【2016高考数学全真模拟】内蒙2016届高三下学期高考前冲刺全真模拟考试(理)试题及答案
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内蒙2016届高考前冲刺全真模拟考试试题数 学 (理工类)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知{{},sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则QP ⋂（ ）A.∅B. {}0C.{}1,0- D.{- 2．已知复数33iiz +-=，则z 的虚部为（ ） A.3- B.3 C.i 3 D.i 3-3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y+2=0平行，则tan 2α的值为（ ） A ．45B ．34C ．23D ．436A ．()cos f x x =B ．()lg f x x = D ．()2x xe ef x --=俯视正视侧视6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ． 24 C ．40 D ．727．如图所示，点)0,1(A ，B 是曲线132+=x y 上一点，向矩形OABC 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ） A.21 B.31C.41D.528．已知矩形ABCD ,F E 、分别是BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -的外接球的体积为（ ）BD. 9．已知不等式组210,2,10x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥表示的平面区域为D ，若函数1y x m =-+的图像上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ）A.1[0,]2B.1[2,]2-C.3[1,]2- D.[2,1]-10.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点)0,6(π对称B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称11. 已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线B C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在答题卷相应位置上）13．若随机变量~X N （1，4），(0)Pxm ≤=，则(02)P x <<_____.14. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为_____.15．已知向量)2,1(n a =→，),(m n m b +=→)0,0(>>n m ，若1a b ⋅=，则n m +的最小值为_____16.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若b c a 222=-且C A tan 3tan =，则b=_____.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足135151712.a a a a a a ++=，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 1 2≤b n ＜1．18.(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长均相等，E 是BC 的中点， 点F 在侧棱1CC 上，且CF CC 41= （Ⅰ）求证：EF ⊥C A 1；（Ⅱ）求二面角E AF C --的余弦值．19．(本小题满分12分)“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下22⨯列联表：根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++20．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线 与椭圆交于S,T ，与抛物线交于C ，D 两点，且.CD =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）设P 为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)xg x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值． （Ⅰ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （Ⅱ）证明：()()g x f x ≥．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A，经过点O 的割线PBC 交圆O 于 点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E （Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED； （Ⅱ）若AC=AP ，求PCPA 的值。
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程xyOCTSD2F ⋅P已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. （Ⅰ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||AB 试求实数m 值. （Ⅱ）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x ﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）若f （x ）≤a 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）解不等式f （x ）≥x 2﹣2x ．2015年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)答案数 学 (理工类)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.12m - 14.12 15.13- 16.4 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足135151712.a a a a a a ++=，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 1 2≤b n ＜1．解：（Ⅰ）123,123531=∴=++a a a a ，43=∴a . ----------2分1751,,a a a 成等比数列，17125a a a =∴,0),144)(24()24(2≠+-=+∴d d d d ，解得1=d ----------4分1)3(4)3(3+=-+=-+=∴n n d n a a n ；所以数列}{n a 的通项公式为：*,1N n n a n ∈+= ----------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增． b n ≥b 1＝ 12．----------9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝nn ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1．----------……12分18.(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长均相等，E 是BC 的中点， 点F 在侧棱1CC 上，且CF CC 41=（Ⅰ）求证：EF ⊥C A 1；（Ⅱ）求二面角E AF C --的余弦值．解：（I ）方法(一)如图，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知， 底面ABC ⊥侧面C A 1,所以⊥EN 侧面C A 1所以NF ⊥ C A 1， 在Rt CNE ∆中，cos 60CN CE =︒=1，得NF//1AC ，又C A AC 11⊥故1AC NF ⊥, ⊥C A 1平面NEF 所以 C A EF 1⊥ ----------5分 方法(二):以点A 为原点,AC 为y 轴,1AA 为z 轴建立空间直角坐标系A-xyz ，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(,1).CA EF =-= 则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+=故C A EF 1⊥ ----------5分 （II ）设平面AEF 的一个法向量为),,(z y x m =， 则由（I ）得)0,3,3(=)1,4,0(= 于是由AE m ⊥,AF m ⊥可得⎩⎨⎧=⋅=⋅00 即 ⎩⎨⎧=+=+04033z y y x 取)4,1,3(-=m 又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为)0,0,1(=，||||cos n m ⋅=θ1015523= ----------12分 19．(本小题满分12分)“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下22⨯列根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++解：（Ⅰ）随即变量ξ的所有可能值为0,1,2,3812)0(303===C P ξ 832)1(313===C P ξ832)2(323===C P ξ812)3(333===C P ξ∴随即变量ξ的分布列是⨯=0)(ξE 8+18⨯+28⨯+38⨯=2---------- 6分（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， 根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． 10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）．因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ------------12分 20．（本题满分12分） 如图，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，过2F 且于x 轴垂直的直线与 椭圆交于S,T ，与抛物线交于C ，D 两点，且.CD =xy OTSD2F ⋅（I ）求椭圆的标准方程；（II ）设P 为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l 与椭圆相交于不同两点A 和B ，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）设椭圆标准方程 )0(,12222>>=+b a by a x 由题意，抛物线x y 42=的焦点为)0,1(2F ,4=CD .因为CD =,所以ST = ----------2分又S ),1(2a b ，T ),1(2a b -，22b ST a==又2221,c a b ==- 1.a b ∴==所以椭圆的标准方程1222=+y x . ----------4分（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2).y k x =-由⎩⎨⎧-==+)2(2222x k y y x 削去y ，得0288)21(2222=-+-+k x k x k 设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，则21,x x 是方程)(*的两根，所以0)28)(21(4)8(2222>-+-=∆k k k 即122<k ，①且2221218k k x x +=+，由OP t OB OA =+，得⎩⎨⎧=+=+021021ty y y tx x x 若t=0，则P 点与原点重合,与题意不符，故t ≠0[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⋅=-+⋅=+=+⋅=+=2212102221021414)(1)(12181)(1k k t k x x k t y y t y k k t x x t x ----------9分 因为点),(00y x P 在椭圆上，所以再由①得又t ≠0,----------12分21.（本题满分12分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅=+=22222222020)21(32)218(122k k k k ty x 2222422111)21(2481k k k k t +-=++=218102<≤t )2,0()0,2(⋃-∈∴t已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)x g x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值． （Ⅰ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （Ⅱ）证明：()()g x f x ≥．解：（Ⅰ）∵2()ln()f x x a x x =+-+， ∴'1()21f x x x a=-++ ∵函数2()ln()f x x a x x =+-+在点1x =处取得极值， ∴'(1)0f =，即当1x =时1210x x a-+=+， ∴1101a-=+，则得0a =.经检验符合题意 -------- 2分 ∵5()2f x x b =-+,∴25ln 2x x x x b -+=-+, ∴27ln 2x x x b -+=.令27()ln (0)2h x x x x x =-+>, 则17(41)(2)'()222x x h x x x x+-=-+=-.∴当[]1,3x ∈时，)(),('x h x h 随x 的变化情况表：计算得：5(1)2h =，35(3)ln 322h =+>，(2)ln 23h =+，5(),ln 232h x ⎡⎤∴∈+⎢⎥⎣⎦所以b 的取值范围为5,ln 232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。
