湖北省襄阳四十七中九年级数学上册《24.2.1 点与圆的位置关系》学案

24.2.1 点和圆的位置关系预习案一、预习目标及范围：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.预习范围：P92-95二、预习要点1、点与圆的三种位置关系：（圆的半径 r,点P与圆心的距离为d）点P在圆外⇔点P在圆上⇔点P在圆内⇔2、自己作圆：（思考）（1）作经过已知点A的圆，这样的圆能作出多少个？（2）经过A、B两点作圆，这样的圆能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？（3）经过A、B、C三点作圆，有哪些情况？三点应符合什么条件才能作圆？3、什么叫三角形的外接圆？三角形的外心及性质？4、教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆？反证法的证明思路是什么？三、预习检测1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在 .2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP P在（）A.在大圆内B.在小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外3.判一判：下列说法是否正确:(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作探究1:点和圆的位置关系问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？明确：点与圆的位置关系有三种：问题2 ：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内：点P在⊙O外：点P在⊙O伤：探究2：过不在同一直线上的三个点作圆问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；2.作直线MN.问题2 ：过两个点能不能确定一个圆?明确：能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系学案设计（新版）新人教版24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?二、信息交流,揭示规律1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r.3.结合画图说明:设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,若d>r,则点P在圆;若d=r,则点P在圆;若d<r,则点P在圆;归纳:①点P在⇔d r;②点P在⇔d r;③点P在⇔d r.练习:1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:A.8厘米B.4厘米C.5厘米请你分别说出点与圆的位置关系.2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?4.画图探究:图1图2(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过三点作圆①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?小结:(1)经过一点可以作个圆;经过两点可以作个圆,它们的圆心在上.(2)个点确定一个圆.(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,这个三角形叫做圆的,圆心叫做三角形的.练习:画出以下几个三角形的外接圆归纳:锐角三角形外心在三角形部;钝角三角形外心在三角形部;直角三角形外心在.三、运用规律,解决问题(一)判断题:1.过三点一定可以作圆()2.三角形有且只有一个外接圆()3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形()4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点()5.三角形的外心到三边的距离相等()(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.(三)如何解决“破镜重圆”的问题四、变式训练,深化提高1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境两种.二、信息交流,揭示规律1.三种.P的三种位置如图A,B,C2.外> 上= 内<3.外上内归纳:①圆外> ②圆上= ③圆内<练习1:A.圆外、B.圆内、C.圆上.2.(1)B在圆上,D在圆外,C在圆外,(2)B在圆内,D在圆上,C在圆外,(3)B在圆内,D在圆内,C在圆上.4.(1)无数个.(2)无数个;经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.(3)①不能.②能.不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心在AB,AC,BC三条线的垂直平分线的公共交点上.小结:略练习:略三、运用规律,解决问题(一)1.×2.√3.×4.√5.×(二)因为A,B两点在圆上,所以圆心必与A,B两点的距离相等,又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以圆心在CD所在的直线上,因此可以作任意两条直径,它们的交点为圆心.(三)四、变式训练,深化提高1.(1)四点在一条直线上时不能作圆;(2)三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;(3)四点中任意三点不在一条直线上有可能作出圆也可能作不出一个圆.2.作三角形ABC的外接圆.五、反思小结,观点提炼略。

点和圆的位置关系教案教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．4A) 第二张：(记作§3．4B) 第三张：(记作§3．4C) 教 学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课1[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一 点能 作几个圆？经过两点、三点……呢？ 本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．作法：如下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 1 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧找出两 2交点 C、D，作 直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定 长即为半径．根据定义大家 觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定 圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过已知点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分 布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？ 你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才 我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换 意见并作出解答．2[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来， 半径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相 等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等，则圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都 能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这 点到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有 无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相 等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B 、C 两点距离相等 的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点的距离 相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC32．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，则 ED 上任意一点到 A 、B 的距离相等；连结 BC， 作 BC 的垂直平分线 FG，则 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过已知一 点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一 条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在 同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位 置有怎样的特点？ 解：如下图．O 为外接圆的圆心，即外心．4锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部．Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．板书设计 §3．4 确定圆的条件一、1．回忆及思考(投影片§3．4A) 2．做一做(投影片§3．4B) 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 4．有关定义二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业5。

（二）问题导向
1.教师可以通过提出引导性的问题，引导学生思考和探究点与圆的位置关系。例如，可以提问：“点在圆内、点在圆上、点在圆外分别意味着什么？如何判断一个点与圆的位置关系？”
2.教师可以设计一系列递进式的问题，让学生逐步深入思考和理解点与圆的位置关系。例如，可以先提问：“点与圆的位置关系有哪些？”，然后逐步引导学生思考：“如何用数学方法描述和解释点与圆的位置关系？”、“如何运用点与圆的位置关系解决实际问题？”
3.教师可以通过提问引导学生反思和评价自己的学习过程和结果。例如，可以提问：“你在解题过程中遇到了哪些困难？如何克服的？”、“你认为自己的解题方法是否合理？还有没有更好的解决方式？”
（三）小组合作
1.教师可以组织学生进行小组合作，鼓励学生之间的交流和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。例如，可以让学生分组讨论和探究点与圆的位置关系，每个小组共同完成一个实际问题的解题过程和结果展示。
2.教师可以利用多媒体课件展示各种实际场景，如学校平面图、城市地图等，让学生在直观的情境中理解点和圆的位置关系，增强学生的实际应用能力。
3.教师可以通过创设互动性的情景，让学生参与其中，提高学生的参与度和积极性。例如，可以组织学生分组讨论，每组设计一个实际问题，并展示解题过程和结果，促进学生之间的交流和合作。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：通过设计一个学校计划在新学期开始前，在校内找一个合适的位置设立一个圆形报亭的实际问题，让学生思考如何确定报亭的最佳位置，从而引发学生的兴趣和好奇心，激发学生主动探究的欲望。这样的情境创设不仅贴近学生的生活实际，而且能够让学生感受到数学与现实生活的紧密联系，增强学生对数学学科的兴趣和认同感。
2.问题导向引导学生思考：通过提出引导性的问题，如点在圆内、点在圆上、点在圆外分别意味着什么？如何判断一个点与圆的位置关系？引导学生思考和探究点与圆的位置关系。通过设计一系列递进式的问题，让学生逐步深入思考和理解点与圆的位置关系，从而培养学生的问题解决能力和思维能力。