2020届天津市静海区第一中学高三3月学生学业能力调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{|21}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)C ．(2,3)D ．(0,1]【答案】B【解析】由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．【详解】由题意，可求得{3,1}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果. 【详解】由22a a >，所以202a a a ≥⎧⎨>⎩或202a a a <⎧⎨>-⎩，即2a >或2a <-，所以可知“2a >”是“22a a >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型. 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A【解析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在()0,+?上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=， 1.122>，所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101xx e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 6．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.7．若函数()()()34020a ax ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩xa x f x x x ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(]2,4 C ．(]3,4 D ．()3,5【答案】C【解析】由题意可知0a >且1a ≠，故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有零点，而函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点，所以得出函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点，函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出a 的范围． 【详解】解：由题意可知0a >且1a ≠， 当0x >时，函数()3g x x ax 2=-+的导函数为()2g x 3x a '=-，所以函数()3g x x ax 2=-+在为减函数，在)+∞为增函数， 故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点； 而当0x ≤时，函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数， 故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点；根据上述分析可以得出：函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点．当0x >时，在函数()3g x x ax 2=-+中， 因为(0)20g =>，故3g a 20=-•+<，解得3a >， 当0x ≤时，当01a <<时，函数()x h x 4a a =-是单调递减，()h 04a 0=->，不满足题意，当1a >时，函数()x h x 4a a =-是单调递增， 因为()x h x 4a a =-在0x ≤时有一个零点， 则()h 04a 0=-≥，解得：4a ≤综上：34a <≤，故选C ． 【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题．二、填空题 8．若复数()111iz m i i+=+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为______ 【答案】0【解析】先将z 整理为a bi +的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可 【详解】由题,()()()()()()21121111112i ii z m i m i m mi m m i i i i ++=+-=+-=+-=+---+, 因为z 是纯虚数,所以0m =, 故答案为：0 【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用9．在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60【解析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60． 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．10．过点(4,0)-作直线l ，与圆2224200xy x y ++--=交于,A B 两点, 若8AB =，则直线l 的方程为______________. 【答案】【解析】将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设l 斜率为k ，方程()4y k x =+，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得k 的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果. 【详解】 圆2224200xy x y ++--=化为()()221225x y ++-=，圆心()1,2C -，半径=5r ， ()()()22410225,4,0-++-<∴-Q 点在圆内，当斜率存在时，设l 斜率为k ，方程()4y k x =+，即40kx y k -+=，8,AB =∴Q 22543-=，22453,121k k k k --+=∴=-+，l ∴的方程()5412y x =-+ 当斜率不存在时，直线4x =-也满足，l ∴的方程512200x y ++=或40x +=，故答案为512200x y ++=或40x +=. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121l k x =+-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解. 11．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x yx y -+的最大值为______.【答案】14【解析】先根据对数的运算性质可得xy ＝2，再根据基本不等式即可求 【详解】实数x 、y 满足x ＞y ＞0，且log 2x +log 2y ＝1，则xy ＝2，则()()2222114()2()4442x y x y x y x y x y xy x y x y x y x yx y---===≤=+-+-+-+---，当且仅当x ﹣y4x y=-，即x ﹣y ＝2时取等号 故22x y x y -+的最大值为14，故答案为14． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．12．三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】【详解】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.13．已知四边形ABCD 中，3BC =，4AC =，M 为AB 中点且MD AB ⊥，则AB CD ⋅=u u u v u u u v___________．【答案】72-【解析】利用平面向量基本定理将AB u u u r 与CD uuur 都用CB CA u u u r u u u r ，来表示，进行数量积的运算即可. 【详解】()AB CD AB CM MD AB CM ⋅=⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q ，又AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ，1()2CM CA CB =+u u u uv u u u v u u u v ，22117=()==222AB CM CB CA CA CB CB CA ∴⋅-⋅+--u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）（），故答案为72-.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了数量积的运算，属于中档题. 14．已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.【答案】312a -<< 【解析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为223a a <-求解即可. 【详解】()12cos 2x x f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭Q 12sin x x e x e=--， ()()12sin x x f x e x e --∴-=---()2sin 1x x x e f x e ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭-，()f x ∴是奇函数，且()00f =，又()12'cos xxf x e e x -=+Q ， 2,2c s 1o 2x xe x e +≥≤， ()'0f x ∴≥，()f x ∴在()+-∞∞，上递增， ()()()22300f a f a f ∴+-+<，化为()()()2233f af a f a <--=-，∴232312a a a <-⇒-<<，故答案为312a -<<.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．三、解答题15．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【答案】（Ⅰ）5-（Ⅱ）5-【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2bc aA bcac +-===. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故 ()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭.【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AD ABC ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B AE C --的余弦值；（Ⅲ）已知P 是平面ABD 内一点，点Q 为AE 中点，且PQ ⊥平面ABE ，求线段PQ 的长．【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）13； （Ⅲ）32PQ =. 【解析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，利用法向量计算余弦值即可； (Ⅲ)利用空间向量求得点Q 的坐标，然后结合点P 的坐标可得线段PQ 的长. 【详解】（Ⅰ）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上， ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥，由2AB AD==，2BD=，得222BD AB AD=+，∴AD AB⊥，∵AB BC B⋂=，∴AD⊥平面ABC．（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O，()0,0,1A，()0,1,0B-，()2,1,0C-，()0,1,0D，()1,0,0E，()2,1,1AC=--u u u r，()0,1,1AB=--u u u r，()1,0,1AE=-u u u r，设(),,n x y z=r为平面ABE的一个法向量，则n AB y zn AE x z⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩u u u vru u u vr，取1x=，得()1,1,1n=-r，()2,1,1AC=--u u u r，()1,0,1AE=-u u u r，设平面ACE的法向量(),,m x y z=u r，则20m AE x zm AC x y z⎧⋅=-=⎨⋅=--=⎩u u u vru u u vr，取1z=，则()1,1,1m=u r，设二面角B AE C--的平面角为θ，则1cos333m nm nθ⋅===⋅⨯r rr r．∴二面角B AE C--的余弦值为13．（Ⅲ）设()0,,P y z，11,0,22Q⎛⎫⎪⎝⎭，11,,22PQ y z⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r因为PQ⊥平面ABE，所以()11,,1,1,122PQ y z nλλ⎛⎫=--==-⎪⎝⎭u u u r r所以12λ=，1,02y z==，所以11134442PQ=++=．【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.17．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()11412331?2n n n n +++---+ 【解析】试题分析：（1）对条件1122n n n a a ++=+两边同除以12n +得11n n b b +=+，即得数列{}n b 为首项及公差均为1的等差数列，再根据等差数列通项公式求数列{}n b 的通项公式；（2）因为·2n n a n =，所以利用错位相减法求和得数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）对n c 裂项处理：()()()11111122?21?2n n n n n n c n n ++⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再根据分组求和以及裂项相消法求和得数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得·2n n a n =，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212nnn n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n nn nn nn n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+--⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 18．已知函数()ln 1af x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【答案】(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数()g x ，根据()0af e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析：（1）由()ln 1af x x x=--得()221'(0)a x a f x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <，所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.。
