2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下表相应位置1．如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（）A．x＞﹣1B．x＞2C．x≥2D．﹣1＜x≤22．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（）A．向左3个单位，向上5个单位B．向左5个单位，向上3个单位C．向右3个单位，向下5个单位D．向右5个单位，向下3个单位3．剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．已知a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（）A．a＜b B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a﹣2＞b﹣25．解不等式时，去分母后结果正确的为（）A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3）B．2x+4＞6﹣3x﹣9C．2x+4＞6﹣3x+3D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，若平移的距离为6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（）A．26B．20C．15D．138．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（15﹣x）≥1800B．90x+210（15﹣x）≤1800C．210x+90（15﹣x）≥1.8D．90x+210（15﹣x）≤1.89．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（）A．x≤2B．x≥2C．0＜x≤2D．2≤x≤610．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A．AD＝BD B．AC∥BD C．DF＝EF D．∠CBD＝∠E二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“55”表示该桥梁限制载重后总质量超过55t的车辆通过桥梁．设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关系为（用含x的不等式表示）．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为．13．不等式组的整数解为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为．15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE ＝120°，点E在BC边上，点F是BE的中点，连接AD、DF、AF，则AF的长为．三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为；（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．求证：AD平分∠EAF．21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：A B方案一按标价的“七折”优惠按标价的“八折”优惠方案二若所购商品达到或超过35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠若某单位购买A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多10件，求该单位选择哪种方案才能获得更多优惠？22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择题A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为．B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，此时平移的距离为．23．（12分）综合与探究问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：从A，B两题中任选一题作答我选择题A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下表相应位置1．如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（）A．x＞﹣1B．x＞2C．x≥2D．﹣1＜x≤2【分析】找出两个不等式解集的方法部分确定出不等式组的解集即可．【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为x≥2，故选：C．【点评】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．2．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（）A．向左3个单位，向上5个单位B．向左5个单位，向上3个单位C．向右3个单位，向下5个单位D．向右5个单位，向下3个单位【分析】根据A点坐标的变化规律可得横坐标﹣3，纵坐标+5，利用平移变换中点的坐标的变化规律即可得．【解答】解：因为点A（1，﹣2）的对应点A1的坐标为（﹣2，3），即（1﹣3，﹣2+5），所以△ABC平移的方式为：向左3个单位，向上5个单位，故选：A．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．3．剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．已知a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（）A．a＜b B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a﹣2＞b﹣2【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：因为a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，可得a＞b，所以3a＞3b，﹣a＜﹣b，a﹣2＞b﹣2，故选：D．【点评】考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．5．解不等式时，去分母后结果正确的为（）A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3）B．2x+4＞6﹣3x﹣9C．2x+4＞6﹣3x+3D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．【解答】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD＝36°，∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，若平移的距离为6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（）A．26B．20C．15D．13【分析】直接利用平移的性质得出EF＝DB＝5，进而得出CF＝EF＝5，进而求出答案．【解答】解：∵将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，∴EF＝DB＝5，BE＝6，∵AB＝AC，BC＝9，∴∠B＝∠C，EC＝3，∴∠B＝∠FEC，∴CF＝EF＝5，∴△EBF的周长为：5+5+3＝13．故选：D．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出CF的长是解题关键．8．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（15﹣x）≥1800B．90x+210（15﹣x）≤1800C．210x+90（15﹣x）≥1.8D．90x+210（15﹣x）≤1.8【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得210x+90（15﹣x）≥1800，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．9．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（）A．x≤2B．x≥2C．0＜x≤2D．2≤x≤6【分析】写出直线y＝kx在直线y＝ax+b下方部分的x的取值范围即可．【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝kx交于点B（2，4），∴不等式kx≤ax+b的解集为x≤2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A．AD＝BD B．AC∥BD C．DF＝EF D．∠CBD＝∠E【分析】由旋转的性质知∠BAD＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C＝∠E，证AC∥BD得∠CBD＝∠C，从而得出∠CBD＝∠E．【解答】解：由旋转知∠BAD＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD＝60°，∴∠D＝∠CAD＝60°、AD＝BD，∴AC∥BD，∴∠CBD＝∠C，∴∠CBD＝∠E，则A、B、D均正确，故选：C．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“55”表示该桥梁限制载重后总质量超过55t的车辆通过桥梁．设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关系为10+x≤55（用含x的不等式表示）．【分析】根据题意列出不等式解答即可．【解答】解：设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，根据题意可得：10+x≤55，故答案为：10+x≤55【点评】此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为30°．【分析】根据旋转的性质得∠DAC＝60°，然后计算∠DAC﹣∠EAD即可．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠DAC＝60°，∴∠CAE＝∠DAC﹣∠EAD＝60°﹣30°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13．不等式组的整数解为3，4．【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．【解答】解：，由不等式①，得x＞，由不等式②，得x≤4，故原不等式组的解集是，故不等式组的整数解为3，4，故答案为：3，4．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解不等式的方法．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为1．【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，∴BD平分∠CBE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝1，故答案为：1【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE ＝120°，点E在BC边上，点F是BE的中点，连接AD、DF、AF，则AF的长为13．【分析】作辅助线，构建直角三角形，先求CE的长，从而得FM和AM的长，根据勾股定理可得AF的长．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，∵DC＝DE＝10，∴EH＝HC，∵∠CDE＝120°，∴∠DCH＝30°，∴CH＝EH＝5，∴CE＝10，∴BE＝BC﹣CE＝24﹣10，∵F是BE的中点，∴BF＝＝12﹣5，过A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM＝BC＝12，AM＝12，∴FM＝BM﹣BF＝12﹣（12﹣5）＝5，由勾股定理得：AF＝＝＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是关键，本题注意作辅助线，构建直角三角形解决问题．三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：2x+1≤3（3﹣x），去括号得：2x+1≤9﹣3x，移项合并得：5x≤8，系数化为1得：x≤．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤15，所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤15，其解集在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），；（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；（2）根据关于原点O成中心对称的性质画出图形即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：A1，B1的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），故答案为：（﹣1，2），（3，2），（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换和平移变换，熟练掌握轴对称变换、平移变换的定义是解题的关键．19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？【分析】根据题意4月份的运费，得出不等式，解方程求解即可【解答】解：设该物流公司4月份要承接运输A种货物x吨，则承接运输A种货物（300﹣x）吨，根据题意得：80x+50（300﹣x）≥19800，x≥160，答：该物流公司4月份至少要承接运输A种货物160吨．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式是解题关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．求证：AD平分∠EAF．【分析】根据等腰三角形的性质得出BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ACF，在△ABE与△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，即∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC．21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：A B方案一按标价的“七折”优惠按标价的“八折”优惠方案二若所购商品达到或超过35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠若某单位购买A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多10件，求该单位选择哪种方案才能获得更多优惠？【分析】某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，由于x＞15，所以两种商品肯定超过35件，方案二也能采用，按方案一购买花费为y1，按照方案二购买花费y2，求y1﹣y2在自变量x的取值范围的正负情况即可得到答案．【解答】解：根据题意得：某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，按方案一购买花费为：y1＝60×0.7x+40×0.8（x+10），按方案二购买花费为：y2＝60×0.75x+40×0.75（x+10），y1﹣y2＝﹣x+20，∵x＞15，∴﹣x＜﹣15，∴﹣x+20＜5，若y1＜y2，则﹣x+20＜0，即x＞20时，方案一的花费少于方案二，若y1＝y2，则﹣x+20＝0，即x＝20时，方案一的花费等于方案二，若y1＞y2，则﹣x+20＞0，即15＜x＜20时，方案二的花费少于方案一，答：当购买A商品的数量多于20件时，选择方案一，当购买A商品的数量为20件时，选择方案一或方案二都可以，当购买A商品的数量多于15件少于20件时，选择方案二，这样才能获得更多优惠．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确找出不等量关系，讨论不等式的正负是解题的关键．22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为．B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，此时平移的距离为．【分析】（1）只要证明△ABC≌△ABD，即可推出AC＝AD，BC＝BD，可得AB垂直平分线段CD；（2）A：①作出△A′B′C′即可；②作DH⊥AB于H．首先证明DA＝DB′，想办法求出AH即可解决问题；B：①作出△A′B′C′即可；②作C′H⊥AP于H．首先证明C′B＝C′B′，想办法求出B′H即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵BC⊥AM，BD⊥AN，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分线段CD．（2）A：①△A′B′C′如图所示；②作DH⊥AB于H．在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝BC＝6，∴AD＝＝8，∵cos∠DAH＝＝＝，∴AH＝，∵DB′∥AC，∴∠AB′D＝∠CAB，∵∠CAB＝∠DAB，∴∠DAB＝∠AB′D，∴DA＝DB′，∵DH⊥AB′，∴AH＝HB′，∴AB′＝，∴BB′＝AB′﹣AB＝﹣10＝，∴平移的距离为，B：①△A′B′C′如图所示：②作C′H⊥AP于H．∵∠ABD＝∠C′BB′＝∠C′B′A′，∴C′B＝C′B′，∵C′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∵cos∠A′B′C′＝＝，∴＝，∴HB′＝，∴BB′＝2B′H＝，∴平移的距离为．故答案为A或B，，．【点评】本题考查几何变换综合题、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23．（12分）综合与探究问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：从A，B两题中任选一题作答我选择A或B题A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．【分析】（1）结论：BD＝CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；②结论：CD＝AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC ＝2DH+BD＝AD+BD；B：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC＝2BH＝AB；②类似A②；【解答】解：（1）结论：BD＝CE．理由：如图2中，∵∠ABC＝∠DAE，∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝EC．（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴BH＝AB•cos30°＝5，∴BC＝10．②结论：CD＝AD+BD．理由：如图3中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．B：①如图1中，作AH⊥BC于H．∴BH＝HC，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴BH＝AB•cos30°＝AB，∴BC＝2BH＝AB．②结论：CD＝AD+BD．证明方法同A②．故答案为A或B．【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷一、选择題（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合題目要求的，把正确的选择填在答题卡中．）1．在中，分式的个数是（）A．2B．3C．4D．52．如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A．a+2＞b+2B．a﹣2＞b﹣2C．﹣2a＞﹣2b D．＞5．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（）A．（﹣2，6）B．（1，3）C．（1，6）D．（﹣5，3）6．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）7．下列计算正确的是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣5，0），B（0，7）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜﹣5B．x＞﹣5C．x＞7D．x＜﹣79．不等式组有（）个整数解．A．2B．3C．4D．510．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．211．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）A．m＞7B．m≥7C．m＜7D．m≤712．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．x与3的和的一半是负数，用不等式表示为14．因式分解：2a2﹣8＝．15．当x＝时，分式的值为零．16．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是．17．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为．18．已知：﹣＝2，则的值为．三、解答题（共66分）19．（6分）分解因式：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．（2）（a2+1）2﹣4a2．20．（6分）．21．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．22．（8分）先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷（x﹣1）23．（8分）直线y＝kx+4经过点A（1，6），求关于x的不等式kx+4≤0的解集．24．（10分）给出三个单项式：a2，b2，2ab（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a＝2018，b＝2017时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．25．（10分）如图，直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B．（1）求B点坐标；（2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）△ABC经旋转、平移后点A的对应点分别为A1、A2，请写出点A1、A2的坐标；（3）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1、P2的坐标．27．（12分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，五一期间，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案，在甲超市累计购买商品超出了400元后，超过部分按原价七折优惠；在乙超市购买商品只按原价的八折优惠；设顾客累计购物x元（x＞400）在甲，乙两个超市所支付的费用分别为y1元，y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系式．（2）该顾客在甲，乙哪个超市购买所支付的费用较少？．2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择題（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合題目要求的，把正确的选择填在答题卡中．）1．在中，分式的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：在中，分式有，∴分式的个数是3个．故选：B．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以象不是分式，是整式．2．如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．不等式1+x＜0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】移项即可得．【解答】解：移项，得：x＜﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）A．a+2＞b+2B．a﹣2＞b﹣2C．﹣2a＞﹣2b D．＞【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；D、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；故选：C．【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（）A．（﹣2，6）B．（1，3）C．（1，6）D．（﹣5，3）【分析】让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可．【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3；所以点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、C属于局部分解，不属于因式分解；B、属于整式的乘法；D、属于因式分解．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．运用提公因式法分解因式时，在提取公因式后，不要漏掉另一个因式中商是1的项．7．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【解答】解：A、＝，故A错误；B、＝0，故B正确；C、，故C错误；D、＝，故D错误．故选：B．【点评】归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．8．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣5，0），B（0，7）两点，则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜﹣5B．x＞﹣5C．x＞7D．x＜﹣7【分析】kx+b＞0可看作是函数y＝kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣2，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：根据题意，kx+b＞0，即函数y＝kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞﹣5，故不等式kx+b＞0的解集是：x＞﹣5．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：对于一次函数y＝kx+b，当y＞0时对应的自变量的取值范围为不等式kx+b＞0的解集．9．不等式组有（）个整数解．A．2B．3C．4D．5【分析】求出不等式组的解集，即可确定出整数解．【解答】解：，由①得：x＞﹣，由②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣＜x≤3，则整数解为0，1，2，3，共4个，故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【分析】根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．【解答】解：∵x2+mx+n＝（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，则m+n＝1﹣2＝﹣1，故选：C．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）A．m＞7B．m≥7C．m＜7D．m≤7【分析】解出不等式组的解集，与不等式组有解相比较，得到m的取值范围．【解答】解：由（1）得x＜7，由（2）得x＞m，∵不等式组有解，∴m＜x＜7；∴m＜7，故选：C．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．12．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD＝BE，∠DBE＝60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，所以∠BAE＝∠ABC＝60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE＝BD＝4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE＝CD，所以△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE ＝AC+BD．【解答】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，∴∠BAE＝∠ABC，∴AE∥BC，所以②正确；∴∠BDE＝60°，∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＞60°，∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝4，而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴AE＝CD，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+4＝5+4＝9，所以③正确．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（x+3）＜0【分析】理解：和的一半，应先和，再一半；负数，即小于0．【解答】解：根据题意，得（x+3）＜0．故答案为：（x+3）＜0．【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准关键字，把文字语言转换为数学语言．14．因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．15．当x＝﹣3时，分式的值为零．【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解答】解：要使分式由分子x2﹣9＝0解得：x＝±3．而x＝﹣3时，分母x﹣3＝﹣6≠0．x＝3时分母x﹣3＝0，分式没有意义．所以x的值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．16．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是a＞1．【分析】依据不等式的性质解答即可．【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，∴1﹣a＜0，解得：a＞1．故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．17．直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1．【分析】首先把P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，求出a的值，从而得到P点坐标，再根据函数图象可得答案．【解答】解：将点P（a，2）坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，从图中直接看出，当x≥1时，x+1≥mx+n，故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，根据函数图象可得答案．18．已知：﹣＝2，则的值为5．【分析】由﹣＝2可得a﹣b＝﹣2ab，再整体代入计算即可求解．【解答】解：∵﹣＝2，∴＝2，a﹣b＝﹣2ab，∴＝＝5．故答案为：5．【点评】考查了分式的加减法，分式的值，关键是得到a﹣b＝﹣2ab，注意整体思想的运用．三、解答题（共66分）19．（6分）分解因式：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）首先提取公因式（x﹣y），进而分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式，再结合完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）＝x（x﹣y）+y（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）；（2）（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）＝（a﹣1）2（a+1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．20．（6分）．【分析】先通分，再根据同分母的分数相加减的法则进行解答即可．【解答】解：原式＝﹣＝．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．21．（6分）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再表示在数轴上即可．【解答】解：解不等式4x＞2x﹣6，得：x＞﹣3，解不等式≤，得：x≤2，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，将不等式解集表示在数轴上如图：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．（8分）先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算：÷（x﹣1）【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝××＝，当x＝0时，原式＝．【点评】此题主要考查了分式的乘除，正确分解因式是解题关键．23．（8分）直线y＝kx+4经过点A（1，6），求关于x的不等式kx+4≤0的解集．【分析】把（1，6）代入直线的函数关系式y＝kx+4中，即可求得k的值，从而得到不等式，再解不等式即可求解．【解答】解：把（1，6）代入直线的函数关系式y＝kx+4中，得，6＝k+4，解得：k＝2，∴直线的函数关系式为y＝2x+4．∴2x+4≤0．∴x≤﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定不等式式是关键．24．（10分）给出三个单项式：a2，b2，2ab（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a＝2018，b＝2017时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．【分析】（1）直接选取两个单项式相减再分解因式即可；（2）直接分解因式，再把已知代入求出答案．【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），a2﹣2ab＝a（a﹣2b）；2ab﹣a2＝a（2b﹣a），b2﹣2ab＝b（b﹣2a）；2ab﹣b2＝b（2a﹣b）；（2）a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，当a＝2018，b＝2017时，原式＝（a﹣b）2＝（2018﹣2017）2＝1．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．25．（10分）如图，直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B．（1）求B点坐标；（2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．【分析】（1）根据直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B可以求得k 的值和点B的坐标；（2）根据函数图象可以直接写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B，∴3k+2＝1，解得k＝，∴，当y＝0时，，得x＝6，∴点B的坐标为（6，0）；（2）由图象可知，0＜kx+2＜x的解集是3＜x＜6．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）△ABC经旋转、平移后点A的对应点分别为A1、A2，请写出点A1、A2的坐标；（3）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1、P2的坐标．【分析】（1）利用网格特点、旋转的性质和平移的性质画图；（2）利用所画图形写出点A1、A2的坐标；（3）利用（2）的结论和旋转的性质写出P1的坐标，利用平移的坐标规律写出P2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；（2）A1（﹣4，﹣3），A2（2，﹣1）；（3）P1（﹣b，a）；P2（﹣b+6，a+2）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．27．（12分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，五一期间，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案，在甲超市累计购买商品超出了400元后，超过部分按原价七折优惠；在乙超市购买商品只按原价的八折优惠；设顾客累计购物x元（x＞400）在甲，乙两个超市所支付的费用分别为y1元，y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系式．（2）该顾客在甲，乙哪个超市购买所支付的费用较少？．【分析】（1）根据超市的销售方式即可用x式表示在甲超市购物所付的费用y1和在乙超市购物所付的费用y2．（2）根据（1）的结论分别讨论当y1＜y2，y1＝y2，和y1＞y2时，三种情况就可以求出结论．【解答】解：（1）y1＝400+（x﹣400）×0.7＝0.7x+120，y2＝0.8x．（2）由y1＝y2，即0.7x+120＝0.8x，解得x＝1200，由y1＞y2，即0.7x+120＞0.8x，解得x＜1200，由y1＜y2解得0.7x+120＜0.8x，解得x＞1200，因为x＞400，所以，当x＝1200时，甲甲，乙哪个超市购买所支付的费用相同，当400＜x＜1200时，乙超市购买所支付的费用较少，当x＞1200时，甲超市购买所支付的费用较少．【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，一次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键，分类讨论是难点．。
2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共12题，每题3分，共36分）1．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变2．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣1＞y﹣1B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1D．＞3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）4．下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．606．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定7．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A．B．C．D．﹣8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．30或39B．30C．39D．以上答案均不对9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C 的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．﹣6B．6C．﹣9D．911．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b ＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜112．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2﹣B．C．﹣1D．1二、填空题（共4题，每题3分，共12分）13．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝．14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于．15．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．三、解答题．17．（8分）因式分解（1）2x2﹣4x+2（2）（a2+b2）2﹣4a2b218．（8分）分式化简（1）（2）19．（8分）（1）解分式方程：（2）解不等式组：20．（5分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．21．（7分）某汽车站站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵．（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务．22．（7分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．23．（9分）运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题3分，共36分）．1．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变【分析】x，y都扩大3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x 和y，看得到的式子与原来的式子的关系．【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，则分式的值缩小成原来的，即缩小3倍．故选：B．【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．2．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣1＞y﹣1B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1D．＞【分析】根据不等式的基本性质进行判断．【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去1，不等式仍成立，即x﹣1＞y﹣1，故本选项不符合题意；B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号方向发生改变，即﹣3x＜﹣3y，故本选项符合题意；C、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意；D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；B答案正确．故选：B．【点评】注意对因式分解概念的理解．4．下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．60【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．故选：B．【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．7．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）＝﹣＝1，去分母得：2﹣（2x﹣1）＝4x﹣2，去括号得：2﹣2x+1＝4x﹣2，移项合并得：6x＝5，解得：x＝，经检验是分式方程的解．故选：A．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．30或39B．30C．39D．以上答案均不对【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣7＝0，y﹣16＝0，解得x＝7，y＝16，①x＝7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、16，∵7+7＝14，∴7、7、16不能组成三角形，②x＝7是底边时，三角形的三边分别为7、16、16，能够组成三角形，周长＝7+16+16＝39；综上所述，三角形的周长为39．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C 的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°．【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．﹣6B．6C．﹣9D．9【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，可得答案．【解答】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x﹣3），可得m＝2×（﹣3）＝﹣6，故选：A．【点评】本题考查了因式分解的意义，由十字相乘法得因式分解，由因式分解得出m的值．11．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b ＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞0C．x＞1D．x＜1【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2﹣B．C．﹣1D．1【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB＝AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′＝BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2，∴BD＝2×＝，C′D＝×2＝1，∴BC′＝BD﹣C′D＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题（共4题，每题3分，共12分）13．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝（a+b）（a﹣3b）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．故答案为：（a+b）（a﹣3b）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于2．【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD 的长．【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．15．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝﹣4．【分析】先将分式方程去分母，转化为整式方程，再将增根代入整式方程，求得m的值并进行判断．【解答】解：去分母，得2x+4+mx＝0，∴（2+m）x＝﹣4，∵关于x的分式方程有增根，∴x＝2或﹣2，当x＝2时，（2+m）×2＝﹣4，解得m＝﹣4，当x＝﹣2时，（2+m）×（﹣2）＝﹣4，解得m＝0，又∵m≠0，∴m的值为﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了分式方程的增根，解题的依据是：代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是3．【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题．17．（8分）因式分解（1）2x2﹣4x+2（2）（a2+b2）2﹣4a2b2【分析】（1）根据提公因式法，完全平方公式，可得答案；（2）根据平方差公式，完全平方公式，可得答案．【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2；（2）原式＝[（a2+b2）+2ab][（a2+b2）﹣2ab]＝（a+b）2（a﹣b）2．【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．18．（8分）分式化简（1）（2）【分析】（1）根据分式的加法和除法可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）＝a（a+3）＝a；（2）＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19．（8分）（1）解分式方程：（2）解不等式组：【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：x2+x﹣2x+1＝x2﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2），由①得：x≤1，由②得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后由x是不等式组的整数解，x﹣1≠0，x+2≠0，x≠0可以求得x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝＝，由不等式组，得﹣2≤x≤1，∵x是不等式组的整数解，x﹣1≠0，x+2≠0，x≠0，∴x＝﹣1，当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（7分）某汽车站站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵．（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务．【分析】（1）设A种花木数量x棵，B种花木数量y棵，根据等量关系列出方程即可求出答案．（2）设安排n个人种植A种花木，则安排（26﹣n）个人种植B种花木，根据等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：（1）设A种花木数量x棵，B种花木数量y棵．根据题意可得方程组：将②代入①可得：2y﹣600+y＝6600，解得y＝2400，代入②可得x＝4200，所以原方程组的解为，故A种花木数量是4200棵，B种花木数量是2400棵．（2）设安排n个人种植A种花木，则安排（26﹣n）个人种植B种花木，则由题意可得方程：，化简得，解得：n＝14．经检验，n≠0，26﹣n≠0，且符合题意，故n＝14是方程的解．故应安排14个人种植A花木，12个人种植B花木．【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．22．（7分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°．由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝4．∵CD＝3AD，∴AD＝，DC＝3．由旋转的性质可知：AD＝EC＝．∴DE＝＝2．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE ＝90°是解题的关键．23．（9分）运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；（2）当点M 在BC 延长线上时，h 1、h 2、h 之间的等量关系式是 h 1﹣h 2＝h ；（直接写出结论不必证明）（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l 1：y ＝x +3、l 2：y ＝﹣3x +3，若l 2上的一点M 到l 1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M 的坐标．【分析】（1）连接AM ，△ABC 被分成△ABM 和△ACM 两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以2分别求解，再根据S △ABC ＝S △ABM +S △AMC 整理即可得到h 1+h 2＝h ．（2）根据（1）的方法，利用三角形面积的关系求解即可；（3）先根据直线关系式求出A 、B 、C 三点的坐标利用勾股定理求出AB ＝AC ，所以△ABC 是等腰三角形，再分点M 在线段BC 上和CB 的延长线上两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵S △ABC ＝S △ABM +S △AMC ，S △ABM ＝×AB ×ME ＝×AB ×h 1，S △AMC ＝×AC ×MF ＝×AC ×h 2，又∵S △ABC ＝×AC ×BD ＝×AC ×h ，∴×AC ×h ＝×AB ×h 1+×AC ×h 2，∴h 1+h 2＝h ．（2）h 1﹣h 2＝h ．（3）在y ＝x +3中，令x ＝0得y ＝3；令y ＝0得x ＝﹣4，则：A （﹣4，0），B （0，3）同理求得C （1，0），AB ＝＝5，AC ＝5，所以AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．①当点M 在BC 边上时，由h 1+h 2＝h 得：1+M y＝OB，M y＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，∴M（，2）；②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣1＝OB，M y＝3+1＝4，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，∴M（﹣，4），∴点M的坐标为（，2）或（，4）．【点评】解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角形面积的关系，利用面积求解在几何解答题中经常用到，同学们在答题时一定要灵活运用．。
