人教版初三数学下册《相似》复习

新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

人教版数学九年级下册第二十七章相似期中专项复习一、单选题1．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．a ＝bB ．a ＝2bC ．a ＝2bD ．a ＝4b2．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸(0)a a > ，若所得新矩形与原矩形相似，则a 的值的个数可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在y 轴上， 如果矩形 OA B C ''' 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA B C ''' 的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点 B 的坐标是( )A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(3，2)或（-3，-2）4．如图,要判定ABC 与AED 相似,欲添加一个条件,下列可行的条件有( 1 )::AE BE AD DC =;(2)::AE AD AC AB =;(3)::AD AC DE BC =;(4)180BED C ︒∠+∠=;(5)BED C ∠=∠.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在Rt ABC 纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．2076．如图，等边三角形ABC 中，AB=3，点D 在边AB 上，且AD=1，点E 是边B 上的一动点，作射线ED ．射线ED 绕点E 顺时针旋转60°得到射线EF ，交AC 于点F ，则点E 从B→C 的运动过程中，CF 的最大值是（ ）A B ．1C ．98D 7．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝18，MN ∥AB ，则MN 的值是（ ）A．9B．94C．92D．68．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）A．5︰3B．4︰3C︰2D．2︰9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）A．3：2B．3：5C．9：4D．9：510．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=-1；④2HOMHOGSS=正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0<x<6）那么，当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？　　．12．在ABC 中，14AB BC sin ABC ==∠=，，点P 在直线AC 上，点P 到直线AB 的CP 的长为　　．13．已知：3(0)2x y y =≠，则x x y=+ ．14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ，AD ＝1，BC ＝2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 ．15．在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是 ．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，AB =D 在边AC 上， :1:3CD AD =，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果BCE A ∠=∠，那么CE = ．17．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 在 AD 上，且 13AF AD =：： ， EF 交AC 于G.若 40AC = ，则 AG = .18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .三、解答题19．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 交于点O ，且分别与直线a ，b ，c 交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，已知OA ＝1，OB ＝2，BC ＝4，EF ＝5，求DE 的长度是？20．已知91114x y z== ，且x+y+z ＝68．求x ，y ，z 的值． 21．已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，延长DE 、BC 交于点F ．求证：BF·EC=CF·AE ．22．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点F ，若 AEF ∆ 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．23．如图，已知点 D 为 ABC 的边 AB 上一点，过点 B 作 BE //AC ， BE 交 CD 的延长线于点 E ，且 ACD ABC ∠=∠ ， ABC BED S :S 4:9= ， AC 10= ，求 AD 的长．24．已知：如图，在 ABC 中， 6AB = ， 8AC = ， D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，2BD = ， 5CE = ．求证： AED ABC ∽ ．25．请阅读下列材料，并完成相应的任务．正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．如图1，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点O ，则AC ，BD 互相平分．如图2，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点M ，则点M 是线段AC 的四等分点．任务一：请你观察图1，连接AD 、DC 、CB 、AB ，则AC ，BD 互相平分，其理由是 ▲ ．任务二：请你观察图2，说明点M 是AC 的四等分点的理由．任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．在图3中的线段BC 上做两点M 、N ，使得△ABM 与△ABN 都为等腰三角形．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】1.2s或3s12．13．【答案】3 514．15．【答案】（-8，4）或（8，-4）16．17．【答案】818．【答案】15 419．【答案】解：∵OA=1，OB=2，∴AB=3，∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=，即345DE =，∴154 DE=；∴DE 的长度是154．20．【答案】解：设 91114k y zk === ， 则x ＝9k ，y ＝11k ，z ＝14k ，∴9k+11k+14k ＝68，解得：k ＝2，∴x ＝18，y ＝22，z ＝28．答：x ，y ，z 的值分别为18，22，28．21．【答案】证明：作DG ∥BC ，DH ∥AC ，则△ADG ∽△ABC ，∵D 是AB 中点，∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，∵△DGE ∽△FCE ，∴DG EGCF CE = ，∴22DG EG CF CE = ，即 2BC EGCF EC = ，∴211BC EGCF EC+=+ ，即BC CF EG EG ECCF EC+++= ，∵EG+EC=GC=AG ，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE ，∴BC CF AE CF EC += ，即 BF AECF EC= ，∴BF·EC=CF·AE ．22．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴,//AB CD AB CD = ，∴AEF CDF ∆~∆ ，∵点 E 是 AB 的中点，∴12AF AE AE FC CD AB === ，∴21124AEF CDF S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵AEF ∆ 的面积为1，∴14422CDF AEF ADF CDF S S S S ∆∆∆∆====， ，∴6ACD ADF CDF S S S ∆∆∆=+= ，∴平行四边形 ABCD 的面积= 212ACD S ∆= ．23．【答案】解：∵BE ∥AC ，∴∠EBD=∠A ，∠E=∠ACD ，∵∠ACD=∠ABC ，∴∠E=∠ABC ，∴△BED ∽△ABC.∵ABC BED S :S 4:9= ，∴24()9AC BD = ，∴23AC BD = .∴1023BD = ，解得BD=15.∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC= ，即 2AC AD AB =⋅ ，设AD=x ，则 210(15)x x =+ ，解这个方程，得 15x = ， 220x =- （不合题意，舍去），∴AD=5.24．【答案】证明：∵6AB = ， 2BD = ，∴4AD = ，∵8AC = ， 5CE = ，∴3AE = ，∴3162AE AB == ， 4182AD AC == ．∴AE ADAB AC= ，∵EAD BAC ∠=∠∴AED ABC ∽ ．25．【答案】解：任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：如图，连接AD ，BC∵//AD BC∴,DAM BCM DMA BMC ∠=∠∠=∠∴ADM CBM ∆~∆∴13AD AM CB CM ==∴M 是AC 的四等分点；任务三：如图，取点D ，E ，连接DE ，交BC 于点M ，连接MA ，则△MBA 是等腰三角形，如图：理由是：∵,DE AB BE AE ⊥=即DE 是AB 的垂直平分线，∴MA=MB∴△MBA 是等腰三角形；取点F ，连接AF ，AF 与BC 交于点N ，△ABN 是等腰三角形，如图：理由是：AB=4，AC=3，由勾股定理得，BC= 5=又CF=1，CF//AB∴1=4CN CFNB AB=，即445BN BC==∴AB=NB=4∴△ABN是等腰三角形．。

九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

《第27章相似》复习课教学设计1.教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第27章相似的全章复习。

2.知识背景分析本章隶属于“空间与图形”领域，本章共有三节内容第1节图形的相似主要介绍相似图形，相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质；第2节相似三角形主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用及相似三角形的周长和面积；第3节位似研究了一种特殊的相似－位似，研究了位似图形的画法及平面直角坐标系中的位似变化。

本节课是在学习前三节的基础上进行的，通过对一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

3.学情背景分析教学对象是九年级学生，学生的逻辑思维能力得到了一定的发展。

本章正处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高阶段，要求学生能熟练运用综合法证明命题，熟悉探索法德推理过程，因此在教学中要注意多帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧，新旧结合。

要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知，简单与复杂，特殊与一般在一定的条件下可以转换的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。

通过小结对于学生推理证明的训练，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

4.学习目标4.1知识与技能目标（1）通过复习,梳理本章知识,构建知识网络.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边的比的平方。

（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。

（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。

（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，使学生综合运用图形的相似解决一些实际问题。

（5）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化特点。

4.2过程与方法目标经历小结的过程，使学生学会建立本章的知识结构图。

2023年九年级数学下册第27章《相似》复习检测卷（一）考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠AD .∠D ＝9∠A2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .74.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .108.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）第5题第3题第4题第6题第7题第9题第10题A .22B .23C .33D .3210.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE 交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为_________.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ＝2AB ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.第10题第11题第16题第12题第13题第15题19.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°.(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)若BC＝3，AB＝5，求CD的长.20.(8分)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE.(1)请用尺规在BE上求作一点P，使得△PCB∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE＝3，AB＝4，BC＝6，求EP的长.21.(8分)如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1.(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长.22.(10分)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x(0＜x＜6)，CE＝y(0＜y＜8).(1)当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；(2)若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式.23.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接DB.过点A作AE⊥BD于点F，交BC于点E.(1)求证：EB2＝EF・EA；(2)若AB＝4，CE＝3BE，求AE的长.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.《相似》阶段检测卷(一)考试范围：§27.1图形的相似~27.2相似三角形的判定满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.将△ABC 的每条边都扩大3倍得到△DEF ，其中点A 、B 、C 的对应点分别是D 、E 、F ，则∠D 与∠A 的关系为（）A .∠D ＝∠AB .∠D ＝3∠AC .∠D ＝6∠A D .∠D ＝9∠A【答案】A .详解：依题意，△ABC 与△DEF 的三边成比例，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ，故选A .2.如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【答案】C .详解：由两个角分别相等的两个三角形相似，知选项A 和B 中的阴影三角形与原三角形相似，选项D 中，阴影三角形的∠A 的两边分别为4－1＝3，6－4＝2，∵4623=，∠A ＝∠A ，∴选项D 中的阴影三角形与原三角形相似.而选项C 中，不能保证∠B 的两边成比例，故选C .3.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E ，B 、D 、F ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则DF 的长为（）A .4B .5C .9D .7【答案】C .详解：∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即8612DF=，解得DF ＝9，故选C . 4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（）A .AD AEAB CE=B .AC AEGF BD=C .BD CEAD AE=D .AG ACAF CE=【答案】C .详解：∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，故C 对；AD AEAB AC=，故A 错；AG AE ADAF AC AB==，故D 错；选项B 中的4条线段不成比例，故D 错.故选C .5.如图，在正方形网格上有两个三角形，且△ABC 和△DEF 相似，则∠BAC 的度数为（）A .135°B .125°C .115°D .105°【答案】A .详解：∵△ABC 和△DEF 相似，观察角的大小，∠BAC ＝∠DEF ＝90°＋45°＝135°，故选A . 6.如图，△ACP ∽△ABC ，若∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，则∠ACB 的度数是（）A .80°B .60°C .50°D .30°【答案】B .详解：在△ACP 中，∵∠A ＝100°，∠ACP ＝20°，∴∠APC ＝60°.∵△ACP ∽△ABC ，∴∠ACB ＝∠APC ＝60°，故选B .7.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长为（）A .6B .8C .9D .10【答案】D .详解：∵EF ∥AB ，∴EF DEAB DA=，∵DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，∴4223AB =+，∴AB ＝10，则CD ＝AB ＝10，故选D .8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm 、6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（）A .3cmB .4cmC .4.5cmD .5cm【答案】C .详解：设所求的最长边为xcm ，则592.5x=，解得x ＝4.5，故选C .9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝3，按照图中的方式将它分成完全相同的三个矩形，如果每一个小矩形都与矩形ABCD 相似，则a 的值为（）A .B .C .D .【答案】C .详解：小矩形的边边分别为13a 和3，∵小矩形与矩形ABCD 相似，∴13a ∶3＝3∶a ，解得a ＝±(舍去负值)，∴a ＝C .10.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上一点，过点E 作EF ⊥AE交CD 边于点F ，则CF 的最大值是（）A .0.5B .1C .1.5D .2【答案】B .详解：∵∠B ＝∠C ＝90°，AE ⊥EF ，可证△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE CF=，设BE ＝x ，则CE ＝4－x ，∴44x x CF =-，∴CF ＝14x (4－x )＝－14(x －2)2＋1，当x ＝2时，CF 取得最大值1，故选B .二、填空题(每小题3分，共18分)11.如图，添加一个条件__________________，使△ADE ∽△ACB .【答案】答案不唯一，可以填下列中的一个：∠ADE ＝∠C ，∠AED ＝∠B ，AD AEAC AB=.12.如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则BF ∶FD的值为_________.【答案】2.详解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，BC ∥AD .∵E 为AD 的中点，∴BC ＝AD ＝2DE ，由AD ∥BC ，得△BCF ∽DEF ，∴BF ∶FD ＝BC ∶DE ＝2.13.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，BC ＝8，则DE 的长为________.【答案】2.详解：∵DE ∥BC ，∴AD DE AB BC =，即1138DE=+，∴DE ＝2.14.已知654a b c==，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为_______.【答案】12.详解：∵654a b c==，故可设a ＝6x ，b ＝5x ，c ＝4x ，代入a ＋b －2c ＝6，得：6x ＋5x －2(4x )＝6，解得x ＝2，∴a ＝6x ＝12.15.如图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为_______.【答案】y ＝2x .详解：设B (t ，k t )，则直线OA 的解析式为y ＝2ktx .∵B 为OA 的中点，∴A (2t ，2k t )，∴D (2t ，2k t )，OC ＝2t ，CD ＝2k t ，CA ＝2kt.∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD AC OC =，∴OC 2＝AC ·CD ，∴4t 2＝2k t ·2k t，∴k 2＝4t 4，∵k ＞0，∴k ＝2t 2，∴直线OA 的解析式为y ＝2x .16.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 1与l 2之间的距离为2，直线l 2与l 3之间的距离为1，等边△ABC 的三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，则等边三角形的边长是______.【答案】2213.F详解：过C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于D ，过C 作CF ⊥l 1于F ，交l 3于H ，过E 作ED ⊥FC 交延长线于D ，∵∠AFC ＝∠ACE＝∠CDE ＝90°，∴△ACF ∽△CED ，∴DE CD CECF AF AC==，∵△ABC 为等边△，∴CE ，AB ＝BC ＝BE ，则CD AF .依题意，FH ＝FC ＋CH ＝2＋1＝3，由AB ＝BE ，l 1∥l 3∥ED ，得DH ＝FH ＝3，CD ＝4，∴AF CD AC .三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∠BCD ＝125°，分别求x 、y 、α的值.【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，∴∠C ′＝∠C ＝125°，∴∠α＝360°－80°－75°－125°＝80°，且AD AB BC A D A B B C ==''''''，即45316x y==，解得x ＝20，y ＝12.答：x ＝20，y ＝12，α＝80°.18.(8分)如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，AE ⊥BF 于点M ，若BC ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.【答案】BF AE ，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ，∵AE ⊥BF ，∴∠AMB ＝∠BAM ＋∠ABM ＝90°，又∵∠ABM ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAM ＝∠CBF ，∴△ABE ∽△BCF ，∴AE AB BF BC ==，∴BF AE .19.(8分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°.(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)若BC ＝3，AB ＝5，求CD 的长.【答案】(1)∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB=，∴AC 2＝AB ·AD .(2)在Rt △ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，由勾股定理，得AC ＝4.∵AC 2＝AB ·AD ，∴42＝5AD ，∴AD ＝165.在Rt △ADC 中，CD 125.20.(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE .(1)请用尺规在BE 上求作一点P ，使得△PCB ∽△ABE(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AE ＝3，AB ＝4，BC ＝6，求EP 的长.【答案】(1)如图所示；(2)由勾股定理，得BE 5，由△PCB ∽△ABE ，得BP BC AE BE =，即635BP =，∴BP ＝185，∴EP ＝BE －BP ＝5－185＝75.21.(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1.(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请直接写出另一个与△ABD 相似的三角形，并求出DE 的长.【答案】(1)∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴AB BDBC AB=，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA .(2)如图，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CBA ，∵△ABD ∽△CBA ，∴△CDE ∽△ABD ，∴DE CD BD AB =，即4112DE -=，∴DE ＝1.5.22.(10分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD ＝x (0＜x ＜6)，CE ＝y (0＜y ＜8).(1)当x ＝2，y ＝5时，求证：△AED ∽△ABC ；(2)若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式.【答案】(1)∵AB ＝6，BD ＝x ＝2，∴AD ＝4.∵AC ＝8，CE ＝y ＝5，∴AE ＝3.∴AD AEAC AB=.又∵∠EAD ＝∠BAC ，∴△AED ∽△ABC .(2)分两种情况，1°当△ADE ∽△ABC 时，AD AE AB AC =，则6868x y --=，∴y ＝43x (0＜x ＜6).2°当△ADE ∽△ACB 时，AD AE AC AB =，则6886x y --=，∴y ＝34x ＋72(0＜x ＜6).23.(10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是斜边AC 的中点，连接DB .过点A 作AE ⊥BD 于点F ，交BC 于点E .(1)求证：EB 2＝EF ・EA ；(2)若AB ＝4，CE ＝3BE ，求AE 的长.【答案】(1)∵AE ⊥BD ，∴∠BFE ＝90°＝∠ABC .又∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△EBF ∽△EAB ，∴BE EFAE BE=，∴EB 2＝EF ・EA .(2)在Rt △ABC 中，∵D 为斜边AC 的中点，∴BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C .由(1)，得△EBF∽△EAB，∴∠EBF＝∠EAB，∴∠C＝∠EAB.又∠ABE＝∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴AB BEBC AB=，∴AB2＝BE·BC.∵AB＝4，CE＝3BE，∴BC＝4BE，42＝BE(4BE)，∴BE＝2.∴AE＝.24.(12分)(1)【问题背景】如图1，D是等边△ABC中AB边上的点，以CD为边在CD的上方作等边△CDE，连接AE，求证：BD＝AE；(2)【尝试应用】如图2，D是Rt△ABC中AB边上的一点，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，∠CED＝30°，连接AE，请探究BD与AE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展创新】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，以CD为边在CD的上方作Rt△CDE，使∠CDE＝90°，43DE ABCD BC==，DE交AC于F，若AD＝3BD，求AFDF的值.【答案】(1)∵△ABC与△CDE均为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.(2)AE＝2BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DEC＝30°，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴BC AC CD CE=.由条件得∠ACB＝∠DCE，AC＝2BC，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴12BD BCAE AC==，∴AE＝2BD.(3)由(2)得，△BCD∽△ACE，∴AE ACBD BC=，∵43DE ABCD BC==，∴53ACBC=，∴53AE ACBD BC==设BD＝a，则AD＝3BD＝3a，AB＝4a，BC＝3a，CDa，AE＝53BD＝53a.∵△AFE∽△DFC ，∴53aAF AEDF CD=.。

一、选择题1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:5D ．2:3:4 2．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．1.5 3．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个5．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152 6．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ） ①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:1 8．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ）A ．AE EF BE BD = B ．EF AF DC AD = C ．AC FG CG DC = D ．AE FG AB DC= 9．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a = 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB等于（ ）A ．2B ．22C ．512-D ．211．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+4 12．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：9，则S △BDE ：S △CDE 的值是（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：5 13．下列相似图形不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 15．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）17．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．18．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．19．如图，在Rt ACB 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，N 是斜边AB 上方一点，连接BN ，点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN ，交AB 于点E ，连接DN ，交AB 于点F ，当ANF 为直角三角形时，线段AE 的长为________．20．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．21．如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．22．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）23．已知13x y =，则x y y-的值为______ 24．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是________．25．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，O为BC上一点，⊙O分别与边AB、AC切于E、C，则⊙O半径是________．26．如图，点A在反比例函数kyx=（k≠0）的图像上，点B在x轴的负半轴上，直线AB交y轴与点C，若12ACBC=，△AOB的面积为12，则k的值为_______．三、解答题27．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；（2）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是；（3）△A2BC2的面积是平方单位．28．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值； （2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长． 29．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1，CE 垂直y 轴于点E ．（1）求证：CDE DAO ∽△△；（2）直接写出点B 和点C 的坐标．30．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，12DE CD =，连接BE 与AC ，AD ，FE 分别交于点O ，F ．（1）若DEF ∆的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．（2）求证2·OB OE OF =．。