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数学极限发展史
数学极限的概念最早可以追溯到古希腊时期。
在公元前5世纪的希腊，柏拉图学派和亚里士多德学派的数学家们就开始研究运动和变化的概念，其中就包括了极限的思想。
然而，直到17世纪的数学家纳皮尔和菲利波特发展了微积分的基本原理后，对极限的研究才得以深入发展。
他们提出了极限的定义和计算方法，并用它来解决各种数学问题。
随着微积分的发展，极限的研究日益细化和扩展。
19世纪的数学家卡尔·魏尔斯特拉斯和奥斯卡·韦伊尔斯特拉斯等人对连续性和收敛性的概念进行了深入的研究和推广，并建立了现代极限理论的基础。
20世纪，随着实分析和复分析等数学分支的发展，对极限的研究进一步深化。
数学家们提出了更加抽象和一般化的极限理论，如测度论和泛函分析等。
目前，极限理论已经成为数学的重要组成部分，被广泛应用于各个数学分支和其他学科。
总结
极限理论是分析数学中的一个重要工具，而极限思想就是极限
理论的提炼和表现形式。
它是联系微分学、积分学的桥梁，也是处
理初等数学问题中所不能解决的理论和思路的出发点，而且极限思
想的学习已经纳入为高中教学知识点的重点和难点，从这一方面也
能看出极限思想的重要性。
从现代素质教学的标准要求下，对于新
知识的掌握的衡量标准和价值评判水平的角度，已经不再是只对结
果和结论的获得，而是在于过程的探索和理论渊源的理解，以及知
识掌握的广度，应用的灵活度，所以对于极限思想的掌握我们应该
知其然，知其所以然，去探究它的起源、发展过程。
真正的理解它
的内涵，也是为以后解决实际问题提供清新的思路和迁移的能力。
本文通过深入理解前人研究的思想方法的来历，自己加以整理、分类总结，并结合对高中数学对极限思想的学习难度，建立了以故
事串通的方式，合理地联想到理论相关的知识，希望在解题中运用
极限思想方法，顺利解答疑难问题。
同时再结合已有的思想方法，
投入分析思想方法的来历、应用的规律，又可以再次与解题的过程
相结合并在这一过程中进行深化，使之理论、实践、应用升华能融
为一体，这就是本文的出发点和落脚点。
概述数学文化极限概念庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。
一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。
再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。
数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。
毫无疑问极限也是社会实践的产物。
一、中国古代极限思想“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。
也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。
按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。
也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短，长度接近于零，但又永远不会等于零。
墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。
意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。
名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。
显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。
现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。
公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。
所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。
毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：目录内容摘要：................................................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
极限的起源概念极限的概念起源于数学领域，它指的是在无限逼近过程中的临界值或极点。
极限的理念最初由古希腊数学家发展而来，如阿基米德、欧几里得和阿波罗尼奥斯等人。
其中，阿基米德对于正实数的数学无穷小概念的运用影响了后来对于极限的发展。
在欧几里得的《几何原本》中，也可见到对无限小数列和连续性的描述。
然而，真正对极限概念进行系统探索和发展的是17世纪的数学家斯帕诺（Johann Spahn），他从无穷数列的观点出发，研究了数列的逼近和趋势，提出了极限这一概念，并进一步发展了在解析几何和微积分中的应用。
随着数学发展的进程，极限的概念逐渐被引入到函数的研究中。
17世纪末至18世纪初，牛顿和莱布尼茨分别独立地发展了微积分学，并将极限作为微积分的基本概念之一。
微积分学的推广与应用为解析几何学和物理学的发展奠定了坚实基础。
为了系统地处理极限问题，数学家们提出了一系列与极限相关的数学方法和工具，如极限运算法则、级数展开和泰勒级数等。
这些方法和工具使得极限的概念得到更加深入和广泛的应用，为解决各种数学和科学问题提供了有力工具。
从数学的角度来看，极限是数学的一项基本概念，它运用于数学的各个分支，如数列极限、函数极限和无穷级数等。
极限的概念不仅在纯粹数学中具有重要意义，也在应用数学和其他学科中发挥着重要作用。
除了数学，极限的思想也渗透到其他学科领域。
在物理学中，极限概念被广泛应用于描述物理量的变化和趋势，如速度的极限、能量的极限等。
在工程学中，极限分析方法被用于结构和材料的设计与评估。
在经济学和社会科学领域，极限概念用于描述市场的饱和度和消费者的需求弹性等。
总结起来，极限的概念起源于数学，但其理念和方法已经渗透到许多学科领域。
它不仅是数学研究的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过对极限概念的深入研究和应用，我们可以更好地理解事物的发展和变化规律，为科学研究和工程实践提供理论支持和指导。
2.1 最早的极限思想公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
§1.0 序 论一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。
【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。
设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。
显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。
所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。
对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。
x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。
其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。
这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。
最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。
在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。
三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。
因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。
中心极限定理历史演变过程
中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它指出，在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的算术平均值的分布会逼近于正态分布。
中心极限定理的演变过程如下：
1. 1713年：雅各布·贝努利提出贝努利大数定律，该定律指出，独立重复试验的结果平均值会趋近于其期望值。
2. 1733年：亚伯拉罕·德·摩瓦尔扩展了贝努利大数定律，提出
了中心极限定理的初步形式，他认为大量独立的随机变量之和将近似于正态分布。
3. 1810年：皮埃尔·西蒙·拉普拉斯对中心极限定理进行了深入
研究，并提出了一个更加精确的定理，即拉普拉斯中心极限定理。
他通过将连续函数近似为多项式，推导出了正态分布的密度函数。
4. 1860年：阿希尔·约翰·林德勒夫证明了中心极限定理的另一
种形式，即林德勒夫中心极限定理。
他证明了随机变量的平均值，经过适当的标准化，收敛到标准正态分布。
5. 1920年代：哈罗德·霍普金斯扩展了中心极限定理的应用范围，提出了多元中心极限定理，适用于多维随机变量的和的情况。
中心极限定理的历史演变过程，经过了数百年的研究与发展。
从最初的贝努利大数定律到拉普拉斯和林德勒夫提出的更加精
确的定理，中心极限定理不断得到完善和扩展，成为现代概率论中的重要基石之一。
极限概念的历史演变及分析极限概念是极其重要的数学概念，也是数学思想演化的核心之一。
极限概念多源自古代希腊数学家们讨论的概念，穿越数千年的历史，一直以来都受到广泛的重视。
它的发展涉及到几何学、微积分学和复变函数学中的许多概念，令人理解其重要性和前卫性。
本文将对极限概念的历史演变及其分析做一简要介绍。
极限概念起源于古希腊数学，最早出现在欧几里德的《几何原本》，在那里他提出了一种新的解决数学问题的方法，即通过极限定义接近量来求解数学问题，在那之后，古典数学大师笛卡尔将极限概念发挥到极致，通过它们开创了微积分学的先河。
从那时起，极限概念就作为古希腊数学的重要组成部分不断演化发展，并有更深入的发展，最终走向成熟。
19世纪，英国数学家利物浦在他的研究工作中，使用极限概念来探究“复变函数”的定义及其应用，解决了多维函数不可导性问题，并且开拓了极限概念在复变函数学上的应用。
此外，还有19世纪德国数学家弗兰克尔、拉格朗日，他们分别将极限概念应用在多变量的微积分学中，引领了20世纪的变分法的发展。
20世纪以来，极限概念得到了进一步的发展，俄罗斯数学家巴斯洛夫提出了“极限的普遍定义”，为数学定义极限提供了一个较为普适的思路。
20世纪30年代，德国数学家爱因斯坦系统地研究了极限概念，关于极限概念形式化和定义上，爱因斯坦提出了更为严谨的解释，从而为极限概念的下一次演变起到了关键性作用。
20世纪50年代以来，极限概念在数学上得到了更广泛的应用，极限概念的使用范围日渐扩大，涉及到几何学、微积分学和复变函数学等许多领域，并得到了更为完善的形式化处理，开创了极限概念在数学中的细致应用。
20世纪末，极限概念在计算机科学和统计学中也被广泛使用，极大地丰富了极限概念的功能及其应用场景。
总之，极限概念是一个非常有趣的概念。
它在古希腊时期就初步出现，在此之后不断的演变，应用范围也从微积分学、几何学等拓展到了现在的计算机科学和统计学等，极大地延伸了极限概念的可能性。
概率论中的极限理论发展概率论是一门研究随机现象的数学理论，而极限理论是概率论的重要分支之一。
它研究的是随机变量序列的极限行为，揭示了概率分布的一些重要性质和规律。
在过去的几个世纪里，概率论中的极限理论得到了迅速发展。
本文将对概率论中的极限理论的发展进行探讨，并介绍其中的一些重要成果和应用。
一、初步形成概率论的起源可以追溯到17世纪，而极限理论的雏形则可以追溯到18世纪。
当时，数学家们开始研究大数定律和中心极限定理，为后来的极限理论的发展奠定了基础。
然而，当时的研究还不够系统和完善。
直到19世纪，随机变量和概率分布的概念逐渐被正式引入到概率论中，极限理论才开始逐渐成为一门独立的数学分支。
二、大数定律大数定律是极限理论的重要内容之一，它研究的是在独立随机变量序列下，随着样本量的增加，样本平均值趋于某个确定的常数。
大数定律最早由贝努利提出，并在后来得到了康托尔、切比雪夫和伯努利等数学家的进一步发展。
大数定律的成果为概率论的发展奠定了基础，并且在实际应用中具有重要价值。
三、中心极限定理中心极限定理是极限理论的另一个重要内容，它研究的是在一定条件下，大量独立随机变量之和的极限分布趋近于高斯分布。
中心极限定理最早由莱普尼兹提出，并在后来得到了黎曼、狄利克雷等数学家的推广和完善。
中心极限定理的成果为统计学的发展提供了基础，并且在科学研究和实际应用中得到了广泛的应用。
四、近代发展随着统计理论的进一步发展和计算机技术的日益完善，概率论中的极限理论得到了更深入的研究和应用。
比如，大数定律和中心极限定理的推广和拓展，分布的收敛性、极限分布的计算方法等等，都成为了概率论中的研究热点。
而随机过程、马尔可夫链等新的研究方向也为概率论中的极限理论提供了更广阔的应用领域。
五、应用与展望概率论中的极限理论不仅在概率论和统计学中具有重要意义，而且在各个领域的研究和应用中也发挥着重要作用。
比如，极限理论在金融学中的应用，可以用于对股票价格、汇率等金融变量的预测和分析。
极限理论的发展及其历史评价极限理论是一个古老而又充满智慧的论断，可追溯到公元前六世纪的古希腊哲学家亚里士多德。
极限理论在中世纪科学家阿基米德的发展下得到了更广泛的应用，以及新数学家斯特拉克斯和费马以及十九世纪几何学家高斯都将其发挥到了极致。
从19世纪到20世纪，极限理论的发展经历了不同的阶段，从几何概念的发展到数学家提出新的解决方案，再到现代数学方法的运用，极限理论一直都在发展和演变，可以说是一个重要的数学概念。
极限理论在不同时代有不同的发展及历史评价。
从古希腊哲学家到中世纪科学家，极限理论被认为是一种有力的数学概念，其发展历程令人瞩目。
有意义的是，古希腊哲学家将其作为他们哲学探索的重要组成部分，以便更好地理解数学世界的结构和本质。
不久，中世纪的科学家阿基米德将极限理论运用于不同的科学领域，如几何学和算术，并在古代发明等方面做出了重大贡献。
十八世纪欧洲新数学家斯特拉克斯以及费马对极限理论也发挥了重要作用，他们综合了几何与代数的精髓，引入了微积分的概念，有助于加速极限理论的发展。
接着，十九世纪的几何学家高斯将极限理论的发展发挥到了极致，并将几何学融入到极限理论中，使几何与极限理论更加紧密地结合在一起。
当进入二十世纪的时候，极限理论的发展朝着更加崭新的方向发展，数学家们开始提出新的解决方案，以合理地解决极限理论所遇到的种种问题。
例如，拉普拉斯解决了分析函数的问题，泰勒解决了不定积分的问题，而卡尔菲尔德则提出了极限的范数概念等等。
极限理论的发展也伴随着不同的数学方法的出现，如十九世纪后期相关性分析和解析几何，两十世纪流行的线性代数以及几何学等等。
他们更有效地解决了极限理论中出现的种种细节问题，使极限理论变得更加完善和准确。
从古至今，极限理论受到历史上从各个领域的学者们的高度认可，如古希腊哲学家、中世纪科学家和新数学家以及十九世纪的几何学家等等。
极限理论的发展及其历史评价，向我们说明了历史和发展的重要性，并表明极限理论在数学界的重要性和持续性发展。
古今中外极限思想的发展历程1、中国古代极限思想早在春秋战国时期（公元前770——前221），古人就对极限有了思考。
道家的庄子在《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
意思是说，把一尺长的木棒，每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。
也就是说，剩余部分会逐渐趋于零，但是永远不会是零。
而墨家有不同的观点，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端”。
意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
道家是“无限分割”的思想，而墨家则是无限分割最后会达到一个“不可分”的思想。
公元３世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，他创造性地将极限思想应用到数学领域。
他设圆的半径为一尺，从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，用勾股定理算得圆内接正十二、二十四、四十八…边形的面积，内接正多边形的边数越多，内接多边形的面积就与圆面积越接近，正如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。
这已经运用了极限论的思想来解决求圆周率的实际问题了，“以至不可割，则与圆周合体”，这一思想是墨家“不可分”思想的实际应用。
祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。
”祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，得出“幂势既同，则积不容异”的结论。
意思是界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。
这正是“不可分”思想的延续。
1.2 古希腊极限思想公元三世纪，古希脂诡辩学家安提丰（Antiphon，约公元前430年）在求圆面积时曾提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法，即“穷竭法”。
他先作圆内接正方形，然后将边数加倍，得到圆内接正八边形，再加倍得内接正十六边形，依次继续下去，以为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”。
极限运动历史发展极限运动是一种以挑战极限和突破自我为目标的体育活动，具有刺激、危险、高度技术性和速度性的特点。
它的历史可以追溯到20世纪中叶，从那时起，极限运动在世界范围内逐渐兴起并发展壮大。
极限运动最早起源于冲浪运动，尤其是在美国的加利福尼亚州。
冲浪者将乘风破浪的刺激感带到陆地上，开始探索其他领域，如滑板、跳伞、攀岩等。
渐渐地，极限运动不再只是一种冒险精神的体现，它更成为一种生活态度和文化现象。
在极限运动的发展历程中，有几个关键时刻值得一提。
20世纪70年代，滑板运动成为了年轻人崇拜的象征，同时也为其他极限运动的兴起奠定了基础。
20世纪80年代，跳伞和飞行器运动成为了人们关注的焦点，极限运动开始进入公众视野。
而到了90年代，攀岩、BMX单车、摩托车特技等运动逐渐兴起，成为广大年轻人的最爱，同时也吸引了越来越多的人参与其中。
随着极限运动的发展，一些具有标志性的赛事和运动员逐渐崭露头角。
例如，X游泳运动盛会成为了极限运动粉丝们的狂欢节，聚集了各种水上极限运动项目和顶级选手，吸引了无数的观众和参与者。
而像特拉瓦斯特卡拉那和埃文·达拉斯这样的极限运动选手，则成为了行业的名人。
他们通过顶尖的技巧和勇气，突破了人们在极限运动领域的想象，并成为了青年人心中的偶像。
极限运动的发展离不开科技的进步和传媒的推动。
随着科技的发展，新的材料和装备不断出现，使得极限运动变得更加安全和精彩。
同时，传媒的广泛宣传也使得极限运动获得了更多的关注和支持。
电视、互联网和社交媒体等平台为极限运动提供了更广阔的舞台，使得更多的人有机会了解和参与其中。
极限运动不仅仅是一种体育活动，更是一种生活态度。
它鼓励人们勇敢挑战自我，超越自我。
参与极限运动的人们需要具备创造力、勇气和毅力，同时要懂得评估风险和保护自己。
极限运动教会人们如何克服困难，争取进步，并且教会人们珍惜生命和享受生活。
总之，极限运动的历史发展充满了激情和创新。
它不仅为年轻人提供了一个释放压力和挑战自我的平台，也为社会带来了许多正能量。
微积分史话极限概念发展的几个历史阶段Ξ王晓硕 (辽宁师范大学数学系,大连,116029)极限概念是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。
极限理论是微积分学的基础,它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点。
从古至今,人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。
从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000多年的发展,演变成为近代严格的极限理论,在现代数学中,人们又引进了更广泛和更一般的极限概念。
这其中的思想演变是渐进的、相互推动的。
本文针对极限概念在不同时期的特点给予粗略的概述。
一、朴素的、直观的极限观这种极限观在我国古代的文献中就有记载,最著名的是《庄子・天下篇》中记载的惠施(约前370——约前310)的一段话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭。
”[4]公元3世纪,中国数学家刘徽(263年左右)成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割圆术”。
由于刘徽所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所以说刘微成功地创立了科学的求圆周率的方法。
刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、…、直至6×25(192)边形的面积。
他利用公式S 2n =n ・r ・l n 2(l n 为内接正n 边形的边长,S 2n 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积。
刘徽认为,割得越细,圆内接正多边形与圆面积之差越小,即“割之弥细,所失弥少。
割之又割,以至于不可割,则与圆和体,而无所失矣”。
这就是割圆术所反映的朴素的极限思想。
刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰不谋而合。
智人学派的安蒂丰(A n ti p hon ,约前480——约前410)在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,而内接正多边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”。
极限的发展史
从极限思想到极限理论
极限的朴素思想和应用可追溯到古代，我国古代哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。
”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。
中国早在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积，3世纪刘徽创立的割圆术，就是用园内接正多边形的极限时圆面积这一思想来近似计算圆周率π的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”，这就是早期的极限思想。
到17世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。
到17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在前人研究的基础上，分别从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点使直观的无穷小量，极限概念被明确提出，但含糊不清。
牛顿子发明微积分的时候，合理地设想：t∆越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家欢迎，并充分地运用它解决了大量过去无法问津的科技问题，因此，整个18世纪可以说是微积分的世纪。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击，贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”不是“最终的量”的比。
而是比所趋近的极限。
但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。
包括莱布尼茨对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。
因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击，这就是数学史上所谓第二次数学危机。
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
由于法国数学家柯西、德国数学家魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。
至此极限理论才真正建立起来，微积分这门学科才得以严密化。
因而真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。
这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。
2.1最早的极限思想
公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用
公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生
直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
直到法国数学家柯西（Cauchy,1789-1857）才明确的描述了极限的概念及理论，无穷小的本质也因此被揭露出来了。
1821年柯西在拉普拉斯与泊松的支持下发表了《代数分析教程》，书中脱离了一定要将极限概念与几何图形和几何量联系起来的束缚，通过变量和函数概念从开始就给出了精确的极限定义：假如一个变量依次取得的值无限趋近于一个定值，到后来这个变量与定值之间的差值要多小就多小，那么这个定值就是这所有取得的无限接近定值的变量的极限值。
可是，柯西的极限定义还是存在着一些问题，比如他所谓的“无限接近”、“要多小有多小”这些概念都只能在头脑中想象，不能摆脱在头脑中的几何直观想象来建立数学概念的方法。
2.4极限定义的完善
为了摆脱极限定义的几何直观思维方法，19世纪后半期，德国的维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）研究出了一个纯算术的极限定义。
维尔斯特拉斯用实数描述出了极限定义。
他先把变量设为一个字母，而这个字母可以取能取集合中的任意一个数，一个连续变量
最早的极限思想是在公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用
这个例子来进行教学的导入。
极限在高中教学中，概念也经常用到，可分为数列极限和函数极限，同时也为微积分中的导数学习有很大帮助。
