2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二)数学

2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()(){}410|B x x x =-+<，则A B ⋂=A ．B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．若a 为实数，复数2z a i =-在复平面上位于第四象限，且||z =a =A ．1±B ．1-C ．1D ．23．某班级共有50人，把某次数学测试成绩制作成直方图如图，若分数在[]80,100内为优秀，则任取两人成绩均为优秀的率为A ．2175B ．4175C ．135D ．61754．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为A B ．1CD ．25．已知二项式()1nx +展开式中系数最大的只有第5项，则2x 项的系数为A ．28B ．36C ．56D ．846．三个几何体组合的正视图和侧视图均为如右图所示，则下列图中能作为俯视图的个数为①②③④ A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ．F 分别为棱11B C 、11C D 的中点，下列说法：①直线BE 与直线DF 相交；②直线BE 与直线DF 是异面直线；③//BD EF ；④直线BD 与直线EF 是异面直线．其中正确的说法的序号为A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为A ．B ．CD ．9．在直角ABC 中，AB AC ⊥，||3AB =，||2AC =，2AE EB =，AF FC =，设BF 与CE 交于G ，则cos ,AG AE <>=A B C ．35D ．4510．设函数()f x '是奇函()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->．已知21(log )4a f =， 1.5(3)b f =， 1.5(2)c f =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点P 在C 上，且PF x ⊥轴，M 为OP 的中点（O 为坐标原点），且MF OP ⊥，则双曲线C 的离心率为A 1B 1C ．12D 12．已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC 的周长为A 4B ．4C ．4D ．4+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 2θ=，则sin2θ=____________．14．函数ln y x =在1(,1)e-）处的切线在y 轴上的截距为____________．15．已知2log a a 与3log b 的等差中项为52，则a b +=____________．16．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，2AB =，1AC =，BC =，D 为该球面上的动点，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为____________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题（共60分） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，136a a +=，4516a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且11b =，1237b b b ++=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若2log n n n c a b =+n ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12AA AC =，P 是侧棱1CC 上的点．（1）若60APB ∠=︒，证明：P 是1CC 的中点； （2）若13CP PC =，求二面角B -AP -C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表根据上表，给出两种回归模型：模型①：建立曲线性回归模型ln y b x a =+，求得回归方程为7.2ln 22.9y x =-+；模型②：建立线性回归模型ˆy bxa =+． （1）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例（结果保留整数）．参考公式：121ˆni i i nii x y nxybxnx==-=-∑∑，ˆa y bx=-，()()22121ni i nii y y R yy =-=--∑∑．参考数据：5180ii y==∑，51210i i i x y ==∑，52155ii x ==∑，5211370.66i i y ==∑，ln20.69≈，ln3 1.10≈．20．（本小题满分12分）设函数2()ln ,f x a x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在极值，对于任意,()0x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线)2py x =-相交于A ，B 两点，线段AB 的长为8．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ．N 两点，点P 为直线2x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为123,,k k k ，且满足132k k k λ+=，λ能否为定值？若为定值，求出λ的值；若不为定值，请说明理由．（二）选考题（共10分．请考生在第22．23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一计分．） 22．（本小题满分10分）选修4-4（坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0απ≤<，在以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin 2cos C p θθ=-．（1）求2C 的直角坐标方程； （2）当34πα=时，设1C 与2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5（不等式选讲）：已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+． （1）当2a =，1b =时，求不等式()7f x c >+的解集；（2）当()f x 的最小值为5时，证明：22222210a b a c b c c b a+++++≥． 理科数学答案提示一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由()()410x x -+<得14x -<<，∴{}0,1,2A B ⋂=，选（D ） 2．由2z a i =-在复平面上位于第四象限知0a >，由||z =245a +=，∴1a =，选（C ）3．由直方图知优秀人数为()0.0060.01010508+⨯⨯=，所以任取两人成绩均为优秀的概率为282508745049175C P C ⨯===⨯，选（B ） 4．取F P ，则PF的方程为0x y +-=，∴1R ==，选（B ） 5．二项式()1nx +展开式中系数最大的项为中间项，所以二项式()1nx +展开式中共有9项，∴8n =，222328g T C x x ==，所以2x 项的系数为28，选（A ）6．由正视图和侧视图知三个几何体可以是圆柱或底面为正方形的直棱柱， 所以四个图都可能作为俯视图，选（D ）7．∵11//EF B D ，11//BD B D ，∴//BD EF ，即③正确；由③知BE 与DF 共面，所以直线BE 与直线DF 相交，即①正确，选（A ） 8．cos ()22)sin 4y f x PA P x x B x π==+=+=+，图象（D ）符合()f x ，选（D ）9．如图，以A 坐标原点建立坐标系，则()3,0B ，()0,2C ，∴()2,0E ，()0,1F ，所以直线CE 的方程为20x y +-=，直线BF 的方程为330x y +-=，解20330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴31(,)22AG =，(3,0)AB =，∴9cos ,AG AB <>==，选（B ）10．∵2()()()()0f x xf x f x x x'-'=>， ∴()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又()10f -=，所以()10f =，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，当,()1x ∈+∞时，()0f x >，∴21(log )(2)(2)04a f f f ==-=-< ∵ 1.51.5321>>，∴ 1.51.5(3)(2)0b f f c =>=>，选（A ） 11．如图，设双曲线的左焦点为1F ，则PF c =，12F F c =，∴1||PF =∴1||||1)2PF PF c a -==，∴12c e a ===，选（C ）12．2222cos 1312cos AB AD BD AD BD ADB ADB ⋅⋅∠=-∠=+-，2222cos 1312cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠，∴2226AB AC +=，又2222cos 2616BC AB AC AB AC BAC AB AC =+-⋅⋅∠=-⋅=， ∴10AB AC ⋅=，∴222()2262046AB AC AB AC AB AC +=++=+=⋅，所以ABC 的周长为4B AC BC ++=，选（A ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中的横线上． 13．22sin cos 2tan sin 22sin cos 1tan 5θθθθθθθ===+．14．1y x '=，所以在1(,1)e -处的切线方程为11()1y e x ex e+=-=-， 令0x =得2y =-，即在y 轴上的截距为-2．15．依题意得235log log 252a b +=⨯=，223(log )(log )6a b ==， 所以2log a ，3log b 为方程2560x x -+=的两根， ∴2log 2a =，3log 3b =或2log 3a =，3log 2b =， ∴42731a b +=+=或8917a b +=+=， 应填：31或17． 16．如图，由222AB AC BC =+得90ACB ∠=︒， 所以ABC 的外接圆的圆心在AB 的中点G 上， 所以OG ⊥平面ABC ，当D 、O 、G 三点共线时，三棱锥D -ABC 体积的最大，由11132D V G =⨯⨯=得2DG =， 设球的半径为R ，则221(2)R R =+-，即54R =， 所以球O 的表面积为22544S R ππ==． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设公差为d ，公比为q ，则由1314512262716a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩得121d a =⎧⎨=⎩，∴()11221n a n n =+-⨯=-，由212317b b b q q ++=++=得2q =或3q =-（舍去）， ∴11122n n b --=⨯=；（2）1221log 232n n n n c a b n n -=+=-+=-∴(132)(31)22n n n n n S +--==．18．解：（1）由直三棱柱111ABC A B C -得1C C ⊥平面ABC ，∴1C C AC ⊥，1C C BC ⊥，∴AP BP =， 又60APB ∠=︒，∴AP BP AB ==， 又90ACB ∠=︒，∴AP AB ==，111122PC AC AA CC ===，即P 是1CC 的中点； （2）如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，设2AC =，则()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,3P ， ∴(2,2,0)AB =-，(2,0,3)AP =-， 设平面BAP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令3x =得3y =，2z =， ∴()3,3,2n =，又平面CAP 的法向量为()0,1,0m =，∴cos ,||||2222n n m n m m ⋅<>===⨯．所以二面角B AP C --的余弦值为22． 19．解：（1）由5115i i x==∑，5180i i y ==∑，可得3x =，16y = 所以5152252105316ˆ355595i ii i x y xy b x x =--⨯⨯===--⨯-∑∑， 则ˆ163325a y bx=-=+⨯=， 所以模型②中y 关于x 的回归方程为325y x =-+．（2）因为5522115.800.66()()i i i i yy y y ==>--∑∑， 所以模型①的2R 小于模型②，说明回归方程②刻画的拟合效果更好，选择模型②，当6x =时，36257y =-⨯+=，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为7%．20．解：（1）22()2a x ax a f x x a x x++'=++=，0x >， ①当0a ≥时，220x ax a ++>，即()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数；②当0a <时，令220x ax a ++=，则28(8)0a a a a ∆=-=->，∴104a x --=<，204a x -+=>，所以04a x -+<<时，()0f x '<，x >()0f x '>， 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数； （2）由()f x 存在极值知0a <，“对于任意,()0x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立”等价于 “对于任意,()0x ∈+∞，都有2ln 1x x x a+≤-恒成立”， 设22ln 1)l (n x g x x xx x x +==+，0x >， 则32(n )l 1x x x g x --'=，0x >， 设()12ln h x x x =--，0x >， 则2()10h x x'=--<，0x >， 所以()h x 在(0,)+∞上是减函数，又()10h =，所以01x <<时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上是增函数，()g x 在(1,)+∞上是减函数， ()()11g x g ≤=， ∴11a≤-，∴–10a ≤<．21．解：（1）把22y px =代入)2p y x =-得 21022p y y p -=， ∴A B y y +=，2A B y y p =-，∴||AB =883p===，∴3p=，所以抛物线C的方程为26y x=；（2）设直线l的方程为2x my=+，m∈R，()2,P t-，()11,M x y，()22,N x y把2x my=+代入26y x=得26120y my--=，∴126y y m+=，1212y y=-，∴12121312122244y t y t y t y tk kx x my my----+=+=+++++()()()()()()1221124444y t my y t mymy my-++-+=++1212212122(4)()84()162my y tm y y t tm y y m y y+-+-==-+++，∴22242t t tkλλλ-=⋅=-=---∴2λ=，所以λ为定值2．22．解：（1）由2sin2cosρθθ=-得22sin2cosρρθρθ=-，把cosxρθ=，sinyρθ=代入得22220x y x y++-=，即2C的直角坐标方程22220x y x y++-=；（2）当34πα=时，曲线11:2xCy t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t为参数），代入22220x y x y++-=，230t-+=∴12t t+=123t t=，∴12||||AB t t =-===23．解：（1）不等式可化为217x x ++->，当2x ≤-时，217x x ---+>，∴–4x <； 当21x -<≤时，217x x +-+>，∴无解； 当1x >时，217x x ++->，∴3x >． 不等式的解集为4{}3|x x x <->或．（2）∵()()f x x a x b c x a x b =++-+≥+--5a b c =++=， ∴222222222a b a c b c ab ac bc c b a c b a+++++≥++ ()()()2()10b c a c a b a b c a b c c b c a b a =+++++≥++=．。

2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,2,0,2A =-，{}2,B y y x x x A ==+∈，{}2Z 60C x x x =∈-≤.则B C ⋂=（）A ．{}0,2B ．{}0,2,6C ．{}1,2,0,2-D ．{}0,2,6,22．用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若6130i i x ==∑，则61i i y ==∑（）A ．11B ．13C ．63D ．783．在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅=（）A ．16B ．16-C ．20D ．20-4．已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（）A ．函数π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数B ．函数()f x 与()f x '的值域相同C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（）A ．8πB ．8π3C D ．36．已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A ．16B ．24C ．32D ．487．已知数列{}n a 的各项均为正数，记()12n A n a a a =+++ ，()231n B n a a a +=+++ ，()342n C n a a a +=+++ ，*n ∈N ，设甲：{}n a 是公比为q 的等比数列；乙：对任意*n ∈N ，()A n ，()B n ，()C n 三个数是公比为q 的等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分又不必要条件8．设O 为坐标原点，直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与C 交于,M N 两点，其中M 在第一象限，则下列正确的是（）A ．C 的准线为14x =-B ．1344MF NF MF NF ++⋅的最小值为38C ．以MN 为直径的圆与x 轴相切D ．若(0,)Q p 且MQ MF =，则180ONQ OMQ ∠+∠>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠10．已知函数()()2e xf x x ax b =++，下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 无极值点，则()f x 没有零点B ．若函数()f x 无零点，则()f x 没有极值点C ．若函数()f x 恰有一个零点，则()f x 可能恰有一个极值点D ．若函数()f x 有两个零点，则()f x 一定有两个极值点11．正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，1μ=时，AP 与平面ABC 所成角为π4B ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥C ．当1λ=，12μ=时，平面1AB P ⊥平面1A ABD ．若1AP =，则点P 的轨迹长度为π2第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。

绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。

()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。

()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。

()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。

7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。

()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。

()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。

()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。

7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出A B ⋂,然后再求子集个数. 【详解】由题意可得:{}0,1A B =,有两个元素,则其子集个数有224=个.故选:A.【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数7iz 1i-=+，则|z|＝（ ） A.72B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为a bi +的形式，再求复数的模.【详解】依题意()()()()7i 1i 86i 43i1i 1i 2z +--===-+-，故5z==.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解. 3.已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2==，，则()2a b b +⋅=（ ） A. 64 B. 36 C. 8 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?a b b +的值. 【详解】依题意()222a b b a b b +⋅=⋅+2π212cos263=⨯⨯⨯+=，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4.△ABC 中，（a ﹣b ）（sinA+sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ．其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则A ＝（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.【详解】由正弦定理得()()()a b a b c b c-+=-，即222c b a bc +-=，即2221cos 22c b a A bc +-==，由于A 为三角形内角，故π3A =.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值. 5.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 6.设函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，则()()233f f log -+＝（ ）A.112B.132C.152D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出()()233f f log -、，即可得出结果. 【详解】根据题意，函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，()2342f log -==，()()22log3129322f log -==，则()()291333222f f log -+=+=； 故选B ．【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＞，＞，＜的部分图象如图所示，点3π0023⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，7π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，在图象上，若12π7π33x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则()12f x x +=( )A. 3B.32C. 0D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出A ，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】由条件知函数的周期满足T ＝2×（733ππ-）＝2×2π＝4π，即2πω=4π， 则ω12=，由五点对应法得3πω+φ＝0，即132π⨯+φ＝0，得φ6π=-， 则f （x ）＝A sin （12x 6π-），则f （0）═A sin （6π-）12=-A 32=-，得A ＝3，即f （x ）＝3sin （12x 6π-），在（733ππ，）内的对称轴为x 743323πππ+==， 若12,x x ∈（733ππ，），12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则12,x x 关于x 43π=对称，则12x x +＝24833ππ⨯=， 则()12f x x +=f （83π）＝3sin （18236ππ⨯-）＝3sin 76π=-3sin 362π=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．9.若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，2） C. （﹣1，0） D. （﹣2，0）【答案】D 【解析】 【分析】圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y ，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立()2211x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120mym m y m m +-+++=图像有两个交点∴方程有两个不同的实数根，即>0∆()()()22224142180m m m m m m ∆=+-++=->得0m <.圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10.在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，22BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. 16π B. 12πC. 43πD. 6π【答案】B 【解析】 【分析】由题意还原四面体ABCD 所在的正方体,则体对角线BD 即为四面体ABCD 外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积. 【详解】如图所示:由四面体ABCD 是面ABC (A 为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD 垂直于面ABC 的几何体，即四面体的外接球就是棱长为AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD23所以该四面体外接球的表面积是24312ππ⋅=.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.11.设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A. 01（，） B.01]（， C. []01， D.02]（， 【答案】A 【解析】 【分析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠，得到直线l 的方程，再设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2m t =，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =上准线方程是1x =-设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠．则直线l 的方程为210x ty t -++=．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝．代入抛物线方程可得2440y ty m -+=， 由216160t m -=＝，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t +=﹣．． ∴则P 到l 的距离的最小值()01d =，．故选A ．【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12.若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，e] B. （﹣∞，2]C. （0，2]D. （0，e]【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0x >时为递增函数，利用切线的斜率求得a 的取值范围.【详解】依题意设()xxf x e e -=-，这()'0x x fx e e -=+>，故函数在0x >时为递增函数，且()''x x fx e e -=-在0x >时为正数，故()'x x f x e e -=+单调递增，故()()'02f x f >=，而a 是直线()0y ax x =>的斜率，直线过原点，要使函数()0xxy e e x -=->的图象始终在射线()0y ax x =>的上方则需2a ≤.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若3tan α4=，则cos2α＝_____． 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角公式和齐次方程，求得cos2α的值.【详解】依题意222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++91169116-=+725=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题. 14.根据下列算法语句，当输入,x y ∈R 时，输出s 的最大值为____________. 输入x ，yIF 0AND 23AND 0y x y x y >=->=+<=THEN s x y =+ ELSE 0s =END IF输出s【答案】2【解析】【分析】根据题中程序分析出,x y满足的不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,然后分析比较满足时输出目标函数的最大值和不满足时输出目标函数的最大值,进而得出答案.【详解】由算法语句知,当x,y满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，则可得x,y满足的可行域如图阴影部分所示：则可得目标函数s x y=+经过M点是取得最大值，由230x yx y-=⎧⎨+-=⎩联立解得坐标M(1，1)，则可得目标函数s x y=+的最大值为112=+=+=s x y；当x,y不满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，由题意可得可得0s=,则经过比较目标函数的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本算法中的条件语句，线性规划中目标函数的最值问题;考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于一般难度的题.15.()f x是R上的偶函数，且当0x≥时，3()2f x x x=+，则不等式(2)3f x-<的解集为___．【答案】(1,3) 【解析】 【分析】根据条件可知()13f =，且()0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质()()f x fx =，转化为()()22f x f x -=-，这样比较2x -与1的大小关系.【详解】当0x ≥时，()32f x x x =+是单调递增函数，且()13f =，()()()2321f x f x f -<⇔-<即21121x x -<⇒-<-< 解得：13x << 故解集是()1,3.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，属于简单题型，意在考查转化与化归的能力，解抽象不等式时，如果函数是偶函数，()()12f x f x <时，转化为()()12f x f x <，再根据()0,∞+的单调性，比较1x 和2x 的大小.16.设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n .给出下列3个命题：①1//m n m ⇒与1n 平行或重合，②11m n m n ⊥⇒⊥，③11m n m n ⊥⇒⊥，其中所有假命题的序号是_____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由线与线、线与面的位置关系以及利用反例法一一推理判断即可得出答案.【详解】对于①:由题设直线m ,n 与平面α不垂直,且可设直线m ,n 确定的平面为β. 若αβ⊥，则1m 与1n 重合（为α,β的交线）;若α与β不垂直，则易知m 与1m ，n 与1n 确定的平面互相平行,从而11//m n ,故真命题;以下举反例说明命题②③不真.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，对于②:取平面α为ABCD,1m，1n分别为AC,BD,m,n分别为1A C,1BD,满足11m n⊥，但是不满足m n⊥,故命题为假;对于③:取平面α为11ADD A,1m,1n分别为11A D,1AD,m,n分别为11A C,1BD,满足m n⊥,但是不满足11m n⊥,故命题为假.故答案为:②③.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象、逻辑推理等能力,考查化归与转化思想.属于一般难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.若数列{a n}的前n项和为S n，且()()()212n n2n1a1a2S1S1S1++==++=+，，．（1）求S n；（2）记数列n1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，证明：1≤T n＜2．【答案】（1）21nnS=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用迭代法证得{}1nS+是等比数列，由此求得1nS+的表达式，进而求得nS的表达式.（2）根据（1）求得的n S的表达式.利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a的表达式，再求得n T的表达式，由此证得不等式成立.【详解】()1由题意有21211111 (111)n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.nn S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤<【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题. 18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）是，详见解析 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得a ;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求2K ,再进行比较判断.【详解】解：（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =.令得分中位数为x ，由0.020100.040(90)0.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =.故综合评分的中位数为82.5. （2）列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.19.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=.将AED∆，DCF∆分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图2所示.图1 图2 （1）求证：//PB平面MEF；（2）求三棱锥P EFM-的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23 P EFMV-=【解析】【分析】(1)结合翻折前后的变量与不变量的关系,利用线面平行的判定定理直接证明即可;(2)利用平面图形翻折前后的变量与不变量证明PM ⊥面PEF,由题中等量关系分别求出PM 和PEFS,然后由 PEF1PM 3P EFM M PEF V V S --==⨯⨯进行求解答案.【详解】解：（1）在图1中,连结BD 交EF 于N ,交AC 于O , 则1124BN BO BD ==.图1在图2中,连结BD 交EF 于N ,连结MN . 在DPB ∆中,有14BN BD =,14PM PD =,图2所以//MN PB .又因为PB ⊄面MEF ,MN ⊂面MEF , 故//PB 平面MEF .（2）根据题意,图2中的PDE ∆,PDF ∆, 即图1中的Rt ADE ∆,Rt CDF ∆, 所以PD PE ⊥,PD PF ⊥. 又PEPF P =,所以PD ⊥面PEF ,即PM ⊥面PEF .在PEF ∆中,2PE PF ==,22EF =2PEF S ∆=,所以11221333P EFM M PEF PEF V V S MP --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定、三棱锥体积的求法等基础知识，考查空间想象、逻辑推理等能力，考查化归与转化等数学思想,属于一般难度的题.20.已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）12k k 为定值，此定值为1.2- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得1212k k =-为定值. 【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21.已知函数21()e ()42xf x x a =--+. （1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若0x ≥，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）4290x y -+= （2）ln 4⎡-⎣【解析】 【分析】(1)对函数21()e (1)42xf x x =--+求导,求(0)f ,(0)f ',然后利用点斜式方程可求得答案; (2)对函数21()e ()42x f x x a =--+求导,构造函数(()e )=-+'=xh x x x f a 判断其在0x ≥上单调递增,分类讨论1a ≥-时:判断函数()f x 单调递增函数,然后再由()(0)0≥≥f x f 求得a 的取值范围;1a <-时,()00,x ∃∈+∞使得()00h x =,判断在()00,x 上函数()f x 单调递减,()0 ,x ∞+上单调递增,求得函数最小值()min 0()=f x f x 然后利用()()02001e 402=--+≥x f x x a 和()000e 0x h x x a =-+=进行适当地转化即可求出参数a 的取值范围,最后总结讨论结果得出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时,21()e (1)42xf x x =--+,()e 1x f x x '=-+, 则9(0)2f =,(0)2f '=,由点斜式方程可得:()9202y x -=-化简得:4290x y -+=,即切线方程为4290x y -+=.（2）由21()e ()42xf x x a =--+,得()e x f x x a '=-+, 令()e xh x x a =-+,则()e 10xh x '=-≥. 所以()h x 在[)0,+∞上单调递增,且(0)1h a =+. ①当1a ≥-时,()0f x '≥,函数()f x 单调递增,由于()0f x ≥恒成立,则有21(0)502f a =-≥,即a ≤,所以1a -≤≤;②当1a <-时,则存在0(0,)x ∈+∞,使得()00h x =,当00x x <<时,()0h x <,则()0f x '<,()f x 单调递减;当0x x >时,()0h x >,则()0f x '>,()f x 单调递增.所以()()02min 001()e 402xf x f x x a ==--+≥， 又0x 满足()000e 0xh x x a =-+=,即00e xx a -=,所以0021e e 402xx -+≥,则002e 2e 80x x --≤,即()()00420e e x x-+≤，得00ln 4x <≤. 又00e xa x =-，令()e x u x x =-，则()1e xu x '=-，可知，当0ln 4x <≤时，()0u x '<，则()u x 单调递减， 所以()e ln 44xu x x ≥=--， 此时ln 441a -≤<-满足条件.综上所述,a 的取值范围是ln 4⎡-⎣.【点睛】本题考查了函数与导数、不等式等基本知识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求M 的普通方程；（2）将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程.【答案】（1）22(2)4x y -+= （2）cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【解析】 【分析】(1)由极坐标方程和普通方程的转化直接求解即可得出答案;(2)先判断点Q 的轨迹为椭圆,然后利用椭圆定义直接求得椭圆方程即可. 【详解】解：（1）由4cos ρθ=两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=， 则224x y x +=,化简得C 的普通方程为22(2)4x y -+=. （2）如图所示:连接QA .由垂直平分线的性质可知,||||||||||2||QA QN PQ QN PN AN +=+==>. 所以点Q 的轨迹是以N ,A 为焦点（焦距为1）,长轴长为2的椭圆. 即11,2a c ==,所以223b ac =-=,3故可得Q 的轨迹的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程、椭圆的参数方程与椭圆的定义等基础知识，考查推理论证能力和创新意识，考查化归与转化、数形结合等数学思想,属于一般难度的题. 23.设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．【答案】（1）[]1,3-；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求+a b 的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x 的取值范围.（2）求出4a b +的最小值，然后进行判断【详解】()1由a b ab +=，得111,a b += ()114a b a b a b ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时""=成立. 不等式2x x a b +-≤+即为24x x +-≤.当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤；综上，实数x 的取值范围是[]1,3-. ()2由于0,0a b >>.则()114445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+= 当且仅当4,,b a a b a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3,32a b ==时，4a b +取得最小值9. 所以不存在实数,a b ，使得48a b +=成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。

2021年全国新高考II卷数学试题-【含答案】2021年全国新高考II卷数学试题注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题）一、单选题1.复数2-i和1-3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B=（）A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}3.抛物线y^2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=A.1B.2C.22D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr^2(1-cosα)（单位：km^2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20+123B.282C.562/3D.28/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ^2)，下列结论中不正确的是（）A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大。

二、多选题9．下列统计量中，能度量样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的离散程度的是（）A．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的标准差C．样本$x_1,x_2,\dots,x_n$的极差10．如图，在正方体中，$O$为底面的中心，$P$为所在棱的中点，$M$，$N$为正方体的顶点．则满足$MN\perp OP$的是（）A．B．C．D．11．已知直线$l:ax+by-\frac{r}{2}=0$与圆$C:x^2+y^2=r^2$，点$A(a,b)$，则下列说法正确的是（）A．若点$A$在圆$C$上，则直线$l$与圆$C$相切C．若点$A$在圆$C$外，则直线$l$与圆$C$相离12．设正整数$n=a\cdot 2+a_1\cdot 2^2+\dots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中$a_i\in\{0,1\}$，记$\omega(n)=a+a_1+\dots+a_k$．则（）B．$\omega(2n+3)=\omega(n)+1$D．$\omega(2^k-1)=k$C．(8n+5)=(4n+3)第II卷（非选择题）评卷人得分三、填空题14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_________．①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0；③f'(x)是奇函数．15．已知向量a+b+c=，a=1，b=c=2，a·b+b·c+c·a=_______．16．已知函数f(x)=ex-1,x10，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM|/|BN|取值范围是_______．四、解答题17．记Sn是公差不为的等差数列{an}的前n项和，若a3=Sn5，a2an+1=Sn4．1）求数列{an}的通项公式an；2）求使Sn>an成立的n的最小值．18．在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．19．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5，QC=3．1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．20．已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为e．…1.求椭圆C的方程；设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x>0)相切。

绝密★启用前 试卷类型： 2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，复数213i i--对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,6A =，{}2,3,4,B =则U A C B =（ ）{}(A)3 {}(B)1,6 {}(C)5,6 {}(D)1,33. 若抛物线22(0)y px p =>焦点到直线1y x =+，则p =（ ）(A)1 (B)2 (D)44. 卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为O 半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为α，该卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos ),S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为（ ）(A)26% (B)34% (C)42% (D)50%5. 正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为（ ）(A)20+ 56(D)3 6. 某物理量的测量结果服从正态分布2(10,)N σ则下列结论中不正确的是（ ）()A σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大。

()B σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5。

()C σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等。

()D σ越小，该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内的概率与落在()10,10.3内的概率相等。

7. 若581log 2,log 3,,2a b c ===则（ ） ()A c b a << ()B b a c << ()C a c b << ()D a b c <<8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()2f x +是偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）1().02A f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()().10B f -= ()().20C f = ()().40D f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国二卷数学一、在直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，点B的坐标为(7,1)，则线段AB的中点M的纵坐标是：A. 5/2B. 3C. 7/2D. 4（答案）C二、某校高一年级有男生480人，女生420人，按照比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，样本量为150人，则样本中女生的人数是：A. 60B. 70C. 75D. 80（答案）B三、设全集U为实数集R，集合A为{x | x2 - 5x + 6 = 0}，集合B为{x | x2 - ax + a -2 = 0}，若B是A的子集，则a的值可能是：A. 1B. 2C. 3D. 5（答案）C, D（注：此题答案不唯一，因为当a=3或5时，集合B均为A的子集）四、已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 2)，则f(3) + f(-4)的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）B五、等差数列{an}中，a1 = 1，a4 = 7，则a7 =：A. 10B. 13C. 16D. 19（答案）B六、已知向量a = (1,2)，向量b = (2,1)，则向量a与向量b的点积为：A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D七、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2，则f(x)的极小值点为：A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 2（答案）D八、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，cosC = 1/2，则三角形ABC的面积为：A. 3B. 4C. 5D. 6（答案）D。

2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，若，则实数A. B. C. 2 D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A.B.C.D.5.已知数列的前n项之和，则A. 6B. 7C. 8D. 96.圆与圆的公共弦长为A. B. C. D.7.已知，且，则A. B. C. D.8.若，是夹角为的两个单位向量，而，，则向量和夹角为A. B. C. D.9.已知函数，则的最小值为A. B. C. D.10.在正方形中，E、F分别是及的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体中必有A. 所在平面B. 所在平面C. 所在平面D. 所在平面11.如果关于x的不等式在恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知的三边分别为a，b，c，若满足，则面积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为______．15.已知，则M的最大值为______．16.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东方向的600km处的热带风暴中心B正以的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过______小时后该码头A将受到热带风暴的影响精确到．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若等比数列的前n项和为，满足，．求数列的首项和公比q；若，求n的取值范围．18.如图，在棱长为a的正方体中，P，Q，L分别为棱，，BC的中点．求证：；求四面体DPQL的体积．19.一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是5009，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量单位：如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510求这10袋白糖的平均重量和标准差s；从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在的概率是多少？附：，，，20.已知抛物线：的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足求抛物线的方程；已知经过点的直线交抛物线于M，N两点，经过定点和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21.研究函数在上的单调性；求函数的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：．求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；若点P在曲线上，点Q曲线上，求的最小值．23.已知函数．当时，求解不等式；已知关于x的不等式在R上恒成立，求参数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，即．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：，集合，则，故选：C．化简集合N，再求交集即可．考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题．3.【答案】B【解析】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：，，，，，，共6个，向上的点数之和小于5的概率为．故选：B．基本事件总数，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，，第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；故输出S值为，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，．则．故选：B．利用递推关系即可得出．本题主要考查数列求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属基础题．两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆与圆，相减得：，圆心到直线的距离，，则公共弦长为．故选C．7.【答案】B【解析】解：，即，，．故选：B．利用配角容易求出，进而求得的值．本题考查正切的差角公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：，是夹角为的单位向量，．．．．．．两向量夹角范围为，，的夹角为．故选：C．由向量的乘法运算及数量积运算求出，由向量模的公式求出，代入两向量夹角公式得答案．本题考查了平面向量的数量积运算，考查了多项式的乘法运算及数量积公式，考查了计算能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：函数，当时，函数．故选：A．直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】A【解析】解：在折叠过程中，始终有，，即，，所以平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有，，即，，由线面垂直的判定定理，易得平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．11.【答案】A【解析】解：当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，令，且，则易得函数在递增，单调递减，故当时，取得最小值，故．故选：A．当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，然后构造函数，且，结合导数可研究单调性及最值，即可求解本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离参数，转化为求解函数的最值或范围问题是常见的处理方式．12.【答案】B【解析】解：由三角形面积公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，当时，取得最大值，S的最大值为．故选：B．由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求，进而利用基本不等式，从而可求，从而利用二次函数的性质可求最值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．13.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，是基础题．求出原函数的导函数，可得，再由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：，，则，函数在点处的切线方程为，即．故答案为：．14.【答案】【解析】解：，即，，，，由于在递减，最大值为，所以，故答案为：．求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论．考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题．15.【答案】1【解析】解：由题意，，，，；设，，，，则，，，，的最大值为1，即的最大值为1．故答案为：1．由题意，，，设，，，，利用两角和的正弦公式，即可得出结论．本题考查最大值的求解，考查两角和的正弦公式，正确换元是关键．属于中档题．16.【答案】【解析】解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则，即，即；式两边平方并化简、整理得或，时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为．故答案为：．设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为若在点B处受到热带风暴的影响，则，求出t，即可得出结论．本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力．17.【答案】解：，显然公比，，解可得，，由可得，，即，解可得，．【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；结合及已知不等式可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．18.【答案】证明：H为CD的中点，连接QH，HL，P，Q，L分别为棱，，BC的中点．所以，，，所以平面QHL，平面QHL，；解：连接，，四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积，几何体的体积为：．【解析】为CD的中点，连接QH，HL，证明平面QH，即可证明；连接，，说明四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积，然后转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510，则其平均重量，其方差；则其标准差；根据题意，由的结论，10袋白糖在之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋，从10袋白糖中任取两袋，有种取法，其中恰有一袋的重量不在的情况有种，则恰有一袋的重量不在的概率．【解析】根据题意，由数据的平均数、方差、标准差计算公式计算可得答案；根据题意，分析可得有8袋白糖在之间，由组合式公式求出“从10袋白糖中任取两袋”和“其中恰有一袋的重量不在”的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．20.【答案】解：由抛物线的方程可得焦点，满足的P的坐标为，P在抛物线上，所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；设，，，则，，直线MN的斜率，则直线MN的方程为：，即，同理可得直线ML的方程整理可得，将，分别代入，的方程可得，消可得，易知直线，则直线NL的方程为：，即，故，所以，因此直线NL恒过定点．【解析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，再由求出P的坐标，P又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，即可求出抛物线的方程；设M，N，L的坐标求出直线NM的斜率，进而由题意求出直线MN的方程，同理可得直线ML的方程，将A，B的坐标分别代入两个方程N，L的坐标关系，求出NL的斜率，进而求出直线NL的方程，可得恒过定点．考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．21.【答案】解：由，求导，设，，，所以在递减，则故，所以在递减；观察知为偶函数，故只需求时的最小值，由，当时，设，则，显然递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得当时，，递减，当时，，递增，而，，故时，，即时，，则递减；又当时，，，递增；所以．【解析】求导，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，即可求得在上的单调性；根据函数的奇偶性，求导，构造新函数，根据函数的零点存在定理，及导数与函数单调性的关系，即可求得的最小值．本题考查导数与函数的综合应用，考查导数与函数单调性及最值的关系，考查函数零点存在定理，考查转化思想，计算能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．曲线：转换为直角坐标方程为，整理得．设点在曲线上，圆心，所以：，当时，，所以的最小值．【解析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果．利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：当时，，当时，原不等式可化为，解可得，此时不等式的解集；当时，原不等式可化为，解可得此时不等式的解集；当时，原不等式可化为，解可得，此时不等式的解集，综上可得，不等式的解集，当即时，显然不成立，当即时，，结合函数的单调性可知，当时，函数取得最小值，若在R上恒成立，则，此时a不存在，当即时，若在R上恒成立，则，解可得，此时a的范围，综上可得，a的范围围．【解析】把代入后结合绝对值不等式的求法即可求解；由已知不等式的恒成立可转化为，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解．本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。

2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数)3(2i a i z -+=）（是纯虚数，则实数=a A ．23-B ．23C ．3-D ．3 2．已知向量)3,2(-=，),3(x =，若//a b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．293．已知集合{}Z x x x A ∈≤≤-=,21，集合{}0|>=x x B ，则集合A B 的子集个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 4．设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5. 设公比为3的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若13=S ，则=++654a a a A ．3 B ．9 C ．27 D ．816. 某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的 四分之一个圆，则该几何体的体积为A ．π31B ．π21C ．π32D ．π7. 若圆4221=+y x C ：与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m = A ．24- B ．16- C ．24 D ．16 8. 设0,0>>b a ，则“1≥ab ”是“2≥+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 侧视图俯视图根据图示可知，孩子已经出生的天数是A ．27B ．42C ．55D ．21010．已知函数x x x f cos sin )(+=，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…， 依此类推，2020()4f π=A B ． C ．0 D ．11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面E AC 1截该正方体所得的截面面积为A ．52B ．62C ．64D ．5 12．已知点P 在直线1-=x y 上，点Q 在曲线y x 22=上，则PQ 的最小值为A ．41 B ．81 C ．22 D ．42第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的离心率为2，则渐近线方程为 ．14．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若675=+a a ，则11S = ． 15．若在不等式122≤+y x 所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-11y x y x 所表示的平面区域内的概率为 ． 16．函数()()f x x R ∈为奇函数，当0x >时，0)(ln )(<+⋅'xx f x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足A b a c cos 22+=．（1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，o ABC 90=∠，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得到如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若平面⊥ADE 平面ABCD ，求四棱锥ABCD E -的体积． 19．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．(本小题满分12分)已知函数xaex x f -=2)(()a R ∈．（1）当1a =时，证明：0≥x 时，1-)(≤x f ；（2）若对任意0≥x ，均有0)(≤x f 成立，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1）求抛物线C 的方程；（2）设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，)2,1(P ，且PM PN ⊥，求证：直线MN 过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程； （2）若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PBPA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数b x a x x f ++-=)(，)0,0(>>b a ． （1）当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2）若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.33 15.π216. ）（0,∞-三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，……………………………………2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,………………………4分 则3π=B ………………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，……………………………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.…………………………12分18.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线,.//,,//,21且,//.21且,//ABE CM ABE BN ABE CM BNCM BCMN AD BC AD BC AD MN AD MN 平面平面平面又是平行四边形，四边形∴⊂⊄∴∴==∴………………6分（2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,ADE ∆是等边三角形,得AD OE ⊥,因为平面⊥ADE 平面ABCD ，，平面ADE OE ⊂平面⋂ADE 平面AD ABCD = 所以平面⊥OE 平面ABCD ………………8分 直角梯形ABCD 的面积为6263322221==+OE ，）（ …………10分 四棱锥ABCD E -的体积3-=VABCDE ………………12分19．（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)25 6.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分 （2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用654321,,,,,a a a a a a 表示 44岁及以上抽取2人分别用21,b b 表示， ……………………..… 6分 设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：()21,a a ，()31,a a ，()41,a a ，()51,a a ，()61,a a ，()11,b a ，()21,b a ， ()32,a a ，()42,a a ，()52,a a ，()62,a a ，()12,b a ，()22,b a ， ()43,a a ，()53,a a ，()63,a a ，()13,b a ，()23,b a ，()54,a a ，()64,a a ，()14,b a ，()24,b a ，()65,a a ，()15,b a ，()25,b a ， ()16,b a ，()26,b a ，()21,b b 共28种 ………………………………..…9分抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：()11,b a ，()21,b a ，()12,b a ，()22,b a ，()13,b a ，()23,b a ，()14,b a ，()24,b a ，()15,b a ，()25,b a ，()16,b a ，()26,b a ，共12种 ……………………..…11分所以73)(=A P ，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 73… 12分20.（1）当1a =时，x e x x f x h -='=2)()(，x e x h -='2)( 由于x e x h -='2)(在),0[+∞上单调递减，存在唯一零点2ln 0=x 知()h x ：知),0[+∞∈x 时，022ln 2)2(ln )(<-=≤h x h ，即()0f x '<恒成立 所以()f x 为),0[+∞上的减函数，0≥x 时，1-)0()(=≤f x f ， 证毕 …………………………………………6分（2）等价于x e x a 2≥，设函数x e x x g 2)(=，),0[+∞∈xxx x x g )2()(-='，知()g x ：2max 4)2()(e g x g ==，2max4),(e a x g a ≥≥， 实数a 的取值范围是）+∞,4[2e ………………………………………………12分 21.（1）依题意，2,12==p p ，所以x y C 4:2=………………………………4分（2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ，设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，…………………………8分 解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………12分 22.（1）θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得2114122t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +==-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +-=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(- ………………………………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……………10分- 11 -。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A. ()1,3 B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A.12B.C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||2z ==．故选B ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（ ） A. 1 B. －2C. 1或－2D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论直线()120x m y ++-=的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．【详解】①当1m =-时，两直线分别为20x -=和240x y --=，此时两直线相交，不合题意．②当1m ≠-时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得112221m m m⎧-=-⎪⎪+⎨⎪≠-⎪+⎩，解得1m =．综上可得1m =． 故选A ．【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则12l l ⇔1221A B A B =且1221B C B C ≠或1221A B A B =且1221A C A C ≠．4.设向量(1,1)a =，(2,3)b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k 的值等于（ ） A. 1 B. －1C. 2D. －2【答案】B 【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可. 详解：向量()()1,1,2,3a b ==-， 则()2k 4,k 6ka b -=-+若2ka b -与a 垂直，则k 4k 60-++= 解得1k =-. 故选B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】做出可行域，根据图像，即可求解.【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A 由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时， 取得最小值为3. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.6.设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A. x 2＋（y －2）2＝20 B. x 2＋（y －2）2＝5 C. x 2＋（y ＋2）2＝20 D. x 2＋（y ＋2）2＝5【答案】C 【解析】 【分析】由题意得25PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为5【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴25DB DA +=， ∴25PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ．【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到25PA =，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2 则输出的函数是（ ） A. f （x ）＝sinx B. f （x ）＝cosxC. 1()f x x=D. f （x ）＝x 2【答案】A 【解析】试题分析：对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A. 考点：程序框图及函数的性质.8.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质9.函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A. [－2＋12k ，4＋12k]（k∈Z） B. [－5＋12k ，1＋12k]（k∈Z） C. [1＋12k ，7＋12k]（k∈Z） D. [－2＋6k ，1＋6k]（k∈Z）【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．10.已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C 【解析】 【分析】 由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -． ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ．【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．11.已知,R αβ∈，则“αβ>”是“sin sin αβαβ->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】考查函数()f x x sinx =-,所以()10f x cosx -'=>， 所以()f x 在(),-∞+∞上递增，若αβ>，则sin sin αβαβ->-，若sin sin αβαβ->-，则αβ>，故选A.12.定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)(),()f x f x f x '-=为()f x 的导函数，且3()02x f x ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，若12x x <，且123x x +>，则有（ ）A. 12()()f x f x >B. 12()()f x f x <C. 12()()f x f x =D. 不确定【答案】A 【解析】【详解】函数()f x 满足()()3f x f x -=，可得3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由()302x f x ⎛⎫⎪⎭'-< ⎝，易知，当32x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 由123x x +>，12x x <，则232x >. 当132x >,则()()12f x f x >. 当132x <,则1332x ->,213x x >-，()()123f x f x ->，即()()12f x f x >. 故选A.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． 【答案】-9 【解析】 【分析】由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．【详解】()3223x x --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况： （1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题．14.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可．【详解】由()323f x x =得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．∴2222212132212215sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+． 故答案为35． 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】103【解析】如图所示，三视图还原为几何体是棱长为2的正方体中的组合体ABCDEF ，将其分割为四棱锥B CDEF - 和三棱锥F ABC - ，其中：()12212232B CDEFV -+⨯=⨯⨯= ，114222323F ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ， 该几何体的体积410233V =+= .16.已知三角形的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =226b c -=，则角A 最大时，三角形ABC 的面积等于__．2【解析】 【分析】 由题意得22+6b c =，根据余弦定理得到22222cos 2b c a A bc +-===，然后利用换元法和二次函数的最值的求法得到cos 3A ≥，并求出此时c b == 【详解】∵226b c -=， ∴22+6b c =．由余弦定理的推论得222222cos 2b c a A bc +-==== 设22(2)t c t =+>，则cos A ====≥，当且仅当8t =，即c b ==时等号成立，∴当角A最大时，cos 3A =， ∴1sin 3A =，∴1123ABCS ∆=⨯=， 即角A 最大时，三角形ABC．．【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到cos A 的表达式，然后根据二次函数求最值的方法得到cos A ≥少参数的方法达到求解的目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =，32n b n =-；（2）()110352n n T n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式． （2）利用数列求和的错位相减即可得到数列{}n c 的前n 项和n T ． 【详解】（1）1212a a ， 2322a a ，3432a a ，……，112n n n a a ---= ，以上1n - 个式子相加得：11231121222222212nnn n a a2n n a ∴=当2n ≥ 时，1n n n b S S -=-=2132n n （）-213[112]n n （）（）---- 32n =-当1n = 时，111b S == ，符合上式，32nb n ；（2）322n nn n c a b n （）123124272322n nT n （） ①23412124272322n nT n （） ②①-②得23123222322n n nT n （）（）()14122312n --=+⨯-1322n n（）110532n n （）110352n nT n （）【点睛】已知1()n n a a f n +=+ 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前n 项和采用错位相减法． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i ）记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（ii ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由. 【答案】(1)19495；(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)小明去乙公司应聘【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可．（2）(ⅰ) 先求出乙公司送餐员每天的日工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望； (ⅱ)求出甲公司送餐员日平均工资为149元，与(ⅰ)中得到的乙公司送餐员的日平均工资162元作比较后可得结论．【详解】（1）记“从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则()220210019495C P M C ==．即抽取的两天送餐单数都大于40的概率为19495． （2） (ⅰ)设乙公司送餐员日送餐单数为a , 则当38a =时,384152X =⨯=， 当39a =时, 394156X =⨯=， 当40a =时, 404160X =⨯=， 当41a =时, 40416166X =⨯+⨯=， 当42a =时, 40426172X =⨯+⨯=． 所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． 由频数表可得()10115210010P X ===，()2011561005P X ===，()2011601005P X ===， ()4021661005P X ===，()10117210010P X ===，所以X 的分布列为所以()111211521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以甲公司送餐员日平均工资为70+239.5149⨯=元. 由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为162元. 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．【点睛】（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取没一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可．（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论．19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是正方形，1AD DE ==，90ADE ∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒.（1）求证：AE BD ⊥；（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（25【解析】 【分析】（1）根据已知可证AB CD ∥，可得四边形ABCD 为等腰梯形，进而证明AD BD ⊥，再由已知可证DE ⊥平面ABCD ，从而有DE BD ⊥，可得BD ⊥平面ADE ，即可证明结论； （1）以D 为原点建立空间直角坐标系（如下图所示），确定,,A B F 坐标，求出平面BDF 的法向量坐标，根据空间向量线面角公式，即可求解.【详解】（1）证明：由已知//DC EF ，且DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .又120ADC DCB ∠=∠=︒，所以四边形ABCD 为等腰梯形， 因为AD DE =，所以AD CD BC ==， 因为120DCB ∠=︒，所以30CDB ∠=︒， 所以1203090ADB ∠=︒-︒=︒，所以AD BD ⊥. 因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，且AD DC D =，所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥. 又AD DE D ⋂=，∴BD ⊥平面ADE ， 又AE ⊂平面ADE ，所以AE BD ⊥.（2）如图，以D 为原点，且DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系Dxyz . 则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()B ，∴3,12FA →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()DB →=，12DF →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDF 的法向量为(),,n x y z →=，由301022n DB y n DF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得02y x z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()2,0,1n →=.设直线与平面BDF 所成的角为θ，sin cos ,FA nFA n FA nθ→→→→→→⋅=<>===， 所以直线AF 与平面BDF【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线垂直，用空间向量法求直线与平面所成的角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知动圆P 恒过定点1(,0)4，且与直线14x =-相切．（Ⅰ）求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在轨迹M 上，求正方形的面积．【答案】（1）2y x = ；（2）18S =或50S = 【解析】 【分析】（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹M 的方程为2y x =；（2）设CD 边所在直线方程为y x t =+，代入抛物线方程后得到关于x 的二次方程，进而由根与系数的关系可得()214CD t =-，又由两平行线间的距离公式可得42t AD -=，由AD CD =求出2t =-或6t =-，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．【详解】（1）由题意得动圆P 的圆心到点1,04⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线14x =-的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以1,04⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以14x =-为准线的抛物线，且12p =，所以圆心P 的轨迹方程为2y x =．（2）由题意设CD 边所在直线方程为y x t =+， 由2y x t y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得()22210x t x t +-+=，∵直线CD 和抛物线交于两点， ∴()22124140t t t =--=->，解得14t <． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则2121212,x x t x x t +=-=.∴CD ===．又直线AB 与直线CD 间的距离为AD =，∵AD CD =，=，解得2t =-或6t =-，经检验2t =-和6t =-都满足0>．∴正方形边长AD =AD =， ∴正方形ABCD 的面积18S =或50S =．【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则||MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线． （2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． 21.已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12x x <，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，对()0f x '≥（或()0f x '≤）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立，得出()f x 的单调性，若不恒成立，求解()0,()0f x f x ''><，即可得出结论；（2）由（1）得出知4a >，且122x x a +=-，121=x x ，将()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭表示为关于a 的函数()h a ，求导得出()h a 的单调性，即可证明结论.【详解】（1）()()()()()()222121101'1a x ax x f x a x x x x x x +-+-+=-=>++， 令()()()2210p x x a x x =+-+>.①当()2240a ∆=--≤，即04a ≤≤时，()'0f x ≥恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a <时，()1p x >，故()'0f x >恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；③当4a >时，由于()'0f x =的两根为：x =>，()0f x '>的解集是220,22a a ⎛⎫⎛⎫--++∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0f x '<的解集是⎝⎭.所以()f x 分别在区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 在⎝⎭上递减， 综上，4a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上递增；4a >时，函数()f x 分别在区间⎛ ⎝⎭， 22a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在2222a a ⎛---+ ⎪⎝⎭上递减.（2）由（1）知4a >，且122x x a +=-，121=x x ，∴()()12121212ln ln 11ax ax f x f x x x x x +=-+-++()()()()1221121211ln 11ax x ax x x x a x x +++=-=-++， 而122222ln 222212a a x x a a f f a -⋅+--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+()2ln 22a a -=--， ∴()()12122ln 22222f x f x x x a a f a ++-⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭2ln 222a a -=-+， 设()()2ln 2422a a h a a -=-+>，则()()211402222'2a h a a a -=⋅-=<--， ()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、证明不等式，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程点P 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3．【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin 3d π==B A AB ρρ=-可求得S试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin 3d π==)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=． 【选修4—5：不等式选讲】23.选修4—5：不等式选讲设函数f （x ）＝x 2－x －1．（Ⅰ）解不等式：|f （x ）|＜1；（Ⅱ）若|x －a|＜1，求证：|f （x ）－f （a ）|＜2（|a|＋1）．【答案】（1）()()-1,01,2⋃；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得2111x x -<--<，转化为不等式组求解即可．（2）将原不等式变形后再利用绝对值的三角不等式证明即可．【详解】（1）由()1f x <得()11f x -<<，即2111x x -<--<， 所以22020x x x x ⎧->⎨--<⎩，解得10x -<<或12x <<， 所以原不等式的解集为()()1,01,2-⋃．（2）证明： 因为1x a -<，所以()()22f x f a x a a x -=-+- ()()1x a x a =-+-＝1x a x a -+-1x a <+-()21x a a =-+- 21x a a ≤-++()2221a a <+=+．【点睛】本题考查二次不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，用三角不等式证明时一是要注意将式子进行变形，使得满足能使用不等式的形式，同时还要注意等号成立的条件，属于基础题．。