瓯海中学2021学年第一学期高三12月份月考数学试题卷

2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修4­2：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。

2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。

2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=．1．若集合M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=log22．已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a＞0），若z2是纯虚数，则a的值为．3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为．4．将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x﹣）的图象，则f（）的值为．5．如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为．6．已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x= ．7．设α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，如果α是β的充分非必要条件，则m的范围是．8．设Sn 是等差数列{an}的前n项和．若，则= ．9．棱长为2的正四面体的体积为．10．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．11．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上只存在一点P 到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是．14．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．16．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．求证：（1）AD⊥CD1；（2）EF∥平面ADD1A1．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．18．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）19．已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当﹣1≤x≤1时有﹣1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合M={x|x2﹣x≤0}，函数f（x）=log2（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=[0，1）．【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式求出集合M；再利用对数的真数大于0求出N．相结合即可求出M∩N．【解答】解：由题得：M={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]；N={x|1﹣|x|＞0}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．M∩N=[0，1）．故答案为[0，1）．2．已知复数z=a+3i（i为虚数单位，a＞0），若z2是纯虚数，则a的值为3．【考点】复数的基本概念．【分析】易得z2=a2﹣9+6ai，根据纯虚数的定义可得方程，解出即可，注意a＞0．【解答】解：∵z=a+3i，∴z2=a2﹣9+6ai，又z2是纯虚数，∴，解得a=3，a=﹣3（舍去），故答案为：3．3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为18．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率=小矩形的高×组距求得视力在0.9以上的频率，再根据频数=频率×样本容量求得该班学生中能报A专业的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为45×0.4=18．故答案为：18．4．将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=4sin（2x﹣）的图象，则f（）的值为﹣2．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，把函数y=4sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数f（x）的图象，故f（x）=4sin[2（x﹣）﹣]=4sin（2x﹣），故f（）=4sin（﹣）=﹣2，故答案为：﹣2．5．如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为5．【考点】伪代码．【分析】算法的功能是求满足S=9﹣（1+2+3+…+i）＜0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值．【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9﹣（1+2+3+…+i）＜0的最小正整数i+1的值，∵S=9﹣（1+2+3）=3＞0，S=9﹣（1+2+3+4）=﹣1＜0，∴输出的i值为5．故答案为：5．6．已知函数f（x）=，若f（x）=5，则x=8或﹣2．【考点】函数的零点；函数的值．【分析】分别令x﹣3=5，x2+1=5解得x，验证是否符合即可．【解答】解：由题意可得当x＞0时，令x﹣3=5，解得x=8符合题意；当x≤0时，令x2+1=5，解得x=2，或x=﹣2，应取x=﹣2；综上可得x=8或﹣2故答案为：8或﹣27．设α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，如果α是β的充分非必要条件，则m的范围是[0，1] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义可得，解得即可．【解答】解：∵α：2≤x≤4，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，若如果α是β的充分非必要条件，令α：{x|2≤x≤4}，β：{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R，}∴集合α⊆β，得，解得0≤m≤1故答案为：[0，1]．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和．若，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的求和公式表示出S3与S7，代入已知的等式左边，整理后得到a1=6d，将所求式子的分子分母分别利用等差数列的求和公式化简，将a1=6d代入，约分后即可求出值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，=，且S3=3a1+3d，S7=7a1+21d，∴=，整理得：a1=6d，则===．故答案为：9．棱长为2的正四面体的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积．【解答】解：当棱长为2时，正四面体的底面积S==．正四面体的高h==．故正四面体的体积V=•S•h==．故答案为：．10．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．11．设一次函数f（x）为函数F（x）的导数，若存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，则不等式F（2x﹣1）＜F（x）的解集为（）．【考点】导数的运算．【分析】首先判断出f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a＞0），根据条件列出不等式，解得即可．【解答】解：由存在实数x0∈（1，2），使得f（﹣x0）=﹣f（x0）＜0，∴f（x）为奇函数，令f（x）=2ax（a＞0），∴F（x）=ax2，∵F（2x﹣1）＜F（x）∴F（2x﹣1）﹣F（x）=a（2x﹣1）2﹣ax2=a（3x﹣1）（x﹣1）＜0即（3x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，．故答案为：12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上只存在一点P 到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，则实数a的值为1．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径加﹣1，列出方程求出a的值即可．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1的圆心（）半径为1，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣）2+（y﹣a）2=1（a≥0）上存在一点P到直线l：y=2x﹣6的距离等于﹣1，∴，即，即或解得a=1则实数a的值为1．故答案为：1．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是1+ ．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB ≤OD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵BD==，OD=AD=AC=1，∴点B到原点O的最大距离为1+．故答案是：1+．14．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．【考点】解三角形；平面向量数量积的运算．【分析】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos ∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．【解答】解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．16．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，平面C1D1DC⊥平面ABCD，E，F分别为CD1，AB的中点．求证：（1）AD⊥CD1；（2）EF∥平面ADD1A1．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用平面与平面垂直的性质定理即可证明．（2）利用已知条件证明四边形AFEG是平行四边形，从而根据EF∥AG即可证明EF∥平面ADD1A1．【解答】证明：（1）由底面ABCD为矩形可得AD⊥CD又∵平面C1D1DC⊥平面ABCD，平面C1D1DC∩平面ABCD平面=CD，∴AD⊥平面C1D1DC．又∵CD1⊂面A1D1DA，∴AD⊥CD1．（2）设DD1中点为G，连结EG，AG．∵E，G分别为CD1，DD1的中点，∴．在矩形ABCD中，∵F是AB的中点，∴且AF∥CD，∴EG∥AF，且EG=AF．∴四边形AFEG是平行四边形，∴EF∥AG．又∵AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，S9=54，∴，d=1，a1=2．∴a n=2+n﹣1=n+1，S n=．（2）b n==，数列{b n}的前n项和=++++…++++=﹣﹣=﹣﹣．18．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，∴∠C=30°在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即化简，得PC2﹣6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）…在△PBC中，由正弦定理得，即∴…（Ⅱ）Rt△ABC中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4﹣t在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即，化简得PC2﹣6PC+5=0解得PC=1或PC=5（舍去）①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2×2t×（4﹣t）×cos60°=7t2﹣16t+16 令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2﹣16t+7＞0，解得或∴…综上，当时，甲、乙间的距离大于3米．又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…19．已知椭圆方程右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意方程求出b，c的值，代入菱形面积公式得答案；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题设条件得y1=﹣1，．由此可求出△POQ的面积；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四（k≠0）．由题意知（1+2k2）边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x﹣1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知0＜m＜．【解答】解：（1）由椭圆方程，得a2=2，b2=1，则c2=a2﹣b2=1，∴椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积S=；（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得3y2+2y﹣1=0，解得．∴|OF|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=；（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．∵直线与x轴不垂直，∴设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，，，，（x2﹣x1≠0），若以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则（）⊥，得，（）•=0，即（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0，∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，则（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0，∴（﹣2m）+k2（﹣2）=0，得2k2﹣（2+4k2）m=0，解得m=（k≠0）．∴0＜m＜．20．已知三次函数f（x）=4x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；（2）当﹣1≤x≤1时有﹣1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1））由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）解得a=c=0；设切点为P（t，4t3+bt），利用导数得到切线的斜率，得到切线l的方程为y﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（x﹣t），把点（2，10）代入得到关于t的三次方程；要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，利用导数即可得出又三个实数根的充要条件，解出即可．（2）由题意，当x=±1，±时，均有﹣1≤f（x）≤1，利用上述条件即可得出a，b，c的值，再利用导数加以证明即可．【解答】解（1）∵f（x）是奇函数，∴由f（﹣x）=﹣f（x）得a=c=0，∴f（x）=4x3+bx，f′（x）=12x2+b．设切点为P（t，4t3+bt），则切线l的方程为y﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（x﹣t），由于切线l过点（2，10），∴10﹣（4t3+bt）=（12t2+b）（2﹣t），整理得b=4t3﹣12t2+5，令g（t）=4t3﹣12t2+5﹣b，则g′（t）=12t2﹣24t=12t（t﹣2），∴g（t）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，g（t）=0有三个实数根，当且仅当g（0）＞0，且g（2）＜0，解得﹣11＜b＜5．（2）由题意，当x=±1，±时，均有﹣1≤f（x）≤1，故﹣1≤4+a+b+c≤1，①﹣1≤﹣4+a﹣b+c≤1，即﹣1≤4﹣a+b﹣c≤1，②﹣1≤+++c≤1，③﹣1≤﹣+﹣+c≤1，即﹣1≤﹣+﹣c≤1，④①+②得﹣2≤8+2b≤2，从而b≤﹣3；③+④得﹣2≤1+2b≤2，从而b≥﹣3，故b=﹣3．代入①②③④得a+c=0， +c=0，从而a=c=0．下面证明：f（x）=4x3﹣3x满足条件．事实上，f′（x）=12x2﹣3=3（2x+1）（2x﹣1），所以f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，1）上单调递增，而f（﹣1）=﹣1，f（﹣）=1，f（）=﹣1，f（1）=1，所以当﹣1≤x≤1时f（x）满足﹣1≤f（x）≤1．xx12月5日_B w29533 735D 獝24983 6197 憗c`Q38016 9480 钀23282 5AF2 嫲25876 6514 攔32574 7F3E 缾35699 8B73 譳22027 560B 嘋。

侧视图正视图 俯视图2021年高三上学期第三次（12月）月考数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q ：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．6将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A． B． C．2 D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度10. 设数列的前n项和为.且，则=（）A．B． C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) 已知 ，， 记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a ＝2c sin A,c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF 平面ABCD ，EF//AB ，,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P在棱DF 上．（1）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．20 (本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21. (本小题满分12分) 设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）试讨论函数极值点的个数； （Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点. （1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.AEODC B23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB|.24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲. 已知，的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解关于的不等式.第三次模拟考试 数学（理）参考答案1～12 ABCC BCDC DBAA 13. 14. 15.36 16.4517【解析】（1）由题意，得)62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=•=x x x x f ,当取最大值时，即，此时， 所以的取值集合为．（2）由a ＝2c sin A 及正弦定理得，sin A ＝2cos C sin A. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝，∴C ＝π3.∵△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18【解析】（1）25])810()89()87()86[(41)(2222=-+-+-+-=甲x D29])810()810()87()85[(41)(2222=-+-+-+-=乙x D∵ ∴ 甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为 ∴ 甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～ ∴(运算式子形式表示也可) 因此，的分布列如下：OBAC DE FPzyxPFEDCAB∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF // OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF // 平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以121212||cos,||||(n nn nn n⋅<>===⋅-解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以， 所以．由，得（判别式）， 得，，即． 设， 则中点坐标为，因为，关于直线对称， 所以的中点在直线上， 所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直， 所以 ，解得． 21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２）()1,122122'->+++=++=x x ax x x a x x f ，令 当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数， 所以无极值点； 当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点； 当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点； 8（３）对于函数，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++ 则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有 即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ． ∴， ∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO23解 ：(1)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分) 24【解析】（Ⅰ），① 而 ② ③当且仅当时， ①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立； 则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，， 解得原不等式的解集为.22246 56E6 囦 39744 9B40 魀327604 6BD4 比21076 5254 剔37427 9233 鈳t32962 80C2 胂330478117 脗ob8v'。