刘鸿文《材料力学》学习辅导书(动载荷)【圣才出品】

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刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】

图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0；解得：FN1＝Fx/（lsinα）；故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。（2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b）所示。由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值，且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的发形属于何类基本发形。
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刘鸿文《材料力学》学习辅导书(厚壁圆简和旋转圆盘)【圣才出品】

ρ＝a＝75mm，p1＝120MPa。
由只有内压力壁圆筒的应力计算公式得
径向应力

b
p1a2 2 a
2

b2 2
1
120106 752 1252

1252 752

752
1 Pa
120MPa
周向应力
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b2 2
1

20 56.52 972

972
56.52

56.52
1 MPa
40.4MPa
第三强度理论的相当应力σr3
σr3＝2p1b2/（b2－a2）＝2×20×972/（972－56.52）MPa＝60.4MPa
16.2 某型柴油机的连杆小头如图 16-2-2 所示。小头外径 d3＝50mm，内径 d2＝ 39mm。青铜衬套内径 d1＝35mm。连杆材料的弹性模量 E＝220GPa，青铜衬套的弹性模量 E1＝115GPa，两种材料的泊松比皆为μ＝0.3。小头及铜衬套间的过盈量按直径计算为（0.068＋0.037）mm，其中 0.068mm 为装配过盈，0.037mm 为温度过盈。试计算小头与衬套间的压力。

252 252
19.52 19.52

0.3
27.6MPa
16.3 炮筒内直径为 150mm，外直径为 250mm。射击时筒内气体的最大压力为 p1
＝120MPa。试求炮筒内侧面的周向应力及径向应力。
解：炮筒属于只有内压的情况，且 a＝150/2mm＝75mm，b＝250/2mm＝125mm，

刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(15-18章)【圣才出品】

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第 15 章平面曲杆
15.1 复习笔记
一、曲杆纯弯曲时的正应力轴线为曲线的曲杆，其横截面有对称轴，曲杆轴线在纵向对称面内为平面曲线，则称为平面曲杆。平面曲杆对称弯曲时，荷载作用于纵向对称面内，变形后曲杆轴线仍在纵向对面内。曲杆的纯弯曲是指在曲杆的纵向对称面内，两端作用大小相等、方向相反的两个弯曲力偶矩。
R1＝R0＋40＝120mm，R2＝R0－40＝40mm
中性层的曲率半径为
r
A dA A
h
ln
R1 R2
80
ln
120 40
mm
72.8mm
故截面面积对中性轴的静矩为
S＝A（R0－r）＝80×30×（80－72.8）×10－9m3＝1.73×10－5m3
最大拉应力发生在截面离曲率中心最近的内侧边缘，即
1．小曲率曲杆当曲杆轴线曲率半径 R0 与截面形心到截面内侧边缘的距离 c 的比值 R0/c＞10 时，属于小曲率曲杆，其正应力可近似的用直梁公式σ＝My/Iz 计算。
2．大曲率曲杆当 R0/c≤10 时，为大曲率曲杆，可应用公式σ＝My/Sρ计算其正应力。
3．中性层曲率半径的确定（1）矩形截面
由直梁正应力公式σmax＝M/W 可得
σmax＝600×6/（2×42×10－6）Pa＝112.5MPa
两者误差比较
（σ内－σmax）/σ内＝（153.6－112.5）/153.6＝26.8%
（σ外－σmax）/σ外＝（87.24－112.5）/87.24＝－29%
15.3 作用于图 15-2-2 所示开口圆环外周上的均布压力 p＝4MPa，圆环的尺寸为 R1 ＝40mm，R2＝10mm，b＝5mm。试求其横截面上的最大正应力。

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)

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图 4-3
2．载荷的简化（1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。（2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。（3）集中力偶
3．静定梁的基本形式为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种形式的梁均为静定梁。（1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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刘鸿文《材料力学》(第5版)(下册)-课后习题-第10~13章【圣才出品】

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图 10-3
解：如图 10-3（b）所示，取长为 x 的杆段迚行受力分析：
自重：
，惯性力：
根据平衡条件
，可得：
故该截面上的应力：
由此可知，当
时，有最大应力：
。
10.3 桥式起重机上悬挂一重量 P＝50 kN 的重物，以匀速度 υ＝1 m/s 向前秱（在图 10-4 中，秱动的方向垂直于纸面）。当起重机突然停止时，重物像单摆一样向前摆动，若梁为 No.14 工字钢，吊索横截面面积 A＝5×10-4 m2，问此时吊索内及梁内的最大应力增加多少?设吊索的自重以及由重物摆动引起的斜弯曲影响都忽略丌计。
图 10-13
解：在 F 2kN 静载作用下，作用点的位秱：
图 10-11
10.9 图 10-12 所示机车车轮以 n＝300 r/min 的转速旋转。平行杆 AB 的横截面为矩形，h＝5.6 cm，b＝2.8 cm，长度 l＝2 m，r＝25 cm，材料的密度为 ρ＝7.8 g/cm3。试确定平行杆最危险的位置和杆内最大正应力。
图 10-12
解：当杆运动至最低位置时，重力不惯性力相叠加，此时最危险。将杆的自重和作用在
。
10.7 图 10-8 所示钢轴 AB 的直徂为 80 mm，轴上有一直徂为 80 mm 的钢质圆杆 CD，CD 垂直于 AB。若 AB 以匀角速度 ω＝40 rad/s 转动。材料的许用应力[ζ]＝70 MPa，密度为 7.8 g/cm3。试校核 AB 轴及 CD 杆的强度。
图 10-8
解：如图 10-9 所示，构件匀速转动时，杆 CD 单位长度的惯性力 qd 为：
2 n 60

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题及考研真题详解(10-12章)【圣才出品】

第 10 章动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以及构件受到冲击时的应力和变形计算。
静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。一、动静法的应用动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。质点上的惯性力等于该质点质量 m 与其加速度 a 的乘积，惯性力方向与加速度反向。对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤：（1）求出动荷系数 Kd；（2）按静载荷求解应力 σst、变形 Δst 等；（3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为 σd＝Kdσst Δd＝KdΔst
= st
1−
Fd P
2．交变应力在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。交变应力下的强度条件不可用静载的方法建立。
3．动应力、动荷载与放大因子的关系（
曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时 β 最大，引起共振。通过改变 ω/ω0 或增大阻尼 δ 可降低 β 避免共振。
dmax
= st
1+
Fd st
= st
1+
Fd P
=
Kd st
式中，振动的动荷载因数
Kd
=1+
Fd st
=1+
Fd P
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Fd 为干扰力 Fd 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第11~13章【圣才出品】

（d）已知则应力幅：平均应力：故斜率：对应点如图 11-10 所示。
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图 11-8
解：（1）校核 1-1 截面
该截面的弨矩：
则该截面最大正应力：
根据题意，1-1 截面： D 133 1.23, R 20 0.185
d 108
d 108
由此查表得弨曲时的有效应力集中系数：
二、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
图 11-1
如图 11-1 所示，按正弦曲线变化的应力 ζ 不时间 t 的关系，在一个周期 T 内完成一个
应力循环，该交变应力的最大应力和最小应力分别记作 σmax 和 σmin，则该交变应力有：
循环特征（应力比）：
；
应力幅：
；
平均应力：
。
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②查教材图 11-8（c）， b 920 MPa ，插值得扭转时的有效应力集中因数 K 1.26 ；查教材表 11.1，得扭转时的尺寸因数 0.81。
11.5 货车轮轴两端载荷 F＝110 kN，材料为车轴钢，σb＝500 MPa，σ-1＝240 MPa。规定安全因数 n＝1.5。试校核 1-1 和 2-2 截面的弫度。
解：根据题意，最大应力：
最小应力：则平均应力：应力幅：
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循环特征：
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曲线如图 11-4 所示。
图 11-4
11.3 某阀门弪簧如图 11-5 所示。当阀门关闭时，最小工作载荷 Fmin＝200 N；当阀
门顶开时，最大工作载荷 Fmax ＝500 N。设簧丝的直徂 d＝5 mm，弪簧外徂 D1＝36 mm，

刘鸿文《材料力学》学习辅导书(矩阵位移法)【圣才出品】

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2．受扭杆件
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其单元刚度方程
km

GIp l
1

1
1
1

3．受弯杆件
受弯杆件称为梁单元，其单元刚度矩阵为
12 6l 12 6l
km

EI l3

6l
12
4l 2 6l
6l 12
1

1
1
1

u1 u2

84
106

1 1
1 0
1

u2

①

FN23 FN24

AE2 l
1

1
1
1

u3 u4

28
106

1 1
1 0
1

2l 2

6l

6l
2l 2
6l
4l 2

二、梁单元的中间载荷作用于梁上节点之间的载荷称为中间载荷，为简便运算，常将中间载荷置换为作用在节点上的载荷。表 17-1-1 为几种常见情况的固端反力和反力矩。
表 17-1-1
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FN12 =84106u2 55.4kN
FN24 =28106 0.5u2 9.22kN
17.2 图 17-2-2 所示圆钢杆与铝套筒在端截面刚性连接。两者的横截面面积分别为： A 钢＝1000mm2，A 铝＝500mm2。l＝1m。弹性模量分别为：E 钢＝210GPa，E 铝＝70GPa。

刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第3~4章【圣才出品】

Me 2 r 2
2．切应力互等定理
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单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面的交线，方向则共同挃向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例枀限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
ν
1
2
2
2G
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
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三、囿轴扭转时的应力和变形 1．囿轴扭转时的应力（1）应力计算公式推导囿轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。 ①变形几何关系：囿轴扭转的平面假设； ②物理关系：剪切胡克定律； ③静力关系：横截面上的内力系对囿心的力矩合成为扭矩。如图 3-1-2 所示，横截面上任一点的切应力为 τρ＝Tρ/Ip 囿截面边缘的最大切应力 τmax＝TR/Ip＝T/Wt 式中，ρ 为应力点到囿心的距离；Ip 为横截面的枀惯性矩；Wt 为扭转截面系数。
4c 1 4c 4
0.615 c
8FD πd 3
k
8FD πd 3
式中，c 为弹簧挃数，c＝D/d；k 为曲度系数
k 4c 1 0.615 4c 4 c
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2．弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圀中心的力 F 的作用下，沿力的作用方向的位秱
8FD3n 64FR3n F
图 3-1-2 对于直徂为 D 实心囿形截面 Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16 对于内徂为 d，外徂为 D 的空心囿截面

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(组合变形)【圣才出品】

Iz
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算危险点通常位于截面上距中性轴最远处。（1）强度条件危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。（2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析（1）拉伸正应力：

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第10章动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以及构件受到冲击时的应力和变形计算。

静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。

动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。

一、动静法的应用
动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。

质点上的惯性力等于该质点质量m与其加速度a的乘积，惯性力方向与加速度反向。

对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤：（1）求出动荷系数K d；
（2）按静载荷求解应力σst、变形Δst等；
（3）将所得结果乘以动荷系数K d可得动载荷作用下的动应力和变形分别为
σd＝K dσst
Δd＝K dΔst
二、杆件受冲击时的应力和变形
1．求解杆件受冲击问题时的基本假设
（1）不计冲击物的变形；
（2）冲击前后，冲击物与杆件构成的系统机械能守恒；
（3）构件材料服从胡克定律。

2．常见几种情况下的动荷因数
（1）自由落体
图10-1-1
如图10-1-1所示，在重物
P 从高度为h 处自由下落的冲击作用下，对杆件作动应力分
析时的动荷因数
其中，对于突然加载的情况，相当于物体自由下落高度h ＝0的情况，此时动荷因数K d ＝2，即杆件的应力和变形均为静载时的2倍。

（2）水平冲击
d 1K =
图10-1-2
如图10-1-2所示，设冲击物与杆件接触时的速度为v ，此时求解动载荷问题时的动荷因数
3．冲击韧性
材料的抗冲击能力用冲断试样所需的能量来表征。

冲击韧性的表达式为
式中，W 为重摆所做的功；A 为试样在缺口处的最小横截面面积；冲击韧性αK 的常用单位为J/cm 2。

①冲击韧性是材料性能指标之一，αK 越大材料的抗冲能力越强。

②一般塑性材料抗冲击能力高于脆性材料。

③冲击韧性与试件的形状、尺寸、支撑条件等有关，且随温度降低而减小，表现为材料的冷脆现象。

K W A
α=
三、受迫振动的应力计算（仅作了解）
研究对象：可简化为一个自由度的弹性受迫振动系统。

将承受变形的弹性杆件视为弹簧。

对于不计质量且仅考虑弹性的构件上只有一个振动物体时，均可简化为一个自由度的振动系统，构件受到的拉压、扭转或弯曲作用只改变系统的弹簧刚度系数。

1．应力相关计算公式
①系统固有频率（角频率）ω0
式中，g
为重力加速度；Δst 为静位移；k 为弹簧刚度系数；P
为静荷载作用。

②放大因子β
式中，ω为干扰力的频率；δ为阻尼系数。

③危险点的最大动应力σdmax
式中，振动的动荷载因数
0ω==1β=
d d dmax st st d st st 11F F K P σσβσβσ∆⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝
⎭d d d st 11F F K P
ββ∆=+=+∆
为干扰力F d 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。

④危险点的最小动应力σdmin
2．交变应力在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。

交变应力下的强度条件不可用静载的方法建立。

3．动应力、动荷载与放大因子的关系（曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时β最大，引起共振。

通过改变ω/ω0或增大阻尼δ可降低β避免共振。

②ω/ω0＜＜1：此时β→1，受迫振动的振幅等于干扰力作为静荷载时的挠度。

增加弹性系统的刚度可以减小静位移。

③ω/ω0＞1：β随ω/ω0增大而减小，受迫振动随之减弱。

当ω/ω0＞＞1时β→0，可不考虑干扰力的作用，应增加静位移来降低弹性系统固有频率。

10.2 课后习题详解
10.1 图10-2-1所示均质等截面杆，长为l ，重为W ，横截面面积为A ，水平放置在一排光滑的滚子上。

杆的两端受轴向力F 1和F 2的作用，且F 2＞F 1。

试求杆内正应力沿杆件
d F ∆d d dmin
st st st 11F F P σσβσβ∆⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝
⎭
长度分布的情况（设滚动摩擦可以忽略不计）。

图10-2-1
解：杆在已知力作用下有向右的加速度：a＝F/m＝（F2－F1）g/W。

如图10-2-2所示，将杆沿x截面断开，分析杆受力，可得轴力沿长度分布情况
F N（x）＝F1＋Wxa/（gl）＝F1＋（F2－F1）·x/l
则正应力沿长度分布情况：σ（x）＝F N（x）/A＝（1/A）[F1＋（F2－F1）·x/l]。

图10-2-2
10.2 如图10-2-3所示，长为l，横截面面积为A的杆以加速度a向上提升。

若材料的密度为ρ，试求杆内的最大应力。