极坐标与参数方程15道典型题 (有答案) (2)
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C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．
C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝ ，
故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋ ．………………………………10
5.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 。现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）。
极坐标与参数方程15道典型题
1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 ，直线 的极坐标方程分别为 ， ．
（1） 求 与 的直角坐标方程，并求出 与 的交点坐标；
（2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点．已知直线 的参数方程为 （ 为参数 ， ），求 的值．
（1）由极直互化公式得：
化简得tanθ＝ ，即极坐标方程为θ＝ .
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2= ，直线l的极坐标方程为ρ= ．
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
（2）若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围.
解：（1）由极直互化公式得 ，所以 ；---------------2分
消去参数 得 的方程： ----------------------4分
（2）由（1）知 是双曲线， 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去 得：
，-------------------------7分
6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
∴ρ2=2 ，化为x2+y2= ，
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 和曲线 交于 两点，定点 ，求 的值。
【解】
（1） ，所以 。
所以 ，即 。…………………………
直线 的普通方程为 。……………………………………
（2）把 的参数方程代入 得： 。
设 对应参数分别为 ，则 ，点 显然在 上，
由直线 参数 的几何意义知 。…………………………
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（ ， ）．由于M点在C1上，
所以 即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ，
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．
若直线和双曲线有两个不同的公共点，则 ，
解得： -----------10分
3.已知椭圆 ，直线 （ 为参数）．
（I）写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程；
（II）设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐标．
解：（Ⅰ）C： （θ为为参数），l：x－ y＋9＝0．…4分
配方为 =3．……5分
（II）设P ，又C ．
∴|PC|= = ≥2 ，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2 ．此时P（3，0）．……10分
7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－ )＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；
（Ⅱ）设P(2cosθ， sinθ),则|AP|＝ ＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝ ＝ ．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ ，cosθ＝－ ．
故P(－ ， )．…10分
4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．
曲线C1的极坐标方程为ρ2= ，直线l的极坐标方程为ρ= ，
根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为 ．
（Ⅱ）设Q ，则点Q到直线l的距离为
= ，
当且仅当 ，即 （k∈Z）时取等号．
∴Q点到直线l距离的最小值为 ．
9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数）M是C1上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)将极坐标方程ρcos ＝1化为：
ρcosθ＋ ρsinθ＝1.
则其直角坐标方程为： x＋ y＝1，M(2,0)，N(0， )，其极坐标为M(2,0)，N .
(2)由(1)知MN的中点P .
直线OP的直角坐标方程为y＝ x，化为极方程为：ρsinθ＝ ·ρcosθ.
（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋ )＝ 的距离的最大值．
解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．
消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．………………………………5分
（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得
………4分
联立方程解得交点坐标为 ………5分
（2）由（1）知： ， 所以直线 ： ，
化参数方程为普通方程： ，
对比系数得： ， ………10分
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 是参数， 是常数）
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1，以及射 线θ1|求出所求．
C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝ ，
故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋ ．………………………………10
5.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 。现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）。
极坐标与参数方程15道典型题
1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 ，直线 的极坐标方程分别为 ， ．
（1） 求 与 的直角坐标方程，并求出 与 的交点坐标；
（2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点．已知直线 的参数方程为 （ 为参数 ， ），求 的值．
（1）由极直互化公式得：
化简得tanθ＝ ，即极坐标方程为θ＝ .
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2= ，直线l的极坐标方程为ρ= ．
（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．
【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
（2）若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围.
解：（1）由极直互化公式得 ，所以 ；---------------2分
消去参数 得 的方程： ----------------------4分
（2）由（1）知 是双曲线， 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去 得：
，-------------------------7分
6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ．
∴ρ2=2 ，化为x2+y2= ，
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 和曲线 交于 两点，定点 ，求 的值。
【解】
（1） ，所以 。
所以 ，即 。…………………………
直线 的普通方程为 。……………………………………
（2）把 的参数方程代入 得： 。
设 对应参数分别为 ，则 ，点 显然在 上，
由直线 参数 的几何意义知 。…………………………
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（ ， ）．由于M点在C1上，
所以 即
从而C2的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1=4sin ，
射线θ= 与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ．
所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= ．
若直线和双曲线有两个不同的公共点，则 ，
解得： -----------10分
3.已知椭圆 ，直线 （ 为参数）．
（I）写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程；
（II）设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐标．
解：（Ⅰ）C： （θ为为参数），l：x－ y＋9＝0．…4分
配方为 =3．……5分
（II）设P ，又C ．
∴|PC|= = ≥2 ，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2 ．此时P（3，0）．……10分
7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－ )＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；
（Ⅱ）设P(2cosθ， sinθ),则|AP|＝ ＝2－cosθ，
P到直线l的距离d＝ ＝ ．
由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝ ，cosθ＝－ ．
故P(－ ， )．…10分
4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．
曲线C1的极坐标方程为ρ2= ，直线l的极坐标方程为ρ= ，
根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为 ．
（Ⅱ）设Q ，则点Q到直线l的距离为
= ，
当且仅当 ，即 （k∈Z）时取等号．
∴Q点到直线l距离的最小值为 ．
9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数）M是C1上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)将极坐标方程ρcos ＝1化为：
ρcosθ＋ ρsinθ＝1.
则其直角坐标方程为： x＋ y＝1，M(2,0)，N(0， )，其极坐标为M(2,0)，N .
(2)由(1)知MN的中点P .
直线OP的直角坐标方程为y＝ x，化为极方程为：ρsinθ＝ ·ρcosθ.
（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋ )＝ 的距离的最大值．
解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．
消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．………………………………5分
（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得
………4分
联立方程解得交点坐标为 ………5分
（2）由（1）知： ， 所以直线 ： ，
化参数方程为普通方程： ，
对比系数得： ， ………10分
2.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 ，（ 是参数， 是常数）
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ= 与C1的交点A的极径为ρ1，以及射 线θ1|求出所求．
