第一节频率特性的基本概念资料重点

《自动控制原理》第五章线性系统的频域分析与校正西北工业大学自动化学院1.频率特性的基本概念2. 幅相频率特性（Nyquist图）3. 对数频率特性（Bode图）4.频域稳定判据5. 稳定裕度6. 利用开环频率特性分析系统的性能7.利用闭环频率特性分析系统的性能8.频率法串联校正频域分析法特点（1）研究稳态正弦响应的幅值和相角随输入信号频率的变化规律（2）由开环频率特性研究闭环系统的性能（3）图解分析法（4）有一定的近似性5.1 频率特性的基本概念RC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?建模[]r c=+CR 1U s U ()1()()CR 1c r U s G s ==U s s +例1 r c=+R u i u c=C i u r c c=+CR u u u 频率响应()()()c r s s =====+++T CR 111T CR 1T 11TU G s U s s s 0122222()c +=⋅=+++++1T 1T 1T C A ωC s C U s s s s s ωω02222lim →−==++1T T T 1T s A A C s ωωωω222=+1T A C ωω122-=+T 1T A C ωω222222222222()c ⎡⎤=⋅+⋅−⋅⎢⎥+++++++⎣⎦T 11T 1T 1T 1T 1T 1T A A s U s s s s ωωωωωωωωωRC 电路如图所示，u r (t )=A sin ωt , 求u c (t )=?例1 []T 2222T ()sin cos cos sin 1T 1Tt c A A u t e t t ωωαωαωω−=+⋅−⋅++22−=++T T 1Tt A e ωω频率响应：线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率的变化规律。

22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+()sin r t A tω=RC 电路频率特性G (j ω)的定义：()()()=∠j j j G G G ωωω()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+22()()()==+s 1j 1T c t G r t ωωs ()()()arctan ∠=∠−∠=−j T G c t r t ωω幅频特性相频特性频率特性的获取方法：()()==j j s G G s ωω=−221arctan T 1T ωω∠+=∠++111j T 1j T ωω1=1+j T ωj 1T 1s ωs =+()sin r t A t ω=22()sin(-arctan T)1T s A c t t ωωω=+系统模型间的关系总结()()()=∠j j j G G G ωωωs 22()()()==+1j 1T c t G r t ωωs ()()()∠=∠−∠=−j arctan T G c t r t ωωG(j ω)的定义：G(j ω)的获取方法：()()==j j s G G s ωω感谢聆听，下节再见。

第六章 控制系统的频率特性采用频率特性法原因： （1） （2） （3）第一节 频率特性的基本概念一．概念 1．频率响应：指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。

例：如图所示的机械系统，K 为弹簧刚度系数，单位N/m ，C 是阻尼系数，单位m/s.N,当输入力为正弦信号f(t)=Fsinwt 时，求其位移x(t)的稳态响应解：列写力平衡方程)()()(t f t kx dtt dx C =+其传递函数为：11111)()()(+=+=+==Ts K s KC K K Cs s F s X s Gx (t )tF t f ωsin )(=22)(ωω+=s F s F输出位移)()()(s F s G s X =2232122111ωωω++++=+⋅+=s K s K Ts k s F s KCKTt e T KF T T arctg t T K Ft x -++-+=22221)sin(1)(ωωωωω上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，当时间t 趋向于无穷大时为零。

系统稳态输出为：)](sin[)](sin[)()sin(1)(22ωϕωωϕωωωωω+=+⋅=-+=t X t F A T arctg t T K Ft x其幅值为：2)(11)()(ωωωT K F X A FA X +===相位为：T arctg ωωϕ-=)(从上式的推导可以看出，频率响应是时间响应的一种特例。

正弦输入引起的稳态输出是频率相同的正弦信号，输入输出幅值成比例)(ωA ，相位)(ωϕ都是频率ω的函数，而且与系统的参数c,k 有关。

二 频率特性及其求解方法 1．频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入幅值比)(ωA 和相位差)(ωϕ随输入频率的变化关系。

用)(ωj G 表示。

)()]([)(Im Im )()()(ωϕωωϕωωωj tj t j eA eF eX t f t x j G ===+2)(11)()(ωωωT K F X j G A +===T arctg j G ωωωϕ-=∠=)()()(ωj G 称为系统的频率特性，其模)(ωA 称为系统的幅频特性，相位差)(ωϕ称为相频特性2．频率特性求解 （1）根据已知系统的微分方程或传递函数，输入用正弦函数代入，求其稳态解，取输出和输入的复数比（2）根据传递函数来求取 （3）通过实验测得令传递函数中的ωj s =则得到频率表达式)(ωj G ，又由于)(ωj G 是一个复变函数，可在复平面上用复数表示，分解为实部和虚部，即：)()()()()(w j e w A w jV w U jw G ϕ=+=)(cos )()(w w A w U ϕ= )(sin )()(w w A w V ϕ=)()()(22w V w U w A += )()()(w U w V arctg w =ϕ例：某闭环系统传递函数为237)(+=s s G ，当输入为)4532sin(71 +t 时，试求系统稳态输出。

第5章 频率响应分析法在第三章中，介绍了控制系统的时域分析法。

利用微分方程式求解系统时域响应，可以看出输出量随时间的变化，比较直观。

但是用解析方法求解系统的时域响应比较麻烦，系统越复杂，微分方程的阶次越高，求解就越加困难。

因此，发展了其它一些分析控制系统的方法，其中频率响应分析法就是研究控制系统的一种广为采用的工程方法。

根据系统的频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统动态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向。

频率响应分析法具有以下特点：（1）频率特性物理意义明确，控制系统及其元部件的频率特性可以用分析法和实验方法来确定，并可用多种形式的曲线表示，利于采用图解法进行系统分析与综合。

（2）对于一阶系统和二阶系统，频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，两者也存在近似对应关系。

（3）应用频域稳定性判据，可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，而不必求解系统的闭环特征方程式。

（4）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。

（5）频率响应分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性系统。

本章介绍频率特性的基本概念、典型环节和系统的频率特性、频率域稳定判据、系统的相对稳定性、系统的闭环频率特性和系统性能的频域分析方法。

5.1 频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义首先我们用一个简单的电路说明频率特性的基本概念。

图5-1所示电路为一个RC 网络，其微分方程为122u u dtdu T =+ （5-1） 式中RC T =。

网络的传递函数为11)()()(12+==Ts s U s U s G （5-2）若电路的输入为正弦电压，即t A u ωs i n 1=则由式（5-2）可得221211)(11)(ωω+⋅+=+=s A Ts s U Ts s U对上式进行拉普拉斯反变换，可得电容两端的输出电压为)arctan sin(1122222T t TA e T T A u T t ωωωωω-+++=- 上式中第一项是输出电压的瞬态分量，第二项是稳态分量。

第四章控制系统的频率特性本章要点本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。

内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。

用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。

但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。

特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。

而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能，而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。

第一节频率特性的基本概念一、频率特性的定义频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。

对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。

若设输入量为r(t)=A r sin(ωt+υr)其输出量为c(t)=A c sin(ωt+υc)若保持输入信号的幅值A r不变，改变输入信号的角频率ω，则输出信号的角频率也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。

横坐标表示角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s）,按lgω均匀分度，但对ω而言是不均匀的，纵坐标表示υ(ω)，单位为度（o），均匀分度，如图4-4所示。

图4-3 Bode图坐标系2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条－90o 的水平直线。

如图4-5所示。

图4-5 积分环节的Bode图2）对数相频特性υ(ω) υ(ω)为一条90o 的水平直线。

图4-6 理想微分环节的Bode图点，然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来，就得到精确曲线。

图4-7 惯性环节的Bode图图4-8 比例微分环节的Bo0de图nω图4-9 振荡环节的Bode图计算表明，在ω=ωn处，当0.4＜ξ＜0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当ξ＜0.4或ξ＞0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。

教学内容2.9放大电路的频率特性2.9.1 频率特性的基本概念
2.9.2 三极管的高频小信号模型及高频参数
2.9.3 放大电路高频区频率特性
2.9.4 放大电路低频区频率特性
基本概念
◆频率特性、幅频特性、相频特性
◆频率失真、幅频失真、相频失真
◆线性失真、非线性失真
◆高频区/中频区/低频区增益
◆上限截止频率、下限截止频率
2.9.1频率特性的基本概念
1、频率特性的定义
放大电路的放大倍数与输入信号频率之间的关系。

u u ()() ()
A f A f f ϕ=∠幅频特性相频特性幅频失真相频失真
频率特性u i ω
ω13ω1
合成波ω
ω13ω1
合成波
u o 线性失真电路中线性电抗元件引起的
2、频率失真
2.9.1
频率特性的基本概念
（2）内因：放大电路中有电抗器件。

3、产生频率失真的原因
①耦合电容：
是人为引入的，
电容值较大，有几微法到几十微法；输入电容与输入信号串联，输出电容与输出端串联在电路中。

（1）外因：输入信号一般不是单一频率的正弦信号。

电容分为两类：
②极间电容：是随着三极管的制造产生的电容效应，
电容值较小，只有几皮法到几十皮法；分别是相当于并联在发射结和集电结上。

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