垂直于弦的直径导学案

垂直于弦的直径 课题：24.1.2垂直于弦的直径 序号：学习目标：1、知识与技能（1）理解圆的轴对称性；（2）了解拱高、弦心距等概念；（3）使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题；2、过程与方法：通过研究圆的轴对称性，得到垂径定理的有关结论，并学会运用这些结论解决一些有关证明。

计算和作图问题。

3、情感.态度与价值观：引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

学习重点：“垂径定理”及其应用学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明导学过程：. 一、课前预习：阅读课本P80---81的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

. 二、课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》83页的问题导学2. 出示任务，自主学习阅读教材80.81页的有关内容，尝试解决下面的问题：（1）同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。

问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________（2）在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？（3）若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？（4）要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。

（5）猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知， 然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？②若只证AE=BE ，还有什么方法？3.合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示 与反馈检查预习情况，解决学生疑惑。

四、课堂小结：垂径定理：分析：给出定理的推理格式A B C DO A B C D O A B C D O E推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且五、达标检测：1.辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？2. 83页《导学案》.自主测评1—4题课后作业:1、必做题：教材88页习题24.1 5-8题板书设计：24.1.2垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂直于弦的直径导学案一、知识点回顾：1.圆上各点到圆心的距离都等于__________ ,到圆心的距离等于半径的点都在.2.女口右图_________ 是弓玄， __________ 是劣弧，________ 是优弧。

3.确定一个圆的两个条件是___________ 和__________ o4.圆心到弦的距离叫做_______________5.弦AB所对的弧分为两段______________ 和______________ 。

二、新知学习：1、动手实验，集体研究；活动（一）：用纸剪一个圆，并沿着圆的任意一条直径对折问题1：你发现了什么？问题2：由此你得到什么结论？结论为：活动（二）：再把圆折一次，使前后两条折痕垂直，请画出可能情况的图形。

其中一种情形如右图：问题1：图中AE=BE吗，为什么？问题2：图中有哪些弧相等？问题3：由此你得到什么结论?1、答2、答3、答所得结论的题设为： ____________________________________________________________________ 所得结论的结论为： ____________________________________________________________________ 结合上面图形，可转化为已知、求证。

已知：求证：证明:垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧. 几何语言：•••下列图形是否具备垂径定理的条件？应用垂径定理的几个基本图特别注意：_______________________________________________________________________ 三、学以致用：1.在直径是20cm的OO中，AB的长度是16cm,那么弦AB的弦心距OD长为______________ .2.弓形的弦长（弓的跨度为AB）为6cm,弓形的高（弓高为CD）为lcm,则这弓形祈在的圆的半径为________ •例题解析：例1.在OO中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求OO的半径.大显身手：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?[问题：它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？趁热打铁:1、如图，在直径为100毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。

OA B新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案课 题 垂直于弦的直径 课 型展示课 执笔人审核人级部审核学习时间第 周第 导学稿教师寄语学习目标1、理解圆的轴对称性；了解拱高、弦心距等概念。

2、掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算。

（重点）3、垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

（难点）学生自主活动材料一.前置性自学1、自学课本80-81页2、怎样找到右边这个圆的圆心？问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

3、在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是怎样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？二.小组反馈1、若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？2、在纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。

①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？3、垂径定理：推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 4、下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？三合作探究1、已知：在圆O 中，弦AB=8，O 到AB 的距离等于3，求圆O 的半径。

2、已知直径是1000mm 的圆柱形水管截面如图所示，若水面宽800 AB mm ，求水的最大深度、四.展示交流AB CDO A B C D O A B C D O E A B C D O E A B O EA B O E D A B OE DB A OMO ABP1、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5， 求⊙O 的半径的长。

2、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦长为 . 最长弦长为_______．五.拓展提升1、已知一段弧AB ，请作出弧AB 所在圆的圆心。

2、已知线段AB 和CD 是圆O 的两条平行弦，且与圆心的距离分别为3和4，求此二平行弦之间的距离。

︒=∠120AOB 24.1.2垂直于弦的直径导学案一、学习目标1．通过教材81页的学习和动手折叠，你知道圆的对称性吗？2.通过教材82页例2前面部分的学习，你知道什么是垂径定理？你能证明吗？3.通过教材82页例2的学习，你能运用垂径定理求赵州桥的主桥拱的半径吗？4.通过本节课的学习你能灵活运用垂径定理进行有关的计算和证明吗？二、自主学习1.根据学习目标阅读教材81页和82页的内容.2.完成练习册74页的知识梳理.3.独立完成练习册74页的预习自测，然后小组同学讨论确定最终答案.三、合作探究1.圆的对称性：圆既是 图形，又是 图形。

它的对称轴是，它的对称中心是 。

2.垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 。

几何语言表示：垂径定理命题改写：已知：如图，求证：辨析定理的应用条件：下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?垂径定理三角形：3.例2 赵州桥主桥拱的半径计算（书82页）分析：将实际问题转化为数学问题，抽象出解决问题的图形，运用垂径定理和勾股定理解决问题。

四、巩固练习参见书83页练习，在草稿本上独立完成。

五、课堂小结 今天你学会了什么？ 六、强化训练1.如图，弓形的弦长为6cm ，弓形的高为2cm ，则这弓形所在的圆的半径为________． 2． 已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 平行于弦CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB ，CD 之间的距离为________． 3． 已知如图，P 为⊙O 内一点，且OP ＝2cm ，如果⊙O 的半径是3cm ，，那么过P 点的最短的弦等于____________ 4.已知如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=20cm ， ，求 的面积。

5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点． 求证：AC ＝BD ．6.如图，已知AB,CD 是⊙O 的两条弦， 于E ， 于F ， 。

求证：7、如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆交于点D 、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm 。

24.1.2垂直于弦的直径路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》江南学校李友峰——垂径定理及其推论一、新课导入1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题)2.学习目标：(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.3.学习重、难点：重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.难点：利用垂径定理进行计算或证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.(2)自学时间：2分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.a. 通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有无数条对称轴.b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？a. 要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.b. 怎样证明两点关于已知直线对称？两点的连线被已知直线垂直平分.c. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于点C,D的任意一点，过A作AA′⊥CD，垂足为M.交⊙O于点A′，下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.如图，连接OA,OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′，∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD,∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.∴点A′、A关于直径所在的直线对称即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.2.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.②差异指导：指导学生探究证明思路.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.(2)要证某图形是轴对称图形，只需证明该图上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.1.自学指导：(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①垂径定理：b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.②垂径定理的推论：b. 反例：当弦AA′为直径时，结论还成立吗？为什么？不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.c. 限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.2.自学：学生可结合自学导相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.4.强化:(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两条弧.(1)自学内容教材第83页“练习”第1题.(2)自学时间：4分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①线段E满足垂径定理的题设条件：条件1：AB是弦；条件2：OE⊥AB.②依据垂径定理得， AE=12AB=BE.③要求⊙O的半径，只需连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理，就可求得⊙O的半径为5.④给出你的解答过程：2.自学:同学们可结合自学指导进自学.3.助学:1)师助生：①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.4.强化:(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.(2)设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量(3)练习：如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为错误!未找到引用源。

《圆》第一节垂直于弦的直径导教案主编人：主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技术】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其余结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些相关证明、计算和作图问题3认识拱高、弦心距等观点【过程与方法】经历研究发现圆的对称性，证明垂径定理及其余结论的过程，锻炼思想质量，学习证明的方法【感情、态度与价值观】在学生经过察看、操作、变换、研究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培育学生的新意识，优秀的运用数学【要点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程 :一、自主学习（一）复习稳固判断：1、直径是弦，弦是直径。

（）2、半圆是弧，弧是半圆。

（）3、周长相等的两个圆是等圆。

（）4、长度相等的两条弧是等弧。

（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）6、在同圆中，优弧必定比劣弧长。

（）7、请在图上画出弦CD，直径 AB. 并说明 ___________________________ 叫做弦；_________________________________叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出观点及表示方法. 弧： ____半圆： _________________________优弧：________________ _表示方法：__劣弧： _______________________________,表示方法：______9、齐心圆 : ___________________ _等圆: ___________________________.10、同圆或等圆的半径_______. 等弧 : _______________________（二）自主研究请同学按下边要求达成下题：如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径CD，使 CD⊥ AB，垂足为M．（ 1）如图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？圆是对称图形，其对称轴是随意一条过的直线．（ 2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为何？C 相等的线段：A BM 相等的弧：O这样，我们就获得垂径定理：D垂直于的直径均分弦，并且均分弦所对的两条．表达式：下边我们用逻辑思想给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M求证： AM=BM ，弧 AC=BC，弧 AD=BD.剖析：要证 AM=BM ，只需证 AM 、 BM 组成的两个三角形全等．所以，只需连接OA、?OB 或 AC、 BC 即可．证明：如图，连接 OA、 OB，则 OA=OB在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中CA BM ∴ Rt△OAM≌ Rt△ OBM()O∴ AM=∴点和点∵⊙ O 对于 CD对称对于CD 对称D∴当圆沿着直线CD对折时，点A 与点 B 重合，弧AC与BC重合，AD 与CD重合．∴，，进一步，我们还能够获得结论：均分弦（）的直径垂直于，并且均分弦所对的两条．表达式：（三）、归纳总结：1．圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论．（四）自我试试：1、辨析题：以下各图，可否获得AE=BE的结论？为何？COO O OA EB A E B A E B A E BD D D2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？CEA BRD注：在半径r,弦 a，弦心距d,拱高 h 四个量中，随意知道此中的个量中，利用定理，就能够求出其余的量。

《24.1.2垂直于弦的直径》导学案课题垂直于弦的直径数学年级九年级上册知识目标1.掌握垂径定理及其推导过程。

2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。

重点难点重点：垂径定理及其运用难点：垂径定理及其运用教学过程知识链接什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？圆也是轴对称图形吗？怎样验证一个图形是轴对称图形，是否圆也具有轴对称的性质呢？今天这节课我们一起来探索相关知识，板书课题。

合作探究活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形。

有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？结论：AE=BE,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.试一试证明你的发现！已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．∴AE＝BE，你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理：（2）符号语言：∵AB是⊙O的又∵CDAB⊥∴DECE= = ； =_________我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：①直径过圆心③平分弦推出②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧证明这个结论。

（这个证明方法类似上面的证法，教师点评）形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论，最后教师归纳总结：垂径定理及推论小结：垂径定理的几个基本图形，教师展示ppt，垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。

《24.1.2垂直于弦的直径》导学案 NO : 35班级 ________ 姓名 _______ 小组 _______ 评价 _____一、 学习目标1、 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2、 运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算与作图的问题。

二、 自主学习1、用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？（想一想）由此你能得到什么结论？ b5E2RGbCAP圆是 _______ 图形，任何一条 ___________________ 都是圆的对称轴，圆有 _______ 条对称轴（读三遍）。

圆 的直径是圆的对称轴吗？ plEanqFDPw 2、阅读教材，总结垂径定理及其推论。

（1） 垂径定理：垂直于弦的直径 _______ 弦，并且平分 __________________ 。

（2） 推论：平分弦（不是直径）的直径 ______ 于弦，并且 ________ 弦所对的两条弧。

（以上读三遍），为什么这里的“弦不是直径”？ DXDiTa9E3d3、拓展：若一条直线满足下列五个条件中的任意两个，一定能得出其他三个吗？①经过圆心，②垂直于 弦（非直径），③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧（请与同学交流你的体会） 。

RTCrpUDGiT 4、自学检测（1） _______________________ 下列命题正确的是A 、弦的垂线平分弦所对的弧C 、过弦的中点的直线必过圆心（2） 如图1, AB 为O O 的直径，弦 A 、/ EOC= / EOD B 、CE=DE C OE=BE D 、BC = BD⑶如图2的O O 中，弦 AB 丄AC 于A , OD 丄AB 于D , OE 丄AC 于 E ,AB=8cm , AC=6cmo 则O O 的半径 OA 长 _____________A 、4cmB 、5cmC 、6cmD 、8cm ⑷点P 是O O 内一点，OP=3cm ,O O 的半径为 5cm ，则经过点________ 5PCzVD7HxA三、合作探究1、如图3,直线l 交以O 为圆心的两个同心圆于 A 、B C 、D 四点，求证：AC=BDbB 、平分弦的直径垂直于这条弦 D 、垂直于弦的直径平分这条弦 CD 丄AB ,垂足为E ,则下列结论不 A最长弦长 图3D C A3、已知O O 的半径为 13cm ，弦 AB//弦 CD, AB=10cm , CD=24cm,求 AB 与 CD 之间的距离。

《24．1.2 垂直于弦的直径》教案【教学目标】1．进一步认识圆是轴对称图形．2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题．3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．【教学过程】一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～618)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD ＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．探究点二：垂径定理的推论 【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5cm.方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型三】动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3≤OP≤5(单位：cm)．方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.《24．1．2 垂直于弦的直径》教案【教学目标】1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。

24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。

2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。

（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。

二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。

符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。

(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。

归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。

简“半径半弦弦心距”。

（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。

垂直于弦的直径-优秀教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的概念。

2. 让学生理解垂直于弦的直径的性质和重要性。

教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。

2. 解释垂直于弦的直径的性质和证明。

教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径。

2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的理解。

教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的理解。

第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的性质。

2. 让学生能够证明垂直于弦的直径的性质。

教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。

2. 解释垂直于弦的直径的性质的证明。

教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的性质。

2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的性质的理解。

教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的性质的理解。

第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的证明过程。

2. 让学生能够独立完成垂直于弦的直径的证明。

教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的证明方法。

2. 解释垂直于弦的直径的证明过程。

教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的证明过程。

2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的证明的理解。

教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的证明的理解。

第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径在几何中的应用。

2. 让学生能够运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径在几何中的应用。

2. 解释如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的应用。

2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的应用的理解。

教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的应用的理解。

《垂直于弦的直径》导学案主备人：艾小娟学习目标：1、理解圆的轴对称性、垂径定理及其应用；2、经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他推论的过程，学习证明的方法。

3、在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生良好的运用数学新意识，重点垂径定理及其推论难点垂径定理及其推论学习过程：一、自主学习（一）复习巩固・1、圆：把平面内到距离等于的点的集合称为圆；我们把称2.我们把连接圆上任意的称为弦，经过的弦称为直径；圆上的部分称为弧。

3.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是,有-条；对称中心是O4、请在图上画出弦CD,直径AB.并说明叫做弦；_________________________________________________________ 叫做直径.5、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：—半圆：优弧：表示方法：劣弧：,表小方法：6、同心圆：等圆：7、同圆或等圆的半径.等弧： ___________________________________________（-）自主探究按下面要求完成下题：如图，AB 是。

的一条弦，作直径CD,使CD1AB,垂足为M.通过探究，你发现：圆是（ ）对称图形，其对称轴是任意一条过（ ）的直线.（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段： ________________________________相等的弧：这样，我们就得到垂径定理：垂直于（ ）的直径平分弦，并且平分弦所对的两条（ ）・表达式： _______________________________________________________证明：巳知：直径CD 、弦AB 且CD1AB 垂足为M求证：AM=BM,弧 AC=BC,弧 AD=BD.写出证明过程：（画出图形）通过证明，得出：平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 ・表达式： _______________________________________________________（三） 、归纳总结：1. 圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴.2 .垂径定理 ______________________________________________________推论.（四） 自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？D o B2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37. 4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7. 2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？3、如图，两圆都以点0为圆心,求证AC 二二、课堂达标检测最长弦长为通过上题，我发现：在半径r,弦a,弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。

24.1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __． 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __． 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD.证明：作OE ⊥AB 于E.则CE ＝DE.∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE.即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是__53__cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE.∴AE －CE ＝BE －DE.即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE ⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB ∥CD ，则OF ⊥CD.(1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm .∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )．即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。

一、自主预习请按下面要求完成下题：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ①相等的线段： ， 相等的弧： ，②下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ，垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：2、已知CD 是直径，且平分弦AB ，能否得到CD ⊥AB ，且平分弧ADB 及弧AB 。

推论: 平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________． 几何语言表达式：二、合作探究在半径为50mm 的⊙O 中,弦AB 的长50mm 求∠AOB 的度数并计算点O 到AB 的距离.三、展示交流如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ， 圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径.科目 数学班级：学生姓名 课题 24.1.2垂直于弦的直径（1） 课 型新授课时 1主备教师备课组长签字学习目标： 1、经历探索圆的轴对称性及相关性质。

2、理解并应用垂径定理及推论进行相关的计算 学习重点 垂直于弦的直径的性质、推论及其应用学习难点对垂直于弦的的直径的性质、推论的说明过程的理解四、随堂检测 班级： 姓名：1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦（ ） ②平分弦的直径必垂直弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ） ④弦的垂直平分线是圆的直径（ ）⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（ ）⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（ ） 2、在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm, 求弦AB 的长（拔高练习题) 3、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30求弦CD 长？BA CE DO。

第二节 24.1.2 垂直于弦的直径【知识脉络】【学习目标】了解圆的轴对称性，会运用垂径定理的知识解决有关问题。

【要点检索】构成垂径定理的要素。

【方法导航】1、“有弦可作弦心距（垂径）”这是一条规律性辅助线，可使很多问题简单化。

如弦AB交同心圆于CD ，求证：AC=BD 。

2、“弦心距、弦的一半、半径”三个量合在一起可构成一个直角三角形，结合勾股定理可作求弓形高、弦长、半径等方面的计算。

【情境导入】 任意两个条件做题设，都可能得到其它三个条件的结论· Ａ ＢＣ Ｄ1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？【问题探究】1、实验发现：用纸剪一个圆（课前布置学生做好），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（1）①圆是轴对称图形吗？②如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？③你是用什么方法解决上述问题的?（２）①圆是中心对称图形吗？②如果是,它的对称中心是什么?③你又是用什么方法解决这个问题的?2、如图1,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥ AB,垂足为E.如图1(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.。

二、验证1、已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。

求证：2.推论的探究如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AM=BM，(AB不是直径)注意：。

【合作交流】例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。

求证：AC = BD例2 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【练习反馈】1.下列图形是否具备垂径定理的条件？2.判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心. ( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）3.如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径,则____, _______, _______.图一4. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )A. 3B. 6C. 9D. 105. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是( )A. ∠AOC=∠ BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN图二6．圆的半径为3,则弦长x的取值范围是_____.7.若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______8．如图1，在⊙O中, AB是弦, OC = OD。

24.1.2垂直于弦的直径学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.会用实验法猜测并验证垂直于弦的直径的性质.（难点）3.能灵活运用垂径定理解决有关的问题.（重点） 学习过程： 【自学与指导】（一）温故知新（限时1分钟） 如图：AB 是⊙O 的（ ）；弦AB 对着（ ）条弧，分别是（ ），CD 是⊙O 的（ ）；当CD 与弦AB 垂直时，有没有特殊的数量关系存在呢？ （二）操作探究1（限时3分钟） 要求：独立完成，你能行！把一个圆沿着它的任意一条直径对折，发现直径两侧的部分（ ），这说明圆是（ ）图形，它的对称轴是（ ），有（ ）条对称轴。

（三）操作探究2（限时18分钟）要求：先自主学习，然后小组讨论交流。

用圆形纸片先折出一条直径，再折出与已知直径垂直的一条弦，并标出如图的字母，观察：你能发现图中有哪些相等的量？（1）相等的线段有（ ）相等的弧有（ ） （2）我的猜测：如果（ ），那么（ ）。

（3）请在小组内交流证明你的猜想。

（4）归纳：垂径定理（试一试，你能行！） 文字表达：符号表达： 【展示与点拨】（限时15分钟）（一）火眼金睛（口答）在下列图形中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论？(a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E方法归纳：满足那些条件就能适用于垂径定理？（学师学友交流）（二）例题：已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，半径OC ⊥AB 于点E. （先独立思考，尝试解答，然后同桌交流，完善解答过程） （1）如果圆心O 到AB 的距离为3cm ，求：⊙O 的半径；（2）如果CE=2cm, 求⊙O 的半径．方法归纳：解决有关弦的问题，常作辅助（ ），构造直角三角形，应用垂径定理、勾股定理。

【训练与总结】（限时10分钟）（一）认真做，你一定行！（独立完成，小组互评）1.下列说法中，不正确的是（ ）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 2.已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，圆的半径长5 , AE=1，则CD= 3.如图，⊙O 的直径为26， 弦AB 长24,（1）求圆心O 到AB 的距离 .（2）P 为AB 上的一个动点，那么OP 的长不可能是（ ）A.7cm,B.6cm,C.5cm,D.4cm4.能力提升：（先独立解答，然后小组内交流，完善解答过程）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,求弦MN 和EF 之间的距离.（二）反思提升（先小组内交流，然后班内交流）1.你的收获：知识方面、探究数学定理的方法、解题方法、数学思想等.2.你的疑惑是：三、课后作业（温馨提示：先复习可帮你更好地完成作业哟！）1.必做题：教材85页练习1，89页第2、8题；2.选做题：教材91页第15题.B。