2005年3月Journal on Communications March 2005 第26卷第3期通信学报V ol. 26 No. 3LDPC编码系统符号同步技术薛英健，吴晓富，项海格（北京大学信息科学技术学院, 北京 100871）摘要：根据低密度校验码（LDPC）译码算法的统计特性，分析了接收端符号同步误差对译码性能的影响。
针对LDPC编码系统的特点提出了一种新的符号同步误差校正算法，该算法通过4倍过采样技术判断同步误差的大小，并通过插值方式对精确同步采样点的信号进行估计。
对于信噪比极低的通信系统，当存在较大符号同步误差时，该算法可以保证LDPC编码系统的性能接近精确同步情况下的性能。
关键词：低密度校验码；符号同步；高斯近似中图分类号：TN911.22 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2005)03-0130-06 Timing error recovery for LDPC-coded systemsXUE Ying-jian, WU Xiao-fu, XIANG Hai-ge(School of Electronics Engineering and Computer Science, Peking University, Beijing 100871, China)Abstract: Based on the statistical properties of LDPC decoding algorithm, the effect of the symbol synchronization error on the decoding performance was investigated in detail. A new timing error recovery algorithm was developed based on the algorithm in [3]. The new algorithm estimated the timing error with four times of over-sampling rate, and the estimated value of the signal with precise timing was given by interpolation of the over-sampled data. With the proposed algorithm, little performance degradation has been observed for LDPC coded system with severe symbol timing error when working at very low SNR.Key words: low-density parity-check codes; symbol timing; Gaussian approximation1引言低密度校验码（LDPC）是Gallager于1962年[1]提出的一种纠错编码方案，但是，由于当时仿真分析工具的计算能力有限，直到1996年LDPC才被发现是一种可以逼近加性高斯白噪声（AWGN）信道容量的编码方案。
近几年，LDPC的理论和应用研究得到了国际上的广泛关注[2]。
尽管LDPC可在非常低的信噪比条件下工作，但在实际应用的通信系统中，如何保证在低信噪比条件下符号同步定时电路的正常工作将是一个新的课题。
事实上，由于传统的符号同步定时单元所提供的同步定时精度是随信噪比的降低而减小的，当信道信噪比SNR<0dB时接收端符号往往会有较大的同步误差。
因此，在采用LDPC编码的通信系统中，必须提高符号同步误差的校正精度来保证在低信噪比条件下获得可靠的符号同步。
文献[3]对Turbo编码系统中符号同步误差的校正问题进行了有益的探讨，并提出了一套同步误差校正算法。
文献[3]采用过4倍过采样技术获得同步误差ε∈(−0.25, 0.25)范围内的两组靠近最佳采样点信号，然后分别对这两组信号译码，最后对两组译码输出软信息进行加权合并，这一方法有效地克服了接收端符号同步误差引起的系统性能恶化。
但收稿日期：2004-02-19；修回日期：2004-10-28基金项目：国家自然科学基金资助项目（60302006，60402026）；武器装备预研基金资助项目（51421060203JW0205）第3期薛英健等：LDPC编码系统符号同步技术·131·是，在LDPC编码系统中应用该算法所得到的仿真结果显示，文献[3]所提出的同步误差校正算法中采用的软信息加权合并的方法并不能降低误码字概率(WER)，仅能非常有限地降低误比特概率(BER)。
而且，该算法要求对两组采样数据同时译码，增加了计算量；并且，其系统模型中只针对全零码进行了分析，这对于存在码间串扰(ISI)的编码系统是有缺陷的。
本文将针对LDPC编码系统的特点，提出一种新的同步误差校正算法，克服了文献[3]所提出算法的不足之处，新算法可以减少一组数据的迭代译码算法，并取得更接近精确同步系统的系统性能。
本文第1节介绍了LDPC的编码结构和译码算法，第2节描述了系统模型，第3节分析了接收端在精确同步以及存在同步误差情况下的译码特性，第4节提出了一种新的同步定时误差时刻校正算法，第5节给出了该算法的数值仿真结果，最后对本文作了小结并展望了下一步的研究工作。
2低密度校验码LDPC是一种线性分组码，和普通的奇偶校验码一样，码集可由一致校验矩阵H确定。
LDPC码和普通的奇偶校验码有两点区别：一是H矩阵的结构有特别的约束，为稀疏矩阵；二是译码算法不同。
码长为n的规则LDPC可以表示为(n, j, k)，其一致校验矩阵H的每列有j个1，每行有k个1，而且任意两行不能在两个相同的位置同时是1，且j≥3。
如果H矩阵各行或各列中1的数量不是固定的，则称为非规则LDPC。
BP译码算法流程可以采用二部图(bipartite graph)的方式直观地说明。
如图1所示，变量节点(variable node)v i与码位x i一一对应，校验节点(check node)c j与矩阵H中的校验和s j一一对应，变量节点v i和校验节点c i之间的边(edge)表示校验和s j中包含码位x i。
在每一次迭代计算中，首先由变量节点v i 将码位x i的后验概率(APP)似然比v ij通知与其相邻的所有校验节点c j，然后校验节点c j根据得到的这些信息计算出相邻变量节点v i的概率似然比u ji，变量节点v i根据收到的u ji更新码位x i的概率似然比Q i以及下次迭代循环要发送的v ij。
在每一次迭代过程的最后，根据更新的Q i产生一个估计码字X′，奇偶校验矩阵用于判断译码输出X′是否正确，即判断HX′=0是否成立。
如果结果正确则译码成功，迭代过程结束；否则继续下一轮迭代过程。
迭代次数如果达到了预先设定的最大迭代次数，则译码输出的结果是含有误码的。
图1 二部图上的BP译码算法定义检测单元得到的码位x i的后验概率对数似然比为u0i()()ln1i iii iP x yuP x y===(1)在二部图中，变量节点v i和校验节点c j分别对相邻节点发送来的消息u ji、v ij进行如下处理，其节点函数f(x)定义00v vi id dij ki i kik kk jiv u Q uv==≠==∑∑变量节点(2)1tanh tanh22cjdji kjkk iju vc=≠=∏校验节点(3)式(2)、(3)中，vid和cid分别表示变量节点v i和校验节点c j在二部图中的维度，即所连接的边总数。
BP算法的详细步骤可参考文献[1]。
3系统模型本文所研究的系统为LDPC编码系统，调制方式为BPSK，编码符号c n经过脉冲成形后所得到的基带信号被发送到加性高斯白噪声（AWGN）信道，并设接收端已经获得理想的相位及帧定位信息。
设符号周期为T S，接收端的符号如果存在恒定的同步·132· 通 信 学 报 第26卷误差εT S ，则接收端所得到的基带信号r f (t )可以表示为()()()S S f n nr t c g t nT T n t ε=−−+ (4)其中，E S 为符号能量，T S 为符号周期；n (t )为白噪声，其均值为零，方差为N 0/2；g (t )表示能量归一化的限带成形脉冲信号。
对于编码系统，如果码率为r ，则信息比特的等效能量E b ＝E s /r 。
信号r f (t )经过采样，并通过匹配滤波器滤波，得到接收端信号为()()()()()S S ,k k f ln n k kny y kT r lT g kT lT c h n εε==−=+∑ (5)其中，n k 为滤波后噪声；h n,k (ε)定义为()()(),S S S n k lh g lT nT T g kT lT εε−−−∑＝ (6) h n,k (ε)满足消除ISI 的Nyquist 准则，仅当n =k 时，h n,k (0)＝1。
根据公式（6），可以得到以下的等效离散信道模型()(()((),,k k k k n n k kkk ky h c h n n εεεαεε≠=++′=＋ (7)其中，α(ε)为等效信道衰减系数；在低信噪比条件下，ISI 所产生的噪声信号可以认为符合均值为零的高斯分布[3]，因此等效噪声信号n ’k (ε)可以认为符合高斯分布。
设等效噪声n ’k (ε)的方差为σq 2，则译码器的各比特输入信息u 0i 为()(()02222k kk i qqn y u αεεεσσ⎡⎤′⎣⎦==＋ (8) 同时可以看到，符号同步误差造成有效信号功率减小，而等效噪声的功率增加了，从而恶化了系统实际信噪比参数。
4 LDPC 码译码特性分析4.1 接收端精确同步条件下的译码特性文献[4]对LDPC 在加性高斯白噪声信道下BP 译码算法性能进行了分析，并指出：随着码长n 的逐渐增大，采用随机方式构造的LDPC 码集的译码特性可以逼近理想的树结构LDPC 特性。
对于加性高斯白噪声信道，文献[4]采用高斯近似的方式分析了译码过程中所产生的消息u ji 、v ij ，并通过数值仿真的方法验证了这一方法的可行性。
对于理想的树结构规则LDPC 码集的全零码，随着迭代次数的增加，由节点之间相互发送的消息具有对称性[4]这一特点，可以得到其方差σ2与均值m 的关系为σ2 = 2m 。
因此，节点之间相互发送的消息u ji 、v ij 的均值m u 、m v 可以用来表征消息的概率分布特性，并可迭代计算出均值m u 、m v 在译码算法的迭代计算过程中是如何变化的，按照先计算变量节点后计算校验节点的顺序计算，这种方法称为密度演进算法。
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