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小题专练08立体几何(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b 与2a-b 互相垂直,则k 的值是( ).A .1B .15C .35D .752.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为( ).A .πB .2πC .3πD .4π3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l ,m 与平面α,β,其中l ⊂α,m ⊂β,则下列命题中正确的是( ).A .若l ∥m ,则必有α∥βB .若l ⊥m ,则必有α⊥βC .若l ⊥β,则必有α⊥βD .若α⊥β,则必有m ⊥α4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a ,则其表面积为( ).A .54a 2π B .a 2π C .34a 2π D .14a 2π5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180√3,则圆台的母线长l=( ).A.12√3B.12C.6√3D.6√26.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2√3,则此棱锥的体积为().A.2√53B.2√153C.4√53D.4√1537.(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是().A.√1010B.-√1010C.√55D.-√558.(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=√2,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为().A.8πB.6πC.4πD.8√23π二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是().A.2πB.π2C.π4D.4π10.(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是().A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15πB.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36πC.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25πD.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π11.(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是().A.A'D⊥BCB.三棱锥A'-BCD的体积为√22C.CD⊥平面A'BDD.平面A'BC⊥平面A'DC12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别为线段B1D1,BC1上的动点,则下列结论正确的是().A.DB1⊥平面ACD1B.平面A1C1B∥平面ACD1C.点F到平面ACD1的距离为√33D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为13三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为.14.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为.15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为. 16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE ⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为.答案解析：1.(考点:空间向量坐标的运算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是().A.1B.15C.35D.75【解析】由题意可得(ka+b)·(2a-b)=0,即(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,故3k-3+2k-4=0,所以k=7.5【答案】D2.(考点:圆柱的体积,★★)已知圆柱的高为1,侧面积为4π,则这个圆柱的体积为().A.πB.2πC.3πD.4π【解析】设圆柱的底面半径为r,根据圆柱的侧面积公式得2πr×1=4π,所以r=2,则圆柱的体积V=πr2h=π×22×1=4π.【答案】D3.(考点:点、线、面的位置关系,★★)已知存在直线l,m与平面α,β,其中l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是().A.若l∥m,则必有α∥βB.若l⊥m,则必有α⊥βC.若l⊥β,则必有α⊥βD.若α⊥β,则必有m⊥α【解析】对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,故选项A错误;对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,故选项B错误;对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β,故选项C正确;对于选项D,直线m不一定和平面α垂直,故选项D错误.【答案】C4.(考点:圆锥的侧面积,★★)若一个圆锥的轴截面为正三角形,其边长为a ,则其表面积为( ).A .54a 2π B .a 2π C .34a 2π D .14a 2π【解析】由题意可知圆锥的母线长l=a ,底面半径r=a 2,∴圆锥的表面积S=πr (r+l )=π·a2·(a2+a)=34a 2π.【答案】C5.(考点:圆台基本量的运算,★★)已知圆台的两个底面面积之比为4∶9,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为180√3,则圆台的母线长l=( ).A .12√3B .12C .6√3D .6√2【解析】设圆台的上底面半径为2r ,则其下底面半径为3r ,依题意可作圆台的轴截面如图所示,其中DE ⊥AB ,CF ⊥AB.∵∠DAE=∠CBF=60°,∴DE=√3AE=√3r.∴轴截面面积S=12(DC+AB )·DE=5√3r 2=180√3,解得r=6, ∴母线长l=AD=2AE=2r=12.【答案】B6.(考点:球内接多面体的体积计算,★★)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为2的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2√3,则此棱锥的体积为( ).A .2√53B .2√153 C .4√53D .4√153【解析】△ABC 的外接圆的半径r=2√33,球O 的半径R=12SC=√3,故点O 到平面ABC 的距离d=√R 2-r 2=√153.又SC为球O 的直径,所以点S 到平面ABC 的距离为2d=2√153.故此棱锥的体积为V=13S △ABC ×2d=13×12×2×2×√32×2√153=2√53. 【答案】A7.(考点:异面直线所成的角,★★)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E 为BB'的中点,异面直线CE 与C'A 所成角的余弦值是( ).A .√1010 B .-√1010 C .√55 D .-√55【解析】依题意,以C 为原点,CA ,CB ,CC'所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AC=BC=AA'=2,则C (0,0,0),E (0,2,1),C'(0,0,2),A (2,0,0),故CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),C 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2).设异面直线CE 与C'A 所成的角为θ,则cos θ=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE⃗⃗⃗⃗⃗ |·|C 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5×8=√1010,所以异面直线CE 与C'A 所成角的余弦值为√10.10【答案】A8.(考点:三棱锥的外接球的求法,★★★)如图,平面四边形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=√2,现将△ABD沿AB翻折,使点D移动至点P,且PA⊥AC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为().πA.8πB.6πC.4πD.8√23【解析】由DA⊥AB,翻折后得到PA⊥AB,又PA⊥AC,AB∩AC=A,则PA⊥平面ABC,可知PA⊥BC.又因为AB⊥BC,PA∩AB=A,则BC⊥平面PAB,于是BC⊥PB,因此三棱锥P-ABC的外接球球心是PC的中点.计算可得CP=√12+12+(√2)2=2,则外接球半径为1,所以外接球的表面积为4π.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:圆柱的基本运算,★★)用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径可能是( ).A .2πB .π2C .π4D .4π【解析】设底面半径为r ,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则2πr=8,所以r=4π;同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=2π.故圆柱的底面半径为2π或4π.【答案】AD10.(考点:旋转体的体积和表面积,★★)如图所示,△ABC 的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是( ).A .以BC 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15πB .以BC 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36πC .以AC 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25πD .以AC 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π【解析】以BC 所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,侧面积为π×3×5=15π,体积为13×π×32×4=12π,所以A 正确,B 错误;以AC 所在直线为轴旋转时,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,×π×42×3=16π,所以C错误,D正确.体积为13【答案】AD11.(考点:立体几何中的翻折问题,★★★)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD 沿对角线BD折起.设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是().A.A'D⊥BCB.三棱锥A'-BCD的体积为√22C.CD⊥平面A'BDD.平面A'BC⊥平面A'DC【解析】如图所示,取E为BD的中点,连接A'E,因为AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得到∠DBC=∠ADB=45°,又∠BCD=45°,所以△BCD为等腰直角三角形.因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,故C正确;E为BD的中点,A'E⊥BD,则A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC,如果A'D⊥BC,那么可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故A 错误;三棱锥A'-BCD 的体积V=13×12×√2×√2×√22=√26,故B 错误; 在直角三角形A'CD 中,A'C 2=CD 2+A'D 2,所以A'C=√3,在三角形A'BC 中,A'B=1,BC=2,A'C=√3,满足BC 2=A'B 2+A'C 2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC.又BA'⊂平面A'BC ,所以平面A'BC ⊥平面A'DC ,故D 正确.【答案】CD12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点E ,F 分别为线段B 1D 1,BC 1上的动点,则下列结论正确的是( ).A .DB 1⊥平面ACD 1B .平面A 1C 1B ∥平面ACD 1C .点F 到平面ACD 1的距离为√33D .直线AE 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为13【解析】以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴.建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知,A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A 1(0,0,1),B 1(1,0,1),C 1(1,1,1),D 1(0,1,1),设E (x ,y ,1),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x-1,y ,0)=(-λ,λ,0),∴E (1-λ,λ,1),设F (1,y',z'),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(0,y',z')=(0,μ,μ),∴F (1,μ,μ).对于A 项,∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),∴{DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴DB 1⊥AC ,DB 1⊥AD 1. 又AC ,AD 1⊂平面ACD 1,AC ∩AD 1=A ,∴DB 1⊥平面ACD 1,故A 正确;对于B 项,∵DB 1⊥平面ACD 1,∴DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1)为平面ACD 1的一个法向量,∵A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),∴{DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴DB 1⊥A 1C 1,DB 1⊥A 1B. 又A 1C 1,A 1B ⊂平面A 1C 1B ,A 1C 1∩A 1B=A 1,∴DB 1⊥平面A 1C 1B ,∴平面A 1C 1B ∥平面ACD 1,故B 正确;对于C 项,∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,μ,μ),∴点F 到平面ACD 1的距离d=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33,故C 正确; 对于D 项,∵几何体为正方体,∴AC ⊥平面BB 1D 1D ,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面BB 1D 1D 的一个法向量, 又AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,λ,1), 设直线AE 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ,则sin θ=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2λ2-2λ+2,故D 错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:圆锥的有关计算,★★)已知一个圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为 .【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,高为h ,由题意得l=4,πrl=4π,解得r=1,所以h=√42-12=√15.【答案】√1514.(考点:求球的表面积,★★)已知一平面截球O所得截面圆的半径为1,且球心到截面圆所在平面的距离为2,则球O的表面积为.【解析】作出对应的截面图,如图所示.∵截面圆的半径为1,∴BC=1.∵球心O到截面圆所在平面的距离为2,∴OC=2.设球的半径为R.在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=5.即R2=5,∴该球的表面积为4πR2=20π.【答案】20π15.(考点:三棱锥的外接球,★★)已知在三棱锥P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA与底面ABC所成的角为60°,则点P到底面ABC的距离是;三棱锥P-ABC的外接球的表面积为. 【解析】将三棱锥P-ABC 置于长方体中(如图所示),其中PP 1⊥平面ABC ,由PA 与底面ABC 所成的角为60°,可得PP 1=√3,即点P 到底面ABC 的距离为√3.由△PP 1A ≌△PP 1C ,得P 1A=P 1C=1,由图可知,PB 是长方体外接球的直径,也就是三棱锥P-ABC 外接球的直径,所以球的表面积为4π·(√52)2=5π. 【答案】√3 5π16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD 中,AB=2,AD=1,E 为CD 的中点.将△ADE 沿AE 折起,使平面ADE ⊥平面ABCE ,得到几何体D-ABCE.则平面ABCE 与平面CDE 所成角的余弦值为 .【解析】如图,以B 为坐标原点,BC ,BA 所在直线分别为x 轴,y 轴,过点B 与平面ABCE 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (1,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),D (12,32,√22). 设向量n=(x 0,y 0,1)为平面CDE 的一个法向量,则n ⊥CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-12,-√22),∴x 0=√2,y 0=0,即n=(√2,0,1). 又平面ABCE 的一个法向量为m=(0,0,1), ∴cos <n ,m>=m ·n |m ||n |=√2×0+0×0+1×11×√2+0+1=√33. ∴平面ABCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33.【答案】√33。
新高考地区小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32B .√155C .-√155D .-√322.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√10103.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos α=( ).A .23 B .32 C .1 D .524.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π125.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .746.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√218.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形B .若a cosA =b cosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=-1+tan 2αtan 2α+1=-1+1616+1=1517. 【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32.【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3B .π6C .π4D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4.【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54C .32D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3, 故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象.故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ).A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4), 当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4),画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误.故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC,则△ABC 一定是等边三角形C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD . 【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152. 【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 【解析】由题意得sin α=2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365;当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365.综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36 =-8.【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6),所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z, 即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。
小题专练23一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(U A)∩B=().A.{x|-1<x<1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-2<x≤-1}2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为().A.π6B.π4C.π3D.5π124.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是().A.f(x)=cos(x-1)B.f(x)=-x2+2xC.f(x)=log2|x-1|D.f(x)=e x-1-e1-x5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是().A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4C.f(x)=xx+1D.f(x)=x2x-47.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)n a n}的前50项和为( ). A .50 B .100C .500D .25008.(考点:均值不等式,★★★)若a ,b ,c ∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ). A .a 2+b 2+c 2≤13 B .a 2b +b 2c +c 2a ≤1 C .a 4+b 4+c 4≤abcD .√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线T 于A ,B 两点,交抛物线T 的准线于点M ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB|=163,则下列说法正确的是( ). A .直线l 的倾斜角为120° B .|MB ||FB |=2C .点F 到准线的距离为4D .抛物线T 的方程为y 2=4x10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R 上的函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x )>0,若f (a )>f (b ),则下列不等式恒成立的是( ). A .log 3|a|>log 3|b| B .a 3>b 3 C .sin |a|>sin |b|D .11+a 2<11+b 211.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,四边形AA 1B 1B 是矩形, CB=1,C 1B 1⊥平面AA 1B 1B ,直线A 1C 与B 1C 1所成的角的余弦值为√33,则下列说法正确的是( ). A .BB 1⊥平面A 1B 1C 1 B .A 1C=2√3C .三棱锥C-AB 1B 的外接球的体积为√3π2D .三棱锥C-AB 1B 的外接球的表面积为3π212.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3a 7=256,S 4-S 2=12,则下列结论正确的是( ).A.a n=2nB.a3=a22C.S3=S22+1D.S n=2n-1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=2√2,BD=2√3,则△ABC的面积为.15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是.(用数字作答)+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24时,PQ的长为;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为.答案解析：1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(U A)∩B=().A.{x|-1<x<1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-2<x≤-1}【解析】∵U A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},B={x|x≤1},∴(U A)∩B={x|-1≤x≤1},故选C.【答案】C2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据题意,1-2i1+i =(1-2i)(1-i)2=-1-3i2,在复平面内对应的点为(-12,-32),位于第三象限.故选C.【答案】C3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为().A.π6B.π4C.π3D.5π12【解析】根据题意,将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin[2(x-π6)+φ]=sin(2x-π3+φ),所以-π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ+π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3.故选C.【答案】C4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是().A.f(x)=cos(x-1)B.f(x)=-x2+2xC.f(x)=log2|x-1|D.f(x)=e x-1-e1-x【解析】A选项中f(x)在(1,+∞)上无单调性.B选项中f(x)在(1,+∞)上为减函数.D选项中f(x)的图象关于点(1,0)对称.只有C选项符合条件.【答案】C5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)=2|x|在[0,+∞)上单调递增,∴若a>|b|,则f(a)>f(|b|)=f(b),即充分性成立;若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),即|a|>|b|,解得a>|b|或a<-|b|,即必要性不成立.故“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件,故选A.【答案】A6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是().A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4C.f(x)=xx2+1D.f(x)=x2x2-4【解析】根据图象,x≠±2,所以排除A,C;又函数图象关于原点对称,故选B.【答案】B7.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)n a n}的前50项和为().A.50B.100C.500D.2500【解析】设数列{a n}的公差为d,由题意知d>0.因为a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,所以有a52=a1·3a14,即(1+4d)2=3(1+13d),整理得16d2-31d-2=0,解得d=2或d=-116(舍去),所以(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a49+a50)=d+d+…+d⏟25个=25×2=50.【答案】A8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是().A.a2+b2+c2≤13B.a2b +b2c+c2a≤1C.a4+b4+c4≤abcD.√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2【解析】对于A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac, ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2=1,∴a2+b2+c2≥13,故A错误;对于B,∵a 2b +b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,∴a2b +b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,即a2b+b2c+c2a≥a+b+c,∴a2b +b2c+c2a≥1,故B错误;对于C, ∵a 4+b 4≥2a 2b 2,a 4+c 4≥2a 2c 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,∴a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2, ∵a 2b 2+b 2c 2≥2√a 2b 2·b 2c 2=2ab 2c ,a 2c 2+b 2c 2≥2√a 2c 2·b 2c 2=2ac 2b , a 2c 2+b 2a 2≥2√a 2c 2·b 2a 2=2ca 2b ,∴a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2≥abc (a+b+c )=abc ,故C 错误;对于D,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+2ab+b 2=(a+b )2,即a 2+b 2=(a+b )22,两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b |=√22(a+b ),同理可得√b 2+c 2≥√22(b+c ),√c 2+a 2≥√22(c+a ),三式相加得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a+b+c )=√2,故D 正确. 【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线T 于A ,B 两点,交抛物线T 的准线于点M ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB|=163,则下列说法正确的是( ). A .直线l 的倾斜角为120° B .|MB ||FB |=2C .点F 到准线的距离为4D .抛物线T 的方程为y 2=4x【解析】过点A 作AH 垂直于准线,垂足为H (图略),因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|MA ||AH |=2,|MB ||FB |=|MA ||AH |=2,所以直线l 的斜率为√3或-√3,故直线l 的倾斜角为60°或120°,故A 错误,B 正确. 设直线l 的解析式为y=√3(x -p2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (-p2,-√3p), 由{y =√3(x -p2),y 2=2px ,消去y 得3x 2-5px+34p 2=0,所以x 1+x 2=5p 3,x 1x 2=p 24.所以|AB|=x 1+x 2+p=5p3+p=163,解得p=2,所以点F 到准线的距离为2,抛物线T 的方程为y 2=4x ,故D 正确,C 错误.故选BD . 【答案】BD10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R 上的函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x )>0,若f (a )>f (b ),则下列不等式恒成立的是( ).A .log 3|a|>log 3|b|B .a 3>b 3C .sin |a|>sin |b|D .11+a2<11+b 2【解析】根据题意,f (x )为偶函数,函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,所以f (|a|)>f (|b|).故|a|>|b|,根据对数函数的性质得log 3|a|>log 3|b|,故A 的不等式恒成立;又|a|3>|b|3成立,但不能确定a 3>b 3恒成立,故B 的不等式不恒成立;根据三角函数的性质可知C 的不等式也不恒成立;因为|a|>|b|,所以a 2>b 2,所以11+a 2<11+b 2,故D 的不等式恒成立.故选AD . 【答案】AD11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,四边形AA 1B 1B 是矩形, CB=1,C 1B 1⊥平面AA 1B 1B ,直线A 1C 与B 1C 1所成的角的余弦值为√33,则下列说法正确的是( ).A .BB 1⊥平面A 1B 1C 1 B .A 1C=2√3C .三棱锥C-AB 1B 的外接球的体积为√3π2D .三棱锥C-AB 1B 的外接球的表面积为3π2【解析】根据题意,因为C 1B 1⊥平面AA 1B 1B ,A 1B 1,BB 1⊂平面AA 1B 1B ,所以C 1B 1⊥A 1B 1,C 1B 1⊥BB 1,又BB 1⊥A 1B 1,C 1B 1∩A 1B 1=B 1,所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1.故平面AB 1B ,CB 1B ,ABC 两两垂直,所以三棱锥C-AB 1B 外接球的直径等于A 1C ,又B 1C 1∥BC ,所以直线A 1C 与B 1C 1所成的角等于直线A 1C 与BC 所成的角或其补角,所以BC A 1C =√33,所以A 1C=√3,所以三棱锥C-AB 1B 的外接球的表面积为4π(√32)2=3π,体积为4π3(√32)3=√3π2,故选AC .【答案】AC12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3a 7=256,S 4-S 2=12,则下列结论正确的是( ).A .a n =2nB .a 3=a 22C .S 3=S 22+1D .S n =2n -1【解析】∵a 3a 7=256,∴a 52=256,解得a 5=16.又S 4-S 2=12,∴a 3+a 4=12.设等比数列{a n }的公比为q (q>0),则a 3+a 4=a 5q +a 5q =16q +16q =12,解得q=-23(舍去)或q=2,∴a 1=a 5q =162=1,等比数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,故A 错误;a 3=4,a 2=2,故B 正确;等比数列的前n 项和S n =2n -1,故D 正确;S 3=7,S 2=3,故C 错误. 【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x ,1).若(a-c )⊥b ,则x= . 【解析】因为a-c=(1-x ,1),(a-c )⊥b ,所以3×(1-x )+(-3)×1=0,解得x=0. 【答案】014.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD 中,AB=2AD=4,BC=2√2,BD=2√3,则△ABC 的面积为 . 【解析】在△ABD 中,因为AB=4,AD=2,BD=2√3,所以cos ∠BAD=AB 2+AD 2-BD 22AB ·AD=12,所以∠BAD=60°,所以∠BCD=120°.在△BCD 中,BC=2√2,BD=2√3,由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD,得sin ∠CDB=BCsin∠BCD BD √2sin12023=√22,则∠CDB=45°,所以∠ABC=45°,所以S △ABC =12×4×2√2×√22=4. 【答案】415.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)【解析】根据题意,将4名班主任每人分到1个小组,其余8人分到4个小组的分法有C 82C 62C 42C 22=2520种,所以不同的分法有2520种. 【答案】252016.(考点:椭圆,★★★)已知O 为坐标原点,过点T (0,-2)的直线l 与曲线E :x 24+y 2=1相交于P ,Q 两点,当l ⊥x 轴时,PQ 的长为 ;当l 不垂直于x 轴时,△OPQ 的面积的最大值为 . 【解析】当l ⊥x 轴时,|PQ |=2.当l 不垂直于x 轴时,设l :y=kx-2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将y=kx-2代入x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2-16kx+12=0,Δ=(16k )2-4×12(4k 2+1)=16(4k 2-3)>0,即k 2>34,所以x 1+x 2=16k 4k 2+1,x 1x 2=124k 2+1. 又|PQ |=√1+k 2·|x 1-x 2| =2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+k 2·√(16k4k 2+1)2-4×124k 2+1 =√1+k 2·4√4k 2-34k 2+1,点O 到直线l 的距离d=√1+k 2,所以S △OPQ =12d ·|PQ |=4√4k 2-34k 2+1. 设√4k 2-3=t ,则t>0,S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t.因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±√72时等号成立,且满足Δ>0, 所以△OPQ 面积的最大值为1. 【答案】2 1。
