高中数学第一章常用逻辑术语1.4全称量词与存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定课后课时精练新人

2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定高效测评新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定高效测评新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一章常用逻辑用语 1。

4。

1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定高效测评新人教A版选修1—1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句不是特称命题的是( ）A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是特称命题，C中含有全称量词是全称命题．答案: C2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( ）A．∀x，y∈R,都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x错误!＋y错误!≥2x0y0C．∀x〉0,y〉0,都有x2＋y2≥2xyD．∃x0〈0，y0〈0,使x错误!＋y错误!≤2x0y0解析: 这是一个全称命题，且x，y∈R,故选A。

答案：A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．答案：D4．已知命题p:∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0.如果命题¬p是真命题，那么a的范围是( ) A．a＜错误!B．0＜a≤错误!C．a≤错误!D．a≥错误!解析：¬p为:∃x∈R，使ax2＋2x＋3≤0。

第一章 常用 逻辑用语 (chánɡ yònɡ)
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第一页，共四十八页。
1．1 命题及其关系 1．4 全称(quán chēnɡ)量词与存在量词
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第二页，共四十八页。
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自主(zìzhǔ)学习导航
梳理(shūlǐ)知识 夯实基础
第三页，共四十八页。
目标导学
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第二十五页，共四十八页。
解析：(1)∵当 x＝1 时，(x－1)2＝0，∴∀x∈N*，(x－1)2>0 是假命题．故选 B.
(2)如果命题“﹁p”为真，则 p 为假．又因为命题“p 或 q” 是真命题，所以命题 q 一定是真命题，A 正确；根据特称命题 与全称命题的否定可得 B 正确；命题“若 a，b 都是偶数，则 a ＋b 是偶数”的逆否命题为“若 a＋b 不是偶数，则 a，b 不都是 偶数”，C 不正确；由判别式小于零可判断“存在 x0∈R，－2x02 ＋x0－4＝0”是假命题，D 正确．故选 C.
A．0
B．1
C．2
D．3
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第三十九页，共四十八页。
解析：①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题． 答案：D
答案：(1)B (2)C
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第二十六页，共四十八页。
题型三 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0. 【思路探索】 欲解此题，关键分清这四个命题是什么形 式的命题，再否定．

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[解] (1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形 的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．
(2)∃x0＝π4，T＝π2，使 sinπ4＋π2＝cosπ4＝sinπ4＝ 22，所以是真命题． (3)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2＋2>0.所以命题 “∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． (4)当直线的倾斜角等于 90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假 命题．
12/9/2021
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随堂达标自测 第十四页，共三十六页。
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【跟踪训练 2】 判断下列命题的真假． (1)任意两向量 a，b，若 a·b>0，则 a，b 的夹角为锐角； (2)∃x0，y0 为正实数，使 x20＋y20＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P.
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答案
探究 2 全称命题与特称命题的真假 例 2 判断下列命题的真假． (1)有些三角形的重心在某一边上； (2)∃x0，T≠2π，使 sin(x0＋T)＝sinx0； (3)∀x∈R，x2＋2>0； (4)所有的直线都有斜率．
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答案
[条件探究] 若把例 3(1)中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实 数 m 的取值范围．
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1．4.3 含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)□01∃x0∈M，綈p(x0) 全称命题的否定是□02特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)□03∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是□04全称命题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( ) 答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p是_____________________________．(3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．(4)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为________．答案(1)至少有两个(2)∃x0∈R，sin x0>1 (3)真(4)∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2；(2)p ：∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx 是偶函数； (3)p ：每个三角形至少有两个锐角．[解] (1)p 是真命题，由x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2得sin x ∈(0,1)，sin x ＋1sin x>2sin x ·1sin x＝2，故p 为真命题．綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0＋1sin x 0<2.(2)p 是假命题，当m ＝0时，f (x )才是偶函数． 綈p ：∃m 0∈R ，函数f (x )＝x 2＋m 0x 不是偶函数． (3)p 是真命题．綈p ：有的三角形至多有一个锐角． 拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．【跟踪训练1】 写出下列全称命题的否定，并判断真假． (1)p ：正方形是矩形； (2)p ：∀α∈R ，都有cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.解 (1)綈p ：存在一个正方形不是矩形，这是假命题．(2)綈p ：∃α0∈R ，使得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α0≠sin α0，这是假命题． 探究2 特称命题的否定例2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：有一个奇数不能被3整除； (2)p ：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p ：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. [解] (1)p 是真命题，如5不能被3整除． 綈p ：任意一个奇数都能被3整除．(2)p 是真命题，等边三角形的三个内角都为60°. 綈p ：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p 是真命题，∵当α＝π4，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.綈p ：∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β. 拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．【跟踪训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断真假． (1)p ：有的一元二次方程有实数根； (2)p ：∃x 0∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π2＝sin x 0.解 (1)綈p ：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题．(2)綈p ：∀x ∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠sin x ，这是假命题，如sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4. 探究3 含有一个量词的命题的否定 例3 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等．[解] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根．注意到当Δ＝1＋4m <0时，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0知，綈q 是真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r 是假命题．拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式．【跟踪训练3】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x >1，log 2x >0；(2)p ：直线l ⊥平面α，则对任意l ′⊂平面α，l ⊥l ′； (3)p ：∀x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0. 解 (1)綈p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. ∵当x >1时，log 2x >0， ∴綈p 为假命题．(2)綈p ：直线l ⊥平面α，∃l ′⊂α，l 与l ′不垂直． ∵直线l ⊥平面α，l ′⊂α，∴l ⊥l ′，∴綈p 是假命题．(3)綈p ：∃x >1，使x 2－2x －3≠0. ∵当x ＝2>1时，x 2－2x －3≠0， ∴綈p 是真命题．探究4 求参数的取值X 围例4 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，某某数a 的取值X 围．[解]∵(綈p )∧(綈q )为真命题，∴綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题． ∴“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，∴a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4，∴0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值X 围是[0,1]． [解法探究] 此题有没有其他解法呢？解 ∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0，∴綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0，綈q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，由(綈p )∧(綈q )为真命题知，綈p 与綈q 都是真命题．由綈p 为真命题得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，故a ≤1.由綈q 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，故0≤a <4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4，解得0≤a ≤1.故实数a 的取值X 围是[0,1]．拓展提升含有一个量词的命题与参数X围的求解策略(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．(2)对于特称命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．【跟踪训练4】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”．命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，某某数m的取值X 围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－3<m<3.因为命题“非p”与“q”均为真命题，所以m的取值X围为(－3，－2]∪[2,3)．1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定.2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是( )A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R,3x0≥0C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0答案 D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“>”．故选D.2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案 C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错误，C正确．故选C.3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0答案 C解析若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．4．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值X围为________．答案[－1,3]解析依题意可得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.5．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1)綈p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于或等于180°，真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．。