《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(基础)1

新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)本文是一份新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练重难点突破的精品文档，主要讲解了三角形的相关概念和性质。

研究目标包括：认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作图提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用；了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

重点梳理了三角形的相关概念和性质，其中包括三角形三边的关系，三角形按“边”分类，三角形的重要线段（包括高、中线、角平分线）等。

三角形三边关系的应用包括判断三条线段能否组成三角形，求已知两边长的第三边长的取值范围等。

同时，三角形还可以按边分类，分为不等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形。

三角形的重要线段包括高、中线和角平分线，它们的作用分别是作垂线、分割三角形、平分角度等。

此外，三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种，分别是锐角三角形交点在三角形内、直角三角形交点在直角顶点、钝角三角形交点在三角形外。

最后，本文还提到了多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念，以及多边形内角和及外角和的计算方法，帮助学生掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。

已知一个多边形的边数，可以求出它的内角和。

反之，已知一个多边形的内角和，可以求出它的边数。

多边形的外角和恒等于360°，与边数无关。

根据外角和公式，可以求出正多边形的边数，也可以根据正多边形的边数求出外角度数。

人教版数学八年级上册：第十一章《三角形》基础巩固练习一．选择题1．下列线段能组成三角形的是（）A．1，1，3 B．1，2，3 C．2，3，5 D．3，4，52．若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．在1、2、3、4、5这五个数中，任取三个数作为三角形的边，能围成几种不同的三角形（）A．1种B．2种C．3种D．4种4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（）①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③5．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5 B．3＜c＜8 C．2＜c＜8 D．2≤c≤86．如图，△ABC中，∠A＝80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（）A．80°B．120°C．100°D．150°7．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（）A．110 B．100 C．55 D．458．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．9．下列图形中具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．等腰三角形D．平行四边形10．如图，多边形ABCDEFG中，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠C＝∠D＝72°，则∠A+∠B的值为（）A．108°B．72°C．54°D．36°11．将四边形纸片ABCD按如图的方式折叠使C′P∥AB．若∠B＝120°，∠C＝90°，则∠CPR等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．当多边形的边数增加1时，它的内角和会（）A．增加160°B．增加180°C．增加270°D．增加360°二．填空题13．一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是．14．如图，△ABC中，∠A＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC＝度．15．图中是两个全等的正五边形，则∠α＝．16．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是形．三．解答题17．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．18．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O．（1）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（2）求证：∠BOC＝90°+∠A．19．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝80°，∠ACB ＝50°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠BPC 的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵BP 平分∠ABC （已知），∴∠PBC ＝∠ABC ＝×80°＝40°．同理可得∠PCB ＝ ．∵∠BPC +∠PBC +∠PCB ＝180° （ ），∴∠BPC ＝180°﹣∠PBC ﹣∠PCB （等式的性质）＝180°﹣40° ．＝ ．20．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，∠A ＝40°，则∠ABX +∠ACX ＝ °；②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝40°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数；③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC ＝133°，∠BG 1C ＝70°，求∠A 的度数．21．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．参考答案一．选择题1．解：A、∵1+1＜3，∴1，1，3不能组成三角形，故本选项错误；B、∵1+2＝3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项错误；C、∵2+3＝5，∴2，3，5不能组成三角形，故本选项错误；D、∵3+4＜5，∴3，4，5，能组成三角形，故本选项正确．故选：D．2．解：设三个内角度数为2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，则三个内角度数为40°、60°、80°，则这个三角形一定是锐角三角形，故选：A．3．解：可搭出不同的三角形为：①2、3、4；②2、4、5；③3、4、5共3个．故选：C．4．解：如图所示，①∵BE平分∠ABC，∴∠5＝∠6，∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，∴∠A＝∠4，∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，∠1＝∠2，故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，由（1）可知：∠A＝∠4，∴∠A＝∠5＝∠6，∵∠A+∠5+∠6＝180°，∴∠A＝30°，即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，∴∠A＝∠4，即∠A＝∠DCB，故③正确；④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，∴∠2+∠5＝90°，即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．故选：A．5．解：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，解得：2＜c＜8，故选：C．6．解：∵BE和CH为△ABC的高，∴∠BHC＝∠AEB＝90°，∵∠A＝80°，在△ABE中，∠ABE＝180°﹣90°﹣80°＝10°，在△BHO中，∠BOH＝180°﹣90°﹣10°＝80°，∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°．故选：C．7．解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，故选：B．8．解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：D．9．解：正方形，长方形，等腰三角形，平行四边形中只有等腰三角形具有稳定性．故选：C．10．解：连接CD，五边形CDEFG的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠CDE+∠DCG＝540°﹣（∠E+∠F+∠G）＝540°﹣108°×3＝216°，∴∠ADC+∠BCD＝∠CDE+∠DCG﹣（∠BCG+∠ADE）＝216°﹣72°×2＝72°，∴∠A+∠B＝∠ADC+∠BCD＝72°，故选：B．11．解：∵C′P∥AB，∴∠BPC′＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CPC′＝180°﹣∠BPC′＝120°，∴∠CPR＝＝60°．故选：C．12．解：设原多边形边数是n，则n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新多边形的内角和是（n+1﹣2）•180°．则（n+1﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°．故它的内角和增加180°．故选：B．二．填空题（共4小题）13．解：∵三角形的两边长分别为5、7，∴第三边a的取值范围是则2＜a＜12．故答案为：2＜a＜12．14．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝＝50°，根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝130°．∴∠BPC＝130°．15．解：∵图中是两个全等的正五边形，∴BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵图中是两个全等的正五边形，∴正五边形每个内角的度数是＝108°，∴∠BCD＝∠BDC＝180°﹣108°＝72°，∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠α＝360°﹣36°﹣108°﹣108°＝108°，故答案为：108°．16．解：设四边形的四个内角的度数分别为3x，5x，5x，7x，则3x+5x+5x+7x＝360°，解得x＝18°．则3x＝54°，5x＝90°，5x＝90°，7x＝126°．∴这个四边形的形状是直角梯形，故答案为直角梯形．三．解答题（共5小题）17．（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，∴∠B＝80°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．18．（1）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．19．解：：∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC＝∠ABC＝×80°＝40°．同理可得∠PCB＝25°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）＝180°﹣40°﹣25°．＝115°．故答案为：25°，三角形内角和定理，25°，115°．20．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，③∠BG1C＝70°，∵∠BG1∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．21．解：①连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；②利用①中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠2＝∠B+∠E，∵∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．③连接AP、AD、AG并延长，同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．故答案为：180°．。

第11章《三角形》基础巩固练习一．选择题1．下列四组长度的小木棒中，按首尾顺次连结能组成一个三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，12 D．4，8，42．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．94．内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．5．如图所示，△ABC中，BC边上的中线是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段AG6．小明同学把自己的一副三角板（两个直角三角形）按如图所示的位置将相等的边叠放在一起，则α的度数（）A．135°B．120°C．105°D．75°7．如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC＝（）A．116°B．128°C．138°D．142°8．一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB∥EF，则∠ADE的度数是（）A．105°B．75°C．60°D．45°9．王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为11cm和12cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把（）分为两截．A．11cm的木条B．12cm的木条C．两根都可以D．两根都不行10．将一副三角板按如图所示的方式放置，若∠EAC＝40°，则∠1的度数为（）A．95°B．85°C．105°D．80°11．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG＝∠A，则∠1与∠2的数量关系为（）A．∠2＝∠1 B．∠2＝3∠1 C．∠2﹣∠1＝90°D．∠1+∠2＝180°12．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二．填空题13．如图，四边形ABCD中，且∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，则∠1+∠2＝150°．则∠B+∠ADC＝．14．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝．15．对于一个三角形，设其三个内角的度数为x°，y°，z°，若x，y，z满足x2+y2＝z2我们定义这个三角形为美好三角形．已知△ABC为美好三角形，∠A＜∠B＜∠C，∠B＝60°，则∠A的度数为．16．若正多边形的一个内角的度数等干它外角度数的5倍，则这个正多边形的边数为．17．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．（1）若∠A＝52°，则∠1+∠2＝°；（2）如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，∠1，∠2与∠A的关系是．三．解答题18．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F．EG∥AB，交BC于点G．（1）∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？（2）若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．19．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，点D是BC边上的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处．（1）直接填空：∠ADE的大小是；（2）求∠BAE的大小．20．完成下面的证明：如图，在四个角都是直角的四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AD，BC上，BE 平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥FD．证明：∵四边形ABCD的四个角都是直角，∴∠ABC＝∠ADC＝°（直角定义）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC＝∠ABC＝×90°＝45°，（角平分线定义），∴∠EBC＝∠ADF．∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC（）．∴∠EBC＝∠DFC（等量代换），∴BE∥DF（）．21．如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F．（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF．（2）若∠ACB＝∠CDB＝m°（0°＜m＜180°），是否存在m，使得∠CEF小于∠CFE，若存在，请求出m的范围，若不存在，请说明理由．22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；B、4+5＞6，满足三边关系定理，故正确，符合题意；C、3+4＜12．不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；D、4+4＝8．不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．故选：B．2．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，∴2x°+3x°+5x°＝180°，解得x＝18°，∴5x°＝5×18°＝90°．∴此三角形是直角三角形．故选：C．3．解：根据三角形的三边关系得：8﹣5＜x＜8+5，解得：3＜x＜13，故第三边长不可能是3．故选：A．4．解：依题意有（n﹣2）•180°＝720°，解得n＝6．该多边形为六边形，故选：D．5．解：△ABC中，BC边上的中线是线段AE，故选：B．6．解：由题意得，∠A＝60°，∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴α＝45°+60°＝105°，故选：C．7．解：∵BD，CF是△ABC的两条，∴∠AFC＝ADB＝90°，∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，∴∠BEC＝90°+∠ACF＝90°+38°＝128°，故选：B．8．解：由三角板的特点得出∠DAB＝45°+30°＝75°，∵AB∥EF，∴∠DAB＝∠EDA＝75°．故选：B．9．解：∵三角形两边之和大于第三边，∴两根长度分别为11cm和12cm的细木条做一个三角形的框架，可以把12cm的细木条分为两截．故选：B．10．解：∴∠EAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣40°＝50°，∵∠C＝45°，∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+50°＝95°，故选：A．11．解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2+∠ABD＝180°，∵∠CDG＝∠A，∴DG∥AB，∴∠1＝∠ABD，∴∠1+∠2＝180°．故选：D．12．解：如图设DE交BD于F．∵DE⊥AC，∴∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠C＝50°，∴∠BFD＝∠CFE＝50°，∴∠ABC＝∠D+∠BFD＝20°+50°＝70°，故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：∵∠1+∠2＝150°，∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣150°＝210°，∵∠B+∠D+∠DAB+∠DCB＝360°，∴∠B+∠ADC＝360°﹣（∠DAB+∠DCB）＝150°，故答案为150°．14．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，∴∠BAP+∠2＝65°，∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．15．解：设∠A＝x°，∠C＝y°，由题意得，，解得，∴∠A＝45°．故答案为45°．16．解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+5x＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12．故答案为：十二．17．解：（1）∵∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝128°﹣90°＝38°，即∠1+∠2＝38°．故答案为：38；（2）∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠MPN＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．即∠2﹣∠1＝90°﹣∠A；故答案为：∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．三．解答题（共5小题）18．解：（1）∠1与∠2互余．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，∵BF、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴，，∵EG∥AB，∴∠2＝∠ABE，∴∠1+∠2＝，即∠1与∠2互余．（2）∵∠A＝100°，∠1＝42°，∴∠C＝80°，∠2＝48°，∴∠ABE＝∠CBE＝48°，∴∠BEC＝180°﹣48°﹣80°＝52°，∴∠CEG＝52°﹣48°＝4°．19．解：（1）∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处，∴∠ADE＝∠ADC＝180°＝90°，故答案为：90°；（2）由图形折叠的性质可得：∠AED＝∠C＝60°，∵∠AED＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝60°﹣40°＝20°．20．证明：∵四边形ABCD的四个角都是直角，∴∠ABC＝∠ADC＝90°（直角定义）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC＝∠ABC＝×90°＝45°，∠ADF＝∠ADC＝×90°＝45°，∴∠EBC＝∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC（两直线平行，内错角相等）．∴∠EBC＝∠DFC（等量代换），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行．21．解：（1）∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DCB，∠ACD＝90°﹣∠DCB，∴∠B＝∠ACD．∵AE平分∠CAB，∴∠CFE＝∠ACD+∠CAB，∠CEF＝∠B+∠CAB，∴∠CFE＝∠CEF；（2）存在．∵要使∠CEF小于∠CFE，则∠CEF﹣∠CFE＜0，∴180°﹣2m＜0，解得m＞90°，∴当90°＜m＜180°时，∠CEF的值小于∠CFE．22．解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠2+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．。

解三角形全章复习与巩固【巩固练习】 一、选择题1．已知△ABC 中，a =b =B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 2．△ABC 中，已知(a+c)(a-c)＝b 2+bc ，则角A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 3.在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．(2016 海南校级二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝3π，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．239 C ．233 D ．335． 在ABC ∆中，60A ∠=o ，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且)cos cos c A a C -=g g ，则cosA 的值等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．67．在△ABC 中，若(cos )sin (cos )sin a a B B b c C A -=-，则这个三角形是( ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. （2016 荆州校级一模）在ABC ∆中，AB =2，AC =3，060BAC ∠=，D 为BC 边上的点且2BD =DC ,则|AD | =（ ）二、填空题9． (2015 安徽高考文)在△ABC 中，6=AB ，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 。

10. 已知ABC ∆得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.11. 在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于_________， AC 的取值范围为 _________12. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>三、解答题13．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7, (Ⅰ)求cos ∠CAD 的值； (Ⅱ)若cos ∠BAD ＝－147，sin ∠CBA ＝621，求BC 的长.14. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(33)++海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？15. (2016 衡水一模)在ABC ∆ 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos (2)0a C b c --= (1)求角A ；（2）若sin 2sin C B =，且3a =，求边,b c 。

【巩固练习】一.选择题1. 下列说法中不正确的是（ ）．A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称 △C.若 ABC ≌ △A 1B 1C 1 ,则这两个三角形一定关于一条直线对称 D.直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，若 P 点使 PA ＝PB ，则点 P 在 MN 上，若 P 1A ≠P 1B ，则 P 1 不在 MN 上2. 下列语句中，属于命题的是（ ）．A.直线 AB 和 CD 垂直吗B.过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线C.同旁内角不互补，两直线不平行D.连结 A ，B 两点 3．（2016•新疆）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF ，AB=DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A=∠DB ．BC=EFC ．∠ACB=∠FD ．AC=DF 4. 在下列结论中, 正确的是( ) ．A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等 5. 图中的尺规作图是作（ ）．A. 线段的垂直平分线B. 一条线段等于已知线段C. 一个角等于已知角D. 角的平分线 6．如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（）．A. AB 垂直平分 CDB. CD 垂直平分 ABC. AB 与 CD 互相垂直平分D. CD 平分∠ACB7. 如图，△ABC 中∠ACB ＝90°,CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的角平分线 AF 交 CD 于 △E ，则CEF 必为（ ）． A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形8．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（1）DA平分∠EDF；（△2）EBD≌FCD；（△3）AED≌AFD；（△4）AD垂直BC．（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题9．“直角三角形两个锐角互余”的逆命题是：如果_________，那么_________．10.△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．13.如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________．14．（2016秋•扬中市月考）如图，AC⊥AB，AC⊥△C D，要使得ABC≌△CDA．（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件．15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．三.解答题17.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．19.（1）如图△1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+=2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．20．已知：如图，△ABC中，∠ACB=45︒，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF 并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．求证：（△1）ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.2.【答案】C；【解析】根据命题的定义作出判断.3.【答案】D；【解析】∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．4.【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5.【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6.【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7.【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8.【答案】D；【解析】解：（1）如图，∵AB=AC，BE=CF，∴AE=AF．又∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，∴在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS），∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴△ABD≌△ACD．又由（△1）知，AED≌△AFD，∴EBD≌FCD．故（△2）正确；（3）由（△1）知，AED≌AFD．故（△3）正确；（△4）∵如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，即AD垂直BC．故（4）正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D．二.填空题9.【答案】一个三角形的两个锐角互余；这个三角形是直角三角形；【解析】本题主要考查了互逆命题的知识，根据概念即可得出答案.10．【答案】①②③；11.【答案】6；【解析】∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=612.【答案】60°或120°；【解析】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．13.【答案】1ab；21【解析】由三角形全等知D点到AB的距离等于CD＝b，所以△ADB的面积为ab.2 14.【答案】AB=CD；AD=BC【解析】（1）若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；△ABC≌△CDA（SAS）；（2）若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；△R t ABC≌△R t CDA（HL）．15.【答案】45°；【解析】△R t BDH≌△R t ADC，BD＝AD.16.【答案】10；【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB至E，使BE＝BP，连接EP∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°∴∠E＝∠BPE＝802＝40°∵AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝40°，∠BAP＝∠CAP∴BQ＝QC（等角对等边）在△AEP与△ACP中，⎨∠E=∠C⎪A P=AP⎧∠EAP=∠CAP⎪⎩∴△AEP≌△ACP（AAS）∴AE＝AC∴AB＋BE＝AQ＋QC，即AB＋BP＝AQ＋BQ.18.【解析】解：19.【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE=DF，AE=AF；（2）解：AM+AN=2AF；证明如下：由（1）得DE=DF，∵∠MDN=∠EDF，∴∠MDE=∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME=NF，∴AM+AN=（AE+ME）+（AF﹣NF）=AE+AF=2AF；（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∴∠CAD=∠ADN，∴AN=DN，在Rt△CDN中，DN=2CN，∵AC=6，∴DN=AN=×6=4，∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，∴∠CDE=∠MDN，∴DM=DN=4，∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．20．【解析】证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.∵∠ACB=45︒，∴∠ACB=∠DAC=45︒∴AD＝CD∵∠BAD=∠FCD，∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴BD＝FD.∵∠FDB＝90°，∴∠FBD=∠BFD=45︒.∵∠ACB=45︒，∴∠BEC=90︒.∴BE⊥AC．AEFB D C。

【巩固练习】 一、选择题1．已知△ABC 中，a =b =B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 2．△ABC 中，已知(a+c )(a -c )＝b 2+bc ，则角A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3.在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝3π，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．239 C ．233 D ．335． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且)cos cos c A a C -=，则cosA 的值等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．67．在△ABC 中，若(cos )sin (cos )sin a a B B b c C A -=-，则这个三角形是( ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8. 在ABC ∆中，AB =2，AC =3，060BAC ∠=，D 为BC 边上的点且2BD =DC ,则|AD | =（ ）二、填空题9．在△ABC 中，6=AB ，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 。

10. 已知ABC ∆得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.11. 在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于_________， AC 的取值范围为 _________12. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是_____①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>三、解答题13．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7, (Ⅰ)求cos ∠CAD 的值； (Ⅱ)若cos ∠BAD ＝－147，sin ∠CBA ＝621，求BC 的长.14. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(33)++海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？15. 在ABC ∆ 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos (2)0a C b c --= (1)求角A ；（2）若sin 2sin C B =，且3a =，求边,b c 。

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

全等三角形全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52. 在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B或∠C3. 如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）组．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC 中，∠BAC ＝90° AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C ，∠DAE 的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则的面积为____．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．如图，已知AB⊥BD,AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；若添加条件AC＝EC，则可以用_______公理（或定理）判定全等.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）20. 已知如图所示，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；2. 【答案】A；【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°.3. 【答案】C；【解析】∠EAF＝∠BAC，∠EAC＝∠EAF－∠CAF＝∠BAC－∠CAF＝∠BAF.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】D；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6. 【答案】C ；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7. 【答案】A ；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.8. 【答案】D ；【解析】由题意可得∠B ＝∠DAC ＝60°，∠C ＝30°，所以∠DAE ＝60°－45°＝15°.二.填空题9. 【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】8；【解析】1162BD h =g ，h ＝4，1482AE ⨯=. 12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21； 【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14.【答案】BC ＝DC ，HL ；15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC ＝AC ＝AE ，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△AED ． （AAS ）∴AC ＝AD ．∴∠ACD ＝∠ADC ．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB ＋∠1＝∠CAB ＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF （AAS ）∴AC ＝AD.19.【解析】证明：（1）AC ⊥CE ．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△CDE （SAS ）．∴ ∠ACB ＝∠E ．又∵ ∠E ＋∠ECD ＝90°，∴ ∠ACB ＋∠ECD ＝90°．∴ AC ⊥CE ．（2）∵ △ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC ＝DE ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，∴ 也一直有△ABC ≌△C DE '(SAS)．∴ ∠ACB ＝∠E ．而∠E ＋∠EC D '＝90°，∴ ∠ACB ＋∠EC D '＝90°．故有AC ⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．20.【解析】证明：如图所示，过点P 作PE ⊥AO ，PF ⊥OB ，垂足分别为E 、F ．∵∠2＋∠1＝180°，又∵∠2＋∠PBO ＝180°，∴∠1＝∠PBO．在△AEP和△BFP中，∴△AEP≌△BFP（AAS）．∴PE＝PF（全等三角形对应边相等）．∴OP平分∠AOB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．。

《解直角三角形》全章复习与巩固（基础） 巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．62．（2019•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.12B.2C. 2D. 55．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12B ．2CD 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )． A ．5cos α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图12．（2019•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 16．已知直角三角形的两条边分别是6、8，则斜边上中线的长为______________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝8，∠B ＝60°，BC ＝12，连接AC ．(1)求tan ∠ACB 的值；(2)若M 、N 分别是AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．19．如图所示，点E 、C 在BF 上，BE ＝FC ，∠ABC ＝∠DEF ＝45°，∠A ＝∠D ＝90°．(1)求证：AB ＝DE ；(2)若AC 交DE 于M ，且AB ，ME ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转，使点E 旋转到AB 上的G 处，求旋转角∠ECG 的度数．20.（2019•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由． （≈1.73）【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan ACB BC=知tan 32AC BC B ===． 2．【答案】A ；【解析】如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥CB 于D ，依题意得CD ：AD=1：=：3， 而tan∠DAC=CD：AD ， ∴tan∠DAC=：3， ∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt△ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==． 4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin 2B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos 2A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2；【解析】原式＝3|21422--++=-=+ 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】135；【解析】∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，∴∠ADB=30°， 在Rt△ABD 中，tan30°=， 解得，=，∴AD=45，∵在一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°， ∴在Rt△ACD 中，CD=AD•tan60°=45×=135米．13．；【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60，-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b = 15．【答案】45； 【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴84sin 105BC A AB ===． 16．【答案】5或4；【解析】①若6、8作为直角三角形的两条直角边，则斜边为10，斜边的中线为5；②若8作为直角三角形的斜边，则斜边中线为4.三、解答题 17.【解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA AD ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝82AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4． ∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME ．∴CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5， ∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，tan30°=， ∴=，解得DB==5×1.73≈8.65， ∵BM=7+5=12，BD≈8.65， ∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m 的建筑物无需拆除．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．若a+b=3，，则ab 等于（ ） A.2B.1C.﹣2D.﹣12．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）A.29B.13 C.49 D.59 3．若反比例函数3k y x+=的图像经过点()3,2-，则k 的值为（ ）A.9-B.3C.6-D.94．下列命题是真命题的是（ ） A ．一元二次方程一定有两个实数根 B ．对于反比例函数y ＝2x，y 随x 的增大而减小 C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．已知函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么能正确反映函数y ＝ax+b 图象的只可能是( )A. B. C. D.6．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是 A ．–999×（52+49）=–999×101=–100899 B ．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900 C ．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898 D ．–999×（52+49–99）=–999×2=–19987．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产x 个足球，根据题意可列方程为（ ） A ．12004800(120%)x ++＝21 B ．120048001200(120%)x x-++＝21 C ．12004800120020%x x-+＝21D ．480048001200(120%)x x-++＝21 8．如图是某款篮球架的示意图，已知底座BC ＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，（ ）A ．3.04B ．3.05C ．3.06D ．4.409．下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．两边及其一角相等的两个三角形全等C 3D ．数据4，0，4，6，6的方差是4.810．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，连结BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么∠BAC 度数是（ ）A ．32°B ．35°C ．36°D ．40°12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若P(﹣1，1)，Q(2，3)，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS+SQ ＝5或PT+TQ ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为A(3，1)，B(5，﹣3)，C(﹣1，﹣5)，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为( )A ．(1，﹣2)B ．(2，﹣1)C ．(12，﹣1) D ．(3.0)二、填空题13．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝6，那么EF 的值是_____．14．化简﹣（﹣12）的结果是_____． 15．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．16．3(2)-=______.17．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于 ．18．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为_____元；如果某户的燃气使用量是x 立方米(x 超过11)，那么燃气费用y 与x 的函数关系式是______． 三、解答题19．如图，P 点是某海域内的一座灯塔，船A 停泊在灯塔的南偏东53°方向的50海里处，船B 位于船A 的正西方向且与灯塔P 相距20√3海里．求两船的距离．（参考数据：sin 530.8,cos530.6,tan 53 1.732︒︒︒==≈≈≈，）（结果保留整数）20．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，AC 是∠BAD 的角平分线． （1）求证：△ABC ≌△ADC ．（2）若∠BCD ＝60°，AC=BC ，求∠ADB 的度数．21．先化简，再求值： 2226911a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，请你选取一个使原分式有意义的a 的值代入求值. 22．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是________ ；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为________，m的值为________（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．23．数学实践课小明利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为18米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．(结果保留根号)（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变（用图（2）解答）①求树与地面成45°角时的影长；②求树的最大影长．24．如图直线y1=-x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点（1）求k的值；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为BD的中点.（1）求证：∠ACD=∠DEC ；（2）延长DE 、CB 交于点P ，若PB=BO ，DE=2，求PE 的长【参考答案】***一、选择题二、填空题13．314．1215．8016．﹣817．40°．18．y ＝2.4x ﹣4.4三、解答题19．23【解析】【分析】过P 作PC ⊥AB 交AB 于C ，根据三角函数的定义即可得到结论，根据三角函数的定义得到AC ＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，12BC PB ==于是得到结论． 【详解】解：过P 作PC ⊥AB 交AB 于C ，在Rt △APC 中，∠C ＝90°，∠APC ＝53°，AP ＝50海里，∴PC ＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt △PBC 中，∵30PB PC ==，∴cos ∠BPC ＝2PC PB = ∴∠BPC ＝30°，∵AC ＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，12BC PB ==∴AB ＝AC ﹣BC ＝(40-海里，答：两船相距(40-海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．20．（1）详见解析；（2）∠ADB ＝15°．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC ，从而利用SAS ，可判定全等．（2）根据△ABC ≌△ADC ．可知BC=DC ，∠ACB ＝∠ACD ＝30°，已知∠BCD ＝60°，故△BCD 是等边三角形．即∠CBD ＝60°，在△ABC 中AC=BC ，∠ACB ＝30°，可得∠CDA ＝75°，进而求得∠ADB ＝15°．【详解】解（1）∵AC 是∠BAD 的角平分线．∴∠BAC=∠DAC ，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ．（2）∵△ABC ≌△ADC ．∴BC=DC ，∠ACB ＝∠ACD ＝30°，∵∠BCD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴∠CBD ＝60°，∵AC=BC ，∴∠CDA ＝75°，∴∠ADB ＝15°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，注意熟练掌握全等三角形的判定和性质.21．-2【解析】【分析】先将分式化简，再选择适当的a 值代入求值即可.【详解】2226911a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭, =212(1)()11(3)a a a a a a ---⨯---, =23(1)1(3)a a a a a --⨯--， =3a a -， 当a=2时，原式=223-=-2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（1）120；（2）补图见解析；（3）30°，25；（4）500人【解析】【分析】（1）利用了解很少为60人，了解很少所占百分比为50%，用60÷50%计算即得.（2）不了解人数=总人数-了解很少人数-基本了解人数-了解人数，计算出结果后进行补图即可.（3）直接用360°乘以“了解”所占百分比即得.（4）直接用3600乘以 “不了解”的人数所占百分比即得.【详解】解：（1）60÷50%=120（人）.故答案为：120.（2）不了解人数：120-60-30-10=20（人），据此补充折线统计图.（3）“了解”所对应扇形的圆心角的度数 360×10120=30°， m%=30120 =25%， ∴m=25.故答案为：30° ；25。

专题11.16 《三角形》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题知识点一、三角形的三边关系1．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（）A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，83．如图，∠ABC＝90°，BD∠AC，下列关系式中不一定成立的是（）A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD知识点二、三角形中重要线段4．下列尺规作图，能判断AD是ABC的BC边上的高是（）A．B．C．D．5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则∠ABC的重心是（）．A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G6．下列说法正确的个数有（ ）∠三角形的高、中线、角平分线都是线段；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；∠三角形的三条高都在三角形内部；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三、与三角形有关的角7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，90C EDF ∠=∠=︒ ，45E ∠=︒， 60B ∠=︒ ，点D 在边BC 上，边DE ，AB 交于点G ．若 //EF AB ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．105︒B ．100︒C ．95︒D ．75C ︒8．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∠CF ，则∠BEF 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°∠的度数是（）9．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中αA．15°B．30°C．65°D．75°知识点四、三角形的稳定性10．如图所示，具有稳定性的有（）A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3）D．（1），（2），（3）11．如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性D．两直线平行，同位角相等12．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根知识点五、多边形内角和及外角和公式13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720︒，则此多边形是（）边形．A．6B．7C．8D．914．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．30°B．45°C．60°D．72°15．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形知识点六、多边形对角线公式的运用16．下列说法正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．连接两点的线段叫两点间的距离C．两点之间，直线最短D．七边形的对角线一共有14条17．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（）场比赛．A．30B．45C．105D．21018．八边形从一个顶点引出的对角线的条数为（）A．4条B．5条C．6条D．7条知识点七、镶嵌问题19．下列四组多边形∠正三角形与正方形∠正三角形与正十二边形∠正方形与正六边形∠正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠20．小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．21．下列正多边形不能实施平面镶嵌的是（）．A．正方形B．正五边形C．正六边形D．等边三角形二、填空题知识点一、三角形的三边关系22．已知三角形ABC，且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是________．23．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．24．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a b c b c a c a b --+--+-+=______． 知识点二、三角形中重要线段25．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为__cm ，BCD ∆的面积=__2cm ．26．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么BAD ∠=∠__12=∠__． （2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =__=__BC ．27．如图，在∠ABC 中，点D ，点E 分别是BC ，AB 的中点，若∠AED 的面积为1，则∠ABC 的面积为_____．知识点三、与三角形有关的角28．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF //BC 时，∠EGB 的度数是___．29．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝68°，则∠1=_____°．30．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，若18A ∠=︒，则1∠=__________．知识点四、三角形的稳定性31．下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∠一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．32．如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有____．33．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉_____根木条．知识点五、多边形内角和及外角和公式34．若一个多边形的内角和是其外角的和1.5倍，则这个多边形的边数是________． 35．五边形的内角和是_______度，外角和是________度．36．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE 的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．知识点六、多边形对角线公式的运用37．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__．38．八边形中过其中一个顶点有__条对角线．39．若一个多边形的内角和为900︒，则从该多边形一个顶点出发引的对角线条数是______．知识点七、镶嵌问题40．用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有_________种．41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）∠正三角形；∠正方形；∠正六边形；∠正八边形42．下列正多边形中能单独镶嵌平面的是________．（填写序号）∠正三角形；∠正方形；∠正五边形；∠正六边形．三、解答题知识点一、三角形的三边关系43．如图所示，（1）图中有几个三角形？∆的边和角．（2）说出CDE∠是哪些三角形的角？（3）AD是哪些三角形的边？C知识点二、三角形中重要线段44．已知a b c ，，满足()2240a c -+-=．（1）求a b c ，，的值．（2）以a b c ，，为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．知识点三、与三角形有关的角45．如图，已知BD //AC ，CE //BA ，且D 、A 、E 在同一条直线上，设∠BAC ＝x ，∠D +∠E ＝y ．（1）试用x 的一次式表示y ；（2）当x ＝90°，且∠D ＝2∠E 时，DB 与EC 具有怎样的位置关系？知识点四、三角形的稳定性46．凸六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个．知识点五、多边形内角和及外角和公式47．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720︒，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高，AD 与CE 相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．知识点六、多边形对角线公式的运用48．观察下面图形，并回答问题．()1四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线．()2根据()1中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．参考答案1．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，∠三角形的第三边x 满足：70303070x -<<+，即40100x <<，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．2．C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∠3+5＞7，∠能构成三角形，不符合题意；∠4+5＞8，∠能构成三角形，不符合题意；∠7+5=12，∠不能构成三角形，符合题意；∠8+7＞13，∠能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准． 3．D【分析】根据直角三角形斜边大于直角边判断A 、B 、D 选项，根据三角形的三边关系判断C 选项．【详解】解：∠BD ∠AC ，∠∠ADB＝90°，∠AB＞AD，∠∠ABC＝90°，∠AC＞BC，∠BD+CD＞BC，∠选项A，B，C正确；∠∠BDC＝90°，∠CD不一定大于BD，∠选项D不一定成立，故选：D．【点睛】此题考查直角三角形斜边大于直角边的性质，三角形的两边和大于第三边的性质，熟记性质并熟练运用是解题的关键．4．B【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．5．A【分析】结合题意，根据三角形重心的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意可知，直线CD经过∠ABC的AB边上的中线，直线AD经过∠ABC的BC边上的中线∠点D是∠ABC重心．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、中线的性质，从而完成求解．6．C【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：∠三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；∠钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．7．A【分析】根据EF AB ∥，可得45BGD E ，再根据外角的性质，利用 CDE B BGD 可求得结果．【详解】解：EF AB ∥，45BGD E ∠=∠=︒．又CDE ∠是BDG ∆的外角，60B ∠=︒=6045105CDE B BGD ，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．B【分析】根据一副直角三角锐角大小一定，根据平行线的性质内错角相等，可得∠DEF = ∠EFB = 45°，再由三角形外角的性质，即可求出∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 15°．【详解】解：∠DE ∠CF ，∠DEF = 45°，∠∠DEF = ∠EFB = 45°，∠∠ABC = 60°，∠∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 60°-45°= 15°故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形一个外角与其不相邻两个内角的性质． 9．D【分析】根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，∠ABC ∆和DEF ∆都是直角三角形，且30,45B E ∠=︒∠=︒∠45,60EFD ACB ∠=︒∠=︒∠++180EFD ACB FAC ∠∠∠=︒∠180456075FAC ∠=︒-︒-︒=︒，即75α=︒故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解答此题的关键．10．C【分析】根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．11．A【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：这样做的数学原理是三角形的稳定性．故选：A．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．B【分析】三角形具有稳定性，钉上木条后，使五边形变为三角形的组合即可解题．【详解】AC CE，使五边形变为三个三角形，解：如图，钉上木条,根据三角形具有稳定性，可知这样的五边形不变形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【详解】解：∠一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∠这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．14．B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180°×（n-2）=1080°，解得：n=8，∠这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．15．D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．16．D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．17．C【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛12m（m-1）．【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：12×15×（15-1）=105．故选：C．【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．18．B【分析】由八边形八个顶点即可知从一个定点能引出的对角线条数．∠八边形八个顶点，每个顶点除了本身和相邻点不能作对角线，∠可引出8-3=5条对角线，故选：B．【点睛】此题考查多边形的对角线，可由对角线定义：由某一顶点向其他顶点引出的线段，得出结论．19．B【分析】根据围绕一点的各个角的和为360°进行一一判断即可．【详解】解:∠正三角形与正方形,正三角形每个内角60°,正方形每个内角90°,3×60°+2×90°=360°, 能铺满地面；∠正三角形与正十二边形, 正三角形每个内角60°,正十二边形每个内角150°,1×60°+2×150°=360°, 能铺满地面；∠正方形与正六边形, 正方形每个内角90°,正六边形每个内角120°,k×90°+n×120°=360°，k，n不是整数，不能铺满地面；∠正八边形与正方形，正八边角形每个内角135°,正方形每个内角90°,2×135°+1×90°=360°, 能铺满地面，其中能铺满地面的是∠∠∠．故选择：B．【点睛】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为360°是解题关键．20．B【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【详解】正八边形的每个内角为()821808-⨯︒=135°，A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．21．B【分析】先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得．【详解】A、正方形的每个内角的度数为90︒，且490360⨯︒=︒，∴正方形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；B、正五边形的每个内角的度数为()180521085︒⨯-=︒，且360101083︒=︒不是整数，∴正五边形不能实施平面镶嵌，则此项符合题意；C、正六边形的每个内角的度数为()180621206︒⨯-=︒，且3120360⨯︒=︒，∴正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；D、等边三角形的每个内角的度数为60︒，且660360⨯︒=︒，∴等边三角形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题关键．22．1＜x＜5【分析】直接根据三角形三边的关系进行求解即可；【详解】根据三角形三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，∠AB=3，BC=2∠1＜x＜5，故答案为：1＜x ＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．23．6 11 6【分析】先分析出共有四种情况，再根据三角形三边关系即可求解【详解】解：每三根组合，有5cm ，6cm ，11cm ；5cm ，6cm ，16cm ；11cm ，16cm ，5cm ；11cm ，6cm ，16cm 四种情况．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得其中只有11，6，16能组成三角形．故答案为：6,11,6【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系并根据题意分出四种情况是解题关键．24．3c b a +-【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【详解】解：∠∠ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，∠必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，∠0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∠a b c b c a c a b --+--+-+=()()()a b c b c a c a b ------+-+=++++a b c b c a c a b --+-+=3c b a +-故答案为：3c b a +-．【点睛】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．25．4 3【分析】根据三角形的高线的定义知BC 是边AC 上的高线．由三角形中线的定义知AD ＝BD ，则∠ACD 与∠BCD 的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．【详解】如图，90ACB ∠=︒，4BC cm =，BC ∴是AC 边上的高，即AC 边上的高为4cm ，又CD 是AB 边的中线，BD AD ∴=，21111343()2224BCD ABC S S AC BC cm ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯=． 故答案是：4；3．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求∠BCD 的面积的．26．CAD BAC CE12 【分析】（1）根据角平分线定义即可求解；（2）根据中点定义即可求解．【详解】解：（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么12BAD CAD BAC ∠=∠=∠． 故答案为：CAD ，BAC ；（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么12BE CE BC ==． 故答案为：CE ，12． 【点睛】本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键． 27．4【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∠点E 是AB 的中点，∠AED 的面积为1，∠∠ABD 的面积=∠AED 的面积×2=2，∠点D是BC的中点，∠∠ABC的面积=∠ABD的面积×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．28．105°【分析】过点G作HG∠BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为∠DEF和∠ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【详解】解：过点G作HG∠BC，∠EF∠BC，∠GH∠BC∠EF，∠∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在Rt∠DEF和Rt∠ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∠∠E＝60°，∠B＝45°，∠∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∠∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度数是105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．29．22【分析】如图，延长HE，交BC于点G，求出∠2=∠HGF=68°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．解：如图，延长HE ，交BC 于点G ，∠AD ∠BC ，∠∠2=∠HGF =68°，由题意得∠FEH =∠FEG =90°，∠∠1=90°-∠EGF =90°-68°=22°．故答案为：22【点睛】本题考查了平行线的性质与直角三角形的两锐角互余，根据题意添加辅助线是解题关键．30．36︒【分析】利用折叠性质得到18DA A A ∠'=∠=︒，然后根据三角形外角性质求解．【详解】 解：纸片ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，18DA A A ∴∠'=∠=︒，136DA A A ∴∠=∠'+∠=︒．故答案为36︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180︒．也考查了折叠的性质． 31．三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．【分析】根据三角形的性质进行解答即可．【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．33．2．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】如图，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形．34．5【分析】根据多边形的内角和与外角和即可求出答案．【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意可知：（n-2）•180°=1.5×360°，解得：n=5，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．35．540 360【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和多边形的外角和定理进行解答．【详解】解：（5-2）•180°=540°，所以五边形的内角和为540度，外角和为360度．故答案为：540，360．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．36．120°【分析】利用内角与外角的关系可得∠AED＝120°，然后再利用多边形内角和定理进行计算即可．【详解】解：∠∠DEF＝60°，∠∠AED＝120°，∠∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．37．6、5、4【分析】根据一个n边形对角线条数公式()32n n-共有n条对角线，列等式，求出边数，再利用分类将五边形截去一个角的情形求解即可．【详解】解：由这个n边形共有n条对角线，可得()32n nn-=，解得n＝5或0（不合题意，舍去），所以这个多边形是五边形，将一个五边形截去一个角，根据截法不同可以有三种情况如图，其结果分别是6、5、4条边，故答案为：6、5、4．【点睛】本题考查由对角线条数与边关，分类思想，数形结合思想截取一个角实质看边是否减少是解题关键．38．5【分析】根据对角线的意义求解．【详解】解：根据对角线的意义可知：一个八边形过一个顶点有8-2-1=5条对角线，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的对角线，熟练掌握多边形对角线的意义是解题关键．39．4【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．【详解】设这个多边形的边数为n，则（n-2）×180°=900°，解得，n=7，从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键．40．2【解析】试题分析：一个多边形能不能进行平面镶嵌，关键看同一个顶点处无缝且能组成一个周角，因为任意三角形的内角和是180°，所以放在同一顶点处6个即可；因为任意四边形的内角和是360°，所以放在同一顶点处4个即可；因为任意五边形的内角和是540°，不能整除360°，所以不能密铺；因为边长相等的六边形的内角和是720°，虽然能整除360°，但不一定能密铺；因为任意七边形的内角和是900°，不能整除360°，所以不能密铺．因此能进行平面镶嵌的几何图形有三角形和四边形2种．考点：平面镶嵌.41．∠【分析】分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；∠正方形的每个内角是90°，4个能密铺；∠正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；∠正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．故答案为：∠【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.42．∠∠∠【分析】根据正多边形的内角特点即可依次判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60，能整除360，能镶嵌平面；∠正方形的每个内角是90，4个能镶嵌平面；-÷=，不能整除360，不能镶嵌平面；∠正五边形每个内角是：1803605108。

《三角形》全章复习与巩固（培优篇）（含答案）一、单选题1.如图，ZkABC的面积为3（）C∏Λ AE=ED, BD=2DC,则图中四边形EDCF的面积等于（）A. 8.5B. 8C. 9.5D. 92.如图，41/,。

“平分/^位＞和/88,若/8 = 34。

，/0 = 42。

，则NΛ∕=（）A. 34oB. 38oC. 40oD. 42°3.已知MBC中，CD是A8边上的高，C£平分ZAC8.若NA =机。

，ZB = ∕ιo, m≠n,则NQCE的度数等于（）A. -m oB. -n oC. ，（〃?。

一〃。

）D. -∖m o-n o2 2 2v f2l4.如图，AD∕∕BC,N力=NA8C,点E是边力。

上一点，连接4E交5C的延长线于点儿点尸是边A8上一点，使得NFBE= ∕FEB,作NFE"的角平分线EG交5〃于点G.若N8EG=40。

，则NOE”的度数为（）A. 50oB. 75oC. 100oD. 125°5.如图，在第1个4A∕3C中，ZB=3（）o, A1B=CB,在边A/3上任取一点力，延长C4/到使A∕A2=A∕O,得到第2个△ A lΛ2D i在边4。

上任取一点E,延长4/2到4,使A2A3=A2E,得到第3个AA2λ3E,…按此做法继续下去,则第2021个三角形中以A2O2O为顶点的底角度数是（）7 .如图，在四边形A5CO 中，AD//BC,若ND45的角平分线A£交。

于E,连接8E,且8E 边平分NABC,得到如下结 论：(l)ZAEB=90o ；(2)I3C+AD=AB ；③BE=^CD ； ®BC=CE-⑤若 A8=x,则 BE 的取值范围为 0<3EVx,那么以 8 .如图，已知AB = AC,点。

、E 分别在AC 、A8上且ΛE = AD,连接EC, BD, EC 交BD 于点、M,连接AM,过点A 分别 作AE_LC£AG_L8O,垂足分别为F 、G,卜.列结论：①.EBM 咨&DCM ；②NEMB = NFAG ；③M4平分NEMD ；④如果 S.BEM =S,ADM ,则E 是的中点；其中正确结论的个数为（ ）9 .“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下:A. (!) 2020∙75oB.弓)2020∙65oC. (；) 2021 ∙75D. (!) 2021 ∙6506.如图所示，锐角^ABC 中，D, E 分别是AB, AC 边上的点，2∖ADC/ z √iOC, ∆AEB^ ^AEB ,, 且C'D∕∕EB f "BC, BE 、CD 交于点F,若NBAO40。

【巩固练习】一.选择题1. 如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°2.已知三角形两边长分别为 4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm3. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是 ( )A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 图中的尺规作图是作（）A.线段的垂直平分线B.一条线段等于已知线段C.一个角等于已知角D.角的平分线6．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB7. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8. 若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为 ( )A．40° B．80° C．60° D．120°二.填空题9．三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．10. △ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11. 如图，在△ABC中， ED垂直平分BC，EB=3．则CE长为．12. 若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为____ ____．13. 如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为______________ ．14．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 如图，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM ∥AB ，ON ∥AC ，BC ＝10cm ，则ΔOMN 的周长＝______cm ．三.解答题17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP ．18．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：在下面的△ABC 中，用尺规作出AB 边上的高（不写作法，保留作图痕迹）19. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．20．已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B；【解析】∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4＋∠C，∠2＝∠3＋∠C，即∠1＋∠2＝∠C＋∠C＋∠3＋∠4＝70°＋180°＝250°．2. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．3. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.4. 【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5. 【答案】A；【解析】根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线.6. 【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．故选A．7. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.8. 【答案】B；【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°.二.填空题9. 【答案】29cm；10．【答案】①②③；11. 【答案】3；【解析】∵ED 垂直平分BC ，∴可得△BED ≌△CED （SAS ）∴CE=BE=3.12. 【答案】100°，60°，20°．13.【答案】ab 21； 【解析】由三角形全等知D 点到AB 的距离等于CD ＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21. 14. 【答案】10°．15.【答案】45°；【解析】Rt △BDH ≌Rt △ADC ，BD ＝AD.16. 【答案】10；【解析】OM ＝BM ，ON ＝CN ，∴△OMN 的周长等于BC.三.解答题17．【解析】证明：延长AB 至E ，使BE ＝BP ，连接EP∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°， ∴∠ABC ＝80°∴∠E ＝∠BPE ＝802︒＝40°∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线， ∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP∴BQ ＝QC （等角对等边）在△AEP 与△ACP 中，EAP CAPE C AP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （AAS ）∴AE ＝AC∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.18.【解析】解：19. 【答案与解析】（1）∵DE 垂直平分AC ，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD 的度数是36°；（2）BC 长是5．20．【解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 90BEC ∠=︒.∴ BE⊥AC．。

3【巩固练习】、选择题1 .已知△ ABC 中，a =J2 , b =J3 , B = 60°,那么角 A 等于(22. △ ABC 中，已知(a+c)( a-c) = b +bc ，则角 A =(3.在^ ABC 中，若 sin 2A+sin 2Bv sin 2。

，则^ ABC 的形状是（C = n，贝y △ ABC 的面积是（3值等于（）C .逅 4D .逅67.在△ ABC 中，若(a-acosB)sin B = (b-ccosC)sin A .底角不等于45°的等腰三角形 B .锐角不等于45°的直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形|AD =(二、填空题8. (2016荆州校级一模）在 ^ABC 中， AB=2, AC=3, N BAC=6O 0, D 为 BC 边上的点且 2BD=DC 则A.2B.C. D.2/35 3A . 135B . 90°C . 45 30°A . 30B . 60C . 120 150°A .锐角三角形B .直角三角形 4. （2016 海南校级二模）在^ ABC 中，内角C .钝角三角形 A , B , C 所对的边分别是a , b ,D .不能确定C ,若 c 2= (a - b)2+ 6,C .3432D .3435.在MBC 中, N A =60,,a = ,b =3，则也ABC 解的情况（A.无解B.有一解C. 有两解D.不能确定6 .在△ ABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c , 且(73b -c) Lcos A =a JcosC ，贝U cosA 的A .砸 2A ，则这个三角形是⑤若(a 2+b 2)c 2cZaV ;则 C三、解答题13.如图，在平面四边形 ABCD 中，AD = 1, CD = 2, AC =U 7,14.如图，A , B 是海面上位于东西方向相距 5+(3 + J 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45°,B 点北偏西60。

《三角形》全章复习与巩固（基础）责编：康红梅【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理， 得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三【变式】（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）　A．11B．5C．2D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【答案】70°．【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD 证明：∠BAC＝∠EAD＝90° ∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE 即∠BAE＝∠CAD 又AB＝AC，AE＝AD， △ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA， 又∠COE＝∠AOD ∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90° 则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°， 所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA ）∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC+【答案与解析】证明：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 为中线，∴BD＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDEAD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS ）∴AC＝BE在△ABE 中，AB ＋BE ＞AE ，即AB ＋AC ＞2AD∴AD＜.()12AB AC +【总结升华】用倍长中线法可将线段AC ，2AD ，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长的取值范围是( )x A.1 ＜＜ 6 B.5 ＜＜ 7 C.2 ＜＜ 12 D.无法确定x x x 【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以选A 选项.2x 类型五、全等三角形判定的实际应用　7.如图，小叶和小丽两家分别位于A 、B 两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB 相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B 所在的河岸上取点C ，连结BC ，使CD=CB ，利用测角仪器使得∠B=∠D ，且A 、C 、E 三点在同一直线上，测量出DE 的长，就是AB 的长．在△ABC 和△ECD 中B D CD CBACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ECD （ASA ）∴AB=DE ．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 由已知易证△ABC ≌△ECD ，可得AB=DE ，所以测得DE 的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a 为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．【答案与解析】解：已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角．举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．。

数学是科学的大门和钥匙--培根
数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 《三角形》全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.
2. 理解并会应用三角形三边关系定理；
3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.
4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.
5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点二、三角形的分类
【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】
1.按角分类：。

直角三角形-----巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.150B.200C.225D.无法计算2. 已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形( )．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定3．三角形的三边长分别为 、、（都是正整数），则这个三角形是（ ）A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定4．（2015•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A．8米 B．10米 C．12米D．14米5．（2015春•天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二.填空题7．（2015春•东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是 ．cm 2cm 2cm 2cm1n n m +、、221m n =+22a b +2ab 22a b -a b、8. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝2，点E 在BC 上，且AE＝EC.若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点重合，则AC＝ .9. 已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为 时，这3条线段能组成一个直角三角形．10. 如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC 的面积为______．11. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三.解答题13. 已知在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 的长．cm 'Bcm cm cmcm14.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE 的长．15.（2015•秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点A 处是重庆市第九十四中学，AP=160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？16. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】面积和等于.2【答案】C；【解析】，满足勾股定理的逆定理.222225AC BC AB +==()()222221,211n m n n n n +=+++=+3.【答案】A；【解析】，满足勾股定理的逆定理.4. 【答案】B ；【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C 点作CE⊥AB 于E，则EBDC 是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC 中，AC==10（m），故小鸟至少飞行10m．故选：B．5. 【答案】C；【解析】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；B、绝对值相等的两个数相等，错误；C、同位角相等，两条直线平行，正确；D、相等的两个角都是45°，错误．故选C．6.【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二.填空题7.【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角；8.【答案】4；【解析】，又因为AE＝CE，所以为△AEC 的垂直平分线，AC＝2AB＝4.9.【答案】61【解析】60长的边可能是斜边，也可能是直角边.10.【答案】6；【解析】延长AD 到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE 为Rt△．11.【答案】6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD＝BD，△ABD 为等腰直角三角形.()2222222()2()a b ab a b -+=+90AB E ABE '∠=∠=︒BE 'cm cm三.解答题13.【解析】解：过D 点作DE⊥AB 于E，∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，易证△ACD≌△AED，∴AE＝AC，在Rt△ DBE 中，∵BD＝5 ，DE＝3，∴BE＝4在Rt△ACB 中，∠C＝90°设AE＝AC＝，则AB＝∵∴解得，∴AC＝6.14．【解析】解：设BE＝，则DE＝BE＝，AE＝AD－DE＝9－．在Rt△ABE 中，，∴．解得．15．【解析】解：（1）会受到影响．过点A 作AE⊥MN 于点E，∵点A 到铁路MN 的距离为80米，∴AE=80m，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在Rt△ABE 中，∵AB=100m，AE=80m，∴BE===60m，∴BC=2BE=120m，∵火车的速度是180千米/时=50m/s，∴t===2.4s．答：学校受到影响的时间是2.4秒．x 4x+222AB AC BC=+()22248x x +=+6x=x x x 222AB AE BE ＋＝()22239x x +-=5x =16.【解析】证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB 为直角三角形在Rt△AEC 与Rt△AFB 中∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.AB ACAE AF⎧⎨⎩＝＝直角三角形----知识讲解（基础）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，， .（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　①3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③（是自然数）是直角三角形的三条边长；④（是自然数）是直角三角形的三条边长；⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝2，＝3，∴；（2）设，．∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴ ，．a b c a b c c b a 222a b c +=222a b c +=a b 2222251225144169c a b =+=+=+=c 222a b c +=c b 222222624676576100a c b =-=-=-=a a b c b c a :3:5a c =b a c bc a ===3a k =5c k =b 222a b c +=222(3)32(5)k k +=k 33824a k ==⨯=55840c k ==⨯=2、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8，所以底面直径DC 长为16．则在Rt△BCD 中，，所以()．答：筷子最长不超过20，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴ ．∴ ()．∴ BC＋AB＝5＋13＝18()．∴ 旗杆折断前的高度为18．【高清课堂 勾股定理 例3】类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的cm cm cm cm 222BD DC BC =+20BD ===cm cm m m m m 22222512169AB BC AC =+=+=13AB ==m m m a b c ，，a b c a 43b c 3422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >>两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ ，，∴ ．∴ 由线段组成的三角形是直角三角形． （2）∵ ，，，∴ ．∴ 由线段组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ ，∴ ，．∵，，∴ ．∴ 由线段组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．举一反三：【变式1】判断以线段为边的△ABC 是不是直角三角形，其中，，．【答案】解：由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．∵，，，∴，∴以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．【高清课堂 勾股定理逆定理 例3】【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）A．20:15:12B．3:4:5C．5:4:3D．10:8:2【答案】A.2222724625a b +=+=2225625c ==222a b c +=a b c ，，a b c >>222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭222b c a +≠a bc ，，0m n >>222m n mn +>2222m n m n +>-2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++22224224()2b m n m m n n =+=++222a c b +=a b c ，，2c 22a b +a b c ，，a =b =2c =a c b >>a 2a 22b c +227a ==223b ==2224c ==222a b c =+a b c ，，a提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：，即20:15:12.4、如图所示，在四边形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC，在△ABC 中，因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD 中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC ，则在Rt △ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用125222223491625AC AB BC =+=+=+=2222225122514416913DC AC AD +=+=+===222DC AC AD +=11S 22ABC ACD ABCD S S AB BC AC DC ∆∆=+=⨯+⨯四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=5、（2015春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB 的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长满足”也是正确的.【变式2】（2014秋•永州校级期中）根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB 中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）a b c ，，222a b c +=a b c ，，222a b c +=AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA 中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．8、（2014春•东营区校级期末）如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，∴DE=DF；ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．。

《三角形》全章复习与巩固（基础）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!学习目标：•认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.•理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、屮线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题.•能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.•通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性,了解稳定性与没有稳定性在生产、生活屮的广泛应用. •了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镰嵌等有关的概念：掌握多边形内角和及外角和，并能灵酒运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.学习策略：•学会推导多边形的内角和公式，对角线公式，从特姝推广到一般.•从实际观察中体验三和形的稳定性与四边形的不稳定性.二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性.我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记.知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗?1.三角形两边之和......... 第三边.三角形两边之差.......... 第三边.2.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，那么各边长为 _______________________3.直角三角形的两个锐角..4.一个多边形的各内幷都等于120。

，它是______ 边形.5.一个多边形的内角和等于1260° ,它是__________ 边形:要点梳理习和课堂学习认其阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习.课堂笔记或者其它补充填在右栏.预习和课堂学习吏多知识点解析请学习网校资源1D：#92322#428293要点一、三角形的有关概念和性质1・三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于........ ：三角形任意两边的之差小于......... •要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否纽成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当己知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.2•三角形按“边”分类：不等边三角形三角形等腰三角形J底边和腰不相等的等腰三角形3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形—:直角三角形交点在:钝角三角形交点在三角形—.（2）三角形的中线在三角形屮，连接一个顶点与它的对边屮点的线段叫三角形的中线.要点诠释：一个三角形有三条屮线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心.屮线把三角形分成面积的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个和的对边相交，这个和的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.O要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三和形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三和形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变.（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定：在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理.（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形.要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 ........推论：1.直角三角形的两个锐角 .........2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角........ 与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角........ 任意一个与它不相邻的内角.3 .三角形的外角和：三角形的外角和等于 ........ •要点四、多边形及有关概念1.多边形的定义：在平面内，山一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其屮三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形•如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形, 四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3•多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：（1）从n边形一个顶点可以引条对角线，将多边形分成个三角形;（2） n边形共有 ____________ 条对角线.要点五、多边形的内角和及外角和公式1•内角和公式：n边形的内角和为.............. （n^3, n是正整数）.要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题來解决：（2）内角和定理的应用：①己知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2•多边形外角和：n边形的外角和恒等于........ ，它与边数的多少无关.要点诠释：（1）外角和公式的应用：①己知外角度数，求正多边形边数：②已知正多边形边数，求外角度数.（2）多边形的边数耳内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于（n-2） - 180°（心3, n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180。

《三角形》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】 一、选择题一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（） -个多边形的对几线共冇27条，则这个多边形的边数是（A. 8B. 9C. 10D. 11A.三角形的中线在三角形的内部B.三角形的角平分线在三角形的内部C.三角形的高在三角形的内部D.三角形必有一高线在三角形的内部 （四川绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架.如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上儿根木条？（）2根 D. 3根（2015・郑州模拟）如图，AABC 中，BO, CO 分别是ZABC, ZACB 的平分线，ZA 二50° , 则ZB0C 等于（ ）1.2. 3. 4. 5. 6. 已知三角形两边长分别为4 cm 和9）A. 13 cmB. 6 cmC. 5 cm 下列不能够镶嵌的正多边形组合是（A.正三角形与正六边形 C.正三角形与正方形 下列说法不正确的是（ cm 则下列长度的四条线段小能作为第三边的是 D. 4 cm） B ・正方形与正六边形D.正五边形与正I •边形 ） 7. 如图所示的图形中，三角形的个数共有（）D. 4个A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°二、填空题9.三角形的外角和等于它的内角和的____ 倍；2013边形的外角和是______ .10.如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm,第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为_______ c m.11.已知多边形的内角和为540。

，则该多边形的边数为 ____ ；这个多边形一共有 ___ 条对角线.12.一个多边形的每个外角都是18°,则这个多边形的内角和为 ____________ .13.如图，AD、AE分别是AABC的高和中线,已知AD=5cm, CE=6cm,则△ ABE和△ ABC 的面积分别为_______________ .14.一个多边形的内角和与一个外角的和为1500°，则这是个__________ 边形.15.(2015春•南京校级月考)如图:已知AABC的ZB和ZC的外角平分线交于D, ZA=40° ,那么ZD= _____________ 度.,ZC=40° , AD、AE分别是AABC的高线和角平分线,则ZDAE三、解答题17.判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(l)5cm, 5cm, a cm(0<a<10)；(2)a+1♦ a+2, a+3；(3)三条线段Z比为2:3:5.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】C；【解析】三个三角形：AABC, AACD, A ABD.3.【答案】B；【解析】根据多边形的对角线的条数公式门(、门一3)_列式,把所给数值代入进行计算即2可求解.4.【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定.5.【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°,正三角形内角是60°,能组成360°,所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°,正方形内角是90°,不能组成360。

《三角形》全章复习与巩固(基础知识讲解【学习目标】1. 认识三角形并能用符号语言正确表示三角形,理解并会应用三角形三边之间的关系.2. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念,通过作三角形的三条高、中线、角平分线,提高学生的基本作图能力,并能运用图形解决问题.3. 能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算,证明问题 .4. 通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性, 知道四边形没有稳定性, 了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用.5. 了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念; 掌握多边形内角和及外角和, 并能灵活运用公式解决有关问题, 体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法, 进一步培养说理和进行简单推理的能力 .【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1. 三角形三边的关系:定理 :三角形任意两边之和大于第三边;三角形任意两边的之差小于第三边 .要点诠释:(1理论依据:两点之间线段最短 . (2三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形, 若两条较短的线段长之和大于最长线段的长, 则这三条线段可以组成三角形; 反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围.2. 三角形按“边”分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形3. 三角形的重要线段:(1三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.要点诠释:三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种:锐角三角形交点在三角形内;直角三角形交点在直角顶点;钝角三角形交点在三角形外 .(2三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.要点诠释:一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点,叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积相等的两个三角形 .(3三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交, 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .要点诠释:一个三角形有三条角平分线, 它们交于三角形内一点, 这一点叫做三角形的内心 .要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定, 那么三角形的形状大小就完全固定了, 这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释:(1三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变,大小固定指三条边长不改变. (2三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构, 它就坚固而稳定; 在栅栏门上斜着钉一条 (或两条木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理. (3四边形没有稳定性,也就是说, 四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变. 四边形的不稳定性也有广泛应用, 如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形.要点三、三角形的内角和与外角和1. 三角形内角和定理:三角形的内角和为 180°.推论:1. 直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2. 三角形外角性质:(1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.3. 三角形的外角和:三角形的外角和等于 360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 .要点诠释:多边形通常还以边数命名, 多边形有 n 条边就叫做 n 边形. 三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形 .2. 正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形 . 如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件, 二者缺一不可 . 如四条边都相等的四边形不一定是正方形, 四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 .3. 多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线 .要点诠释:(1从 n 边形一个顶点可以引 (n-3 条对角线, 将多边形分成 (n-2 个三角形;(2n边形共有 (3 2n n 条对角线. 要点五、多边形的内角和及外角和公式1. 内角和公式:n 边形的内角和为 (n-2·180°(n≥3, n 是正整数 .要点诠释:(1一般把多边形问题转化为三角形问题来解决;(2内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和,求其边数 .2. 多边形外角和:n 边形的外角和恒等于 360°,它与边数的多少无关 .要点诠释:(1外角和公式的应用:①已知外角度数,求正多边形边数;②已知正多边形边数,求外角度数 .(2多边形的边数与内角和、外角和的关系:① n 边形的内角和等于 (n-2·180°(n≥3, n 是正整数 ,可见多边形内角和与边数 n 有关,每增加 1条边,内角和增加 180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 .这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同 .要点诠释:(1拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°;相邻的多边形有公共边 .(2用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360°.(3只用一种正多边形镶嵌地面, 当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360°时,就能铺成一个平面图形 . 事实上,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用 .【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. (四川南充三根木条的长度如图所示,能组成三角形的是(举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形 .(1 3, 4, 5; (2 3, 5, 9 ; (3 5, 5,8.2. 若三角形的两边长分别是 2和 7, 则第三边长 c 的取值范围是 _______.举一反三【变式】 (浙江金华已知三角形的两边长为 4, 8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别为 4, 9, 12,如何求这个三角形的面积? ”小明提示:“可通过作最长边上的高来求解. ”小华根据小明的提示作出的图形正确的是 ( .【变式】如图所示,已知△ ABC ,试画出△ ABC 各边上的高.4. 如图所示, CD 为△ ABC 的 AB 边上的中线,△ BCD 的周长比△ ACD 的周长大 3cm , BC =8cm ,求边 AC 的长.举一反三【变式】如图所示, 在△ ABC 中, D 、 E 分别为 BC 、 AD 的中点, 且 4ABC S △ , 则 S 阴影为 ________.类型三、与三角形有关的角5、(2012•云南如图,在△ABC 中,∠B=67°,∠C=33°, AD 是△ABC 的角平分线, 则∠CAD 的度数为(A . 40° B. 45° C. 50° D. 55°【变式】已知,如图 ,在△ ABC 中,∠ C=∠ ABC=2∠ A , BD 是 AC 边上的高, 求∠ DBC 的度数 .类型四、三角形的稳定性6. 如图所示, 木工师傅在做完门框后, 为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条 (即 AB 、 CD ,这样做的数学道理是什么?类型五、多边形内角和及外角和公式7.一个多边形的内角和等于它的外角和的 5倍,它是几边形?【变式】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为 2750°,求这个多边形的内角和是多少?类型六、多边形对角线公式的运用8.一个十二边形有几条对角线 .【变式】一个多边形共有 20条对角线,则多边形的边数是( .A . 6B . 7 C. 8 D . 9类型七、镶嵌问题9.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;②四边形木板;③正五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是(A、①【巩固练习】B、②C、③D、④一、选择题 1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( 2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．一个多边形的对角线共有 27 条，则这个多边形的边数是（ A．8 B．9 C．10 D． 11 ） 4．已知三角形两边长分别为 4 cm 和 9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 ( A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm 5．下列不能够镶嵌的正多边形组合是（） A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形 C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形 6．下列说法不正确的是 ( A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部 C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部 7．(四川绵阳王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( A．0 根 B．1 根 C．2 根 D．3 根8．若△ABC 的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B 的度数为 A．40° B．80°C．60° D．120° ( 二、填空题 9．三角形的外角和等于它的内角和的倍；2013 边形的外角和是．10．如果三角形的两边长分别是 3 cm 和 6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm． 11．已知多边形的内角和为 540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线． 12. 一个多边形的每个外角都是 18°，则这个多边形的内角和为． 13.如图，AD、AE 分别是△ABC 的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE 和△ABC 的面积分别为________________． 14. 一个多边形的内角和与一个外角的和为 1500°，则这是个边形． 15. 若三角形三个外角的度数比为 2∶ 3∶ 4，则此三角形内角分别为____ ____． 16．在△ ABC 中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE 分别是△ ABC 的高线和角平分线，则∠ DAE 的度数为_________. 三、解答题 17．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (15cm，5cm，a cm(0＜a＜10； (2a+1，a+2，a+3； (3三条线段之比为2:3:5． 18．如果一个三角形的外角等于与它相邻内角的 3 倍，另有一内角为 32°，求这个三角形的各内角度数． 19. 多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数． 20.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出 3 种方法?。