四川省邻水实验学校2017-2018学年高一上学期第三次月考数学试题

邻水实验学校2017年秋高二上第三阶段检测数 学 理 科 试 卷一、选择题。

1．下列命题正确的是（ ）A.“1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件。

B.对于命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：,R x ∈∀均有012≥-+x x 。

C.若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题。

D.命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若,0232=+-x x 则2≠x 。

2.某城市修建经济适用房。

已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．40 B ．36 C ．20 D ．303．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．33[,]-B ．(3,3)-C [3,3]-． D．33(,)- 4．点P (7，－4)关于直线l ：6x －5y －1＝0的对称点Q 的坐标是( ) A. (5，6) B. (2，3) C. (－5，6) D. (－2，3)5．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（ ）A 、-1B 、3C 、1D 、96．如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（ ）A ．11B ．9C ．12D ．107．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C. 16D.148．已知为双曲线:()0322>=-m m my x 的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. m 3 D. 3m9．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25 C.30 D.210．对于曲线22:141y x C K K +=--，给出下面四个命题：（1）曲线C 不可能表示椭圆；（2）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512K <<； （3）若曲线C 表示双曲线，则14K K <>或；（4）当14K<<时曲线C 表示椭圆，其中正确的是 （ ）A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)11．△ABC 的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)则AC 边上的高BD 等于( ) A ．2B ．5C ．5D ．612．设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝2a c 上存在P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A．⎛ ⎝⎦ B．⎛ ⎝⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭ 二、填空题13．设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为。

邻水实验学校2018年春高二（下）第三阶段检测数学（理）一、选择题（共12小题,每小题5.0分,共60分） 1. 已知集合 A = {x |x 2— 4x + 3<0}, B ={x |y = In （ x — 2）}，则（CRE ） A A =（ ） A. { x | — 2< x <1} B . { x | — 2< x w 2} C. { x |1< x w 2} D . { x | x <2}2. 设a , b € R “a = 0”是“复数a + b i 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件）3D.[-,22） 4. 下列命题中，假命题为（ ）A. 存在四边相等的四边形不是正方形B. Z 1, C,乙+ Z 2为实数的充分必要条件是 Z 1, Z 2互为共轭复数C. 若x , y € R ,且x + y >2，则x , y 至少有一个大于 1D. 对于任意n € C + C +…+ C 都是偶数 5. 已知随机变量 E 服从正态分布 N （0, /） , P （E >2） = 0.023，贝U P （ — 2w gw 2）=（ ） A . 0.954 B . 0.628 C . 0.477 D. 0.977 6. 有如下几个结论：①相关指数R 2越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好； ②3.已知函数f （x ）的定义域为 [3,6]，则函数的定义域为（CA. [ 一，+^) .[2)2.（一，3）回归直线方程一定过样本点的中心: 巧） ③残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中，说明选用的模型比较合适； ④在独立性检验中，若公式K 2 =(a + ftifc + d\a + c^b + d]，中的|ad-bc|的值越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越强.其中正确结论的个数有（)个.D. 4 7.已知f (x )是定义在 R 上的偶函数，且在区间(一R, 0)上单调递增•若实数a 满足f (2|a —1|)>f (―一)，则a 的取值范围是( )校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为D. 136C . 3y =x 所围成的封闭图形的面积为 ().B 冷C .5的展开式中含 打的项的系数为30,则a =()x 210.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各A .9B . 114C. 12811.已知命题 p" -x R,(a 2)x 2 - 2ax 1 ：： 0 卄命题 P 为假，则a 的取值范围为(A. RB.(-C.(-：：,-2]D. (- ：： , -1]U[2,+ ::)12•若关于x 不等式xln x-x 3 - x 2岂ae x 恒成立,则实数 a 的取值范围是(A .D. [1,：：)二、填空题(共4小题，每小题5.0分，共20分)则的值为14. 已知曲线y = x + lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y = ax 2 + (a + 2)x + 1相切，则a =「则f (x )的解析式为wH 916. ---------------------------------------- 已知 a >1，函数 f (x ) = , g(x ) = x ++ 4, 若-人 € [1 , 3] , -I [0 ,3]，使得Z+11+1f (xj =g (X 2)成立，则a 的取值为三、解答题(共7小题,共80分)17. 已知集合 M= {x |x <— 3 或 x >5}, P = {x |(x — a )・(x — 8) < 0}.⑴ 求实数a 的取值范围，使它成为 M P P = {x |5<x w 8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为 M P P ={x |5<x <8}的一个充分但不必要条件.18. 已知(1 + 3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求：(1) 展开式中二项式系数最大的项；(2) 展开式中系数最大的项•(结果可以以组合数形式表示)19. 用0,1,2,3,4 这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1) 比21034大的偶数；(2) 左起第二、四位是奇数的偶数.20.2017年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立 68周年，来自北京大学和清华大学的 6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服A. [e,：：)B.[0,：：)C.13..已知 a , b € R , i 是虚数单位，若(1 + i)(1 — b i) = a , 15.已知f务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是...(1) 求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2) 设随机变量E为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求E的分布列和均值.21.函数f (x)的定义域D={x|x M 0}，且满足对于任意X1, D.有f(X1 •X2) = f(xj + f(X2).(1)求f(1)的值；⑵判断f(x)的奇偶性并证明；⑶如果f(4) = 1, f (2) + f(x—3) < 3,且f (x)在(0,+s)上是增函数，求x的取值范围.(1)若f (x )在x = 0处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y = f (x )在点(1 , f (1))处的切线 方程；⑵ 若f (x )在［3 ,+^)上为减函数，求 a 的取值范围.22.设函数f (x )= 3x 2 + axxe(a € R).解得两个交点坐标为 (—1 , - 1)和(0,0)，封闭图形的1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D BAD C A D B A B13 2 14 8 15 f (x ) = ——r 16 a=171_了 —1.【答案】C【解析】 集合 A ={X |1<X <3} , B ={X |X >2}, 则(?R B) n A = {X |1<X W 2}，选 C. 2..【答案】B【解析】当a = 0,且b = 0时，a + b i 不是纯虚数；若a + b i 是纯虚数，则a = 0.故“ a = 0”是“复数a + b i 是纯虚数”的必要而不充分条件 •4. 【答案】B 「3 < 2^ < 61logi (2 -x) > 0?5.【答案】B【解析】空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故 A 为真命题；令 乙=1 + b i , Z 2= 3-b i( b € R),显然乙+ Z 2= 4€ R,但乙，Z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x , y 都不大于1,则x + y >2不成立，故与题设条件"x +y >2”矛盾，假设不成立，故 C 为真命题；C + C +… + C = 2n 为偶数，故D 为真命题.排除 A , C , D,应选B. 6.【答案】C【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(一R, 0)上单调递增，所以f ( - x )= f (x )，且 f (x )在(0,+^)上单调递减•由 f (2la - 1|)>f (--丄),f (--丄)=f (-丄)可得 2la - Q 一，即 |a -1|< ，所以 <a < .■ ■ ■8. 【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，【解析】由题意得3-<x<3 2S) <由 x 2+ 2x = x ,/），则卩为其均值，图象关于 X =卩对称，（T 为其标准差.•/ P( E >2) = 0.023 ,••• P( E <-2) = 0.023 ,故 P( — 2< E w 2) = 1- P( E >2) — P( E <-2) = 0.954.故选 C. 12.12 .【答案】B【解析】解：不等式P 卩：血“+龙"午 恒成立，令念2血」+「则广㈤广山心心X结合函数的定义域和单调性可知：［y （x ）］^ = /（ri=o ） 令 j （x ） = —,则 J '（X ）=-^（JC -1）,X X*、 在区间（O.-HU ）±,有：=£（1）=韻》且的函数值恒正，据此绘制函数/V ）上（列的大致固象，数形结合可得：实数b 的取值范 X 围是［Q+兀）. 题选择B 选项.面积为s = 9.【答案】D 5-r=：(-1)raF 5-r=(-1)J-,令；r =，则 r = 1, ••• T2=-a C 二，一 a C = 30」a =-6,故选 D.10.【答案】C【解析】若E 〜N （,-1[x -(x 2 + 2x)]dx【解析】5的展开式通项 Tr + 114.【答案】8【解析】由y =x + In x ,得y '= 1 +-，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k = y'l x =1= 2，所以切线方程为y — 1 = 2( x — 1)，即y = 2x — 1，此切线与曲线 y = ax 2 + (a + 2)x + 1相切，消去y 得 ax 2 + ax + 2 = 0,得 a ^0 且△= a 2 — 8a = 0，解得 a = 8.15. 【答案】析式为11以函数 f (x )的值域为[(a + 1) ,(3 a +1)].由 g (x ) = (x + 1) +243= 9,当且仅当(x + 1)= ——，即x = 2€ ［0 , 3］时，取等号，即 g (x )的最小值为9.【解析】令It1 + r，从而f (x )的解f (x )=2x16.【答案】 (1) f (x )=空U = a +「.因为a >1,所以f (x )在［1 , 3］上是增函数，所——+3》2• '+x+1 V1 -t =X+137又g(0)= 13, g(3)= 一所以g(x)的最大值为13.所以函数g(x )的值域为[9 ,13].(-(fl + 1)9,即解得a = 17.P (3a + 1)< 13,因为a >l ，所以a = 17符合. 17.【答案】(1) {a | — 3< a w 5} ( 2) 0【解析】 ⑴ 由M T P ={x |5<x w 8}，得—3< a < 5, 因此M T P = {x |5<x <8}的充要条件是{a | — 3< a < 5}.(2)求实数a 的一个值，使它成为M T P = {x |5<x < 8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{ a |—3w a w 5}中取一个值，如取 a = 0,此时必有 M T P = {x |5< x w 8};反之，M T P = {x |5<x w 8} 未必有a = 0，故“ a = 0”是“ M T P = {x |5<x < 8}”的一个充分但不必要条件. 18. 【答案】_ 2 . i 1【解析】(1)由已知得''-''-_= 120,则二n (n — 1) + (n — 1) + 1 = 120，即 n 2+ n H ?! h 219. 【答案】(1) 30 (2) 39 (3) 8【解析】(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是 4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、 40、04时，其排列数为3A = 18,当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A •A = 12.故 满足条件的五位数共有 18+ 12= 30(个).(2)①当末位数字是 0时，首位数字可以为 2或3或4,满足条件的数共有 3XA = 18个.②当末位数字是2时，首位数字可以为 3或4,满足条件的数共有 2XA = 12个.(2)由题意知,押+1)叔+1)L^, 13],—240 = 0,解得 n = 15,所以，展开式中二项式系数最大的项是T 8 =(3x )8.15! C Tr(3x ),…T" lgj - l设：w 1,则： w 1,即w 0,解3x15! r?{15_ r)!>1解得r > 11,所以展开式中系数最大的项对应的 r = 11、12,即展开式中系数最大的项是3T切X)1(3151 12\1731 1得r w 12,同理，由15-11 -=2,于是R E = k )= ————，k = 0,1,2 ,••• P( ,0)= 二C<i 8R E=1)==-，③当末位数字是4时，首位数字是3的有A =6个，首位数字是2时，有3个，共有9个. 综上知，比21034大的偶数共有 18+ 12 + 9= 39个. （3）方法一：可分为两类: 末位数是0,有A •A = 4（个）;末位数是2或4，有A •A = 4（个）; 故共有A •A + A •A = 8(个).方法二：第二、四位从奇数 1,3中取，有A 个；首位从2,4中取，有A 个; 余下的排在剩的两位，有A 个，故共有A A A = 8（个）.g20.【答案】（1）. ;（ 2）见解析 15【解析】 （1）记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A ,则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名,1<X <6,那么R A ）= 一「=「解得x =2,即来自北京大学的志愿者有名，来自清华大学的志愿者有4名.记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1名”为事件B,则P （B ）=15，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1名的概率是二.（2）在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 服从超几何分布，其中 N= 6, M = 2, nE( E )=2/3【解析】21.【答案】⑴令xi = X2= 1,有f (1 x 1) = f (1) + f(1)，解得f(1) = 0.⑵f (x)为偶函数，证明如下：[4分]令X1= X2= — 1 ,有f [( - 1) x ( —1)] = f ( -1) + f( -1)，解得f( - 1) = 0.令X1=- 1 , X2= X，有f ( - x) = f ( - 1) + f (x),•'•f( —x) = f (x) .••• f (x)为偶函数.(3) f (4 x 4) = f(4) + f (4) = 2,f(16 x 4) = f (16) + f(4) = 3.[8 分]由f (3x+ 1) + f (2x-6) w3,变形为f [(3 x+ 1)(2 x-6)] w f(64) . (*)T f (X)为偶函数，• f ( - X) = f (X) = f(| X|).•不等式(*)等价于f[|(3 x+ 1)(2 x- 6)| ] w f(64) . [9 分]又••• f (x)在(0 ,+s)上是增函数，• 1(3 x+ 1)(2 x-6)| w64,且(3x+ 1)(2 x-6)工0.7解得-$w x<—〒或—彳<x<3 或3<x W5.-29 s x s_35 且x 丰 3 ,+ 7 1、1•- x的取值范围是{x| —飞w x< ——或一飞<x<3或3<x w 5}.【解析】22 •解(1)对f(x)求导得f，(x) = b +a X ；2x2+ ax C x-3x2+ B - a x + a-13 -因为f (x )在x = 0处取得极值，所以f ' (0) = 0,即a = 0.—3x + 6x33，故 f (i) = e f '(i)=-,从而 f (x )在点(i3 3处的切线方程为y — 3= 3(x - 1)，化简得3x -e y = 0.e e2令 g (x ) = - 3x + (6 - a ) x + a,由 g (x ) = 0 解得当 x V x i 时，g (x ) V 0,即 f '(x ) V 0，故 f (x )为减函数； 当 x i v x V X 2时，g (x ) >0, 即卩 f '(x ) >0,故 f (x )为增函数； 当 x >X 2 时，g (x ) V 0,即 f '(x ) V 0，故 f (x )为减函数.6 — a + x/ a 》+ 369由f (x )在［3 ,+s )上为减函数，知 X 2=6 W 3,解得a >--,-9、故a 的取值范围为|— 2,+m.当 a = 0 时，f (x )=眷,f '(x )=f (1))(2)由(1)知 f ' (x)=-3x 2 +甘一ax + aX 2 =6— a + \:a + 366。

4．（5 分）
=（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣ 1
5．（5 分）给出下列四个对应，其中构成映射的是（
）
A．（1）（ 2） B．（2）（ 4） C．（3）（4） D．（ 4） 6．（5 分）若函数 f（x）的定义域为 [ ﹣ 2， 2] ，则函数 f（x+1）+f（ 1﹣ 2x）的定 义域为（ ）
9．（5 分）已知函数 f（ x） =4x2﹣kx﹣ 8 在〔 5，20〕上具有单调性，则实数 k 的
取值范围是（
）
A．〔20， 80〕 B．〔40，160〕
C．（﹣∞， 20〕∪〔 80，+∞） D．（﹣∞， 40〕∪〔 160，+∞） 【分析】已知函数 f（x）=4x2﹣ kx﹣8，求出其对称轴 x=﹣ ，要求 f（ x）在〔 5，
7．（5 分）已知函数 f（ x） =
．若 f（ a） +f（1）=0，则实数 a 的值等
于（ ）
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A．﹣ 3 B．﹣ 1 C．1 D．3 【分析】 由分段函数 f（x）=
，我们易求出 f（1）的值，进而将式子
f（a）+f（1）=0 转化为一个关于 a 的方程，结合指数的函数的值域，及分段函 数的解析式，解方程即可得到实数 a 的值．
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（ 1）求 a，b 的值及 f （x）的表达式； （ 2）当函数 f（ x）的定义域是 [ t，t +1] 时，求函数 f（x）的最大值 g（ t）．
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2017-2018 学年四川省广安市邻水实验学校高一（上） 9 月月考数学试卷
参考答案与试题解析
4．（5 分）

2017-2018学年四川省广安市邻水中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共10题）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|1＜x＜3}D．∅2．p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.234．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．145．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（）A．20种B．30种C．42种D．56种6．设a=40.9，b=80.45，c=（）﹣1.5，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b7．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）8．给出下列：①存在实数x，使得；②函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．210．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|恰有6个零点，则a（）A．a=5或a=B．C．D．二、填空题（每题5分，共5题）11．为庆祝祖国母亲61华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是．12．a，b∈R，a＞b且ab=1，则的最小值等于．13．对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．14．设f（x）是R上的奇函数，且f（﹣1）=0，当x＞0时，（x2+1）f′（x）﹣2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为．15．平面上的向量，若向量的最大为．三、解答题16．已知函数f（x）=2sin2（），x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．17．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何．已知数列{n}的前项和为n，对任何正整数，点n（，n）都在函数f（x）=x2+2x 的图象上，且在点P n（n，S n）处的切线的斜率为K n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．20．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，=a n﹣n2﹣n﹣，n∈N*．+1（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．21．设函数f（x）=x2+aln（x+2）、g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求g（x1﹣x2）的最小值；（Ⅲ）证明不等式：＜﹣1．2015-2016学年四川省广安市邻水中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共10题）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|2x﹣1＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|1＜x＜3}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】通过解二次不等式化简集合A；通过指数函数的单调性化简集合B；利用交集的定义求出A∩B．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}B={x|2x﹣1＞1}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x＜3}故选C2．p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【考点】复合的真假．【分析】若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故p为假．又由函数y=的定义域为x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），q为真．【解答】解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故p为假．又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真．故选D．3．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23【考点】回归分析的初步应用．【分析】本题考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点（4，5）的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0），将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11．故选B．5．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（）A．20种B．30种C．42种D．56种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】原准备的节目表中6个节目，可产生7个空位，第一个小品可插入到其中的任何一个位置，根据要求，可有5种插入方法；第一个小品插入后，7个节目会产生8个空位，故可知第二个小品插入有6种方法，由乘法原理即可解决问题．【解答】解：∵原准备的节目表中6个节目，可产生7个空位，由于2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，保持着节目的相对顺序不变，∴第一个小品可插入到其中的任何一个位置，有=5种方法，∵当第一个小品插入后，7个节目会产生8个空位，由于2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，∴第二个小品插入有=6种方法，根据乘法原理，不同的节目表可排出5×6=30种．故选B．6．设a=40.9，b=80.45，c=（）﹣1.5，则（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据函数y=2x的单调性、指数的运算性质判断出a、b、c的大小关系．【解答】解：∵函数y=2x在R上单调递增，且a=40.9=21.8，b=80.45=21.35，c=（）﹣1.5=21.5，∴a＞c＞b，故选：D．7．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D8．给出下列：①存在实数x，使得；②函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．【分析】本题考查的知识点是真假的判断及三角形函数的值域、图象平移变换，奇偶性判断及解三角形等知识点，根据上述知识点对四个逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①中令y=sinx+cosx=则≤y≤∵≤≤∴存在实数x，使得；即①正确．②中函数y=sinx的图象向右平移个单位得到的图象，故②错误．③当X=0时，函数=1故函数的图象关于Y轴对称故函数是偶函数，即③正确．④∵三角形ABC为锐角三角形，故α+β＞∴＞α＞﹣β＞0∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ，即④正确故正确的的个数为3个故选C9．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的性质．【分析】把转化为两数列前n项和比值的形式，结合求得比值，验证n得答案．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}均为等差数列，且其前n和A n和B n满足，则=====7+．验证知，当n=1，2，3，5，11时为整数．故选：A．10．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|恰有6个零点，则a（）A．a=5或a=B．C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】本题通过典型的作图画出log a|x|以及f（x）的图象，从图象交点上交点的不同，来判断函数零点个数，从而确定底数a的大小范围【解答】解：首先将函数g（x）=f（x）﹣log a|x|恰有6个零点，这个问题转化成f（x）=log a|x|的交点来解决．数形结合：如图，f（x+2）=f（x），知道周期为2，当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在（﹣7，7）上面的图象，以下分两种情况：（1）当a＞1时，log a|x|如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足log a5≤1＜log a7，即log a5≤log a a＜log a7，所以5≤a＜7．（2）当0＜a＜1时，log a|x|与f（x）交点，左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足log a5＞﹣1，log a7≤﹣1，即log a5＜﹣log a a≤log a7，所以5＜a﹣1≤7．故综上所述，a的取值范围是：5≤a＜7或故选D选项二、填空题（每题5分，共5题）11．为庆祝祖国母亲61华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为，则报名的学生人数是500．【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法．【分析】根据题意，易得抽取的参加比赛的60人中，学生和教师的人数，又由教师甲被抽到的概率，可得教师的总人数，结合报名的学生和教师的人数之比，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在抽取的参加比赛的60人中，学生和教师的人数之比为5：1，则60人中有教师10人，学生50人，又由教师甲被抽到的概率为，则教师的总人数为10÷=100；又由学生和教师的人数之比为5：1，则学生的总人数为100×5=500；故答案为500．12．a，b∈R，a＞b且ab=1，则的最小值等于．【考点】基本不等式．【分析】由a＞b且ab=1可得a﹣b＞0，则===a﹣b+，利用基本不等式可求最小值【解答】解：∵a＞b且ab=1∴a﹣b＞0∴===a﹣b+（当且仅当a﹣b=即时，取最小值）故答案为：213．对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1+x2+x3的取值范围【解答】解：∵，∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是令f（x）=，则x=，或x=不妨令x1＜x2＜x3时则＜x1＜0，x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为：，14．设f（x）是R上的奇函数，且f（﹣1）=0，当x＞0时，（x2+1）f′（x）﹣2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】首先根据商函数求导法则，把（x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0，化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（﹣1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得．【解答】解：因为当x＞0时，有（x2+1）f'（x）﹣2xf（x）＜0恒成立，即[]′＜0恒成立，所以y=在（0，+∞）内单调递减．因为f（﹣1）=0，所以在（0，1）内恒有f（x）＞0；在（1，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣1）内恒有f（x）＞0；在（﹣1，0）内恒有f（x）＜0．即不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．平面上的向量，若向量的最大为．【考点】向量的模；向量的共线定理．【分析】设，则x2+y2=4，要求||的最小值，可先表示||=，把已知向量代入可转化为关于x的二次函数，根据二次函数的性质可求【解答】解：向量∵向量设，则x2+y2=4则===当x=0时为最大值故答案为：三、解答题16．已知函数f（x）=2sin2（），x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的单调性．【分析】将函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后提取﹣2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（1）根据正弦函数的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数f（x）的单调递增区间；（2）由f（x）的解析式，将x=A代入表示出f（A），由正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而得到A+C的度数，得出A的取值范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（A）的取值范围．【解答】解：f（x）=2sin2（）=1﹣cos（+2x）﹣cos2x﹣1=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），（1）∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），则函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（2）f（A）=2sin（2A﹣），将（2a﹣c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，又B为三角形的内角，∴B=，∴A+C=，即0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，∴﹣1＜sin（2A﹣）＜1，则f（A）的取值范围是（﹣2，2）．17．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何【分析】设计划期内生产甲x件，生产乙y件，根据条件建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设计划期内生产甲x件，生产乙y件，则，即，目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t，如图所示，可见当直线2x+3y=t过A点时，它在y轴上的截距最大，从而t最大．显然A点坐标为（4，2）．∴当x=4，y=2时，可获得最大利润14元．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任何正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x 的图象上，且在点P n（n，S n）处的切线的斜率为K n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）根据题中已知条件，先求出数列{a n}的前n项和S n的表达式，进而求得数列{a n}的通项公式；（2）根据题中条件求出K n的表达式，结合前面求得的数列{a n}的通项公式，即可求得数列{b n}的通项公式，进而可以求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴S n=n2+2n（n∈N*）．…当n=1时，a1=S1=1+2=3；=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1 ①当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=3也满足①式．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．…（2）由f（x）=x2+2x求导可得f′（x）=2x+2．∵过点P n（n，S n）的切线的斜率为K n，∴K n=2n+2．…，∴b n=22n+2（2n+1）=4（2n+1）•4n，∴T n=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4n ①由①×4得：∴4T n=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4n+1 ②①﹣②得﹣3T n=4×（3×4+2×42+2×43+…+2×4n﹣（2n+1）4n+1）=4×（12+2×﹣（2n+1）4n+1）=所以T n=…19．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b=，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，即可求出A+C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，即A+C=；（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=”，=acsinB=ac，∵S△ABC∴△ABC面积的最大值为．20．设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，=a n﹣n2﹣n﹣，n∈N*．+1（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n有++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．﹣n2﹣n﹣，代入计算，即可求a2的值；【分析】（1）利用=a n+1（2）再写一式，两式相减，即可求数列{a n}的通项公式；（3）分类讨论，证明当n≥3时，n2＞（n﹣1）•（n+1），可得＜，利用裂项法求和，可得结论．【解答】（1）解：∵=a n+1﹣n2﹣n﹣，n∈N ．∴当n=1时，2a1=2S1=a2﹣﹣1﹣=a2﹣2．又a1=1，∴a2=4．（2）解：∵=a n+1﹣n2﹣n﹣，n∈N ．∴2S n=na n+1﹣n3﹣n2﹣n=na n+1﹣，①∴当n≥2时，2S n﹣1=（n﹣1）a n﹣，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∵2a n=2S n﹣2S n﹣1，∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∴﹣=1，∴数列{a n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴=1+1×（n﹣1）=n，∴a n=n2（n≥2），当n=1时，上式显然成立．∴a n=n2，n∈N*．（3）证明：由（2）知，a n=n2，n∈N*，①当n=1时，=1＜，∴原不等式成立．②当n=2时， +=1+＜，∴原不等式成立．③当n≥3时，∵n2＞（n﹣1）•（n+1），∴＜，∴++…+＜1+++…++=1+（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=1+（﹣﹣）＜，∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n，有++…+＜．21．设函数f（x）=x2+aln（x+2）、g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求g（x1﹣x2）的最小值；（Ⅲ）证明不等式：＜﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（Ⅱ）先找出（x1﹣x2）的取值范围，再利用g（x）的导函数可找出最小值；（Ⅲ）适当构造函数，并注意x1与x2的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式．【解答】解：（Ⅰ）由题：∵函数f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2∴关于x的方程即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）内有不等二实根令S（x）=2x2+4x（x＞﹣2）、T（x）=﹣a，则由图象可得﹣2＜﹣a＜0即0＜a＜2∴实数a的取值范围是（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴x1﹣x2=x1﹣（﹣2﹣x1）=2x1+2，∴﹣2＜x1﹣x2＜0，由g（x）=xe x得g'（x）=（x+1）e x，∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g'（x）＜0，即g（x）在（﹣2，﹣1）单调递减；当x∈（﹣1，0）时，g'（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）单调递增；∴；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，∴，令﹣x2=x，则0＜x＜1且，令，则，∴，∵0＜x＜1，∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是减函数，∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数，∴F（x）＜F（1）=﹣1即．2016年11月6日。