极点与极线背景下的高考试题定稿版

2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。

2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。

本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。

首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。

在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。

而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。

极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。

圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。

在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。

考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。

在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。

总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。

考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。

高三数学极坐标试题答案及解析1.以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点B与点A距离的最大值为．【答案】5【解析】点A的直角坐标为（2,2），曲线C是圆心为（2，-2），半径为1的圆，结合图像知，点B与点A的距离的最大值为+1=5.考点:极坐标与直角坐标互化；圆的参数方程；数形结合思想2.设P（x，y）是曲线C：（为参数，∈[0，2））上任意一点，则的取值范围是。

【答案】【解析】,表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设,即和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离,,解得【考点】1.参数方程的应用；2.直线与圆的位置关系.3.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即，反解并代入圆中，得曲线C的普通方程．进而写出参数方程；（2）将直线与圆联立，求的交点的坐标，从而可确定与垂直的直线方程．再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．（2）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为，即．【考点】1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程．4.在极坐标系中，曲线的交点的极坐标为。

【答案】【解析】代入得到，所以，，此时，所以交点的极坐标为.【考点】极坐标方程5.已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）[2，4].【解析】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式“，”转化得到曲线的极坐标方程，设出M，P点的极坐标，利用已知条件得P点坐标代入到中即可；第二问，由曲线的极坐标方程得的表达式，利用三角函数的有界性求的最值.的极坐标方程为，即．（1）曲线C1，α)，则在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1题设可知，．①因为点P在曲线C上，所以．②1由①②得曲线C的极坐标方程为． 6分2（2）由（1）得．因为的取值范围是，所以|OM|的取值范围是[2，4]． 10分【考点】直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值.6.长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；（2）求点P到点D距离的最大值.【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数，）；（2）取得最大值.【解析】本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力.第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出P点的横纵坐标，写出曲线的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到，再利用倍角公式、平方关系、配方法、三角函数有界性求函数最值.（1）设，由题设可知，则，，所以曲线的参数方程为（为参数，）． 5分（2）由（1）得．当时，取得最大值． 10分【考点】参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值.7.曲线(a为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．【答案】【解析】解：由消去参数得，，它表示圆心坐标为，半径为的圆，所以其极坐标方程为．【考点】圆的参数方程、标准方程和极坐标方程．8.在极坐标系中，点到直线的距离等于（）．A．B．C．D．2【答案】A【解析】将点化为直角坐标为，将直线化为直角坐标方程为，则所求距离为。

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）一、极坐标1.（2015年1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.【解析】：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分 （Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12.1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0.联立x y y x y x 2222⎧+-2=0⎪⎨+-23=0⎪⎩，解得x y =0⎧⎨=0⎩，或x y ⎧3=⎪⎪2⎨3⎪=⎪⎩2. 2C 与3C 交点的直角坐标为(,)00和(,).3322(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+32=.二、参数方程1.（2016年3卷）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩ (α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程.(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】(1)由x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩得2x 3+y 2=1.因为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ρsinθ+ρcosθ=2所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2x 3+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为)α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=πsin α23⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当且仅当α=2kπ+π6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭5.（2017年1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .解析 （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=. 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==，其中3tan 4ϕ=．依题意得max d 16a =-或8a =.三、普通方程（2016年1卷）在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x acost,y 1asint⎧=⎨=+⎩ (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程.(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)x acost,y 1asint⎧=⎨=+⎩ (t 为参数),所以x 2+(y-1)2=a 2. ①所以C 1为以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.方程为x 2+y 2-2y+1-a 2=0. 因为x 2+y 2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,即为C 1的极坐标方程. (2)C 2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x, ∴x 2+y 2=4x.即(x-2)2+y 2=4. ②C 3:化为普通方程为y=2x,由题意:C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3. ①-②得:4x-2y+1-a 2=0,即为C 3,所以1-a 2=0,所以a=1.（2016年2卷）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =，求l 的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=． ⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=，即22369014k k =+，整理得253k =，则k =．6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．6．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ② ⨯①②，消k 可得224x y -=，即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠. ⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +-=，联立224x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得ρ=M．。

2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2。

2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。

【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

极点、极线与圆锥曲线试题的命制发布时间：2022-05-11T13:35:11.792Z 来源：《中国教师》2022年6月作者：卢光明[导读] 高中圆锥曲线经常会遇见直线与曲线相切的问题，最常见的有两种形式：第一种直线与圆锥曲线相切，切点在曲线上；另一种是过曲线外一点作圆锥曲线切线有两条，切点分别是A、B两点，过A、B两点可以确定一条直线，发现两种形式的切线是同一形式，从而找出其它一些性质特点，来源于课本练习题。

卢光明江西省宜春中学【摘要】高中圆锥曲线经常会遇见直线与曲线相切的问题，最常见的有两种形式：第一种直线与圆锥曲线相切，切点在曲线上；另一种是过曲线外一点作圆锥曲线切线有两条，切点分别是A、B两点，过A、B两点可以确定一条直线，发现两种形式的切线是同一形式，从而找出其它一些性质特点，来源于课本练习题。

【关键词】极点，极线，圆锥曲线中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）6-135-03一、极点与极线的定义定义1 (代数定义)已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以x0x替换x2,以(x0+x)/2替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(x0,y0)的极线方程.特别地：对于椭圆 ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 ;对于双曲线 ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为；对于抛物线y2=2px,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).定义2 (几何定义)如图1,P是不在圆锥曲线上的点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过P点的切线即为极线.由图1可知,同理PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线,MNP称为自极三点形.若连接MN交圆锥曲线于点A,B,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线的基本性质定理1 （1）当P在圆锥曲线Γ上时，其极线l是曲线Γ在P点处的切线；(2)当P在Γ外时，其极线l是曲线Γ从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；(3)当P在Γ内时,其极线l是曲线Γ过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明 (1)假设同以上代数定义,对Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0的方程,两边求导得2Ax+2Cyy’+2D+2Ey’=0,解得y’=- ，于是曲线Γ的P点处的切线斜率为k=- ,故切线l的方程为y-y0=- (x-x0),化简得Ax0x+Cy0y-Ax20-Cy20+Dx+Ey-Dx0-Ey0=0.又点P在曲线Γ上,故有Ax20+Cy20+2Dx0+2Ey0+F=0,从中解出Ax20+Cy20,然后代入前式可得曲线Γ在P点处的切线为l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.根据代数定义,此方程恰为点P的极线方程.(2)设过点P所作的两条切线的切点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),则由(1)知,在M,N处的切线方程分别为Axx1+Cyy1+D(x1+x)+E(y1+y)+F=0和Axx2+Cyy2+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0，又点P在切线上,所以有Ax0x1+Cy0y1+D(x1+x0)+E(y1+y0)+F=0,Ax0x2+Cy0y2+D(x2+x0)+E(y2+y0)+F=0.观察这两个式子,可发现点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0上,又两点确定一条直线,故切点弦MN所在的直线方程为Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.根据代数定义,此方程恰为点P对应的极线方程.(3)设曲线Γ过P(x0,y0)的弦的两端点分别为S（x1,y1）,T(x2,y2),则由(1）知,曲线在这两点处的切线方程分别为Ax1x+Cy1y+D(x1+x)+E(y1+y)+F=0,Ax2x+Cy2y+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0.设两切线的交点为Q(m,n),则有Ax1m+Cy1n+D(x1+m)+E(y1+n)+F=0,Ax2m+Cy2n+D(x2+m)+E(y2+n)+F=0.观察两式,可发现S(x1,y1),T(x2,y2)都在直线Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=O上,又两点确定一条直线,所以直线ST的方程为Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=0.又直线ST过点P（x0,y0）,所以Ax0m+Cy0n+D(x0+m)+E(y0+n)+F=O上,这意味着点Q(m,n)在直线Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0上.所以,两切线的交点的轨迹方程是Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0.3.特殊的极点与极线①圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.譬如,对于椭圆 =1而言,右焦点F(c,0)对应的极线为 =1,即x= ,恰为椭圆的右准线.②对于椭圆 =1而言,点M(m,0)对应的极线方程为x= ;对于双曲线 =1而言,点M(m,0)对应的极线方程为x= ;(3)对于抛物线y2=2px而言,点M(m,0)对应的极线方程为x=-m.定理4 如图6,设圆锥曲线Γ的一个焦点为F,与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M,N两点,则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上,且FQ⊥MN;(2)若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN过焦点F,且FQ⊥MN;(3)若过焦点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M,N两点,过F作FQ⊥MN交准线l于Q,则连线QM,QN是圆锥曲线Γ的两条切线.下面给出椭圆情形下结论(1)的证明,其余皆同理可证.设Γ: (a>b>0),则F(c,0),l:x= .由于焦点F的极线为l,故切线MQ,NQ的交点Q一定在直线l上,设Q( ,yQ),则点Q的极线为 ,即y= . 再设MN:y=k(x-c),则k= ,即有yQ= ,从而Q点的坐标为 ,于是kFQ= ,kFQ•KMN=-1,故FQ⊥MN.过点（3，1）作圆的两条切线，切点为A,B则直线AB的方程为（）解析：法一、因为过点（3，1）作圆的两条切线，切点分别为A,B所以圆的一条切线方程为，切点之一为（1，1）排除BD，另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，排除C 故选A法二、切点弦AB所在直线就是点（3，1）对应的极线，故其方程为即故选A过椭圆内一点M（3，2）做直线AB与椭圆交于点A,B作直线CD与椭圆交于点C，D，过A,B分别作椭圆的切线交于点P，过C,D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ的直线方程。

极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-πθρ．（1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y a t x （t 为参数，R t ∈），求b a ,的值． （1）由极直互化公式得：4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ， 化参数方程为普通方程：122+-=abx b y ， 对比系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b，2,1=-=b a ………10分2.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为32cos 2=θρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12t y mt x ，（t 是参数，m 是常数）（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若2C 与1C 有两个不同的公共点，求m 的取值范围.解：（1）由极直互化公式得3)sin (cos :2221=-θθρC ，所以322=-y x ；---------------2分 消去参数t 得2C 的方程：122--=m x y ----------------------4分（2）由（1）知1C 是双曲线，2C 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y 得：0444)12(4322=+++--m m x m x ，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则0)444(12)12(1622>++--=∆m m m ， 解得：21-<>m m 或-----------10分3.已知椭圆C:22143x y +=，直线:l 3x y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． （I ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（II ）设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．…10分4..在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2的距离的最大值．解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． (5)分（Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． (10)5.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=。

第44讲 解析几何中的极点极线问题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点(1,1)M 的两条直线1l ，2l 分别与双曲线2222:1(1,1)x y C a b a b-=>>相交于点A ，C 和点B ，D ，满足AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠．若直线AB 的斜率2k =，则双曲线C 的离心率是( ) AB1C ．2D【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则11(1,1)AM x y =--，33(1,1)MC x y =--，22(1,1)BM x y =--，44(1,1)MD x y =--，AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠，//AB CD ∴，则2AB CD k k ==．∴131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()2(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()x x x x y y y y λλ∴+++=+++，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， ∴2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，即2122122x x b a y y +=⋅+， ∴2212122()()0a y y b x x +-+=，则2121222()a y y x x b ++=，同理可得：2234342()()0a y y b x x +-+=，则2343422()a y y x xb ++=，∴2234121234222()2()()a y y a y y y y y y b b λλ+++⋅=+++，0λ>且1λ≠，∴2221a b=，即222a b =，∴双曲线的离心率c e a ==故选：D ．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1)λ≠，若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为( )A ．12BCD【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由AM MC λ=，即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -， 则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即21221212x x b a y y +-=-⨯+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==，故选：D ．3．（2021•武汉模拟）已知A ，B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，)B ，则直线AP ，BQ 的斜率之比:(AP BQ k k = ) A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【解答】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =，2c =． 故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ． 由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．4．（2021•湖北月考）已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为A ，B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，)B ，若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为1k ，2k ，则12:(k k = )A ．13B ．3C ．12D ．2【解答】解：由椭圆的方程可知：24a =，所以2a =， 则(2,0)A -，(2,0)B ，设1(Q x ，1)y ，2(P x ，2)y ， 设直线PQ 的方程为：4x my =-， 则2222AP y k k x ==+，直线BQ 的方程为：11(2)2y y x x =-⋯-①， 直线AP 的方程为：()2222y y x x =+⋯+②， 联立①②解得：12211221121212211221122(2)2(2)2(6)2(2)262(2)(2)(6)(2)3y x y x y my y my my y y y x y x y x y my y my y y -++-+---===--++--+--， 所以1212122664(*)3my y y y x y y +-+=-，联立方程224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 化简可得：22(2)8120m y my +-+=，所以121222812,22m y y y y m m +==++，所以12123()2my y y y =+， 代入(*)式得121293433y y x y y -+==-，因为14y k x =+，22yk x =+，所以122221114433k x k x x +==-=-=++，故选：A ．二．填空题（共4小题）5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M 过点M 的两条直线分别与椭圆E 相交于A ．C 和B ，D 两点若||||||||MA MB MC MD =，若直线AB 的斜率为12-，则该椭圆的离心率为【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由||||||||MA MB MC MD =，可设AM MC λ=，BM MD λ=， 即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=--+， 即21221212x x b a y y +-=-+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =， 则椭圆的离心率c e a ===，． 6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内一点(2,1)M ，过点M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>且1)λ≠，若λ变化时直线AB 的斜率总为23-，则椭圆的离心率为． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AM MC λ=，1(2x ∴-，131)(2y x λ-=-，31)y -，即13132(2)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩， ∴1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得，2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ∴+++=+++，A ，B 两点均在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即21221223x x b a y y +-=-⋅+， 2212123()2()b x x a y y ∴+=+①，同理可得，2234343()2()b x x a y y +=+②，①+②λ⨯得，22123412342[()()]3[()()]a y y y y b x x x x λλ+++=+++， 又12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ+++=+++，∴222321a b =，即2213b a =， ∴离心率c e a ==．7．设F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若90PFM ∠=︒，则点P 的轨迹方程为 4()x y R =∈ ． 【解答】解：设切点0(M x ，0)y ，则椭圆的切线方程为：00143x x y y+=． 设(,)P x y ，90PFM ∠=︒，00(1)(1)0x x yy ∴--+=． 联立解得：4x =．∴点P 的轨迹方程为：4x =．故答案为：4()x y R =∈．8．（2021•南通模拟）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22154x y += ． 【解答】解：设过点1(1,)2的圆221x y +=的切线为1:(1)2l y k x -=-，即102kx y k --+=①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； ②当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为：1||1k d -+==，解之得34k =-，此时直线l 的方程为3544y x =-+，l 切圆221x y +=相切于点(B 35，4)5；因此，直线AB 斜率为14052315k -==--，直线AB 方程为2(1)y x =-- ∴直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,2)C ．椭圆22221x y a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)1c ∴=，2b =，可得2225a b c =+=，椭圆方程为22154x y += 故答案为：22154x y +=．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线D 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知P ，Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）点3(1,)2D 在椭圆C 上，∴229141a b +=， 又直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -，∴223392241114b a a a ⋅==-+--，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）设:1PQ x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，∴122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， ∴直线AP 的直线方程为1122x x y y +=-， BQ 的直线方程为2222x x y y -=+， 联立，解得4M x =，同理，4N x =，∴直线MN 的方程为4x =．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点3(1,)2，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM ∆的面积．【解答】解：（1）由题意22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因为222a b c =+，得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）直线PB的方程为2)y x +，得P ． 所以直线PC的方程2)y x =-，联立方程组222)3412y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，化简得2518160x x -+=， 解得12x =，285x =，得点8(,5M ．又点M 到直线PB的距离d =，||PB =所以12PBM S ∆=⨯=．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，右焦点F ，1BF =，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆，BFN ∆的面积分别为1S ，2S ，若1232S S =，求k 的值；（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求213()k k k -的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2(0)c c >． 依题意可得12c e a ==，1a c -=，解得2a =，1c =． 故2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．若1232S S =，则121||||3212||||2AF y BF y =，即有212y y =-，① 设直线MN 的方程为1(0)x my m =+>，与椭圆方程223412x y +=，可得22(43)690m y my ++-=， 可得122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，② 将①代入②可得22843m m =+，解得m =，则k ； （3）由（2）得 1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-， 令4x =，得3E y m =-，即(4,3)E m -． 所以3341mk m -==--． 所以221122112211222132122112121212(2)(3)(1)31()()()22(2)(2)(3)(1)33y y y y my x y y my my m y y my k k k k k m k x x x x my my m y y my my ++++++-=+=+===-++-+--+-2222222122222212122222229(1)9(1)33(1)3343439612(1)()344344434343m m my my m y y my m m m m m m y y m y y my my my m m m ++-+-+++++====+-+-+-+-+-++++．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为F '，F ，A 、B分别是椭圆C 的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点F且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）若1k =时，记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，求2212129S S S S +的值；（2）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ使21k k λ=成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为2b =，所以b =又因为2a c =，所以2a =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=．设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，且(2,0)A -，(2,0)B ， 因为1k =，所以MN 的方程为1y x =-， 联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27690y y +-=，所以121269,77y y y y +=-=-，又221212121212212121113||91||9922(3)()111||3||22y y S S S Sy yS S S S y y y y ⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=-+⋅⋅⋅⋅， 因为22212121212211212()2187y y y y y y y y y y y y y y ++-+===-所以原式547=．（2）假设存在常数λ使21k k λ=成立，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 22222222222222222222222241281218462()233()434343433464128462()243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k -----+---++++++====-----+---++++++，因此，213k k =，故3λ=．13．（2021•全国模拟）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，规定直线2a x c=为椭圆E 的右准线，椭圆E 上的任意一点到右焦点F 的距离与其到右准线的距离之比为ca．已知椭圆22:143x y E +=．（1）若点(1,1)D -，P 是椭圆E 上的任意一点，求||2||PD PF +的最小值；（2）若M ，N 分别是椭圆E 的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 非顶点），证明：直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线上． 【解答】解：（1）根据条件可得椭圆E 的右准线为4x =，12c e a ==， 若PA 垂直于右准线，如图，则||||PF e PA =，即||2||PA PF =， 所以||2||||||PD PF PD PA +=+，故当仅当D ，P ，A 三点共线时，||||PD PA +最短，即为D 到右准线的距离5d =， 故||2||PD PF +的最小值为5；证明：（2）由题意，设:1l x ky =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：(324)2690k y ky ++-=，则122634k y y k +=-+，122934y y k =-+， 又(2,0)M -，(2,0)N ，则11:(2)2y AM y x x =++，22:(2)2y BN y x x =--，当4x =时，11116623AM y y y x ky ==++，22222221BN y y y x ky ==--， 而2212121122121212121212964()6()62666646()3434031(3)(1)(3)(1)(3)(1)kk y y ky y y ky y y ky y y y k k ky ky ky ky ky ky ky ky ⋅--⋅-----+++-====+-+-+-+-，即AM BN y y =，所以直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线4x =上，得证．14．（2021•南平二模）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>．（Ⅰ）若椭圆Tz 轴的直线被椭圆截得弦长为83． ①求椭圆方程；②过点(2,1)P 的两条直线分别与椭圆F 交于点A ，C 和B ，D ，若//AB CD ，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设0(P x ，0)y 为椭圆T 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆T 交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ，类比（Ⅰ）②直接写出直线T 的斜率．（不必证明）【解答】解：（Ⅰ）①椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，椭圆Tz 轴的直线被椭圆截得弦长为83， ∴222228359b a a b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，⋯（2分） ∴椭圆T 的方程为22194x y +=．⋯（3分）②设点11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y AP PC λ=． 则132(2)x x λ-=-，131(1)y y λ-=-，故132(1)x x λλ+-=，13(1)y y λλ+-=．⋯（5分）点C 在椭圆上，∴2233194x y +=，则221122[2(1)][(1)]194x y λλλλ+-+-+= 整理得22221111241(1)()2(1)()949494x y x y λλλ++-++++=⋯（6分）由点A 在椭圆上知2211194x y +=，故2211241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．①⋯（7分）又//AB CD ，则BP PD λ=．同理可得2222241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．②⋯（8分）①-②得212121()()094x x y y -+-=．由题意可知12x x ≠，则直线AB 的斜率为212189y y k x x -==--．⋯（10分） （Ⅱ）直线AB 的斜率为2020b x a y -．⋯（13分）15．（2021•安徽模拟）设0(P x ，0)y 为椭圆214x y +=内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于A ，C 和B ，D ，若//AB CD ． （Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF ． 【解答】解：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，23)(y C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，则01300130()()x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴013013(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，即22010122[(1)][(1)]14x x y y λλλλ+-+-+=，整理得22222222201100101111(1)()(1)(4)()()4244x x x y x x y y y y λλλλ++-++++=++=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得222220001011(1)()(1)(4)1142x y x x y y λλλλ++-++=-=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值； （Ⅱ）直线EF 的方程为0000()4x y x x y y =--+， 代入椭圆方程得220000[()]144x x x x y y +--+=，整理得到2222222000000022004(4)101682x y x x y x x x y y y ++-++-=， ∴220002220020(4)82416E F x x y y x x x x y y +-+=-=+， 故EP PF =．16．（2021•安阳三模）已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其短轴长为2，离心．点0(P x ，0)y 为椭圆M 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ． （Ⅰ）求椭圆M 的标准方程； （Ⅱ）证明：直线AB 的斜率为定值． 【解答】（Ⅰ）解：短轴长为2， 2a ∴=，1b =，焦点在x 轴上，∴椭圆M 的标准方程2214x y +=；（Ⅱ）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，013(1)x x x λλ+-∴=，013(1)y y y λλ+-=，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得22220001011(1)()(1)(4)142x y x x y y λλλ++-++=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值． 17．（2021•南昌一模）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l '过点1(A x ，1)y ，且点F 关于直线l '的对称点1(R x ，1)-．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，AG ，BG 与抛物线E 的另一个交点分别为C ，D ，记AGB ∆的面积为1S ，CGD ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【解答】解：（1）1(R x ，1)-在定直线:1m y =-上，||AR 表示A 到直线m 的距离， 因为F 关于l '的对称点为R ，故||||AF AR =，即抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线m 的距离，直线m 即为准线， 所以12p -=-，即1p =，抛物线的方程为24x y =；证明：12FR k x =-，因为FR l '⊥，所以l '的斜率为12x ， 由24x y =可得12y x '=，点A 处的切线的斜率为112x ，故直线l '是抛物线E 的切线；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则3421121||||sin ||||21||||||||sin 2CG DG CGD x x S CG DG S AG BG x x AG BG AGB ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠， 22313113313112444ACx x y y x x k x x x x x --+====---，则3118x x x =--， 设直线l 的方程为1y kx =+，与24x y =联立，可得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，214x x =-， 则AC 的方程为21112()4x y x x x -=--，令0x =，可得2124x y =+，即21(0,2)4x G +， 因为A ，G ，C 三点共线，可得3118x x x =--， 又B ，G ，D 三点共线，且2(B x ，22)4x ，4(D x ，24)4x ，224(0,2)G x +，所以22224224244BD DGx x x x k k x +-+===-， 可得4322816x x x =--， 故13342122112128816()()x x x S x x x S x x x x ----==，将124x x =-，124x x =-，代入上式， 化简可得22412211416()4S S x x =++>， 所以21S S 的取值范围是(4,)+∞． 18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（Ⅰ）求斜率k 的取值范围；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意设直线l 的方程为1(1)(0)y k x k -=+≠，即1y kx k =++， 联立241y x y kx k ⎧=⎨=++⎩，得22222(2)(1)0k x k k x k ++-++=，所以21222(2)k k x x k +-+=-，2122(1)k x x k +=，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则120x x +>，120x x >， 所以△22224(2)4(1)0k k k k =+--+>，解得k <<0k ≠， 所以k的取值范围为15((0,)2-+． （Ⅱ）由题知，1(k M k+-，0)，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ， 由（Ⅰ）知，124y y k +=，1244y y k=+， 因为直线l 与x 轴交于M ，1(1M k--，0)，因为直线CD 过点M 且斜率为2k -， 所以直线CD 的方程为12(1)y k x k=-++， 联立212(1)4y k x ky x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22440y y k k +++=，所以342y y k+=-，3444y y k =+，所以△2444(4)0k k =-+>，即k <<0k ≠， 所以131322313131444AC y y y y k y x x y y y --===-+-， 所以直线AC 的方程为11134()y y x x y y -=-+， 所以21311111313131313134444y y x y y x y x y x y y y y y y y y y y y y =-+=-+=+++++++①， 所以直线BD 的方程为2424244y y y x y y y y =+++②， 联立①②得13241313242444y y y y x x y y y y y y y y +=+++++， 解得132413242413114()y y y y x y y y y y y y y -=-++++， 所以2413241313244()()()x y y y y y y y y y y y +--=+-+， 因为1234y y y y =， 所以124x y y =， 所以点N 的横坐标为1201154y y x k==+=-， 所以16k =-．19．（2021•新津县校级月考）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且||3AF =． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，以点F 为圆心作与直线GA 相切的圆F ，求圆F 的半径，判断圆F 与直线GB 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义得||22p AF =+． 因为||3AF =，即232p+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =；（2）证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =±由抛物线的对称性，不妨设(2A ，，由(2A ，，(1,0)F 可得直线AF 的方程为1)y x =-， 由得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(2B ， 又(1,0)G -，故直线GA 的方程为30y -+，从而r ==．又直线GB 的方程为30y ++=，所以点F 到直线GB 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．（2015•四川）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为∴点1)在椭圆E 上，又，∴22222211a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，b =， ∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点， 如果存在定点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． Q ∴点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点， 则M 、N的坐标分别为、(0,，又||||||||QM PM QN PN =，∴=01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．法一：下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x '--===-+=---， AQ QB k k '∴=，即Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='． 法二：当斜率存在时，过点A 作AA y '⊥轴，垂足为A '，过点B 作BB y '⊥轴，垂足为B '，易知//AA BB ''，则△AA P '相似于△BB P '，则PA AA PB BB'='， 若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点(0,2)Q 时关于y 轴对称，则要证0QA QB k k +=， 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+，∴121212112x x k x x x x ++==， 11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x --===-=-+，可证得0QA QB k k +=， 所以QAA '∆相似于QBB '∆ 进而得证：QA AA PAQB BB PB'=='， 当斜率不存在时，由上可知，结论也成立． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，1242AB x x x k +==，直线AB 为：2011()42x x y x x -=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2x y '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-， 直线AB 为：21121()44x x x y x x +-=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ． （Ⅲ）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+联立2(2)24y k x x y =-+⎧⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，124x x k ∴+=，1282x x k =-，(2,22)M k k ∴-， 2y x ∴=-．∴点M 满足的轨迹方程为20x y --=．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．设抛物线C 的焦点为F ．（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =，求抛物线C 的方程； （2）证明||||OH ON 为定值． 【解答】解：（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =， 由抛物线的焦点(2p F ，0)，准线方程为2px =-， 可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：将直线:l y t =与抛物线方程22y px =联立，解得2(2t P p，)t ，M 关于点P 的对称点为N ，∴222N M x x t p +=，2N M y y t +=，2(t N p∴，)t ，ON ∴的方程为py x t=， 与抛物线方程联立，解得22(t H p，2)t ，∴||||2||||H N y OH ON y ==为定值． 24．（2021•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422y m n y ++=⋅， 222214()422m y n y ++=⋅， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根， 可得122y y n +=，2128y y m n =-， 可得122y y n +=， 则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ，EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线，//EF AB ，又M 为AB 的中点， G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+， 由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+， 解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴） （Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅- 22121()28y y m +=-2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-24n m =-可令t ==可得12m =-时，t ；1m =-时，t 取得最小值2，即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点0(P x ，0)y 是y 轴左侧一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，AB 中点为M ，PA ，PB 的中点均在C 上．（1）求证：1202y y y +=；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求||PM 长度的取值范围．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ，因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以1y ，2y 为方程22014()422y x y y ++=⋅， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根为1y ，2y ， 所以1202y y y +=．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以22121144(2y y M +，12)2y y +，即2212(8y y M +，0)y ，∴2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 又22014y x +=，0x <，∴2200000||3(1)3333(10)PM x x x x x =--=--+-< ∴15||[3,]4PM ∈． 26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B ，满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上 （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(P P x ，)P y ，(M M x ，)M y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】（1）解：由抛物线2:4C y x =，得24p =，则2p =，∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2；（2）证明：(P P x ，)P y ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为(M M x ，)M y ，则2212(8y y M +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422P P y x y y ++=，22224()422P P y x y y ++=， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280P P P y y y x y -+-=的两根， 可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 可得122P M y y y y +==；（3）解：若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214P P y x +=，10P x -<，22P y -<<，由（2）可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =- 2212121()()28P y y x y y +=-+ 222211[(4162)]4324162P P P P P P P y x y x y x y =-+--+24P P y x =-令t =，得12P x =-时，t ．1P x =-时，t 取得最小值2，即25t ，则34S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∴∆面积的最小值为27．（2021•怀化一模）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴； （2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根， 即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根， 所以1202y y y +=， 所以PM 垂直于y 轴． （2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =， 所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =， 因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-， 设直线AB 的方程为x ty m =+， 联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =， 所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯， 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号， 故124S S +的最小值为6．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=①11,22c e a ==又所以②由①②得21c =，24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=⋯．（4分） （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标(1,0)F ，显然直线AB 斜率存在， 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③⋯．（5分）代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=⋯．（6分） 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④⋯．（7分） 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而1212123322,11y y k k x x --==--，33312412k k k -==--，⋯．（9分）又因为A 、F 、B 共线，则有AF BF k k k ==， 即有121211y yk x x ==--， 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=--++⑤将④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++，⋯（12分） 又312k k =-，所以1232k k k +=，即1k ，3k ，2k 成等差数列．⋯．（13分）29．（2013•江西）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =，直线l的方程为4x =． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，可得22191(0)4a b a b +=>>① 由离心率12e =得12c a =，即2a c =，则223b c =②，代入①解得1c =，2a =，b = 故椭圆的方程为22143x y +=（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+④ 在方程③中，令4x =得，M 的坐标为(4,3)k ， 从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==-- 注意到A ，F ，B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==-- 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⨯-++⑤④代入⑤得22122222823432214128214343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++ 又312k k =-，所以1232k k k += 故存在常数2λ=符合题意方法二：设0(B x ，00)(1)y x ≠，则直线FB 的方程为00(1)1y y x x =-- 令4x =，求得003(4,)1y M x - 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-，联立2200143(1)1x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得0058(25x A x --，003)25y x -，则直线PA 的斜率00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为020232(1)y k x -=-所以000001230002252321222(1)2(1)2(1)y x y y x k k k x x x -+--++=+=⨯=---，故存在常数2λ=符合题意30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点(1,0)A -，(1,0)B ，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （1）当||CD =l 的方程； （2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．。

极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。

完整)极点与极线背景下的高考试题通过对极点与极线的研究，我们可以更好地理解圆锥曲线的特征，从而更好地应对高考试题。

5.从代数角度看极点与极线：设圆锥曲线$\Gamma$的方程为$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，则称点$P(x,y)$和直线$l:Ax+Cy+D(x_0)+E(y_0)+F=0$是$\Gamma$的一对极点和极线。

实际上，在圆锥曲线方程中，以$x^*$替换$x$，以$x=x_0+x^*$替换$x$，以$y^*$替换$y$，以$y=y_0+y^*$替换$y$即可得到点$P(x,y)$的极线方程。

特别地，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}+\frac{y^*}{b^2}=1$；对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}-\frac{y^*}{b^2}=1$；对于抛物线$y=2px$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$yy^*=p(x_0+x^*)$；如果圆锥曲线是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线$y=2px$，则其焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，其准线为$x=-\frac{p}{2}$。

y = (3/2)x - 1，代入椭圆方程得到4x^2 + 9y^2 - 48x + 32y + 64 = 0化简得x^2/16 + (y+2)^2/9 = 1所以点Q的轨迹方程为x^2/16) + ((y+2)^2/9) = 1这是一个标准的椭圆方程，所以点Q的轨迹是一个椭圆。

极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。

极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I 卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I 卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a 2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现1(2023年全国乙卷)已知椭圆C :y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．2024届高考数学专项复习极点极线与调和点列，调和线束（高观点下的圆锥曲线拓展）2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；x 29+y 2=1(2)证明：直线CD 过定点.32,03(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1 两点．(1)求E 的方程；y 24+x 23=1(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．高考模拟·新题速递【题型1】极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0y b2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B 则直线AB 的方程为()A.2x +y −3=0B.2x −y −3=0C.4x −y −3=0D.4x +y −3=02已知点P 为2x +y =4上一动点．过点P 作椭圆x 24+y 23=1的两条切线，切点分别A 、B ，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是．3(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．4(2024·湖南衡阳·二模)(多选)已知圆C :x 2+y 2=4,P 是直线l :x +y -6=0上一动点，过点P 作直线PA ,PB 分别与圆C 相切于点A ,B ，则()A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为22B.直线AB 恒过点23,23C.AB 的最小值是473D.四边形ACBP 面积的最小值为214【题型2】调和点列模型一、调和点列的充要条件如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)AC BC =AD BD ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD 二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P 作任意直线，与椭圆交于M ,N ，与极线交点M 则点M ,D ,N ,P 成调和点列，若点P 的极线通过另一点D ，则D 的极线也通过P ．一般称P 、D 互为共轭点．1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x 轴的交点为1,0 ，其中一条渐近线的倾斜角为π3.(1)求C 的标准方程；x 2-y 23=1(2)过点T 2,0 作直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点E 满足AE ⋅TB =EB ⋅AT ，证明：点E 在一条定直线上.2(安徽高考)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1(-2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |∙|QB |=|AQ |∙|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．3已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53.(1)求椭圆C 1的方程;y 24+x 23=1(2)已知点P (1,3)和圆O :x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证:点Q 总在某定直线上. 答案：x +3y =3【题型3】自极三点形与a2模型如图, 设P是不在圆雉曲线上的一点, 过P点引两条割线依次交二次曲线于E,F,G,H四点, 连接对角线EH,FG交于N, 连接对边EG,FH交于M, 则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆雉曲线上的点, 则过P 点的切线即为极线.同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x=t上任意一点P向椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右顶点A1,A2引两条割线PA1,PA2与椭圆交于M,N两点，则直线MN恒过定点a2t ,0．2024杭州二模1已知A,B是椭圆E:x24+y2=1的左，右顶点，点M m,0m>0与椭圆上的点的距离的最小值为1．(1)求点M的坐标．(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点(与A,B不重合)，连接AC，BD交于点G．(ⅰ)证明：点G在定直线上2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-3,0)，且过点P32,134.(1)求椭圆C的标准方程；x24+y2=1(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.深圳二模1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32，且焦距F1F2 =23，线段AB,CD分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E的方程；x24+y2=1(2)若N(s,t)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点．①s=1,t≠±32，直线NA,NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；4,0②t=2,s∈R，直线NC,ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q．0,1 22023广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F2,0，直线y=x-1与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为-1 2．(1)求双曲线的方程；(2)设A1，A2为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4, 求点P的轨迹；(2)设x1=2,x2=13，求点T的坐标；(3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点.(其坐标与m无关)【题型4】斜率成等差模型如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点P m ,0 ，直线l 过点P (极点)且与椭圆交于不同的两点A ,B ，与直线x =a 2m(极线)交于M ，显然A ，P ，B ，M 四点形成调和点列(1)点N 为直线x =m 上任意一点，则k AN +k BN =2k MN ．(2)若点Q 为直线x =a 2m上一点，则k AQ +k BQ =2k PQ(3)若点P 0,m ，直线l 过点P (极点)且与椭圆交于不同的两点A ,B ，Q 为直线y =a 2m 上一点，则1k AQ+1k BQ =2k PQ2024·湖北十一校第二次联考1已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F1为左焦点，且△ABF1的面积为3 2．(1)求椭圆M的标准方程：答案：x24+y23=1(2)设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点．(ii)若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：2k QN-k QC为定值，并求出此定值(其中k QN、k QC分别为直线QN和直线QC的斜率)．2024届广东省四校联考1过原点O 的直线交椭圆E ：x 29+y 2b2=1(b >0)于A ，B 两点，R 2,0 ，△ABR 面积的最大值为25.(1)求椭圆E 的方程x 29+y 25=1(2)连AR 交椭圆于另一个交点C ，又P 92,m (m ≠0)，分别记PA ，PR ，PC 的斜率为k 1，k 2，k 3，求k 2k 1+k 3的值.2013江西卷1已知椭圆方程为x 24+y 23=1.设P 是直线x =4上任意一点，AB 是经过椭圆右焦点F 的一条弦.记直线PA ，PF ，PB 的斜率依次为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1+k 3=λk 2.若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【题型5】调和线束，平行截中点(1)调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。

（完整）极点与极线背景下的高考试题江西省抚州市第一中学344000)但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考.应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识.从几何角度看极点与极线11，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引,,,EFGH，连接,EHFGN，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.1当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线P点处的切线；当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P 的极线是直线AB(即切点弦所)；当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点.22，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBBQ,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调P的极线.12，设点P关于圆锥曲线的调和共轭Q，则有211PAPB②；反之，若有②成立，P与Q关于调和共轭..事实上，由①有11PAPB.23，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.PQ与的另一交点为R，则PROPOROPORRQOROQOROQ，化简2OROPOQ.反之由此式可推出PRRQ，即点P与Q关于调和共轭.34，,AB圆锥曲线的一条 P E F G H M A N B 图1 P Q R3 RR O P Q A 图2 B ll上的两点(不在上)，若,AB关于调B任作的一条割线，交于,PQPABQAB.关于直线l对称，故在上存在PQ,PQ.若P与Q重合，则Q与P,PQ关于l对称，有PABQAB；P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,AB调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQPQ在PA上，故,APAQ关于直线lPABQAB.3配极原则)点P关于圆锥曲线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极Q在直线p上..1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.从代数角度看极点与极线义2知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点0(,)Pxy和直线000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.xx替换2x，以0xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得0(,)Pxy的极线方程.对于椭圆2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyb；对于抛物线22ypx，与点0(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.如果圆锥曲线是椭圆2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线ypx0(,)Pxy为其焦点(,0)pF时，极线恰为抛物线的准线.从极点与极线角度看圆锥曲线试题1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1922yx的左右顶点为,AB，焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点122(,),(,)MxyNxy，其中0m，200yy，．(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设212xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．.(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，MN，设直线AB与MN的交点为K，根据T对应的极线经过K，B A K MP l A 图4 PR B Q QT对应的极线方程为915xmy，即myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，MN也恒过定点K(1,0).2】(2008安徽卷理22)设椭圆222:1(0)xyCabb过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F.求椭圆C的方程；当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB时，在线段AB上取点Q，满足QBAQPBuuuruuuruuuruuurQ总在某定直线上.(1)易求得答案2212xy.由条件可有PAPBBQuuuruuuruuuruuur，说明点,PQ关于C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点4112xy，化简得220xy.Q总在定直线220xy上.3】(1995全国卷理26)已知椭圆22:116xyC，直线:18xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹.2OROPOQ可知点,PQ关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极OP的交点.(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为(88)16txty，化简得)2txtyOP的方程为88tyxt，化简得2tyxt④65424442txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,xy 不同时为0)，故点Q(1,1)为中心，长短轴分别为10和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线24xyF，,AB是抛物线上的两动点，且AFFBuuuruuur0),AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点P.证明FPABuuuruuur为定值； A BO x y8 F B Q x y O P A . 图6 R Q x y O P . 图7设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，S的最小值.(1)显然，点P的极线为AB，故可设点(,1)Px，再设1122(,),(,)AxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，22()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，将1y代入后面两个极线方程101022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.2121(,2),(,)FPxABxxyyuuuruuur，故02121()2()0FPABxxxyyuuuruuur.设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程02()xxyy对比可知直线AB对应的极点为,1)Pk把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以21)4(1)ABPSABFPkk.0k时，S取最小值4.5】(2005江西卷理22)设抛物线2:CyxF，动点P在直线:20lxy上运动，P作抛物线的两条切线,PAPB，且与抛物线分别,AB两点.求APB的重心G的轨迹方程；证明PFAPFB.(1)设点01122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，yyxx对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB1(,2).1:2()ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kkP，将直线AB的220kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APBG的轨迹方程为2222233224222233kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得12)yxx.设22122(,),(,)AxxBxx，由(1)知1212,2kxxkxx，又1(0,)4F，由(1)知(,2)22kkP，即22(,)xxPxx，所以2111(,)4FAxxuuur，12121(,)24xxFPxxuuur，2221(,)4FBxxuuur.221211211222111111()()()()244444cos11()()4xxxxxxxxxxxFPFAPFAFPFAFPFPxFPxxuuuruuuruuuruuuruuuru uuruuur.同理A B P O x y 图9 F l21xxFPFBPFBFBFPuuuruuuruuuruuuruuur.PFAPFB.1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.92】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月。

第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.。