高中数学必修四1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2 k 2 k
上都是增函数； 在每一个闭区间 [2 k 2 k 上都是减函数.
2
2
2 2
上都是增函数；
正弦曲线关于点（kπ ，0）对称.
p 正弦曲线关于直线 x = k p + (k ? Z ) 对称. 2
新知探究
根据余弦函数的图象，你能说出它们具有 哪些性质？
2
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
探求新知
余弦函数的定义域为R.
余弦函数的值域为 [-1 ， 1].
当且仅当
x 2 k , k Z
ymax 1
当且仅当 x 2 k , k Z ymin 1
余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数.
2
2
2 2
正弦函数是奇函数.
复习巩固
一般地，函数y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
T
2

探究新知
在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
上都是减函数
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k 2
世上还是好人多，我的阿爹阿妈收养了我，供我吃穿供我上学，教育我怎么做人。虽然日子过得很清苦，但是我毕竟有 了一个温暖的家，阿爹的疼阿妈的爱滋润着我的心田„„你们知道吗？我家姊妹多，在那样的年代，只靠阿爹阿妈两个 人地里来地里去是养不活全家的，所以大狙二狙还有年仅十五岁的三狙相继缀学去了深山的煤矿拉煤„„曾记得阿爹生 病的时候，为了给阿爹治病，我偷偷地跟五妮子和六丫头去了煤矿。只干了几个小时的活，手上就磨起了泡，满脸乌黑， 我这才知道一个女孩子家拉煤是什么滋味„„后来被阿爹知道了，狠狠地把五妮子和六丫头训了一顿儿，说我和他们不 同，细皮嫩肉的不能去干那粗活儿，他让我安心地读书，长大了去大的城市生活„„我拉着阿爹的手哭了，你们知道我 的阿爹是多么的疼我多么的爱我吗？！„„ 阿爹走了，我的眼泪哭干了。我真后悔阿爹临终前告诉了我的身世„„我对你们的态度彻底改变了。 六叔，试问你能与我的阿爹能相比吗？痛定思痛，无论我的亲生父母是谁，以前如何待我，我毕竟是吃过六婶儿的奶， 我是不会忘记的。 往事难追，这里毕竟有养育了我的阿妈和我的兄弟狙妹，我已离不开这片土地和这群爱我的孩子们了。 六叔六婶儿，我已经长大了，至于我究竟姓什么对我来说已经不重要了„„因为这儿的天是蓝的土是黄的，这儿有我的 事业，我要把青春献给那些失去母爱的孩子们„„ 远方的女儿：荷花执笔于中秋之夜。 “荷花不记恨我们，她原谅我们了„„她终于承认她是我们的女儿了„„”妻子 流着泪兴奋地叫了起来。 列车在缓缓行驶，透过车窗回首瞭望，太阳升起来了，温暖的阳光洒满了远处的千山万壑。 我仿佛听到荷花的声音：爸——爸——我的眼睛湿润了„„我忘不了，在这群山之间有一座朴实的爱心小学。 祝福你，我的女儿荷花„„有一天，村里来了个放大照片的人，说是专门为老年人上门服务。我的母亲把这人领到家中， 拿出侄儿的全家福把它放大了，用相框装好挂在显眼的地方，静静地看上几眼。 若是来了客人，母亲就向他们炫耀着说：“这是我的娘家侄儿，我的重侄女长得多俊俏，就像我家的小荷„„” 没有外人时，时常念叨着：“多好的一家人啊，我的孙女真有福气„„唉！苦就苦了我家的荷花„„” 听了母亲的话，我终于说出了我的心愿：“爹„„娘„„我想去趟山西„„把荷花领回家„„”

授课 学科 数学授课班级 高一授课 时间授课 内容 第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）——单调性及其应用 课 时 1 课时课 型微课核 心 素 养 及 教 学 目 标 【核心素养】1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性，提升学生的数学抽象素养。

2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养。

【教学目标】1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性，并结合图像熟记单调区间。

2会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间。

(重点、易混点)重 难 点 【教学重点】正弦、余弦函数的单调性及应用 【教学难点】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间 教学方法数形结合法、分析探究法、讲述法、讲练结合法授课环节 教师行为学生活动 设计意图 导入新课1、 正弦函数、余弦函数的一般式及图像。

2、 复习定义域、值域、奇偶性、周期性。

观察图像，复习之前所学习的性质。

抽查，提问 复习旧知 引出新课 讲授新课【互动探究】一、观察正弦函数y ＝sin x 的图像思考：在哪些区间上函数单调递增？这样的区间有多少个？它们之间有什么联系？由图像可知，在闭区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,π22ππ,22π上，函数单调递增，函数值由-1增大到1.在闭区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,π223ππ,22π上，函数单调递减，函数值由1减小到-1.二、观察余弦函数y ＝cos x 的图像类比正弦函数的单调区间，你能得出余弦函数的单调区间吗？分析、观察图像，引导学生，学生通过类比，从图像上的部分单调区间得出正弦、余弦函数的单调区间。

小组探究、抽查、提问。

解读目标，数形结合，提出困惑解决困惑，形成新知第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）-----单调性及其应用教学设计2021年7月11日。

2
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、

讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称轴
y=sinx的对称轴为
x
k
,
k
Z.
y=cosx的对称轴为 x k , k2 Z.
讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称中心
正弦函数是周期函数，2kπ
(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最 小正周期是2π.
那余弦函数呢？
讲授新课
问题：
(3) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期： (1) y 3cos x; (2) y sin 2x;
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图象，
说出函数图象有怎样的对称性？其特点
是什么？
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
6 4 2 sin( x) sin x
y
o 2 3 4