2021高考数学二轮复习---数列

1 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=+n n nS b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n nn c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n求证：123n T n >-．解：（Ⅰ）11(1),1－=- a S a a ∴1,=a a当2n ≥时，11,11n n n n n a a a S S a a a a --=-=---1n n a a a -=，即{}n a 是等比数列． ∴1n nn a a aa -=⋅=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)nnn n naa a a a ab aa a ⋅----=+=-，若{}n b 为等比数列，则有2213,b b b =而21232323223,,,a a a b b b aa+++===故22232322()3a a a aa+++=⋅，解得13a =，再将13a =代入得3n n b =成立， 所以13a =．（III ）证明：由（Ⅱ）知1()3nn a =，所以11111331131311()1()33nn n nn nn c +++=+=++-+-111311311111131313131nn nn nn ++++--+=+=-+++-+-1112()3131+=--+-nn ， 由111111,313313nnn n ++<>+-得111111,313133nn nn ++-<-+-所以1113112()2()313133＋++=-->---n nn nn c ， 从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n nn T c c c +=+++>--+--+--22311111112[()()()]333333nn n +=--+-++-11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-．2 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

第02讲 等比数列及其前n 项和知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1(0,0)n n na q q a a +=≠≠ 根据q 判断数列的单调性： 当11a >{}1n q a >⇔是递增数列； {}01n q a <<⇔是递减数列；{}=1n q a ⇔是常数列二. 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：3121221n n n n a a aa q q q q a a a a ---====，，，，， 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即()1*1n n a a q n N -=∈. 这种方法就叫做累乘法．三. 等比中项如果三个数 a G b ，，组成等比数列⇔2G ab =，G 叫做a 与b 的等比中项. 两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.若数列是等比数列⇔任意相邻三项之间都存在如下关系：211(2)n n n a a a n -+=≥四. 等比数列的性质设{}n a 为等比数列，公比为q ，则：1． 若在等比数列中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅；特殊地，若2m p q =+，则2mp q a a a =⋅； 推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈且m n t p q s ++=++m n t p q s a a a a a a ⇒=； 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．2． n m n m a a q -=*(,)m n N ∈；3． 在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，……为等比数列，公比为m q ．4． 若{}{} n n a b ，均为等比数列，且公比分别为()1212 0q q q q ⋅≠，，则数列{} n pa ，{}mn a ，{}n n a b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，且公比分别为111122 mq q q q q q ⋅，，，.五. 等比数列的前n 项和公式()()111(1)11n n na q S a q q q⎧=⎪=⎨-≠⎪-⎩．用错位相减法推导等比数列前n 项和公式：211111n n S a a q a q a q -=++++，等式两边同乘q 得：211111n n n qS a q a q a q a q -=++++，将这两式相减得：()11111(1)n n n q S a a q a q --=-=-， 从而得到等比数列的前n 项和公式()1(1)11n n a q S q q-=≠-；当1q =时，1n S na =.六. 等比数列{}n a 前n 项和公式与指数函数. 区别和联系区别联系n S定义域为*N 图象是一系列的孤立点 （1）解析式都是指数型； （2）n S 图象是指数型函数()f x 图象上一系列的点．()f x定义域为R图象是一条指数型曲线2. 观察()0nn S Aq B AB =+≠和111(1)111n n a q a aS q q q q--==+--- 得11a A B q-=-=-3. 有指数型函数的性质可得：当10 10q a <<<，时，0A >，n S 递减有最大值， 当10 10q a <<>，时，0A <，n S 递增有最小值； 当110q a ><，时，0A <，n S 递减有最大值， 当110q a >>，时，0A >，n S 递增有最小值．七. 等比数列的前n 项和的性质等比数列{}n a 的前n 项和可以构成一个等比数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列.公比为k q （k 为偶数时，1q ≠-）如下图所示：323212312213kkk k k kS k k k k kS S S S S a a a a a a a a ++--++++++++++三点剖析一、等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列{}n a ，若1(0)n na q q a +=≠，则数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项：对于数列{}n a ，若221n n n a a a ++⋅=，则数列{}n a 是等比数列；（3）等比数列与对数的结合等比数列{}n a 中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅，相应的，lg lg lg lg n m u v a a a a +=+，{}lg n a 是等差数列，公差为lg q .（4）前n 项和法：()0n n S Aq A Aq =-≠⇔{}n a 等比数列．等比数列的概念例题1、 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________例题2、 已知x ，22x +，33x +是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（ ）A.－27B.12C.272D.272-例题3、 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A.－4 B.－6C.－8D.－10例题4、 己知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_________．例题5、 在正项等比数列{}n a 中，已知412a =，563a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为（ ） A.1256B.1512C.11024D.12048随练1、 在数列{}n a 中，12n n a a +=，若54a =，则456a a a = ． 随练2、 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ ）A.12+B.12C.322+D.322-随练3、 在等差数列{}n a 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ） A.3m n p r b b b b ++=B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p r b b b b = D.3m n p r b b b b =随练4、 公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1ak ，2ak ，3ak …构成等比数列{}n ak ，且11k =，22k =，36k =，则5k =________．随练5、 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，360n S =，求n 的值．等比数列的性质例题1、 已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a =，则567a a a =________．例题2、 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 8a 10＋a 7a 11＝2e 6，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 17＝________．例题3、 已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7（a 1＋2a 3）＋a 3a 9＝________．例题4、 定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数f x （），如果对于任意给定的等比数列{}{}n n a f a ，（）仍 是等比数列，则称f x （）为“保比等比数列”．现有定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的如下函数： ①2f x x =（）； ②2x f x =（）； ③f x x =（）④ln f x x =（）． 则其中是“保比等比数列”的f x （）的序号为 ．随练1、 在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a =________．随练2、 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________随练3、 已知数列{}n a 是递增等比数列，152417,16a a a a +==，则公比q =（ ） A.－4 B.4C.－2D.2随练4、 等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{lg }n a 的前10项和等于（ ） A.2 B.lg50C.10D.5等比数列的前n 项和例题1、 已知数列{a n }满足a 1＝1，*12()n n a a n N +=∈，则S 10＝________．例题2、 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足313a a +=，356a a +=，则324354657l a a a a a a a a a a ++++=（ ）A.62B.2C.61D.612例题3、 数列112，124，138，…的前n 项和为n S =（ ）A.21n n-B.12n n -C.(1)1122n n n +-+D.(1)122n n n +-例题4、 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________．例题5、 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2，S 4，S 3成等差数列． （1）求数列{a n }的公比q ；（2）若a 1－a 3＝3，问218是数列{a n }的前多少项和．随练1、 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2＝________．随练2、 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． （1）求a n 及S n ；（2）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2－（a 4＋1）q ＋S 4＝0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．随练3、 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的通项公式为2()2n n n a k b n-=，求k 的值及此时数列{}n b 的前n 项和n T .等比数列的判定例题1、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n a +=131n a ++，265a S =，则=____．例题2、 设n n S T ，，分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，647227n n S a =﹣，()2819n n n n a b +=-+，则当n =____时，n T 最小．例题3、 已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．{}na 25=6,=18a a {}nb n n T 1n n T b +={}na{}nb例题4、 已知数列{}n a 中，首项15a =，()121n n a a n N *+=+∈． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ．例题5、 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．1（）若{}n a 是等差数列，试证明：1()2n n n a a S +=； 2（）若110a q =≠，，且对所有的正整数n ，有11nn q S q -=-，判断{}n a 是否为等比数列．例题6、 设数列{}n a 满足1421n n n a a a +-=+*()n N ∈ （Ⅰ）若13a =，21nn n a b a -=-*()n N ∈求证数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式n b ； （Ⅱ）若1n n a a +>对*n N ∀∈恒成立，求1a 的取值范围。

2021年高考数学解答题专项复习-《数列》1.设{a}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．2.设{a}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.n（1）求{a n}的通项公式；（2）求错误!未找到引用源。

.3.设数列{a}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.n（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n·b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n.4.已知{a}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．5.已知数列{a}前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N+,数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N+.n(1)求a n和b n的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.已知数列{a}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.n（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.7.S为数列{a n}的前n项和.已知a n＞0，=.n（1）求{a n}的通项公式；（2）设 ,求数列{b n}的前n项和.8.已知等差数列{a}满足a3=6，前7项和为S7=49.n（1）求{a n}的通项公式（2）设数列{b n}满足b n=(a n-3)·3n，求{b n}的前n项和T n.9.设数列{a}满足a1+3a2+...+(2n-1)a n=2n.n（1）求{a n}通项公式；（2）求数列的前n项和．10.已知等比数列{a}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，n数列{（b n+1-b n）a n}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．11.已知数列{a}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n．12.已知数列{a}为递增的等差数列，其中a3=5，且a1,a2,a5成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）设记数列{b n}的前n项和为T n，求使得成立的m的最小正整数．13.等比数列{a}的各项均为正数，且.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和T n.14.已知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设错误!未找到引用源。

数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。

2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题18等差数列考点命题分析数列是高中数学的重要内容，在高考试卷中，题量一般是一道小题，一道大题(有时改成小题)，有时还有一道与其他知识交汇的综合题.分值在15分左右，文科卷以应用等差数列、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科卷以应用S n或a n之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主.分析近几年的高考试卷，涉及等差数列的核心考点是等差数列的定义、运算与性质.考查的内容是等差数列的通项公式、前n项和公式，体现的核心素养主要是数学运算.一般在选择题中考查，属容易题.本部分内容的教学重点是深刻理解等差数列的概念与性质，熟练掌握等差数列的通项公式与求和公式.综合运用等差数列的知识解决相关问题.教学难点是等差数列性质的进一步探究与灵活运用，数学史中的等差数列问题.等差数列内容复习时，要注意运用不同的数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)表述相关问题.如通项公式的符号语言是a n=a1+(n－1)d；文字语言是第n项与第1项相差n－1个公差；图形语言是直线y=dx+(a1－d)上一系列的点(1，a1)，(2，a2)，……，(n，a n)，……的集合.一般地，通项公式的符号语言是a n=a m+(n －m)d，文字语言是第n项与第m项相差n－m个公差，图形语言是两点A(n，a n)，B(m，a m)连线的斜率是d，且.数列作为特殊的函数，要注意应用函数的思想.比如:等差数列的通项公式与一次函数之间的联系，前n项和公式与二次函数之间的联系.1以数列为背景，提升学生的转化能力例1《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题:今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( )A．8 B．9 C．10 D．11思路探求:问题转化为在等差数列{a n}中，已知，求.据此可得：第九日所织尺数为9.答案是B方法点睛:数学史是高考数学考查的重点，把数学史问题转化为数学问题，关键是不同数学语言的应用.以下两种解题方法是高考的重点，也是求解等差数列问题的常用方法，师生必须引起重视:(1)求解等差数列问题的通性通法.利用等差数列的主要元素，即首项和公差来表示等差数列，联系等差数列的前n项和公式和通项公式解题.(2)应用等差数列的性质解题.由S7=28求出a4，由a2+a5+a8=15求出a5，然后得到公差进行求解.同时注意提醒学生避免如下错误解答.2以数列为背景，渗透分类讨论思想例2已知数列，且，则S2017的值为( )A．B．C．D．思路探求:由可知：当n为偶数时，，即为常数列且各项均为2；当n为奇数时，，即构成首项为1，公差为2的等差数列.所以.故选：C.3以数列为背景，考查学生的不同思维层次例3设数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若正整数i，j，k，l满足i+l=j+k(i≤j≤k≤l)，则( )A．B．C．D．思路探求:解法1，设数列{a n}的公差为d，因为，所以，得到.答案A解法2:根据题意i，j，k，l不妨分别取1，2，3，4.则，所以.答案A解法3:根据题意i，j，k，l不妨分别取1，2，3，4，同时取.因为，所以排除B.因为，排除选项D.答案A.方法点睛:选择题是考查学生数学素养的好题型，其中有多种不同的解题方法，不同层次的学生，会产生不同的解题方法.数学教育教学，教师要教给学生的是数学素养，而不是题海战术，本题的三种解题方法，能很好地考查学生的数学素养.其思维过程是观察选择支，发现A，B同类，C，D同类，再比较大小.作为选择题，可以应用特殊值法、特殊数列法、排除法，产生解法3，这也是解选择题的通性通法.解法1是通项公式一般情形的应用，解法2是特殊值法的应用，但是两种解法都有其局限性，因为本题的正确答案是A，所以代入答案A，马上证明是正确的，看似简单，如果把答案A放到最后，那么像解法1和解法2这样证明，就会变得很尴尬.4以数列为背景，锻炼学生的理解与应用能力例4若数列{a n}满足(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列，已知数列为调和数列且，则.思路探求:根据题意，把代入中，得到数列{x n}是等差数列，因为前20项和S20=200，所以，利用等差数列的性质得到.方法点睛:定义型应用题通过指出定义所反映的事物本质特征来明确定义的内涵和外延，它科学地指示了客观世界的事物的本质特征.定义是一种人为的广泛、通用的解释意义.而对自定义型，则要求学生从新的定义、方法，到新规则的学习，在较短时间内获取信息，对信息进行加工处理的过程.它有利于提高学生主动获取信息、加工信息的能力.本题给出调和数列的定义，考查学生对调和数列定义的理解和应用的能力.此类题的复习重点是深刻理解定义的内涵和外延，深化对定义的不同数学语言的理解和互相转换.5以数列为背景，培养学生的辩证思维能力例5已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=，，求数列{a n}的前n项和S n，及通项公式a n.思路探求:把代入，得到.因为，所以数列是以－1为首项，为公差的等差数列.因此，利用a n 与S n 的关系求得;;.方法点睛:由于已知条件中有S n 和a n ，可自然产生解题思路，要么统一转化化归为项数和的式子如，要么统一转化化归为项数之间关系式.显然转化为前者解题比较方便.但是在的应用过程中，要注意当n =1时，a 1是否适合，如果适合则可立即写出通项公式，如果不适合，则用分段函数的形式表示.这是容易出错的地方，师生要引起重视.最新模拟题强化1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1095,S =817a =，则（ ） A ．523n a n =- B ．22122n S n n =- C ．415n a n =-D ．23112n n nS -=【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11104595717a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14,a =-3d =，故37,n a n =-23112n n nS -=.故选：D.2．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值. 故选：C3．已知数列{}n a 满足112(2),n n n a a a n -+=+≥24612,a a a ++=1359a a a ++=，则34a a +=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，数列{}n a 是等差数列，设公差为d ， 则1111113512249a d a d a d a a d a d +++++=⎧⎨++++=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以3411237a a a d a d +=+++=，（巧解）由题意，数列{}n a 是等差数列，将两方程相加可得()34312921a a +=+=，所以347a a +=， A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤【解析】原问题等价于等差数列中，已知154,2a a ==，求234a a a ++的值. 由等差数列的性质可知：15241536,32a a a a a a a ++=+===， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤. 本题选择D 选项.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列【答案】C 【解析】若数列{}n a 中所有的项都为0，则满足13n n a S +=，所以数列{}n a 可能为等差数列；由13n n a S +=得：213n n a S ++=，则21113()3n n n n n a a S S a ++++-=-=，所以214n n a a ++=，另由13n n a S +=得：213a a =，即213a a =，所以数列{}n a 不是等比数列．故选C ．6．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．-3 B ．-2C ．2D ．3【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1+2d ，a 4＝a 1+3d ． 因为a 1、a 3、a 4成等比数列，所以（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ），解得：a 1＝﹣4d ．所以321531227S S a dS S a d-+==-+2，7．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.8．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（ ） A ．0 B ．2019C ．4038D ．4040【答案】C 【解析】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调， 可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =， 可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C9．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.10．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1 ，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1 ，()1,5，()2,4 ，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ） A ．第351位 B ．第353位C ．第378位D ．第380位【答案】B 【解析】20193673=⨯（673为质数），故22133673m n ⎧-=⎨-=⎩ 或者22167333m n ⎧-=⎨-=⎩，(),m n N *∈， 得2,2826m m n n =⎧+=⎨=⎩，在所有数对中，两数之和不超过27的有12612326263512++++⋯+=⨯= 个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个（第一个是(1,27)）,故数对(2,26)排在第351+2=353位， 故选B11．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，且11101a a <-，那么n S 取正值时项数n 的最大值为（ ） A ．15 B ．17C ．19D ．21【答案】C 【解析】解：由题意值，n S 有最大值，所以0d <，因为11101a a <-，可得11100a a <<，且11100a a +<， 所以20120101110()10()0S a a a a =+=+<，则1910190S a =>， 又121011120a a a a a >>>>>>，所以109210S S S S >>>>>，10111920210S S S S S >>>>>>，A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B 【解析】 （1）若a ＞b ＞0则有a ＞2a b+ b若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+， 解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>2a bb a +=+，得于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意 故选B13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知560a a +=，1224S =，则n nS 的最小值为( ) A ．-144 B ．-145C ．-146D ．-147【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d由题意可得：1129012(121)12242a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：19a =-，2d = 所以32(1)(92)102n n n nS n n n n -=-+⨯=- 令32()10f x x x =-，(0)x >2()320(320)f x x x x x '=-=-20()03f x x '>⇒>，20()003f x x '<⇒<< 所以函数32()10f x x x =-在区间20(0,)3上单调递减，在区间20(,)3+∞上单调递增 所以当203x =时，函数()f x 有最小值当7n =时，n nS 取327107147-⨯=-， 当6n =时，n nS 取326106144-⨯=-， ∴n nS 的最小值为147-， 故选：D14．已知{}n a 为等差数列，352a =，7343S =，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ） A ．19 B ．20 C ．39 D ．40【答案】B 【解析】由747343S a ==,得449a =，所以4349523d a a =-=-=-，132522(3)58a a d =-=-⨯-=，所以1(1)361n a a n d n =+-=-+．由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩得20n =.故选：B.15．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()()3332sin 22020a a -+-=，()()3201820182sin 22020a a -+-=-，则2020S =（ ）A ．0B ．-2020C ．2020D ．4040【答案】D 【解析】由题意可设()3sin f x x x =+，则()f x 为递增的奇函数，所以()()()333322sin 22020f a a a -=-+-=，()()()320182018201822sin 22020f a a a -=-+-=-，由()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以32018220a a -+-=，即320184a a +=，所以()()120203201820202020202010104404022a a a a S ++===⨯=.故选：D.16．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．9 D ．4 【答案】C 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =，20172015120172015S S -=，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017项和为（ ）A ．20171009B ．20172018C ．12017D ．12018【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，11201720152017?20162015?2014201720152212017201520172015a d a dS S ++-==-()1110081007a d a d d =+-+= ,()11,1n n a a n d n S n ∴=+-==⨯ (1)(1)12111,222(1)1n n n n n S n n n n -+⎛⎫+⨯=∴==- ⎪++⎝⎭，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2017 项和为 11111111201721 (21223342017201820181009)⎡⎫⎛⎫-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，故选A. 18．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n N ++++=≠∈，*1122,,n n n n n n B B B B B B n N ++++=≠∈.（P Q P Q ≠表示点与不重合）若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．19．设等差数列满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a ，4,2k a k Z 且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列的前项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．3[,2]2ππ B ．3(,2)2ππ C ．7[,2]4ππ D ．7(,2)4ππ 【答案】D 【解析】 ∵，∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴．∵，∴，则．由()()1111224n n n n n S na d na π--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭2188n a n ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．∴首项的取值范围是，故选D ．20．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A ．18B ．9C ．27D ．81【答案】C 【解析】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27，即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ．21．已知首项为3的正项数列{}n a 满足()()()()11311n n n n n n a a a a a a +++-=+-，记数列(){}22log 1n a -的前n 项和为n S ，则使得440n S >成立的n 的最小值为________. 【答案】21 【解析】依题意，22143n n a a +=-，n *∈N ，故211n a +-2431n a =--244n a =-()241n a =-， 令21n n b a =-，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 是等比数列，首项为21118b a =-=，公比为4， 所以114n n b b -=⋅2282n -=⨯212n +=，故()222log 1log n n a b -=212log 2n +=21n =+，故(321)2n n n S ++=22n n =+，令224400n n +->， 即(22)(20)0n n +->，所以20n >或22n <-（舍去），n *∈N 故所求最小值为21. 故答案为：2122．设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______． 【答案】253,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-， 18(1)4n n a a n -+=--，(3)n再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列． 若1n n a a +<，*n N ∈恒成立， 当且仅当1234a a a a <<<， 又125a S +=，所以2152a a =-， 所以3211272a a a =-=+， 41132a a =-，所以11115272132a a a a <-<+<-， 解得，11322a -<<，2121111(52)25a a a a a a =-=-+，113()22a -<<所以12(3a a ∈-，25]8． 故答案为：(3-，25]8． 23．已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥，则2a =__________；2019S =__________. 【答案】16- 12020【解析】（1）由题：()202n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，222222222211()0220,()S a S a a a a a ++=++-=-，得：231024a +=，所以216a =-；（2）由题()202n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=()211()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得：()1102n n n n S S S S n ---+=≥，11111110,1,(2)n n n n n S S S S --+-=-=≥， 1{}nS 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 11n n S =+，11n S n =+，201912020S = 故答案为：(1). 16-(2). 1202024．已知函数()43cos f x x x =+，等差数列{}n a 的公差为3π，若()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=，则5a =______.【答案】3π 【解析】()11143cos f a a a =+ ()22243cos f a a a =+ ()33343cos f a a a =+⋅⋅⋅()10101043cos f a a a =+，因为()()()()1231020f a f a f a f a π+++⋅⋅⋅+=， 所以56121045()3(cos cos cos )20a a a a a π⋅⋅++⋅+++=， 所以561105645()3[(cos cos )(cos cos )]a a a a a a ⋅⋅++⋅+++11011056565645()3[2coscos 2cos cos ]2222a a a a a a a aa a +-+-=⋅⋅++⋅++ 56110565645()3[2cos (cos cos )]222a a a a a aa a +--=⋅⋅++⋅++5656975345()3[2cos (cos cos cos cos cos )]222222a a d d d d da a +=⋅⋅++⋅++++5656975345()6cos (cos cos cos cos cos )266666a a a a πππππ+=⋅⋅++⋅++++565620()202a aa a π+=⋅+-=，显然56a a π+=， 所以55533a a a πππ++=⇒=.故答案为3π. 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，472S =.数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，则12000a b =________. 【答案】21 【解析】设{}n a 的公差为14414144(),2()72,()362a a d S a a a a +==+=+=， 1343131110,26221021a a a a d a a a d a +=-==∴+=+==-，，，11212222,0,,2n n n n n n n n nb b b b b b b b b ++++---=-∴≠====-，20002121b b b -===-，1200021a b = 故答案为:2126．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________. 【答案】52 【解析】由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以113410138131********a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=. 故答案为：5227．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=， 求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 28．已知数列{}n a 满足0n a >，且lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，若34674a a a a =，则5a =______.【解析】∵lg n a ，1lg n a +，2lg n a +成等差数列，∴212n n n a a a ++=，即{}n a 为等比数列， ∴237465a a a a a ==，从而4346754a a a a a ==则5a =0n a >，∴5a =29．等差数列{}n a 中，10a ≠，已知1001010S S =，则10010a a =______．【答案】1 【解析】等差数列{}n a 中，设首项10a ≠，公差为d ，，1001010S S =，即1110099109100101022a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即100991009022d ⨯⨯⎛⎫-=⎪⎝⎭解得：0d =，所以10100a a =，即100101a a =. 故答案为：130．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______. 【答案】215【解析】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a Ab b b b B +===+， 又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+.故答案为：21531．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且4，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n bn a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()12n n a n N +*=∈；（2）23nT n n =+.【解析】（1）由题意有24n n a S =+,当1n =时，1124a a =+，所以14a =, 当2n ≥时，24n n S a =-，1124n n S a --=-，两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，整理得12nn a a -=， 所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列, 所以数列{}n a 的通项公式()11422n n n a n N -+*=⨯=∈．（2）由22222nb n n a +==，所以22=+n b n ，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公差的等差数列, 所以()214232n n n T n n n -=+⨯=+． 32．设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 且满足1(n n S a λλ=-为常数N )n *∈.（1）若232a a =，求λ的值；（3）当2λ=时，若数列{}n b 满足1(N )n n n b a b n *+=+∈，且132b =，令(1)n n n n a c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）0λ=或2λ=；（2）不存在，理由见解析；（3）2121n n nT -=+. 【解析】（1）由1,n n S a λ=-得111a a λ=-,（即1λ≠）,1221a a a λ+=-12331a a a a λ++=-,故 2123231,,.1(1)(1)a a a λλλλλ===--- 于是由232,a a =得2234.(1)(1)λλλλ=-- 解得0λ=或2λ=；(2) 假设存在实数λ,使得数列{}n a 为等差数列,则1322,a a a +=于是由（1）可得 223232122212,1(1)(1)(1)(1)λλλλλλλλλλ-++=⇒=----- 即01=,矛盾, 所以,不存在实数λ,使得数列{}n a 为等差数列.(3) 当2λ=时，112121(2)n n n n S a S a n --=-=-≥，,且11a =, 所以1122n n n n n a S S a a --=-=-即1=2(2)n n a a n -≥, 故数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列, 即1=2(N )n n a n -*∈,因1(N )n n n b a b n *+=+∈,且132b =,故 11122123211233212221(2).22n n n n n n n n n n n n b a b a a b a a a a a b n ----------=+=++==+++++++=+++++=≥ 当1n =时,上式仍然成立.所以21(N )2n n b n *+=∈ 于是11111222112.21(1)(21)(21)2121(21)2n n n n n n n n n n n n a c a b -----⋅⎛⎫====- ⎪++++++⎝⎭+⋅ 故12211111112()()()22121212121n n n n T c c c -⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥+++++⎣⎦ 22112121n n n -=-=++. 33．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若n n nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）3n n a =．1n b n =+（2）525443n n n S +=-⋅ 【解析】解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3n n a ∴=.()212n n b n n k +=++，132k b +∴=，283k b += ，3154k b +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =， ()211n b n n ∴=+-=+；（2）由（1）知，13n n n n b n c a +==， 2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+② ①-②可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅， 525443n n n S +∴=-⋅. 34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，315S =，1413,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =+ (2)224n n T n +=+-【解析】(1)依题意，()()12111323152312a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩. 解得132a d =⎧⎨=⎩.因此()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+.(2)依题意，1222121n n n n b a +==⨯+=+.()()()2311221212n n n T b b b n +=++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++ 231222n n +=++⋅⋅⋅++ ()41212nn -=+-224n n T n +=+-.35．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且23a =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}2n a +的前n 项和，1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0.由题意得()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩. 所以21n a n =-.（2）依题意得，221n a n +=+， ()()()()()123122222n n n S a a a a a -=++++++++++ 357(21)(21)n n =++++-++ 2(213)22n n n n ++==+. 所以1231n n n T b b b b b -=+++++11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 32342(1)(2)n n n +=-++.。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识20 等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．设甲：0q >．乙：{}n S 是递增数列，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是必要条件 【答案】B【解析】11,2a q =-=时，{}n S 是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；{}n S 是递增数列，可以推出110n n n a S S ++=->，可以推出0q >，甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2021年甲卷文科第9题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若24S =，46S =，则6S = A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】A【解析】由题意可知，124a a +=，342a a +=， 因为{}n a 是等比数列，所以561a a +=，从而64217S =++=．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =A ．14B ．12C ．6D ．3【答案】D【解析】设等比数列{}n a 首项1a ，公比q由题意，1232516842a a a a a ++=⎧⎨-=⎩，即2131(1)168(1)42a q q a q q ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩，即2121(1)168(1)(1)42a q q a q q q q ⎧++=⎪⎨-++=⎪⎩ 解得，12q =，196a =，所以5613a a q == 4．（2021年上海第8题）已知等比数列123,n n a b a ==，n a 的各项和为9，则数列{}n b 的各项和为________． 【答案】185【解析】因为n a 的各项和为9，13a =，所以191a q =-，解得23q =，所以12492n n n b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭==⋅即数列的各项和为1221841519b S q ===--5.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证． （2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟 故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个．1．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n 项和时，易忽略q ＝1这一特殊情形．1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝－2，S 3＝－6，且公比q ≠1，则a 3＝( )A ．－2B ．2C ．－8D ．－2或－8 【答案】C【解析】依题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝－2，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得q ＝－2(q ＝1舍去)，故a 3＝a 1q 2＝－2×(－2)2＝－8 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7n 33A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【答案】Cn n 24A ．5 B ．4C ．3 D ．2 【答案】D【解析】因为S 2＝3，S 4＝15，S 4－S 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q 2＝4， 因为数列是正项等比数列，所以q ＝2，故选D.5.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－2C.2D ．－2或 2n n 24234A ．S n ＝2n －1－1 B ．a n ＝2n C ．S n ＋1－S n ＝2n ＋1D ．S n ＝2n －1因此只有选项D 正确，故选D.7．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．{log 2a 2n }C ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2} 8．(多选)已知数列{a n }是正项等比数列，且2a 3＋3a 7＝6，则a 5的值可能是( )A ．2B ．4C.85D.839.已知数列{a n }是等比数列，a 2＝1，a 5＝－18，若S k ＝－118，则k ＝________．n 1231n 【答案】3n －1【解析】设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8.解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.11．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 10＝16，则a 2和a 10的等比中项为________． 【答案】±8【解析】设a 2与a 10的等比中项为G ，因为a 2＝4，a 10＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8. 12．在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________． 【答案】32【解析】因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4.又a 4＝8，所以q ＝±2. 所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32.13.在等比数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12－a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝66，求m . 14.在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．求证：数列{b n }是等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若a ，b ，c ，d 成等比数列，则下列三个数列：①,,a b b c c d +++；②,,ab bc cd ；③,,a b b c c d ---，必成等比数列的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1--，则,,a b b c c d +++不为等比数列，①不符合； 由a ，b ，c ，d 必非零且公比为q ，则,,ab bc cd 也非零且公比为2q ，②符合； 若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1，则,,a b b c c d ---不为等比数列，③不符合； 故选：B2．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（ ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.2 2.07≈，51.2 2.49≈）A ．83B ．60C ．50D ．44 【答案】BA ．ABC 中，:p AB >，:sin sin q A B > B ．2:p b ac =，:,,q a b c 成等比数列C ．n S 是数列{}n a 的前n 项和，p ：数列{}n a 为等比数列，q ：数列m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列D ．α∈R ，:tan 2p α=，3:cos 25q α=-，ABC 中由正弦定理，反之也成立，成等比数列则的必要不充分条件；()1n=-时{4．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列n a 的前项和为n S ，19a =，31a =．记()121,2,n n T a a a n ==，下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的公比为13-B ．272n S ≥C ．n T 存在最大值，但无最小值D．()234n n n n T a -++=2132132=3333nn na -+++-⨯⨯==⨯3n ≤，由指数函数单调性可知0<存在最大值，但无最小值，故C 正确；225363322333n nn n n n-+-+++--⨯===5．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列3中不超过正整数n 的项的个数为n a ，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则3k S ()+∈N k 等于（ ）A ．1323⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭k k k B ．13322⎛⎫-⋅++⎪⎝⎭kk kC ．333722⎛⎫-⋅+-⎪⎝⎭kk k D ．37322⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭k k82,,2,=a a 1+，所以(3++-k S k 1231-++⋅++k k k ，21323-⨯++⋅k k ，323k k ++⋅，121232323k -+⨯+⨯++⨯233kk k -⋅，12+，所以3132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭k k S k 6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列{n n n a 满足()*111112233411111112334n n n n n n n n n n n b a b c c a a c c n S n T n b b bb a a a n+++====-=⋅∈=+++≥=+++≥---N ，，，（），（），则下列有可能成立的是（ ）A ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b > B ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T <C ．若{}n a 为等比数列，则220222022a b < D ．若{}n c 为递增的等差数列，则20222022S T >13524123n n n nb c c c c b c c c c ++⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 211111n n n n c d c c d c c ++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 23344511111111111n nn d b d c c c c c c c c +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111n d d d c d+⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭，()()()1112211,n n n n n n n a a a a a a a a a a +---=-=-+-++-+，1n a n ++-n n S T <恒成立，正确，D 错误7．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列{}n a 的公比为q ，且20221a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列说法正确的是（ ）A ．当01q <<时，{}n S 递减B ．当0q >时，40434043S ≥C ．当1q >时，2022n T T ≥D ．当10q -<<时，2022n T T ≥8．（2022·湖北武汉·二模）数列n 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M …，有10k M k a a +-+=，且当2M n …时，12n n a =.记{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的有（ ）A ．若10231024n S …，则20M … B ．{}n a 中可能出现连续五项构成等差数列C ．对任意小于M 的正整数,p q ，存在正整数,i j ，使得i j p q a a S S +=-D ．对{}n a 中任意一项r a ，必存在(),s t a a s t ≠，使得,,r s t a a a 按照一定顺序排列可以构成等差数列1,,,16--；当2Mn >时，由对称性，也成立，9．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……10．（2021·四川成都·三模（理））已知等比数列n a 的前项和n S 满足2n S m =-，数列n b 满足2log n n b a =，其中*n ∈N ，给出以下命题： ①1m =；②若4n n ta b >-对*n ∈N 恒成立，则132t >； ③设36()n nf n a a =+，*n ∈N ，则()f n 的最小值为12； ④设21,4,4n n n n b b n c a n λ⎧-+≤=⎨>⎩，*n ∈N 若数列{}n c 单调递增，则实数λ的取值范围为15,34⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中所有正确的命题的序号为________．11．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列n 的前项和为n S ，等比数列n b 的前项和13n n T k -=-，数列{}n c 满足12c =，23c =，33c b =，且1n n n c c a +=+；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①3k =；②222211n n n n a b a b +++>+；③221n n n S S S ++<；④121111n n c c c n +++≥+.()()121323n n c c n -++-=++++-11111111112231n c n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：③④.．（2022·全国·长郡中学模拟预测）公比为q 的等比数列{n 满足：910，记123n n T a a a a =⋯⋯，则当q 最小时，使1n T ≥成立的最小n 值是___________910ln a a =)99ln ln q a q =+ ， ，()'1x f x x-=，当0< ，∴在x =1时，，由题意即819e e n n --=()17876923e ?e ?eeen n n n a -----==≥的最小值是17. 故答案为：17.13．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列n 为递增数列，11a =，12a +是2a 与3的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若项数为n 的数列{}n b 满足：1i n i b b +-=（1i =，2，3，…，n ）我们称其为n 项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列{}n c 为()212k k -≥项的“对称数列”，其中1c ，2c ，3c ，…，n c 是公差为2的等差数列，数列{}n c 的最大项等于4a .记数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，若2132k S -=，求k .14．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知数列n a 满足11n n a a +-=，其前5项和为15；数列{}n b 是等比数列，且12b =，24b ，32b ，4b 成等差数列． (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()2*212N n n n n S S S b n +++⋅=-∈；(3)比较11n i n i i a b +-=∑和()211211n i i i a --=-∑的大小()*N n ∈．【答案】(1)n a n =，2nn b =；(2)证明见解析(3)()21121111n n i i n i i i i a b a --+-==>-∑∑【解析】(1)因为11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列，1．（2020全国Ⅰ文10）设{}n a 是等比数列，且1232341,+2a a a a a a ++=+=，则678a a a ++=（） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ∴++=++=++==，故选D ．2．（2020全国Ⅱ文6）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若,24,124635=-=-a a a a 则=nna S （） A ．12-n B ．n --122C ．122--n D ．121--n【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， ∴1111(1)122,21112n n n n nn n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-，故选B ．3．（2020全国Ⅱ理6）数列}{n a 中，21=a ，n m n m a a a =+，若515102122-=++++++k k k a a a ，则=k （）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】在等式m nm n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．4．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选C ． 5．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯() A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】设塔顶的1a 盏灯，由题意{}n a 是公比为2的等比数列，717(12)38112a S -∴==-，解得13a =，故选B ．6．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357(a a a ++=) A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】13a =，13521a a a ++=，∴241(1)21a q q ++=，4217q q ∴++=，4260q q ∴+-=，22q ∴=，2463571()3(248)42a a a a q q q ∴++=++=⨯++=，故选B ．7．（2015新课标Ⅱ，文9）已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（）A.2B.11C.21D.8【答案】C【解析】由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒= ，故2112a a q ==8．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A B C ．D ． 【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．9．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a > 【答案】B【解析】因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．10．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列 【答案】D【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列． 11．（2019•新课标Ⅰ，理14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S =． 【答案】1213【解析】在等比数列中，由246a a =，得625110q a q a =>，即0q >，3q =，则551(13)1213133S -==-． 12．（2019•新课标Ⅰ，文14）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S =．【答案】58【解析】等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，334S =，1q ∴≠，31314q q -=-，整理可得，2104q q ++=，解可得，12q =-，则4411151611812q S q --===-+． 13．（2015新课标Ⅰ，文13）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =． 【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6．． 14．（2017•新课标Ⅲ，理14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =． 【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，121a a +=-，133a a -=-，1(1)1a q ∴+=-，21(1)3a q -=-，解得11a =，2q =-，则34(2)8a =-=-．15．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =．【答案】32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==．16．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____．【答案】1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=， 所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 17．（2017•新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=．（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =-，11b =，222a b +=，335a b +=，可得12d q -++=，2125d q -++=，解得1d =，2q =或3d =，0q =（舍去），则{}n b 的通项公式为12n n b -=，*n N ∈； （2）11b =，321T =，可得2121q q ++=，解得4q =或5-，当4q =时，24b =，2242a =-=-，2(1)1d =---=-，31236S =---=-； 当5q =-时，25b =-，22(5)7a =--=，7(1)8d =--=，3171521S =-++=． 18．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．4214(1)q q ∴⨯=⨯⨯，解得2q =±， 当2q =时，12n n a -=，当2q =-时，1(2)n n a -=-，{}n a ∴的通项公式为，12n n a -=，或1(2)n n a -=-．（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．当11a =，2q =-时，1(1)1(2)1(2)11(2)3n n nn a q S q -----===---，由63m S =，得1(2)633mm S --==，m N ∈，无解；当11a =，2q =时，1(1)1221112n nn n a q S q --===---， 由63m S =，得2163m m S =-=，m N ∈，解得6m =．。

高考数学二轮复习专题过关检测—数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·内蒙古包头一模)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1-a n -2=0,则a 5+a 6+…+a 14=( ) A.180B.190C.160D.1202.(2021·北京朝阳期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=( ) A.52B.53C.10D.153.(2021·湖北荆州中学月考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S10S 5=12,则S15S 5=( )A.12B.13C.23D.344.(2021·北京师大附属中学模拟)我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图),从左至右依次为:c ,#c ,d ,#d ,e ,f ,#f ,g ,#g ,a ,#a ,b ,c 1的音频恰成一个公比为√212的等比数列的原理,也即高音c 1的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音a 的频率为440 Hz,则频率为220√2 Hz 的音名是( )A.dB.fC.eD.#d5.(2021·四川成都二诊)已知数列{a n}的前n项和S n=n2,设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n,则T20的值为()A.1939B.3839C.2041D.40416.(2021·河南新乡二模)一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为()A.39B.45C.48D.517.(2021·陕西西安铁一中月考)在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n(n∈N*)的整数,则其余整数的和是()A.3 928B.4 024C.4 920D.4 9248.已知函数f(n)={n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 200二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·辽宁沈阳三模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=4n-1+t,则()A.首项a1不确定B.公比q=4C.a2=3D.t=-1410.(2021·山东临沂模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d=1.若a1+3a5=S7,则下列结论一定正确的是()A.a5=1B.S n的最小值为S3C.S1=S6D.S n存在最大值11.已知数列{a n}是等差数列,其前30项和为390,a1=5,b n=2a n,对于数列{a n},{b n},下列选项正确的是() A.b10=8b5 B.{b n}是等比数列C.a1b30=105D.a3+a5+a7a2+a4+a6=20919312.(2021·广东广州一模)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2.记a n=1+x1+x2+…+x k+2,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.k+1=2nB.a n+1=3a n-3C.a n =32(n 2+3n )D.S n =34(3n+1+2n-3) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·山西太原检测)在等差数列{a n }中,若a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,则a 1+a 1 011+a 2 021等于 .14.(2021·江苏如东检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -2,则数列{log 2a n }的前n 项和T n = .15.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 .16.(2021·新高考Ⅰ,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm ×12 dm,20 dm ×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240 dm 2,对折2次共可以得到5 dm ×12 dm,10 dm ×6 dm,20 dm ×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180 dm 2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n 次,那么∑k=1nS k =dm 2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n },a 4=116,a 5a 7=256. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|log 2a n |}的前n 项和.18.(12分)(2021·全国甲,理18)已知数列{a n}的各项均为正数,记S n为{a n}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.19.(12分)(2021·山东济宁二模)已知数列{a n}是正项等比数列,满足a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n log2a2n+1,求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)(2021·山东临沂一模)在①S nn =a n+12,②a n+1a n=2S n,③a n2+a n=2S n这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且满足.(1)求a n;(2)若b n=(a n+1)·2a n,求数列{b n}的前n项和T n.21.(12分)(2021·山东泰安一中月考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n );(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值.22.(12分)(2021·广东广州检测)已知数列{a n }满足a 1=23,且当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2.(1)求证:数列{11−a n}是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)记T n =12a 1a 2…a n ,S n =T 12+T 22+…+T n 2,求证:当n ∈N *时,a n+1-23<S n .答案及解析1.B 解析 因为a n+1-a n =2,a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公差为2的等差数列.所以a n =2+(n-1)×2=2n.设{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(2+2n)2=n 2+n.所以a 5+a 6+…+a 14=S 14-S 4=190.2.C 解析 因为等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,所以log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=log 3(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 3(a 35)=log 3(95)=log 3(310)=10.3.D 解析 由题意可知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列.∵S 10S 5=12,∴设S 5=2k ,S 10=k ,k ≠0,∴S 10-S 5=-k ,∴S 15-S 10=k2,∴S 15=3k2,∴S 15S 5=3k22k =34. 4.D 解析 因为a 的音频是数列的第10项,440=220√2×212=220√2×(2112)10−4,所以频率为220√2 Hz 是该数列的第4项,其音名是#d.5.C 解析 当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1.而a 1=1也符合a n =2n-1,所以a n =2n-1.所以1an a n+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以T n =12(1−13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=121-12n+1=n2n+1,所以T 20=202×20+1=2041. 6.D 解析 设该数列为{a n },依题意,可知a 5,a 6,…成等差数列,且公差为2,a 5=5.设塔群共有n 层,则1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三层的塔数之和为a 10+a 11+a 12=3a 11=3×(5+2×6)=51.7.D 解析 由2n ∈[1,100],n ∈N *,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1−26)1−2=126.又1+2+3+ (100)100×1012=5 050,所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n (n ∈N *)的整数,其余整数的和为5 050-126=4 924.8.B 解析 由已知得当n 为奇数时,a n =n 2-(n+1)2=-2n-1,当n 为偶数时,a n =-n 2+(n+1)2=2n+1.所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.9.BCD 解析 当n=1时,a 1=S 1=1+t ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(4n-1+t )-(4n-2+t )=3×4n-2.由数列{a n }为等比数列,可知a 1必定符合a n =3×4n-2, 所以1+t=34,即t=-14.所以数列{a n }的通项公式为a n =3×4n-2,a 2=3, 数列{a n }的公比q=4.故选BCD . 10.AC 解析 由已知得a 1+3(a 1+4×1)=7a 1+7×62×1,解得a 1=-3.对于选项A,a 5=-3+4×1=1,故A 正确.对于选项B,a n =-3+n-1=n-4,因为a 1=-3<0,a 2=-2<0,a 3=-1<0,a 4=0,a 5=1>0,所以S n 的最小值为S 3或S 4,故B 错误.对于选项C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因为a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正确.对于选项D,因为S n=-3n+n(n-1)2=n2-7n2,所以S n无最大值,故D错误.11.BD解析设{a n}的公差为d,由已知得30×5+30×29d2=390,解得d=1629.∴a n=a1+(n-1)d=16n+12929.∵b n=2a n,∴b n+1b n =2a n+12a n=2a n+1-a n=2d,故数列{b n}是等比数列,B选项正确.∵5d=5×1629=8029≠3,∴b10b5=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5,A选项错误.∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C选项错误.∵a4=a1+3d=5+3×1629=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=20929,∴a3+a5+a7a2+a4+a6=3a53a4=a5a4=209193,D选项正确.12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时k=1,第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时k=15,……第n次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2,此时k=2n-1,所以k+1=2n,故A项正确.当n=1时,a 1=1+3+2=6,当n=2时,a 2=a 1+2a 1-3=3a 1-3,当n=3时,a 3=a 2+2a 2-3=3a 2-3,……所以a n+1=3a n -3,故B 项正确. 由a n+1=3a n -3,得a n+1-32=3(a n -32),又a 1-32=92,所以{a n -32}是首项为92,公比为3的等比数列,所以a n -32=92×3n-1=3n+12,即a n =3n+12+32,故C 项错误.S n =(322+32)+(332+32)+…+(3n+12+32)=343n+1+2n-3,故D 项正确.13.15 解析 因为a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,所以a 2+a 2 020=10.又{a n }为等差数列,所以a 1+a 2 021=a 2+a 2 020=2a 1 011=10,即a 1 011=5. 所以a 1+a 1 011+a 2 021=3a 1 011=15. 14.n(n+1)2解析 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2,两式相减,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1.当n=1时,可得a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n =2n . 所以log 2a n =n ,所以T n =n(n+1)2.15.3n 2-2n 解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{a n }是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n }的前n 项和为S n =n×1+n(n-1)2×6=3n 2-2n.16.5 240(3−n+32n) 解析 对折3次共可以得到52 dm ×12 dm,5 dm ×6 dm,10 dm ×3 dm,20dm ×32dm 四种规格的图形,面积之和S 3=4×30=120 dm 2;对折4次共可以得到54 dm ×12 dm,52dm ×6 dm,5 dm ×3 dm,10 dm ×32dm,20 dm ×34dm 五种规格的图形,S 4=5×15=75 dm 2.可以归纳对折n 次可得n+1种规格的图形,S n =(n+1)·2402ndm 2.则∑k=1nS k =S 1+S 2+…+S n =240221+322+423+…+n+12n . 记T n =221+322+423+…+n+12n , ① 则12T n =222+323+…+n2n +n+12n+1.②①与②式相减,得T n -12T n =12T n =221+122+123+…+12n −n+12n+1=32−n+32n+1. 故T n =3-n+32n .故∑k=1nS k =240·T n =240(3−n+32n).17.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).由等比数列的性质可得a 5a 7=a 62=256,因为a n >0,所以a 6=16.所以q 2=a6a 4=256,即q=16.所以a n =a 6q n-6=16×16n-6=16n-5. (2)由(1)可知log 2a n =log 216n-5=4n-20,设b n =|log 2a n |=|4n-20|,数列{b n }的前n 项和为T n . ①当n ≤5,且n ∈N *时,T n =n(16+20-4n)2=18n-2n 2;②当n ≥6,且n ∈N *时,T n =T 5+(4+4n-20)(n-5)2=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n 2-18n+80.综上所述,T n={18n-2n2,n≤5,且n∈N*,2n2-18n+80,n≥6,且n∈N*.18.证明若选①②⇒③,设数列{a n}的公差为d1,数列{√S n}的公差为d2.∵当n∈N*时,a n>0,∴d1>0,d2>0.∴S n=na1+n(n-1)d12=d12n2+(a1-d12)n.又√S n=√S1+(n-1)d2,∴S n=a1+d22(n-1)2+2√a1d2(n-1)=d22n2+(2√a1d2-2d22)n+d22-2√a1d2+a1,∴d12=d22,a1-d12=2√a1d2-2d22,d22-2√a1d2+a1=0,∴d22=d12,d2=√a1,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②,设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1,所以S n=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以√S n−√S n-1=n√a1-(n-1)√a1=√a1.所以{√S n}是首项为√a1,公差为√a1的等差数列.若选②③⇒①,设数列{√S n}的公差为d,则√S2−√S1=d,即√a1+a2−√a1=d.∵a2=3a1,∴√4a1−√a1=d,即d=√a1,∴√S n=√S1+(n-1)d=√a1+(n-1)√a1=n√a1,即S n =n 2a 1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2a 1-(n-1)2a 1=(2n-1)a 1, 当n=1时,a 1符合式子a n =(2n-1)a 1,∴a n =(2n-1)a 1,n ∈N *,∴a n+1-a n =2a 1, 即数列{a n }是等差数列.19.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项,所以2a 3=2a 1+3a 2,即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ,因为a 1≠0,所以2q 2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去).所以a 4=a 1q 3=8a 1=16,解得a 1=2.所以a n =2×2n-1=2n . (2)由(1)可知a 2n+1=22n+1,所以b n =(-1)n log 2a 2n+1=(-1)n log 222n+1=(-1)n (2n+1), 所以T n =(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n (2n+1), -T n =(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1), 所以2T n =-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1−(−1)n-12+(-1)n (2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n (2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n ,所以T n =(n+1)(-1)n -1. 20.解 (1)若选①,则2S n =na n+1.当n=1时,2S 1=a 2,又S 1=a 1=1,所以a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=(n-1)a n ,所以2a n =na n+1-(n-1)a n ,即(n+1)a n =na n+1,所以an+1n+1=a n n(n ≥2).又a 22=1,所以当n ≥2时,an n =1,即a n =n.又a 1=1符合上式,所以a n =n.若选②,则当n=1时,2S 1=a 2a 1,可得a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=a n a n-1,可得2a n =a n a n+1-a n a n-1. 由a n >0,得a n+1-a n-1=2.又a 1=1,a 2=2,所以{a 2n }是首项为2,公差为2的等差数列,{a 2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n =n.若选③,因为a n 2+a n =2S n ,所以当n ≥2时,a n-12+a n-1=2S n-1,两式相减得a n 2+a n -a n-12-a n-1=2a n ,即(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0.由a n >0,得a n -a n-1-1=0,即a n -a n-1=1,所以{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以a n =n.(2)由(1)知b n =(n+1)·2n ,所以T n =2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n , 2T n =2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1, 两式相减,得-T n =4+22+23+ (2)-(n+1)·2n+1=4+4(1−2n-1)1−2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以T n =n·2n+1.21.解 (1)设a n ,b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列{a n }是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{b n }是首项为400,公差为a 的等差数列.所以数列{a n }的前n 项和S n =128×[1−(32)n ]1−32=256[(32)n-1],数列{b n }的前n 项和T n =400n+n(n-1)2a.所以经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n )=S n +T n =256[(32)n-1]+400n+n(n-1)2a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则F (7)≥10 000, 即256[(32)7-1]+400×7+7×62a ≥10 000,即21a ≥3 082,所以a ≥3 08221.又a ∈N *,所以a 的最小值为147.22.证明 (1)因为当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2,所以a 1a 2…a n =2an+1-2,两式相除,可得a n =1a n+1-11a n-1,所以11−a n=a n+11−a n+1=11−an+1-1,所以11−an+1−11−a n=1(n ≥2).又a 1=23,所以a 2=34,11−a 1=3,11−a 2=4,所以11−a 2−11−a 1=1,所以11−an+1−11−a n=1(n ∈N *),所以数列{11−a n}是首项为3,公差为1的等差数列.所以11−a n=3+(n-1)×1=n+2,所以a n =n+1n+2.(2)因为T n =12a 1a 2…a n =12×23×34×…×n+1n+2=1n+2,所以T n 2=1(n+2)2>1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3,所以S n=T12+T22+…+T n2>13−14+14−15+…+1n+2−1n+3=13−1n+3=1-1n+3−23=n+2 n+3−23=a n+1-23,所以当n∈N*时,a n+1-23<S n.。

专题8 等差数列与等比数列1.等差数列必记结论(1)若项数为偶数2n,则S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd;=.(2)若项数为奇数2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; =.2.等比数列必记结论(1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k,m∈N *).考向一 等差数列基本量的计算【典例】 (2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①,则=________.① 根据基本量列方程② 前n 项和公式求解考向二 等比数列基本量的计算【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.321.在公比为的等比数列中,若sin=,则cos的值是A.-B.C.D.2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( )A.-5B.-C.5D.3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为A.102B.101C.100D.994.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( )A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q;(3)若项数为2n+1,则=q.1.数列中的方程思想无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解2.数列中的函数思想数列是一种特殊C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.数列满足:a n+1=λa n-1,若数列是等比数列,则λ的值是( )A.1B.2C.D.-16.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)= A.26 B.29 C.212 D.2157.已知数阵中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为A.36B.256C.512D.1 0248.已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是A.1B.C.-D.-的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.1.弄错首项致错如T10中,数列{b n}的首项为b1,不是.2.忽略数列与函数的区别致错如T13一定要注意自变量n是正整数.3.忽略题目中的隐含条件而致错如T11要注意b2的符号已经确定,且b2<0,忽视了这一隐含条件,就容易出现错误.9.已知每项均大于零的数列中,首项a1=1且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=A.641B.640C.639D.63810.若数列满足:++…+=2n,则数列的前n项和S n为A.2n+1B.2n-4C.2n+2-2D.2n+2-411.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则=______12.已知数列满足a1=2,-=2,若b n=,则数列的前n项和S n=________.13.已知数列满足a1=1,a n=l o c n(n≥2),当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,则数列的通项公式为________;令y=a1·a2·a3·…·a k,则当k在区间[1,2019]内时,使y的值为正整数的所有k值之和为________.专题8 等差数列与等比数列///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a 1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25考向二D 设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.///高考演兵场·检验考试力///1.B 由等比数列的通项公式可知:a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos= 1-2sin2(a 1a4)=1-2×=.2.D 因为+=(n∈N*),所以是等差数列,又因为a1=2,a2=1,所以=,-=,所以是首项为,公差为的等差数列,所以=,a n=,所以a10=.3.A 由lg x n+1=1+lg x n,得=10,所以数列是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,所以lg=102.4.D 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10(寸),同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n},其中b1=135,b13=15,公差d=-10(单位都为寸).故选项A正确;因为春分的晷长为b7,所以b7=b1+6d=135-60=75,因为秋分的晷长为a7,所以a7=a1+6d=15+60=75,所以B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确;因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,所以b4>a4,故D错误.故选D.5.B 数列为等比数列⇒==q,即:λa n-2=qa n-q,由上式恒成立,可知:⇒λ=2.6.Cf′(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=x′[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=a1a2 (8)又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以f′(0)=(a1a8)4=84=212,故选C.7.C 依题意可得a 11a13=,a21a23=,a31a33=,a12a32=,因为a22=2,所以a11a12a13a21a22a23a31a32a33=(a 11a13)a12(a21a23)a22(a31a33)a32===29=512.8.D 在等差数列{b n}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,b6=,所以b3+b9=2b6=,在等比数列{a n}中,由a1a6a11=-3,得=-3,a6=-,所以1-a 4a8=1-=1-(-)2=-2,则tan=tan=tan=tan=-.9.B 因为S n-S n-1=2,所以-=2,即{}为等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1所以S n=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640.10.D 对任意的n∈N*,++…+=2n.当n=1时,=2,可得b1=4;当n≥2时,由++…++=2n,可得++…+=2,两式相减得=2,所以b n=2n+1.又b 1=4符合b n=2n+1,所以b n=2n+1,所以==2,所以,数列为等比数列,且公比为2,首项b 1=4,因此,S n==2n+2-4.11.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a 2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.答案:12.【解析】由题意知为公差是2的等差数列,所以=+(n-1)×2=2n,所以a n=2n2,所以b n=22n,所以S n==.答案:13.【解析】因为当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,所以当n≥2时,有a n=log n(n+1)(n≥2),所以a n=所以y=1×log23×log34×…×log k(k+1)=1×××…×==log2(k+1),令log2(k+1)=m得k+1=2m,所以k=2m-1,所以当k在[1,2 019]内时,即1≤2m-1≤2 019,得1≤m≤10,m∈N*,所以使y的值为正整数的所有k值之和为++…+=-10=-10=2 036.答案:a n= 2 036关闭Word文档返回原板块。