高考数学解析几何和向量的结合专题

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。

它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C．y = D．y x = 【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【答案】A【解析】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=，所以1212F F F A c ==，1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-，结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-，设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521140823040b a a b ⋅--⋅=， 42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440b a b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【举一反三】解析几何与平面向量相结合问题1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+=，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即222222293294209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则3214e <≤，故选B ． 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】∵圆1C ：()2251x y ++=，圆2C ：()225225x y -+=， 动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则()222222010001511025391164x CM CC x y x x ⎛⎫=-=++-=+++-- ⎪⎝⎭20002510641,88,64x x x =++--≤≤()()2min2581086412 2.64CM-∴==+⨯-+-= ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由题意，故， ∵，∴为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，∵，所以，∴，∵， ∴在中，，即，所以离心率．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【答案】B【解析】解：由题意可得22222242519522a b a b c a c⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2229,5,4a b c ===，所以椭圆22:195x y C +=，设l ：1y kx =+,设1122(,),(,)A x y B x y因为23AM MB =，所以2123x x =-，由221195y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(95)18360k x kx ++-=则12212218953695k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩结合2123x x =-，联立消去21,x x 解得13k =±故选：B.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； ②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()()224322421x =-=-，又点P 在第一象限， ∴()221222x =-=-，即点P 到y 轴距离为222-．故选B ．2.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【答案】A【解析】如图所示：法1：由抛物线的焦点坐标可得122p =，所以1p =， 所以抛物线的方程为：22y x =， 设直线AB 的方程为：12x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，设A 在x 轴上方， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210y my --=，可得：121y y =-①，由2AF FB =，即112211,2,22x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得122y y =-，代入①可得：2212y =， 所以222y =-12y =代入抛物线的方程可得：214x =，11x =，即(1,2)A ，12,42B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， 所以AB 的中点52,84M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22129||12424AB ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即圆的直径为94， 所以圆的方程为2252818464x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令0x =，可得14244y =±+， 所以1420,4P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，1420,4Q ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以558tan 142221444MPQ ∠==+-，所以2255sin 95(214)MPQ ∠==+，法2．由法1可得AB 的中点M 的横坐标为58，半径98r =， 所以558tan 998MPQ ∠== 故选：A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A【解析】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-， ∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=， 所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【答案】A【解析】由题意可知，12(,0),(,0),0F c F c c ->，直线l 的方程为x a =-， 设直线1PF ，2PF 的倾斜角分别为αβ，，由椭圆的对称性，不妨设点P 为第二象限的点，即(,),0P a t t ->， 则tan ,tan .t t c a c aαβ==--+12F PF βα∠=-，12222222tan tan 22tan tan()=1tan tan 1t t ct c c a c a F PF t b t b t c a tβαβαβα---+-∴∠=-===++-+-2222c c b b b t t ≤==⋅，当且仅当2b t t=，即t b =时取等号.122AB F F =，2a c ∴=，且满足222a b c =+，则2224c b c =+，223b c =，∴3=3c b ， 则12tan F PF ∠的最大值为33，故12F PF ∠的最大值是6π.当P 为第二或第四象限的点时，12F PF ∠的取值范围是(0,]6π；当P 为x 轴负半轴上的点时，120F PF ∠=. 综上可知，12F PF ∠的取值范围为[0,]6π，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆中的根据向量间的线性关系求角的范围的问题，关键在于设出椭圆上的点的坐标，由向量间的线性关系表示所求的角的三角函数，再运用基本不等式求解范围. 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．520,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示， 12B PB ∠为22A B 与21F B 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ,,a b c ，()()2221,,,A B a b F B c b =-=--，向量的夹角为钝角时， 222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<，又22222,0b a c a ac c =-∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解集155122e ---<<，又5101,02e e -<<∴<<，故选C ． 2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ． ()1,+∞ B ． ()1,2 C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【答案】6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题 【答案】D 【解析】根据抛物线的定义，可得,AA AF BB BF ''==， ∴2AA BB AD BF ''-==， ∴4AF BF BF +=， ∴060DAB ∠=，即直线AB 的倾斜角为60°，∴):1AB y x =-，与抛物线联立方程：)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得：(1,,3A B ⎛ ⎝⎭设()1,C m -，因为C 为圆上的点，故AC BC ⊥，()44,23,,33AC m CB m ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0AC BC ⋅=∴216403m --++=∴2403m +=∴3m =. 故选：D.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=【答案】B【解析】设()P x y ，，()()1122A x y B x y ，，，过点()0,1的直线为1y kx =+， 由OA OB OP +=得()()1212x y x x y y =++，，，直线1y kx =+代入224x y +=得()221230k x kx ++-= 则12221k x x k +=-+， 12221y y k+=+ 即221k x k =-+，221y k=+，所以()2211x y +-=，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，∴，∴，∴，即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴， ∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B【解析】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即222e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点则23AD CF ==.所以可得933(,)42A则3AF k =，所以直线AP 的方程为：33()4y x =-联立方程233()43y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 【答案】C【解析】12ON PF OM +=，故1ON OM OM PF -=-，即1MN FM =，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aOM OM F N =⊥，故22NF OM a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-=，故点N 在双曲线C 的右支上，13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得221012c b a a==+，故62b a =，故双曲线C 的渐近线方程为62y x =±，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立．又，，∴，∴，又，∴．故离心率的取值范围为．故选C．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B【解析】由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．3 B ．4 C ．3 D ．8 【答案】B【解析】由于双曲线的离心率为212c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故3b a =所以直线MN 的方程为)3y x a =+，设()[]()33,0P t t a t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B-，(A -，∵M 是线段AB的中点，∴3,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA =，∴()()52,12x y x y ---=--， ∴())521252x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1,33C ⎛- ⎝⎭，∴1315,,3332222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得, ，于是 ，,故选C.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题 【答案】C【解析】由1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈，则点H 在12F PF ∠的角平分线上， 由点H 在直线x a =上，则H 是12PF F △的内心，由125430HP HF HF →++=，由奔驰定理（已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA ＋S △PAC ·PB ＋S △PAB ·PC ＝0.）知，1212::5:4:3HF F HF P HF P S S S =△△△,即1212111||:||:||5:4:3222F F r PF r PF r ⋅⋅⋅= 则1212::5:4:3F F PF PF =，设125F F λ=，14PF λ=，23PF λ=， 则125252F F c c λλ==⇒=，1222PF PF a a λλ-==⇒=，则5ce a ==.故选：C14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（） A ．5B ．C ．D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题 【答案】A【解析】设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2by a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ， 由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b ea a a c=-+① 由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-， 即为3322c a c a -=+，即5c a =， 所以5ce a==. 故选：A.15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2D 【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题 【答案】A【解析】如图所示，3MN FN =，FN ON ⊥，(),0F c ，渐近线:bON y x a=，即0bx ay -=，焦点F 到渐近线ON 的距离22bc bcFN b ca b ===+，则3MN b =，而OF c =，故ON a =. Rt NOF 中，tan FN b NOF ON a ∠==，Rt NOM 中， 3tan MN bNOM ON a∠==. 由渐近线对称性可知2NOM NOF ∠=∠，故22tan tan tan 21tan NOFNOM NOF NOF∠∠=∠=-∠，故2231bb a a b a ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得2213b a =， 所以222221231133a b b e a a +==+=+=.故选：A.16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：117．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离5d =所以5PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。

高考数学多知识点融合高考数学作为高中学生升学的重要考试科目之一，要求考生掌握多种数学知识点，并且能够熟练地将这些知识点进行融合应用。

本文将从几个常见的数学知识点出发，探讨如何在学习和应试中将它们进行有效融合。

一、函数与三角函数的融合函数和三角函数是高考数学中的重要知识点之一。

在解决实际问题时，常常需要结合函数和三角函数的特点进行建模。

例如，在解决船只航行问题时，可以利用三角函数来描述船只的行进方向和航速，再结合函数来表示船只的路径。

这样的融合可以将抽象的概念与实际问题相结合，使得学习更加生动有趣。

二、概率与统计的融合概率与统计是高考数学中另一个重要的知识点。

在实际生活中，我们经常会遇到需要统计和分析数据的情况，这时候就需要运用概率与统计的知识进行处理。

例如，在市场调查中，我们可以利用概率与统计的方法来分析某种产品的受欢迎程度，从而为生产和销售提供参考依据。

概率与统计的融合可以使得我们更好地了解和应用数据，提高问题解决的准确性和效率。

三、数列与数学归纳法的融合数列和数学归纳法是高考数学中的经典知识点。

数列的概念和性质以及数学归纳法的原理在解决数学问题时经常被用到。

例如，在推导数学公式时，可以通过观察数列的规律来猜测公式，然后再用数学归纳法来证明。

这种融合可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决问题的能力。

四、解析几何与平面向量的融合解析几何和平面向量是高考数学中的复杂知识点，但它们在解决几何问题的过程中经常会相互融合。

例如，在求解平面上两条直线的交点时，可以利用解析几何的方法得到直线的方程，然后再运用平面向量的知识求解交点坐标。

这样的融合可以将几何问题转化为代数问题进行求解，提高问题解决的灵活性和效率。

总之，高考数学要求考生能够熟练地掌握多种知识点，并且能够将这些知识点进行融合应用。

通过将函数与三角函数、概率与统计、数列与数学归纳法以及解析几何与平面向量进行融合，可以提高学生的数学综合能力和解题能力。

2020年高考数学专题一 压轴选择题第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题 【名师综述】近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.类型一 平面向量与解三角形的结合典例 1 ． 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>，a ，则b c +的取值范围是（ ） A ．31 , 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13 , 22⎛⎫⎪⎝⎭ D ．13( , ]22 【答案】B【解析】∵bc a c b =-+222，由余弦定理可得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ，因为C 是三角形内角，∴ 60=A ，23sin =A ．0AB BC ⋅>，∴()0o s >-=⋅B π，∴B 是钝角．由正弦定理可得B B Aab sin sin sin =⨯=，同理C C sin =．三角形ABC 中，3π=A ，∴32π=+B C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=+=+6sin 3cos 23sin 32)32sin(sin sin sin ππB B B B B C B c b ，∵ππ322<<B ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+55,326πππB ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+23,236sin 3πB ，∴c b +的取值范围为：32⎫⎪⎪⎝⎭，故选项为B ．【名师指点】由余弦定理可得角A 的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．【举一反三】已知O 是ABC 所在平面内一点，若对m R ∀∈，恒有()1O A m O C m O BO B O A +--≥-，则ABC 一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B【解析】由题知： ()1OA m OC mOB OB OA +--≥-化简得到CA mBC BA +≥， 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，两边平方可得，22222cos b m a mab C c +-≥即22222cos 0m a mab C b c -+-≥， 由题意可得2220cos 0c b b C ≤⇒≤-≤ ， 即为c≤bsinC ，由正弦定理可得sinC≤sinBsinC ，则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°． 即三角形ABC 为直角三角形． 故答案为：B 。

平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

高考数学中的平面解析几何与向量综合运算技巧在高考数学中，平面解析几何和向量是重要的考点之一。

掌握平面解析几何与向量的综合运算技巧对于解题非常有帮助。

本文将介绍一些平面解析几何与向量综合运算的技巧，帮助同学们在高考中取得好成绩。

一、平面解析几何相关概念回顾在开始介绍平面解析几何与向量综合运算技巧之前，让我们先回顾一些相关的概念。

1. 坐标表示法平面解析几何中，我们通常使用坐标表示法来表示点、直线和图形。

一个二维平面上的点可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。

2. 向量的表示与运算向量是有大小和方向的量，在平面解析几何中，我们常用箭头表示，如→AB表示从点A指向点B的向量。

向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。

3. 直线的方程直线可以用一般式方程、点斜式方程和两点式方程来表示。

对于一般式方程：Ax + By + C = 0，A、B和C是常数，表示一个一般的直线。

二、平面解析几何与向量综合运算技巧1. 平面解析几何技巧在解题中，对于平面上的点、直线和图形，我们可以运用平面解析几何的技巧来简化问题的解答过程。

（1）对称性技巧利用平面上的对称性，可以简化运算过程。

比如，如果点A关于坐标原点O对称的点为A'，那么向量→OA与→OA'的大小和方向相同。

（2）平行和垂直关系技巧在解题过程中，经常会涉及到直线的平行和垂直关系。

我们可以利用向量的特性来判断直线的关系。

两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量的内积为0。

（3）点到直线的距离公式对于平面上的一点P和一条直线l，我们可以利用点到直线的距离公式来求解P到l的距离。

距离公式为：d = |Ax + By + C| / √(A^2 +B^2)，其中A、B和C为直线的一般式方程参数。

2. 向量综合运算技巧向量的综合运算是高考数学中的重要考点。

掌握向量的运算技巧能够在解题过程中简化计算。

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。

2021年高考数学压轴题复习平面向量在解析几何中的应用一．方法综述利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面：(1)用向量的数量积解决有关角的问题；(2)用向量的坐标表示解决共线问题．本专题重点说明平面向量在解析几何中的应用.二．解题策略类型一 与平行或角度有关的问题【例1】【2020广西柳州高级中学线上测】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆的离心率为12,过椭圆1C 的左焦点1F ,且斜率为1的直线l ,与以右焦点2F 为圆心,的圆2C 相切.（1）求椭圆1C 的标准方程;（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦,且22MF F N λ=u u u u r u u u u r ,求1MF N ∆的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.【解析】（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >,Q 直线l 斜率为1,且过椭圆1C 的左焦点1F .∴直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=. Q 直线l 与圆2C 相切,∴圆心2F 到直线l 的距离为d ==解得1c =. Q 椭圆1C 的离心率为12,即112e e a a ===, 解得:2a =,根据:222413b a c =-=-=∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）得()11,0F -,()21,0F , Q 22MF F N λ=u u u u r u u u u r∴直线MN 的斜率不为0,∴设直线MN 的方程为:()1x ty t R =+∈,将直线MN 的方程与椭圆方程联立可得:221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 可得:()2243690t y ty ++-=, ()223636430t t ∆=++>恒成立, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则1y ,2y 是上述方程的两个不等根, 根据韦达定理可得:122643t y y t -∴+=+,122943y y t-=+. 1MF N ∴∆的面积:1121212MF N S F F y y ∆=⋅⋅- 1212122y y y y =⨯⨯-=-===m =,则m 1≥,221t m =-, ∴223431t m +=+可得:121231MF N m S m =⨯+V .。

向量在解析几何中的应用向量为“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，形成了代数与几何的新纽带．它也是解决解析几何问题的有力工具，向量法简洁、明快、颇具特色．本文例谈用向量法解决解析几何问题．1．研究直线所成的角例1 已知定点(42)A ，，O 为原点，P 是线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐 角，求点P 的横坐标的取值范围．分析：①用解析法，利用到角公式需对P 点的位置讨论，求出直线斜率再带入到角公式，然后解不等式，运算较繁；②把OPA ∠看成是两向量POPA u u u r u u u r ，的夹角，只要0PO PA >u u u r u u u r ·即可．下面给出后一种思路的解法．解：OPA ∠为向量PO PA u u u r u u u r ，的夹角，cos PO PA OPA PA PO∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ·． OPA ∠∵为锐角，0PO PA >u u u r u u u r ∴·，且A P O ，，三点不共线．OA 的垂直平分线方程为12(2)y x -=--，即250x y +-=．设(52)P a a -，，则(25)PO a a =--u u u r ，，(423)PA a a =--u u u r ，， 由2520150POPA a a =-+>u u u r u u u r ·，解得1a <或3a >． P ∴点横坐标的取值范围为(1)(3)-+U ，，∞∞．评析：利用数量积的定义处理有关长度、角度等问题时可以减少计算量．当然本题还可以以OA 为直径做圆，来求点P 横坐标的取值范围．2．证明三点共线例2 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，证明：直线AC 过原点O ．分析：证AC 过点O ，即证A C O ，，三点共线，转化为证向量OC u u u r 与OA u u u r 共线，即OC OA u u u r u u u r ∥．解：设221212122()222y y p A y B y y y C y p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，， 则2212122222y y p p AF y BF y p p ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，．A FB ，，∵三点共线，AF BF u u u r u u u r ∴∥．22122102222y y p p y y p p ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即212y y p =-． 又21211102222y p p p y y y y p +=-+=∵． OA OC u u u r u u u r ∴∥，即A C O ，，三点共线．∴直线AC 经过原点．3．解决动点轨变问题例3 已知点(30)H -，，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM ⊥，32PM =-u u u u r MQ uuu u r ．当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 分析：此题为解析几何中求动点的轨迹方程的问题，动点M 的运动随点P 的运动而运动．分别设出P 、M 与Q 点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相关知识找到等量关系．解：设()(0)(0)M x y P b Q a ，，，，，，其中0a >，则()()PM x y b MQ a x y =-=--u u u u r u u u u r ，，，． 32PM MQ =-u u u u r u u u u r ∵，即3()()2x y b a x y -=---，，． 3()22y y b y b -=--=-，∴． 3322y PH PM x y ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，，，∴． PH PM ⊥∵，0PH PM =u u u r u u u u r ∴·，即33022y y x -+-=，24y x =． ∴动点M 的轨迹方程为24(0)y x x =>．评析：使用向量共线与垂直的充要条件，处理直线的平行和垂直关系，与利用直线的斜率关系解题实质是相同的．但向量的坐标运算避开了斜率是否存在的讨论，从而简化了解题过程．平面向量用于解析几何中能够把较复杂的几何关系转化为简单的代数运算，能够充分体现数学中的数形结合思想，达到避繁就简，化难为易的效果，也为解决平面解析几何问题开辟了一条新途径．。

向量与解析几何相结合专题复习平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

.一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系【例1．】已知△ABC 中，A 、B 两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O 为坐标原点。

已知||CA ＝λ·||CB ，||AD ＝λ·||DB ，OC ∥CD ，且直线CD 的方向向量为i ＝（1，2）求顶点C 的坐标。

【解】如图：∵||CA ＝λ·||CB ，∴λ＝0||||>CB CA∵||AD ＝λ·||DB ，∴A 、D 、B 三点共线，D 在线段AB 上，且λ＝0||||>DB AD ∴||||CB CA =||||DB AD∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。

∴A 、D 、B 三点共线OC ∥CD ∴O 、C 、D 三点共线,即直线CD 过原点。

又∵直线CD 的方向向量为i ＝（1，2），∴直线CD 的斜率为2 ∴直线CD 的方程为：y ＝2x（注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题）易得：点A （－4，2）关于直线y ＝2x 的对称点是A ’（4,－2）， （怎样求对称点？）∵A ’（4,－2）在直线BC 上 ∴直线BC 的方程为：3x ＋y －10＝0由⎩⎨⎧=-+=01032y x x y 得C （2，4）【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的||AD ＝λ·||DB 和OC ∥CD 转化xCBAyOD为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝||||CB CA =||||DB AD ，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。

它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】1(,1)2【解析】试题分析：由题意得，设(,)P x y ，取1MF 的中点N ，由12MF PM=，则112NF PN =，解得点(,)33x c yN -，又20MF OP ⋅=，所以2MF OP ⊥，由三角形的中位线可知ON OP ⊥，即(,)(,)033x c yx y -⋅=，整理得222()x c y c -+=，所以点P 的轨迹为以(,0)c 为圆心，以c 为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则12c a c c a -⇒，所以椭圆的离心率为1(,1)2e ∈． 【方法点晴】本题的解答中设出点P 的坐标，取1MF 的中点N ，可转化为ON OP ⊥，代入点的坐标，可得点P 的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到,a c 的关系，求解椭圆离心率的取值范围. 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>A 2:8C y ax =F E P AP FP ⊥EA．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，即，又因为为双曲线，则，故选B．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C：22(5)1x y++=，2C：22(5)225x y-+=，动圆C满足与1C 外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且1CM C M⋅=，则CM的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】∵圆1C：()2251x y++=，圆2C：()225225x y-+=，动圆C满足与1C外切且2C与内切，设圆C的半径为r，由题意得1211516CC CC r r+=++-=（）（），()1,21,4⎛⎝⎦4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭()2,+∞()(),0,2,0A a F a00,bP x xa⎛⎫⎪⎝⎭AP FP⊥2220020320cAP PF x ax aa⋅=⇒-+=E P0∆≥222222299420988ca a a c e ea-⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤E14e<≤AP FP⊥0∆≥∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则2211CM CC =-==00106488,64x x =++-≤≤minCM∴=== ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为__________． 【答案】√3+1【解析】试题分析：因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，由题意∠PFO =π6，故OE =12OF =12c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则PF′=2OE =c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，∴PF ⊥PF′，∵PF −PF′=2a ， ∴PF =PF′+2a =2a +c 在Rt △PFF′中，PF 2+PF′2=FF′2， 即(2a +c)2+c 2=4c 2，所以离心率e =√3+1．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆22:1C x y +=，点()00,P x y 是直线l ：3240x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是_____． 【答案】240,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=可知四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ．然后分类讨论：当直线AB 的斜率为0时，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．当直线AB 的斜率不存在时，可得4(,0)3P ，此时直线AB 方程为为23x =，满足条件．当直线AB 的斜率存在且不为0时，利用AB OP ⊥，OP y k x=，可得直线AB 方程为2000220x x y y y +-=，圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，再利用003240x y +-=，即可解出所求范围．【详解】∵在圆C 上总存在不同的两点,A B 使得OA OB OP +=， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:3240l x y +-=得(0,2)P ，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:3240l x y +-=可得4(,0)3P ，此时直线AB 的方程为23x =， 满足条件．③当直线AB 的斜率存在且不为0时， ∵AB OP ⊥，0OP y k x =， ∴0AB x k y =-． ∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2000220x x y y y +-=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又003240x y +-=，∴20013240x x -<，解得024013x <<． ∴0x 的取值范围是24(0,)13． 【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ，进而转化为坐标运算处理．二是针对直线AB 的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解．考查转化和计算能力，具有综合性和难度． 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()224341x =-=，又点P 在第一象限，∴)212x ==，即点P 到y轴距离为2．故选B ．2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）,,A B P 2214yx -=2PA PB PO +=O ,PA PB ,m n 224nm+mnABC ．2D【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足(),AB x y =AB θ()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+B A θP C 4π222x y -=C 1xy =-1xy =222y x -=221y x -=C (),P x y 4π())'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，'P 222x y -=()()22222x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1xy =-P11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-，∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】（2020·兰州高考模拟（理））设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为() A 3B 3C ．13 D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出1439c AF =，122F F c =，24329cAF a =-．由余弦定理即可求得a 与c 的关系，进而求得离心率．【详解】因为F 1是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线l 过F 1交y 轴于C 点所以()1,0F c - ，即1OF c = 因为1230CF F ∠=，所以123cCF =又因为1132FC AF =所以19AF =在三角形AF 1F 2中，19AF =，122F F c =，229AF a =-，根据余弦定理可得 222112212112cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=，代入得=⎝⎭a = 所以离心率为c e a ==，所以选A 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ，，向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集x 1212,,,A AB B 2F 12B F 12A B P 12B PB ∠⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭12B PB ∠22A B 21F B ,,a b c ()()2221,,,A B a b F B c b =-=--222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<22222,0b a c a ac c =-∴-->2a 210e e -->210e e +-<，又，故选C ． 2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】1122e -<<101,02e e <<∴<<F 22221(0,0)x y a b a b-=>>E F x ,A B ABE ∆e ()1,+∞()1,2(1,1+()2,+∞()222:124x y C a a +=>222:4O x y a +=+C 12F F 、P O l O ,M N 126PF PF ⋅=PM PN ⋅6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】1.（2019上海市闵行区七宝中学高三）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立，则的最小值是_________.【答案】【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设，，，又，，即，它表示的圆心在，半径为的圆， 表示圆上的点到的距离，圆心到点的距离为， 的最大值为， 要使恒成立，即的最小值是，故答案为.三．强化训练 一、选择题1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，，过点的直线为，由得，直线代入得则，即，，所以，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，()0,1224x y +=A B OA OB OP +=P 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2211x y +-=22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2212x y +-=()P x y ，()()1122A x y B x y ，，()0,11y kx =+OA OB OP +=()()1212x y x x y y =++，，1y kx =+224x y +=()221230k x kx ++-=12221k x x k +=-+12221y y k+=+221k x k =-+221y k=+()2211x y +-=∴，∴，∴， 即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴，∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣ B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B 【解析】【分析】由题，1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理2224cos 2m n c mnθ+-=，由题意212PF PF a ⋅=-可得222242m n c a +=-，最后再用 ,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即22e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得F 是AP 的中点，再利用三角形中位线求出点A 到准线的距离，从而求出A 的坐标，进而确定直线AF 的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦12||AB x x p =++求值.【详解】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点 则23AD CF ==.所以可得9(,42A则AF k AP的方程为：3)4y x =-联立方程23)43y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）C 22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 1F Ω2224a x y +=l M l C N 122NF NF a -=O 12QN OF OM +=CA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立． 又，，∴， ∴， 又，∴．故离心率的取值范围为．故选C ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．32y x =±3y x =62y x =±6y x =12ON PF OM +=1ON OM OM PF -=-1MN FM =M 1F N OM OM 12NF F ∆1,2aOM OM F N =⊥22NF OM a ==2112,2F N F N NF NF a ⊥-=N C 13NF a ∴=12Rt NF F ∆2221212NF NF F F +=()()22232a a c +=22101c b a a==+6b a =C 62y x =±【答案】C 【解析】 因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C 选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B 【解析】 由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．B ．4C ．D ．8 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率求得ba的值，由此求得线段MN 所在直线方程，设出P 点的坐标，代入12PF PF ⋅，利用二次函数求最值的方法求得12PF PF ⋅取得最小值和最大值时对应的P 点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为12c b a ⎛=+=，故b a = 所以直线MN的方程为)y x a =+，设()[](),0P t t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3 B ．3C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为32y x =+，根据题意可得()2,0B -，()1,3A -，∵M 是线段AB 的中点， ∴33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ， ∵52CB CA =，∴()()52,1,32x y x y ---=---， ∴()()5212532x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得13533x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴153,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1533315,,33222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得,，于是，,故选C.二、填空题13．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：114．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离d =所以PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。

高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧数学中的向量与平面解析几何是高中数学中的重要内容，也是学生们常常感到困惑的部分。

在本文中，我将重点介绍向量与平面解析几何的应用及解题技巧，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、向量的应用1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是向量的基本运算，也是解决向量问题的基础。

在解题过程中，我们常常需要将问题转化为向量问题，并利用向量的加法与减法进行求解。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量c = 2a - 3b的分量表示。

解题思路：首先，根据向量的加法与减法，我们可以得到c = 2a - 3b = 2(3i + 4j) - 3(2i - 5j) = (6i + 8j) - (6i - 15j) = 21j。

因此，向量c的分量表示为0i + 21j。

2. 向量的数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角是向量的重要性质，也是解决向量问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要利用向量的数量积与向量的夹角进行计算。

例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量a与向量b的数量积及夹角。

解题思路：首先，根据向量的数量积的定义，我们可以得到a·b = 3*2 + 4*(-5)= -14。

然后，根据向量的数量积与向量的夹角的关系，我们可以得到cosθ = (a·b)/(|a|*|b|) = -14/(√(3^2+4^2)*√(2^2+(-5)^2)) = -14/(√25*√29) = -14/(5*√29)。

因此，向量a与向量b的数量积为-14，夹角θ的cos值为-14/(5*√29)。

二、平面解析几何的应用1. 平面直线的方程平面直线的方程是平面解析几何的基本内容，也是解决平面直线问题的关键。

在解题过程中，我们常常需要根据已知条件建立平面直线的方程，并利用方程进行求解。

例如，已知平面直线l过点A(1, 2, 3)且与向量a = i + 2j + 3k垂直，求平面直线l的方程。

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】 1.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 32⎛ ⎝⎦C ． 32⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．52 B ． 512+ C ． 5 D ． 15+【举一反三】 1.设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -=D ． 221y x -= 【举一反三】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化 【例4】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【举一反三】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．已知分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。

高考数学中的向量在平面解析几何中的应用在数学科目中，向量是一个非常重要的概念。

向量不仅在力学、物理等领域被广泛应用，同时也在数学的解析几何中发挥着重要作用。

在高中阶段的数学学习中，向量是数学课程中必修的一部分，尤其是在高考数学中，向量是一道必考题。

而在平面解析几何中，向量也广泛地被应用。

在本文中，我们将会讨论高考数学中的向量在平面解析几何中的应用。

一、向量的定义和运算在高中数学中，向量是一道十分常见的题型。

而我们对向量的定义和运算也很熟悉。

在代数表示下，向量被表示为一个有序数组，有大小和方向的性质。

对于向量的基本运算，包括加法、减法、数乘、点乘等，也非常的熟练。

二、平面解析几何平面解析几何主要研究平面内的点、直线、圆等几何图形的性质以及它们之间的关系。

向量在平面解析几何中扮演着至关重要的角色。

在平面解析几何中，向量可以用来表示平面内的任意一条有向线段。

特别的，当向量的起点位于坐标原点时，向量就可以唯一地用坐标表示。

我们可以把向量的起点视为平面内一个特殊的点，各向量之间也可以根据它们的大小和方向建立起对应的有序对。

这样，平面上的所有向量就构成了一个向量空间。

除此之外，向量可以用来表示平面内的任何一组有序点，称为点组向量。

当求出点组向量后，我们就可以根据向量的基本运算来确定几何图形之间的关系，进行诸如平移、旋转、镜像等变换。

例如，对于平面上一条直线L，我们想在平面上进行平移。

我们可以使用向量来表示线L的位置关系，在此基础上确定平移的方向和距离，从而求出平移后的线L所在位置。

再比如，我们想确定一个三角形的面积。

根据向量的定义，可以求得两个边向量，进而使用叉乘的方法求出三角形所在平面的法向量，最后利用向量的长度公式求出三角形的面积。

三、向量在高考数学中的应用在高考数学中，向量是一项重要的知识点，也是高考必考难度系数较大的题目类型。

向量不仅能够用来解决解析几何中的问题，同时也广泛地被应用在动力学、力学、热力学等领域的计算中。

注2007年广东高考理科卷第7题也可采用类似的方法．以上解法采用了课本定义，其中A向B移交了x台则B向A移交了x台，而最后求“A向B 移交的设备总台数”为|x|．同时①式是由若干个含有绝对值符号组成的函数，求最小值类似于例题1中采用“零点分区”与“数形结合”法相结合的解法．通过思考绝对值|x|的定义与本题的情境进行对比，就会提高对其本质属性认识的深刻程度．这个过程是人对自已认知活动的自我意识和自我调节，其结果是既充实又优化了原有的认知结构．4元认知在解题结束后的监控对解题活动的结果进行反思：探讨解法，挖掘规律，引申结论．4.1解题反思能否一眼看穿原来的解法？利用不同的知识，通过不同途径求得问题的解？是否有更一般的方法？更特殊的方法？方法之间有什么联系？4.2规律挖掘能否导出一些有用的东西？偶然中是否隐含着某种必然？4.3结论引申能否将这个问题的结论变形、推广？能否改变一下条件？能否改变一下结论？例3解方程与方程组(1)解方程|23||1||32|x x x++=+．分析本题采用零点分区法就可获得圆满解决．零点分区法虽然是一般性解法(通法)，但此解法没有发现题目的特殊性．我们对原有的认知活动进行反思，发现对题目的认识是不深入的，因为解题时把题中出现的式子(23),(1),(32)x x x++仅仅看成一般性的三个式子，没有注意它们之间的特殊关系．设23,1,32A xB xC x=+==+则“A B C+=”是一个十分鲜明而强烈的信号，直接使用绝对值的有关性质||||||A B A B+≥+当且仅当A B C×≥时取“=”，问题就得到解决．当我们对题目的本质结构认识深入的时候，解题思路就更宽广了．(2)方程组|2|2|1||2||1|y x xy x x=++=+(3)方程组|4||2|52|1||4|5x yx y++=++=分析方程组(2)中①②式都含“|2|x”项，可采用加减消元法处理．方程组(3)就没有这样的特征，只有采用通法即零点分区法(分为4,2y y≥<<4,y2≤三种情况处理；同理也可分1,4x x≥< 1,<x4≤三种情况处理)．数学解题不仅仅是对题目材料的识别、理解和加工的认识过程，而且还是一个对该过程进行积极参与的监控、调节的再认识过程．我们坚信，在数学的内容与内容之间、内容与形式之间、形式与形式之间，存在着本质上的和谐与统一．在数学学习中，通过反思来沟通各知识点之间的联系，形成知识链，建立知识网络，是一个自觉开发元认知的过程，是一个积极优化认知结构的过程．参考文献[1]涂荣豹．数学教学认识论．南京：南京师范大学出版社，2004．从高考试题看平面向量与解析几何的交汇福建省福州第四中学杜谦(350002)解析几何运用代数的方法解决几何问题，具有数形结合与转换的特征．向量具有代数与几何的双重身份，既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁．平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角，平行，垂直，共线，轨迹等问题的处理，解决此类问题的基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用几何意义解决有关问题．主要包括以下三类题型，本文通过各类典型例子的分析，①②①②寻找其求解规律，希望有助于了解高考题型变化和发展趋势．1运用向量共线充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a 与b 共经121221120x x x y x y y y λλ===．运用以上向量共线的充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题，可使解题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简洁得多．例1(2006山东21)双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线3y x =为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0，4)的直线l ，交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)．当PQ =1QA λ2QB λ=，且128/3λλ+=时，求Q 点的坐标．(1)双曲线C 的方程为22/31x y =(过程略)．(2)解法一由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则(4/,0)Q k 1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+，11111111444/()4/()4/4x k k x k k y y λλλλ==+∴==．①∵11)(,A x y 在双曲线C 上，∴2121116116()10k λλλ+=∴22221116321616/30.k k λλλ++=∴22211(16)321616/30.k k λλ++=同理有：22222(16)321616/30.k k λλ++=若2160,k =则直线l 过顶点，不合题意．2160,k ∴≠12,λλ∴是二次方程222(16)321616/30.k x x k ++=的两根．32863λλ∴+==，24k ∴=，此时0,2k >∴=±．∴所求Q 的坐标为(2,0)±．解法二1PQ QA λ=∵，Q ∴分PA 的比为1λ．由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401xx k k y y λλλλλλλ==+++==+．①以下同解法一说明解法一把向量共线的条件坐标化得到①比解法二用线段定比分点的方法得到①直接，快捷．解法三设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则(4/,0)Q k ．12PQ QA QB λλ==∵，111222444(,4)(,)(,)x y x y k k kλλ∴=+=+．11224y y λλ∴==，114/y λ∴=，224/y λ=，又1283λλ+=，121123y y ∴+=，即12123()2y y y y +=．将4y kx =+代入2213y x =，得222(3)244830k y y k +=．230k ≠∵，否则l 与渐近线平行．212122224483,33k y y y y k k ∴+==．222244833233k k k ∴×=×2k ∴=±(2,0)Q ∴±解法四1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+．∴1114/44/4k x k kx λ==++．同理：1244kx λ=+．1212448443kx kx λλ+==++．即2121225()80k x x k x x +++=．以下步骤类似解法三．评注上述四种解法的共同点都是把两个向量共线的条件坐标化类似试题还有2007年宁夏19题，2007年福建20等等．运用向量的数量积处理解析几何中有关长度，角xOP y A BQ1221k 2度，垂直等问题(1)若1122(,),(,)a x y b x y ==则1212ab x x y y =+(2)cos(,)ab a b a b =(3)000090A B <∠<cos 00A B OA OB ∠>>运用以上向量数量积公式处理解析几何中有关长度，角度，垂直等问题，可以把有关几何关系迅速转化为数量关系，从而计算出所要求的结果．例2(2006湖北20)设,A B 分别为椭圆2222x y a b +=1(,0)a b >的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线．(I)求椭圆的方程；(II)设P 为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内．解(I)依题意得a ＝2c ，2a c＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3故椭圆的方程为22143x y +=．(II)由(I)得A (－2，0)，B(2，0)．设00(,)M x y ．∵M 点在椭圆上，∴y 0＝34(4－x 02)．①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P(4，0062y x +)．从而BM ＝(x 0－2，y 0)，BP ＝(2，0062y x +)．∴BM BP ＝2x 0－4＋20062y x +＝022x +(x 02－4＋3y 02)．②将①代入②，化简得BM BP ＝5(2－x 0)/2．∵2－x 0>0，∴BM BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内．评注证明点在圆内除了运用解析几何的有关方法，也可借助向量的知识来处理，通过证明点对直径所张的角为钝角来解决问题，此法较简捷．类似试题还有2007全国(2)20，2007四川20，2007江西21等等．3运用平面向量的综合知识，探求动点的轨迹方程与探究曲线的性质解析几何中，探求动点的轨迹常用定义法、代入法、参数法等等．把探求轨迹的问题与向量联系起来，能使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．且应用向量的数量积，和差的坐标形式等知识，进行适当的转化，能减少运算量，使问题解刃而解．例3(2002年全国新课程卷)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3),若点C 满足OC a OA bOB =+，其中α，βR ∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为()．A ．32110x y +=；B ．(x －1)2＋(y －2)2=5；C ．2x －y=0；D ．x ＋2y －5=0．解法一设(,)C x y ，则(,)(3,)(,3)(3,3),x y ααββαβαβ=+=+∴3,3.x y αβαβ==+又1αβ+=．∴41,2 3.x y αα==+消去参数α,得点C 的轨迹方程为250x y +=.解法二利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线A B 的方程250x y +=，故本题应选D ．例4(2007湖南20)已知双曲线222x y =的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点．(I)若动点M 满足1111F M F A F B F O =++(其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在定点C ，使CA C B 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解由条件知1(20)F ，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．(I)设()M x y ，，则1(2)F M x y =+,，111(2)F A x y =+,，1221(2)(20)F B x y F O =+=,，，，由F M F F B F O =++得xOPy ABMN1111A121226x x x y y y+=++=+，即12124x x x y y y +=+=，．于是A B 的中点坐标为4()22x y，．当A B 不与x 轴垂直时，1212/2(4)/228y y y y x x x x ==，即1212()8y y y x x x =．又因为A B ,两点在双曲线上，所以22112x y =，22222x y =，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y +=+，即1212()(4)()x x x y y y =．将1212()8y y y x x x =代入上式，化简得22(6)4x y =．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y =．(II)假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =≠±．代入222x y =有2222(1)4(42)0k x k xk ++=．则12x x ,是上述方程的两个实根，所以212241kx x k+=，2122421k x x k+=，于是CA CB 21212()()(2)(2)x m x m k x x =+22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k+++=++222222(12)2442(12)11m k m m m m kk+=+=++．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m =，即1m =，此时CA CB =1．当AB 与x 轴垂直时，点A B ,的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时(12)(12)1CA CB ==，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．评注：类似试题还有2006全国卷20，2006陕西21等等．从上述几个例子可以看出：以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年来高考在向量与解析几何交汇处设置试题的特点，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、垂直、相交、三点共线等)和数量关系(如距离、角等)，向量都能通过其坐标运算进行刻划．因此，在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法．求解解析几何试题时只要要认真分析图形位置关系和数量关系，充分挖掘试题的向量背景，就完全有可能获得一个简捷的解法．此外，作为高中课标课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，是联系众多知识的桥梁．所以，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇应该是当今高考命题的一种趋势，考查的力度会逐渐加大．因此，必须重视对这些知识的复习和演练，直至深刻理解、灵活运用．从一道国际数学奥赛试题的背景谈起福建师范大学数学与计算机科学学院04级魏清达(350108)第十一届国际数学奥林匹克竞赛试题：已知对于所有实数121212,,,,,x x y y z z ，其中1x >20,0x >，21110x y z >，22220x y z >，求证：811x y z x y z ≤+，并给出等号成立的充要条件．从已知条件和所要求证的结论看，似乎是在考查求证一个不等式的方法．但是，这个不等式是如何构造出来的呢？我们先来证明一个关于正定矩阵的命题并通过该命题认识这道赛题所涉及的背景知222121212111222。

专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题专题概述近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.典型例题考向1 平面向量与解三角形【例1】（2018春•定州市校级期中）O 为ABC ∆的外心，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=．若(,)AO xAB yAC x y R =+∈则(xy= )A ．1B ．1-C D ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再由AO xAB yAC =+的两边点乘AB ，AC ，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程可得x ，y 的值，即可得到所求值． 【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +=，sin cos cos sin C A C A C +=，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +-+-===-， 可得120B =︒，30A C ==︒， 若AO xAB yAC =+，可得2AO AB xAB yAC AB =+，即有222132c xc y c =+，化为231x y +=，又可得2AO AC yAC xAC AB =+， 即有22233322c xc y c =+，化为21x y +=， 解得1x =-，1y =， 则1xy=-， 故选：B ．【例2】（2019•白银模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，2AB BC =-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为 ．【分析】通过向量的数量积以及余弦定理正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径R 即可． 【解答】解：因为1cos()22AB BC ac B ac π=-=-=-，所以4ac =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-．又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=．所以22()()34a c a c ac +=+-， 所以23()124a c +=，所以2()16a c +=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 60b R B ===R =．． 【变式训练】（2019秋•浦东新区期末）已知ABC ∆满足313()||||AB AC AB AC AB AC ++=，则BAC ∠为 ． 【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解． 【解答】解：如图，设3,||||AB ACAB AC AB AC ='='，则||13AD = 在△AC D '中，由余弦定理有，19131cos 2132AC D +-∠'==-⨯⨯，故120AC D ∠'=︒，60BAC B AC ∴∠=∠''=︒．故答案为：60︒．考向2 平面向量与三角形“四心”【例3】（2020•淮南一模）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC 的值为( ) A ．26B ．13C ．523D ．10【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=- ||||||||AC AT AB AS =- 646422=⨯-⨯10=．故选：D ．【例4】（2019秋•昌江区校级期末）已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】题目是选择题，不妨通过特殊三角形，利用向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ，3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．【变式训练】（2019•怀化一模）已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AG 的最小值是( )A B C ．23D ．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+，设||,||AB x AC y ==，由向量数量积的定义可知||||cos1202AB AC AB AC =︒=-，可得4xy =，然后根据向量数量积的性质可得1|||3AG x =，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+ 120A ∠=︒，2AB AC =-，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202AB AC AB AC =︒=-设||,||AB x AC y == ∴||||4AB AC = 即4xy =2221111||||()23333AG AB AC AB AC AB AC AB AC x =+=+=++=2228x y xy +=（当且仅当x y =取等号）∴2||3AG 即||AG 的最小值为23故选：C ．考向3 平面向量与平面解析几何【例5】（2020•苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的取值范围为 ． 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，求出圆心C 到AB 的距离为1，设(,)P x x -，由向量等式可得AB 的中点M 的坐标，再由||1CM =列关于x 的方程，由直线l 上存在点P ，使得PA PB OC +=，利用判别式大于等于0求得实数a 的取值范围． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点12(2x x M +，12)2y y +，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =， 圆心(,2)C a 到AB的距离||1CM ， 直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，设(,)P x x -，则1(x x -，12)(y x x x ++-，2)(y x a +=，2)， ∴1212222x x x a y y x +-=⎧⎨++=⎩，得12122212x x a x y y x +⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，即(2a M x +，1)x -+，||1CM ∴=，整理，得222(2)04a x a x +-+=，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，∴△22(2)804a a =--⨯，解得22a ---+．故答案为：22a ---+．【例6】（2020•衡阳一模）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A 、B ，若点(2,)M t 满足1()2OM OA oB =+，则||AB = ．【分析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线的定义可知12||2AB x x =++，由1()2OM OA oB =+可得(2,)M t 是AB 的中点，所以124x x +=，所以12||26AB x x =++=．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 直线AB 过焦点(1,0)F ， 12||2AB x x ∴=++，又1()2OM OA oB =+，则(2,)M t 是AB 的中点， 124x x ∴+=， 12||26AB x x ∴=++=，故答案为：6．【变式训练】（2020•四川模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =，则C 的离心率为 ．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3FB FA =，求出a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设(,0)F c -，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点且倾斜角为45︒的直线为：y x c =+，而渐近线的方程是：by x a=±，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac A a b -+，)bca b+， 由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac B b a -，)bcb a-， (ac FB c b a =+-，)bc b a -，(ac FA c a b =-+，)bca b+，3FB FA =，∴3bc bcb a a b=⨯-+， 2b a ∴=，22225c a b a ∴=+=，则c =，则e =．．专题强化1．（2020•兴宁区校级模拟）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ=++，R λ∈．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P 的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：||||2sin sin AB AC R C B==，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点P 满足||||()()sin sin AB AB AC ACOP OA OA R AB AC C Bλλ=++=++．因为AB AC +是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点， 所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心． 故选：C ．2．（2020•茂名一模）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则(AM BC = ) A ．3B ．6C ．8D ．12【分析】由题意画出图形，再由平面向量的数量积运算及向量的加法与减法运算求解． 【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2， 由2BM CM =，得BC CM =，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=．故选：B ．3．（2020•淮南一模）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( ) A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．4．（2019秋•东莞市期末）已知圆O 的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP =，则2()OA OP +的最小值为( ) A ．232B ．12C ．252D ．13【分析】可画出图形，根据2OA OP =即可得出||OP =并得出0cos 1O <∠，从而得出2()OA OP +的最小值． 【解答】解：如图， 2OA =∴22||cos 2OA OP OP O =∠=，∴||2cos OP O∠0cos 1O <∠，∴2222125()28422OA OP OA OA OP OP cos O +=++=++∠，当cos 1O ∠=时取等号， ∴2()OA OP +的最小值为252． 故选：C ．5．（2020•赤峰模拟）已知椭圆2222:19x y C a a +=+，1F ，2F 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF >恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3-，0)(0⋃，3) B ．[3-，0)(0⋃，3] C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，而120PF PF >恒成立可得12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系可得a 的取值范围．【解答】解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点， 要使120PF PF >恒成立，则12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒，即1tan 1cF PO b=<，所以22c b <， 而2222299c a b a a =-=+-=所以29a <，解得：3a >或3a <-， 故选：C ．6．（2020•江苏二模）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为 ．【分析】取BC 边上靠近C 的三等分点D ，利用平面向量基本定理结合已知条件转化可得||||AD BC =，再利用三角形的面积公式进一步可得21()||2ABC max S BC ∆=，由此即可求得边BC 的长． 【解答】解：取BC边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又|2|3||AB AC BC +=，∴12||||33AB AC BC +=，即||||AD BC =， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =，即||2BC =． 故答案为：2．7．（2019秋•常州期末）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，则cos ABC ∠= ．【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =，设2AD t =，则3AC t =， 又由AD AB BD -=，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，BD ==，则BC =，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，BC =，则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯8．（2019春•湖州期中）如图，在ABC ∆中，M 为边BC 上一点，4BC BM =，3AMC π∠=，2AM =，ABC∆的面积为，则||CM = ；cos BAC ∠= ．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求||CM 的值，进而可得2BM =，8BC =，利用余弦定理分别求得AB ，AC 的值，根据余弦定理可求cos BAC ∠的值．【解答】解：4BC BM =，ABC ∆的面积为所以||:||3:4MC BC =，故AMC ∆的面积为由AMC ∆的面积为13||||sin ||3323AM MC MC π== 故||6MC =，||8BC =，||2BM =，所以222||26226cos283AC π=+-⨯⨯=，故||AC =2222||22222cos 84123AB π=+-⨯⨯=+=，故||AB =所以222cos 222327AB AC BC BAC AB AC +-∠===-，故答案为：6；． 9．（2019秋•南京期中）在ABC ∆中，已知(4)AB AC CB -⊥，则sin A 的最大值等于 ．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cos A 的最小值，即得sin A 的最大值．【解答】解：在ABC ∆中，(4)AB AC CB -⊥，(4)0AB AC CB ∴-=；(4)()0AB AC AB AC ∴--=； 如图所示，22450AB AB AC AC ∴-+=，即2254AB AC AB AC =+； 22422||||4cos 55||||5||||AB AC AB AC A AB AC AB AC +⨯⨯∴==，当且仅当2||||AB AC =时，“=”成立；此时sin A 35=． 故答案为：35．10．（2019春•内江期末）如图，O 在ABC ∆的内部，且30OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为 ．【分析】取AB 的中点D ，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值．【解答】解：取AB 的中点D ，连接OD ，可得2OA OB OD +=，由30OA OB OC ++=，即为23OD CO =， 可得12ACD ACB S S ∆∆=， 22115525ACO ACD ACB ACB S S S S ∆∆∆∆===， 则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为5:1．故答案为：5:1．11．（2019•河南模拟）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点D 满足3AD DC =，且2AB BD ==，则边BC 的长为 ．【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由已知可求得34b AD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 16b A =，在ABC ∆中，由余弦定理224160b a -+=，①在ABC ∆中，由60ABC ∠=︒，可得：22240b a a +--=，②，①-②可得232200a a +-=，解方程可得BC 的值．【解答】解：设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，可得：34b AD =， 2AB BD ==，∴在ABD ∆中，由余弦定理可得：222234()434cos 3216224b c AD BD b A b c AD +-+-===⨯⨯， ∴在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，可得：22341622b b a b +-=⨯⨯，可得：224160b a -+=，① 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，可得：22222142222a cb a b ac a +-+-==⨯⨯，可得：22240b a a +--=，② ∴①-②可得：232200a a+-=，解得：a=，负值舍去，即BC12．（2019•亭湖区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为 ．【分析】如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在三角形ABF 中用余弦定理解得AE ，在三角形AEC 中用面积公式求得面积，再乘以2可得．【解答】解：如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心， 连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ， 则四边形ABFC 为平行四边形，4BF AC ∴==，3cos cos cos 8AFB CAE CAO ∠=∠=∠=，设AE x =，则2AF x =，在三角形ABF 中由余弦定理得222cos 2BF AF AB AFB BF AF +-∠=， 即3(25)8-=，解得2x =，即2AE =．又sin CAE ∠=122sin 242ABC AEC S S AE AC CAE ∆∆∴==⨯⨯⨯∠=⨯=．．13．（2020•运城一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB = ．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出83BC =，又4AB BF =，求出AB ． 【解答】解：已知抛物线2:4C y x =，所以2DF =， 如图，因为3FA FB =-，所以:3:1AF FB =，又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==， 所以3243AB BF ==， 故答案为：323． 14．（2020•衡阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则||AB = ． 【分析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出||AB【解答】解：由条件得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，1212()2322x x m y y t +++===， 所以||2(31)8AB =+=，故答案为：8．15．（2020•毕节市模拟）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y轴交于点P ，若FM MP λ=λ的值为 ．【分析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|||FM PM λ=，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率．【解答】解：设(,0)F c ，则222c a b =+ 双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±， ∴垂线FM 的斜率为a b-， ∴直线FM 的方程为()a y x c b=--， 令0x =，得P 的坐标(0,)ac b， 设(,)M x y ，||||FM PM λ=，(x c ∴-，)(y x λ=-，)ac y b -， x c x λ∴-=-且4acy y bλ=-， 即1c x λ=+，5ac y b λ=，代入b y x a =， 得(1)1ac b c b a λλλ=++，即22a b λ=， 222a c a λ∴=-， 22(1)a c λ∴+=，∴c =， 3e =，2λ∴=， 故答案为：2．。