课时跟踪检测(十一) 指数函数及其性质

课时跟踪检测（二十二）指数函数的图象和性质A级——学考水平达标练1．下列判断正确的是( )A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．＜π D．0.90.3＞0.90.5解析：选D ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，∴0.90.3＞0.90.5.2．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)解析：选C 要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x＞0，所以0≤16－4x＜16，即函数y＝16－4x的值域为[0,4)．3．若函数f(x)＝a x－a的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是( )A．[0,1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(2，＋∞)解析：选B ∵a x－a≥0，∴a x≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1.4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )解析：选A 由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.5．若函数y＝a x＋m－1(a＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1解析：选B y＝a x(a＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y＝a x＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝a x向下移动．当0＜a＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222x x －＋的值域是________．解析：设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12， ∴函数值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 7．若－1＜x ＜0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1＜x ＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c8．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，给出下列五个关系式：①0<b <a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中，不可能成立的有________个．解析：作y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象．当a ＝b ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b＝1；当a <b <0时，可以使⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ；当a >b >0时，也可以使⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b .故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.答案：29．若函数f (x )＝a x－1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．解：当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x－1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2，a 2－1＝0无解．当a ＞1时，函数f (x )＝a x－1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3.综上，a 的值为 3.10．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．解：原函数变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋1，x <1.显然函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，先画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥0)的图象，再作出其关于y 轴对称的图象，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，再向右平移1个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象，如图所示．由图象可知，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0,1]．B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝x ·2x|x |的图象大致为( )解析：选B f (x )＝x ·2x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，－2x，x ＜0.由指数函数的图象知B 正确．2．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0解析：选C 易知y ＝2－|x |－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m ＝0有解，即m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |有解．∵0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1.3．(1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值．解：(1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}． 当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}． (2)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2，∴y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2.令m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝m 2.由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋1.∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，且a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．解：(1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0. 即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1.故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)． (3)画出|f (x )|＝|(3)x－3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2－x.(1)求函数f (x )在R 上的解析式，并作出f (x )的大致图象； (2)根据图象写出函数f (x )的单调区间和值域． 解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝2x.因为f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝2x，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，2－x，x ≥0.作出函数大致图象如图所示．(2)由图象得：函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．值域是(0,1]．。

——教学资料参考参考范本——高中数学课时跟踪检测十七指数函数及其性质新人教B版必修1______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.A．0 B．1C．3 D．4解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝的定义域是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)解析：选C 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )解析：选A 当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y ＝ax 与y ＝bx 的图象如图，则( )A ． a ＜0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞1D ．0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：选C 由图象知，函数y ＝ax 在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝bx 在R 上单调递增，故b ＞1.6．若函数f(x)＝(a2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝______. 解析：由指数函数的定义得解得a ＝1. 答案：17．已知函数f(x)＝ax ＋b(a ＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．解析：由已知得解得⎩⎨⎧a＝12，b＝3，所以f(x)＝x ＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x ＜1，∴－1＜－2－x ＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2－1；(2) y ＝.x 1x 222－解：(1)要使y ＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y ＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．x 1x 1x 1x 1x 1x1(2)函数y ＝的定义域为实数集R ，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y ＝的值域为(0,9]．x 222－x 222－x 222－10．已知函数f(x)＝ax －1(x≥0)的图象经过点，其中a ＞0且a≠1.(1)求a 的值．(2)求函数y ＝f(x)(x≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a ＝.(2)由(1)知函数为f(x)＝x －1(x≥0)，由x≥0，得x －1≥－1.于是0＜x －1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二 应试能力达标1．函数y ＝的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝ 的值域为[0,4)．2．函数y ＝2－1的定义域、值域分别是( ) A ．R ，(0，＋∞)B ．{x|x≠0}，{y|y ＞－1}C ．{x|x≠0}，{y|y ＞－1，且y≠1}D ．{x|x≠0}，{y|y ＞－1，且y≠0}解析：选C 要使y＝2－1有意义，只需有意义，即x≠0.若令u＝＝1－，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．3．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y＝－x对称解析：选C 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C.4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )解析：选C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.5．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f＝得，a－＝5－2＝5－，∴a＝5，∴f(x)＝5x.答案：5x6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}7．已知函数f(x)＝|x|－1.(1)作出f(x)的简图；(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝如图所示．(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x ＝2时，f(x)取得最小值－24.。

课时跟踪检测（十三） 指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选B 作出y ＝2x 与y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)，观察可知其关于y 轴对称．2．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c解析：选D a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .3．(2018·丽水模拟)已知实数a ，b 满足12>⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫22b >14，则( ) A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a 解析：选B 由12>⎝⎛⎭⎫12a ，得a >1， 由⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a >⎝⎛⎭⎫22b ，得2a <b ， 由⎝⎛⎫22b >14，得⎝⎛⎭⎫22b >⎝⎛⎭⎫224，得b <4. 由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2， ∴1<a <2,2<b <4.取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝ 72－32＝2， 有a >b －a ，排除C ； b >2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910得，b －a ＝ 3910－1110＝ 145， 有a <b －a ，排除D ，故选B.4．(2017·宁波期中)若指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，则f (3)＝________；不等式f (x )＋f (－x )<52的解集为____________．解析：设指数函数解析式为y ＝a x ，因为指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，所以4＝a －2，解得a ＝12， 所以指数函数解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以f (3)＝⎝⎛⎭⎫123＝18； 不等式f (x )＋f (－x )＜52，即⎝⎛⎭⎫12x ＋2x <52， 设2x ＝t ，不等式化为1t ＋t <52，所以2t 2－5t ＋2＜0， 解得12＜t ＜2，即12＜2x ＜2，所以－1＜x ＜1， 所以不等式的解集为(－1,1)．答案：18(－1,1) 5．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝ax ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 法一：因为函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝ax ＋2－1(a >0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是()解析：选B 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0,0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k >－1，所以－1<k <0.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎣⎡⎭⎫34，1C.⎝⎛⎦⎤23，34D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34. 4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( ) A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.5．(2018·温州月考)若函数f (x )＝a e －x －e x 为奇函数，则f (x －1)<e －1e的解集为( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )为R 上奇函数，所以f (0)＝0⇒a ＝1，所以f (x )＝1e x －e x ， 由于e x 为增函数，而1e x 为减函数， 所以f (x )＝1e x －e x 是减函数， 又因为f (－1)＝e －1e ，由f (x －1)<e －1e可得f (x －1)<f (－1)，x －1>－1⇒x >0，故选D. 6．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1. 答案：(0,1)7．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解析：依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎡⎭⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，2.答案：⎣⎡⎭⎫34，28．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.答案：(－1,2)9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13-243－＋x x ， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R)．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，b ∈R)． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数， 故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)<g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |＝2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1>0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)<g (3)等价于g (|2x －1|)<g (3)，∴|2x －1|<3，即－3<2x －1<3，解得－1<x <2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由2x －12x ＝32， 得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12， ∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练1.3·332·612的化简结果为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 原式＝312·⎝ ⎛⎭⎪⎫3213·1216＝312·313·2-13·416·316＝312＋13＋16·211-+33＝3·20＝3.2.函数f ()＝a －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1,0＜b ＜1D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 法一：由题图可知0＜a ＜1，当＝0时，a －b ∈(0,1)，故－b ＞0，得b ＜0.故选D.法二：由图可知0＜a ＜1，f ()的图象可由函数y ＝a 的图象向左平移得到，故－b ＞0，则b ＜0.故选D.3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ⎛⎫⎪⎝⎭21-33b -12-33＝－6ab －1＝－6a b ，故选C. 4．设＞0，且1＜b ＜a ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b解析：选C 因为1＜b ，所以b 0＜b ， 因为＞0，所以b ＞1， 因为b ＜a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＞1，因为＞0，所以a b＞1，所以a ＞b ，所以1＜b ＜a .故选C.5．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝214×23＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ， 由函数y ＝2在R 上为增函数，得a ＞b ， 综上得c ＞a ＞b .故选A.6．函数f ()＝a ＋b －1(其中0＜a ＜1，且0＜b ＜1)的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由0＜a ＜1可得函数y ＝a 的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0＜b ＜1，所以－1＜b －1＜0，所以0＜1－b ＜1，y ＝a 的图象向下平移1－b 个单位即可得到y ＝a ＋b －1的图象，所以y ＝a ＋b －1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．故选C.7．已知函数f ()＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f ()是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当＞0时，f ()＝1－2－，－f ()＝2－－1，此时－＜0，则f (－)＝2－－1＝－f ()；当＜0时，f ()＝2－1，－f ()＝1－2，此时－＞0，则f (－)＝1－2－(－)＝1－2＝－f ()．即函数f ()是奇函数，且单调递增，故选C.8．二次函数y ＝－2－4(＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的交点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C 因为二次函数y ＝－2－4＝－(＋2)2＋4(＞－2)，且＝－1时，y ＝－2－4＝3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2， 在坐标系中画出y ＝－2－4(＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1.故选C.9．已知函数f ()＝－4＋9x ＋1，∈(0,4)，当＝a 时，f ()取得最小值b ，则函数g ()＝a |＋b |的图象为( )解析：选A 因为∈(0,4)，所以＋1＞1， 所以f ()＝－4＋9x ＋1＝＋1＋9x ＋1－5≥2 9x ＋1x ＋1－5＝1，当且仅当＝2时取等号，此时函数有最小值1， 所以a ＝2，b ＝1，此时g ()＝2|＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数图象可以看作由函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到．结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间为________．解析：设u ＝－2＋2＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121-2+2+x x 的单调递减区间即为函数u ＝－2＋2＋1的单调递增区间．又u ＝－2＋2＋1的单调递增区间为(－∞，1]， ∴f ()的单调递减区间为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]11．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12是减函数，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12+-22x a 恒成立，所以2＋a ＞2＋a －2恒成立， 所以2＋(a －2)－a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)． 答案：(－2,2)12．已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f ()的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f ()＞0在定义域上恒成立．解：(1)由于a －1≠0，则a ≠1，得≠0， ∴函数f ()的定义域为{|≠0}． 对于定义域内任意，有 f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x＋12(－)3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋123＝f ()， ∴函数f ()是偶函数． (2)由(1)知f ()为偶函数，∴只需讨论＞0时的情况，当＞0时，要使f ()＞0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x－1＋123＞0， 即1a x －1＋12＞0， 即a x ＋12a x －1＞0，则a ＞1. 又∵＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f ()＞0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．设y ＝f ()在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数，定义f ()＝⎩⎨⎧f xf x K ，K ，f xK .给出函数f ()＝2＋1－4，若对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则( )A ．的最大值为0B ．的最小值为0C ．的最大值为1D ．的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意∈(－∞，1]，恒有f ()＝f ()，则f ()≤在≤1上恒成立，即f ()的最大值小于或等于即可．令2＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴≥1，故选D.2．已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，故2a ＜b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4.由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b 2＜2，故1＜a ＜2,2＜b ＜4. 对于选项A 、B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)＞0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1＜a ＜2,2＜b ＜4，故该式的符号不确定，故C 、D 错误．故选B.3．设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2＋2a －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a (a ＞0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1，∈[－1,1]时，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )ma ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a ＞1时，∈[－1,1]，t ＝a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )ma ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与基本不等式交汇]设f ()＝e ,0＜a ＜b ，若p ＝f()ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f a f b ，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选C ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又f ()＝e 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f a f b ＝e a e b ＝e－a b 2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.5．[与一元二次函数交汇]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1在区间[－3,2]上的值域是________．解析：令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因为∈[－3,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y ma ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，576．[与函数性质、不等式恒成立交汇]已知定义域为R 的函数f ()＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0恒成立，求的取值范围． 解：(1)因为f ()是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f ()＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f ()＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f ()在R 上为减函数，又因为f ()是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－)＝f (－2t 2＋)．因为f ()是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －＞0， 从而Δ＝4＋12＜0，解得＜－13.故的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

第二章 2．1 指数函数素养培优提能一、选择题1．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1.又1.30.86>1，∴c >a >b .故选D ．2．在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x的图象只可能是( )解析：选A 根据指数函数可知a ，b 同号且不相等，∴－b2a <0，可排除B 、D ；由选项C 中的二次函数的图象，可知a －b >0，a <0，∴b a >1，∴指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x单调递增，故C 不正确，排除C ．故选A ．3．定义运算*：a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2＝1，则函数f (x )＝|2x *2－x －1|的值域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 新定义函数的运算结果是取a ，b 中的较小值，则2x*2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12|x |∈(0，1]，所以f (x )＝|2x*2－x －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫12|x |－1∈[0，1)．故选B ． 4．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( )A ．na (1－b %) 万元B ．a (1－nb %) 万元C ．a [1－(b %)n ] 万元D ．a (1－b %)n 万元解析：选D 1年后价值为a (1－b %)万元，2年后价值为a (1－b %)2万元，…，n 年后价值为a (1－b %)n 万元，故选D ．5．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）>k .若对于函数f (x )＝2－x 2＋x ＋2的定义域内的任意实数x ，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A ．k 的最大值为2 2B ．k 的最小值为22C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1解析：选B 由题意，知k ≥f (x )max .函数f (x )＝2－x 2＋x ＋2的定义域为[－1，2]．令t ＝－x 2＋x ＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，2t ∈[1，22]，所以f (x )max ＝22，因此k ≥2 2.故选B ．二、填空题6．满足⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>16的x 的取值范围是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>16，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －3>⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2，由指数函数的单调性，得x －3<－2，即x <1.答案：(－∞，1)7．(2019·福建师大附中期末)设函数f (x )＝2x ，对任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，以下结论正确的是________(填序号)．①f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ③f (－x 1)＝1f （x 1）；④f （x 1）－1x 1<0(x 1≠0)； ⑤f （x 1）＋f （x 2）2>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 解析：2x 1·x 2＝(2x 1)x 2≠2x 1＋2x 2，①错误；根据指数式的运算性质可知同底数幂相乘，底数不变，指数相加，知②正确；根据2－x ＝12x ，知③正确；当x >0时，f (x )>1，当x <0时，0<f (x )<1，所以f （x 1）－1x 1>0，故④错误；因为函数f (x )＝2x的图象是下凸的，结合图象可以判定两个自变量对应的函数值的平均值大于这两个自变量的平均值所对应的函数值，故⑤正确．综上，填②③⑤.答案：②③⑤8．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，给出下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式为________(填序号)．解析：画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图所示，借助图象进行分析．由于实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，所以若a ，b 均为正数，则a >b >0；若a ，b 均为负数，则a <b <0；若a ＝b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b＝1，故③④不可能成立．答案：③④ 三、解答题9．已知f (x )＝a a 2－1(a x－a －x )(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， 从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， 从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． 10．设函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，函数g (x )＝3ax －4x . (1)求g (x )的解析式；(2)若方程g (x )－b ＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18， ∴3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∵g (x )＝3ax －4x ＝(3a )x －4x ， ∴g (x )＝2x －4x .(2)解法一：由(1)知，方程为2x －4x －b ＝0. 令t ＝2x ，x ∈[－2，2]，则14≤t ≤4，且方程t －t 2－b ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个不相等的实数根，即函数y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14的图象与函数y ＝b 的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个交点．作出大致图象，如图所示：由图知当b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14时，方程g (x )－b ＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数根．故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14.解法二：由(1)知方程为2x －4x －b ＝0.令t ＝2x，x ∈[－2，2]，则14≤t ≤4，且方程t －t 2－b ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有两个不相等的实数根，令h (t )＝－t 2＋t －b ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4b >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤0，h （4）≤0，解得316≤b <14.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14.。

课时跟踪检测（十三）指数函数及其性质层级一 学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 x 1－；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x； ④y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D. (0，＋∞)解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D. (1,0)解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是()解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则()A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞1D.0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：选C 由图象知，函数y ＝a x 在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x 在R 上单调递增，故b ＞1.6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝______.解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 答案：78．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数f (x )的值域是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x ＜1，∴－1＜－2－x ＜0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1.(2)y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－2x 2－2.解：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫ 1 3 2x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的值域为(0,9]． 10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝⎛⎭⎫ 1 2 x －1≤⎝⎛⎭⎫ 1 2 －1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二 应试能力达标1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．2．函数y ＝2-x x1－1的定义域、值域分别是( )A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2-x x1－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x ，则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2-x x1－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2-x x1－1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．.直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝525，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝525得，a -32＝512－2＝5-32，∴a ＝5，∴f (x )＝5x .答案：5x6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |x |－1. (1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13 x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－13＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x 的最大值和最小值．解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。

课时跟踪检测指数与指数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f＝2|－1|的大致图象是解析：选B f＝所以f的图象在[1，＋∞上为增函数，在－∞，1上为减函数．2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A．a>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a>b>c解析：选D a>1，b＝1,0<c<1，所以a>b>c3．已知f＝3－b2≤≤4，b为常数的图象经过点2,1，则f 的值域为A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞解析：选C 由f过定点2,1可知b＝2，因为f＝3－2在[2,4]上是增函数，所以f min＝f2＝1，f ma＝f4＝的值域为[1,9]．4．函数f＝的值域为________．解析：由1－e≥0，e≤1，故函数f的定义域为{|≤0}．所以0<e≤1，－1≤－e<0,0≤1－e<1，函数f的值域为[0,1．答案：[0,15．若函数f＝a－1a>0，a≠1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________解析：当a>1时，f＝a－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±又∵a>1，∴a＝当0<a<1时，f＝a－1在[0,2]上为减函数，又∵f0＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a＝答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f＝a－2＋1a>0且a≠1的图象必经过点A．0,1 B．1,1C．2,0 D．2,2答案：D2．已知a＝，b＝0.40.2，c＝，则A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a解析：选A 由<,<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>，即b>c；因为a＝>1，b＝，所以a>b综上，a>b>c3．已知函数f＝，若fa＝－，则f－a＝B．－D．－解析：选A ∵f＝，fa＝－，∴＝－∴f－a＝＝－＝－＝4．设函数f＝若fa＜1，则实数a的取值范围是A．－∞，－3 B．1，＋∞C．－3,1 D．－∞，－3∪1，＋∞解析：选C 当a＜0时，不等式fa＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式fa＜1可化为＜1，所以0≤a＜1故a的取值范围是－3,1．5．当∈－∞，－1]时，不等式m2－m·4－2＜0恒成立，则实数m的取值范围是A．－2,1 B．－4,3C．－1,2 D．－3,4解析：选C 原不等式变形为m2－m＜，∵函数y＝在－∞，－1]上是减函数，∴≥－1＝2，当∈－∞，－1]时，m2－m＜恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜26．已知函数f＝ln的定义域是1，＋∞，则实数a的值为________．解析：由题意得，不等式1－>0的解集是1，＋∞，由1－>0，可得2>a，故>log2a，由log2a＝1得a＝2答案：27．已知函数f＝a|＋1|a>0，a≠1的值域为[1，＋∞，则f－4与f1的大小关系是________．解析：∵|＋1|≥0，函数f＝a|＋1|a>0，a≠1的值域为[1，＋∞，∴a>＝a|＋1|在－1，＋∞上是增函数，且它的图象关于直线＝－1对称，则函数在－∞，－1上是减函数，故f1＝f－3，f－4>f1．答案：f－4>f18．y＝2·a|－1|－1a>0，a≠1过定点________．解析：由题根据指数函数性质令|－1|＝0，可得＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点1,1．答案：1,19．化简下列各式：1＋－2＋23－－3π0＋；2÷解：1原式＝12＋＋23－－3＋＝＋100＋－3＋＝1002原式＝÷＝÷＝a76÷a16－＝a86＝a4310．已知函数f＝a|＋b|a>0，b∈R．1若f为偶函数，求b的值；2若f在区间[2，＋∞上是增函数，试求a，b应满足的条件．解：1∵f为偶函数，∴对任意的∈R，都有f－＝f．即a|＋b|＝a|－＋b|，|＋b|＝|－＋b|，解得b＝02记h＝|＋b|＝①当a>1时，f在区间[2，＋∞上是增函数，即h在区间[2，＋∞上是增函数，∴－b≤2，b≥－2②当0<a<1时，f在区间[2，＋∞上是增函数，即h在区间[2，＋∞上是减函数，但h在区间[－b，＋∞上是增函数，故不存在a，b的值，使f在区间[2，＋∞上是增函数．∴f在区间[2，＋∞上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．当∈[1,2]时，函数y＝2与y＝aa>0的图象有交点，则a 的取值范围是解析：选B 当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·22≥a2，即1<a≤；当0<a<1时，如图②所示，需满足·12≤a1，即≤a<1，综上可知，a∈2．已知定义在R上的函数f＝2－1若f＝，求的值；2若2t f2t＋mft≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解：1当＜0时，f＝0，无解；当≥0时，f＝2－，由2－＝，得2·22－3·2－2＝0，将上式看成关于2的一元二次方程，解得2＝2或2＝－，∵2＞0，∴＝12当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，即m22t－1≥－24t－1，∵22t－1＞0，∴m≥－22t＋1，∵t∈[1,2]，∴－22t＋1∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞．。

课时跟踪检测（二十） 指数函数的概念、图象与性质A 级——学考合格性考试达标练1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.3．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12解析：选C 依题意得：2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，故选C.4．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )解析：选B 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．5．(2019·成都新津中学高一月考)函数f (x )＝x |x |·2x 的图象大致形状是( )解析：选B 由函数f (x )＝x |x |·2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，－2x，x <0，可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零．结合所给的选项，只有B 满足条件，故选B.6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝______．解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．函数y ＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点________．解析：∵a 0＝1，∴当x ＝2时，a x －2＋1＝2，∴函数y ＝a x －2＋1必经过点(2，2)． 答案：(2，2)8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，－2－x ，x ＞0，则函数f (x )的值域是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；∵x ＞0，∴－x ＜0，0＜2－x ＜1，∴－1＜－2－x ＜0.∴函数f (x )的值域为(－1，0)∪(0，1)．答案：(－1，0)∪(0，1)9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x－1.(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.解：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x＞0且21x≠1，故21x－1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以函数的值域为(0，2]．B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |－1的值域是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0]D ．(－1，0]解析：选D 将函数转化为分段函数，则y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫13x－1，x ≥0，⎝⎛⎭⎫13－x－1，x <0，图象如图所示，所以函数的值域为(－1，0]．2．(2019·定州中学高一期末)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在(0，2)内的值域是(1，a 2)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在(0，2)内的值域是(1，a 2)，则由指数函数是单调函数，有a >1.由底数大于1的指数函数是增函数，且在x 轴上方，可知B 正确．故选B.3．函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx的图象关于y 轴对称，选C. 4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1，5)，(0，4)，则f (－2)的值为______． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3 ＝4＋3＝7. 答案：76．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，那么a ，b 的取值范围分别为________．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x 为R 上的减函数，则无论y ＝a x 如何平移，图象均过第二象限，因而不符合题意；当a >1时，根据题意得，函数y ＝a x 的图象需要向下平移，且平移量不小于1个单位长度，即b －1≤－1，解得b ≤0.综上所述，a >1，b ≤0. 答案：(1，＋∞)，(－∞，0] 7．画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．解：原函数变形为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1（x ≥1），⎝⎛⎭⎫12－x ＋1（x <1），显然函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，先画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)的图象，再作出其关于y 轴对称的图象，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，再向右平移1个单位，如图所示．由图象可知，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0，1]．C 级——拓展探索性题目应用练设f (x )＝3x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一平面直角坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解：(1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π； f (m )＝3m，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。

课时跟踪检测（九） 指数与指数函数一、基础练——练手感熟练度 1．函数y ＝ln(2x －1)的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 由2x －1>0，得x >0，所以函数的定义域为(0，＋∞). 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 设t ＝2x －x 2，则t ≤1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，t ≤1，所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞，故选A. 3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3b B ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6ab .4．已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P (1,6)．5．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .二、综合练——练思维敏锐度1．(2021·衡水模拟)已知ab ＝－5，则a －b a ＋b －ab 的值是( )A ．2 5B ．0C ．－2 5D ．±2 5 解析：选B 由题意知ab <0，a －ba ＋b－a b ＝a－ab a 2＋b －ab b 2＝a 5a 2＋b5b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.故选B. 2．已知0<b <a <1，则在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是( ) A ．b a B ．a a C ．a bD ．b b解析：选C ∵0<b <a <1，∴y ＝a x 和y ＝b x 均为减函数，∴a b >a a ，b a <b b ，又∵y ＝x b 在(0，＋∞)上为增函数，∴a b >b b ，∴在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是a b .故选C. 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x 的值域为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选D 由2x ＋1≠0，得y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x ≠1，又y >0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )解析：选C 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，故选C.5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，则m ＝0，故f (x )＝2|x |－1，a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53 |－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.所以c <a <b ，故选C.6．(2021·安徽皖江名校模拟)若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有( ) A ．a ＋b ≤0 B ．a －b ≥0 C ．a －b ≤0D ．a ＋b ≥0解析：选D 令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )在R 上单调递增，因为e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b －πb ，则f (a )≥f (－b )，所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0.故选D.7．(多选)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，下面说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0解析：选AC 对于选项A ，f (x )＝2x －12x ＋1，定义域为R ，则f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝ －f (x )，则f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故A 正确；对于选项B ，计算f (1)＝2－12＋1＝13，f (－1)＝12－112＋1＝－13≠f (1)，故f (x )的图象不关于y 轴对称，故B 错误；对于选项C ，f (x )＝2x －12x＋1＝1－21＋2x ，令1＋2x＝t ，t ∈(1，＋∞)，则f (x )＝g (t )＝1－2t ，易知1－2t ∈(－1,1)，故f (x )的值域为(－1,1)，故C 正确；对于选项D ，易知函数t ＝1＋2x 在R 上单调递增，且y ＝1－2t 在t ∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f (x )＝1－21＋2x 在R 上单调递增，故∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故D 错误．故选A 、C.8．化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝_______.解析：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝⎝⎛⎭⎫2a 23·b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12·b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16·b 56＝4a1621+-32·b5611+-23＝4a 1·b 0＝4a .答案：4a9．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________． 解析：当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，故f (x )max ＝f (0)＝a 0－1＝0，这与已知条件函数f (x )的值域是[0,2]相矛盾．当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，又函数f (x )的定义域和值域都是[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (2)＝a 2－1＝2，a >1，解得a ＝3，所以实数a 的值为 3.答案： 310．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，解得－1<m <2，故m 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)11．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，因为x ∈[－3,0]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)设2x ＝m >0，关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．13．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 三、自选练——练高考区分度1．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示． 因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0， 所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， 所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又因为f (a )>f (c )， 所以1－2a >2c －1， 所以2a ＋2c <2，故选D.2．(多选)若实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．x ＝y B ．1<x <y C ．0<x <y <1D ．y <x <0解析：选ACD 由题意，实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，可化为4x ＋5x ＝5y ＋4y ，设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，由基本初等函数的性质，可得f (x )，g (x )在R 上都是单调递增函数，画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9.故当x ＝y ＝0或1时，f (x )＝g (y )，所以5x －4y ＝5y －4x 成立，故A 正确；当1<x <y 时，f (x )<g (y )，故B 不正确；当0<x <y <1时，f (x )＝g (y )可能成立，故C 正确；当y <x <0时，f (x )＝g (y )可能成立，故D 正确．故选A 、C 、D.3．(多选)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如， [－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]和f (x )的叙述中正确的是( )A ．g (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在R 上是增函数D ．g (x )的值域是{}－1，0，1解析：选BC 根据题意知f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－11＋e x，定义域为R.∵g (1)＝[f (1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 1＋e －12＝0，g (－1)＝[f (－1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ＋1－12＝－1，∴g (1)≠g (－1)，g (1)≠－g (－1)，∴函数g (x )既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；∵f (－x )＝e －x1＋e －x －12＝11＋e x －12＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知f (x )＝12－11＋e x 在R 上是增函数，C 正确；∵e x >0，∴1＋e x >1，∴－12<f (x )<12，∴g (x )＝[f (x )]的值域是{}－1，0，D 错误．故选B 、C.。