华师大版数学九上252《锐角三角函数》练习题1

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，BC＝3，则AB的长为（）A．B．C．3sin58°D．3cos58°3．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sin B的值为（）A．B．C．D．5．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°6．如图，△ABC是锐角三角形，sin C＝，则sin A的取值范围是（）A．0B．C．D．7．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°8．下列式子正确的是（）A．sin55°＜cos36°B．sin55°＞cos36°C．sin55°＝cos36°D．sin55°+cos36°＝19．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan∠B ＝0.75，sin∠B＝0.6，cos∠B＝0.8）12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cos A＝．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边AB边上的高CD的长为14．比较大小：tan40°tan70°（填“＞”或“＜”）15．比较大小：cos36°cos37°．16．比较大小：cos35°sin65°．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则tan A＝．19．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是．20．已知sin46°＝cosα，则α＝度．21．已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）＝，则α＝．22．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．23计算：（1）（2）2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．（3）cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，请你求出sin A、cos B、tan A、tan B的值．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．26．已知，如图Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．27．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：（1）tan C的值；（2）sin A的值．28．（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．。

学科：数学专题：锐角三角函数重难点易错点解析题面：已知：如图，△ABC中，AC=10，sin C=45，sin B=13，求AB．金题精讲题面：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°满分冲刺题一：题面：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=210，AB=20，求∠A的度数.题二：题面：(1)如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．题三：题面：已知cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=3，则cos(α-β)=______课后练习详解重难点易错点解析答案：24．详解：作AD ⊥BC 于D 点，如图所示，在Rt △ADC 中，AC =10，sin C =45， ∴AD =A Csin C =10×45=8，在Rt △ABD 中，sin B =13，AD =8， 则AB =sin AD B=24．金题精讲答案：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离.在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.满分冲刺题一：答案：∠A =30°.详解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC =45°，BD =210，∴BC =BD •sin ∠BDC=. ∵∠C =90°，AB =20，∴101sin 202BC A AB ∠===. ∴∠A =30°.题二： 答案：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．详解：(1)由图①，知sin ∠B 1AC 1=111B C AB ，sin ∠B 2AC 2=222B C AB ，sin ∠B 3AC 3=333B C AB ． ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3， ∴111B C AB ＞222B C AB ＞333B C AB ． ∴sin ∠B 1AC 1＞sin ∠B 2AC 2＞sin ∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3，而对于cos ∠B 1AC 1=11AC AB ， cos ∠B 2AC 2=22AC AB ， cos ∠B 3AC 3=33AC AB ． ∵AC 1＜AC 2＜AC 3，∴cos ∠B 1AC 1＜cos ∠B 2AC 2＜cos ∠B 3AC 3．而∠B 1AC 1＞∠B 2AC 2＞∠B 3AC 3．由图②知sin ∠B 3AC =33B C AB ，∴sin 2∠B 3AC =2323B C AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC =1-2323B C AB =22233233AC =AB B C AB AB -=223AC AB ． 同理，sin ∠B 2AC =22B C AB ，1-sin 2∠B 2AC =222AC AB ， sin ∠B 1AC =12B C AB ，1-sin 2∠B 1AC =221AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴223AC AB <222AC AB <221AC AB ． ∴1-sin 2∠B 3AC ＜1-sin 2∠B 2AC ＜1-sin 2∠B 1AC ．∴sin 2∠B 3AC ＞sin 2∠B 2AC ＞sin 2∠B 1AC ．∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角，∴sin ∠B 3AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．而对于cos ∠B 3AC =3AC AB ， cos ∠B 2AC =2AC AB ， cos ∠B 1AC =1AC AB ． ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴3AC AB ＜2AC AB ＜1AC AB ． ∴cos ∠B 3AC ＜cos ∠B 2AC ＜cos ∠B 1AC ．而∠B 3AC ＞∠B 2AC ＞∠B 1AC ．结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．(2)由(1)知sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88°．题三：答案：-12．详解：已知等式平方得：(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=14①，(sinα+sinβ)2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=34②，①+②得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，即cosαcosβ+sinαsinβ= -12，则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= -12．。

华师大版 九年级（上） 《 第二十五章·解直角三角形 》 第一节25.1 锐角三角函数 作 业一、积累·整合1．在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定2．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于（ ）A ．12B ．1 3．Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．24186..555cm C cm D cm 4．菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BC=6cm ，那么tan 2A 为（ ） A ．35 B ．45 C D 5．在△ABC 中，∠C=90°，tanA=125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为（ ） A ．60 B ．30 C ．240 D ．1206．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且c-4ac+4a=0，则sinA+cosA 的值为（ ）A B C 二、拓展·应用7．一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．8．Rt △ABC 中，∠C=90°，b=6，若∠A 的平分线长为a=_____，∠A=_______．9．如图5所示，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，AB 的长为________． 10．Rt △ABC 中，若sinA=45，AB=10，则BC=_______． 三、探索·创新11．某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，•AB=•200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m 1.732）【答案与解析】1．A2．A3．A4．A5．D6．A7．34或138．3°9．310．80或40 311.AD≈227m，BC≈146m。

华师大新版九年级上学期《24.3.1 锐角三角函数》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2B．C．D．6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．7．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t 的值是（）A．1B．1.5C．2D．38．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是（）A．B．C．D．9．如果∠A=30°，则sinA的值为（）A．B．C．D．10．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A．B．C．D．211．若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（）A．B．C．D．12．已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（）A．4B．3C．D．513．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）A．B．C．D．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．15．已知a为锐角，sina=cos50°，则a等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°16．如果α是锐角，且sinα=，那cos（90°﹣α）=（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（）A．B．C．1D．18．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）19．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°20．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．二．填空题（共3小题）21．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．三．解答题（共24小题）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．26．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．27．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosB，tanA的值．28．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=．当c=2，a=1时，求cosA．30．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．31．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinB和tanB的值．32．已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求的值．33．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若∠α=45°，则sinαcosα；若∠α＜45°，则sinαcosα；若∠α＞45°，则sinαcosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．34．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件；（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？35．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．36．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα37．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°38．计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．39．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．40．计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．41．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．42．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．43．已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．44．若α为锐角，tanα=4，求的值．45．如果α是锐角，且cosα=，求sinα，tanα的值．46．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α=1，现锐角A满足sinA+cosA=．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．47．已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值．华师大新版九年级上学期《24.3.1 锐角三角函数》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么表示∠A的（）A．正弦B．正切C．余弦D．余切【分析】根据余切的定义求解可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选：D．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．【分析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．【解答】解：根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE===．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．7．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t 的值是（）A．1B．1.5C．2D．3【分析】根据正切的定义即可求解．【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，则斜边AB=2CD=4，则即可求得sinB的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB=．故选：C．【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．9．如果∠A=30°，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵∠A=30°，∴sinA的值为：．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A．B．C．D．2【分析】因为cosα=所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴sinα===．故选：C．【点评】本题利用了同角的三角函数式sin2α+cos2α=1来求解．11．若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（）A．B．C．D．【分析】把sinα=cosα代入原式，转化为关于cosα的式子，约分即可．【解答】解：把sinα=cosα代入原式，则原式==．故选：C．【点评】本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．12．已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（）A．4B．3C．D．5【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．【解答】解：由sinα==知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴cosA==，∴5cosA=4．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．13．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（）A．B．C．D．【分析】根据sinA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．【解答】解：由sinA=知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tanA===．故选：C．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．15．已知a为锐角，sina=cos50°，则a等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sina=cos50°，∴α=90°﹣50°=40°．故选：C．【点评】掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．16．如果α是锐角，且sinα=，那cos（90°﹣α）=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：cos（90°﹣α）=sinα=．故选：A．【点评】掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．17．在△ABC中，∠C=90°，若sinB=，则cosA的值为（）A．B．C．1D．【分析】△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosA=sinB=．故选：A．【点评】本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系．18．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．【解答】解：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（﹣）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．故选：B．【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．19．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．【解答】解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．二．填空题（共3小题）21．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，∴AC==，∴cosA==．【点评】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．三．解答题（共24小题）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．【分析】（1）直接利用三角函数求解即可；（2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；（3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．【解答】解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，∴OA=4，BA=2，∴tan∠BOA===．（3分）（2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴点C的坐标是（﹣2，4）．（5分）（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于tanA=，所以可设BC=3x，AC=4x，则AB=5x，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案为：；（2）∵tanA=，∴设BC=3x，AC=4x，∴ctanA===．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．26．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解，∴a+b=m，ab=2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，而a2+b2=（a+b）2﹣2ab，c=5，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=25，即：m2﹣2（2m﹣2）=25解得，m1=7，m2=﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b=m＞0，m=﹣3不合题意，舍去．∴m=7，当m=7时，原方程为x2﹣7x+12=0，解得，x1=3，x2=4，不妨设a=3，则sinA==，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．27．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosB，tanA的值．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，根据勾股定理可得：AC=4，∴sinA=，cosB==，tanA==．【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，是需要识记的内容．并且根据定义可得：sinA=cosB．28．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．【分析】根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan ∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．【解答】解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠的性质，∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE+∠BFC=90°，而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°，易得∠AFE=∠BCF，在Rt△BFC，根据折叠的性质，有CF=CD，在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得：BF=6，则tan∠BCF=；故有tan∠AFE=tan∠BCF=；答：tan∠AFE=．【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变化前后的关系．29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=．当c=2，a=1时，求cosA．【分析】根据勾股定理求出b，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，c=2，a=1，∴b==，∴cosA==．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．30．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．31．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinB和tanB的值．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据正弦=锐角的对边与斜边的比，正切=锐角的对边：邻边进行计算即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AC=．∴，tanB=．【点评】此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦和正切的定义．32．已知α为锐角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，求的值．【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出cosα的值，再代入求解．【解答】解：∵cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一个根，∴由求根公式有，cosα=，∴cosα=（cosα=3不符合题意，舍去），∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=1﹣（）2=，∴sinα=，∴===sinα﹣cosα=．【点评】掌握一元二次方程的求根公式以及三角函数的计算公式．注意sinα和cosα的取值范围．33．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC 于点C2，B3C3⊥AC于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，而＞＞．∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，∵AB3＜AB2＜AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．34．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件；（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？【分析】（1）根据sinA+cosA=sin（A+45°），sinA•cosA=sin2A，以及根与系数的关系，即可得到关于p，q的不等式，以及sin2A+sinB2=1，即可求得p，q的关系；（2）根据（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，证明A的值可以取互余的两个角的度数，即可证得．【解答】解：（1）由题意，由此推得∴实数p、q应满足的条件是：p2﹣2q=1，p＜0，0＜q≤．（2）∵0＜q≤，设sin2A=2q，则2A=2a，或180°﹣2a，即A=a或90°﹣a，∵sina和sin（90°﹣a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．【点评】本题是一元二次方程与三角函数相结合的题目，正确理解一元二次方程的根与系数的关系以及锐角三角函数的性质是解题关键．35．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．【分析】根据余弦函数，函数值随角度的增大而减小即可作出判断．【解答】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．【点评】本题主要考查了余弦函数值随角度的增大而减小，是需要熟记的内容．36．用锐角α的三角函数的定义去说明（1）0＜sinα＜1（2）0＜cosα＜1（3）tanα＞sinα【分析】（1）根据锐角三角函数的正弦，可得答案；（2）根据锐角三角函数的余弦，可得答案；（3）根据正切函数与正弦函数的关系，可得答案．【解答】解：（1）sinα=，0＜a＜c，0＜1，即0＜sinα＜1；（2）cosα=，0＜b＜c，0＜＜1，即0＜cosα＜1；（3）tanα=，sinα=，由0＜b＜c，得＞，即tanα＞sinα．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正切大于同角的正弦，注意锐角的正弦大于零小于1，锐角的余弦大于零小于1．37．3sin60°﹣2cos30°+tan60°•cot45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=3×﹣2×+×1=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．计算：|﹣2|+2sin30°﹣（﹣）2+（tan45°）﹣1．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2+1﹣3+1=1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．39．求值：|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°．【分析】负数的绝对值是它的相反数；任何不等于0的数的0次幂都等于1；一个数的负指数即这个数的正指数次幂的倒数；熟悉特殊角的锐角三角函数值：tan30°=．【解答】解：原式=2﹣+1+3+3•=6．【点评】注意能够判断﹣2＜0，熟练把负指数转换为正指数．40．计算：|﹣3|+•tan30°﹣﹣（2008﹣π）0．【分析】按照实数的运算法则依次计算：|﹣3|=3，tan30°=，=2，（2008﹣π）0=1．【解答】解：原式==3+1﹣2﹣1=1．（注：只写后两步也给满分．）【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．41．计算：﹣（π+1）0+4sin45°+（）﹣1．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式===．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．42．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．【解答】解：作PC⊥x轴于C．∵tanα=，OC=6∴PC=8．则OP=10．则sinα=．【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．43．已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．【分析】根据sinα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．【解答】解：由sinα==，设a=4x，c=5x，则b==3x，故cosα==，tanα==．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．44．若α为锐角，tanα=4，求的值．【分析】首先根据已知条件设出直角三角形的两条直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，由三角函数的定义求出cosαsinα的值，最后代入即可．【解答】解：由tanα=4知，如果设a=4x，则b=x，结合a2+b2=c2得c=x；∴sinα=，cosα=，∴==﹣．【点评】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．45．如果α是锐角，且cosα=，求sinα，tanα的值．【分析】根据同角的三角函数关系式：sin2α+cos2α=1，tanα=，进行计算．【解答】解：∵cosα=，∴sinα==，tanα==2．【点评】熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．46．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α=1，现锐角A满足sinA+cosA=．试求：（1）sinA•cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．【分析】利用同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1进行适当的变形转换来求解．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，即1+2sinAcosA=，∴sinAcosA=；（2）∵（sinA﹣cosA）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，=1﹣，=，∴sinA﹣cosA=±．【点评】本题考查了对sin2α+cos2α=1变形应用能力．47．已知tanα=，α是锐角，求tan（90°﹣α），sinα，cosα的值．【分析】根据题意表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数定义得出即可．【解答】解：∵如图所示：tanB=tanα=，∴设AC=2x，BC=5x，则AB=x，∴tan（90°﹣α）==，sinα===，cosα===．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．。