹣1，2m﹣4），且AB∥x轴．（1）求m的值；（2）求AB的长．21．（6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．（8分）阅读理解：已知两直线，L1：y＝k1x+b1，L2：y＝k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2＝﹣1，根据以上结论解答下列各题：（1）已知直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣1垂直，求k的值．（2）若一条直线经过A（2，3），且与y＝x+3垂直，求这条直线的函数关系式．23．（8分）如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．（1）求∠α和∠β的度数．（2）求∠C的度数．24．（10分）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校85B校85100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．25．（10分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲种节能灯3040乙种节能灯3550（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？26．（12分）如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ECF的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．27．（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A 关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．（1）求点A，B的坐标．（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标．（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．△DPQ山东省济南市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．【解答】解：A、＝2，不是无理数，故此选项错误；B、＝2，是无理数，故此选项正确；C、，不是无理数，故此选项错误；D、＝3，不是无理数，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+122≠132，故不是直角三角形，故此选项符合题意；D、（）2+（）2＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．3．【解答】解：289的平方根是±17的数学表达式是±＝±17，故选：C．4．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确．B、平行于同一直线的两条直线平行，正确；C、直线y＝2x﹣1与直线y＝2x+3一定互相平行，正确；D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，错误；应该是如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；故选：D．5．【解答】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，∴当2x﹣4＝0时，x＝2，当x+2＝0时，x＝﹣2，∴x的值为±2，故选：A．6．【解答】解：对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0）的图象，∵k2＞0，∴直线y＝k2x经过第一、三象限，y随x的增大而增大，∵当x＝时，y＝k，∴直线y＝k2x经过点（，k）．故选：C．7．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故选：D．8．【解答】解：∵x＝5是方程组的解，∴2×5﹣y＝12，∴y＝﹣2，∴2x+y＝2×5﹣2＝8，∴●是8，★是﹣2．故选：D．9．【解答】解：A．该商品周一的利润45元，最小，正确；B．该商品周日的利润85元，最大，正确；C．由一周中的该商品每天售价组成的这组数据的众数是4（元/斤），正确；D．一周中的该商品每天进价组成的这组数据的中位数是（2.8元/斤），错误；故选：D．10．【解答】解：直线l1经过（2，3）、（0，﹣1），易知其函数解析式为y＝2x﹣1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y＝x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．故选：C．11．【解答】解：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②错误；∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4＝560，x＝20∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60＝240km，故④错误，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60＝60km，故③正确．故选：B．12．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．二、填空题（每题4分，共24分）13．【解答】解：＝＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵∠1+∠EDC＝180°，∠1＝153°，∴∠EDC＝27°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠C＝27°，∵∠A＝90°，∴∠B＝90°﹣∠C＝63°，故答案为63°．15．【解答】解：由题意得，（2+a+4+6+8）＝5，解得：x＝5，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，4，5，6，8，则中位数为5；故答案为：5．16．【解答】解：依题意得：AP2+BQ2＝PQ2，即82+BQ2＝122，解得BQ＝4（舍去负值）．故答案是：4．17．【解答】解：设小矩形的宽是x，长是y，，解得：．小矩形的面积为：6×10＝60．故答案为：60．18．【解答】解：当OD＝OP＝5时，在直角△OPC中，CP＝＝3，则t＝4+3＝7；当PD＝OD＝5时，作DE⊥BC于点E，同理，在直角△PED中，得到PE＝3，则当P在E的左边时，CP＝5﹣3＝2，则t＝4+2＝6；当P在E的右边时CP＝5+3＝8，则t＝4+8＝12；或AP＝3，则t＝4+9+4﹣3＝14；当OP＝PD，CP＝2.5，t＝4+2.5＝6.5（舍去）总之，t＝7或6或12或14．故答案为：6或7或12或14．三．解答题（共78分）19．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣5＝2﹣2﹣5＝﹣2﹣3；（2）原式＝2﹣+9﹣＝9．20．【解答】解：（1）∵A（m+2，3）和点B（m﹣1，2m﹣4），且AB∥x轴，∴2m﹣4＝3，∴m＝．（2）由（1）得：m＝，∴m+2＝，m﹣1＝，2m﹣4＝3，∴A（，3），B（，3），∵﹣＝3，∴AB的长为3．21．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵AB•CD＝BC•AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．22．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣1垂直，∴2•k＝﹣1，∴k＝（2）∵过点A的直线与y＝x+3垂直，∴可设过点A的直线解析式为y＝﹣3x+b将点A（2，3）代入，得：﹣6+b＝3，解得：b＝9，所以过点A的直线解析式为y＝﹣3x+923．【解答】解：（1）解方程组，得．（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，∴AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°．24．【解答】解：（1）A校平均数为：（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．25．【解答】解：（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意，得，解这个方程组，得，答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只．（2）商场获利＝40×（40﹣30）+60×（50﹣35）＝1300（元），答：商场获利1300元．26．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP＝2∠ECP，∠DCP＝2∠PCF，∴∠ECF＝∠ACD＝70°；（2）不变．数量关系为：∠APC＝2∠AFC．∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∠APC＝∠DCP，∵CF平分∠DCP，∴∠DCP＝2∠DCF，∴∠APC＝2∠AFC；（3）∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，∴∠ACE＝∠DCF，∴∠PCD＝∠ACD＝70°，∴∠APC＝∠PCD＝70°．27．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0）；（2）∵点C是点A关于y轴对称的点，∴C（4，0），∵CD⊥x轴，∴x＝4时，y＝6，∴D（4，6），∴AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，AC'＝AC＝8，∴C'D＝AD﹣AC'＝2，设PC＝a，∴PC'＝a，DP＝6﹣a，在Rt△DC'P中，a2+4＝（6﹣a）2，∴a＝，∴P（4，）；（3）设P（4，m），∴CP＝m，DP＝|m﹣6|，∵S△CPQ＝2S△DPQ，∴CP＝2PD，∴2|m﹣6|＝m，∴m＝4或m＝12，∴P（4，4）或P（4，12），∵直线AB的解析式为y＝x+3①，当P（4，4）时，直线OP的解析式为y＝x②，联立①②解得，x＝12，y＝12，∴Q（12，12），当P（4，12）时，直线OP解析式为y＝3x③，联立①③解得，x＝，y＝4，∴Q（，4），即：满足条件的点Q（12，12）或（，4）．。