下载文档原格式
lnx的x的定义-回复标题：深入理解[lngx的x的定义]：一种复杂而又迷人的数学概念在数学的世界中，我们常常会遇到一些看似复杂但实际上蕴含着深刻含义的表达式。
其中之一便是[lngx的x的定义]。
这个表达式融合了对数和幂函数两种重要的数学工具，它的理解和应用对于我们深化数学理论、解决实际问题具有重要的意义。
以下，我们将一步一步地解析这个定义，揭示其内在的数学原理和应用价值。
第一步：理解基础概念在探讨[lngx的x的定义]之前，我们需要先理解两个基础的数学概念——对数和幂函数。
1. 对数：对数是对乘法运算的一种逆运算，它将乘法问题转化为加法问题。
常见的对数包括自然对数（ln）和常用对数（lg）。
其中，自然对数ln以无理数e为底，它的主要性质是ln(e^x) = x。
2. 幂函数：幂函数是一种形式为f(x) = x^n的函数，其中n为常数。
幂函数反映了变量x在其指数位置上的变化情况。
第二步：解析[lngx的x的定义][lngx的x的定义]实际上是一个复合函数，它可以被解析为两个步骤：1. 首先，我们对变量x进行自然对数运算，得到lnx。
2. 然后，我们将上一步的结果lnx作为新的变量，对其进行x次方运算，即(lnx)^x。
因此，[lngx的x的定义]可以表示为f(x) = (lnx)^x。
第三步：理解[lngx的x的定义]的特性[lngx的x的定义]具有以下几个重要的特性：1. 定义域：由于自然对数lnx的定义域为(0, +∞)，所以[lngx的x的定义]的定义域也为(0, +∞)。
2. 奇偶性：[lngx的x的定义]不是奇函数也不是偶函数，因为它不满足f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)。
3. 单调性：[lngx的x的定义]的单调性取决于x的取值。
当x∈(0, 1)时，f(x)单调递减；当x∈(1, +∞)时，f(x)单调递增。
4. 极限性质：当x趋近于0+时，[lngx的x的定义]趋近于1；当x趋近于+∞时，若令y = lnx，则x = e^y，于是f(x) = (lnx)^x = y^e^y，这是一个超越函数，其极限无法用初等函数表示。
对数函数简单解析对数函数是数学中的一种常见函数形式。
它与指数函数相对应，可以解决一些与指数函数相关的问题。
本文将对对数函数进行简单解析，介绍其定义、性质和应用。
一、定义对数函数可以用以下方式表示：y = logₐ(x)，其中a为底数，x为实数。
对于对数函数而言，底数必须大于0且不等于1，被取对数的实数必须大于0。
二、性质1. 对数函数与指数函数的反函数关系。
即对于指数函数y = aˣ ，对应的对数函数为y = logₐ(x) ，其中 a 为底数。
2. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
3. 对于底数 a 和正实数 x，有以下性质：- 若 a > 1，则对数函数为递增函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 也增大。
- 若 0 < a < 1，则对数函数为递减函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 减小。
- 当 x = a 时，对数函数值为 1。
- 当 x = 1 时，对数函数值为 0。
- 当 x > 1 时，对数函数值为正数。
- 当 0 < x < 1 时，对数函数值为负数。
- 当 x < 0 或 x = 0 时，对数函数无意义。
三、应用对数函数在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用场景：1. 对数函数在数学中的应用- 对数函数可以用于求解指数方程。
例如，通过将指数方程转化为对数方程，可以更方便地求解。
- 对数函数可以用于简化复杂的数学运算。
例如，通过将乘法运算转化为对数函数的加法运算，可以简化计算过程。
2. 对数函数在经济学中的应用- 对数函数可以用于描述财富分布的不平等程度。
例如，洛伦兹曲线和基尼系数等概念可以通过对数函数进行建模。
- 对数函数可以用于计算利息。
例如，复利计算中的利率可以通过对数函数来表示。
3. 对数函数在生物学中的应用- 对数函数可以用于衡量物种数量的增长和减少。
例如，人口模型中的对数函数可以描述人口数量随时间的变化趋势。
对数函数的性质与应用对数函数是数学中非常重要的一类函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍对数函数的性质以及它在各个领域中的应用。
1. 对数函数的定义和基本性质对数函数是指以某个常数为底数的对数函数，常用的底数有自然对数（e）和常用对数（以10为底）。
我们以自然对数为例进行讨论。
自然对数函数可表示为y = ln(x)，其中ln表示自然对数。
自然对数的底数e是一个常数，约等于2.71828。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数的基本性质如下：- 对于任意正实数x和y，ln(xy) = ln(x) + ln(y)- 对于任意正实数x和任意实数a，ln(x^a) = a·ln(x)- 对于任意正实数x和y，如果ln(x) = ln(y)，那么x = y这些性质使得对数函数在数学计算和推导中非常实用。
2. 对数函数的图像和特点对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状。
当x > 1时，ln(x)的值随x的增大而增大，但增速逐渐减慢；当0 < x < 1时，ln(x)的值随x 的减小而增大，但增速同样逐渐减慢。
这意味着对数函数具有递增但是收敛的特点。
对数函数的图像还有一条重要的特点是它在x轴上有一个渐近线。
即当x趋近于0时，ln(x)趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，ln(x)趋近于正无穷大。
3. 对数函数在解决实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 财务和投资分析对数函数可以用于计算复利和增长率。
当对数函数应用于财务和投资分析时，可以帮助我们计算资金的增长趋势、比较投资回报率，并进行有效的资金管理。
3.2 科学研究和数据分析在科学研究和数据分析中，对数函数可用于处理非线性情况下的数据。
对于呈现指数增长或指数衰减的数据，可以通过对数变换来线性化处理，方便进行统计分析和模型建立。
3.3 生物学和医学领域在生物学和医学研究中，对数函数广泛应用于描述生长曲线、酶动力学、药物代谢和毒性等。
有关x与ex,lnx的组合函数问题考点与题型归纳有关x 与e x ，ln x 的组合函数问题考点与题型归纳考点一 x 与ln x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )ln x (h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝ln xh (x )(h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0)，h (x )≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例] 设函数f (x )＝x ln x －ax 22＋a －x (a ∈R)．(1)若函数f (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，k ∈N ，g (x )＝2－2x －x 2，且当x ＞2时不等式k (x －2)＋g (x )＜f (x )恒成立，试求k 的最大值．[解题观摩] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－ax －1＝ln x －ax ，令f ′(x )＝0，可得a ＝ln xx，令h (x )＝ln xx (x ＞0)，则由题可知直线y ＝a 与函数h (x )的图象有两个不同的交点，h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，可知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (e)＝1e ，当x ―→0时，h (x )―→－∞，当x ―→＋∞时，h (x )―→0，故实数a 的取值范围为0，1e .(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2＋2－x ，k (x －2)＋g (x )＜f (x )，即k (x －2)＋2－2x －x 2＜x ln x －x 2＋2－x ，整理得k (x －2)＜x ln x ＋x ，因为x ＞2，所以k ＜x ln x ＋xx －2.设F (x )＝x ln x ＋x x －2(x ＞2)，则F ′(x )＝x －4－2ln x(x －2)2.令m (x )＝x －4－2ln x (x ＞2)，则m ′(x )＝1－2x ＞0，所以m (x )在(2，＋∞)上单调递增，m (8)＝4－2ln 8＜4－2ln e 2＝4－4＝0，m (10)＝6－2ln 10＞6－2ln e 3＝6－6＝0，所以函数m (x )在(8,10)上有唯一的零点x 0，即x 0－4－2ln x 0＝0，故当2＜x ＜x 0时，m (x )＜0，即F ′(x )＜0，当x ＞x 0时，F ′(x )＞0，所以F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－2＝x 0? ????1＋x 0－42x 0－2＝x 02，所以k ＜x 02，因为x 0∈(8,10)，所以x 02∈(4,5)，故k 的最大值为4.[关键点拨]对于有关x 与ln x 的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．考点二 x 与e x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )e g (x )(g (x )为一次函数，h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e x h (x )(h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0)，h (x )≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例] 已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R.(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围． [解题观摩] (1)证明：f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x .设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)e x 0，得a (x 0e x 0－x 0＋1)＝e x 0，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)e x 0，整理得a (x 0e x 0＋e x 0－1)＝e x 0，②结合①②得x 0e x 0－x 0＋1＝x 0e x 0＋e x 0－1，即e x 0＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得e x 0＋x 0－2＝0，且x 0∈(0,1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f (x )＞g (x )，即a (x －1)＞(ax －1)e x ，所以ax e x －ax ＋a ＜e x ，所以a ?x －x －1e x ＜1，令m (x )＝x －x －1e x ，则m ′(x )＝e x ＋x －2e x，由(1)可得m (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，且x 0∈(0,1)，故当x ≤0时，m (x )≥m (0)＝1，当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1，所以当x ∈Z 时，m (x )≥1恒成立．①当a ≤0时，am (x )＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a ＜1时，m (x )＜1a ，因为1a＞1，m (0)＝m (1)＝1，所以两个整数解分别为0,1，即m (2)≥1a，m (－1)≥1a，解得a ≥e 22e 2－1，即a ∈e 22e 2－1，＋∞；③当a ≥1时，m (x )＜1a，因为1a ≤1，m (x )在x ∈Z 时大于或等于1，所以m (x )＜1a无整数解，舍去．综上所述，a 的取值范围为e 22e 2－1，＋∞.[关键点拨]在求解有关x 与e x 的组合函数综合题时要把握三点： (1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．考点三 x 与e x ，ln x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )ln x ±e x (h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e xh (x )±ln x (其中h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不同时为0))的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”．方法一：分离参数，设而不求[典例] 已知函数f (x )＝ln x ＋m x ，g (x )＝e xx (e ＝2.718 28……为自然对数的底数)，是否存在整数m ，使得对任意的x ∈12，＋∞，都有y ＝f (x )的图象在y ＝g (x )的图象下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在整数m 满足题意，则不等式ln x ＋m x ＜e x x ，对任意的x ∈12，＋∞恒成立，即m ＜e x －x ln x 对任意的x ∈12，＋∞恒成立．令v (x )＝e x －x ln x ，则v ′(x )＝e x －ln x －1，令φ(x )＝e x －ln x －1，则φ′(x )＝e x －1x，易知φ′(x )在12，＋∞上单调递增，因为φ′12＝e 12－2＜0，φ′(1)＝e －1＞0且φ′(x )的图象在12，1上连续，所以存在唯一的x 0∈12，1，使得φ′(x 0)＝0，即e x 0－1 x 0＝0，则x 0＝－ln x 0. 当x ∈12，x 0时，φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )单调递增．则φ(x )在x ＝x 0处取得最小值，且最小值为φ(x 0)＝e x0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1＞2x 0·1x 0－1＝1＞0，所以v ′(x )＞0，即v (x )在12，＋∞上单调递增，所以m ≤e 12－12ln 12＝e 12＋12ln 2≈1.995 29，故存在整数m 满足题意，且m 的最大值为1. [关键点拨]若分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时可以采用设而不求的方法．在本题中，通过虚设零点x 0，得到x 0＝－ln x 0，将e x 0－ln x 0－1转化为普通代数式1x 0＋x 0－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x 0，即借助φ′(x 0)＝0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的．方法二：分离ln x 与e x[典例] 设函数f (x )＝ln x ＋1x ，求证：当x ＞1时，不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1).[解题观摩] 将不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)变形为1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x ＞2e x －1x e x ＋1，分别构造函数g (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1.对于g ′(x )＝x －ln x x 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.因为x ＞1，所以φ′(x )＞0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )＞φ(1)＝1＞0，所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＞1时，g (x )＞g (1)＝2，故g (x )e ＋1＞2e ＋1. 对于h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，因为x ＞1，所以1－e x ＜0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝2e＋1.综上所述，当x ＞1时，g (x )e ＋1＞h (x )，即f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1).[关键点拨]若不分离e x 与ln x ，则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理拆分与变形．高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的容易用导数工具求解的函数模型．考点四借助e x ≥x ＋1和ln x ≤x －1进行放缩[典例] 已知函数f (x )＝mx 2＋nx －x ln x (m ＞0)，且f (x )≥0.(1)求 nm的最小值；(2)当n m 取得最小值时，若方程e x －1＋(1－2a )x －af (x )＝0无实根，求实数a 的取值范围．[解题观摩] (1)令g (x )＝f (x )x ＝mx ＋n －ln x ，则f (x )≥0?g (x )≥0(x ＞0)，又因为g ′(x )＝mx －1x ，由g ′(x )＞0，得x ＞1m ；由g ′(x )＜0，得0＜x ＜1m ，所以g (x )在0，1m 上单调递减，在1m ，＋∞上单调递增．此时g (x )min ＝g 1m ＝1＋n －ln 1m ≥0?1m ＋n m －1m ln 1m ≥0，即n m ≥1m ln 1m －1m. 令h (t )＝t ln t －t (t ＞0)，则h ′(t )＝ln t ，由h ′(t )＞0，得t ＞1；由h ′(t )＜0，得0＜t ＜1，所以h (t )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h (t )min ＝h (1)＝－1，则nm ≥－1，即n m min ＝－1.(2) 由(1)知，当n m 取得最小值－1时，t ＝1m ＝1，m ＝1，n ＝－1.则e x －1＋(1－2a )x －af (x )＝0?a ＝e x －1＋xx (x ＋1－ln x )，记H (x )＝e x －1＋xx (x ＋1－ln x )(x ＞0)，则H ′(x )＝(x －1)[(x －ln x )e x －1－x ]x 2(x ＋1－ln x )2，由(1)知 x －1－ln x ≥0?ln x ≤x －1，即e x －1≥x ，则(x －ln x )e x －1－x ≥e x －1－x ≥0(当且仅当x ＝1时取等号)，所以当x ∈(0,1)时，H ′(x )＜0，所以H (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，H ′(x )＞0，所以H (x )在(1，＋∞) 上为增函数．所以x ＝1时，H (x )取得最小值，为H (1)＝1.由ln x ≤x －1，自变量取1x 可得－ln x ≤1x －1?2≤x ＋1－ln x ≤x ＋1x ，即x (x ＋1－ln x )≤x 2＋1?1x (x ＋1－ln x )≥1x 2＋1，由x －1≥ln x ，自变量取e x 3可得e x 3－1＞x 3(x ＞0)，从而e x ＞? ??x ＋333，则可得e x －1＞(x ＋2)327.当x ＞1时，H (x )＝e x －1＋xx (x ＋1－ln x )＞(x ＋2)327(x 2＋1)＞(x ＋1)327(x ＋1)2＝x ＋127，即H (x )无最大值，所以H (x )∈[1，＋∞)．故a ＜1时原方程无实根，即实数a 的取值范围为(－∞，1)． [关键点拨]借助放缩，巧妙求出H (x )的最小值，同时利用放缩说明H (x )没有最大值，从而求出实数a 的取值范围．。
第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln2．解得t=1λ故答案为1λln2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 33010=0a +blog 39010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3Q 10⩾2，即 log 3Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg2x >lg300即 xlg2>2+lg3∴x >2+lg3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log32700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。
常见函数模型的应用一、考情分析有一些常见的函数，如y =ln x +1 -x ,y =e x -x -1等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.二、解题秘籍(一)常见对数型函数模型1.函数f x =ln x +1 -x 在-1,0 上是增函数，在0,+∞ 是减函数，f x 在x =0处取得最大值0，2.f x =ln x 的图象与直线y =x -1在x =1相切，以直线y =x -1为切线的函数有：y =ln x ，y =e x -1-1，y =x 2-x ，y =1-1x，y =x ln x .3.与对数型函数有关的常见不等式有：ln x +1 ≤x ,ln x ≤x -1,ln x ≥1-1x,ln x <x ,ln x <x ，ln x <2x -1x x >1 ，ln x >2x -1x 0<x <1 .4.利用ln x +1 ≤x 可得到ln n +1 -ln n <1n，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.【例1】函数f x =ln x -a x -1 e x ，其中a ∈R ．(1)若a ≤0，讨论f (x )的单调性；(2)若0<a <1e．(ⅰ)证明：f (x )恰有两个零点；(ⅱ)设x 0为f (x )的极值点，x 1为f (x )的零点，且x 1>x 0，证明：3x 0-x 1>2．(二)常见指数型函数模型1.函数f x =e x -x -1在-∞,0 上是减函数，在0,+∞ 上是增函数，f x 在x =0处取得最小值0，2.与对数型函数有关的常见不等式有：e x ≥x +1,e x >x ,e x ≥ex ，e x <11-x x >0 ,e x <-1xx <0 ，e x ≥1+x +12x 2x >0 .【例2】已知函数f(x)=(mx-1)e x，m∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若p∈R，q∈(0,+∞)，证明：当m=1时，f(p+q)+32(p-q)2+2q>f(p-q)+32(p+q)2(三)常见三角函数模型1.函数f x =sin x-x在0,+∞上是减函数，函数g x =12x2+cos x在0,+∞上是增函数g x =-f x，2.与三角函数有关的常见不等式有：sin x<x x>0，sin x<x<tan x0<x<π2,sin x≥x-12x2，1-12x2≤cos x≤1-12sin2x.【例3】(2023届四川省成都市高三上学期摸底)已知函数f x =12x2+cos x．(1)记函数f x 的导函数是f x ．证明：当x≥0时，f x ≥0；(2)设函数g x =sin x+cos x-2x-2e x，F x =af x +g x ，其中a<0．若0为函数F x 存在非负的极小值，求a的取值范围．(四)y=ln x x或y=x ln x.y=ln x x在0,e上是增函数，在e,+∞上是减函数，x=e时取得最大值1e，利用y=ln xx性质解题易错点是该函数在e,+∞上是减函数，但该函数在e,+∞上没有零点，因为x>e时y>0.【例4】(2022届“云教金榜”N1联考高三下学期5月冲刺)已知函数f x =e x-ax ln x在x=1处的切线与x 轴平行．(1)求a的值；(2)求证：f x 在区间0,+∞上不存在零点．(五)y=e x x或y=xe x讨论y=e xx的性质要注意x≠0，该函数在-∞,0和0,1单调递减，在1,+∞单调递增【例5】(2022届贵州省六盘水市第五中学高三上学期期末)设函数f x =te x+a1-tx a∈R,t∈0,1，其中e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯.(1)若f x <e x在0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围；(2)当t=12时，若函数f x 有两个零点，求实数a的取值范围.三、典例展示【例1】(2022届吉林省东北师范大学附属中学高三第五次模拟)已知函数f x =ln xx-1，x∈1,+∞，(1)判断函数f x 的单调性；(2)证明：2x+1<f x <1.【例2】(2022届江西省九江市高三第三次模拟)已知函数f x =sin x-x+ax2a∈R.(1)当a=0时，试比较f x 与0的大小；(2)若f x ≥0恒成立，求a的取值范围.【例3】(2022届天津市耀华中学高三下学期二模)已知函数f (x )=ae x x+ln x -x (a >0).(1)若a =1，求函数f x 的单调区间；(2)若f x 存在两个极小值点x 1,x 2，求实数a 的取值范围.【例4】已知函数f x =ln x -ax 2-bx a ,b ∈R ．(1)当a =0时，若f x ≤0在x ∈0,+∞ 上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)设x 1,x 2为f x 的两个不同零点，证明：f x 1+x 2 <x 1+x 2e-2．四、跟踪检测1.已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.ln x-ax，a>0．2.已知函数f x =x+1x(1)若a=2，求函数f x 的极值；(2)设g x =12e ax-ax2+ax，当x>0时，f x ≤g x (g x 是函数g x 的导数)，求a的取值范围．3.设函数f x =x ln a-a ln x，a>1．(1)若对任意x∈4,+∞，都有f x ≥0，求a的取值范围；(2)设g x,n，n∈N*．当0<x<1时，判断g x,n+⋅⋅⋅+f x n=f x +f x2是否能，g x,2n，g x,3n 构成等差数列，并说明理由．(a≠0).4.已知函数f(x)=axe x(1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤1e恒成立，求实数a的取值范围；(2)设m,n是两个不相等的实数，且m=ne m-n．求证：m+n>2.5.已知函数f x =e x -ex 2+ax a ∈R .(1)若f x 在-1，1+ln2 单调，求a 的取值范围.(2)若y =f x +ex ln x 的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围.6.(2022届山东省泰安市高三全真模拟)已知函数f (x )=g (x )-ln x .(1)若函数g (x )=12x 2+ax +a ln x ，讨论f (x )的单调性.(2)若函数g (x )=12x 2x 2-x ln x +1x ，证明：f (x )>1+ln22.7.已知函数f(x)=xe ax-e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln(n+1)．8.已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)ln x．(1)当a=0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．9.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断)已知函数f x =e x x-ln x+x-a．(1)若f x ≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f x 有两个零点x1,x2，则x1x2<1．10.(2022届青海省高三第四次模拟)已知函数f x =e x-x-1.(1)求f x 的最小值；(2)若x>0，证明：f x ≥x2+e-3x.11.已知函数f x =x ln x-ax.(1)讨论f x 的单调性；(2)当a≤-1时，设g x =f x -2x sin x+x，求证：g x 在0,2π上只有1个零点12.已知函数f x =a ln x-x，a∈R.(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0，+∞)，均有f(x)≤0，求a的取值范围；(3)求证:∑nk=11ln k2+k>n+1-1 .原卷及解答见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495。
关于lnx的两个不等式在解高考压轴题中的应用随着科学技术的发展，数学在我们的生活中起着越来越重要的作用。
尤其是考试中，数学公式和不等式经常被用来解决高考压轴问题。
今天，我们要谈论的是lnx两个不等式在解决高考压轴题中的应用。
首先，我们要了解lnx的概念。
“Ln”是自然对数的记号，它的定义为：“e的x次方的对数”（e=2.71828），其中x是任意实数，e 是自然对数的底数。
按照此定义，lnx可以写成下面的形式：lnx = ln（ex）这就是lnx的概念。
将概念理解清楚后，我们来研究lnx的两个不等式。
lnx的第一个不等式是：lnx≤x也就是说，当x大于0时，lnx的值一定小于等于x。
lnx的第二个不等式是：lnx < x/2也就是说，当x大于0时，lnx的值一定小于x的一半。
将这两个不等式应用到高考压轴题中，可以帮助我们更快更准确地解决问题。
以下是一种常见的高考题型：某一项研究调查表明，某一时刻，某一地区的某种植物的生长趋势如下：t（t>0） 2tln t ln 2t运用上面的两个不等式可以得出下面的结论：将上面的不等式反推，可以得出：ln t≤t 且 ln 2t < t/2由此可见，当t大于0时，植物的生长趋势可以用上面的两个不等式表示。
同样的，我们可以运用lnx两个不等式解决一些其他高考压轴题，比如：题目：已知x，y为正实数，求证：2e^x < 2e^(x-y)解：用lnx两个不等式可以得出：ln(2e^x) < ln(2e^(x-y))即：2x < 2(x-y)即证明成立。
从上面的题目中可以看出，lnx的两个不等式可以帮助我们轻松解决一些复杂的高考压轴题。
综上所述，lnx的两个不等式在解决高考压轴题中可以大有裨益。
它们可以帮助我们以较快的速度解决一些比较复杂的题目，从而提高我们在考试中的数学卷分数。
所以，广大学子应该学习并了解lnx的两个不等式，以提高自己解高考压轴题的能力。
lnx和x阶数-回复什么是lnx和x阶数？在数学中，lnx是指以e（自然对数的底数）为底的对数函数。
x阶数是指对数函数的指数。
对数函数是数学中非常重要的函数之一，它常被用于解决各种问题，尤其是在计算复杂度和增长率方面。
lnx和x阶数涉及到了对数函数和指数的概念，下面我们将一步一步回答这个问题。
首先，让我们来了解一下对数函数的基本定义和性质。
对数函数是指一个函数，它可以将正数映射到实数空间。
其中，lnx是以e为底的对数函数，它的定义域是正实数集合，值域是实数集合。
对数函数的定义是这样的：对于任意的x>0，lnx定义为e的多少次幂等于x，即e的y次幂等于x，其中y为lnx。
换句话说，lnx表示e的y次幂等于x，而y表示lnx的值。
在数学中，对数函数有许多重要的性质。
其中之一是对数函数的导数与函数本身的关系。
对于lnx而言，它的导数等于1/x。
这也意味着lnx的斜率在任意一点x处都等于1/x。
这个性质使得lnx成为了一种非常有用的工具，可以帮助我们解决各种计算问题。
接下来，我们来了解一下x阶数的概念。
x阶数是对数函数的指数。
在数学中，指数是一个非常重要的概念，它用来表示一个数的乘方运算。
x阶数表示的是对数函数的指数与x的关系。
具体来说，x阶数是指对数函数lnx中e的指数。
例如，如果lnx的e的指数为2，那么x的阶数就是2。
x阶数通常用大写字母O来表示，称为大O符号。
例如，O(2)表示x的阶数为2。
在计算复杂度和增长率的分析中，x阶数起到了非常重要的作用。
它可以帮助我们衡量算法的效率，预测算法的运行时间和空间复杂度，并对算法进行比较和优化。
综上所述，lnx和x阶数都是数学中非常重要的概念。
lnx是以e为底的对数函数，它的值表示e的多少次幂等于x。
x阶数则表示对数函数lnx中e 的指数，用于衡量算法的复杂度和增长率。
通过对lnx和x阶数的理解，我们可以更好地理解和应用对数函数，并在计算问题中更加准确地评估和分析算法的效率。
