2014中考二次函数压轴题选编

2014年中考数学真题汇编-二次函数一、选择题1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 考点：二次函数的图象和符号特征．分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）该抛物线的对称轴是：∴的x、y的部分对应值如下表：x=5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b =﹣4a ，∴a +4a +c =0，即c =﹣5a ，∴8a +7b +2c =8a ﹣28a ﹣10a =﹣30a ， ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a +7b +2c ＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x =2， ∴当﹣1＜x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以④错误．故选B ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤，即81<≤-t ，故选C ．7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（ ）=8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D． 2015考点：抛物线与x轴的交点．分析：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．解答：解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．分析：分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．解答：解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数时一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．13.（2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为14.（2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15.（2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A （0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x先向右平移1个单位长度，再向上平20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（），得二、填空题1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．=x=2. *(2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A 的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为.答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1℃．考点：二次函数的应用．分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．解答：解：设y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．∴B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．=×∴=，∴．，，的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；．=，∴解得∴5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

2014年中考数学压轴题精编—湖南篇1．（湖南省长沙市）已知：二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点（1，0），一次函数的图象经过原点和点（1，－b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1－x2|的范围．2．（湖南省长沙市）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝28cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从Array O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线y ＝41x2＋bx ＋c 经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比． 3．（湖南省岳阳市）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，现将三角板CDE 绕边AB 的中点G （G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180°到△C ′ED 的位置．（1）求C ′ 点的坐标；（2）求经过O 、A 、C ′ 三点的抛物线的解析式；（3）如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式； （4）抛物线上是否存在一点M ，使得S △AMF :S △OAB ＝16 :3？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2014年中考数学压轴题精编—湖南篇34．（湖南省衡阳市）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．C P QA MN5．（湖南省益阳市）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；（3）若抛物线的顶点为P，连结PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．42014年中考数学压轴题精编—湖南篇56．（湖南省邵阳市）如图，抛物线y ＝－41x2＋x ＋3与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求直线BC 的解析式． （2）设点P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、r 为半径作⊙P ． ①当点P 运动到点D 时，若⊙P 与直线BC 相交，求r 的取值范围；②若r ＝554，是否存在点P 使⊙P 与直线BC 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．67．（湖南省张家界市）如图1，射线AM ∥射线BN ，∠A ＝∠B ＝90°，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合，点C 与点B 不重合），E 是AB 上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持DE ⊥CE ，且AD ＋DE ＝AB ＝a ．（1）当点E 为AB 边的中点时（如图2）， 求证：①AD ＋BC ＝CD ；②DE 、CE 分别平分∠ADC 、∠BCD ；（2）设AE ＝m ，请探究：△BEC 的周长是否与m 值有关？若有关，请用含m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关，请说明理由．A D C NB EM 图1 A D C NB E M 图22014年中考数学压轴题精编—湖南篇78．（湖南省张家界市）如图，抛物线y ＝x2－6x ＋8与x轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），直线y ＝21x ＋2交y 轴于点C ，且过点D （8，m ）．左右平移抛物线y ＝x2－6x ＋8，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′．（1）求线段AB 、CD 的长；（2）当抛物线向右平移到某个位置时，A ′D ＋B ′D 最小，试确定此时抛物线的表达式； （3）是否存在某个位置，使四边形A ′B ′DC 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A ′B ′DC 的周长最小值；若不存在，请说明理由．89．（湖南省株洲市）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，其顶点为B ．孔明同学用一把宽为3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： ①量得OA ＝3cm ；②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A 的右边（如图2），直尺的两边交x 轴于点H 、G ，交抛物线于点E 、F ．求证：S 梯形EFGH＝61(EF 2－9)．CBAOxy3cm1 2 3 4 5 6 E BA Oxy1 234 56 FG H2014年中考数学压轴题精编—湖南篇910．（湖南省郴州市）如图（1），抛物线y ＝x2＋x －4与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y ＝x ＋b 与抛物线交于点B 、C ．（1）求点A 的坐标；（2）当b ＝0时（如图（2）），△ABE 与△ACE 的面积大小关系如何？当b ＞－4时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得△BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求b 的值；若不存在，说明理由．图（1）图（2）11．（湖南省永州市）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为边BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．102014年中考数学压轴题精编—湖南篇12．（湖南省永州市）已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A（－2，0），与y轴的交点为B（0，4），且其对称轴与y轴平行．（1）求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出这个二次函数的大致图象；（2）在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取一点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值，并求使矩形MCOD的周长最小时的点M的坐标．111213．（湖南省永州市）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时P A ＋PB ＋PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD ＋BC ·DA ＝AC ·BD ，此为托勒密定理．（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C ），已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC ︵上任意一点．求证：PB ＋PC ＝P A ． ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D ），在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；第二步：在BC ︵上任取一点P ′，连结P ′A 、P ′B 、P ′C 、P′D ．易知P ′A ＋P ′B ＋P ′C ＝P ′A ＋(P ′B ＋P ′C )＝P ′A ＋_____________；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D ）中找出△ABC 的费马点P ，并请指出线段________的长度即为△ABC 的费马距离．C B A P（图A ）C BAD（图B ）P BAC（图C ）D（图D ）2014年中考数学压轴题精编—湖南篇13（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A 、B 、C 构成了如图（E ）所示的△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 14．（湖南省湘潭市）如图，直线y ＝－x ＋6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以线段AB 为直径作⊙C ，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过A 、C 、O 三点．（1）求点C 的坐标和抛物线的解析式；（2）过点B 作直线与x 轴交于点D ，且OB 2＝OA ·OD ，求证：DB 是⊙C 的切线；（3）抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．C1415．（湖南省常德市）如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－4，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式； （2）设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．2014年中考数学压轴题精编—湖南篇1516．（湖南省常德市）如图1，若四边形ABCD 和GFED 都是正方形，显然图中有AG ＝CE ，AG ⊥CE ． （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG ＝CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M ． ①求证：AG ⊥CH ； ②当AD ＝4，DG ＝2时，求CH 的长．ABD C FEG 图1ABDC F EG图2ABD CF EG 图3HM1617．（湖南省怀化市）图9是二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB＝45S △MAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y ＝x ＋b（b ＜1）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．18．（湖南省娄底市）已知：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标是（－2，0），点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OC ＜2014年中考数学压轴题精编—湖南篇OB）是方程x2－10x＋24＝0的两个根．（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）在这个二次函数的图象上是否存在点P，使△P AC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．19．（湖南省娄底市）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂中分别为E、F．（1）求梯形ABCD的面积；17（2）探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由； （3）探究二：四边形MNFE 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．20．（湖南省冷水江市）如图，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA ＝5，OC ＝3．在AB 边上选取一点D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E ．（1）求直线DE 的解析式；（2）过点E 作EF ∥AB 交OD 于点F ，以F 为顶点的抛物线与直线DE 只有一个公共点，求该公共点的坐标；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．C A BD M N FE B D2014年中考数学压轴题精编—湖南篇1921．（湖南省湘西自治州）如图，已知抛物线y ＝ax2－4x ＋c 经过点A （0，－6）和B （3，－9）．（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在抛物线上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得△QMA 的周长最小．20。

2014年中考数学总复习《二次函数》一．解答题（共30小题）1．（2013•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD 交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．3．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？4．（2013•重庆）如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．5．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．6．（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8．（2013•岳阳）如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．9．（2013•玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．10．（2013•营口）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2013•益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为．注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．12．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．13．（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．14．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．16．（2013•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？17．（2013•梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x 轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．18．（2013•无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．（1）求点A的坐标；（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．19．（2013•乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．20．（2013•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．21．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．22．（2013•铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y（1的函数关系式：_________（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？23．（2013•天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）．（1）求y2与x之间的函数关系式；（2）当x24．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）.（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．25．（2013•太原）综合与探究：如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2013•台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m．①交点C的纵坐标可以表示为：_________或_________，由此进一步探究m关于h的函数关系式；②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．27．（2013•遂宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．28．（2013•绥化）如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．29．（2013•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若∠PCQ=90°，求t的值．30．（2013•深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（_________，_________），抛物线的表达式为_________；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．。

2014中考数学二次函数压轴题选练1.如图，抛物线的顶点为P （1，0），一条直线与抛物线相交于A （2，1），B（－21，m ）两点． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）若M 为线段AB 上的动点，过M 作MN ∥y 轴，交抛物线于点N ，连接NP 、AP ，试探究四边形MNP A 能否为梯形，若能，求出此时点M 的坐标；若不能，请说明理由．2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）．经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，把△PEF 沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P ′ ，请直接写出P ′点坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．3．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A （－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．（1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，－3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y＝－x＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）9．如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)、C (5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E路径的长．10．如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx －4与直线y ＝x 交于点A 、B 两点，A 、B 的横坐标分别为－1和4． （1）求此抛物线的解析式．（2）若平行于y 轴的直线x ＝m （0＜m ＜5＋1）与抛物线交于点M ，与直线y ＝x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使得△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA出点D 的坐标．12. 如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标；13.如图，已知抛物线212y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标.14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.x15、（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标;（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．16（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.xyO BC A图917（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.18、（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式． （2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.图919（2013重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与x 轴交于点C（0，5）。

二次函数解答题压轴题一．填空题（共1小题）1．（2013•庐江县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＞；④b＜1．其中正确的结论是．二．解答题（共29小题）2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2015•黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．4．（2015•永春县自主招生）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状；（2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．5．（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．6．（2015•大庆校级模拟）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台（1）写出y与x间的函数关系式；（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？7．（2015•枣庄校级三模）2012年十一黄金周，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x（x≤20）辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入﹣平均每日各项支出）（1）公司每日租出x（x≤20）辆车时，每辆车的日租金增加为元；此时每辆车的日租金为元．（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？是多少元？8．（2015•攀枝花模拟）已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．，；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．（2015•芦溪县模拟）如图，已知抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．（1）求a的值；（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）10．（2015秋•济宁校级期末）已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S△MCB．11．（2015•江西校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x 轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若=时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．12．（2015•武侯区模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC 翻折得△APC．（1）求∠PCB的度数；（2）若P，A两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M 是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．13．（2015•邗江区二模）如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB 上一点，过E作直线l∥BC，交直线CD于点F．将直线l向右平移，设平移距离BE为t （t≥0），直角梯形ABCD被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．信息读取（1）梯形上底的长AB=；（2）直角梯形ABCD的面积=；图象理解（3）写出图②中射线NQ表示的实际意义；（4）当2＜t＜4时，求S关于t的函数关系式；问题解决（5）当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．14．（2015•黄冈模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2015•临夏州模拟）如图（1），抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图（2）、图（3）为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2015•大庆模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．17．（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．18．（2015•潍坊模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB（1）求点B的坐标；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．19．（2015•濠江区一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A 点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．21．（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．22．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？23．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．24．（2014•黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．25．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．26．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A （﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．27．（2014•遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．28．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．29．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B 向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．30．（2014•六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．二次函数解答题压轴题参考答案一．填空题（共1小题）1．②③；二．解答题（共29小题）2．；3．；4．；5．；6．；7．50（20-x）；1400-50x；8．△OAD∽△CDB；△ADB∽△ECB；（1，-4a）；9．；10．；11．；12．；13．2；12；14．；15．-3；（-1，0）；（3，0）；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．y=-x2-x+2；y=-4x+4；29．；30．；。

1、（08广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·························································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···························································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··························································································· 4分 解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2－3b x +12=0的两个根．∴x =4969b 32-±b ， ································································· 2分（第25题图）x∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·················································································· 3分 （以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···················································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ···················································· 8分∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）解：（1）由5x x 122+=0， ··································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ······································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分） 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ············································· （5分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······························· （6分）=5（个单位面积） ······························································ （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ······························································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··········· （9分） ∴)(3123y y y -=． ········································································ （10分） 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E 在y 轴上 ············································ 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ······························································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=x第26题图∴在Rt DOM △中，12DM =，OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ············································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ··············································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得321312422a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ················································ 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······························································ 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ···················································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上28229m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(2)Q，2Q ； 当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ········································ 14分4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．（08辽宁12市26题解析）解：（1）直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ， ············································································· 1分点A C ，都在抛物线上，03a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =-················································· 3分x∴顶点1F ⎛ ⎝⎭ ·················································································· 4分 （2）存在 ································································································ 5分1(0P ······························································································ 7分2(2P ····························································································· 9分 （3）存在 ······························································································ 10分 理由： 解法一：延长BC 到点B '，使BC B C '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ········································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线233y x x =-(30)B ∴， 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ········································ 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得6k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=················································································· 13分62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ·· 14分x5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩····································································· 2分解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ······································· 3分（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ······················································ 4分OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠= ························ 5分1cos3022OM OO ∴==⨯=， 在Rt MOF △中，3cos30322OF OM ===．1sin 3032MF OM ===．∴点M 坐标为32⎛ ⎝⎭············································································· 6分图14设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴= ····· 7分∴切线OM 的函数解析式为y =··························································· 8分 （3）存在． ····························································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==113P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ····································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似） 在2Rt OP A △中，1OA =，23cos30OP OA ∴==在2Rt OP H △中，223cos 4OH OP AOP =∠==，2221sin 2P H OP AOP =∠==2344P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ································· 11分∴符合条件的P 点坐标有13⎛ ⎝⎭，，344⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ·············································· 12分6、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若A M P △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？（08山东济宁26题解析）解：（1）当点P 在AC 上时，A M t =，tg 603PM AM t ∴==．2133(01)2y tt t t ∴==≤≤． ······························································ 2分 当点P 在BC 上时，3tan 30(4)3PM BM t ==-．213(4)(13)2363y t t t t t =-=-+≤≤． ··········································· 4分（2）2AC =，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．3tan 30)QN BN t ∴==-． ······························································ 6分 由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-， 34t ∴=． ∴当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形．························································ 8分（3）由（2）知，当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，PQC ABC ∴△∽△． ··············································································· 9分除此之外，当30CPQ B ∠=∠=时，QPC ABC △∽△，此时3tan 30CQ CP ==． 1cos602AM AP ==，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-． ························ 10分3cos302BN BQ ==，)3BQ t ∴==-．又2BC =)33CQ t ∴=-=． ·································· 11分 322t ∴=-，12t =．∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ··············· 12分7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（08四川巴中30题解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ········································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ··································································· 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ············································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，。

2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题1. 【试题】（2014年湖北孝感第25题）如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线243y x x =-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上． （1）请直接写出下列各点的坐标：A ☆ ，B ☆ ，C ☆ ，D ☆ ；（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．①当线段PH =2GH 时，求点P 的坐标；②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，求△KPH 面积的最大值．【解答】（1）A （0，3），B （4，3），C （4，－1），D （0，－1）．（2）①设直线BD 的解析式为(0)y kx b k =+≠，由于直线BD 经过D （0，－1），B （4，3），∴134b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的解析式为1y x =-．设点P 的坐标为2(,43)x x x -+，则点H (,1)x x -，点G (,3)x ．1°当1x ≥且x ≠4时，点G 在PH 的延长线上，如图①．∵PH ＝2GH ，∴[]2(1)(43)23(1)x x x x ---+=--， ∴27120x x -+=，解得13x =，24x =． 当24x =时，点P ，H ，G 重合于点B ，舍去． ∴3x =．∴此时点P 的坐标为(3,0)．2°当01x <<时，点G 在PH 的反向延长线上，如图②,PH ＝2GH 不成立． 3°当0x <时，点G 在线段PH 上，如图③．∵PH ＝2GH ，∴[]2(43)(1)23(1)x x x x -+--=--， ∴2340x x --=，解得11x =-，24x =（舍去）， ∴1x =-．此时点P 的坐标为(1,8)-．综上所述可知，点P 的坐标为(3,0)或(1,8)-．②如图④，令2430x x -+=，得11x =，23x =，∴E (1,0)，F (3,0)，∴E F ＝2． ∴132AEF EF OA s ∆==． ∵KPH ∆∽AEF ∆，∴2KPH AEF PH EF s s ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴22233(54)44KPH PH x x s ∆==-+- ． ∵41<<x ,∴当52x =时，KPH s ∆的最大值为24364． 2. 【试题】（2014年湖南益阳市第20题）如图，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ． （1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ∆是以AB为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标． （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．【解答】(1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴(1,0)A ，(0,3)B .又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ， ∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-.（2）设Q 点的坐标为(2,)m ，对称轴2x =交x 轴于点F ，过点B 作BE 垂直于直线2x = 于点E .在Rt AQF ∆中，22221AQ AF QF m =+=+， 在Rt BQE ∆中，22224(3)BQ BE EQ m =+=+-. ∵AQ BQ =，∴2214(3)m m +=+-，∴2m =. ∴Q 点的坐标为(2,2).（3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直.所以AC 应为正方形的对角线.又对称轴2x =是AC 的中垂线，所以，M 点与顶点(2,1)P -重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2,1).此时，1MF NF AF CF ====，且AC MN ⊥，∴ 四边形AMCN 为正方形. 在Rt AFN ∆中，222AN AF NF =+=，即正方形的边长为2.3. 【试题】（2014年广东梅州市第23题）已知抛物线y= 38x 2－ 34 x －3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y轴的交点为C 。

2014挑战中考数学压轴题 第一部分 函数图象中点的存在性问题1. 因动点产生的等腰三角形问题例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 因动点产生的直角三角形问题例如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．3. 因动点产生的平行四边形问题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1图24. 因动点产生的梯形问题例 如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．5. 因动点产生的面积问题例 如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．6.因动点产生的线段和差问题例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上的一个动点，过P 作直线l //AC 交抛物线于点Q ．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标．第二部分 图形运动中的函数关系问题1. 由比例线段产生的函数关系问题例 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图2. 由面积公式产生的函数关系问题例 1如图，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．例2 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ 的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？。

二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3 与x轴交A、B两点（A点在 B 点左边），直线l 与抛物线交于A、C 两点，此中C 点的横坐标为2．（ 1）求 A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2） P 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上能否存在点F， A 使 A 、 C、 F、 G 这样的四个点为极点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部知足条件的F点坐标；假如不存在，请说明原因．练习 1.(河南省实验区 ) 23．如图，对称轴为直线x 7A（ 6，0）和 B （0，的抛物线经过点24）．（1）求抛物线分析式及极点坐标；（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形 OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 能否为菱形？②能否存在点 E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原因．y 7x2B(0,4)FO A(6,0 xE )练习 2. （四川省德阳市） 25. 如图，已知与 x 轴交于点A(10)，和B(5，0)的抛物线l1的极点为C (3，4)，抛物线 l 2与 l1对于x轴对称，极点为 C ．（1）求抛物线l2的函数关系式；（2）已知原点O，定点D (0，4)，l2上的点 P 与l1上的点 P 一直对于处时，以点 D，O，P，P 为极点的四边形是平行四边形？（3）在l2上能否存在点 M ，使△ABM是以 AB 为斜边且一个角为y出点 M 的坐标；若不存在，说明原因． 54321AO1 1 212345 x 轴对称，则当点 P 运动到何30的直角三角形？若存，求l2EB345xCl1练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点挨次是A( 4，0) ， B( 2，0) ， E(0，8) ．（1）求抛物线C1对于原点对称的抛物线C2的分析式；（2）设抛物线C1的极点为M，抛物线C2与x轴分别交于 C， D 两点（点C在点 D 的左边），极点为N ，四边形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）当t为什么值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA可否形成矩形？若能，求出此时 t 的值；若不可以，请说明原因．二． 二次函数与四边形的面积例 1. （资阳市） 25. 如图 10，已知抛物线 P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与 x 轴交于 A 、B 两点 ( 点 A 在x 轴的正半轴上 ) ，与 y 轴交于点 C ，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，极点 F 、 G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标以下：x-3 -2 1 2 y-5-4-522(1) 求 A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为 (m ，0) ，矩形 DEFG 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连结 DF 并延伸至点 M ，使 FM=k ·DF ，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围 .图 10练习 1.（辽宁省十二市2007 年第 26 题）．如图，平面直角坐标系中有向来角梯形 OMNH ，点 H 的坐标为（－ 8，0），点 N 的坐标为（－ 6，－ 4）．（ 1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180°的图形 OABC ，并写出极点 A ，B ，C 的坐标（点 M 的对应点为 A ，点 N 的对应点为 B ， 点 H 的对应点为 C ）；（ 2）求出过 A ，B ， C 三点的抛物线的表达式；（ 3）截取 CE =OF =AG =m ，且 E ， F ， G 分别在线段 CO ，OA ， AB 上，求四边形 BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积 S 能否存在最小值 ?若存在，恳求出这个最小值；若不存在，请说明原因；（ 4）在（ 3）的状况下，四边形BEFG 能否存在邻边相等的状况，若存在，请直接写出此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明原因．练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为 2cm ，在对称中心 O 处有一钉子．动点P ，Q同时从点A 出发，点 P 沿 ABC 方向以每秒 2cm 的速度运动，到点 C 停止，点Q沿 AD 方向以每秒 1cm 的速度运动，到点 D 停止． P ，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联络，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2．（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；B Cx 值；（2）当橡皮筋恰好涉及钉子时，求PO（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从涉及钉子到运动停止时∠ POQ 的变化范围；AQD B PC（4）当0≤x≤2 时，请在给出的直角坐标系中画出y 与 x 之间的函数图象．OA Q D练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4 的图象与x 轴订交于A、 C B 是抛物线 l 1上的动点 (B 不与 A、 C 重合 )，抛物线 l2与 l 1对于 x 轴对称，以对角线的平行四边形 ABCD 的第四个极点为 D.(1)求 l2的分析式；(2)求证：点 D 必定在 l2上；y321两点，AC 为O 1 2 x(3)□ ABCD可否为矩形？假如能为矩形，求这些矩形公共部分的面积 (若只有一个矩形切合条件，则求此矩形的面积 )；假如不可以为矩形，请说明原因 . 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动向研究例 1.(荆门市)28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)， C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、 A 不重合 )．现将△ PAB 沿 PB 翻折，获得△ PDB；再在 OC 边上选用合适的点 E，将△ POE 沿 PE 翻折，获得△ PFE，并使直线 PD 、 PF 重合．(1) 设 P(x， 0)， E(0， y)，求 y 对于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、 E 的抛物线的函数关系式；(3)在 (2)的状况下，在该抛物线上能否存在点 Q，使△ PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明原因；若存在，求出点Q 的坐标．y yC B CD BFE DE FO PA x O P A x图 1 图 2例 2.（ 2007 年沈阳市第26 题）、已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，此中点B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（ OB <OC）是方程x2－ 10x＋16＝ 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－ 2．（1）求 A、 B、 C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（ 3）连结 AC、 BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EF∥ AC 交 BC 于点 F，连结CE，设 AE 的长为 m，△ CEF 的面积为 S，求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（ 4）在（ 3）的基础上试说明S 能否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明原因．例 3..(湖南省郴州 ) 27．如图，矩形ABCD 中， AB＝3， BC＝ 4，将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移，平移后的矩形为 EFGH （ A 、 E、 C、 G 一直在同一条直线上），当点 E 与 C 重时停止挪动．平移中EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延伸线交于点M， EH 与 DC 交于点 P， FG 与 DC 的延伸线交于点Q．设 S 表示矩形 PCMH 的面积，S 表示矩形NFQC的面积．（ 1） S 与S相等吗？请说明原因．（ 2）设 AE＝ x，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时 S 有最大值，最大值是多少？（ 3）如图 11，连结 BE ，当 AE 为什么值时，ABE 是等腰三角形．A D A DxPE H E P HB C MBM N CNF QG FQ G图 10图 11练习 1. （07年河池市）如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M 从O出发以每秒 2 个单位长度的速度向 A 运动；点N从 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 C 运动．此中一个动点抵达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作 NP 垂直 x 轴于点P，连结AC交NP 于 Q，连结 MQ ．（ 1）点（填M或N）能抵达终点；（ 2）求△ AQM 的面积 S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为什么值时， S 的值最大；（ 3）能否存在点M ，使得△ AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明原因．yN BCQO M P A x图 12练习 2..(江西省 ) 25．实验与研究（1）在图 1， 2， 3 中，给出平行四边形 ABCD 的极点 极点 C 的坐标，它们分别是 (5，2) ，，yyB (12)，C B(c ，d )O (A)xO (A)D(4，0)图 1图 2A ，B ，D 的坐标（以下图），写出图1，2，3 中的；yB( c ，d )CCxA(a ，b)D( e ， b)OxD (e ，0)图 3（2）在图 4 中，给出平行四边形ABCD 的极点 A ， B ， D 的坐标（以下图），求出极点 C 的坐标（ C 点坐标用含 a ， b ， c ， d ， e ， f 的代数式表示）；yCB(c ，d)D (e ，f )A(a ， b)Ox图 4概括与发现（3）经过对图 1， 2， 3，4 的察看和极点 C 的坐标的研究，你会发现：不论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个地点，当其极点坐标为 A(a ， b)， B(c ，d )， C (m ， n)， D (e ， f ) （如图 4）时，则四个极点的横坐标 a ，c ，m ，e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b ， d ， n ， f 之间的等量关系为（不用证明）； 运用与推行（4）在同向来角坐标系中有抛物线y x 2(5c 3) x c 和三个点 G1 5 1 92c ， c ，S2c ， c ，H (2 c ，0)（其22中 c 0 ）．问当 c 为什么值时，该抛物线上存在点 P ，使得以 G ， S ， H ， P 为极点的四边形是平行四边形？并求出全部切合条件的 P 点坐标．练习 3.(武汉市 ) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △ AOB ≌ Rt△ CDA ，且 A( － 1， 0)、 B(0，2)，抛物线 y＝ ax2 ＋a x－ 2 经过点 C。

2014中考数学二次函数综合复习压轴题特训一、猜想、探究题1.已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在 x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA <OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．2.已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、 的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（图1）备用图3. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O A△沿PC翻、不重合），现将POC折得到PEC△，使△，再在AB边上选取适当的点D，将PAD△沿PD翻折，得到PFD得直线PE PF、重合．（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P C D、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP x AD y，，当x为何值时，y==取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P C D、、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ△是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．图①图②5. 如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．图①图②二、动态几何6. 如图，在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？7. 已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．B8. 已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为(24)，；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD AB 、分别在x 轴、y 轴上，且2AD =，3AB =． （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒（03t ≤≤），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）．①当52t =时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；②设以P N C D 、、、为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图110. 已知抛物线：x x y 22121+-=．（1）求抛物线1y 的顶点坐标．（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式．（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【提示：抛物线c bx ax y ++=2（0a ≠）的对称轴是，abx 2-=顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，】11. 如图，已知抛物线C1：()522-+=xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）图1图212. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点(40)D，．抛B，、(80)C，、(88)物线2、两点．=+过A Cy ax bx（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE AB⊥交AC 于点E．①过点E作EF AD⊥于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P Q△是等腰三角形？、运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ请直接写出相应的t值．13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．图214. 如图，矩形ABCD 中，AB = 6cm ，AD = 3cm ，点E 在边DC 上，且DE = 4cm ．动点P 从点A 开始沿着A →B →C →E 的路线以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点A 开始沿着AE 以1cm/s 的速度移动，当点Q 移动到点E 时，点P 停止移动．若点P 、Q 从点A 同时出发，设点Q 移动时间为t （s ），P 、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．15. 如图，已知二次函数22)(m k m x y -++=的图象与x 轴相交于两个不同的点1(0)A x ，、2(0)B x ，，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ． （1）求P ⊙与y 轴的另一个交点D 的坐标；（2）如果AB 恰好为P ⊙的直径，且ABC △的面积等于5，求m 和k 的值．P16. 如图，点A B、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且2OE OC=．设(0)OE t t=>，矩形OEDC与AOB△重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当4t=时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若12S=，则t=．17. 直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．18. 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；（3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．19. 如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(0-，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．图1 图2xCO yABD120. 如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．21. 定义一种变换：平移抛物线1F 得到抛物线2F ，使2F 经过1F 的顶点A ．设2F 的对称轴分别交12F F ，于点D B ，，点C 是点A 关于直线BD 的对称点．（1）如图1，若1F ：2y x =，经过变换后，得到2F ：2y x bx =+，点C 的坐标为(20)，，则①b 的值等于______________； ②四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形（2）如图2，若1F ：2y ax c =+，经过变换后，点B 的坐标为(21)c -，，求ABD △的面积；（3）如图3，若1F ：2127333y x x =-+，经过变换后，AC =P 是直线AC 上的动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．（图1） （图2） （图3）22. 如图，已知直线112y x =-+交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．23. 如图，点A B 、坐标分别为（4，0）、（0，8），点C 是线段OB 上一动点，点E 在x 轴正半轴上，四边形OEDC 是矩形，且2OE OC =．设(0)OE t t =>，矩形OEDC 与AOB △重合部分的面积为S ．根据上述条件，回答下列问题： （1）当矩形OEDC 的顶点D 在直线AB 上时，求t 的值； （2）当4t =时，求S 的值；（3）直接写出S 与t 的函数关系式；（不必写出解题过程） （4）若12S =，则t = ．112x +24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造．已知ABC △的边BC 长120米，高AD 长80米．学校计划将它分割成AHG △、BHE △、GFC △和矩形EFGH 四部分（如图）．其中矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点H 、G 分别在边AB 、AC 上．现计划在AHG △上种草，每平米投资6元；在BHE △、FCG △上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH 上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元． （1）当FG 长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（2）当矩形EFGH 的边FG 为多少米时，ABC △空地改造总投资最小？最小值为多少？25. 已知：12t t ，是方程22240t t +-=的两个实数根，且12t t <，抛物线223y x bx c =++的图象经过点12(0)(0)A t B t ，，，． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设点()P x y ，是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ 是以OA 为对角线的平行四边形，求OPAQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当OPAQ 的面积为24时，是否存在这样的点P ，使OPAQ为正方形？若存在，求出PA GH K B E D FC三、说理题26. 如图，抛物线经过(40)(10)(02)，，，，，三点．A B C-（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．Array27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D、、、四点．抛物线2y ax bx c=++与y轴交于点D，与直线y x=交于点M N、分别与圆O相切于点A和点C．、，且MA NC（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．28. 如图1，已知：抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是122y x =-，连结AC ． （1）B C 、两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝]图1图2(备用)29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为6，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；5（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x30. 如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM CE EO =-，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．（1）试比较EO 、EC 的大小，并说明理由．（2）令CFGH CMNOS m S =四边形四边形，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若113CO CE Q ==，，为AE 上一点且23QF =，抛物线2y mx bx c =++经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．（4）在（3）的条件下，若抛物线2y mx bx c =++与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与AEF △相似？若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T。

二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(2014年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A． 4个B． 3个C． 2个D． 1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c 和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）），的顶点坐标是（﹣，6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）或C或或﹣或，=或﹣y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）x＜﹣时，﹣取得最小值＜﹣时，﹣取得最大值8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）﹣=1﹣9．（2014·台湾，第26题3分）已知a 、h 、k 为三数，且二次函数y ＝a (x ﹣h )2＋k 在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a ＜0，0＜h ＜10，则h 之值可能为下列何者？( )A ．1B ．3C ．5D ．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝h ，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a ＜0，0＜h ＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h ﹣0＞10﹣h ，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝h ，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h ﹣0＞10﹣h ，解得h ＞5．故选D ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0，c )；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【 】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥【答案】D ．【解析】试题分析：由图象可知，当y 1≤时，x 1≤-或x 3≥. 故选D ．考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合思想的应用11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）﹣=12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）．，13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）14．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B． 3个C． 2个D． 1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a ＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x 值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b ﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（）=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；二.填空题1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(2014年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c 时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5．）②＞5. （2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．（第3题图）7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．，，，的横坐标相同，为，3=3，=﹣．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2．=三.解答题1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？OA=，，的顶点．OAOB）（+，，二次函数＜﹣时，时，时，取得最小值时，＞﹣时，时，3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．==12h===•﹣=﹣，4. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．5. （2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．OF得关系式再代入，2）=2===，=1（﹣，，x xOF=（﹣，（﹣，，﹣x，x﹣＜＜①当﹣，﹣===+•••﹣﹣（x﹣）x 时，，﹣•）﹣••﹣．x，＜﹣x，解得﹣＜＜＜＜6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，14x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，14）代入y=ax2得：a=14，∴二次函数的解析式为y=14x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=14x2上，∴可设点P的坐标为（x，14x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=14x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==14x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=14x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴14x2+1=4，解得：x=±2，∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．7. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．=0中，若不能使其结果为x x，+﹣，∴顶点（﹣，﹣=1﹣，﹣．==，．===0=﹣﹣，﹣x﹣==x=8．(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是11≤x≤15，∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．点评：本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．9．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A （3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE 交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK=PA•PH﹣PA2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．10．（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．=））．11．（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．=＞12．（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．的坐标，根据== =②可得=，==，2==，即的面积为的坐标为（===========13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，。

2014 年中考数学冲刺复习资料 : 二次函数压轴题一、面积类1．如图，已知抛物线经过点 A （﹣ 1，0）、 B （3， 0）、 C （ 0， 3）三点．（ 1）求抛物线的分析式．（ 2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B ， C 重合），过 M 作 MN ∥ y 轴交抛物线于 N ，若点M 的横坐标为 m ，请用 m 的代数式表示 MN 的长．（ 3）在（ 2）的条件下，连结 NB 、 NC ，能否存在 m ，使△ BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在， 说明原因．剖析：专题：压轴题；数形联合．（ 1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的分析式．（ 2）先利用待定系数法求出直线 BC 的分析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC 、抛物线的分析式中，可获得M 、 N 点的坐标， N 、 M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长．（ 3）设 MN 交 x 轴于 D ，那么△ BNC 的面积可表示为： S △ BNC =S △ MNC +S △MNB =MN （ OD +DB ） =MN ? OB ， MN 的表达式在（ 2）中已求得，OB 的长易知， 由此列出对于S △ BNC 、m 的函数关系式， 依据函数的性质即可判断出△BNC能否拥有最大值．解：（ 1）设抛物线的分析式为： y =a （ x +1）（ x ﹣ 3），则：a （ 0+1）（ 0﹣ 3） =3， a =﹣ 1；∴抛物线的分析式：y =﹣（ x +1）（ ﹣ 3）=﹣ 2+2 +3．x x x（ 2）设直线 BC 的分析式为： y =kx +b ，则有：，解得；故直线 BC 的分析式： y =﹣ x +3．2已知点 M 的横坐标为 m ， MN ∥y ，则 M （m ，﹣ m +3）、 N （ m ，﹣ m +2m +3）； 22∴故 MN =﹣m +2m +3﹣（﹣ m +3）=﹣ m +3m （ 0＜ m ＜ 3）．（ 3）如图；∵ S △ BNC =S △ MNC +S △MNB =MN （ OD +DB ） =MN ? OB ，△ BNC22∴ S =（﹣ m +3m ） ? 3=﹣（ m ﹣） +（ 0＜m ＜ 3）；∴当 m =时，△ BNC 的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x 轴交于 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（ 4，0）． （ 1）A求抛物线的分析式；（ 2）尝试究△ABC的外接圆的圆心地点，并求出圆心坐标；（ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△ MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．专题：压轴题；转变思想．剖析：（ 1）该函数分析式只有一个待定系数，只要将B 点坐标代入分析式中即可．（ 2）第一依据抛物线的分析式确立A 点坐标，而后经过证明△ ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的地点，由此确立圆心坐标．（ 3）△ MBC 的面积可由S △ MBC =BC × h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M ．解：（ 1）将 B （ 4， 0）代入抛物线的分析式中，得：0=16a ﹣× 4﹣ 2，即： a =；∴抛物线的分析式为：y =x 2﹣ x ﹣2．（ 2）由（1）的函数分析式可求得：A （﹣ 1， 0）、C （ 0，﹣ 2）；∴ OA =1， OC =2， OB =4，2即： OC =OA ?OB ，又：OC ⊥ AB ，∴△ OAC ∽△ OCB ，得：∠ OCA =∠ OBC ；∴∠ ACB =∠OCA +∠ OCB =∠ OBC +∠ OCB =90°，∴△ ABC 为直角三角形， AB 为△ ABC 外接圆的直径；因此该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0）．（ 3）已求得： B （ 4， 0）、 C （ 0，﹣ 2），可得直线BC 的分析式为： y =x ﹣ 2；设直线 l ∥BC ，则该直线的分析式可表示为：y =x +b ，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x +b =x 2﹣ x ﹣2，即： x 2﹣2x ﹣ 2﹣b =0，且△ =0；∴4﹣4×（﹣ 2﹣ b ）=0，即 b =﹣ 4；∴直线 l ： y =x ﹣ 4．因此点 M 即直线 l 和抛物线的独一交点，有：，解得：即 M （ 2，﹣ 3）．过 M 点作 MN ⊥ x 轴于 N ，S △ BMC =S 梯形 OCMN +S △MNB ﹣ S △ OCB =×2×（ 2+3）+×2×3﹣× 2×4=4．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线= 2+ + 经过点 （ 3，0）、 （ 0，﹣ 3），点 P 是直线ABy x mx n AB上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点 P 的横坐标为 t ．（ 1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的分析式．（ 2）若点 P 在第四象限，连结 AM 、 BM ，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积．（ 3）能否存在这样的点 P ，使得以点 P 、 M 、 B 、 O 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数分析式；待定系数法求二次函数分析式；三角形的面积；平行四边形的判断．.专题：压轴题；存在型．剖析：（ 1）分别利用待定系数法求两函数的分析式：把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）分别代入 y =x 2+mx +n 与 y =kx +b ，获得对于 m 、 n 的两个方程组，解方程组即可；（ 2）设点 P 的坐标是（ t ， t ﹣3），则 M （ t ， t 2﹣ 2t ﹣ 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标获得 PM 的长，即 PM =（ t ﹣ 3）﹣（ t 2﹣ 2t ﹣ 3）=﹣ t 2+3t ，而后依据二次函数的最值获得当 t =﹣ =时， PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 S △ ABM =S △ BPM +S △ APM 计算即可；（ 3）由 PM ∥ OB ，依据平行四边形的判断获得当 PM =OB 时，点 P 、 M 、 B 、 O 为极点的四边形为平行四边形， 而后议论：当P 在第四象限： = =3， 最长时只有，因此不行能；当P 在第一象限：= =3，（ 2 ﹣PMOB PMPM OB t2 ﹣ 3）﹣（ t ﹣ 3） =3；当 P 在第三象限：= =3， t 2﹣ 3 t =3，分别解一元二次方程即可获得知足条件的tPM OBt 的值．解答：解：（ 1）把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）代入 y =x 2+mx +n ，得解得，因此抛物线的分析式是y =x 2﹣ 2x ﹣3．设直线 AB 的分析式是 y =kx +b ，把 A （ 3， 0） B （ 0，﹣ 3）代入 y =kx +b ，得，解得，因此直线 AB 的分析式是 y =x ﹣ 3；（ 2）设点 P 的坐标是（ t ， t ﹣3），则 M （ t ， t 2﹣ 2t ﹣ 3），由于 p 在第四象限，因此 PM =（t ﹣ 3）﹣（ t 2﹣ 2t ﹣3） =﹣ t 2+3t ，当 t =﹣ =时，二次函数的最大值，即最长值为 =，PM则 S △ABM =S △ BPM +S △ APM ==．（ 3）存在，原因以下： ∵ PM ∥ OB ，∴当 PM =OB 时，点 P 、 M 、 B 、O 为极点的四边形为平行四边形，①当 P 在第四象限： PM =OB =3， PM 最长时只有，因此不行能有 PM =3． ②当 P 在第一象限： PM =OB =3，（ t 2﹣2t ﹣ 3）﹣（ t ﹣ 3） =3，解得 t 1=， t 2=（舍去），因此 P 点的横坐标是；③当 P 在第三象限： PM =OB =3， t 2﹣ 3t =3，解得 t 1=（舍去）， t 2 =，因此 P 点的横坐标是．因此 P 点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中搁置向来角三角板，其极点为A （ 0， 1），B （ 2， 0）， O （ 0， 0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，获得△ A ′ B ′ O ．（ 1）一抛物线经过点A ′、B ′、 B ，求该抛物线的分析式；（ 2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，能否存在点 P ，使四边形 PB ′ A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O面积 4 倍？若存在，恳求出 P 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）在（ 2）的条件下，试指出四边形′ ′B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形 ′ ′ 的两条性PB APBAB质．剖析：（ 1）利用旋转的性质得出A ′（﹣ 1， 0），B ′（ 0， 2），再利用待定系数法求二次函数分析式即可；（ 2）利用 S=S+S +S ，再假定四边形PB ′ A ′ B 的面积是△ A ′ B ′ O 面积的 4 倍，得出四边形 PB ′ A ′ B △ B ′ OA ′△ PB ′ O △POB一元二次方程，得出 P 点坐标即可；（ 3）利用 P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形′ ′ 为等腰梯形， 利用等腰梯形性质得出答案即可．PB A B解答：解：（ 1）△ A ′ B ′ O 是由△ ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°获得的，又 A （ 0， 1）， B （ 2， 0）， O （0， 0）， ∴ A ′（﹣ 1， 0）， B ′（ 0， 2）．方法一：设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c（ a≠0），∵抛物线经过点A′、 B′、 B，∴，解得：，∴知足条件的抛物线的分析式为y=﹣ x2+x+2．方法二：∵ A′（﹣1，0）， B′（0，2），B（2，0），设抛物线的分析式为：y=a（x+1）（ x﹣2）将 B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得： a=﹣1，故知足条件的抛物线的分析式为y=﹣（ x+1）（ x﹣2）=﹣ x2+x+2；（ 2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（ x， y），则 x＞0， y＞0，P 点坐标知足 y=﹣x2+x+2．连结 PB， PO， PB′，∴S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2） +1，=﹣x2+2x+3．∵ A′ O=1，B′ O=2，∴△ A′B′ O面积为：×1×2=1，假定四边形PB′ A′B 的面积是△ A′ B′ O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即 x2﹣2x+1=0，解得： x1=x2=1，此时 y=﹣12+1+2=2，即 P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′ A′B 的面积是△ A′B′ O面积的4倍．（ 3）四边形PB′ A′ B 为等腰梯形，答案不独一，下边性质中的随意 2 个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）或用符号表示：①∠ B′ A′B=∠ PBA′或∠ A′ B′ P=∠ BPB′；② PA′=B′ B；③ B′ P∥ A′ B；④ B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ 10 分）5．如图，抛物线y =x 2﹣ 2x +c 的极点 A 在直线 l ：y =x ﹣ 5 上．（ 1）求抛物线极点 A 的坐标；（ 2）设抛物线与 y 轴交于点 B ，与 x 轴交于点 C 、 D （C 点在 D 点的左边），试判断△ ABD 的形状；（ 3）在直线 l 上能否存在一点P ，使以点P 、 A 、B 、 D 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明原因．专题：压轴题；分类议论． 剖析：（ 1）先依据抛物线的分析式得出其对称轴，由此获得极点 A 的横坐标，而后辈入直线l 的分析式中即可求出点 A 的坐标．（ 2）由 A 点坐标可确立抛物线的分析式，从而可获得点B 的坐标．则 、 、 三边的长可得，而后根AB AD BD据边长确立三角形的形状．（ 3）若以点 P 、 A 、B 、 D 为极点的四边形是平行四边形，应分①AB 为对角线、② AD 为对角线两种状况讨论，即①ADPB 、② ABPD ，而后联合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P 点的坐标．解：（ 1）∵极点A 的横坐标为x =﹣ =1，且极点A 在y =x ﹣5 上，∴当x =1 时， y =1﹣ 5=﹣ 4，∴ A （ 1，﹣ 4）．（ 2）△ ABD 是直角三角形．将 A（1，﹣4）代入 y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴ c=﹣3，∴ y=x2﹣2x﹣3，∴ B（0，﹣3）当 y=0时， x2﹣2x﹣3=0， x1=﹣1， x2=3∴ C（﹣1，0）， D（3，0），2 2 2 2 2 2 2 2 2BD=OB+OD=18，AB=（4﹣3）+1 =2 ， AD=（3﹣1）+4 =20，22 2BD+AB=AD，∴∠ ABD=90°，即△ ABD是直角三角形．（ 3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交 y 轴于点 E（0，﹣5），交 x 轴于点 F（5，0）∴OE=OF=5，又∵ OB=OD=3∴△ OEF与△ OBD都是等腰直角三角形∴BD∥ l ，即 PA∥ BD则组成平行四边形只好是PADB或 PABD，如图，过点 P 作 y 轴的垂线，过点A作 x 轴的垂线交过P且平行于 x 轴的直线于点G．设 P（ x1， x1﹣5），则 G（1， x1﹣5）则 PG=|1﹣x1|， AG=|5﹣ x1﹣4|=|1﹣ x1|PA=BD=3由勾股定理得：2 2 2 ﹣2x﹣ 8=0，x =﹣ 2 或 4（ 1﹣ x ） +（ 1﹣ x ）=18，x1 1 1 1 1∴ P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1），存在点 P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1）使以点 A、 B、 D、P 为极点的四边形是平行四边形．三、周长类6．如图，Rt△ ABO的两直角边OA、OB分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3， 0）、（0， 4），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，且极点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移获得△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点 C和点 D能否在该抛物线上，并说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，连结BD，已知对称轴上存在一点P 使得△ PBD的周长最小，求出 P 点的坐标；（ 4）在（ 2）、（3）的条件下，若点M是线段 OB上的一个动点（点M与点 O、 B不重合），过点 M作∥BD交x 轴于点，连结、，设的长为t，△的面积为，求S和t的函数关系式，并写出自变量N PM PN OM PMN St 的取值范围，S能否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点的坐标；若不存在，说明原因．M剖析：（ 1）依据抛物线y=经过点B（0，4），以及极点在直线x=上，得出b， c 即可；（ 2）依据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5， 4）、（ 2， 0），利用图象上点的性质得出x=5或2 时， y 的值即可．（ 3）第一设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出分析式，当x=时，求出 y 即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，从而得出，获得ON=，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（ 1）∵抛物线y=经过点B（ 0， 4）∴c=4，∵极点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴ b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形 ABCD是菱形，∴ BC=CD=DA=AB=5，∴ C、 D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当 x=5时， y=，当 x=2时， y=，∴点 C和点 D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线 CD对应的函数关系式为 y=kx+b，则，解得：，∴，当 x=时， y=，∴ P（），（4）∵MN∥BD，∴△ OMN∽△ OBD，∴即得 ON=，设对称轴交x 于点 F，则（ PF+OM）? OF=（+t ）×，∵，S△PNF=× NF? PF=×（﹣ t ）×=，S=（﹣），=﹣（ 0＜t＜ 4），a=﹣＜0∴抛物线张口向下，S 存在最大值．由 S△PMN=﹣t 2+t =﹣（ t ﹣）2+，∴当 t =时， S 取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．四、等腰三角形类7．如图，点 A 在 x 轴上， OA =4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的地点．（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过点 A 、 O 、 B 的抛物线的分析式；（ 3）在此抛物线的对称轴上，能否存在点 P ，使得以点 P 、 O 、 B 为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．专题：压轴题；分类议论．剖析：（ 1）第一依据 OA 的旋转条件确立 B 点地点， 而后过 B 做 x 轴的垂线， 经过建立直角三角形和OB 的长（即OA 长）确立 B 点的坐标．（ 2）已知 O 、 A 、 B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的分析式．（ 3）依据（ 2）的抛物线分析式，可获得抛物线的对称轴，而后先设出P 点的坐标，而 O 、 B 坐标已知，可先表示出△ OPB 三边的边长表达式，而后分①OP =OB 、② OP =BP 、③ OB =BP 三种状况分类议论，而后分辨能否存在切合条件的P 点．解答：解：（ 1）如图，过 B 点作 BC ⊥ x 轴，垂足为 C ，则∠ BCO =90°，∵∠ AOB =120°，∴∠ BOC =60°，又∵ OA =OB =4，∴ OC =OB =×4=2， BC =OB ? sin 60°=4×=2，∴点 B 的坐标为（﹣ 2，﹣ 2）；（ 2）∵抛物线过原点 O 和点 A 、 B ，∴可设抛物线分析式为y =ax 2+bx ，将 A （ 4， 0）， B （﹣ 2．﹣ 2）代入，得，解得，∴此抛物线的分析式为y =﹣ x 2+x（ 3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线=2，直线 x =2 与 x 轴的交点为 ，设点P的坐标为（ 2， ），xDy①若 =，OB OP则 22+| y | 2=42，解得 y =±2，当 y =2 时，在 Rt △ POD 中，∠ PDO =90°， sin ∠ POD ==，∴∠ POD =60°，∴∠ POB =∠POD +∠ AOB =60°+120°=180°，即 P 、 O 、 B 三点在同向来线上，∴y=2不切合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，﹣2）②若 OB=PB，则42+| y+2|2=42，解得 y=﹣2，故点 P 的坐标为（2，﹣2），③若 OP=BP，则22+| y|2=42+| y+2|2，解得 y=﹣2，故点 P 的坐标为（2，﹣2），综上所述，切合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣ 2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A （ 0， 2），点 C（﹣ 1， 0），以下图：抛物线y=ax 2+ax﹣2 经过点 B．（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的分析式；（3）在抛物线上能否还存在点 P（点 B 除外），使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．剖析：（ 1）依据题意，过点B作 BD⊥ x 轴，垂足为 D；依据角的互余的关系，易得B到 x、y 轴的距离，即B的坐标；（2）依据抛物线过B点的坐标，可得a的值，从而可得其分析式；（3）第一假定存在，分A、C是直角极点两种状况议论，依据全等三角形的性质，可得答案．解：（ 1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠ BCD+∠ACO=90°，∠ ACO+∠ CAO=90°，∴∠ BCD=∠CAO，（1分）又∵∠ BDC=∠ COA=90°， CB=AC，∴△ BCD≌△ CAO，（2分）∴BD=OC=1， CD=OA=2，（3分）∴点 B 的坐标为（﹣3，1）；（4分）（ 2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点 B（﹣3，1），则获得 1=9a﹣ 3a﹣ 2，（ 5 分）解得a=1因此抛物线的分析式为y=x2+x﹣2；（7分）（ 3）假定存在点P，使得△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角极点；则延伸BC至点P1，使得P1C=BC，获得等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点 P1作 P1M⊥x 轴，∵CP1=BC，∠ MCP1=∠ BCD，∠ P1MC=∠BDC=90°，∴△ MP1C≌△ DBC．（10分）∴ CM=CD=2， P1M=BD=1，可求得点 P1（1，﹣1）；（11分）②若以点 A为直角极点；则过点 A作 AP2⊥ CA，且使得 AP2=AC，获得等腰直角三角形△过点 P2作 P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△ CAO，（13分）ACP2，（12分∴ NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经查验，点P1（1，﹣1）与点 P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）五、综合类10．如图，已知抛物线= 2+ +c 的图象与x轴的一个交点为（5， 0），另一个交点为，且与y轴交于y x bx B A点 C（0，5）．（ 1）求直线BC与抛物线的分析式；（ 2）若点M是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M作 MN∥ y 轴交直线 BC于点 N，求 MN的最大值；（ 3）在（ 2）的条件下，MN获得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上随意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为 S1，△ ABN的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标．专题：压轴题．剖析：（ 1）设直线BC的分析式为y=mx+n，将B（ 5， 0），C（ 0， 5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的分析式；同理，将 B（5，0）， C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的分析式；（ 2）MN的长是直线B C的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个对于MN的长和 M点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出MN的最大值；（ 3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，依据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE上截取PQ =BC ，则四边形 CBPQ 为平行四边形． 证明△ EBD 为等腰直角三角形，则 BE =BD =6，求出 E 的坐标为（﹣ 1，0），运用待定系数法求出直线PQ 的分析式为 y =﹣ x ﹣ 1，而后解方程组，即可求出点 P 的坐标．解：（ 1）设直线 BC 的分析式为 y =mx +n ，将 B （ 5， 0）， C （ 0， 5）两点的坐标代入，得，解得，因此直线BC 的分析式为 y =﹣ x +5；将 B （ 5， 0）， C （ 0， 5）两点的坐标代入y =x 2+bx +c ，得，解得，因此抛物线的分析式为y =x 2﹣6x +5；（ 2）设 M （ x ， x 2﹣ 6x +5）（ 1＜ x ＜ 5），则 N （ x ，﹣x +5）， ∵ MN =（﹣ x +5）﹣（ x 2﹣ 6x +5）=﹣ x 2+5x =﹣（ x﹣） 2+，∴当 x =时， MN 有最大值；（ 3）∵ MN 获得最大值时， x =2.5 ，∴﹣ x +5=﹣2.5+5=2.5 ，即 N （2.5 ， 2.5 ）．解方程 x 2﹣ 6x +5=0，得 x =1 或 5，∴ A （ 1， 0）， B （ 5，0），∴ AB =5﹣ 1=4，∴△ ABN 的面积 S 2=×4×2.5=5 ，∴平行四边形 CBPQ 的面积 S 1=6S 2=30．设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD ，则 BC ⊥ BD ．∵ BC =5，∴ BC ? BD =30，∴ BD =3．过点 D 作直线的平行线，交抛物线与点 ，交 轴于点 ，在直线 上截取 = ，则四边形 为BC PxE DE PQ BC CBPQ平行四边形．∵ BC ⊥ BD ，∠ OBC =45°， ∴∠ EBD =45°，∴△ EBD 为等腰直角三角形， BE =BD =6，∵ B （ 5， 0），∴ E （﹣ 1，0），设直线 PQ 的分析式为 y =﹣ x +t ，将 E （﹣ 1， 0）代入，得 1+t =0，解得 t =﹣ 1∴直线 PQ 的分析式为 y =﹣ x ﹣ 1．解方程组，得， ，∴点 P 的坐标为 P 1（ 2，﹣ 3）（与点 D 重合）或 P 2（3，﹣ 4）．11．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点 C （ 0， 1），极点为 Q （ 2， 3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD =OC ．（ 1）求直线 CD 的分析式；（ 2）求抛物线的分析式；（ 3）将直线绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线订交于另一点 ，求证：△∽△ ；CDECEQ CDO （ 4）在（ 3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点挪动过程中，△ PCF 的周长能否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明原因．剖析：（ 1）利用待定系数法求出直线分析式；（ 2）利用待定系数法求出抛物线的分析式；（ 3）重点是证明△ CEQ 与△ CDO 均为等腰直角三角形；（ 4）如答图②所示，作点 C 对于直线 QE 的对称点 C ′，作点 C 对于 x 轴的对称点 C ″，连结 C ′C ″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为切合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段 C ′ C ″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短能够证明此时△PCF 的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C ′ C ″的长度，即△ PCF 周长的最小值．解：（ 1）∵ C （ 0， 1），OD =OC ，∴ D 点坐标为（ 1， 0）．设直线 CD 的分析式为 y =kx +b （ k ≠0），将 C （ 0， 1）， D （ 1， 0）代入得：，解得： b =1， k =﹣ 1，∴直线 CD 的分析式为： y =﹣x +1．（ 2）设抛物线的分析式为 y =a （ x ﹣ 2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得 a=．∴ y=（ x﹣2）2+3=x2+2x+1．（ 3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵ OC=OD，且 OC⊥ OD，∴△ OCD为等腰直角三角形，∠ ODC=45°，∴∠ ECD=∠ODC，∴ CE∥ x 轴，则点 C、E 对于对称轴（直线x=2）对称，∴点 E 的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与 CE交于点 M，则 M（2，1），∴ ME=CM=QM=2，∴△ QME与△ QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠ QCE=45°．又∵△ OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠ OCD=45°，∴∠ QEC=∠QCE=∠ ODC=∠ OCD=45°，∴△ CEQ∽△ CDO．（ 4）存在．如答图②所示，作点C 对于直线的对称点′，作点C对于x轴的对称点″，连结′ ″，交于QE C C C C OD点，交于点，则△即为切合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△的周长等F QEP PCF PCF于线段 C′C″的长度．（证明以下：不如在线段OD上取异于点 F的任一点 F′，在线段 QE上取异于点P的任一点 P′，连结 F′ C″，F′ P′， P′ C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′ C″+F′ P′+P′ C′；而 F′ C″+F′ P′+P′ C′是点 C′， C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知： F′C″+F′ P′+P′ C′＞ C′C″，即△ P′ CF′的周长大于△ PCE的周长．）如答图③所示，连结 C′ E，∵ C， C′对于直线 QE对称，△ QCE为等腰直角三角形，∴△ QC′ E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点 C′的坐标为（4，5）；∵ C， C″对于 x 轴对称，∴点 C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作 C′ N⊥ y 轴于点 N，则 NC′=4， NC″=4+1+1=6，在Rt△ C′NC″中，由勾股定理得： C′ C″===．综上所述，在 P 点和 F 点挪动过程中，△ PCF的周长存在最小值，最小值为．12．抛物线与x 轴交于 A（1，0）、 B（﹣3，0）两点，与y 轴交于点 C（0，3），设抛物线的极点为D．（1）求该抛物线的分析式与极点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明原因．（3）研究坐标轴上能否存在点P，使得以 P、 A、C为极点的三角形与△ BCD相像？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明原因．剖析：（1）利用待定系数法即可求得函数的分析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，而后依据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种状况议论，舍出P的坐标，依据相像三角形的对应边的比相等即可求解．解：（ 1）设抛物线的分析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y 轴交于点 C（0，3），可知 c=3．即抛物线的分析式为y=ax2+bx+3．把点 A（1，0）、点 B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1， b=﹣2∴抛物线的分析式为y=﹣ x2﹣2x+3．∵y=﹣ x2﹣2x+3=﹣（ x+1）2+4∴极点 D的坐标为（﹣1，4）；（ 2）△BCD是直角三角形．原因以下：解法一：过点分别作x 轴、y轴的垂线，垂足分别为、．D E F ∵在 Rt△ BOC中， OB=3， OC=3，2 2 2∴ BC=OB+OC=18在 Rt△ CDF中， DF=1， CF=OF﹣ OC=4﹣3=1，22 2∴ CD=DF+CF=2在 Rt△ BDE中， DE=4， BE=OB﹣ OE=3﹣1=2，222∴ BD =DE +BE =20 222∴ BC +CD =BD∴△ BCD 为直角三角形．解法二： 过点 D 作 DF ⊥ y 轴于点 F ．在 Rt △ BOC 中，∵ OB =3， OC =3∴ OB =OC ∴∠ OCB =45°∵在 Rt △ CDF 中， DF =1， CF =OF ﹣ OC =4﹣ 3=1∴ DF =CF∴∠ DCF =45°∴∠ BCD =180°﹣∠ DCF ﹣∠ OCB =90°∴△ BCD 为直角三角形．（ 3）①△的三边， ==，又 =，故当P 是原点 O 时，△ ∽△ ；BCDACPDBC②当 是直角边时，若与 是对应边，设P 的坐标是（ 0， ），则 =3﹣ ， =，即 =，解得： =﹣9，ACAC CDaPC aa则 P 的坐标是（ 0，﹣ 9），三角形不是直角三角形，则△∽△不建立；ACP ACP CBD③当 AC 是直角边，若 AC 与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是（ 0， b ），则 PC =3﹣ b ，则 =，即 =，解得： b =﹣，故 P 是（ 0，﹣）时，则△ ACP ∽△ CBD 必定建立；④当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 必定在 B 的左边，设 P 的坐标是（ d ， 0）．则 AP =1﹣ d ，当 AC 与 CD 是对应边时， =，即 =，解得： d =1﹣3，此时，两个三角形不相像；⑤当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 必定在 B 的左边，设 P 的坐标是（ e ， 0）．则 AP =1﹣ e ，当 AC 与 DC 是对应边时， =，即 =，解得： e =﹣9，切合条件．总之，切合条件的点 P 的坐标为： ．六、对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与 x 轴交于 A、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，此中 A 点的坐标是（1，0）， C点坐标是（4，3）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）在（ 1）中抛物线的对称轴上能否存在点D，使△ BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明原因；（ 3）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及 E 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．剖析：（ 1）利用待定系数法求二次函数分析式解答即可；（ 2）利用待定系数法求出直线AC的分析式，而后依据轴对称确立最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（ 3）依据直线AC的分析式，设出过点E与 AC平行的直线，而后与抛物线分析式联立消掉y 获得对于 x 的一元二次方程，利用根的鉴别式△=0 时，△ ACE的面积最大，而后求出此时与AC平行的直线，而后求出点E 的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出，再依据直线l与x轴的夹角为 45°求AF出两直线间的距离，再求出AC间的距离，而后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（ 1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点 A（1，0），点 C（4，3），∴，解得，因此，抛物线的分析式为y=x2﹣4x+3；（ 2）∵点A、B对于对称轴对称，∴点 D为 AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线 AC的分析式为y=kx+b（ k≠0），则，解得，因此，直线AC的分析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（ x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x =2，当 x =2 时， y =2﹣ 1=1，∴抛物线对称轴上存在点D （2， 1），使△ BCD 的周长最小；（ 3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y =x +m ，联立，消掉 y 得， x 2﹣5x +3﹣ m =0，△=（﹣ 5）2﹣4×1×（ 3﹣ m ） =0，即 m =﹣时，点 E 到 AC 的距离最大，△ ACE 的面积最大，此时 x =， y =﹣ =﹣，∴点 E 的坐标为（，﹣） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F ，则 F （， 0），∴ AF =﹣ 1=，∵直线 AC 的分析式为 y =x ﹣1，∴∠ CAB =45°，∴点 F 到 AC 的距离为×=，又∵ AC ==3，∴△ ACE 的最大面积 =×3×=，此时 E 点坐标为（，﹣） ．14．如图，已知抛物线y =﹣ x 2+ +4与 x 轴订交于 、 两点，与 y 轴订交于点 ，若已知 A 点的坐标为 A bx A B C （﹣ 2， 0）．（ 1）求抛物线的分析式及它的对称轴方程；（ 2）求点 C 的坐标，连结 AC 、 BC 并求线段 BC 所在直线的分析式；（ 3）试判断△ AOC 与△ COB 能否相像？并说明原因；（ 4）在抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使△ ACQ 为等腰三角形？若存在，求出切合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明原因．考点：二次函数综合题． .专题：压轴题．剖析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线分析式，利用配方法或利用公式x =求出对称轴方程；（ 2）在抛物线分析式中，令 x =0，可求出点 C 坐标；令 y =0，可求出点 B 坐标．再利用待定系数法求出直线 BD 的分析式；（ 3）依据，∠ AOC =∠ BOC =90°，能够判断△ AOC ∽△ COB ；（ 4）本问为存在型问题．若△ ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情况，需要分类议论，逐个计算，防止漏解．解答：解：（ 1）∵抛物线 y =﹣ x 2+bx +4 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），∴﹣×（﹣ 2） 2+b ×（﹣ 2） +4=0，解得： b =，∴抛物线分析式为 y =﹣ x 2+x +4，又∵ y =﹣ 2+ +4=﹣（ x ﹣ 3） 2+，∴对称轴方程为： x =3．x x（ 2）在 y =﹣ x 2+ +4 中，令 x =0，得 y =4，∴ （ 0，4）；x C令 y =0，即﹣ x 2+x +4=0，整理得 x 2﹣ 6x ﹣ 16=0，解得： x =8 或 x =﹣2， ∴ A （﹣ 2，0）， B （ 8， 0）．设直线 BC 的分析式为 y =kx +b ，把 B （ 8， 0）， C （ 0， 4）的坐标分别代入分析式，得：，解得 k =， b =4，∴直线 BC 的分析式为：y =x +4．（ 3）可判断△ AOC ∽△COB 建立．原因以下：在△ AOC与△ COB 中，∵ OA =2， OC =4， OB =8，∴，又∵∠ AOC =∠ BOC =90°，∴△ AOC ∽△ COB ．（ 4）∵抛物线的对称轴方程为： x =3，可设点 Q （3， t ），则可求得：AC ===，AQ ==，CQ ==．i ）当 AQ =CQ 时，有 =，25+t2=t2﹣ 8t +16+9，解得 t =0，∴ Q1（3，0）；ii）当 AC=AQ时，有 =，t 2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ ACQ不可以组成等腰三角形；iii）当 AC=CQ时，有 =，整理得： t 2﹣8t +5=0，解得： t =4±，∴点 Q坐标为： Q2（3，4+）， Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为： Q1（3，0）， Q2（3，4+）， Q3（3，4﹣）．15．如图，在座标系xOy中，△ ABC是等腰直角三角形，∠ BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx ﹣ 2 的图象过C点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 挪动到哪处时，恰巧将△ABC的面积分为相等的两部分？P 点坐标；若（ 3）点P是抛物线上一动点，能否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出不存在，说明原因．剖析：如解答图所示：（ 1）第一结构全等三角形△AOB≌△ CDA，求出点 C的坐标；而后利用点C的坐标求出抛物线的分析式；（ 2）第一求出直线 BC 与 AC 的分析式，设直线 l 与 BC 、AC 交于点 E 、F ，则可求出 EF 的表达式；依据 S △CEF =S △ ABC ，列出方程求出直线 l 的分析式；（ 3）第一作出 ? PACB ，而后证明点 P 在抛物线上即可．解：（ 1）如答图 1 所示，过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，则∠ CAD +∠ ACD =90°．∵∠ OBA +∠OAB =90°，∠ OAB +∠ CAD =90°，∴∠ OAB =∠ACD ，∠ OBA =∠ CAD ．∵在△ AOB 与△ CDA 中，∴△ AOB ≌△ CDA （ ASA ）．∴ CD =OA =1， AD =OB =2，∴ OD =OA +AD =3，∴ C （ 3， 1）．∵点 C （ 3， 1）在抛物线 y =x 2+bx ﹣ 2 上，∴ 1=×9+3 b ﹣ 2，解得： b =﹣．∴抛物线的分析式为： y =x 2﹣ x ﹣2．（ 2）在 Rt △ AOB 中， OA =1，OB =2，由勾股定理得： AB =．∴ S △ ABC =AB 2=5设直线 BC 的分析式为 y =kx +b ，∵ B （0， 2）， C （ 3， 1），∴， 解得 k =﹣ 1， b =2， ∴ y =﹣ x +2．同理求得直线 AC 的分析式为： y =x ﹣．如答图 1 所示，设直线 l 与 BC 、 AC 分别交于点 E 、 F ，则 EF =（﹣ x +2）﹣（ x ﹣） =﹣ x ．△ CEF 中， EF 边上的高 h =OD ﹣ x =3﹣ x ．由题意得：△ CEF = △ABC ， ∴（﹣ x ）? （ 3﹣ ）=×， 整理得：（ 3﹣ ）2=3， SS xx解得 x =3﹣或 x =3+（不合题意，舍去） ， ∴当直线 l 分析式为 x =3﹣时，恰巧将△ABC 的面积分为相等的两部分．（ 3）存在．如答图 2 所示，过点 C 作 CG ⊥ y 轴于点 G ，则 CG =OD =3，OG =1， BG =OB ﹣ OG =1．过点 A 作 AP ∥ BC 交 y 轴于点 W ，∵四边形 ACBP 是平行四边形，∴AP=BC，连结 BP，则四边形 PACB为平行四边形．过点 P 作 PH⊥ x 轴于点 H，∵ BC∥ AP，∴∠ CBO=∠AWO，∵ PH∥ WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠ CBG=∠APH，在△ PAH和△ BCG中，∴△ PAH≌△ BCG（ AAS），∴PH=BG=1， AH=CG=3，∴OH=AH﹣ OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线分析式为：y=x2﹣ x﹣2，当 x=﹣2时， y=1，即点 P 在抛物线上．∴存在切合条件的点P，点 P 的坐标为（﹣2，1）．。

rapid development of the market economy environment to explore public servants ' duty consumption monetization reform has provided a good foundation. The socialization of rear service work has been launched, and rapid progress in some places and departments, duty consumption monetization of carrier and approach to management has been resolved. Third, in recent years, exploring the monetization of duty consumption has made some progress, have gained some experience and can provide reference to the comprehensive reform of the system of public servants ' duty consumption further. Implementing an "honest canteen", standardize official entertaining management; enhancing the telecommunication expense management; elimination of County travel and countryside subsidies; research "village officials" capitalization management of corporate spending, and so on. Finally, group ... 18 session to be held in Beijing from November 9, 2013 to 12th. 35 years ago blew the third plenary session of the reform and opening up in the spring breeze, changed, affect the world; today, 35 years later, in the eyes of the nation and the world expect, again to reform mark China, ushered in the 18 session. XI General Secretary pointed out that China's reform has entered a crucial period and the Sham Shuir political courage and wisdom, lose no time in deepening reform in important fields. Dares to crack a hard nut, dares to question the Rapids, which dares to break the barrier of ideas, and dare to benefit cure barriers. Deepening reform and opening up is on schedule to achieve institutional safeguards of the moderately well-off. Under the "five in one" the General layout of socialist modernization requirements, 18 session of the decision was a "five in one" and the improvement of overall scheme of reform, will promote an integrated and coordinated economic, political, cultural, social and ecological civilization construction of the five reforms and the party's construction in the area of institutional reform. The "five in one" programme is to achieve a comprehensive reform of institutional guarantees for objectives of build a well-off society, the smooth progress of the construction of a well-off society and reform the objectives of the programme. One, holding time and place importance on November 9, 2013 to the 18 session of the 12th Beijing since 1978, 35, have been 7 plenary session, each time on major issues of political and economic life of the country has made important deployment. In accordance with PRC political practice, often at every session of the CPC Central Committee in a plenary session was held immediately after the party's Congress, on the theme "personnel", discussing election Central's top leaders, such as the election of the Standing Committee of the political Bureau, through the Central

2014年中考数学复习专题【成都市中考压轴题（二次函数）精选】【2007年成都市中考数学压轴题】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB sin ∠OAB=5（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积Q NR S ∆，求QMN S ∆∶Q NR S ∆的值.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3AB P B PC S S ∆∆=，求点P 的坐标； （3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知:1:5OA OB =，OB OC =，△ABC 的面积15ABC S ∆=，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠ 经过A 、B 、C 三点。

2014年中考试题汇编（二次函数）一、选择题1、（2014天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、（2014南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③3、（2014广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．34、（2014云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A5、（2014四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )DA. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大6、（2014山东日照）已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）B(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题1、（2014湖北孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图8所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |， 则P 、Q 的大小关系为 . P<QA2、（2014四川成都）如图92231y ax x a =-+-的图象，那么a 3、（2014江西省）已知二次函数y =-的部分图象如图所示，则关于x 220x x m -++=的解为 ．11x =-，23x =；4、（2014广西南宁）已知二次函数y =的图象如图所示，则点()P a bc ，三、解答题1、（2014天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。

2014年中考全国数学试题二次函数的图象和性质专题一、选择题1. （2012重庆市4分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示 对称轴为21-=x 。

下列结论中，正确的是【 】 A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c >+ D ．42a c b +< 2. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】 A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 13. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断： ①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【 】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4. （2012江苏常州2分）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【 】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y << 5. （2012江苏镇江3分）关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【 】A. m <1-B. 1<m<0-C. 0<m<1D. m >15. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a=0；②abc ＜0；③a ﹣2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有【 】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点， 那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限7. （2012湖南郴州3分）抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【 】A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2） 8. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】A ．1B ．2C ．3D ．49. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0）， 对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】 A ．（﹣3，0） B ．（﹣2，0） C ．x=﹣3 D ．x=﹣210. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【 】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜111. （2012四川广元3分） 若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a的值为【 】 A. 1 B.2 C. 2- D. -212. （2012四川德阳3分）设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时， 总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【 】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤13. （2012四川巴中3分） 对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【 】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－114. （2012辽宁鞍山3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c ＜0；③ac ＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②15. （2012山东滨州3分）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数 是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．016. （2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于017. （2012山东日照4分）二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a ＋b<0；③ 4a －2b ＋c=0；④ a ︰b ︰c= －1︰2︰3. 其中正确的是【 】(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④18. （2012山东泰安3分）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】 A ．3- B ．3 C ．6- D ．919. （2012山东泰安3分）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【 】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>20. （2012山东威海3分）已知二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】A.abc ＞0B.3a ＞2bC.m （am ＋b ）≤a －bD.4a －2b ＋c ＜0 21. （2012山东烟台3分）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法： ①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个22. （2012山东枣庄3分）抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】A ．3 B ．9 C ．15 D ．15-23. （2012河北省3分）如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论： ①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4； ④2AB=3AC ；其中正确结论是【 】A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④24. （2012甘肃白银3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【 】A ．x 1<-B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x 1<-或x ＞3 25. （2012甘肃兰州4分）抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【 】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 26. （2012甘肃兰州4分）已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定27. （2012青海西宁3分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于028. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a ＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 29. （2012黑龙江牡丹江3分）抛物线2y ax bx c =++与x 轴 的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】． A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3 二、填空题1. （2012广东深圳3分）二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．2. （2012江苏苏州3分）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2.3. （2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ．4. （2012湖北咸宁3分）对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）5. （2012湖北孝感3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)． ①abc ＜0；②a －b ＋c ＜0；③3a ＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0． 6. （2012辽宁营口3分）二次函数n x x y +-=62的部分图像如图 所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的 一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7. （2012山东枣庄4分）二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时， 自变量x 的取值范围是 ．8. （2012新疆区5分）当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值． 9. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10. （2012黑龙江牡丹江3分）若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)， 则a b c -+= ．11. （2012黑龙江大庆3分）已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）．三、解答题1. （2012北京市7分）已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。

2014年中考数学分类汇编——与函数有关的选择题压轴题2014年与函数有关的选择题压轴题，考点涉及：一次函数性质；反比例函数性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，；曲线上点的坐标与方程的关系；二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式；相似三角形的判定和性质；轴对称的性质.数学思想涉及：数形结合；化归；方程.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者.【题1】（2014•济宁第8题）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）【题2】（2014年山东泰安第20题）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题3】（2014年山东烟台第11题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题4】（2014•威海第11题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）【题5】（2014•宁波第12题）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）【题6】（2014•温州第10题）如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y 轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（）【题7】（2014年山东泰安第17题）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）A．B C D．【题8】（2014.福州第10题）如图，已知直线y x2=-+分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线kyx=交于E，F两点. 若AB=2EF，则k的值是【】A．1-B．1 C．12D．34【题9】（2014.泸州第12题）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a ＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）。